Questão 0 Um jogo de dominó possui 8 peças com duas pontas numeradas de zero a seis, independentemente, de modo que cada peça seja única, conforme ilustra a Figura. 0 6 Peça 6 0 Figura O jogo se desenrola da seguinte forma: - Quatro jogadores se posicionam nos lados de uma mesa quadrada. - No início do jogo, cada jogador recebe um conjunto de 7 peças, de forma aleatória, de modo que somente o detentor das peças possa ver seu conteúdo. - As ações ocorrem por turnos no sentido anti-horário. - O jogador com a peça 6 6 coloca-a sobre a mesa e em seguida cada jogador, na sua vez, eecuta uma de duas ações possíveis: a. Adiciona uma de suas peças de forma adjacente a uma das duas etremidades livres do jogo na mesa, de modo que as peças sejam encaiadas com pontas de mesmo valor. b. Passa a vez, caso não possua nenhuma peça com ponta igual a uma das etremidades livres da mesa. 5- Vence o jogo o primeiro jogador que ficar sem peças na mão. Mesa de jogo Mão do jogador à frente Mão do jogador à esquerda Sua mão Mão do jogador à direita Figura No jogo da Figura (acima), é a sua vez de jogar e você constatou que o jogador à sua direita não possui peças com ponta 5 e o jogador à sua frente não possui peças com ponta 0. Você analisou todas as possíveis configurações de peças que os jogadores podem ter em suas mãos e decidiu jogar de modo a garantir que uma das pontas livres da mesa só possa ser usada por uma peça de sua posse, e que esta será a sua última peça em mão. Ao utilizar essa estratégia: a) Quantas configurações de peças nas mãos dos jogadores garantem a vitória do jogo a você? b) Essa quantidade corresponde a qual percentual do total de configurações possíveis? Observação: A ordem das peças na mão de um jogador não importa.
a) O conjunto das peças que estão nas mãos dos outros jogadores é, 0,, 5 0, 5, 5, 6 0, 6 5. Pelas restrições, necessariamente, a peça 5 0 deve estar na mão do jogador à esquerda. Considerando que eu devo jogar de modo a garantir que uma das pontas livres da mesa só possa ser usada por uma peça da minha posse, eu devo encaiar a peça 6 na peça 6, deiando as duas pontas livres com o número. Para que eu tenha garantida a vitória, basta que a peça não esteja na mão do jogador à esquerda. Com a peça na mão do jogador à direita, o número de configurações é 6, sendo duas em que ele tem apenas uma peça com o número 0 e quatro em que ele tem duas peças com o número 0. Com a peça na mão do jogador à frente, o número de configurações é. Assim, ao todo, 6 9 configurações garantem a minha vitória. b) Além das 9 configurações que fazem com que eu tenha a vitória garantida, há apenas outra configuração possível. Esta ocorre na hipótese de o jogador à esquerda ter as peças 5 0 e. Com isso, há, ao todo, 0 possíveis configurações. Assim, a quantidade de configurações que garantem a minha vitória corresponde a 90% do total de configurações possíveis. Questão 0 Definimos a função : da seguinte forma: Determine ((09)). Observação: k é o maior inteiro menor ou igual a k. f 0 0 f f n f n, n log n f n f n, n f : f 0 0 f f n f n log n f n f n m m Se n, então log n m. f 09 log 009 f 009 9 log 50 f 50 9 8 f 5 9 8 f 6 9 8 f 6 9 8 log f 9 8 log 5 f 5 9 8 log 7 f 7 f log f 9 8 log 9 8 9 8 0 800 09 800 f 00 f 00 f 00 f 50 f 5 f f f log f
f 6 f log f 0 8 0 Questão 0 Dadas as funções definidas nos reais : f () = e, f () = sen(), f () = cos(), f () = sen() e f 5 () = e. Mostre que eiste uma única solução a, a, a, a, a 5, tal que: a f () + a f () + a f () + a f () + a 5 f 5 () seja a função constante nula, onde a, a, a, a, a 5,. Definindo F ae a sen a cos a sen a e 5 Deseja-se calcular a, a, a, a, a5 para que F() seja identicamente nula. Denotando por F (i) a i-ésima derivada de F, temos sen cos 6 sen 5 sen 0 F ae a a a a e 5 F F a (Identicamente nula) a 0 sen cos sen sen cos 5, com a 0 F ae a a a a e F ae a a a e 5 sen cos 5 F ae a a a e F F 0 a sen acos 0 a a 0 0. F a a a a a5 F F 0ae a e 0a a 0 5 5 0 0 Questão 0 Seja Z um número compleo tal que Z Zi compleo Z. possui argumento igual a / e log Z Z. Determine o número Seja a Z cos b Z abi Z cis tg I b Z sen a Logo, tem-se Z abi Z cis. Do enunciado, Z Z log Z Z 9 abi abi 9 a 8 a Z Zcis Seja W W cis cis Zi Zciscis
Do enunciado: 5 5 argw 8 8 tg Tem-se que tg tg 8 8 tg 8 tg tg 0 8 8 8 tg. Como tg 0tg 8 8 8 Tem-se tgtg cotg 8 8 Em I, tem-se batg b cotg 8 Portanto, Z i Mostre que os números 6, e 8 podem pertencer a uma PG e obtenha a quantidade de termos dessa PG, sabendo que seus elementos são números naturais. Questão 05 Seja uma PG com razão q, cujos elementos são números naturais. Provemos que 6, e 8 podem ser termos de uma PG desse tipo. Da teoria de PG, tem-se: a a 8 I. 8 6 q q 6 b b II. 6 q q 6 c c 8 III. 8 q q Dessa forma, pode-se afirmar que q, com a =, b = e c =. Vejamos se há termos menores que 6 nessa PG: 6 6 6 é o º termo da PG a 6 q Encontremos os outros termos dessa PG: a 6 a 6q 6 a 6q 6 a 6q 6 5 a5 6q 5 8 5 a6 6q 8 a6 Essa PG só tem 5 termos Logo, a PG é (6,, 6, 5, 8).
Questão 06 Seja o polinômio q() = 8 + 6 + 0 + 5 + k que possui valor mínimo igual a 6, onde k é uma constante real. Determine as raízes de q(). ª Solução Analisando a derivada de q() é possível verificar os pontos onde ocorrem os máimos e mínimos q ( ) 8 6 05 k q '( ) 0 Por pesquisa de raízes percebemos que é raiz, ou seja, q '( ) 0. Desta forma podemos reduzir o grau da equação simplificada de q (): 6 0 7 0 7 0 0 6 00, através de Briot-Ruffini: As outras raízes são dadas por: 7 7 ()(0) 7 5 Testando os valores no polinômio original, temos: q( ) ( ) 8( ) 6( ) 0( ) 5 K 0 k q() () 8() 6() 0() 5 K 8k q(5) (5) 8(5) 6(5) 0(5) 5 K 0 k Desta forma q() atinge o mínimo em e 5 Logo: 0k 6 k 6 q() é portanto: 8 6 0 9 0 Por pesquisa de raízes temos que e são raízes e podemos escrever q() da seguinte forma: Dividindo q() por q a b c a b c ( ) ( )( )( ) ( )( ), temos: 8 6 0 9 0 9 6 5 9 5 9 0 As raízes são: ( ) ()( ) 7 ' 7 '' 7 As raízes de q() são, portanto: 7,,, 7 ª Solução q k ( ) 8 6 0 5 5 q k 5 0 q k Como o mínimo de q ( ) é 6, k 6 5 8 q q 5 8 5 8 q q 0 7 As raízes de q() são, portanto: 7,,, 7 5
Questão 07 Determine todas as soluções da equação no intervalo,. sen (7 ) cos( ) sen(9 ) 8 sen ( ) 5cos( ) sen(5 ) sen (7 )cos( ) sen(9 ) 8 sen ( ) 5cos( ) sen(5 ),, sen (7 )cos( ) sen(9 ) 5cos( ) sen(5 ) (8 sen ) 0 sen (7 )cos( ) sen(9 ) sen(5 ) 5cos( ) ( sen ) 0 cos( ) sen (7 )cos( ) sen(9 ) sen(5 ) 5cos( ) cos( ) 0 95 95 sen (7 ) cos( ) sen cos cos( ) 0 sen (7 ) cos( ) sen(7 ) cos( ) cos( ) 0 cos( ) sen (7 ) sen(7 ) 0 cos( ) sen(7 ) 0 cos( ) 0 ou sen(7 ) 0 sen(7 ) Para : cos( ) 0 k k k k Como, : k 6k 8 5k 7 5 7 k k 7 Logo, 67 7 7 79 8 S,,,, ou Para : sen(7 ) 0 sen(7 ) 7 k 6 k Como, : k 6 k 8 6 k 85 6 85 k k 6 e k 7 7 8 Logo, ou ou Para : sen(7 ) 0 sen(7 ) 7 7 k 6 k 7 Como, : k 7 6 k7 8 56 k 77 77 k k 5 e k 6 67 79 Logo, ou 6
Questão 08 A reta r é normal à cônica C, de equação 9 y 5 = 6, no ponto A, e intercepta o eio das abscissas no ponto B. Sabendo que F é o foco da cônica C mais próimo ao ponto A. determine a área do triângulo ABF. A figura ilustra a cônica e os demais pontos. y A r F B dy 9 Derivando implicitamente a equação da cônica, tem-se que. Com isso, o coeficiente angular da reta normal à cônica no d y ya 5 5 ya 0 ponto A, que é a reta r, é tal que mr, ou ainda, m r. Sendo B ( B,0), tem-se que 9 9 9, o que implica A 9 B, considerando que F = (c, 0), tem-se que c = + 9, ou ainda c. Desse modo, F. Com isso, sendo S ( B F) ya S 9 5. 6 a área do triângulo ABF, A B Uma corda CD corta o diâmetro AB de um círculo de raio R no ponto E. Sabendo que o ângulo ABC 0º e que EC R, calcule a medida do segmento ED. Questão 09 C R R A 0 R O E y D B Seja O o centro da circunferência de diâmetro AB R. Dado que EC R e ABC 0º, tem-se que o ponto E deve estar entre O e B, conforme a figura, pois EC R R OC. Caso contrário, teríamos EC R. Dado que AB é diâmetro ABC é retângulo em C. Desta forma, BC ABcos0R R. 7
Seja EB y AE R y. No BEC, tem-se: Lei dos cossenos EC EB BC EB BC cos0º ( R ) y ( R ) yr R y R Ry y RyR 0 9R R 5R 5 y R R Descartando a solução, pois y < R: 5 y R EB 5 5 AE R y R R Dadas as cordas AB e CD, tem-se a seguinte Potência de Ponto: AEEB ECED 5 5 R R R ED 5 55 ED R 5 ED R 0 5 ED R R Questão 0 Um cubo com diagonal principal AG é interceptado pelo plano α, perpendicular à AG, formando uma seção heagonal regular. Calcule, em função da aresta a do cubo: a) o apótema dessa seção heagonal; b) o raio da esfera que é tangente a essa seção e às faces do cubo que contém o vértice A. a) Observe a figura. F A H E O I D B C O G 8
Os vértices da secção devem ser os pontos médios das respectivas arestas a que pertencem. O ponto O é o centro do heágono e do cubo, o ponto O é a projeção de O sobre a face inferior do cubo e B é o ponto médio de CD. Com isso, a a OO ' e O ' B. a a 6 Assim, OB, o que implica OB a. Portanto, o apótema da secção é a 6. b) Observe a figura. F A H J J O I Na figura, D JO JJ' R, sendo R o raio da esfera. Sabe-se que a a 6 AOB, AB, o que implica a 6 a OB AB que, ou ainda. R AO R R a R Disso, conclui-se que R a. B C AB a G AO a. Com isso, já que 6 OB a, no. Com a semelhança dos triângulos AOB e AJ J, observa-se 9
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Matemática Anderson Ney Rodolfo Salviano Colaborador Cirillo Sales Digitação e Diagramação Márcia Santana Pollyanna Chagas Revisor Celso Faria Desenhista Rodrigo Ramos Projeto Gráfico Vinicius Ribeiro Supervisão Editorial Aline Alkmin Copyright Olimpo08 A Resolução Comentada das provas do IME poderá ser obtida diretamente no site do GRUPO OLIMPO. As escolhas que você fez nesta prova, assim como outras escolhas na vida, dependem de conhecimentos, competências, conhecimentos e habilidades específicos. Esteja preparado. www.grupoolimpo.com.br