rogramação Linear Fernando Nogeira rogramação Linear
Eemplo Típico Uma padaria prodz olos I e II sendo qe cada olo consome m certa qantidade de açúcar farinha e ovo para ser prodzido conforme a taela: Bolo Açúcar (kg) Farinha (kg) Ovo (n) I II O estoqe disponível dos ingredientes é: Ingrediente Açúcar Farinha Ovo Estoqe 6 kg kg 8 n O lcro otido por cada olo I é $ e por cada olo II é $. Qanto prodzir de cada olo com o estoqe de ingredientes disponível a fim de oter o maior lcro possível? Fernando Nogeira rogramação Linear
Eemplo Típico Uma indstria prodz prodtos I e II sendo qe cada prodto consome m certo número de horas em máqinas A B e C para ser prodzido conforme a taela: rodto Tempo Máqina A Tempo Máqina B Tempo Máqina C I II O tempo de fncionamento máimo disponível das máqinas é: Máqina Máimo tempo disponível A 6 B C 8 O lcro otido por cada prodto I é $ e por cada prodto II é $. Qanto faricar de cada prodto de modo qe seja oedecida a capacidade operativa das máqinas com o maior lcro possível? Fernando Nogeira rogramação Linear
Eemplo Típico Uma empresa aérea possi tipos de aeronaves I e II sendo qe cada aeronave tiliza ma certa qantidade de pilotos engenheiros de vôo e comissários para operar conforme a taela: Aeronave ilotos Engenheiros de vôo Comissários I II A empresa possi a seginte disponiilidade de fncionários: Fncionário Disponiilidade iloto 6 Engenheiro de vôo Comissário 8 O lcro otido por cada aeronave I é $ e por cada aeronave II é $. Qantas aeronaves de cada tipo devem tilizadas de modo qe seja oedecida a disponiilidade de fncionários a fim de oter o maior lcro possível? Fernando Nogeira rogramação Linear
Eemplos e são diferentes porém a formlação para os prolemas é eatamente a mesma! rogramação Linear modela ma enorme qantidade de prolemas. Eistem algoritmos para rogramação Linear qe garantem a otenção da solção ótima com crto tempo de processamento. Nome rogramação Linear rogramação vem da rogramação de Atividades (militares) Linear vem da formlação qe se otém (modelo é linear) Fernando Nogeira rogramação Linear
Modelagem Matemática a qantidade do prodto I a ser faricada a qantidade do prodto II a ser faricada Fnção Ojetivo ( ) Z. Ma lcro Restrições 6 8 Máqina A Máqina B Máqina C rod. não negativa Em notação matricial Fnção Ojetivo Z c Restrições A Z [. ].. 6 8 Fernando Nogeira rogramação Linear 6
Eemplo Atípico O sistema estrtral aaio é composto por arras rígidas e caos. Qal o máimo carregamento permitido nos pontos e considerando as resistências admissíveis nos caos e as dimensões das arras? Fernando Nogeira rogramação Linear 7
Fernando Nogeira rogramação Linear 8 Z Ma
Fernando Nogeira rogramação Linear 9 Z Ma 7 7 7 Solção
Otro Eemplo (Típico) Em condições normais ma fárica pode prodzir nidades de m prodto em cada de qatro períodos com cstos qe variam de período para período de acordo com a taela aaio. Unidades adicionais podem ser prodzidas em períodos etras. A capacidade máima e os cstos de prodção em períodos etras são mostrados tamém na taela aaio jnto com a previsão de demanda para os prodtos em cada dos qatros períodos. eríodo Demanda (nidades) Csto prodção normal Capacidade máima de prodção em períodos etras Csto de prodção em períodos etras 6 6 8 8 6 6 8 7 9 9 6
É possível armazenar até 7 nidades em estoqe a partir de m período para o próimo com m csto de R$ por nidade por período. Eistem nidades em estoqe no período. Formle este prolema como m prolema de programação linear para minimizar o csto total envolvido na prodção de tal forma qe a demanda seja atendida. ( ) 6 8 9 8 6 e e e e y y y y Z Min 7 6 7 6 6 9 8 i i i i d y e e e e e y y y y e y e e y e e y e y e
Interpretação Geométrica A região fechada formada pelas restrições é sempre convea e contém todas as solções possíveis o viáveis: região das restrições. Teorema Fndamental da rogramação Linear Uma vez qe todas as eqações e/o ineqações envolvidas são lineares o valor ótimo da fnção-ojetivo Z só pode ocorrer em m dos vértices da região das restrições. Fernando Nogeira rogramação Linear
O Método Simple (Dantzig 98) Considerações Iniciais O Método Simple é m algoritmo qe sistematiza a solção de prolemas de.l. de maneira eficiente comptacionalmente (não é força-rta). Seja m o número de eqações e/o ineqações de restrição e n o número de variáveis (incógnitas) tem-se: cn n Z m An n m prolemas ocorrem na resolção de )A eistência de desigaldades < o > implica qe a solção é geralmente m conjnto e não única. )A não necessariamente possi inversa geralmente A não é qadrada m n.os: o fato de A ser qadrada não garante a eistência de inversa. ( ) m A n n ( ) George Dantzig (*9 ortland Oregon Estados Unidos ; alo Alto California Estados Unidos). m Fernando Nogeira rogramação Linear
Solção do rolema Transformar as desigaldades em igaldades através da introdção de variáveis de folga (slack variales). Eemplo: 6 6 8 8 com Solção do rolema Tem-se então m sistema com m eqações e (n m) incógnitas: A ( n m ) ( n m ) m Anlar n variáveis. Uma vez qe (n m) é sempre maior qe m sempre tem-se mais incógnitas de qe eqações assim o sistema é sdeterminado infinitas solções. No entanto anlando n variáveis o sistema fica: m A m m m Qais n variáveis deve-se anlar para oter solção ótima??? Fernando Nogeira rogramação Linear m
O Método Reescrevendo a fnção-ojetivo e as ineqações como eqações: Z. 6 8 Deve-se achar ma solção inicial viável qalqer. A maneira mais simples para isto é zerar as variáveis de controle ( ). Com isso as variáveis de folga assmem valores máimos ( 6 e 8). Esta é ma solção viável (nenhma restrição foi violada) porém é a pior possível pois Z. ode-se classificar as variáveis do prolema como: Variáveis Básicas: variáveis qe compõem a solção em cada iteração. Variáveis Não-Básicas: variáveis qe foram anladas. Fernando Nogeira rogramação Linear
artindo de ma solção inicial qalqer o Método Simple verifica se eiste ma otra solção qe seja melhor qe a solção atal. Isto se dá através da análise da fnção-ojetivo:. Z Fazendo Z. as derivadas parciais de Z em relação as variáveis (de controle e de folga) fornecem a taa de crescimento de Z nas direções destas variáveis. Z Z Z Z Z. O fato acima permite dedzir qe enqanto hover variáveis não-ásicas com coeficientes negativos em Z. a solção poderá ser melhorada. Uma vez qe o ojetivo é maimizar Z deve-se escolher dentre as variáveis não-ásicas aqela qe possir maior taa de variação (coeficiente mais negativo) para compor as variáveis ásicas no caso. ara isso algma variável ásica terá qe deiar a ase para compor as variáveis não-ásicas. Qal variável deve deiar a ase o seja mdar do grpo das variáveis ásicas para o grpo das variáveis não-ásicas? Fernando Nogeira rogramação Linear 6
A medida qe (a variável qe era não-ásica e agora é variável ásica) amenta deve-se diminir cada variável ásica corrente correspondente a ma linha na qal tenha coeficiente positivo. Assim qanto pode crescer antes qe ma das variáveis ásicas corrente atinja se limite inferior (não viole nenhm restrição)? Z os: pois. é variável nãoásica ara Com isso concli-se qe qando 6 e portanto poderá ir para o grpo das variáveis não-ásicas. Antes 6 8 ara ara Agora Variáveis ásicas 8 6 Variáveis não-ásicas Fernando Nogeira rogramação Linear 7
Uma vez qe entro na ase e sai da ase faz-se necessário então alterar os valores dos coeficientes do sistema de eqações de maneira eqivalente. Este processo é otido através do Método de Gass-Jordan (tiliza operações elementares à matriz amentada de m sistema até alcançar a forma escalonada redzida). Eemplo de forma escalonada redzida: taela simple
João compro ananas e laranjas e gasto R$. Maria compro anana e laranjas e gasto R$8. Qal o preço de ma anana () e de ma laranja (y)? O sistema linear aaio modela esse prolema: João) Maria) y y 8 Operações elementares Solção y ) Mltiplicar ma linha por m escalar diferente de zero João) Maria) ( ) y ( ) 8y Solção y ) Sstitir ma linha pela sa soma com m múltiplo de otra linha João) João Maria) y y Solção y Os sistemas são diferentes mas a solção é a mesma! Fernando Nogeira rogramação Linear 9
Retomando o prolema ao ponto inicial pode-se montar a seginte taela (Taela Simple):. Se o vetor [.] t (correspondente a colna de ) transformar-se no vetor [ ] t (correspondente a colna de ) estará pertencendo a ase e sairá da ase. ara realizar o Método de Gass-Jordan é necessário escolher o elemento pivô o qal é otido pela interseção da colna pivô com a linha pivô. 6 8 } } Restrições fnção-ojetivo Fernando Nogeira rogramação Linear
A colna pivô é a colna correspondente à variável qe vai entrar na ase ( no caso) e a linha pivô é a linha na qal a interseção com a colna correspondente à variável qe vai sair da ase é igal a (no caso a interseção da linha com a colna correspondente a ). Realizando o Método de Gass-Jordan a Taela Simple fica: Esta taela refere-se ao seginte sistema: Z Fernando Nogeira rogramação Linear 6 6 9 } } 9 6 6 Restrições fnção-ojetivo fnção-ojetivo } } Restrições
A Taela Simple anterior fornece a seginte solção: 6 6 e Z 9. Uma vez qe é ma variável não-ásica e possi coeficiente negativo esta deverá entrar ase e conseqüentemente deverá sair da ase. Com esta alteração a Taela Simple após o Método de Gass-Jordan fica: qe corresponde ao seginte sistema: Z Fernando Nogeira rogramação Linear } } Restrições fnção-ojetivo } fnção-ojetivo } Restrições
A Taela Simple anterior fornece a seginte solção: e Z. Uma vez qe não eiste variáveis não-ásicas com coeficiente negativo a solção não poderá mais ser melhorada portanto está solção é ótima. Conclsão Em.L. eiste maneiras de cominar n variáveis igais a zero. No eemplo n e m qe reslta em solções possíveis o qe implica qe seria necessário resolver sistemas de eqações (forçarta). No entanto o Método Simple resolve apenas sistemas de eqações (neste caso) e alcanço a solção ótima. os: y y!! ( n m) m ( y )! cominação Fernando Nogeira rogramação Linear
Solção de m Modelo Geral de.l. pelo Método Simple Até o momento Fnção-Ojetivo deve ser maimizada } Variáveis de controle não negativa Apresentam ma solção ásica inicial Qando ma o mais dessas características não são satisfeitas faz-se necessário determinar ma forma eqivalente mdar o modelo e não o algoritmo..minimização Se a fnção-ojetivo é de minimização deve-se mltiplica-lá por. Min Z Ma Z os: restrições não são alteradas. Simple eige essas características Fernando Nogeira rogramação Linear
.Variável Livre o Negativa Sstitir a variável livre pela diferença de otras não-negativas. Sstitir a variável negativa por ma otra positiva com coeficiente -. Ma Z livre Fazendo 6 negativa Ma Z 6 6 6.Solção Básica Inicial Se a restrição é do tipo faz-se necessário acrescentar ma variável de folga negativa. com Se a restrição é do tipo já tem-se m eqação e portanto não é preciso acrescentar variável de folga. No entanto qando estes casos ocorrem não é formada ma smatriz identidade atomaticamente e portanto não origina ma solção ásica inicial. Eemplo: Fernando Nogeira rogramação Linear
Fernando Nogeira rogramação Linear 6 6 Z Ma 6 Z 6 } } Restrições fnção-ojetivo A Taela Simple fica: Nota-se na Taela Simple qe não eiste ma s-matriz identidade. Neste caso acrescenta-se Variáveis Artificiais (Ailiares) nas linhas cjas as restrições são do tipo o. O sistema fica:
Fernando Nogeira rogramação Linear 7 a a com 6 a a a a a a a a Z A Taela Simple fica: 6 a a } } Restrições fnção-ojetivo Agora tem-se ma s-matriz identidade porém a e a 6. O retorno ao modelo original deve ser feito com a eliminação das Variáveis Artificiais. Isto é realizado através do Método do M Grande o do Método da Fnção-Ojetivo Ailiar.
Método da Fnção-Ojetivo Ailiar Este método consiste em tilizar ma fnção-ojetivo ailiar W(a a...a r ) formada pela soma das r Variáveis Artificiais W(a a...a r ) a a... a r. Uma vez qe as Variáveis Artificiais podem ser escritas em fnção das Variáveis de Controle e de Folga pode-se sempre minimizar W(a a...a r ) até W(a a...a r ) o qe corresponde a a a... a r fazendo então as Variáveis Artificiais pertencerem ao grpo das Variáveis Não-Básicas. Com isso otém-se ma solção viável para o prolema podendo-se então aandonar a Fnção-Ojetivo Ailiar e as Variáveis Artificiais. Eemplo: Ma Z Z a a 6 Fnção-Ojetivo Ailiar W(a a ) a a com a a Fernando Nogeira rogramação Linear 8 Dá o restrição a a a a a a Dá o restrição a 6 a 6
Fernando Nogeira rogramação Linear 9 Sstitindo a e a em W(a a ) fica: Min W(a a ) Ma W(a a ) 8 qe na forma de eqação é W(a a ) 8 A Taela Simple fica: 8 6 a a } } Restrições fnção-ojetivo } fnção-ojetivo ailiar Após iterações (neste eemplo) do Método Simple a Taela Simple fica: 6 6 a a } } } Restrições fnção-ojetivo fnção-ojetivo ailiar
Fernando Nogeira rogramação Linear A Taela Simple agora apresenta ma solção cja as Variáveis Artificiais são Variáveis Não-Básicas (portanto igais a zero) e podem então ser desprezadas e o Método Simple pode continar sendo tilizado a fim de encontrar a solção ótima. Considerações Finais.rolema de Degeneração A saída de ma V.B. com valor nlo provoca o aparecimento de ma otra V.B. nla na próima solção sem alteração do valor da Fnção-Ojetivo. Neste caso a solção é denominada degenerada indicando qe eiste no mínimo ma restrição redndante. Se os coeficientes da Fnção-Ojetivo retornam não negativos em algma iteração o caso não apresenta dificldade. O prolema srge qando as iterações levam a circitos sem caracterizar a solção ótima. Neste caso faz-se necessário tilizar regras mais compleas as qais não serão aordadas neste crso. Tal prolema é astante raro em aplicações práticas. Eemplo em qe a degeneração não acarreto em circito: 8 9 Z Ma 9 8 8 9 8 iteração iteração
Fernando Nogeira rogramação Linear Eemplo em qe a degeneração ocorre temporariamente: 8 8 Z Ma 8 8 6 6 8 8 8 8 7 8 8 8 8 iteração iteração iteração
Fernando Nogeira rogramação Linear Eemplo em qe a degeneração acarreto em circito: 9 9 Z Ma 9 9 6 9 9 9 9 6 9 9 9 9 6 9 9 9 9 iteração iteração iteração iteração iteração 6 iteração
.Solção Ilimitada Ocorre qando a variável qe entra na ase não possi em sa colna nenhm coeficiente positivo não sendo portanto possível determinar a linha pivô. Eemplo: Ma.Solções Múltiplas Z Se na solção ótima o coeficiente de m V.N.B. é zero esta variável poderá entrar na ase sem alterar o valor da fnção ojetivo gerando otra solção ótima. Neste caso qalqer cominação linear dessas solções tamém será ótima. Eemplo: Ma Z Fernando Nogeira rogramação Linear
Fernando Nogeira rogramação Linear.Solções Inviável Se o prolema de.l. não possir nenhma solção viável então o Método da Fnção- Ojetivo Ailiar (o do M Grande) irá fornecer na solção final no mínimo ma variável artificial com valor diferente de zero caso contrário todas variáveis artificiais serão nlas. Eemplo: Z Ma
Fernando Nogeira rogramação Linear.Lado Direito das Restrições Negativas Solção Inicial: - e - Inviável pois e são negativos. Sempre qe hover restrições cjo lado direito são negativos deve-se mltiplicar amos os lados destas restrições por. Solção Inicial: a a Viável. a a a a a a