Controle de Sitema Etabilidade Renato Dourado Maia Univeridade Etadual de Monte Claro Engenharia de Sitema
Etabilidade: Uma Idéia Intuitiva... Etável... Neutro... Intável... 2/5
Etabilidade Ma o que é um itema etável? 3/5
Etabilidade Um itema é etável e, para qualquer entrada limitada, a ua aída é também limitada. BIBO Bounded Input, Bounded Output Ponte obre o defiladeiro de Tacoma: Em 7 de novembro de 940, aproximadamente à hora, a ponte obre o defiladeiro de Tacoma começa a entrar em colapo, em função de vibraçõe gerada por vento, que não eram forte... A ponte havia ido aberta para o tráfego há apena algun mee... Vejamo um vídeo... 4/5
Ponte Sobre o Defiladeiro de Tacoma Obervem a torção da ponte... 5/5
Ponte Sobre o Defiladeiro de Tacoma O lado direito etá 8,5 metro acima do equerdo! 6/5
Ponte Sobre o Defiladeiro de Tacoma O concreto começa a cair... 7/5
Ponte Sobre o Defiladeiro de Tacoma Um carro! Seção de pavimento de concreto de 7,6 m!!! O concreto cai de vez... 8/5
Etabilidade O conceito de etabilidade é muito importante no projeto de itema de controle realimentado: no contexto em que etamo, deejaremo empre projetar controladore que reultem em itema etávei. Alguém tem dúvida do porquê dio? 9/5
Etabilidade Genericamente, pode-e dizer que um itema de controle é etável ou não: ee é o conceito de etabilidade aboluta. Dado um itema em malha fechada etável, grau de etabilidade poderiam er a ele atribuído: ee é o conceito de etabilidade relativa. 0/5
Etabilidade Como já vito: Polo no emiplano equerdo reultam em repota decrecente e, no emiplano direito, em repota crecente; polo no eixo imaginário reultam em repota neutra. /5
Etabilidade Etável Neutro Intável Relação da Localização do Pólo com a Etabilidade 2/5
Etabilidade Já abemo, então, que a condição neceária e uficiente para que um itema linear eja etável é: Todo o polo devem etar no emiplano equerdo, ou eja, devem pouir parte real negativa. 3/5
Etabilidade Sitema etável Plano Pólo do itema a malha fechada etávei (fora de ecala) Tempo () Sitema intável Plano Pólo do itema a malha fechada intávei (fora de ecala) Tempo () 4/5
Etabilidade No cao particular de a equação caracterítica pouir raíze não-múltipla no eixo imaginário, com toda a demai raíze no emiplano equerdo, o itema exibirá ocilaçõe utentada, ou eja, erá não-amortecido, a meno que a entrada eja um inal enoidal, que é limitado, cuja frequência eja exatamente igual à raiz obre o eixo jω, cao em que a aída é ilimitada. Tal itema é dito marginalmente etável. 5/5
Etabilidade Pergunta: Como, então, determinar e um itema é etável? Uma maneira poível é achar o polo e verificar ua parte reai... Ma ee método não é intereante, e entenderemo depoi o porquê dea afirmação... 6/5
Etabilidade Vário método foram deenvolvido para aber e um itema é etável ou não, em determinar a raíze de ua equação caracterítica, detacando-e trê formulaçõe: Método no plano S Critério de Routh-Hurwitz. Análie no domínio da frequência. Análie temporal. 7/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz É um método que fornece uma repota direta, do tipo im ou não, obre a quetão de etabilidade de itema lineare... O critério de Routh-Hurwitz etabelece condiçõe neceária e uficiente para que um itema eja etável. A aplicação do critério é baeada na organização do coeficiente da equação caracterítica na forma de um arranjo/tabela. 8/5
Controle de Sitema Renato Dourado Maia Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Arranjo/tabela para aplicação do Critério de Routh-Hurwitz: 2 3 0 n n n n n n n n n a a b c d 2 3 3 3 n n n n a a b c 4 5 5 5 n n n n a a b c 2 2 0 () n n n n n n a a a a a = + + + + + 29/0/204 9/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Cálculo do coeficiente do arranjo: b n ( a )( a ) a ( a ) an an a a a a n n 3 n n 3 = = n n 2 n n 3 b n 3 = a n n 4 n a a a a n n 5 c n = b n n 3 n a b a b n n 3 20/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz R () N () Y() a + a + a + a+ a 4 3 2 4 3 2 0 2/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz 22/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz R () E () 000 ( + 2)( + 3)( + 5) Y() R () 000 + 0 + 3 + 030 3 2 Y() 23/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Y() 24/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Pelo critério de Routh-Hurwitz, o número de raíze com parte reai poitiva, ito é, localizada no emiplano direito do plano S, é igual ao número de mudança de inal do elemento da primeira coluna do arranjo de Routh. Aim, a condição neceária e uficiente para que o itema eja etável é que todo o elemento da primeira coluna tenham o memo inal. 25/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Quatro configuraçõe devem er coniderada:. Nenhum elemento da primeira coluna é zero. 2. Há um zero na primeira coluna, ma há elemento na linha que não ão nulo. 3. Há um zero na primeira coluna, e todo o elemento da linha ão nulo. 4. Idêntico ao 3, com raíze múltipla no eixo imaginário. 26/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração nenhum elemento da primeira coluna é zero. Exemplo Sitema de Segunda Ordem () = a + a+ a 2 2 0 2 0 a a b 2 a 0 0 0 b = ( a )( a ) a (0) 0 2 a Um itema de egunda ordem é etável e todo o coeficiente da EC ão poitivo, ou e todo ão negativo... 27/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração nenhum elemento da primeira coluna é zero. 3 2 () = a + a + a+ a 3 a a Exemplo Sitema de Terceira Ordem: 2 a b c 3 2 0 a 0 0 0 b = aa aa a 2 0 3 2 3 2 0 0 c = = b Para que um itema de terceira ordem eja etável, todo o coeficiente devem er poitivo e aa 2 > aa 0 3. Cao aa 2 = aa 0 3, o itema terá um par de raíze no eixo imaginário (configuração 3), o que reulta em etabilidade marginal. ba a 0 28/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração 2 há um zero na primeira coluna, ma há elemento na linha que não ão nulo. Nee cao, o zero é ubtituído por um parâmetro ε, de valor poitivo (ou negativo) deprezível, e que é a- proximado para zero depoi de montado o arranjo de Routh. 29/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Exemplo: = + + + + + 5 4 3 2 ( ) 2 2 4 0 5 4 3 2 ε 2 4 6 0 0 c 4ε 2 2 = = ε ε 2 0 c d 0 0 0 0 0 0 0 d 6c 0ε c = = 6 Como há dua troca de inal na primeira coluna, há dua raíze com parte real negativa, e o itema é intável... 30/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração 3 há um zero na primeira coluna e todo o elemento na linha em que aparece o zero ão também nulo. Ea configuração ocorre quando aparecem fatore do tipo ( + σ)( σ) ou ( + jω)( jω) aparecem na equação caracterítica. Ee problema é contornado por meio da utilização de um polinômio auxiliar, P (), que é a equação de uma linha que precede a linha de zero. A ordem do polinômio auxiliar é empre par e indica o número de pare de raíze imétrica. 3/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Plano Quando o polinômio original poui raíze imétrica em relação à origem, urge uma linha de zero durante a contrução do arranjo. A: Reai e imétrica em relação à origem B: Imaginária e imétrica em relação à origem C: Quadrantai e imétrica em relação à origem 32/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Exemplo: 3 2 () 2 4 = + + + K 3 4 2 0 2 b K K 0 0 b = 8 K 2 Para er etável: 0< K < 8 Com K = 8, tem-e uma linha com apena zero, implicando em etabilidade marginal (dua raíze no eixo imaginário). O polinômio auxiliar nee cao é dado por: P 2 2 2 ( ) = 2 + K = 2 + 8 = 2( + 4) = 2( + 2 j)( 2 j) 33/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração 3 Para continuar a contrução do arranjo, deve-e ubtituir a linha de zero pela derivada do polinômio auxiliar P () e eguir com o procedimento normalmente... 34/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz T() = 0 + 7 + 6 + 42 + 8 + 56 5 4 3 2 Etável! 35/5
Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração 4 há raíze múltipla no eixo i- maginário. t[ en( ωt + θ)] Nee cao, a repota do itema é e, portanto, ele é intável. O critério de Routh-Hurwitz não é capaz de revelar ea forma de intabilidade. 36/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = 0 + 2 + 3 + 6 + 5+ 3 5 4 3 2 Rótulo Primeira coluna Intável! 37/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) Para o exemplo do lide anterior, há uma aborda-gem alternativa, baeada na propriedade de polinômio com raíze recíproca, que é ecrever o denominador com o coeficiente na ordem invera: T() = 0 + 2 + 3 + 6 + 5+ 3 5 4 3 2 T () = 0 3 + 5 + 6 + 3 + 2+ 2 5 4 3 2 38/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) 2 Pólo de T () Pólo de T 2 ().5 0.8 0.6 0.4 Eixo Imaginário 0.5 0-0.5 Eixo Imaginário 0.2 0-0.2 - -0.4-0.6 -.5-0.8-2 -2 -.5 - -0.5 0 0.5 Eixo Real - -0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0. 0 0. 0.2 Eixo Real Para polinômio com raíze recíproca, a ditribuição da raíze no plano S e mantém... 39/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T () = 0 3 + 5 + 6 + 3 + 2+ 2 5 4 3 2 40/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = 20 + + 2 + 22 + 39 + 59 + 48 + 38 + 20 8 7 6 5 4 3 2 4/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = 20 + + 2 + 22 + 39 + 59 + 48 + 38 + 20 8 7 6 5 4 3 2 Par (quarta ordem) pd pe Reto (quarta ordem) pd pe Total (oitava ordem) pd pe Nota: pd = emiplano da direita; pe = emiplano da equerda 42/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) R () E () 200 3 2 ( + 6 + + 6) Y() 43/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = 200 + 6 + + 6 + 200 4 3 2 44/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) R () E () 4 3 2 (2 + 3 + 2 + 3 + 2) Y() 45/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = + + + + + 5 4 3 2 2 3 2 3 2 Coeficiente na ordem invera 46/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) R () E () 28 7 6 5 4 3 2 ( + 3 + 0 + 24 + 48 + 96 + 28 + 92) Y() 47/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = 28 + 3 + 0 + 24 + 48 + 96 + 28 + 92 + 28 8 7 6 5 4 3 2 48/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = 28 + 3 + 0 + 24 + 48 + 96 + 28 + 92 + 28 8 7 6 5 4 3 2 Par (exta ordem) Reto (egunda ordem) Total (oitava ordem) pd pe pd pe pd pe Nota: pd = emiplano da direita; pe = emiplano da equerda 49/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) Determinar a faixa de valore de K para a qual o itema a eguir é etável: R () E () K Y() ( + 7)( + ) 50/5
Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = K + 8 + 77 + 3 2 K K K K K < 386 5/5