Topoloxía Xeral. Apuntamentos. Prof. Xosé M. Masa Vázquez. Catedrático de Xeometría e Topoloxía. Curso

Transcrição

1 Grao en Matemáticas G Topoloxía Xeral Apuntamentos Prof. Xosé M. Masa Vázquez Catedrático de Xeometría e Topoloxía DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA

2 Datos descritivos da materia CÓDIGO: G Materia obrigatoria de terceiro curso do Grao en Matemáticas, primeiro cuadrimestre, de 4,5 créditos. Os principais prerrequisitos estúdanse na materia de Topoloxía dos Espazos Euclidianos, do primeiro curso. Precísanse, tamén, en xeral, a madurez e cultura matemática que se supón, pasado xa o ecuador dos estudos de Grao.

3 Índice xeral 1. Espazos topolóxicos Definición de topoloxía Base dunha topoloxía Veciñanzas e base local Interior, adherencia, fronteira Comparación de topoloxías Apéndice: Xeración de topoloxías Exercicios Continuidade Funcións continuas Topoloxía relativa: subespazos Homeomorfismos e propiedades topolóxicas Exercicios Espazos métricos O espazo euclidiano Métrica e espazo métrico Topoloxía asociada a unha métrica Isometrías Outros exemplos de métricas Execicios Metrizabilidade e numerabilidade Metrizabilidade e axioma de separación de Hausdorff Primeiro enumerabilidade e converxencia Converxencia en espazos métricos. Compleción Segundo enumerabilidade e espazos separábeis Teorema de Baire Execicios Espazos vectoriais normados Norma nun espazo vectorial Continuidade das aplicacións lineares O espazo de Banach C(I, R) O espazo de Hilbert Exercicios

4 4 ÍNDICE XERAL 6. Espazos suma e produto Topoloxías inducidas Suma topolóxica Produto topolóxico Apéndice: Produtos infinitos Exercicios Espazos cociente Relacións de equivalencia Espazos cociente Apéndice: Acción de grupos e espazos homoxéneos Exercicios Espazos normais O problema de extensión. Retractos Espazos normais Lema de Urysohn Teorema de extensión de Tietze Teorema de metrizabilidade de Urysohn Exercicios Índice de notacións 123 Índice alfabético 128 Bibliografía 129

5 Capítulo 1 Espazos topolóxicos Felix Hausdorff ( ) ensinou nas universidades de Leipzig e de Bonn. Comezou traballando en astronomía e óptica, aínda que o seu principal interese sempre foi a literatura e a filosofía, escribindo algúns libros de filosofía e de poemas. En 1904 comezou a traballar en topoloxía e teoría de conxuntos. Introducíu o concepto de conxunto parcialmente ordenado. A el se debe a definición axiomática moderna de espazo topolóxico, que formulou nun libro famoso sobre teoría de conxuntos e topoloxia, Grundzüge der Mengenlehre, publicado en A persecución nazi levouno á morte, a el e á súa familia. Ao estudarmos a topoloxía dos espazos euclidianos definiamos conceptos coma continuidade, límite, converxencia de sucesións, compacidade, conexidade,... Son conceptos que xa se utilizaron en Análise, que se utilizarán tamén en Xeometría, en Teoría de Probabilidades,... en case toda teoría matemática. Para a súa definición partíase da noción de distancia. Pero estes conceptos son de natureza máis abstracta, non precisan dunha forma de medir. A noción que vai configurar o novo marco requirido é a de espazo topolóxico. O estudo sistemático da Topoloxía con esta consideración abstracta comeza moi a finais do século XIX, motivado polos traballos de Riemann sobre as funcións alxébricas e as súas integrais, por unha parte, e as súas reflexións sobre os fundamentos da xeometría, por outra. Ao seu desenvolvemento contribuíu decisivamente a Teoría de Conxuntos, creada por Cantor. Nocións como a de punto de acumulación, conxunto aberto ou pechado,... débense a el. Nos primeiros tempos, a estrutura topolóxica viña determinada a partir do concepto de converxencia. Tal como se formulaba, limitada á converxencia de sucesións, resultaba insuficiente para caracterizar todos os espazos que aparecían na teoría. Tras diversas propostas, chegouse á definición axiomática moderna de espazo topolóxico, que se recolle na definición a seguir.

6 6 Espazos topolóxicos 1.1. Definición de topoloxía O modelo para definir topoloxía e, por conseguinte, espazo topolóxico, vai ser a estrutura de conxuntos abertos do espazo euclidiano Deciamos que un subconxunto U de R n é aberto se para cada punto x U existe unha bóla de centro x completamente contida en U. Dedúcese facilmente que R n é aberto; que o conxunto baleiro,, tamén; que a unión de conxuntos abertos é un conxunto aberto; e que o mesmo é certo para interseccións finitas. 1.1 Definición Unha topoloxía τ nun conxunto X é unha colección de partes de X que verifica os catro axiomas seguintes: τ1 O conxunto total X pertence a τ. τ2 O conxunto baleiro pertence a τ. τ3 Se U λ τ, con λ Λ, entón a súa unión tamén pertence a τ. τ4 Se U e V pertencen a τ, U V tamén. λ Λ Dada unha topoloxía τ nun conxunto X, o duplo (X, τ) chámase espazo topolóxico. Os conxuntos da topoloxía chámanse conxuntos abertos. U λ Con frecuencia, ao falarmos dun espazo topolóxico escribiremos espazo topolóxico X, e soamente escribiremos (X, τ) cando por traballarmos con varias topoloxías a súa omisión poida inducir a erro. 1.2 Topoloxía usual. Sendo o modelo do que partimos, os conxuntos abertos de calquera espazo euclidiano forman unha topoloxía. Denomínase topoloxía usual e denótase τ u. 1.3 Topoloxía discreta e topoloxía trivial. Para calquera conxunto X a familia τ = P(X) de partes de X define a topoloxía discreta. Un espazo coa topoloxía discreta chamarase espazo discreto. A familia τ = {, X} define a topoloxía trivial (ou topoloxía indiscreta). Un espazo coa topoloxía trivial dirase espazo trivial. 1.4 Espazo de Sierpinski. É fácil construír exemplos de topoloxías en conxuntos finitos. O seguinte, tan sinxelo, vai ser interesante. Sexa S = {0, 1}. τ = {S,, {0}} é unha topoloxía en S. Con esta topoloxía S chámase espazo de Sierpinski. Outros exemplos, en X = {a, b, c}: τ = {, X, {a}, {a, b}, {a, c}} é unha topoloxía. Pola contra, a colección {, X, {a}, {a, b}, {b, c}} non é unha topoloxía. 1.5 Recta de Kolmogoroff. En R a colección τ K = {, R} {(a, + ), a R} é unha topoloxía. (R, τ K ) denomínase recta de Kolmogoroff.

7 1.2 Base dunha topoloxía 7 Conxuntos pechados 1.6 Definición Dado un espazo topolóxico (X, τ) chámanse conxuntos pechados a aqueles conxuntos tales que o seu complementar é aberto. 1.7 Teorema Nun espazo topolóxico (X, τ) os conxuntos pechados teñen as seguintes propiedades: F1 O conxunto baleiro é pechado. F2 O espazo total X é pechado. F3 A intersección dunha familia arbitraria de conxuntos pechados é un conxunto pechado. F4 A unión de dous conxuntos pechados é un conxunto pechado. Ademais, dado un conxunto X e unha familia de partes de X que verifique estas catro propiedades, esta familia é a colección de conxuntos pechados para unha topoloxía en X. Proba Cada propiedade dedúcese do correspondente axioma de topoloxía usando as Leis de de Morgan ([13, (1.3)]). Por exemplo, se A e B son pechados, A = X U, B = X V, con U e V abertos, A B = (X U) (X V ) = X (U V ). 1.8 Topoloxía cofinita. Sexa F a colección de subconxuntos de R formada polos conxuntos finitos e o propio R. Verifica as catro propiedades do Teorema 1.7, definindo a chamada topoloxía cofinita, τ co : os conxuntos abertos son o baleiro e aqueles con complementar finito. Pódese definir en calquera conxunto infinito X (se o conxunto fora finito a topoloxía así definida coincidiría coa discreta!). 1.9 Topoloxía cocompacta. Considerade en R a familia formada polos conxuntos compactos coa topoloxía usual e máis a recta toda enteira. Verifica as condicións do Teorema 1.7, polo que determina unha topoloxía en R, na que estes conxuntos son os pechados Base dunha topoloxía Na sección anterior, ademais dos espazos euclidianos, vimos algúns novos espazos topolóxicos. Unha característica común destes novos exemplos era o feito de que a súa topoloxía, a colección de conxuntos abertos, describíase facilmente na súa globalidade: xa foran todos os conxuntos, ou as semirrectas pola dereita en R, ou os complementares dos conxuntos finitos,... Normalmente un espazo topolóxico ten conxuntos abertos moi diversos, e non é doado facer unha descrición directa de todos eles. O que se fai habitualmente é auxiliarse dalgúns conxuntos abertos máis sinxelos, que permitan construír todos os demais. É o papel que xogaban as bólas abertas nos espazos euclidianos. A isto responde o concepto de base dunha topoloxía.

8 8 Espazos topolóxicos 1.10 Definición Chámase base dunha topoloxía a un subconxunto β de τ coa seguinte propiedade: dado U τ e x U, existe un B β tal que x B e B U. Fixada unha base β, os seus elementos chámanse abertos básicos Proposición Sexa β base dunha topoloxía en X. As seguintes condicións son equivalentes: 1. U X é aberto. 2. Para cada punto x de U existe un aberto básico B tal que x B U. 3. O conxunto U escríbese como unión de abertos básicos. Proba Imos probar 1) 2) 3) 1). 1) 2) é a definición de base. 3) 1) porque a unión de abertos é un aberto. Vexamos 2) 3). Para cada x de U, sexa B x un aberto básico tal que x B x U. Como cada B x está contido en U, a unión de todos eles, tamén. Ou sexa, B x U. x U A inclusión no outro sentido tamén se cumpre, pois cada punto x de U está en B x. A condición 2) significa que, en función da base β, a topoloxía é a colección τ = {U X x U B β, x B U} (1.1) A condición 3) significa que a topoloxía é a colección τ = {U X U = λ Λ(U) B λ, B λ β}. (1.2) A proposición establece a equivalencia de ambalas dúas expresións Exemplos A familia {{x}, x X} é unha base para a topoloxía discreta en X. A colección {(p, q) p < q, p, q Q} é unha base para a topoloxía usual en R. Estes son exemplos de bases para topoloxías xa coñecidas. Agora imos establecer un criterio que nos permitirá decidir cando unha colección de subconxuntos dun conxunto X é base dalgunha topoloxía Teorema Dado un conxunto X e unha familia de subconxuntos β, β é base dalgunha topoloxía en X se, e soamente se, se cumpren as dúas condicións seguintes: 1. B β B = X 2. se x B 1 B 2, sendo B 1 e B 2 elementos de β, existe un B 3 β con x B 3 e B 3 B 1 B 2.

9 1.2 Base dunha topoloxía 9 Proba Dende logo as condicións son necesarias, pois X e B 1 B 2 deben ser conxuntos abertos. Vexamos que son suficientes. Se β é base dunha topoloxía τ, a expresión (1.2) afirma que τ é a colección de conxuntos que se poden escribir como unións de conxuntos de β. Todo o que hai que facer é comprobar que esta colección τ verifica os axiomas de topoloxía. O apartado 1) garante que τ1 se cumpre. Para verificar τ2 abonda tomar Λ( ) = en (1.2). Sexa agora {U γ, γ Γ}, con U γ = λ Λ γ B λ, unha familia de conxuntos en τ. Denotemos por Λ a unión dos conxuntos de índices, Λ = γ Γ Λ γ. A unión da colección dada tamén está en τ: U = U γ B λ, γ Γ = ( B λ ) = γ Γ λ Λ γ usando a propiedade asociativa da unión de conxuntos ([13, (1.8)]). Deste xeito compróbase τ 3. Sexan, finalmente, U 1 e U 2 dous conxuntos de τ. Sexa x U 1 U 2. Existen B 1 e B 2 en β tales que x B 1 U 1 e x B 2 U 2. Logo x B 1 B 2 U 1 U 2. Pola condición 2) do enunciado, existe B x en β tal que x B x B 1 B 2, e τ4 verifícase, porque U 1 U 2 resulta ser a unión destes B x Recta de Sorgenfrey. A seguinte colección de subconxuntos de R λ Λ β S = {[x, y) x < y, x, y R} verifica as condicións do Teorema 1.13, logo é base dunha topoloxía τ S en R. (R, τ S ) denomínase recta de Sorgenfrey. Por contra, a colección {[x, y] x < y, x, y R} non é base de ningunha topoloxía: para os conxuntos [x, y] e [y, z] non se verifica a segunda condición do teorema Topoloxía da orde. Sexa X un conxunto totalmente ordenado. Designemos por a e b os elementos mínimo e máximo de X, a = mín X, b = máx X, caso de existiren. Considerando a definición habitual de intervalo nun conxunto ordenado, compróbase sen dificultade que a seguinte colección é base para unha topoloxía en X : β = {[a, x), x a, x X} {(x, y), x < y, x, y X} {(x, b], x b, x X}. Chámase topoloxía da orde. Por exemplo, a topoloxía usual de R é a topoloxía da orde asociada á relación de orde numérica. Un conxunto ordenado provisto da topoloxía da orde denomínase espazo ordenado Plano de Moore. Denotemos por Γ o semiplano superior pechado en R 2, Sexa Γ = {(x, y) y 0}. β = {B 2 ((x, y), r) y > 0, r y} {{(x, 0)} B 2 ((x, y), y) y > 0}. É doado verificar que β é base dunha topoloxía en Γ. O espazo topolóxico resultante denomínase plano de Moore.

10 10 Espazos topolóxicos 1.17 Observación Unha base non serve só para describir ou definir unha topoloxía. Como teremos ocasión de ir vendo, os conceptos que se definen ou caracterizan por medio de conxuntos abertos pódense expresar tamén en termos de abertos básicos, o que resulta máis manexábel (vid., p.e., a Sección 1.4) Veciñanzas e base local Nun espazo topolóxico o concepto de conxunto aberto é local, no sentido de que é unha propiedade que se pode caracterizar punto a punto. Precisaremos isto de contado (Proposición 1.22). Outras moitas propiedades teñen tamén este carácter local (a continuidade, por exemplo), e o seguinte concepto será especialmente útil para o seu estudo Definición Unha veciñanza dun punto x nun espazo topolóxico X é un conxunto V que contén un subconxunto aberto contendo a x. A colección V x de todas as veciñanzas de x chámase sistema de veciñanzas de x. V V x U τ, x U V Exemplos O conxunto (x 1/n, x + 1/n) é unha veciñanza de x en R coa topoloxía usual. Tamén o son os conxuntos [x 1/n, x + 1/n) e [x 1/n, x + 1/n]. Analogamente, [x, y), con y > x, é unha veciñanza de x na recta de Sorgenfrey Observación Na definición non se esixe das veciñanzas seren conxuntos abertos. A razón é técnica, pero nós a penas teremos ocasión de apreciar o seu interese, ao falarmos de compacidade local. É a opción máis común na literatura, e así a respectamos. Pero, na práctica, podemos limitarnos a considerar veciñanzas abertas Proposición A intersección finita de veciñanzas é unha veciñanza. Tamén, se U V x e V U, entón V V x. Proba É consecuencia inmediata de que a intersección finita de abertos é un aberto, e da definición de veciñanza Proposición Un subconxunto U dun espazo topolóxico X é aberto sse é veciñanza de cada un dos seus puntos. Proba Se U é aberto, é trivialmente veciñanza dos seus puntos. Reciprocamente, sexa U veciñanza dos seus puntos. Para cada x en U existirá un aberto V x tal que x V x U. Claramente U = x U V x e, pois, U é aberto Definición Unha base de veciñanzas ou base local de x nun espazo topolóxico X é unha subcolección β x do sistema de veciñanzas V x, tendo a propiedade de que todo V V x contén algún B β x. Fixada unha base de veciñanzas de x, os seus elementos son chamados veciñanzas básicas de x.

11 1.3 Veciñanzas e base local Exemplos. O prototipo de exemplo de base local nun punto vén dado polas bólas de centro ese punto nun espazo euclidiano. Non é necesario consideralas todas. En R p as bólas abertas {B p (x, 1/n), n N} forman unha base local en x. Analogamente, na recta de Sorgenfrey a colección {[x, x + 1/n), n N} é unha base local en x. Hai unha estreita relación entre base e base local. O seguinte resultado é particularmente útil. A demostración é un exercicio Lema Sexa β base dunha topoloxía τ en X. Daquela, para cada punto x X a colección β x = {U β x U} é unha base local. Reciprocamente, se para cada x X temos unha base local β x formada por conxuntos abertos, daquela β = x X β x, é unha base da topoloxía de X Proposición Un subconxunto U dun espazo topolóxico X é aberto sse contén unha veciñanza básica de cada un dos seus puntos. Proba Se contén unha veciñanza de cada punto, sexa básica ou non, o conxunto é aberto. Se é aberto contén unha veciñanza de cada punto, e cada veciñanza contén unha básica O cadrado lexicográfico. Sexa L = {(x, y) R 2 0 x, y 1}. En L imos considerar a orde lexicográfica, onde (x, y) (x, y ) se x < x ou se x = x e y y. (x, 1) (x, y) U V (z, 0) Figura 1.1: Dúas veciñanzas tipo Unha base está formada polos intervalos, como o conxunto U da Figura 1.2, U = {x} (y ε, y + ε), ε min {y, 1 y}, veciñanza dun punto (x, y) con 0 < y < 1, e V, V = {x} (a, 1] (x, z) [0, 1] {z} [0, b),

12 12 Espazos topolóxicos veciñanza dun punto (x, 1), x 1 ou dun punto (z, 0), z 0. Imos denominar a este espazo cadrado lexicográfico Interior, adherencia, fronteira Nos espazos euclidianos definimos o concepto de punto de acumulación usando bólas abertas. Para estendermos esta noción a espazos topolóxicos arbitrarios copiamos a mesma definición, substituíndo bólas por veciñanzas. En realidade, fixadas bases locais en cada punto, abonda considerarmos veciñanzas básicas (vid. Proposición 1.42). Introducimos tamén outros conceptos que, como é o caso para os puntos de acumulación, expresan relacións topolóxicas entre puntos e conxuntos Definición Sexa X un espazo topolóxico, E un subconxunto de X e x un punto de X. Dicimos que x é un punto interior de E se existe unha veciñanza de x contida en E: V V x, V E. O conxunto Int(E) de todos os puntos interiores de E chámase interior de E. Tamén se denota E Proposición Sexa X un espazo topolóxico e E un subconxunto de X. Int(E) é o maior conxunto aberto en X contido no conxunto E. Proba Certamente, se U é aberto e U E, xa que U é veciñanza de cada un dos seus puntos, U Int(E). Vexamos que Int(E) é aberto. Dado x Int(E), existe unha veciñanza aberta U de x contida en E. Logo, polo argumentado no parágrafo anterior, U Int(E). O seguinte resultado é inmediato desta caracterización Corolario E é aberto sse Int(E) = E. Int(E) é a unión de todos os conxuntos abertos contidos en E Definición Sexa X un espazo topolóxico, E un subconxunto de X e x un punto de X. Dicimos que x é un punto adherente de E se toda veciñanza de x contén algún punto de E: V V x V E. O conxunto Cl(E) de todos os puntos adherentes de E chámase adherencia ou fecho de E. Tamén se denota E Proposición O interior e a adherencia verifican as seguintes relacións: Cl(E) = X Int(X E), (1.3) Int(E) = X Cl(X E). (1.4)

13 1.4 Interior, adherencia, fronteira 13 Proba Que x pertenza a Cl(E) equivale a que toda veciñanza de x corte a E. Ou sexa, a que ningunha veciñanza de x estea contida en X E. Isto proba a primeira igualdade. A segunda é a mesma que a primeira, cambiando E por X E. O conxunto Int(X E) denomínase exterior de E, e denótase Ext (E). Das propiedades do interior demostradas arriba e da relación entre o interior e a adherencia que vimos de establecer, dedúcese: 1.33 Proposición Sexa X un espazo topolóxico e E un subconxunto de X. Verifícase: 1. Cl(E) é a intersección de todos os conxuntos pechados que conteñen a E. 2. E é pechado sse Cl(E) = E. 3. Cl(E) é o menor conxunto pechado en X que contén ao conxunto E Corolario Sexa X un espazo topolóxico e A e B dous subconxuntos de X. Se A B, entón Int(A) Int(B) e Cl(A) Cl(B). Proba A B Int(A) B Int(A) Int(B). A B A Cl(B) Cl(A) Cl(B) Proposición Sexan A e B dous conxuntos nun espazo topolóxico X. Verifícase: 1. Int[Int(A)] = Int(A), 2. Int(A B) = Int(A) Int(B), 3. Int(A B) Int(A) Int(B). Proba A primeira igualdade é consecuencia do carácter aberto de Int(A). Xa que A B está contido en A e en B, dedúcese que Int(A B) está contido en Int(A) e en Int(B). Reciprocamente, como Int(A) Int(B) é un aberto contido en A B, resulta a outra inclusión. Das inclusións A A B e B A B e do Corolario 1.34, resulta a propiedade c). A igualdade no apartado c) en xeral non é certa. Un exemplo vén dado por A = (0, 1] e B = [1, 2) en R coa topoloxía usual. Analogamente próbanse as seguintes relacións para a adherencia Proposición Sexan A e B dous conxuntos nun espazo X. Verifícase: 1. Cl[Cl(A)] = Cl(A), 2. Cl(A B) = Cl(A) Cl(B), 3. Cl(A B) Cl(A) Cl(B).

14 14 Espazos topolóxicos 1.37 Definición Sexa X un espazo topolóxico, E un subconxunto de X e x un punto de X. Dicimos que x é un punto fronteiro de E se toda veciñanza de x contén ao menos un punto de E e un punto que non está en E: V V x V E V (X E) O conxunto Fr(E) de todos os puntos fronteiros de E chámase fronteira de E. Tamén se denota (E). A seguinte relación dedúcese inmediatamente desta definición: Fr(E) = Cl(E) Cl(X E). (1.5) Da igualdade Cl(X E) = X Int(E) e da anterior relación, dedúcese para a fronteira Fr(E) = Cl(E) Int(E), ou sexa, Cl(E) = Int(E) Fr(E), (1.6) Int(E) Fr(E) =. Tamén se verifica Cl(E) = E Fr(E) e X = Int(E) Fr(E) Int(X E) Observación A notación empregada para interior, adherencia, fronteira e exterior é a máis común na literatura. Corresponde ás iniciais dos respectivos termos ingleses, ben que non sempre dos galegos Definición Sexa X un espazo topolóxico, E un subconxunto de X e x un punto de X. Dicimos que x é un punto de acumulación de E se toda veciñanza de x contén un punto de E distinto de x. Ou sexa, se se verifica: V V x (V {x}) E O conxunto E de todos os puntos de acumulación de E chámase conxunto derivado Proposición Sexa X un espazo topolóxico e E un subconxunto de X. Cúmprese: Cl(E) = E E.

15 1.5 Comparación de topoloxías 15 Proba Se un punto é de acumulación, tamén é adherente, logo E E Cl(E). Reciprocamente, sexa x Cl(E). Se x / E, x é punto de acumulación de E, pois, ao non pertencer a E, as condicións de ser punto adherente e punto de acumulación coinciden Corolario Un conxunto nun espazo topolóxico é pechado sse contén todos os seus puntos de acumulación. Dicimos que x E é un punto illado de E se existe unha veciñanza de x que non contén ningún outro punto de E. En xeral, nin é necesario nin é práctico traballar con todo o sistema de veciñanzas, abonda considerar bases locais. É o que se recolle no seguinte enunciado: 1.42 Proposición Fixada unha base local en cada punto, nas definicións de punto interior, punto adherente, punto fronteiro, punto de acumulación e punto illado pódese substituír veciñanza por veciñanza básica. Proba Comprobémolo, por exemplo, para un punto adherente. Sexa E X, x X. Se para toda veciñanza básica B de x é B E, tamén se verifica para toda veciñanza V, pois V sempre contén unha veciñanza básica Comparación de topoloxías Sexa P(X) o conxunto de partes de X. Unha topoloxía en X é un subconxunto τ de P(X) con certas propiedades. Por exemplo, o propio P(X) é unha topoloxía, o subconxunto {, X} é outra, son, respectivamente, a topoloxía discreta e a trivial. Se consideramos a relación de inclusión en P(X) podemos comparar topoloxías en X Definición Dadas dúas topoloxías τ 1 e τ 2 nun conxunto X, diremos que τ 1 é máis fina que τ 2, e escribiremos τ 2 τ 1, se τ 2 τ 1 como subconxuntos de P(X). Tamén diremos, nesta situación, que τ 2 é menos fina que τ Exemplo. Calquera topoloxía é máis fina que a trivial e menos fina que a discreta. A topoloxía usual en R é máis fina que a cofinita e que a topoloxía de Kolmogoroff e menos fina que a de Sorgenfrey. Naturalmente, dúas topoloxías non sempre se poden comparar. Así, por exemplo, a topoloxía de Kolmogoroff e a cofinita en R non se poden comparar. Ás veces é útil debuxar diagramas como o seguinte, onde se comparan diversas topoloxías en R:

16 16 Espazos topolóxicos Discreta Sorgenfrey Cofinita usual Trivial Kolmogoroff Para saber se unha topoloxía é máis fina que outra chega con comparar bases de veciñanzas. É o que se chama criterio de comparación de Hausdorff Proposición Dadas dúas topoloxías τ 1 e τ 2 nun conxunto X, τ 1 é máis fina que τ 2 sse, para cada punto x X, cada elemento dunha base local de x en (X, τ 2 ) contén un elemento dunha base local de x en (X, τ 1 ). Proba Sexa B 2 unha veciñanza básica en (X, τ 2 ) dun punto x. B 2 debe conter un U τ 2 cumprindo x U. Se τ 1 é máis fina que τ 2, U tamén pertence a τ 1, logo existe unha viciñanaza básica B 1 de x en (X, τ 1 ) contida en U, logo contida en B 2. Reciprocamente, se se cumpre a condición, toda veciñanza básica para τ 2 tamén é veciñanza para τ 1, e o resultado segue da caracterización local dos conxuntos abertos Exemplo. Resulta moi fácil comprobar que a topoloxía de Sorgenfrey é estrictamente máis fina que a usual: para x R, dada a veciñanza usual (x 1/n, x+1/n), contén [x, x+1/n). Pola contra, a veciñanza [x, x + 1/n) de x na recta de Sorgenfrey non contén ningún intervalo aberto de centro o punto x Apéndice: Xeración de topoloxías O operador adherencia de Kuratowski Un operador de Kuratowski nun conxunto X é unha aplicación do conxunto de partes de X en si mesmo, ( ) k : P(X) P(X) que verifica as seguintes propiedades: 1. k = 2. E E k 3. (E k ) k = E k 4. (A B) k = A k B k

17 1.6 Apéndice: Xeración de topoloxías 17 onde A, B e E son subconxuntos de X. 1.1 Exercicio Sexan A, B subconxuntos de X, ( ) k un operador de Kuratowski en X. Usando a propiedade 4. da definición, demostrade: A B A k B k. 1.2 Teorema Dado un operador de Kuratowski en X, a colección F = {A X A k = A} é a familia de conxuntos pechados para unha topoloxía en X. Ademais, para esta topoloxía, Cl(E) = E k. 1.3 Exercicio En N definimos k = ; se E é limitado e non baleiro, E k = {1, 2, 3,..., n}, onde n é o máximo de E; E k = N se E non é limitado. Comprobade que é un operador de Kuratowski. Calculade o conxunto derivado de {m} na topoloxía resultante. O operador interior Un operador interior nun conxunto X é unha aplicación do conxunto de partes de X en si mesmo, ( ) i : P(X) P(X) que verifica as seguintes propiedades: 1. X i = X 2. E i E 3. (E i ) i = E i 4. (A B) i = A i B i onde A, B e E son subconxuntos de X. 1.4 Teorema A colección τ = {U X U i = U} define unha topoloxía en X. Para E X, en esta topoloxía Int(E) = E i. 1.5 Exercicio En N definimos o seguinte operador: para un subconxunto E non baleiro e diferente de N, E i = {1, 2, 3,..., n}, se n + 1 é o menor enteiro que non pertence a E. i = e N i = N. Comprobade que é un operador interior. Calculade o conxunto derivado de {m} na topoloxía resultante. Subbases 1.6 Teorema e Definición Dado un conxunto X é unha familia arbitraria de partes de X, Σ P(X), existe unha topoloxía, τ Σ, que é a menos fina que contén a Σ. Diremos que é a topoloxía xerada pola familia Σ. Unha base desta topoloxía está formada polas interseccións finitas de conxuntos de Σ. Dada unha topoloxía, unha familia Σ de conxuntos abertos con esta propiedade denomínase subbase da topoloxía. 1.7 Exercicio Sexan pr i : R 2 R, i = 1, 2, as proxeccións coordenadas de R 2. Demostrade que a colección Σ = {pr 1 i ((a, b)), a < b, i = 1, 2},

18 18 Espazos topolóxicos é subbase da topoloxía usual de R Topoloxía inicial Sexa {(X λ, τ λ ), λ Λ} unha familia de espazos topolóxicos. Sexa Z un conxunto; e, para cada λ Λ, sexa h λ : Z X λ unha función. Considerade en Z a colección de subconxuntos {h 1 λ (V ), V τ λ}. Sexa τ Z a topoloxía xerada por esta familia de conxuntos. Probade: 1. τ Z é a topoloxía menos fina para a que todas as funcións h λ son continuas. 2. Se (Y, τ Y ) é un espazo topolóxico, unha función f : (Y, τ Y ) (Z, τ Z ) é continua sse cada composición h λ f, λ Λ, é continua. 1.9 Exemplo Partindo de R coa topoloxía usual, o espazo euclidiano R n ten a topoloxía inicial determinada polas proxeccións coordenadas.

19 1.7 Exercicios Exercicios Topoloxías 1.1 Existe algunha topoloxía en X = {a, b, c}, distinta da discreta e a trivial, na que os conxuntos abertos e os conxuntos pechados coincidan? 1.2 Definamos en R unha colección τ = {R} {U R R U é infinito}. Define τ unha topoloxía? 1.3 Considerade a colección de subconxuntos de R 2 da forma U V, sendo U e V subconxuntos abertos de R coa topoloxía usual. É unha topoloxía en R2? 1.4 Nun conxunto X consideremos dúas topoloxías τ 1 e τ 2. Estudade se a intersección das dúas é unha topoloxía. E a unión? (Unión e intersección no conxunto P(X) de partes de X; τ 1, τ 2 P(X)). Bases 1.5 Probade que a familia {(q, ), q Q} é base da topoloxía de Kolmogorov en R. 1.6 Probade que a seguinte colección, {B 2 ((p, q), 1/n) p, q Q, n N}, é base da topoloxía usual de R 2. Observade que se trata dunha colección enumerábel. 1.7 Demostrade que a familia β = {[a, b] R a < b, a Q, b / Q} é base dunha topoloxía en R. Estudade o carácter aberto ou pechado, na topoloxía resultante, dos diversos intervalos e semirectas. Veciñanzas 1.8 Sexa (R, τ K ) a recta de Kolmogoroff. Probade que toda veciñanza do 0 contén un conxunto da forma ( 1/n, + ). 1.9 Considerade o subconxunto de R X = [0, 1] {2} (3, 4). Utilizando a orde numérica, sexa τ X a topoloxía da orde en X. Atopade bases de veciñanzas nos puntos 1 e O cadrado lexicográfico Sexa L = {(x, y) R 2 0 x, y 1}. En L imos considerar a orde lexicográfica, onde (x, y) (x, y ) se x < x ou se x = x e y y. Ao espazo resultante coa topoloxía da orde ímolo denominar cadrado lexicográfico. Unha base está formada polos intervalos, como o conxunto U da Figura 1.2, U = {x} (y ε, y + ε), ε min {y, 1 y},

20 20 Espazos topolóxicos (x, 1) (x, y) U V (z, 0) Figura 1.2: Dúas veciñanzas tipo veciñanza dun punto (x, y) con 0 < y < 1, e V, V = {x} (a, 1] (x, z) [0, 1] {z} [0, b), veciñanza dun punto (x, 1), x 1 ou dun punto (z, 0), z 0. Construíde unha base local para o punto (1, 1). Interior, adherencia, fronteira 1.11 Calculade interior, adherencia, fronteira, conxunto derivado e puntos illados dos seguintes subconxuntos da recta de Kolmogoroff: Z; ( 3, 3]; [5, + ); (, 5); {1/n, n = 1, 2, 3,... }; {5} Calculade a adherencia dos seguintes subconxuntos da recta de Sorgenfrey: Q, {1/n, n = 1, 2, 3... }, { 1/n, n = 1, 2, 3... }, (0, 1), [8, 15) Sexan A = {a n, n = 1, 2, 3,... } e B = {b n, n = 1, 2, 3,... } dous conxuntos numerábeis, X = A B. Definimos en X a seguinte relación de orde: a n < b m para todo par n, m N, a n < a m sse n < m, b n < b m sse n < m. Considérase en X a topoloxía da orde. Calculade: Int(A), Cl(A), Fr(A), Int(B), Cl(B) e Fr(B) Sexan A e B dous conxuntos nun espazo topolóxico X. Verificade: 1. Int[Int(A)] = Int(A),

21 1.7 Exercicios Int(A B) = Int(A) Int(B), 3. Int(A B) Int(A) Int(B) Sexan A e B dous conxuntos nun espazo topolóxico X. Verificade: 1. Cl[Cl(A)] = Cl(A), 2. Cl(A B) = Cl(A) Cl(B), 3. Cl(A B) Cl(A) Cl(B) Sexan A e B dous conxuntos nun espazo X. Demostrade que Fr(A B) Fr(A) Fr(B). Dade un exemplo no que a igualdade non se cumpra Sexa X un espazo topolóxico, E un subconxunto de X. 1. Demostrade que E é aberto sse E Fr(E) =. 2. Demostrade que E é pechado sse Fr(E) E Atopade dous conxuntos abertos U e V en (R, τ u ) tales que os catro conxuntos sexan distintos. U Cl(V ), Cl(U) V, Cl(U) Cl(V ) e Cl(U V ) 1.19 Sexa (X, τ) un espazo topolóxico, A e B subconxuntos de X. Demostrade que se se verificar Fr(A) Fr(B) =, daquela Int (A B) = Int(A) Int(B) Sexa X un espazo topolóxico, A un subconxunto de X. Demostrade que se A é aberto, daquela Fr(A) é un conxunto con interior baleiro. É certo se A é pechado? Pon un contraexemplo no caso de A arbitrario Sexa (X, τ) un espazo topolóxico tal que cada conxunto dun só punto, {x}, sexa pechado. Demostrade que o conxunto derivado de calquera subconxunto de X é pechado. É certa esta propiedade para un espazo topolóxico arbitrario? 1.22 Sexa (X, τ) un espazo topolóxico, E un subconxunto de X. Demostrade a equivalencia das seguintes condicións: 1. Todo subconxunto non baleiro de E ten un punto illado. 2. Todo subconxunto pechado non baleiro de E ten un punto illado. Un conxunto E con esta propiedade chámase disperso (scattered) Sexa (X, τ) un espazo topolóxico, E un subconxunto de X. Demostrade a equivalencia das seguintes condicións:

22 22 Espazos topolóxicos 1. O conxunto E non ten ningún punto illado. 2. Se E denota o conxunto derivado, tense E E. Un conxunto E con esta propiedade chámase denso en si mesmo (dense in itself) Sexa (X, τ) un espazo topolóxico, E un subconxunto de X. Dise que E é denso en ningures (nowhere dense) se o complementario da súa adherencia é denso, Cl(X Cl(E)) = X. Demostrade a equivalencia das seguintes condicións: 1. O conxunto E é denso en ningures. 2. O interior da adherencia de E é baleiro. Comparación de topoloxías 1.25 Comparade as diferentes topoloxías que coñezades en R No subconxunto X = [0, 1] {2} (3, 4) de R, comparade a topoloxía usual coa topoloxía definida pola relación de orde (Exercicio 1.9) Sexa Γ o Plano de Moore. Comparade a topoloxía de Γ coa topoloxía usual no mesmo conxunto.

23 Capítulo 2 Continuidade Eduard Heine ( ) estudou en Berlín con Weierstrass e máis tarde ensinou en Bonn e Halle. En 1872 probou que unha función continua con dominio un intervalo pechado é uniformemente continua. Tamén demostrou a equivalencia entre continuidade e continuidade secuencial Funcións continuas Introducidos os espazos topolóxicos, que serán os obxectos do noso estudo, abordamos agora o estudo das funcións continuas, as aplicacións compatibles coa topoloxía, ou sexa, coa estrutura que define o espazo. A aplicación identidade dun espazo topolóxico en si mesmo, id X : X X, será o primeiro exemplo de función continua. E a composición de aplicacións continuas tamén será unha aplicación continua. Estes dous feitos, certamente interesantes, teñen, xuntos, unha relevancia formal engadida, por canto permiten concluír que os espazos topolóxicos e as aplicacións continuas configuran o que se denomina unha categoría, do mesmo xeito que o fan os grupos e homomorfismos, ou os espazos vectoriais e as aplicacións lineares: conxuntos con certa estrutura matemática e conxuntos de morfismos entre eles compatíbeis coa devandita estrutura, morfismos que inclúen a identidade, que inclúen a composición de dous dados cando esta teña sentido, e de xeito que a composición sexa asociativa. Nós non imos demorarnos neste concepto.

24 24 Continuidade 2.1 Definición Diremos que unha aplicación f : X Y é continua nun punto x 0 do seu dominio se se verifica calquera das seguintes condicións: Para toda veciñanza V de f(x 0 ), f 1 (V ) é unha veciñanza de x 0. Para toda veciñanza V de f(x 0 ) existe unha veciñanza U de x 0 tal que f(u) V. Diremos que f é unha aplicación continua se é continua en todos os puntos do seu dominio. Certamente, as anteriores condicións son equivalentes. 1) 2) séguese do feito de que f(f 1 (V )) V. 2) 1) séguese do feito de que, se U V x0 e f(u) V, daquela x 0 U f 1 (V ), e logo f 1 (V ) é unha veciñanza de x Teorema Sexan X, Y e Z espazos topolóxicos, x 0 X, y 0 = f(x 0 ). Sexan f : X Y e g : Y Z aplicacións. Se f é continua en x 0 e g é continua en y 0, daquela a composición g f é continua en x 0. En particular, a composición de aplicacións continuas é unha aplicación continua. Proba A demostración, indicada na figura, é inmediata. Se W é unha veciñanza de z 0 = g f(x 0 ), trátase de comprobar que U = (g f) 1 (W ) é unha veciñanza de x 0. Pero (g f) 1 (W ) = f 1 (g 1 (W )) = f 1 (V ), sendo V = g 1 (W ) unha veciñanza de y 0, pola continuidade de g en y 0, e U = f 1 (V ) unha veciñanza de x 0 pola continuidade de f neste punto. No seguinte teorema establécense diversas condicións equivalentes á continuidade dunha aplicación. A súa utilidade non se reduce ás vías alternativas que ofrece para concluír se unha aplicación é continua, senón que permite deducir moitas propiedades interesantes de tales aplicacións, sendo o seu uso máis frecuente, especialmente en cuestións teóricas, que a propia definición. 2.3 Teorema Dados espazos topolóxicos (X, τ X ) e (Y, τ Y ) e unha aplicación f : X Y, as seguintes condicións son equivalentes: 1. f é continua. 2. Para cada V τ Y, f 1 (V ) τ X. 3. Fixada unha base da topoloxía de Y, a imaxe recíproca de cada aberto básico é un aberto de X. 4. Se F é un conxunto pechado de Y, f 1 (F ) é un conxunto pechado de X. 5. Se E X, f(cl(e)) Cl(f(E)). Proba 1) 2) Sexa V un aberto en Y. Por ser aberto, é veciñanza de cada un dos seus puntos. Entón, por continuidade, f 1 (V ) tamén é veciñanza de cada un dos seus puntos, logo é aberto. 2) 1) Unha veciñanza contén un aberto contendo ao punto, logo a imaxe recíproca dunha veciñanza é unha veciñanza.

25 2.2 Topoloxía relativa: subespazos 25 2) 3) é trivial. Vexamos 3) 2). Se V é aberto en Y, é unión de abertos básicos. A imaxe recíproca dunha unión é a unión das imaxes recíprocas, logo f 1 (V ) é unión de abertos, así, aberto. 2) 4) dedúcese de f 1 (Y A) = X f 1 (A). 4) 5) Como Cl(f(E)) é pechado, f 1 (Cl(f(E))) tamén, e, obviamente, contén a E. Logo contén á súa adherencia, Cl(E) f 1 (Cl(f(E))). 5) 4) Sexa F Y pechado. Queremos demostrar que Cl(f 1 (F )) = f 1 (F ). Ou sexa, que Cl(f 1 (F )) f 1 (F ), ou f(cl(f 1 (F ))) F. Pero, por 5), f(cl(f 1 (F ))) Cl(f(f 1 (F )) e, xa que f(f 1 (F )) F, e Cl(F ) = F por ser F pechado, resulta f(cl(f 1 (F ))) F Topoloxía relativa: subespazos 2.4 Definición Sexa (X, τ) un espazo topolóxico, E un subconxunto de X. A colección de interseccións de abertos de X con E forman unha topoloxía τ E en E, denominada topoloxía relativa, τ E = {U E V τ, U = V E}. O espazo topolóxico resultante, (E, τ E ), denomínase subespazo de X. Os conxuntos pechados dun subespazo caracterízanse dun xeito semellante. Demóstrase de maneira idéntica á feita en espazos euclidianos. 2.5 Proposición Sexa E un subespazo de X. Un conxunto F E é pechado en E sse existe algún pechado H en X tal que F = E H. 2.6 Exemplo. A topoloxía inducida no intervalo unidade pechado, I = [0, 1], pola topoloxía de R considerada no Exemplo 1.9 é a usual. É doado establecermos a seguinte relación entre base e subespazo. 2.7 Proposición Sexa E un subespazo de X. Se β é unha base da topoloxía de X, daquela a colección β E = {V E, V β, V E } é unha base da topoloxía de E. A Proposición 2.7 permite concluír, por exemplo, que o plano de Moore induce a topoloxía usual no semiplano aberto. A topoloxía inducida no eixo de abscisas é a discreta, o eixo é un subespazo discreto de Γ. Vexamos agora que se poden establecer de forma análoga relacións entre veciñanzas e subespazo. 2.8 Proposición Sexa E un subespazo de X. Dado x E, V é unha veciñanza de x en E sse existe unha veciñanza U de x en X tal que V = U E. Se β x é unha base local de X en x, {V E, V β x } é unha base local de x en E.

26 26 Continuidade Interior, adherencia e fronteira no subespazo Sexa E un subespazo de X, A E. Conservando a notación Int(A), Cl(A) e Fr(A) para interior, adherencia e fronteira en X, denotaremos por os respectivos conceptos en E. 2.9 Proposición Sexa A E X. 1. Int(A) Int E (A) 2. Cl(A) E = Cl E (A) 3. Fr E (A) Fr(A) Int E (A), Cl E (A) e Fr E (A) Proba A primeira afirmación segue do feito de que Int(A) E é un conxunto aberto en E contido no conxunto A. Analogamente, Cl(A) E Cl E (A), pois Cl(A) E é un conxunto pechado en E contendo ao conxunto A. Para a inclusión no outro sentido, Cl E (A) = E F, para algún F pechado en X, logo A F e así Cl(A) F, e Cl(A) E F E. Finalmente, se un punto está na fronteira de A en E, pola Proposición 2.8, toda veciñanza do punto en X corta a A. Nos apartados primeiro e terceiro da proposición anterior a igualdade, en xeral, non se cumpre. Por exemplo, en R coa topoloxía usual, se tomamos o subespazo Q, Int Q (Q) = Q, mentres que Int Q =. Restrición de funcións 2.10 Inclusión. Sexa (X, τ) un espazo topolóxico, E un subespazo. A aplicación inclusión i: E X é continua. En efecto, se U é aberto en X, a súa imaxe recíproca pola inclusión i 1 (U) é xustamente o conxunto U E Restrición. Sexa f : X Y unha aplicación continua, E un subespazo de X, i : E X a inclusión. A restrición de f a E, f E = f i : E Y, é continua, como composición de dúas aplicacións continuas. O recíproco non é necesariamente certo, como xa puidemos constatar ao estudarmos a topoloxía de R n. Pode ocorrer que a restricción a E da aplicación f sexa continua e non obstante f non sexa continua nos puntos de E. Por exemplo, a aplicación de (R, τ u ) en si mesmo dada por f(x) = 0 se x é racional, f(x) = 1 se x é irracional, non é continua en ningún punto de R, e restrinxida a Q é constante, logo continua. Como ocorría nos espazos euclidianos, co mesmo argumento de entón, se E é un subconxunto aberto tense a equivalencia: se a restricción de f a E é continua, daquela f é continua nos puntos de E.

27 2.2 Topoloxía relativa: subespazos Exemplo. Sexa f : (R, τ K ) (R, τ K ) a aplicación da recta de Kolmogoroff en si mesma dada por f(x) = x. Imos estudar a súa continuidade. Certamente, non é globalmente continua. A imaxe recíproca do aberto (2, ), por exemplo, é o conxunto (, 2) (2, ), que non é un elemento de τ K. A restricción de f a E = (0, ) é a inclusión de (E, τ K ) en (R, τ K ) e, pois, continua. Como E é un conxunto aberto, concluímos que f é continua nos puntos de E. Estudemos agora a continuidade nun punto x 0 < 0. Consideremos a seguinte veciñanza da súa imaxe: V = ( x 0 2, ). Non existe ningunha veciñanza U de x 0 tal que f(u) V, pois sempre 0 f(u). Así, f non é continua en ningún punto de (, 0). Vexamos, finalmente, que ocorre no 0. f(0) = 0, e, se V é unha veciñanza do 0, tense f(v ) V. Logo, f é continua no cero Exemplo. Dado x R, chámase parte enteira de x, e denótase [x], ao maior enteiro menor ou igual que x. Estudaremos agora a continuidade da aplicación f : (R, τ S ) (R, τ u ), f(x) = [x], onde τ S é a topoloxía de Sorgenfrey e τ u a usual. Para ver que esta aplicación é globalmente continua imos fixar unha base da topoloxía do rango e imos comprobar que a imaxe recíproca de todo aberto básico é un aberto. Por conveniencia, a base de τ u que imos considerar vai ser a familia de todos os intervalos abertos (x, y) con x y < 1. É ben doado comprobar que é unha base. B [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) f 1 (B) Figura 2.1: Grafo da función parte enteira. Sexa B un aberto básico. Dado que a súa lonxitude e menor que 1, B vai conter un ou ningún enteiro. Logo f 1 (B) = [n, n + 1), se n B, ou f 1 (B) =, se non contén ningún enteiro (Vid. Fig. 2.1). No sentido que precisa a seguinte proposición, a continuidade é independente do rango Proposición Sexa f : X Y unha aplicación, Z un subespazo de Y tal que f(x) Z. Sexa f 1 : X Z a aplicación dada pola mesma correspondencia que f. Dequela f é continua sse f 1 é continua. Proba Se V é un aberto de Z, existirá un conxunto aberto U en Y tal que V = Z U, e f1 1 (V ) = f 1 (U).

28 28 Continuidade 2.15 Exemplo. Imos estudar agora a continudade dunha curva no plano de Moore. Trátase dunha aplicación f, de dominio a recta real coa topoloxía usual, e rango o plano de Moore, f : R Γ, dada por f(t) = (t, t 2 ). Restrinxida ao subconxunto aberto R {0} ten imaxe no semiplano aberto, no que a topoloxía inducida é a usual, e a aplicación inducida f 1 : (R {0}, τ u ) ({(x, y) R 2 y > 0}, τ u ) é obviamente continua. Xa que logo, só resta estudar a continuidade no 0. Imos ver que existe unha veciñanza básica do punto (0, 0) de Γ que só corta á curva no (0, 0), de xeito que a súa imaxe recíproca por f é o punto 0, e, pois, a aplicación non é continua no cero. Tomemos, efectivamente, a veciñanza {(0, 0)} B 2 ((0, 1/2), 1/2). Vexamos que se (x, y) B 2 ((0, 1/2), 1/2), daquela (x, y) non pertence á imaxe da aplicación, ou sexa, non se verifica y = x 2. En efecto, a pertenza á bóla significa facendo y = x 2 e resolvendo obtense y 4 < 0. x 2 + (y 1/2) 2 < 1/4; 2.16 Funcións combinadas De novo uns resultados estudados para espazos euclidianos son certos en xeral: os relativos á continuidade de aplicacións combinadas. Recordémolos. Sexan X e Y conxuntos, {A i, i I} unha cobertura de X con índices nun conxunto I, {f i : A i Y, i I} unha familia de aplicacións tales que f i Ai A j = f j Ai A j para todo par de índices i, j I. Definimos unha nova aplicación f : X Y da seguinte maneira: f(x) = f i (x) se x A i. Esta aplicación denomínase aplicación combinada da familia {f i }. Como entón, a aplicación combinada dunha familia de aplicacións continuas tales que os seus dominios formen unha cobertura aberta dun espazo X é unha aplicación continua. A aplicación combinada dunha familia de aplicacións continuas tales que os seus dominios formen unha cobertura pechada e finita dun espazo X é unha aplicación continua Homeomorfismos e propiedades topolóxicas 2.17 Definición Sexan X e Y espazos topolóxicos, f : X Y unha aplicación. Diremos que f é aberta se a imaxe por f de todo subconxunto aberto de X é un subconxunto aberto de Y. Analogamente, diremos que f é pechada se a imaxe de todo subconxunto pechado é un conxunto pechado.

29 2.3 Homeomorfismos e propiedades topolóxicas Exemplo. Sexa E un subespazo de X. A inclusión é unha aplicación aberta (respec., pechada) sse E é un subconxunto aberto (respec., pechado). Deste xeito pódense construír exemplos (non especialmente interesantes) de aplicacións continuas abertas, pechadas, abertas e pechadas ao tempo, e outras que non son nin abertas nin pechadas Exemplo. Sexa X un subconxunto compacto do espazo euclidiano R p. Toda aplicación continua con dominio X e rango R q é pechada. En efecto, sexa F un subconxunto pechado de X. Lémbrese que os conxuntos compactos en R p son os conxuntos pechados e limitados. Así, F será tamén compacto. A imaxe continua dun conxunto compacto é compacto, logo f(f ) é un conxunto compacto de R q e, xa que logo, pechado. Dominio compacto e rango Hausdorff van ser condicións moi comúns para garantir o carácter pechado dunha aplicación continua. Veremos que é certo sempre, sen necesidade de traballarmos no marco dos espazos euclidianos. O seguinte resultado fornécenos dun criterio práctico para concluír se unha aplicación é aberta Proposición Sexan X e Y espazos topolóxicos, f : X Y unha aplicación. Dada unha base de X, f é unha aplicación aberta sse a imaxe de cada aberto básico é un conxunto aberto. Proba En efecto, a condición de ser aberto é local. Se E é un conxunto aberto en X, para comprobar que f(e) é aberto vemos que contén unha veciñanza de cada un dos seus puntos. Sexa y f(e), e sexa x E un punto tal que y = f(x). Sexa U un aberto básico con x U E, que existe por ser E aberto. Por ser básico, f(u) é aberto por hipótese, logo é a veciñanza buscada de y en Y Exemplo. Sexa p a primeira proxección de R 2 en R, p(x, y) = x, sempre coa topoloxía usual. A imaxe por p da bóla aberta B 2 ((x, y), ɛ) é un conxunto aberto, o intervalo (x ɛ, x+ɛ). Logo, é unha aplicación aberta. Non é pechada. O conxunto F = {(x, y) R 2 xy = 1} é pechado, e a súa imaxe é o conxunto R {0}, que non o é A aplicación exponencial. Sexa agora p a aplicación exponencial de R en S 1, p(x) = e 2πix = (cos 2πx, sen 2πx). A imaxe por p do intervalo aberto (x 1/n, x + 1/n) é un arco aberto en S 1. Abonda comprobalo para intervalos da forma ( 1/n, 1/n), para os que é ben coñecido. Se denominamos U n a súa imaxe, a imaxe de (x 1/n, x + 1/n) é o resultado de aplicar a rotación de ángulo 2πx ao conxunto U n, pois tal rotación é xustamente multiplicar por e 2πix, e e 2πi(x+t) = e 2πix e 2πit. Logo, é aberta. Non é pechada: a imaxe do conxunto {n + 1/n, n N} non é un conxunto pechado. Lembremos unha definición que xa utilizamos no estudo dos espazos euclidianos: 2.23 Definición Unha aplicación continua h: X Y é un homeomorfismo se ten unha inversa continua.

30 30 Continuidade exp 1... Figura 2.2: A exponencial homeo- Cando exista un homeomorfismo h entre X e Y diremos que X e Y son espazos morfos, e escribiremos X Y ou h: X Y Teorema Sexan X e Y espazos topolóxicos, h: X Y unha aplicación bixectiva. As seguintes condicións son equivalentes: 1. h é un homeomorfismo 2. se G X, entón h(g) é aberto sse G é aberto 3. se F X, entón h(f ) é pechado sse (h(f )) é pechado.. Proba Se h(g) é aberto, por continuidade de h, h 1 (h(g)) debe ser aberto. Pero h 1 (h(g)) = G. Analogamente, se G é aberto, (h 1 ) 1 (G) tamén é aberto. Pero (h 1 ) 1 = h. Tendo en conta que se as condicións do teorema son certas para unha aplicación h tamén o son para h 1, tense: 2.25 Corolario Se h é un homeomorfismo, daquela h 1 tamén o é. Se k é outro homeomorfismo e a composición ten sentido, k h é tamén un homeomorfismo. A relación ser homeomorfos ten as propiedades das relación de equivalencia : a proxección estereográfica. A proxección dende o polo norte, P N, define un homeomorfismo entre S n {P N} e R n (vid Figura 2.3). Denomínase proxección estereográfica, ϕ: S n {P N} R n.

31 2.3 Homeomorfismos e propiedades topolóxicas 31 P N x ϕ(x) Figura 2.3: A proxección estereográfica x 1 ϕ(x) = (, 1 x n+1 x 2 1 x n+1,..., onde x = (x 1, x 2,..., x n+1 ). A aplicación inversa vén dada por x n 1 x n+1 ), 1 ( ψ(x) = 1 + x 2 2x1, 2x 2,..., 2x n, x ). 2 (Denotamos por x 2 a norma euclidiana en R n. No tema de Espazos vectoriais normados retomaremos esta noción) 2.27 Definición Diremos que unha propiedade é topolóxica se se conserva polos homeomorfismos Exemplo. A cardinalidade é unha propiedade topolóxica. Pronto veremos moitas máis Exemplo. Un exemplo de propiedade non topolóxica pode ser a convexidade en R 2. Tomemos un cadrado X centrado na orixe, digamos X = [ 1, 1] [ 1, 1]. Consideremos o homeomorfismo h: R 2 R 2 dado por h(x) = x 2 x. A imaxe de X non é un conxunto convexo Definición Chámase propiedade hereditaria a aquela propiedade topolóxica que se se verifica nun espazo topolóxico X se verifica tamén en todos os seus subespazos. Rematamos a sección estudando un concepto que xeneraliza o de homeomorfismo Definición Un mergullo é unha aplicación h: X Y tal que a aplicación determinada por ela con dominio X e rango o subespazo h(x) de Y é un homeomorfismo.

32 32 Continuidade 2.32 Exemplo. Partindo da inclusión S 1 R 2, teriamos S 1 S 1 R 4. Habitualmente considérase S 1 S 1 como subespazo de R 3. A razón é que se pode mergullar en R 3. Por exemplo, a aplicación h: S 1 S 1 R 3 dada por: h(s, t, u, v) = ((2 + u)s, (2 + u)t, v) é inxectiva e continua. Ademais, como S 1 S 1 é compacto, pois é un subconxunto pechado e limitado de R 4, e como R 3 é Hausdorff, h tamén é pechada, logo é un mergullo. A súa imaxe é a superficie dunha rosquilla. Vexamos como se constrúe h. (Vid. Fig. 2.4). z. x (s, t). φ. v u y Figura 2.4: Construcción de h Na figura debúxase a imaxe do punto (0, 1, u, v). Correspóndelle o punto de coordenadas (0, 2+u, v). Para un punto arbitrario (s, t, u, v) as primeiras coordenadas obtéñense proxectando a lonxitude 2 + u sobre os respectivos eixos x e y, o que corresponde a multiplicar polo coseno e o seno do ángulo que determina o punto (s, t), ou sexa, por s e por t, respectivamente Exemplos Dada unha aplicación continua f : (R, τ u ) (R, τ u ), a aplicación h: (R, τ u ) (R 2, τ u ) dada por h(t) = (t, f(t)) é un mergullo. En efecto, se denotamos por Z a súa imaxe, a aplicación g : Z R definida por g(x, y) = x é unha inversa de h cando se considera como aplicación con rango Z. Por contra, a aplicación h: ([0, 2π), τ u ) (R 2, τ u ), dada por h(t) = (cos t, sen t), non é un mergullo. Doutro xeito, unha sucesión no dominio converxendo a 2π debería converxer tamén a Exercicios 2.1 Estudade a continuidade das aplicacións f, g, e h da recta de Kolmogoroff en si mesma dadas por: x se x < 0, f(x) = x, g(x) = x e h(x) = 2 se x 0.

33 2.4 Exercicios Sexa X un espazo topolóxico, E X. Definimos a función característica de E, χ E : X {0, 1}, por: 1 se x E χ E = 0 se x / E, considerando en {0, 1} a topoloxía discreta. 1. Demostrade que χ E é continua nun punto x sse x / Fr(E). 2. Demostrade que é continua en todo X sse E é ao tempo aberto e pechado. 2.3 Describide o conxunto Map(X, S) de funcións continuas con dominio un espazo topolóxico (X, τ X ) e rango os espazo de Sierpinski S. 2.4 Demostrade que un espazo topolóxico X ten a topoloxía discreta sse para todo espazo topolóxico Y toda aplicación f : X Y é continua. Demostrade que un espazo topolóxico X ten a topoloxía trivial sse para todo espazo topolóxico Y toda aplicación f : Y X é continua. 2.5 Sexa β = {[a, + ), a R}. 1. Comproba que β é base para algunha topoloxía τ en R. 2. Compara a topoloxía τ resultante coa topoloxía τ K de Kolmogorov. 3. Estuda a continuidade da función f : (R, τ u ) (R, τ) dada por f(x) = x Consideremos nun conxunto X dúas topoloxías τ 1 e τ 2. Demostrade que τ 1 é máis fina que τ 2 sse a identidade id X : (X, τ 1 ) (X, τ 2 ) é continua. 2.7 Sexan X e Y espazos topolóxicos, f : X Y unha aplicación arbitraria. Demostrade: 1. f é aberta sse f(int(a)) Int(f(A)) para todo A X. 2. f é pechada sse f(cl(a)) Cl(f(A)) para todo A X. 2.8 Demostrade que R coa topoloxía usual non é homeomorfa a R coa topoloxía cofinita. 2.9 A proxección dende o polo norte, P N, da esfera sobre o espazo euclidiano determina un homeomorfismo ϕ: S n {P N} R n. Denomínase proxección estereográfica. Definide a aplicación ϕ e demostrade que é un homeomorfismo Sexa 2 o 2-simplex xeométrico standard, 2 = {(x 0, x 1, x 2 ) R 3 x 0 + x 1 + x 2 = 1, x i 0, i = 0, 1, 2}.

34 34 Continuidade Probade que, coa topoloxía usual, 2 é homeomorfo a I Considerando a topoloxía usual no dominio e no rango, estuda se a seguinte aplicación é un mergullo: (x + 1, 0) se x 0 h: R R 2 h(x) = (cos πx πx, sen 1 + x 1 + x ) se x Demostrade que a composición de mergullos é un mergullo Dado un espazo topolóxico X, sexa H(X) o conxunto dos homeomorfismos de X en si mesmo. Probade que H(X) é un grupo, coa composición de aplicacións coma operación. Chámase grupo dos homeomorfismos de X. Calculade H(S), onde S é o espazo de Sierpinski Sexan X e Y espazos topolóxicos. Unha aplicación h: X Y é un homeomorfismo local se para cada punto x de X existe unha veciñanza aberta U de x e unha veciñanza aberta V de h(x) tal que a aplicación h U defina un homeomorfismo entre U e V. 1. Probade que un homeomorfismo local é unha aplicación continua e aberta 2. Estudade se a aplicación exponencial, exp: R S 1, dada por exp(t) = e 2πit, é un homeomorfismo local. Subespazos 2.15 Dado un espazo topolóxico X e un subconxunto E, se a topoloxía inducida en E é a discreta dise que E é un subespazo discreto. Dade un exemplo de subespazo discreto de R coa topoloxía usual que non sexa pechado Dotamos a Q coa topoloxía relativa inducida pola de Sorgenfrey de R. Consideramos o subconxunto A = [ π, π] Q. É A aberto ou pechado en Q? É a topoloxía de Q a discreta?

35 Capítulo 3 Espazos métricos Maurice Fréchet ( ) formulou por primeira vez, en 1906, o concepto de espazo métrico (aínda que non utilizou ese nome, que se debe a Hausdorff). Deu a primeira definición de compacidade, introducindo tal denominación. Foi profesor nas universidades de Poitiers, Strasbourg e Paris. Ademais do seu traballo na fundamentación dos espazos topolóxicos abstractos, fixo importantes contribucións en estatística, probabilidades e cálculo. En 1907 descubríu un importante teorema de representación integral, demostrado independentemente por Riesz. As crecentes necesidades de cálculo diferencial en espazos máis abstractos que os euclidianos, particularmente en espazos de funcións, deron lugar á xeneralización do concepto de distancia que estudamos en R n. Xeneralízanse, asemade, todos os demais conceptos que fomos introducindo a partir do de distancia, como o de bóla, conxunto limitado, diámetro,... Neste capítulo precisaremos o novo concepto de distancia, definindo o que entenderemos por métrica e por espazo métrico. Presentaremos algúns exemplos e introduciremos a noción de isometría. Tamén definiremos a topoloxía asociada a unha métrica.

36 36 Espazos métricos 3.1. O espazo euclidiano O punto de inicio do estudo dos espazos métricos vai ser a estrutura métrica do espazo euclidiano R n. Esta defínese partindo do produto escalar ou interno. O produto escalar é a aplicación, : R n R n R, que a dous vectores de R n, x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ), fai corresponder o número x, y = n i=1 x iy i. (3.1) O produto escalar permite definir a norma dun vector, x 2 = x, x. (3.2) Unha relación importante entre norma e produto escalar vén dada pola seguimte Desigualdade de Cauchy-Schwarz: x, y x 2 y 2. (3.3) Finalmente, a norma determina a distancia euclidiana, d(x, y) = x y 2. (3.4) O produto escalar tamén mide o ángulo entre dous vectores, mediante a fórmula x, y = x 2 y 2 cos( x, y). (3.5) Dotado desta estrutura, R n vai ser o que denominaremos espazo vectorial normado. Ademais, é completo (lembrade: toda sucesión de Cauchy é converxente). E a súa norma deriva dun produto escalar; estrutura que, xunto á dimensión, determina completamente este obxecto. O espazo de Hilbert, que construiremos avanzado o curso, será un espazo vectorial de dimensión infinita coa mesma estrutura. Copiando as súas propiedades, estes conceptos van ser xeneralizados a espazos vectorias ou, no caso da distancia, a conxuntos arbitrarios. Veremos, neste Tema, definicións, exemplos e algún cálculo; pero nada será moi novidoso respecto do xa estudado para os espazos euclidianos.

37 3.2 Métrica e espazo métrico Métrica e espazo métrico 3.1 Definición Unha métrica [metric] nun conxunto M é unha aplicación d con valores reais d: M M R que a un punto (x, y) de M M asocia o número d(x, y), de xeito que se verifiquen as tres condicións seguintes: 1. d(x, y) 0 e d(x, y) = 0 sse x = y. 2. d(x, y) = d(y, x), x, y M. 3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z), x, y, z M. A terceira propiedade denomínase Desigualdade triangular [triangular inequality]). O par (M, d) formado por un conxunto M e unha métrica nel, d, denomínase espazo métrico [metric space]. Referirémonos ao número d(x, y) como distancia entre x e y. Con frecuencia, cando non dea lugar a confusión, falaremos de espazo métrico M, sen explicitar a métrica de que se trata. 3.2 Subespazo métrico. Sexa (M, d) un espazo métrico, N un subconxunto de M. A restrición da métrica de M define unha métrica d: N N R. O espazo métrico (N, d) resultante denomínase subespazo métrico de (M, d). 3.3 Métrica discreta. O primeiro exemplo, menos banal do que puidera parecer, pódese definir nun conxunto non baleiro M calquera, é a chamada métrica discreta, d S : M M R, dada por: 0 se x = y, d S (x, y) = 1 se x y. 3.4 Observación. Establecida a primeira condición na definición de métrica, para comprobar a desigualdade triangular abonda considerar puntos todos distintos, x y z x.

38 38 Espazos métricos 3.5 Métricas en R n. As tres métricas seguintes en R n serán de uso frecuente: a métrica d 1, d 1 (x, y) = n i=1 x i y i, (3.6) a métrica d 2, d 2 (x, y) = n i=1 (x i y i ) 2, que é a distancia euclidiana xa coñecida, e a métrica d, definida por d (x, y) = máx 1 i n { x i y i }, (3.7) onde x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ). A comprobación de que d 1 e d son métricas é inmediata. De forma máis xeral, pero nos non demoraremos nestes exemplos, a seguinte fórmula define unha métrica en R n por cada enteiro natural k N: d k (x, y) = { n i=1 x i y i k} 1/k, (3.8) tomando a raíz k-ésima real non negativa. A comprobación de que verifican a desigualdade triangular é análoga ao caso usual, k = 2, usando a seguinte versión xeral da desigualdade de Minkowski, que non imos probar (vid. [2]): { n } 1/k (a i + b i ) k i=1 { n } 1/k a k i + i=1 { n } 1/k b k i, i=1 onde a i e b i son números non negativos. Para cada k N, cúmprese d (x, y) d k (x, y) n 1/k d (x, y). (3.9) Dedúcese que d (x, y) = lím k d k (x, y), razón do nome desta métrica. En fin, cúmprense tamén as desigualdades d (x, y) d 2 (x, y) d 1 (x, y) n d (x, y). (3.10) A primeira e a última son casos particulares das desigualdades (3.9). A segunda próbase notando que n (d 1 (x, y)) 2 = i y i ) i=1(x x i y i. x j y j. i j 3.6 Comentario. A métrica d 1, cando se considera en R 2, denomínase métrica da torre de xadrez; seguro que comprendes o por que. Algúns modernos chámanlle métrica de Manhattan. De non dicirmos explicitamente qué métrica estamos usando en R n, fica sobrentendido que se trata da euclidiana.

39 3.2 Métrica e espazo métrico 39 Espazo métrico produto Consideremos dous espazos métricos (M 1, d 1 ) e (M 2, d 2 ). No produto cartesiano M 1 M 2 imos considerar a seguinte métrica d 1 d 2 : (d 1 d 2 )((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = máx {d 1 (x 1, y 1 ), d 2 (x 2, y 2 )}, onde (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) M 1 M 2. É doado comprobar que é unha métrica. Chamarémola métrica produto, e ao espazo resultante, (M 1 M 2, d 1 d 2 ), espazo produto. Así, R 2 coa métrica d é o produto de R por si mesmo, coa métrica euclidiana en cada factor. Por indución, pódese definir o produto dun número finito arbitrario de espazos métricos. Así, se (M i, d i ), 1 i n, son n espazos métricos, definiremos o seu produto como (M 1 M n 1 ) M n. Ou ben directamente, definindo a distancia entre dous puntos do produto, x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ), como máx{d i (x i, y i ), 1 i n}. Deste xeito, R n coa métrica d resulta ser o produto de n copias de R. Métricas no espazo de funcións Imos considerar agora o espazo vectorial C(I) de funcións reais continuas do intervalo unidade I = [0, 1], e nel imos definir dúas métricas. A primeira vén dada por: ρ (f, g) = sup x I { f(x) g(x) }. (3.11) Compróbase facilmente que é unha métrica. É a chamada métrica da converxéncia uniforme. A razón do nome verémola máis adiante. Sendo h: I R, h(x) = f(x) g(x), unha aplicación continua con dominio compacto, o supremo da definición desta métrica alcánzase, polo que poderiamos, con máis precisión, definir ρ (f, g) como o máximo dos valores de f(x) g(x). Esta métrica tamén se denomina métrica do supremo. Defínese tamén sobre espazos más xerais. Por exemplo, o espazo vectorial B(X, R), de funcións reais limitadas (aquí X é un conxunto arbitrario). Neste caso o supremo non sempre se alcanza. A segunda métrica é: ρ 1 (f, g) = 1 f(x) g(x) dx. (3.12) 0 Obsérvese que ρ 1 (f, g) é menor ou igual que o máximo da función integrando. Denomínase métrica L 1. Con esta definición a distancia entre dúas funcións é a área comprendida entre os seus grafos. A primeira condición de métrica é consecuencia do feito de que unha función continua non negativa, como a que a x fai corresponder f(x) g(x), só pode ter integral nula cando fora identicamente nula. Bólas e relacións métricas Retomemos algunhas definicións que xa encontraramos non espazos euclidianos. A noción de bóla aberta é fundamental no estudo que nos interesa, non diferindo da definición dada ao estudarmos os espazos euclidianos: nun espazo métrico (M, d), a bóla aberta de centro x e raio r é o conxunto B M (x, r) = {y M d(x, y) < r}.

40 40 Espazos métricos Ás veces, cando sexa máis relevante indicar a métrica en uso, ficando claro en que conxunto se traballa, usaremos a notación B d (x, r). Analogamente, definimos bóla pechada como B M [x, r] = {y M d(x, y) r}. 3.7 Exemplo. Consideremos a métrica discreta en R. Soamente hai dúas bólas abertas distintas de centro un punto x: {x} se r 1 B ds (x, r) = R se r > Exemplo. Estudemos agora as bólas da métrica d en R 2. Imos describir a bóla B ((x 0, y 0 ), r) de centro o punto (x 0, y 0 ) e raio r. A condición para que un punto (x, y) pertenza á bóla é: máx{ x x 0, y y 0 } < r, ou sexa, x x 0 < r e y y 0 < r. Cada unha destas condicións equivale a dúas sen utilizar o valor absoluto, chegando a que o punto (x, y) ten que cumprir as catro condicións seguintes: x < x 0 + r, x > x 0 r, y < y 0 + r, y > y 0 r, o que significa que a bóla é un cadrado de lados de lonxitude 2r, paralelos aos eixos, co punto (x 0, y 0 ) no centro. s r Figura 3.1: Bólas usuais e bóla produto Unha discusión análoga permitiría concluír que as bólas da métrica d 1 en R 2 son tamén cadrados, esta vez con lados paralelos ás diagonais principais. 1 2 Figura 3.2: Vectores unitarios Como xa dixemos, as tres métricas d 1, d 2 e d están determinadas por normas. Na Figura 3.2 debúxanse, para cada caso, os vectores de norma unidade.

41 3.2 Métrica e espazo métrico Exemplo. En C(I) coa métrica do supremo pódese visualizar a bóla aberta de centro unha función f e raio r do xeito seguinte (Fig. 3.3): trázase o grafo da función f; pertencerán á bóla as funcións en C(I) tales que o seu grafo estea contido nunha faixa centrada no grafo de f e limitada por dúas copias del, unha transladada cara arriba unha lonxitude r, outra, cara abaixo. Na figura aparece en trazo continuo o grafo de f e en trazo discontinuo as copias transladadas e os grafos de dúas funcións na bóla. Un vector unitario para esta métrica corresponderá a unha función f tal que f(x) 1 para todo x I e tal que f(x 0 ) = 1 para algún punto x 0. f. r Figura 3.3: Bóla aberta en C(I) 3.10 Distancia entre conxuntos. Dados dous conxuntos non baleiros A e B nun espazo métrico (M, d), chámase distancia entre os conxuntos A e B, e se denota d(a, B), ao número d(a, B) = ínf{d(x, y), x A, y B}. (3.13) Cando un dos conxuntos se reduce a un punto fálase de distancia do punto ao conxunto e se escribe d(x, A). Como ocorría en R n (vid. [13]), e coa mesma demostración, dado un conxunto A e puntos x, y nun espazo métrico (M, d), cúmprese d(x, A) d(y, A) d(x, y). (3.14) 3.11 Conxunto limitado. Diámetro. De novo coa mesma definición que en R n, un conxunto A nun espazo métrico (M, d) dise limitado se está contido nalgunha bóla, B M (x, r) tal que A B M (x, r). Seguindo coa xeneralización dos conceptos xa coñecidos, chámase diámetro dun conxunto non baleiro A, e se denota δ(a), ao número δ(a) = sup{d(x, y) x, y A}, cando existe. Se tal supremo non existe, dise que o diámetro é infinito, e escríbese δ(a) =.

42 42 Espazos métricos Certamente, un conxunto ten diámetro finito se, e soamente se, é limitado Exercicio. Demostrade que nun espazo vectorial normado o diámetro dunha bóla é dúas veces o raio. Buscade un contraexemplo para un espazo métrico arbitrario Métricas limitadas. Vexamos unha maneira de, a partir dunha métrica, construír outras dúas, de xeito que o espazo resultante sexa limitado. Son métricas que terán certo interese teórico. Sexa (M, d) un espazo métrico. A fórmula d(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y) (3.15) define unha nova métrica sobre M. Para comprobar a desigualdade triangular chega con ver que, se a, b e c son números non negativos, daquela a b + c a 1 + a b 1 + b + c 1 + c. Ímolo comprobar. Se 0 a u, daquela tamén a(1 + u) u(1 + a), ou sexa, Agora, se a b + c, facendo u = b + c, resulta a/(1 + a) u/(1 + u). a 1 + a b + c 1 + b + c = b 1 + b + c + c 1 + b + c b 1 + b + c 1 + c. A outra métrica vén dada por d 0 (x, y) = mín{d(x, y), 1}. (3.16) 3.3. Topoloxía asociada a unha métrica A colección das bólas abertas dun espazo métrico (M, d) é base dunha topoloxía, a topoloxía métrica, que denotaremos τ d. Ao espazo topolóxico resultante, (M, τ d ), seguiremos a denominalo espazo métrico. Os cálculos necesarios para concluír que as bólas abertas son base dunha topoloxía son os mesmos que os desenvoltos en R n para a distancia euclidiana; unicamente usan as propiedades de definición de métrica, particularmente, a desigualdade triangular. Na linguaxe que temos introducido para os espazos topolóxicos, importa comprender que, no contexto dos espazos métricos, as bólas abertas de centro un punto constitúen unha base local (as pechadas, tamén!). Tendo presente este feito, podemos reformular a definición de continuidade volvendo á que orixinariamente consideramos nos espazos euclidianos, en termos de ɛ e δ Definición Sexan (M, d M ) e (N, d N ) espazos métricos, x M. Unha aplicación f : (M, d M ) (N, d N ) é continua en x se para todo ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que se d(x, y) < δ, entón d(f(x), f(y)) < ɛ.

43 3.3 Topoloxía asociada a unha métrica 43 Nesta definición, como ben sabemos, o δ de pende de ɛ e do punto x. Se non depende do punto, teriamos a noción máis forte de continuidade uniforme: unha aplicación f : (M, d M ) (N, d N ) é uniformemente continua se dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que d M (x, y) < δ d N (f(x), f(y)) < ε para calquera par de puntos x, y M. A seguinte condición, que xa temos encontrado, garante que unha aplicación sexa uniformemente continua. Abonda tomar, para un ε dado, δ = ε/k Definición Unha aplicación f : (M, d M ) (N, d N ) entre espazos métricos dise lipschitziana se existe unha constante positiva k tal que para todo par de puntos x, y M. d N (f(x), f(y)) k d M (x, y) 3.16 Exemplo. Sexa A un subconxunto non baleiro dun espazo métrico (M, d). A aplicación d(, A): M R dada por d(x, A) = ínf{d(x, a) a A}, é lipschitziana, con constante k = 1. En efecto, a condición exprésase pola desigualdade d(x, A) d(y, A) d(x, y) ([13, Lema 2.12]). Fagamos un pequeno cálculo, axudándonos deste último exemplo Proposición Sexa A un subconxunto dun espazo métrico (M, d). Verifícase: Cl(A) = {x M d(x, A) = 0}. Proba Sexa F = {x M d(x, A) = 0}. O conxunto F é pechado, pois é a imaxe recíproca do 0 R pola aplicación d(, A): M R. Ademais, A F. Logo, Cl(A) F. Vexamos a outra inclusión. Se x / Cl(A), existirá unha bóla de centro x, B M (x, r), que non corte a A. Logo, r é unha cota inferior do conxunto de números {d(x, a) a A}, ou sexa, d(x, A) r. E, pois, d(x, A) 0 e x / F.

44 44 Espazos métricos 3.18 Proposición Sexa (M, d) un espazo métrico. Consideremos en M M a métrica produto, en R, a usual. A función distancia, é continua. d: M M R, Proba En efecto, é mesmo lipschitziana: se (x, y), (u, v) son dous puntos de M M, cúmprese e, logo, d(x, y) d(x, u) + d(u, y) d(x, u) + d(u, v) + d(v, y) d(x, y) d(u, v) d(x, u) + d(v, y). Intercambiando x con u e y con v, obtemos d(u, v) d(x, y) d(x, u) + d(v, y) e, finalmente d(x, y) d(u, v) 2 máx{d(x, u), d(y, v)}, que é a condición requirida. Métricas topoloxicamente equivalentes Consideremos nun conxunto M dúas métricas d 1 e d 2, e as correspondentes topoloxías τ 1 e τ 2. Imos enunciar de novo a Proposición 1.45, adaptada ao caso de topoloxías métricas Proposición Dadas dúas métricas d 1 e d 2 nun conxunto M con topoloxías asociadas τ 1 e τ 2, τ 1 τ 2 sse para cada punto x de M e cada bóla B 1 (x, r) de d 1, existe unha bóla B 2 (x, s) de d 2 tal que B 2 (x, s) B 1 (x, r) Exemplo. Comparemos as topoloxías inducidas polas métricas usual, d 2, e produto, d, en R 2. Trátase de ver que para cada bóla usual B 2 ((x, y), r), existe un s tal que a bóla B ((x, y), s) está contida na bóla dada. Obviamente, abonda tomar s = r 2/2. Así, τ τ 2. Unha discusión análoga permitiría concluír que o recíproco tamén é certo, neste caso tomando s = r, e, pois, que as dúas topoloxías τ e τ 2 coinciden Definición Duas métricas sobre un conxunto M dinse topoloxicamente equivalentes se as correspondentes topoloxías asociadas coinciden Exemplo. Na Sección 3.13, fórmulas (3.15) e (3.16), introducíronse dúas métricas, d e d 0, asociadas a unha métrica d, de xeito que os espazos resultantes, (M, d) e (M, d 0 ), son limitados. Estas métricas son topoloxicamente equivalentes á metrica d de partida. No caso da métrica d 0 isto é obvio, pois as bólas de raio menor ou igual que 1 son as mesmas para as dúas. Para comprobar a equivalencia das métricas d e d, abonda ter presente que, para todo r > 0 e todo s comprendido entre 0 e 1, tense B d (x, r) = B d (x, r 1 + r ) ; B d (x, s) = B s d(x, 1 s ).

45 3.3 Topoloxía asociada a unha métrica Exemplo. Comparemos as topoloxías asociadas ás métricas ρ e ρ 1 sobre C(I). Xa que ρ 1 (f, g) ρ (f, g), a topoloxía asociada á métrica ρ é máis fina que a topoloxía asociada á métrica ρ 1, B ρ (f, r) B ρ1 (f, r). Pola contra, unha bóla B ρ (f, r) nunca contén bólas B ρ1 (f, r). En efecto, sexa g : [0, 1] R a aplicación dada por 2rb 2rx (x, ) se 0 x b, g(x) = b (x, 0) se b x 1. onde b é un número positivo menor que s/r (vid. Figura 3.4). 2r 0 b 1 Figura 3.4: Grafo de g. A distancia ρ 1 (0, g) é a área do triángulo de altura 2r e base b, ou sexa, b r, que é menor que s. Así, a aplicación f + g pertence á bóla B ρ1 (f, r). En troques, como g(0) = 2r > r, a aplicación f + g non pertence á bóla B ρ (f, r). Métricas lipschitzianamente equivalentes Sexan d i, d j dúas das métricas d 1, d 2 ou d en R n. Consideremos a aplicación identidade id: (R n, d i ) (R n, d j ). As desigualdades (3.10) implican que esta aplicación é lipschitziana, logo, continua. En xeral, cando nun mesmo conxunto consideramos métricas diferentes e as aplicacións identidade, nos dous sentidos, son lipschitzianas, dise que as métricas son lipschitzianamente equivalentes. Por exemplo, as métricas d k que construímos en R n (3.9) son todas lipschitzianamente equivalentes. Naturalmente, dadas dúas métricas nun mesmo conxunto a identidade non ten por que ser continua. Se tomamos a identidade entre R 2 coa métrica euclidiana e R 2 coa métrica discreta, id: (R 2, d 2 ) (R 2, d S ), a imaxe recíproca dun punto, que é unha bóla aberta no rango, non é un conxunto aberto no dominio.

46 46 Espazos métricos 3.4. Isometrías 3.24 Definición Unha función isométrica h: (M, d M ) (N, d N ) entre dous espazos métricos é unha aplicación que conserva as distancias, d N (h(x), h(y)) = d M (x, y). Se, ademais, a aplicación é bixectiva, diremos que é unha isometría. Se entre (M, d M ) e (N, d N ) existe unha isometría, diremos que son espazos isométricos. Obsérvese que a composición de isometrías é unha isometría e que se h é unha isometría entre (M, d M ) e (N, d N ), en particular é bixectiva, logo existe a aplicación inversa h 1. E, obviamente, h 1 tamén é unha isometría. Concluímos, pois, que entre (M, d M ) e (N, d N ) hai dúas aplicacións, unha inversa da outra, que conservan a métrica, determinan unha equivalencia entre espazos métricos, unha equivalencia métrica. Obviamente, toda función isométrica é continua. En particular, pois, toda isometría é un homeomorfismo Definición Diremos que p é unha propiedade métrica se cada vez que a ten un espazo M tena todo espazo isométrico a M. Ser limitado é, obviamente, unha propiedade métrica. Pódese dicir que o estudo métrico do espazo consiste xustamente na consideración das propiedades que se conservan por isometrías. Dedúcese tamén, do comentario feito arriba, que a composición de aplicacións define unha estrutura de grupo no conxunto das isometrías dun espazo métrico M, o grupo de isometrías de M, denotado Iso(M) Exemplo. Considerando a métrica euclidiana, a inclusión canónica de R n en R n+1, dada por (x 1, x 2,..., x n ) (x 1, x 2,..., x n, 0), é unha aplicación isométrica. Na práctica, adóitase identificar cada espazo R n coa súa imaxe por esta aplicación en R n+1, tendo unha cadea de inclusións isométricas R R 2 R 3 R n R n+1 (3.17) Isometrías do espazo euclidiano Comecemos considerando as translacións en R n. Unha translación h: R n R n vén determinada por un elemento de R n, digamos, a: As translacións son isometrías. Obviamente, h(x) = x + a. (3.18) d 2 (h(x), h(y)) = h(x) h(y) 2 = x + a (y + a) 2 = x y 2 = d(x, y) 2.

47 3.4 Isometrías 47 De 5.6 sabemos que as isometrías lineares son as aplicacións lineares que conservan a norma. En R n estas aplicacións van ser precisamente as transformacións ortogonais. Unha aplicación linear T : R n R n é unha transformación ortogonal se verifica T (x), T (y) = x, y. (3.19) Dende logo, se é ortogonal conserva a norma, T (x) 2 = x 2, logo é isometría. Reciprocamente, se T é unha isometría linear, conserva a norma e, pois, para todo x R n, logo T (x), T (x) = x, x, T (x y), T (x y) = x y, x y e, finalmente, T (x), T (y) = x, y. Vemos que as translacións e as transformacións ortogonais son isometrías. Imos ver agora que son, esencialmente, todas. Máis precisamente, imos ver que non hai máis isometrías que estas e as súas composicións Lema Sexa a 1, a 2,..., a n unha base de R n. Cada punto de R n vén determinado pola súa distancia aos puntos da base e ao 0. Poderiamos enunciar o lema dun xeito algo máis xeral, dicindo que cada punto do espazo euclidiano n-dimensional vén determinado polas distancias a n + 1 puntos afinmente independentes. Sexan x, y R n. Supoñamos d 2 (x, 0) = d 2 (y, 0), d 2 (x, a i ) = d 2 (y, a i ), i = 1, 2,..., n. (3.20) Imos comprobar que, baixo estas hipóteses, x, z = y, z para todo z R n, e, pois, x = y. Sexa z = n i=1 r ia i. De (3.20) segue Pero e, analogamente, x a i, x a i = d(x, a i ) 2 = d(y, a i ) 2 = y a i, y a i. x a i, x a i = x, x + a i, a i 2 x, a i y a i, y a i = y, y + a i, a i 2 y, a i. Como, tamén por (3.20), x, x = y, y, segue x, a i = y, a i, e, pois, x, n n r i a i = y, r i a i. i=1 i= Lema Sexa h: R n R n unha aplicación isométrica tal que h(0) = 0. Entón h é linear.

48 48 Espazos métricos Sexa a 1, a 2,..., a n unha base de R n. Denotemos as súas imaxes por b i, b i = h(a i ). Facendo T (a i ) = b i, 1 i n, definimos unha aplicación linear T : R n R n. Demostraremos T = h. Comezaremos establecendo unhas igualdades que terán unha dobre utilidade: Como h é isométrica, verifícase b i, b j = a i, a j, 1 i, j n. (3.21) b i b j, b i b j = d 2 (b i, b j ) 2 = d 2 (a i, a j ) 2 = a i a j, a i a j. Mediante un argumento idéntico o que vimos de facer no lema anterior, utilizando a hipótese h(0) = 0, obtense (3.21). Primeiramente deducimos destas igualdades que os vectores b i son linearmente independentes. Certamente, se houbera unha relación de dependencia linear entre eles, n i=1 r ib i = 0, r i R, teríase: n n 0 = r i b i 2 = r i b i, i=1 = = = i=1 n r j b j j=1 n r i r j b i, b j = i,j=1 n r i a i, i=1 n r j a j j=1 n r i a i 2, i=1 n r i r j a i, a j contradicindo o carácter linearmente independente dos vectores a i. O segundo uso que facemos das igualdades (3.21) é concluír que T é ortogonal. Efectivamente, estas igualdades expresan T a i, T a j = a i, a j. Por linearidade, T x, T y = x, y para calquera x, y R n. Xa que logo, T é unha isometría. Sendo T e h isometrías, temos i,j=1 d(h(x), b i ) = d(x, a i ) = d(t x, b i ), 1 i n, d(h(x), 0) = d(x, 0) = d(t x, 0). Do lema anterior dedúcese que h(x) = T x. Sexa agora h: R n R n unha isometría arbitraria de R n. Sexa a = h(0). Compoñendo H coa translación h a obtemos unha isometría que leva o cero no cero, ou sexa, que é unha transformación ortogonal T : h a h = T. Finalmente, h = h a T, e concluímos, como tiñamos enunciado, que toda isometría de R n é composición dunha translación e dunha aplicación ortogonal. As isometrías de R 2 e R 3 son precisamente os movementos da xeometría elemental. Pódese dicir que a xeometría euclidiana xustamente estuda as propiedades das figuras que se conservan por estas transformacións. Esta idea é aplicábel a calquera espazo métrico.

49 3.5 Outros exemplos de métricas Outros exemplos de métricas Nos exercicios propostos veremos unha ampla variedade de métricas; unhas terán o interese de servir de contraexemplo a cuestións varias, o simplemente exercitar as definicións e os cálculos que requiren. Outras terán interese en matemáticas ou aplicacións diversas, pero non serán centrais no curso. Imos pechar o tema cuns exemplos interesantes; un de carácter xeométrico, unha métrica sobre a esfera S 2, que non será a inducida pola métrica euclidiana de R 3. Avanzado o curso, construiremos métricas sobre outras superficies, como o Toro, o Plano Proxectivo ou a Garrafa de Klein. Outra de interese en teoría de números. Outra, en fin, de construción máis laboriosa e resultado, se cadra, algo sorprendente Unha métrica sobre S 2. Dados dous puntos x, y de S 2, imos considerar a lonxitude do menor arco de circunferencia máxima que os une, medido en radiáns. Ou sexa, o valor en radiáns do ángulo x0y, sendo 0 a orixe de coordenadas en R 3. A relación entre ángulo e métrica euclidiana vén dada pola fórmula 3.5, que relaciona as normas dos vectores, o seu produto interno e o coseno do ángulo que forman. Como neste caso os vectores son unitarios, o coseno coincide co produto interno. Así, definimos a métrica por: d S 2 : S 2 S 2 R, d S 2(x, y) = arccos( x, y ), (3.22) tomando o valor do arco comprendido entre 0 e π. As dúas primeiras propiedades de métrica son de comprobación inmediata; a verificación da desigualdade triangular é máis traballosa. Dados x, y, z S 2, denotemos α = d S 2(x, y), β = d S 2(y, z) e γ = d S 2(x, z), α, β, γ [0, π]. Trátase de probar a desigualdade γ α + β. Podemos supor α + β [0, π]; neste caso, a desigualdade buscada equivale a cos γ cos(α + β). Utilizamos o seguinte artificio: sexan a = x y cos α, b = y cos β z. Resulta a = sen α, b = sen β, e a, b = cos γ + cos α cos β. Da desigualdade de Schwarz, a, b a b, segue cos γ cos α cos β sen α sen β = cos(α + β). Esta métrica pódese definir en calquera esfera S n. Outra forma de expresala, sendo d 2 a metrica eucldiana de R n+1, é: d S n(x, y) = 2 arcsen( 1 2 d 2(x, y)). Como se pode traballar no plano determinado polos dous puntos e a orixe, para obter esta expresión chega con facer o cálculo para n = 1, que é fácil Métrica p-ádica. Sexa p un número primo. Definimos d: Z Z R por d(m, m) = 0 e d(m, n) = 1/p k, cando m n = p k r, sendo r, k enteiros, r non divisíbel por p. Verifica unha forma forte de desigualdade triangular: se m, n, q Z, d(m, n) máx{d(m, q), d(q, n)}.

50 50 Espazos métricos Supoñamos sendo Tense, pois, Suposto k 2 k 1, será d(m, n) = 1/p k, d(m, q) = 1/p k1, d(q, n) = 1/p k2, m n = p k r, m q = p k1 r 1 e q n = p k2 r 2. m n = p k r = p k1 r 1 + p k2 r 2. p k r = p k2 (p k1 k2 r 1 + r 2 ). Se k 1 k 2, p k1 k2 r 1 + r 2 non é divisible por p e resulta k = mín{k 1, k 2 }. Se k 1 = k 2, daquela k mín{k 1, k 2 }. En calquera caso, 1 p k máx{ 1 p k1, 1 p k2 }, que é o resultado anunciado. Esta métrica pódese definir en todo Q: para x e y números racionais diferentes, se x y = p k r/s, sendo r e s enteiros non divisibles por p, fariamos d(x, y) = 1/p k. Adiantándonos ao que imos ver no tema seguinte, o espazo métrico resultante non vai ser completo; a súa compleción vai ser un corpo ordenado e completo; non será R porque non vai ser arquimediano. Será o corpo dos números p-ádicos. Se p fora un enteiro natural maior que 1, non necesariamente primo, esta construción tamén se pode facer, pero, de non ser primo, o resultado non sería un corpo Unha métrica máis difícil en R. Imos construír unha métrica interesante, por un procedemento algo traballoso. Comezamos definindo unha moi sinxela: Fixado un número real, z, definimos a métrica d z da seguinte forma: x y se x, y < z ou x, y z, d z (x, y) = 1 + x y noutro caso É doado comprobar que se trata dunha métrica; será útil ir pensando como son as súas bólas. Agora enumeramos o conxunto Q; sexa {q n, n N} unha enumeración. Para cada punto q n consideramos a métrica d qn. E definimos a nova métrica que procurabamos: d(x, y) = n N 1 n 2 d q n (x, y). Como para cada n se verifica d qn (x, y) 1 + x y, a suma está ben definida. Do feito de que cada sumando sexa unha métrica dedúcese que a suma tamén o é. O interesante, agora, é describir as súas bólas Execicios 3.1 Demostrade que as condicións da definición de métrica son equivalentes ás seguintes: 1. Para todo par de elementos x, y M, d(x, y) = 0 sse x = y.

51 3.6 Execicios d(y, z) d(x, y) + d(x, z), para x, y, z elementos de M. 3.2 Considerade a función d : R 2 R 2 R dada por: x 2 y 2 se x 1 = y 1 d (x, y) = x 2 + x 1 y 1 + y 2 se non onde x = (x 1, x 2 ), e y = (y 1, y 2 ). 1. Demostrade que é unha métrica (denomínase métrica do bosque) 2. Achade unha base local en cada punto do espazo 3.3 Sexan d 1 e d 2 métricas en M. Estudade se as seguintes son ou non métricas: a) d(x, y) = máx{d 1 (x, y), d 2 (x, y)} ; b) d 2 (x, y) = (d 1 (x, y)) Comprobade que a seguinte é unha métrica limitada en R: Interpretádea xeometricamente. 3.5 Sexa (X, d) un espazo métrico. d(x, y) = arctan x arctan y. 1. Demostrade que toda bóla aberta é unión de bólas pechadas. 2. Demostrade que toda bóla pechada é intersección de bólas abertas. 3. Demostrade que todo conxunto dun só punto é intersección de bólas pechadas. En consecuencia, que é un conxunto pechado. 3.6 Sexa (M, d) un espazo métrico, x un punto de M e r > 0. Sexa F = M B M (x, r). Demostrade que se d(y, F ) = 0, entón y F. 3.7 Sexa B M (x, r) unha bóla nun espazo métrico (M, d). Sexa A un subconxunto de M de diámetro menor que r, δ(a) < r, e tal que A B M (x, r). Probade que A está contido en B M (x, 2r). 3.8 Sexan A e B subconxuntos non baleiros de M, con diámetro finito. Demostrade 1. δ(a) = 0 se, e só se, A ten un único elemento. 2. A B δ(a) δ(b). 3. A B δ(a B) δ(a) + δ(b). 4. δ(a B) δ(a) + δ(b) + d(a, B).

52 52 Espazos métricos 3.9 Sexa P(N) o conxunto de partes de N. Sexan A, B P(N). Definimos unha función d: P(N) P(N) R por: d(a, B) = 0 se A = B; noutro caso, d(a, B) = 1/m, sendo m o menor enteiro que está nun conxunto pero non no outro, m = mín{(a B) (B A}. 1. Establecede a equivalende d(a, B) < 1/m [1, m] A = [1, m] B. 2. Comprobade que é unha métrica 3. Demostrade que a aplicación P(N) P(N) que a A asocia o seu complementar N A é unha isometría 3.10 Definimos funcións δ : R R R e δ : R R R da seguinte forma: x y se x, y < 0 ou x, y 0, δ (x, y) = 1 + x y noutro caso e x y se x, y 0 ou x, y > 0, δ (x, y) = 1 + x y noutro caso 1. Comprobade que son métricas 2. Achade as bólas abertas de centros 0, 1 e 1 e raio 1/2 3. Considerade (R, δ ) e (R, δ ) e construíde un homeomorfismo entre os espazos topolóxicos correspondentes 4. Son as métricas δ e δ topoloxicamente equivalentes? 3.11 Sexan X e Y espazos métricos, f : X Y unha función continua. Sexan a, b Y dous puntos distintos. Sexa E = f 1 (a), F = f 1 (b). Demostrade que se d(e, F ) = 0, daquela a función f non é uniformemente continua. Procurade un exemplo.

53 Capítulo 4 Metrizabilidade e numerabilidade Émile Borel ( ) estudante de Hermite, foi profesor en París e un dos matemáticos máis influíntes da súa época. Fixo numerosas e profundas contribucións a análise e probabilidade. En 1895 probou que se unha colección enumerábel de intervalos abertos é cobertura dun intervalo pechado, entón ten unha subcobertura finita Metrizabilidade e axioma de separación de Hausdorff Moitas das topoloxías nas que nos interesamos no marco dos espazos topolóxicos abstractos, definidas de moi diversas formas, por exemplo, dando unha base, poderían ser construídas a partir dunha métrica, de xeito que os correspondentes espazos resultarían ser tamén espazos métricos. Esta situación é a que recolle a seguinte definición: 4.1 Definición Dise que un espazo topolóxico (X, τ) é metrizábel se a súa topoloxía pode ser definida a partir dunha métrica. Unha cuestión de interese, que ten motivado moitos estudos e non foi resolta ata pasada a metade do s. XX, é a de saber cando un espazo topolóxico dado é metrizábel. O Teorema de Nagata-Smirnov, que nós non imos considerar aquí, dá unha resposta completa (vid. [22]). Máis adiante estudaremos un teorema de metrizabilidade (será o Teorema de metrizabilidade

54 54 Metrizabilidade e numerabilidade de Urysohn, no Tema 8). De momento, contentarémonos con algúns resultados parciais, en particular baixo a forma de condicións necesárias que un espazo debe cumprir para ser metrizábel. Entre estes criterios están os chamados axiomas de separación, que expresan propriedades de separación de puntos (ou subconxuntos pechados) por abertos ou por funcións. O seguinte é o axioma de separación de Hausdorff: 4.2 Definición Un espazo topolóxico (X, τ) dise Hausdorff (ou separado), se dados dous puntos distintos x, y X, existen dous conxuntos abertos disxuntos U e V con x U e y V. 4.3 Exemplos Certamente todo espazo métrico é Hausdorff. Dados dous puntos distintos, abonda coller as bólas abertas de centro cada punto e raio a metade da distancia entre eles. A recta de Sorgenfrey tamén é Hausdorff. Os espazos triviais con máis dun punto non son Hausdorff. A recta de Kolmogoroff tampouco é Hausdorff. Como diciamos antes, o carácter Hausdorff dá un criterio, ás veces insuficiente, para, dado un espazo topolóxico, saber se a súa topoloxía τ pode ser definida a partir dunha métrica. 4.4 Exemplos A recta de Kolmogoroff non é un espazo metrizábel. Un espazo coa topoloxía trivial con máis dun punto, tampouco. 4.5 Exemplo. Calquera conxunto X coa topoloxía discreta é un espazo metrizábel. A métrica que a define é a métrica discreta, definida no Exemplo 3.3. Vén dada por d(x, y) = 1 se x y. 4.6 Teorema As propiedades ser metrizábel e ser Hausdorff, son topolóxicas e hereditarias. 4.7 Observación Nun espazo topolóxico Hausdorff X cada punto é un conxunto pechado: se x X, a condición de ser Hausdorff implica que o seu complementar é aberto. Pero a propiedade de cada punto ser un conxunto pechado é máis feble que a de ser Hausdorff. Así, R coa topoloxía cofinita non é Hausdorff, non hai conxuntos abertos non baleiros dixuntos, e non obstante cada punto é un conxunto pechado. Que cada punto sexa un conxunto pechado equivale á condición seguinte: dados dous puntos x, y distintos, existe un aberto U ao que pertence x e que non contén y, e un aberto V ao que pertence y e que non contén x Esta condición, na que non imos insistir, coñécese como axioma de separación de Frechet, e os espazos que a verifican denomínanse espazos de Frechet. Estúdiase aínda un axioma de separación máis feble, no que tampouco nos imos deter: dados dous puntos distintos x, y, existe un aberto que contén un deles e non contén o outro. É o chamado axioma de separación de Kolmogoroff. Un exemplo de espazo que o verifica é a recta de Kolmogoroff. A estes axiomas e espazos denomínaselles tamén T 0, os de Kolmogoroff, T 1, os de Frechet, e T 2, os Hausdorff. Así, dun espazo Hausdorff dirase tamén que é un espazo T 2. Hai outros axiomas de separación máis fortes, entre eles o que caracteriza aos espazos normais, que estudaremos máis adiante.

55 4.2 Primeiro enumerabilidade e converxencia Primeiro enumerabilidade e converxencia Nos espazos euclidianos facíase uso sistemático, explicita ou implicitamente, da familia de bólas abertas B X (x, 1/n), n N, e do feito, non expresado formalmente, de que sexa unha base local. Un espazo topolóxico arbitrario non sempre admite bases locais enumerábeis. 4.8 Definición Un espazo topolóxico X satisfai o primeiro axioma de numerabilidade se existe unha base local enumerábel (ou finita) en cada punto x X. Neste caso dise, tamén, que X é primeiro enumerábel. Do mesmo xeito que nos espazos euclidianos, nun espazo métrico M, nun punto x M, a colección B M (x, 1/n), n N é base local. Ademais dos espazos métricos, case todos os espazos topolóxicos que estudamos deica agora, e case todos os que imos considerar ao longo deste curso, son primeiro enumerábeis. 4.9 Exemplo. A recta de Sorgenfrey é primeiro enumerábel. En efecto, para un punto x, a colección {[x, x + 1/n), n N} é unha base local Exemplo. A recta real coa topoloxía cofinita non é primeiro enumerábel. Supoñamos, por contra, que {U n = R F n, n N} fora unha base local en x, onde cada F n é un subconxunto finito de R. Dado y R, y x, xa que o conxunto R {y} é aberto e contén x, existirá un elemento da base, digamos U n, tal que U n R {y}. Ou sexa, y / U n, ou, o que é o mesmo, y F n. Como y era un punto calquera diferente de x, dedúcese R {x} = n N F n, o que é contradictório, pois R x é non enumerábel, mentres que n N F n é enumerábel, por ser unión enumerábel de conxuntos finitos Teorema Satisfacer o primeiro axioma de numerabilidade é unha propiedade topolóxica. Tamén é hereditaria. A importancia da propiedade de ser primeiro enumerábel reside en que permite caracterizar a topoloxía do espazo mediante converxencia de sucesións, tal como se fixo nos espazos euclidianos. Nós imos caracterizar a adherencia dun conxunto mediante sucesións. Así quedarán caracterizados os conxuntos pechados e, pois, a topoloxía Definición Sexa X un espazo topolóxico e {x n } unha sucesión de puntos de X. Dise que a sucesión {x n } converxe a un punto x de X se para cada veciñanza U de x existe un número natural n 0 tal que se n n 0, entón x n U. Neste caso escríbese {x n } x, ou lím n x n = x e dise que x é límite da sucesión {x n } Proposición Sexa X un espazo topolóxico, E X, x X. Se X satisfai o primeiro axioma de numerabilidade entón x Cl(E) {x n } E tal que {x n } x.

56 56 Metrizabilidade e numerabilidade Para demostrar a proposición necesitamos unha base local enumerábel e contractiva Lema Sexa X un espazo topolóxico primeiro enumerábel. Daquela para cada punto x X existe unha base local numerábel, { V n n N}, contractiva, ou sexa, verificando V 1 V 2 V 3 Proba En efecto, partindo dunha base local enumerábel arbitraria no punto x, { U n n N }, chega considerar a nova colección definida polo seguinte procedemento recorrente: V 1 = U 1, V 2 = U 1 U 2,..., V n = U 1 U 2 U n,... Certamente, a nova colección é contractiva. Do feito de que cada V n sexa aberto e que V n U n séguese que é unha base local. O seguinte lema tamén é útil para a demostración. Vai proporcionar o procedemento máis común de construcción de sucesións converxentes Lema Sexa X un espazo topolóxico, x X. Sexa {U n, n N} unha base local contractiva en x. Sexa x n U n. A sucesión {x n } converxe a x. Proba En efecto, dada unha veciñanza V de x, existirá un elemento da base local, digamos U N, contido en V. Logo a condición de converxencia da Definición 4.12 verifícase para n 0 = N. Vexamos agora a proba da proposición. Sexa x un punto adherente de E. Sexa {U n, n N} unha base local contractiva en x. Por ser punto adherente, as interseccións E U n son non baleiras. Collamos un punto x n en cada intersección. Polo Lema 4.15, a sucesión {x n } converxe a x. Reciprocamente, se existe unha sucesión {x n } de puntos de E que converxe a x, xa que toda veciñanza de x debe conter puntos da sucesión, contén puntos de E, e logo x é punto adherente. A posibilidade de utilizar sucesións aforra moito traballo. Nos espazos euclidianos era o método usado habitualmente. Agora vemos que se pode facer o mesmo en espazos primeiro enumerábeis, e a práctica totalidade dos espazos que imos atopar o son. Se non se cumpre o primeiro axioma, a Proposición 4.13 pode non se verificar. Vexamos un primeiro contraexemplo Topoloxía coenumerábel. Dotamos R da seguinte topoloxía: τ coe = { } {U R U é ao sumo enumerábel}. O argumento feito no Exemplo 1.8 para a topoloxía cofinita permite concluír que non é primeiro enumerábel. Nesta topoloxía unha sucesión {x n } converxe a x sse existe un N N tal que x n = x para n N. Noutro caso, o conxunto R {x n, x n x} é unha veciñanza de x que non contén ningunha cola da sucesión. Non obstante, calquera conxunto infinito non enumerábel, por exemplo, o intervalo (0, 1), ten R como adherencia, pois R é o único conxunto pechado infinito non enumerábel.

57 4.3 Converxencia en espazos métricos. Compleción 57 Continuidade secuencial Cando o dominio dunha aplicación é un espazo primeiro enumerábel, a continuidade, como ocorría nos espazos euclidianos, pode ser caracterizada mediante converxencia de sucesións. Sexan X, Y espazos topolóxicos, f : X Y unha aplicación, x 0 un punto de X. Recordemos que f é secuencialmente continua en x 0 se para cada sucesión {x n } converxente a x 0, a sucesión {f(x n )} converxe a f(x 0 ). E a aplicación é secuencialmente continua se cumpre a condición para cada punto de X. A continuidade implica a continuidade secuencial, sen necesidade de que se verifique o primeiro axioma. O recíproco non é certo sempre Teorema Sexa X un espazo topolóxico primeiro enumerábel, x 0 un punto de X. Unha aplicación f : X Y é continua en x 0 sse é secuencialmente continua en x 0. Proba Supoñamos f continua nun punto x 0. Sexa {x n } unha sucesión converxente a x 0, V unha veciñanza de f(x 0 ). En f 1 (V ) están todos os termos da sucesión a partir dun dado, pois f 1 (V ) é unha veciñanza de x 0, logo o mesmo pasa para a sucesión imaxe {f(x n )} e V. Así, f é secuencialmente continua en x 0. Obsérvese que non se utilizou ningunha hipótese sobre X. Supoñamos agora X primeiro enumerábel e f secuencialmente continua en x 0. Sexa de novo V unha veciñanza de f(x 0 ). Imos razoar por reducción ao absurdo. Se ningunha veciñanza de x 0 verifica a condición de continuidade, podo considerar unha base local en x 0, {U n, n N}, enumerábel e encaixada, tal que para ningún n se verifique f(u n ) V. Sexa x n U n un punto tal que f(x n ) / V. Como a base local é encaixada, a sucesión {x n } converxe a x 0, pero, obviamente, a sucesión imaxe non converxe a f(x 0 ), contradicindo a hipótese de continuidade secuencial Exemplo. A identidade id: (R, τ coe ) (R, τ u ), onde τ coe é a topoloxía introducida no Exemplo 4.16, non é continua, pero é secuencialmente continua. En efecto, en (R, τ coe ) ningunha sucesión que non sexa constante a partir dun termo converxe, pois, calquera que sexa x 0, o conxunto (R {x n, n N}) {x 0 } é aberto Converxencia en espazos métricos. Compleción Como xa dixemos, os espazos métricos son primeiro enumerábeis. A converxencia de sucesións será, pois, unha ferramenta fundamental no estudo da súa topoloxía. As súas propiedades formais son idénticas ás establecidas para a converxencia de sucesións nos espazos euclidianos. Así, nun espazo métrico (M, d) unha sucesión {x n } converxe a un punto x 0 sse a sucesión numérica {d(x n, x 0 )} converxe a 0. E se (V, ) é un espazo vectorial normado, a sucesión {x n } converxe a x 0 sse a sucesión numérica x n x 0 converxe a 0. Xa estudamos a completitude dos espazos euclidianos, e vimos algunhas consecuencias do seu carácter completo. Imos estender agora este concepto a espazos métricos xerais, facer un

58 58 Metrizabilidade e numerabilidade tratamento máis sistemático e deducir algunhas das importantes propiedades derivadas da completitude. Como ocorría nos espazos euclidianos, nun espazo métrico toda sucesión converxente é de Cauchy, pero non sempre unha sucesión de Cauchy é converxente. A definición de sucesión de Cauchy nun espazo métrico é a mesma que a dada anteriormente nos espazos euclidianos, e as súas propiedades formais seguen a ser válidas no marco máis xeral Definición Diremos que un espazo métrico é completo se toda sucesión de Cauchy nel é converxente Exemplos Estudamos na materia Topoloxía dos espazos euclidianos que R n é completo. A sucesión de números racionais x n = (1 + 1/n) n converxe ao número e, logo é de Cauchy. Como e non é racional, concluímos que Q non é completo. Tampouco (0, 1) o é, pois a sucesión {1/n} non converxe. Da caracterización de conxuntos pechados por medio de converxencia de sucesións (Proposición 4.13), válida en espazos métricos, dedúcense os dous resultados seguintes: Sexa M un espazo métrico, E M un subespazo. Se E é completo, entón E é un subconxunto pechado de M Sexa (M, d) un espazo métrico completo, E un subconxunto pechado. O subespazo (E, d E ) é completo A compleción non é unha propiedade topolóxica.. Todo espazo M coa métrica discreta é completo, pois unha sucesión de Cauchy nun espazo discreto é constante a partir dun certo índice. Así, o conxunto {1, 1/2, 1/3,..., 1/n,...} coa métrica euclidiana non é completo, e si o é coa métrica discreta, ben que, neste conxunto, esas dúas métricas son topoloxicamente equivalentes O espazo C(I) coa métrica L 1 non é completo. Para cada n N definimos f n C(I) por: 2n 2 x se 0 x 1/2n f n (x) = 2n 2n 2 x se 1/2n x 1/n 0 se 1/n x 1 Comezamos comprobando que a sucesión {f n } é de Cauchy. Temos que demostrar que, para todo enteiro k N, lím n f n+k f n L 1 = 0. Esta norma, f n+k f n L 1, é a área comprendida entre os grafos das dúas aplicacións. Tense f n+k f n L 1 = f n+k L 1 + f n L 1 2 (n, k), onde (n, k) é a área do triángulo sombreado na Figura 4.1. Un pequeno cálculo permite comprobar 2nk + k 2 f n+k f n L 1 = 2n 2 + 2nk + k 2,

59 4.4 Segundo enumerabilidade e espazos separábeis 59 3 f 3 2 f Figura 4.1: Grafos de f 2 e f 3. 1 que converxe a cero cando n tende a infinito. Xa que as aplicacións f n toman o valor cero en intervalos crecentes [1/n, 1], se converxen a unha aplicación continua f, esta necesariamente vai ter que ser identicamente cero. Pero a sucesión non converxe a cero, pois cada norma f n L 1 é igual a 1/ Segundo enumerabilidade e espazos separábeis 4.25 Definición Dise que un espazo topolóxico satisfai o segundo axioma de numerabilidade se a súa topoloxía admite unha base enumerábel (ou finita). Dise, tamén, que é segundo enumerábel. Antes de buscarmos exemplos, imos desbotar algúns espazos. Do Lema 1.25 dedúcese: 4.26 Proposición Todo espazo topolóxico que satisfai o segundo axioma de numerabilidade tamén satisfai o primeiro. A recíproca da anterior proposición é falsa; por exemplo, ningún espazo discreto non enumerábel satisfai o segundo axioma de numerabilidade Exemplo. Vexamos que R coa topoloxía usual é segundo enumerábel, comprobando que a familia {(p, q), p < q, p, q Q}, obviamente enumerábel, é unha base. Para iso temos que ver que dado x e dado ɛ > 0 existe un intervalo (p, q) da familia tal que x (p, q) (x ɛ, x + ɛ). Pero isto significa unicamente que existan números racionais p e q comprendidos, respectivamente, entre x ɛ e x e entre x e x + ɛ.

60 60 Metrizabilidade e numerabilidade 4.28 Teorema Satisfacer o segundo axioma de numerabilidade é unha propiedade topolóxica. Tamén é hereditaria Topoloxía non segundo enumerábel nun conxunto enumerábel. Imos presentar unha topoloxía en Q que non é segundo enumerábel. Os conxuntos pechados, ademais de Q, serán os conxuntos E Q tais que, coa topoloxía usual, E =. En particular, coa distancia usual, ningún conxunto aberto non baleiro é limitado. Sexa {U n, n N} unha colección enumerábel de conxuntos abertos. Imos construír un conxunto aberto U que non contén ningún U n. Para iso construímos un conxunto E da seguinte maneira: para cada n N tomamos un x n U n tal que x n x i 1 para todo i < n. O conxunto buscado é U = Q E. Antes de considerarmos outros exemplos imos introducir novos conceptos relacionados, que facilitarán o traballo. Comezamos retomando o concepto de conxunto denso, do que recordamos de seguido a definición: 4.30 Definición Un subconxunto E dun espazo topolóxico X é denso en X se a súa adherencia é X Exemplos Q é denso en R coa topoloxía usual, Q n é denso en R n coa topoloxía usual. Calquera conxunto non limitado superiormente é denso na recta de Kolmogoroff. Todo subconxunto infinito é denso nun espazo coa topoloxía cofinita. Calquera subconxunto dun espazo trivial é denso. O único subconxunto denso dun espazo discreto é todo o espazo. A seguinte proposición dá dúas caracterizacións moi prácticas da propiedade de densidade Proposición Sexa X un espazo topolóxico, E un subconxunto de X. As seguintes condicións son equivalentes: 1. E é denso en X. 2. existe unha base da topoloxía de X tal que todo aberto básico corta a E. 3. todo aberto non baleiro corta a E. Proba 1) 3) Sexa x X. Por estar x na adherencia de E, todo aberto que o conteña corta a E. Como isto é válido para calquera x, todo aberto non baleiro corta E. 3) 2) é trivial. 2) 1) Sexa x X. Toda veciñanza de x contén un aberto básico, logo corta a E. No caso de espazos primeiro enumerábeis, nomeadamente, nos espazos métricos, o carácter denso dun conxunto pódese caracterizar por converxencia de sucesións: 4.33 Proposición Sexa X un espazo topolóxico primeiro enumerábel. Un subconxunto D é denso en X sse cada punto de X é limite dunha sucesión de puntos de D.

61 4.4 Segundo enumerabilidade e espazos separábeis 61 Así, un subconxunto é denso se todo elemento do espazo se pode aproximar por elementos do conxunto Exemplo. O teorema de aproximación de Weierstrass di que toda función real continua con dominio o intervalo pechado [0, 1] pode ser uniformemente aproximada por funcións polinomiais. Ou sexa, que dada f : [0, 1] R, existen funcións f n (x) = a nm x m +... a n1 x + a n0 tales que {f n } f uniformemente. Na nosa linguaxe diriámolo deste outro xeito: sexa C(I) o conxunto de funcións reais continuas do intervalo unidade. Consideremos nel a métrica da converxencia uniforme, que vén dada pola norma f = sup x I f(x). Con esta topoloxía, a converxencia de sucesións corresponde efectivamente á converxencia uniforme (vid. Sección 5.3). Sexa P(I) o subconxunto de funcións polinomiais. O teorema de Weierstrass di que P(I) é denso en C(I). Nós imos facer un cálculo máis sinxelo. Imos considerar o subconxunto P L(I) de C(I), das aplicacións lineares a trozos (denotado coas iniciais da expresión inglesa, piecewise linear ), e imos demostrar que é denso. Diremos que unha función f C(I) é linear a trozos se existe unha partición do intervalo unidade 0 = c 0 < c 1 <... < c k = 1 e aplicacións lineares dadas por f i : [c i 1, c i ] R, 1 i k, f i (x) = a i x + b i e tales que a i c i + b i = a i+1 c i + b i+1, de xeito que f sexa a aplicación combinada de todas elas, f(x) = f i (x), se c i 1 x c i. Sexa f C(I). Para cada enteiro natural k imos definir unha aplicación linear a trozos f k da seguinte maneira: f k (x) = k(f( i k ) f(i 1 1 ))x + if(i k k ) (i 1)f( i k ), sempre que i 1 x i k k, 1 i k. Trátase de comprobar que a sucesión {f k } converxe a f. Ou sexa, que dado ε > 0, existe un k 0 tal que se k k 0, sup{ f(x) f k (x) } < ε. Sendo continua con dominio o subconxunto compacto I de R, f é uniformemente continua, existirá un δ tal que se x y < δ, f(x) f(y) < ε. Abonda tomar k 0 tal que 1/k 0 < δ. En efecto, para cada k k 0 e cada x [ i 1 k, i k ], o valor f k(x) está comprendido entre os valores f k ( i 1 k ) = f( i 1 k ) e f k( i k ) = f( i k ). Así, f k (x) f(x) máx{ f( i 1 k ) f(x), f( i k ) f(x) } < ε. Obsérvese que neste cálculo non utilizamos todas as aplicacións lineares a trozos, limitámonos a usar aquelas construídas a partir de particións do intervalo unidade formadas por un

62 62 Metrizabilidade e numerabilidade número enteiro de partes iguais. Imos denotar P L 0 (I) ao subconxunto de P L(I) construído con estas particións de I, e P L Q (I) o subconxunto de P L 0 (I) que utiliza en cada trozo unicamente aplicacións lineares con coeficientes racionais. É doado comprobar que P L Q(I) é un subconxunto denso de P L 0 (I), logo, denso en C(I). Tamén resulta fácil comprobar que P L Q (I) é enumerábel. Pódese, por exemplo, establecer unha aplicación sobrexectiva Q... k Q P L Q (I) k N que a cada colección a i, 1 i k, de k números racionais faga corresponder a aplicación f P L Q (I) que definen, usando a partición de I en k partes iguais. (Non é inxectiva: unha aplicación linear con coeficientes racionais, por exemplo, terá unha infinidade de preimaxes) Definición Un espazo topolóxico é separábel se contén un subconxunto denso e numerábel Exemplos Os seguintes espazos son separábeis: 1. Do Exemplo 4.31 dedúcese que R coa topoloxía usual e os espazos euclidianos en xeral, son separábeis. 2. R coa topoloxía de Kolmogoroff. 3. R coa topoloxía cofinita. 4. A recta de Sorgenfrey é separábel. En efecto, Q é un subconxunto denso: en cada aberto básico [x, x + ɛ) existe un número racional. 5. Do comentario ao final do Exemplo 4.34 dedúcese que o espazo métrico C(I) coa métrica da converxencia uniforme é separábel. Do apartado 5) do Teorema 2.3 dedúcese: 4.37 Proposición Sexa f : X Y unha aplicación continua e sobrexectiva. i) Se D é un subconxunto denso de X, f(d) é un subconxunto denso de Y. ii) A imaxe continua dun espazo separábel é un espazo separábel Teorema Ser separábel é unha propiedade topolóxica. Non é hereditaria. Un contraexemplo ao carácter hereditario é o Plano de Moore (vid. exemplo 4.43). No eixo de abscisas induce a topoloxía discreta. O seguinte resultado é unha consecuencia inmediata da Proposición En efecto, para construír un subconxunto denso e enumerábel chega con fixar unha base enumerábel e coller un punto en cada aberto básico Proposición Se un espazo topolóxico satisfai o segundo axioma de numerabilidade entón é separábel.

63 4.4 Segundo enumerabilidade e espazos separábeis 63 A recíproca da anterior proposición é falsa; por exemplo, R coa topoloxía cofinita é separábel, pero non satisfai o segundo axioma de numerabilidade (porque, como vimos, non satisfai o primeiro) Teorema Sexa X un espazo metrizábel. Daquela, X é separábel se e só se X satisfai o segundo axioma de numerabilidade. Proba Sexa D un subconxunto denso e enumerábel. Fixemos unha métrica que defina a topoloxía de X. Imos comprobar que a seguinte colección β, obviamente enumerábel, é unha base: β = {B X (d, 1/n), d D, n N}. Para iso chega con ver que dada unha bóla aberta B X (x, r), existe un elemento de β contendo x e contido na bóla. Xa que D é denso en X, existe un punto d de D en B X (x, 1/n), onde 1/n r/2. Logo B X (d, 1/n) é o conxunto buscado Corolario Sexa X un espazo topolóxico metrizábel e separábel. Todo subespazo de X é separábel. Proba Todo subespazo dun espazo segundo enumerábel é segundo enumerábel. Na demostración do teorema utilízase que todo espazo metrizábel é primeiro enumerábel. Pero esta condición non chega, a demostración fai uso tamén da desigualdade triangular, un espazo topolóxico pode ser primeiro enumerábel e separábel sen verificar o segundo axioma. Vexamos un exemplo Exemplo. Consideremos a recta de Sorgenfrey (R, τ S ). Xa vimos que é primeiro enumerábel e separábel. Vexamos agora que non verifica o segundo axioma. Argumentaremos por reducción ao absurdo. Supoñamos que exista unha base enumerábel β = {U n, n N}. Para cada punto x debe existir un aberto básico, digamos U n(x), tal que x U n(x) [x, x + 1). Consideremos a aplicación de R en N que a cada x fai corresponder n(x). Imos ver que é inxectiva, en contradicción co carácter non enumerábel de R. Sexan x e y puntos distintos, digamos x < y. Pode ser n(x) = n(y)? Ou sexa, U n(x) = U n(y)? Certamente x U n(x) e y U n(y). Pero x non pode pertencer a U n(y), pois U n(y) [y, y + 1) e x < y. Podemos concluír que a recta de Sorgenfrey non é metrizábel Exemplo. Consideremos un novo exemplo de aplicación do teorema anterior: o plano de Moore é separábel e satisfai o primeiro axioma de numerabilidade, pero non o segundo. Xa que logo, non é metrizábel. É ben doado comprobar o primeiro axioma. Por exemplo, nun punto (x, 0) de Γ, a colección { {(x, 0)} B 2 ((x, 1/n), 1/n), n N} é unha base local. Tampouco é difícil concluír que o conxunto enumerábel é denso en Γ. D = {(p, q) p, q Q, q > 0}

64 64 Metrizabilidade e numerabilidade Existe unha base enumerábel? Tomemos para cada punto da forma (x, 0) un aberto da base de definición da topoloxía que o conteña, por exemplo, W x = {(x, 0)} B 2 ((x, 1), 1). Se houbera unha base numerábel, digamos, {U n }, habería un destes, sexa U n(x), tal que se cumpra x U n(x) W x. Como W x só contén o punto (x, 0) do eixo, o mesmo ocorre a U n(x) e, pois, todos os U n(x) resultan ser distintos, contradicindo o carácter non enumerábel de R. Non todo espazo métrico é separábel. Vexamos un contraexemplo Exemplo. Consideremos o espazo C(R, [0, 1]) coa métrica da converxencia uniforme. Veremos que non é separábel construíndo un subespazo discreto non enumerábel. Para cada subconxunto S de N imos construír unha aplicación f S C(R, [0, 1]) de xeito que, se S e T son subconxuntos distintos de N, entón ρ (f S, f T ) = 1. Así, xa que o conxunto de partes de N é non enumerábel, este conxunto será discreto e non enumerábel. f S tomará o valor 0 nos números non positivos. Tomará o valor 1 nos elementos de S, o valor 0 nos elementos de N S e será linear entre dous enteiros naturais consecutivos: se 1 n x n + 1, f S (x) = (1 x + n)f S (n) + (x n)f S (n + 1). Espazos polacos Uns espazos con moi boas propiedades, nos que se centran moitos estudos, son os denominados espazos polacos. Para definilos, primeiro falaremos de espazos completamente metrizábeis, espazos (X, τ) nos que a topoloxía se pode definir a partir dunha métrica d, ou sexa, τ = τ d, e tal que (X, d) sexa un espazo métrico completo. Será polaco se, ademais, é separábel Teorema de Baire Pódense presentar os espazos euclidianos R n como unión enumerábel de rectas? A resposta, negativa, vai ser consecuencia do Teorema de Baire que imos estudar nesta sección, teorema que ten importantes aplicacións, das que soamente poderemos considerar algún exemplo ilustrativo Definición Un subconxunto X de un espazo métrico M dise magro en M cando é unión enumerábel, X = n=1x n, de conxuntos X n tales que Int(X n ) =. Nunha terminoloxía en desuso, un conxunto magro tamén se di conxunto de primeira categoría. Nesa terminoloxía, un conxunto de segunda categoría é un conxunto que non é magro. É inmediato que todo subconxunto e toda unión enumerábel de conxuntos magros son aínda conxuntos magros. Non é verdade, emporiso, que todo conxunto magro X en M teña necesariamente interior baleiro en M. Por exemplo, todo subconxunto X de Q é magro en Q, pois é unión enumerábel

65 4.5 Teorema de Baire 65 dos seus puntos. Isto ocorre por non ser Q completo, conforme resulta do Teorema de Baire, a seguir Exemplos Nun espazo métrico un conxunto formado por un só punto ten interior non baleiro sse o punto é illado no espazo. Logo, un conxunto enumerábel X M é magro sse ningún dos seus puntos é illado. Unha recta en R 2 é un conxunto magro. Unha reunión enumerábel de rectas, tamén Exemplo. A fronteira dun conxunto aberto E M constitúe un exemplo de conxunto pechado con interior baleiro. Pois, por ser E aberto, E Fr(E) =. Logo, Int(Fr(E)) non corta a E e, xa que logo, é baleiro, pois se contivera un punto, sendo punto fronteiro, toda veciñanza tería que intersecar E Teorema (de Baire) Sexa M un espazo métrico completo. Todo conxunto magro en M ten interior baleiro. Obviamente, para que X sexa magro en M é necesario e suficiente que X sexa subconxunto dunha unión enumerábel de conxuntos pechados con interior baleiro, X F n, Int(F n ) =, F n = F n. n=1 Así, a tese do Teorema de Baire equivale a: Se F = n=1f n, onde cada F n é pechado en M e ten interior baleiro, entón Int(F ) =. Doutra parte, Int(X) = en M sse M X é denso. Séguese que un subconxunto F M é un pechado con interior baleiro sse o seu complementar M F é un aberto denso en M. Polo tanto, as seguintes condicións para un subconxunto X de M son equivalentes: 1. Int(X) = 2. X está contido nun pechado con interior baleiro 3. M X contén un aberto denso 4. Int(M X) é denso. Así, a tese do Terorema de Baire é aínda equivalente a: Toda intersección enumerábel de abertos densos é un subconxunto denso de M. Imos probar esta última afirmación. Sexan U n abertos densos, n N. Sexa U = n N U n. Probaremos que U corta a toda bóla aberta de M. Sexa B 1 unha bóla aberta en M. Por ser U 1 denso, B 1 U 1. Sendo unha intersección non baleira de abertos, existirá unha bóla aberta, digamos, B 2, contida en B 1 U 1. Podemos supor que o seu raio, r 2, é menor que 1/2, e que B 2 B 1 U 1. De forma análoga, B 2 U 2, e existirá unha bóla aberta B 3, de raio r 3 < 1/3, tal que B 3 B 2 U 2. Iterando este argumento, construímos unha sucesión de bólas abertas B n, de raios r n < 1/n, tais que B 1 B 2 B n

66 66 Metrizabilidade e numerabilidade e tal que B n+1 B n U n. Ademais, os diámetros dos conxuntos pechados B n tenden a cero. Construímos unha sucesión {x n } con x n B n ; a condición sobre os diámetros implica que se trata dunha sucesión de Cauchy; converxerá a un punto x 0 tal que {x 0 } = n N B n, logo x 0 n N U n, e x 0 U B Execicios 4.1 Considerade a recta coa topoloxía τ coe, onde os pechados son R e os conxuntos finitos ou enumerábeis. 1. Demostrade que {x n } x 0 sse existe un enteiro n 0 tal que se n n 0, x n = x Dado x 0 Cl(R Q), existe {x n } (R Q) converxendo a x 0? 3. Do anterior, podedes concluír sobre o carácter 1 0 enumerábel de (R, τ coe )? 4.2 Demostrade que nun espazo topolóxico X cada conxunto {x} é pechado sse cada base local β x verifica V βx V = {x}. 4.3 Sexa X un espazo primeiro numerábel. Probade que se toda sucesión que converxe o fai a un único punto, daquela X é Hausdorff. 4.4 Considerade o espazo C(I) de funcións reais continuas no intervalo unidade coa métrica da converxencia uniforme. Demostrade que a aplicación Av : C(I) I R, Av(f, x) = f(x), é secuencialmente continua. 4.5 Sexa X un espazo Hausdorff, E un subconxunto de X. Demostrade que un punto x de X é punto de acumulación de E sse toda veciñanza de x contén unha infinidade de puntos de E. É certo nun espazo topolóxico calquera? 4.6 Discutide o carácter Hausdorff de R coa topoloxía cocompacta (na que os conxuntos pechados son R e os compactos da topoloxía usual). 4.7 Probade que nun espazo segundo enumerábel todo subconxunto discreto é finito ou enumerábel. 4.8 Sexa X un espazo topolóxico, E un conxunto denso en X e U un subconxunto aberto de X. Probade que U Cl(E U). Sexan agora U, V dous conxuntos abertos e densos. Concluíde que U V tamén é denso. 4.9 Demostrade que a imaxe continua dun espazo topolóxico separábel é separábel Sexa Γ o Plano de Moore.

67 4.6 Execicios Estudade se este espazo é segundo enumerábel 2. Sexa E Γ o conxunto de puntos de coordenadas racionais. É un subconxunto denso? 3. É Γ un espazo metrizábel? 4.11 Axudándovos das normas das métricas d 1 e d 2 en R 2, construíde un homeomorfismo entre A = {(x, y) x + y 1} e B 2 [(0, 0), 1], subconxuntos do plano euclidiano.

68 68 Metrizabilidade e numerabilidade

69 Capítulo 5 Espazos vectoriais normados David Hilbert, nado en Königsberg o 23 de xaneiro de 1862 e finado en Göttingen o 14 de febreiro de 1943, foi recoñecido como un dos matemáticos máis influíntes e universais de finais do século XIX e comezos do XX. Descubriu e desenvolveu un amplo número de ideas fundamentais en moitas áreas, como a axiomatización rigorosa da xeometría. Tamén formulou a teoría dos espazos que hoxe levan o seu nome, un dos fundamentos da análise funcional. É célebre a presentación de 23 problemas abertos, no Congreso Internacional de Matemáticas de París (1900), problemas que marcaron o curso de gran parte da investigación matemática do século XX Norma nun espazo vectorial Tanto R p como C(I) son espazos vectoriais reais. Para un espazo vectorial pódese definir, de forma xeral, o concepto de norma e, a partir da norma, definir unha métrica, tal como se fixo no caso da distancia euclidiana. 5.1 Definición Unha norma sobre un espazo vectorial real V é unha aplicación de V en R, que denotaremos, verificando: 1. x 0 e x = 0 sse x = ax = a x, a R. 3. x + y x + y. Un espazo vectorial dotado dunha norma, (V, ), chámase espazo vectorial normado. Ocasionalmente utilizaremos espazos vectoriais complexos; en tal caso, nesta definición sería a C e a o seu módulo.

70 70 Espazos vectoriais normados A partir dunha norma defínese unha métrica pola fórmula d(x, y) = x y. (5.1) As métricas construídas desta forma son particularmente importantes. Tanto as métricas d k sobre R n, como as dúas definidas en C(I), proveñen de normas. Xa que se 5.1 se cumpre tense x = d(x, 0), serán: x k = { n i=1 x i k} 1/k x = máx 1 i n x i f = sup x I f(x) f L 1 = 1 0 f(x) dx A norma f é denominada norma do supremo. Xogará un papel importante no estudo dos espazos de funcións. Máis xeralmente, pódense definir normas en C(I) pola aplicación f L p = ( 1 f(x) p dx ) 1/p. 0 Définese, tamén, para un espazo vectorial real arbitrario, o concepto de produto interno ou escalar, que ademais de distancia permitirá definir ángulos. Vén dado, como no caso euclidiano, polo que se denomina forma bilinear simétrica definida positiva. 5.2 Definición Sexa V un espazo vectorial sobre o corpo R. Un produto interno sobre V é unha aplicación de V V en R, verificando: I x, y + z = x, y + x, z x + y, z = x, z + y, z ax, y = a x, y = x, ay, : V V R, II x, y = y, x III x, x = 0 sse x = 0 IV x, x 0

71 5.1 Norma nun espazo vectorial 71 A todo produto interno asóciase unha norma, Verifícase a desigualdade de Cauchy-Schwarz, e a desigualdade triangular ou desigualdade de Minkowski, x = x, x. (5.2) x, y x y. (5.3) x + y x + y. (5.4) Os espazos vectoriais normados serán os principais exemplos de espazos métricos de interese en Análise Matemática. Máis adiante introduciremos un exemplo de espazo vectorial de dimensión infinita cunha norma definida a partir dun produto interno, o espazo de Hilbert, completando a mostra de espazos deste tipo que imos estudar. É a xeneralización máis acaída da estrutura do espazo euclidiano ao caso de dimensión infinita. Non toda norma provén dun produto interno: tal feito equivale a que a norma satisfaga a identidade do paralelogramo : se x, y V, De se verificar, a expresión x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). (5.5) 1/2 ( x + y 2 x 2 y 2 ) define o correspondente produto interno (é a relación que existe entre formas cuadráticas e formas bilineares simétricas, vid. [8]). Das normas k definidas antes en R n só provén dun produto interno a euclidiana, ou sexa, a que corresponde a k = Norma produto. Se (V, V ) e (W, W ) son espazos vectoriais normados, defínese unha norma no produto facendo (v, w) V W = máx { v, w }. (5.6) A métrica asociada resulta ser, obviamente, a métrica produto das asociadas ás normas en cada factor. 5.4 Continuidade da norma. Analogamente ao que ocorría coa función distancia, nun espazo vectorial normado, (V, V ), a norma V : V R, que se pode pensar como a distancia ao 0, é unha aplicación lipschitziana, logo, uniformemente continua. 5.5 Proposición Sexa V un espazo vectorial normado. Considerando en V V a norma produto, a aplicación suma é lipschitziana. V V V (x, y) x + y

72 72 Espazos vectoriais normados Proba Efectivamente, x 1 + y 1 (x 2 + y 2 ) x 1 x 2 + y 1 y 2 2 máx { x 1 x 2, y 1 y 2 }. 5.6 Isometrías lineares. Unha aplicación linear h: (V, V ) (W, W ) entre espazos vectoriais normados é isométrica sse conserva as normas. Certamente, se conserva a distancia, conserva a norma, pois a norma é a distancia ao 0. Reciprocamente, se conserva as normas, tense d W (h(x), h(y)) = h(x) h(y) W = h(x y) W = x y V = d V (x, y). Se h conserva as normas pero non é linear non é necesariamente isométrica. Vexamos un contraexemplo. Consideremos a aplicación h: (R n, d 2 ) (R n, d 1 ) dada por h(x) = x 2 x 1 x se x 0 0 se x = 0. Obviamente, h(x) 1 = x 2. Non obstante, non é unha aplicación isométrica, se consideramos os puntos x = (1, 0) e y = (0, 1), temos h(x) = x, h(y) = y, d 2 (x, y) = 2 e d 1 (x, y) = Exemplo. Sexa I = [0, 1]. Vexamos que I 2 = I I é homeomorfo a Cl(B 2 (0, 1)). Ou, o que é o mesmo, que as bólas pechadas unitarias de centro a orixe en R 2 coas métricas d e d 2 son homeomorfas. Comecemos comprobando que, coa topoloxía usual, a aplicación h: R 2 R 2 dada por h(x) = x 2 x se x 0 x h(0) = 0 é un homeomorfismo. Para o cálculo da continuidade podemos considerar calquera métrica que induzca a topoloxía usual. Utilizaremos, por conveniencia, a métrica euclidiana no dominio e a métrica d no rango. Con esta escolla, a aplicación conserva as normas, logo é continua no 0. No aberto R 2 {0} a continuidade segue da continuidade da función norma. A inversa, para un punto x diferente da orixe, é k(x) = x x 2 x. Finalmente, o mesmo feito de que conserva as normas permite concluír h(b 2 [0, 1]) = B [0, 1].

73 5.1 Norma nun espazo vectorial 73 O espazo R Como vimos ao estudar os espazos euclidianos, cada espazo R n identifícase a un subespazo de R n+1 ou, de xeito máis xeral, a un subespazo de R n+k, k > 0, mediante a aplicación isométrica que a cada punto (x 1,..., x n ) de R n fai corresponder o punto (x 1,..., x n, 0,..., 0) de R n+k. Na cadea 3.17 cada identificación é compatíbel co produto interno. Imos considerar a unión de todos os espazos R n así identificados, R = n 1 Rn, e estender a este conxunto a estrutura euclidiana. As sucesións de números reais vannos aportar a linguaxe apropiada. Será R o conxunto das sucesións x = {x n } de números reais con a penas un número finito de termos diferentes de cero, x = {x 1, x 2,..., x N, 0, 0,...}. R ten unha estrutura natural de espazo vectorial real: dados x = {x n } e y = {y n } en R e a R, definimos x + y = {x n + y n }, a x = {a x n }. Dotamos dun produto interno este espazo vectorial, x, y = n=1 x ny n, ben definido, pois nesta suma a penas un número finito de sumandos son diferentes de cero. Asociado a este produto interno tense unha norma, logo, unha métrica no espazo R. A aplicación de R n en R que a cada punto (x 1,..., x n ) fai corresponder a sucesión {x k }, con x k se k n x k = 0 se k > n é unha aplicación isométrica que permite identificar o espazo euclidiano R n cun subespazo de R. 5.8 Exemplo. O espazo R ofrécenos un exemplo de aplicación isométrica dun espazo en si mesmo, que non é unha isometría. Abonda considerar a aplicación dada por T : R R T (x 1, x 2, x 3,...) = (0, x 1, x 2, x 3,...). 5.9 Exercicio. Comprobade que a sucesión {x n } en R, dada por é de Cauchy, pero non converxe en R. x n = {1, 1/2,..., 1/n, 0, 0,...}, 5.10 O espazo R é separábel. Consideremos o subconxunto D de R formado polas sucesións con todos os termos racionais. Certamente, é un conxunto enumerábel. Vexamos que todo elemento de R é límite dunha sucesión en D. Dado un elemento x de R, é imaxe dun elemento x = (x 1,..., x n ) dun espazo R n. Este elemento x R n é límite dunha sucesión {q n } de elementos de R n con todas as coordenadas racionais. Logo, a súa imaxe en R, {q n }, é unha sucesión en D converxente a x.

74 74 Espazos vectoriais normados 5.2. Continuidade das aplicacións lineares Espazos vectoriais normados de dimensión finita Traballaremos con espazos vectoriais reais; os mesmos resultados son válidos para espazos vectoriais complexos: a norma define tamén unha norma do espazo real subxacente, e ambos son idénticos como espazos métricos. Nun primeiro momento imos considerar a norma euclidiana. As aplicacións lineares son lipschitzianas e, pois, continuas. En efecto, sexa f : R n R m unha aplicación linear. Sexa A a matriz asociada a f e ás bases usuais en R n e R m. Así, f(x) = A x. É doado comprobar que se cumpre a desigualdade A x A x, onde A é a norma da matriz asociada, considerada como o punto de R nm con coordenadas as entradas da matriz, colocadas unha fila tras outra. En efecto, para un punto x = (x 1,..., x n ) con imaxe y = f(x) = (y 1,..., y m ), temos n n y i = a ij.x j a 2 ij n x 2 j, j=1 usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, onde (a i1, a i2,..., a in ) se trata como un vector de R n. Dise que dúas normas nun espazo vectorial V, 1, 2, son lipschitzianamente equivalentes se existen constantes k 1, k 2 tais que se verifica para todo x V, j=1 j=1 x 1 k 1 x 2 ; x 2 k 2 x Proposición No espazo vectorial R n todas as normas son lipschitzianamente equivalentes. Demostraremos que calquera norma en R n é equivalente á norma euclidiana 2. Sexa {e 1,..., e n } a base canónica de R n. Para un vector x = (x 1,..., x n ) tense x = n x i e i i=1 n n x i e i a x i, i=1 onde a = máx 1 i n e i. Da desigualdade de Cauchy-Schwarz dedúcese n i=1 x i n x 2, e, pois, x a n x 2. Esta relación implica que a función : (R n, 2 ) R é continua. Como a esfera unitaria S n 1 coa topoloxía euclidiana é compacta e esta función toma nela valores estrictamente positivos, existirá unha constante b > 0 tal que y b para todo y S n 1. Así, para todo x R n {0} cúmprese x = x x 2 x 2 = x x 2 x 2 b x 2. Isto completa a proba. i=1

75 5.2 Continuidade das aplicacións lineares Corolario Todo espazo vectorial normado de dimensión finita é completo Teorema Toda aplicación linear entre espazos vectoriais normados de dimensión finita é continua. Aplicacións lineares xerais Agora imos, primeiro, presentar unha aplicación linear non continua. O seu dominio vai ser un espazo vectorial normado de dimensión infinita. E, segundo, establecer algún criterio que permita caracterizar a continuidade das aplicacións lineares Contraexemplo. Sexa P o conxunto dos polinomios reais de unha variábel real. Certamente, a suma de polinómios e o producto dun polinomio por un número real definen unha estrutura de espazo vectorial en P. Cada polinomio p define unha aplicación continua do intervalo unidade I en R, p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0, x I. Imos considerar P como subespazo do espazo vectorial normado C(I), coa norma do supremo, p = sup{ p(x) }. x I En xeral, para x R, defínese a función avaliación av x por av x (p) = p(x). Imos considerar av 2 : P R, av 2 (p) = p(2). av 2 é unha aplicación linear: av 2 (p 1 + p 2 ) = av 2 (p 1 ) + av 2 (p 2 ), av 2 (k p) = k av 2 (p). Trátase de ver que non é continua no 0. Para iso, pódese utilizar o criterio da continuidade secuencial, coa axuda da sucesion {p n } de polinómios, onde p n (x) = ( x 2 )n. En efecto, lím n p n = p 0, onde p 0 é o polinomio identicamente nulo, pois p n = 1/2 n. Por contra, lím n av 2 (p n ) = Teorema Sexan E, F espazos vectoriais normados, f : E F unha aplicación linear. As seguintes afirmacións son equivalentes: 1. f é continua. 2. f é continua no punto Existe k > 0 tal que f(x) F k x E para todo x E. 4. Existe k > 0 tal que f(x) f(y) F k x y E para calquera x, y E. Proba.- Para demostrar 2) 3), tomemos ε = 1 e sexa δ > 0 tal que x E < δ f(x) F < 1.

76 76 Espazos vectoriais normados Compróbase que calquera k con 0 < 1/k < δ verifica a condición requerida. En efecto, para calquera x E, f( x k x ) < 1. Tendo en conta a linearidade de f, a condición 4) é idéntica á 3) aplicada ao vector x y. En fin, a condición 4), lida como relación entre distancias, é a condición de Lipschitz. Observade que o anterior teorema expresa a equivalencia, para unha aplicación linear, entre continuidade, continuidade no punto 0, continuidade uniforme e carácter lipschitziano Corolario. Unha aplicación linear f : E F é continua sse é limitada na esfera unitaria S = {x E x = 1} do espazo E Corolario Dúas normas nun espazo vectorial V topoloxicamente equivalentes son lipschitzianamente equivalentes. O espazo L(E; F ) de aplicacións lineares continuas O resultado obtido no teorema anterior permite prover dunha estructura de espazo vectorial normado ao conxunto de aplicacións lineares continuas entre dous espazos vectoriais normados. Certamente, o conxunto L(E; F ) de aplicacións lineares continuas ten unha estructura natural de espazo vectorial. A condición de continuidade para unha aplicación linear f, segundo o criterio anterior, correspóndese coa condición de ser f limitada na esfera unitaria S = {x E x = 1} do espazo E Norma en L(E; F ). A igualdade f = sup{ f(x) }, x S define unha norma no espazo L(E; F ) 5.3. O espazo de Banach C(I, R) O espazo de Banach B(X, R) Sexa X un conxunto arbitrario. Denotemos por B(X, R) o conxunto de funcións limitadas con dominio X e rango R, onde consideramos a métrica euclidiana. Que unha función f de dominio X sexa limitada quere dicir que f(x) sexa un conxunto limitado en R. Na notación, emprégase a letra B como inicial do termo inglés bounded, limitado. Naturalmente, sendo X un conxunto arbitrario, non cabe falar de continuidade. Imos considerar en B(X, R) a métrica da converxencia uniforme, xa introducida en (3.2). Ou sexa, a métrica definida por ρ (f, g) = sup x X { f(x) g(x) }, para funcións f, g B(X, R). Pois que as funcións son limitadas, este supremo existe. O conxunto ten, obviamente, unha estrutura de espazo vectorial real: (a f)(x) = a f(x); (f +g)(x) = f(x) + g(x). A función f + g é limitada, pois f(x) g(x) f(x) + g(x). E esta métrica está asociada á norma f = sup x X { f(x) }.

77 5.3 O espazo de Banach C(I, R) O espazo normado B(X, R) é completo. Sexa {f n } unha sucesión de Cauchy en B(X, R). Significa que, dado un ε > 0, existe un n 0 tal que se n, m n 0, entón f n f m < ε. Como f n (x) f m (x) f n f m para todo x X, resulta que as sucesións {f n (x)} son sucesións de Cauchy en R. Para cada x converxerá a un número que denotaremos f(x), f(x) = lím f n(x). n Temos que ver que a función f : X R así definida é limitada: por ser {f n } unha sucesión de Cauchy, o conxunto {f n, n N} é limitado. Ou sexa, existe un número real positivo c tal que f n c para todo n N. Logo, tamén, f n (x) c para todo n N e todo x X. No límite tense f(x) c e, pois, f B(X, R). Resta probar que lím n f n = f. Sexa ε > 0. Dicir que {f n } é de Cauchy significa que existe un n 0 tal que se n, m n 0, daquela f n f m < ε. Logo, para todo x X, f n f m < ε. Calculando o límite desta expresión cando m, obtemos, se n n 0, f n f ε; e {f n } converxe a f. Resulta, pois, que B(X, R) é un espazo vectorial normado e completo. É o que se denomina un espazo de Banach Definición Chámase espazo de Banach a un espazo vectorial normado e completo. Consideramos agora o caso particular X = I = [0, 1], intervalo unidade coa métrica euclidiana. Daquela, o conxunto C(I) de funcións reais continuas é un subconxunto de B(I, R), pois toda función real continua con dominio un compacto é limitada. Dada unha sucesión de funcións continuas {f n }, a existencia de límite da sucesión {f n } para cada x I, chamada condición de converxencia puntual, permite definir a función límite f : I R, f(x) = lím n f n(x). Pero esta función non é, en xeral, continua. É o caso das funcións f n : I R, dadas por nx + 1 se 0 x 1/n f n (x) = 0 se 1/n x 1 Cada f n (x) é unha sucesión identicamente 0 a partir dun certo valor de n, excepto para x = 0, onde f n (0) = 1 sempre (vid. Figura 5.1). Así, a función límite f é identicamente nula para x 0, e toma o valor 1 en 0. Non é, pois, continua. Certamente, as funcións f n non converxen a f coa norma do supremo. En efecto, tense f n f = 1 para todo n. Dada unha sucesión de funcións continuas que converxen puntualmente, para asegurar que a función límite aínda é continua, o teorema de Cauchy da converxencia uniforme afirma que

78 78 Espazos vectoriais normados 1 f 4 f 3 f 2 1/4 1/3 1/2 1 Figura 5.1: Grafos de f n a sucesión debe verificar o criterio de Cauchy da converxencia uniforme, criterio que expresa, coa métrica utilizada en C(I), que a sucesión sexa de Cauchy. Así, o Teorema de Cauchy afirma xustamente que o espazo C(I) é completo. Esta é a razón do nome dado a esta métrica O espazo C(I) coa norma da converxencia uniforme é un espazo de Banach. Vexamos que, efectivamente, o espazo C(I) é completo. Sexa {f n } unha sucesión de Cauchy en C(I). Sabemos que converxe a unha función f no espazo B(I, R), dada por f(x) = lím n f n (x). Trátase de comprobar que esta función f pertence a C(I), ou sexa, que é continua. Imos demostrar que f é uniformemente continua. Sexa ε > 0. A condición de converxencia de sucesión en B(I, R) garante a existencia dun n 0 N tal que se n n 0, f n f < ε/3. Daquela f n (x) f(x) < ε/3 para todo x I. Fixemos un n n 0 e consideremos a función f n. Sendo continua nun compacto, f n é uniformemente continua. Daquela, existe un δ tal que se x y < δ, entón f n (x) f n (y) < ε/3. Así, se x y < δ, resulta f(x) f(y) f(x) f n (x) + f n (x) f n (y) + f n (y) f(y) < ɛ Observación. A única propiedade especial do espazo I que se ten utilizado na demostración anterior foi a compacidade: usámola para establecer a inclusión C(I) B(I, R) e para garantir que cada función f n é uniformemente continua. Interesa remarcar, tamén, que a norma da converxencia uniforme non pode ser definida a partir dun producto interno. En efecto, esta norma non verifica a identidade do paralelogramo (ecuación 5.5): por exemplo, para as funcións f(x) = 6x 3 e g(x) = 3 non se cumpre O espazo de Hilbert O espazo euclidiano R n é un espazo vectorial normado completo. A norma, ademais, está asociada a un producto interno. Agora imos considerar outro exemplo, igualmente importante, no

79 5.4 O espazo de Hilbert 79 que de novo se dan todas estas circunstancias, pero, esta vez, de dimensión infinita. O o espazo R non reúne todas as características interesantes dos espazos euclidianos de dimensión finita, pois non é completo Exercicio. Comprobade que a sucesión {x n } en R, dada por x n = {1, 1/2,..., 1/n, 0, 0,...}, é de Cauchy, pero non converxe en R. Definición de l 2 Imos construír a boa xeneralización, espazo que se denota l 2. Os seus elementos van ser as sucesións de números reais de cadrado sumábel, ou sexa, sucesións x = {x n } en R tais que n=1 x2 n <. Como é habitual, a expresión n=1 x2 n indica a suma da serie, é unha forma abreviada de escribir lím k k n=1 x2 n. As sucesións x = (1, 1/2, 1/4, 1/8,... ) e y = (1, 1/2, 1/3, 1/4,... ), por exemplo, definen elementos de l 2, pois 1/2 2n < e 1/n 2 <, mentres que z = (1, 1/ 2, 1/ 3, 1/ 4,... ), non, pois 1/n =. Tamén, obviamente, R l 2. Estrutura de espazo vectorial A fin de mostrar que l 2 é un espazo vectorial real respecto das operacións x + y = {x n +y n } e λ.x = {λ.x n }, comprobemos primeiro que, se x, y l 2, a serie n=1 x n.y n é converxente. En efecto, a desigualdade de Cauchy-Schwarz dá, para cada p N, p x i y i p x 2 i p x 2 i yi 2. i=1 i=1 i=1 Finalmente, xa que as sumas parciais da serie x n y n son maioradas polo número real i=1 x2 i i=1 y2 i, a serie x n y n converxe. Se x, y l 2, entón, para cada p N, temos y 2 i i=1 i=1 p (x i + y i ) 2 = i=1 p x 2 i + i=1 p p yi x i y i. i=1 i=1 Facendo p, vemos (x i + y i ) 2 = i=1 x 2 i + i=1 yi x i y i <, i=1 i=1 e x + y l 2. Se x l 2 e λ R, que λx l 2 é obvio. Isto conclúe a verificación de que l 2 é un espazo vectorial.

80 80 Espazos vectoriais normados O produto interno O producto interno, a norma e a métrica en l 2 van vir dados por x, y = n=1 x ny n x 2 = n=1 x2 n (5.7) d 2 (x, y) = n=1 (x n y n ) 2 Carácter separábel O subespazo R é separábel, como se veu no Exemplo O espazo R é denso en l 2. Concluíde que l 2 é separábel. Carácter completo Vexamos que o espazo l 2 é completo. Sexa {x n } unha sucesión de Cauchy en l 2, x n = {x n1, x n2, x n3,...}. Por definición de sucesión de Cauchy, dado ε > 0, existe un enteiro n 0 (ε) tal que se n, m n 0, x n x m 2 < ε. Para cada i, x ni x mi x n x m 2 < ε. Dedúcese que, fixado i, a sucesión {x ni } n N de números reais é de Cauchy. Converxe, pois, a un certo número real a i. Veremos agora que a sucesión a = {a i } pertence a l 2, e que {x n } a. Para concluír que a está en l 2, demostraremos que, para m grande, a x m l 2. Para o ε dado e para todo k, se n, m ν 0, cúmprese k (x ni x mi ) 2 < ε 2. i=1 Mantendo k e m fixos e facendo tender n a infinito, resulta k (a i x mi ) 2 ε 2, i=1 para todo m maior ou igual que ν 0. Así, ε 2 é unha cota superior destas sumas. Logo, o límite cando k tende a infinito, que é o supremo de estas sumas, existe. Xa que logo, a x m l 2 se m ν 0, e, pois, a pertence a l 2.

81 5.4 O espazo de Hilbert 81 Ademais, obtemos que (a i x mi ) 2 ε 2, i=1 o que permite concluír que lím n x n = a. As propiedades de l 2 que vimos de demostrar caracterizan un obxecto de grande interese matemático: o espazo de Hilbert, un espazo vectorial normado, infinito dimensional e completo, no que a norma vén dada por un producto interno. Ademais, l 2 é separábel Continuidade das proxeccións. Como xa dixemos, o espazo de Hilbert é a boa xeneralización dos espazos euclidianos a un espazo vectorial normado de infinitas dimensións. Pódese definir o concepto correspondente de proxección coordenada. A k-ésima proxección será a aplicación pr k : l 2 R dada por pr k (x) = x k. É doado comprobar que é lipschitziana. O cubo de Hilbert Imos considerar agora un importante subespazo de l 2. Trátase do subconxunto C de l 2 formado polas sucesións {x n } tales que 0 x n 1/n, para todo n N. Como a serie 1/n 2 é converxente, C l 2. É un subconxunto limitado: para todo x C, x 2 2 1/n 2 = π2 6. Ademais, C = pr 1 ([0, 1/n]), n=1 k sendo pr k : l 2 R a k-ésima proxección. Logo C é pechado en l 2. De feito, é un subconxunto compacto. Como cada sucesión en l 2 é limitada, tamén se pode considerar como subconxunto do espazo de Banach B(N, R). Como x x 2, a inclusión l 2 B(N, R), é continua, mesmo lipschitziana. As dúas métricas inducidas no cubo de Hilbert C son, neste subespazo, topoloxicamente equivalentes. Pódese concluír directamente a partir das propiedades da compacidade; pero como nós non estudamos compacidade neste marco, faremos outro argumento, máis laborioso: As proxeccións coordenadas pr k : l 2 R e pr k : B(N, R) R que a cada x fan corresponder x k son continuas en ambos casos, pois non aumentan as distancias. Polo tanto, as imaxes recíprocas por estas proxeccións dun intervalo abero de R son conxuntos abertos para as dúas topoloxías. En consecuencia, as súas interseccións finitas tamén son conxuntos abertos. Esta familia de conxuntos é base dunha topoloxía, a topoloxía inicial asociada a todas as proxeccións coordenadas (un feito relacionado co concepto de subbase). Imos comprobar que é base para a topoloxía inducida no conxunto C para as dúas métricas. Sexa B (x, r) unha bóla para a metrica da converxencia uniforme. Se n N é tal que 1/n < r, entón x n y n < r para todo punto y de C. Para 1/i r, digamos 1 i k, tomamos o aberto básico B = k i=1 pr 1 i (x i 1/i, x i + 1/i).

82 82 Espazos vectoriais normados Resulta x B B (x, r). Fagamos o mesmo para a métrica l 2. Sexa B 2 (x, r) unha bóla aberta. Sexa n tal que i=n 1/i2 < r 2 /4. Para cada enteiro i comprendido entre 1 e n 1, escollamos un número real maior que 0, ɛ i, tal que n 1 i=1 ɛ2 i < r2 /4. O aberto B = n 1 i=1 pr 1 i (x i ɛ i, x i + ɛ i ), satisfai a condición Exercicios 5.1 Considerade o espazo C(I) coa métrica L 1. Para cada x X, definimos a función avaliación av x, av x : C(I) R, av x (f) = f(x). Demostrade que é linear. É continua? 5.2 Dúas normas nun espazo vectorial V topoloxicamente equivalentes son lipschitzianamente equivalentes. 5.3 Sexa E un espazo vectorial normado, D un subespazo denso, F un espazo de Banach, f : D F unha aplicación linear continua. Entón existe unha aplicación linear continua única f de E en F que é unha extensión de f. Para definir f pártese do feito de ser D denso: cada punto de E é límite dunha sucesión de puntos de D; úsase que f é uniformemente continua; que a imaxe dunha sucesión de Cauchy por unha función uniformemente continua é de Cauchy; que F é completo...

83 Capítulo 6 Espazos suma e produto Andrei Nikolaevich Tychonoff ( ) foi un membro destacado da escola de topólogos de Moscou. entre as súas achegas cóntase un teorema de metrización, o estudo dos espazos completamente regulares, tamén denominados espazos de Tychonoff, e o estudo da topoloxía produto, coa demostración dun profundo teorema que afirma que o produto de espazos topolóxicos compactos é compacto. Fixo tamén contribucións importantes en Análise Funcional e Física Matemática Topoloxías inducidas Dado un espazo topolóxico (X, τ X ), un conxunto arbitrario Y e unha aplicación f : X Y, existe sempre unha topoloxía en Y tal que f resulte unha aplicación continua: a topoloxía trivial. Máis interesante é saber que existe unha topoloxía sobre Y, chamada topoloxía final inducida por f e τ X en Y, que é a máis fina para a que f é continua. 6.1 Proposición Sexan (X, τ X ) un espazo topolóxico, Y un conxunto e f : X Y unha aplicación, a colección dos conxuntos V Y tales que f 1 (V ) τ X define unha topoloxía en Y, que é a máis fina para a que a aplicación f é continua. Proba A comprobación de que se trata dunha topoloxía é inmediata, pois a imaxe recíproca conserva unións e interseccións de conxuntos. Doutra parte, a propia definición desta topoloxía en Y garante o cumprimento da condición 2) do Teorema 2.3, e que é a maior colección que a satisfai.

84 84 Espazos suma e produto Vexamos agora unha situación dual: dado un conxunto X, un espazo topolóxico (Y, τ Y ) e unha aplicación f : X Y, a topoloxía discreta en X garante a continuidade de f, pero o interesante é que existe unha topoloxía coa mesma propiedade que é a menos fina que a satisfai. Chámase topoloxía inicial inducida por f e τ Y en X. 6.2 Proposición Sexa X un conxunto, (Y, τ Y ) un espazo topolóxico e f unha aplicación de X en Y. A colección dos conxuntos f 1 (V ) con V τ Y define unha topoloxía en X, que é a menos fina que fai de f unha aplicación continua. Estas topoloxías, chamadas xenericamente topoloxías inducidas, denótanse f (τ X ) e f (τ Y ), respectivamente. Constitúen un método xeral importante de construcción de novos espazos topolóxicos a partir doutros coñecidos. Xa estudamos os subespazos, que son un caso particular de topoloxía inicial. Se (X, τ) é un espazo topolóxico e i: E X é a inclusión dun subconxunto E, a topoloxía relativa en E non é outra que a topoloxía inicial i τ inducida por i en E. No capítulo seguinte estudaremos espazos cociente, o caso fundamental de topoloxía final. 6.3 Exemplo. Consideremos a función f : R (R 2, τ u ) dada por f(x) = (x, 0) se x x2 (2x, x 1) se x 1. A sua imaxe está debuxada na Figura 6.1. Induce en R a topoloxía da recta enlazada,.. Figura 6.1: A recta enlazada. que xa encontramos no Exercicio Para comprobalo, abonda tomar a imaxe recíproca dos conxuntos dunha base da topoloxía do rango, para obter unha base da nova topoloxía. Pódese abordar, tamén, o estudo da topoloxía inducida por unha familia de aplicacións, todas co mesmo conxunto como dominio, topoloxía inicial, ou todas co mesmo conxunto como rango, topoloxía final. Non enunciaremos formalmente esta cuestión máis xeral, pero estudaremos, tamén neste capítulo, as dúas situacións máis interesantes, a topoloxía produto e a topoloxía suma.

85 6.2 Suma topolóxica Suma topolóxica 6.4 Definición Sexa { (X i, τ i ) } i I unha familia de espazos topolóxicos e X = i I X i. A colección de conxuntos τ = { U X U X i τ i i I } é unha topoloxía en X que se chama topoloxía suma. O espazo (X, τ) denomínase espazo suma (ou suma topolóxica) dos espazos (X i, τ i ), e denótase i I X i. Se o conxunto de índices é finito, I = {1,..., n}, a suma topolóxica denótase n i=1 X i ou X X n. 6.5 Teorema Cada inclusión i k : X k X = i I X i é continua. A topoloxía suma é a máis fina para a que todas as inclusións son continuas. 6.6 Exemplo. Sexa L α, α [0, ] a recta pola orixe en R 2 de pendente α, coa topoloxía de subespazo da usual. O espazo suma X destas rectas ten R 2 como conxunto. Unha base vén dada pola seguinte colección: un aberto básico que non conteña a orixe será un intervalo aberto, non contendo a orixe, nunha recta L α. Os abertos básicos contendo a orixe serán os conxuntos formados pola unión dun intervalo aberto en cada recta, todos eles contendo a orixe. Así, o conxunto unión dos seguintes tres: U 1 = {(x, 0), x R}, U 2 = {(x, y) R 2 x 2 + (y 1) 2 < 1} e U 3 = {(x, y) R 2 x 2 + (y + 1) 2 < 1} Figura 6.2: Aberto no espazo suma. é aberto (vid. Fig. 6.2). En efecto, cada recta pola orixe de pendente diferente de cero é secante as dúas circunferencias x 2 + (y ± 1) 2 = 1, logo contén un intervalo aberto centrado na orixe, contido no conxunto. O seguinte teorema caracteriza a continuidade das aplicacións con dominio unha suma topolóxica.

86 86 Espazos suma e produto 6.7 Teorema Unha aplicación f : X = i I X i Y é continua sse cada composición f i k : X k Y é continua. i I X i ik X k f f i k Y Proba Certamente, se f é continua, f i k tamén, por ser composición de continuas. Supoñamos que cada composición fora continua. Sexa U un subconxunto aberto de Y. f 1 (U) é aberto en X sse cada intersección f 1 (U) X k o é en X k, pero f 1 (U) X k = (f i k ) 1 (U), aberto por continuidade. 6.8 Exemplo. Tomemos o espazo suma X do Exemplo 6.6, e a aplicación f : X (R, τ u ) dada por x se x 0, f(x, y) = y se x = 0. O criterio dado polo Teorema 6.7 permite concluír rapidamente que é continua. Unha situación especialmente sinxela e de uso frecuente de topoloxía suma dáse cando a familia {X i } i I é disxunta, ou sexa, cando se verifica X i X j = sempre que i j, i, j I. Neste caso fálase de suma disxunta, e denótase i I X i. 6.9 Proposición Sexa {(X i, τ i )} i I unha familia disxunta de espazos topolóxicos. Sexa β i unha base da topoloxía τ i. 1. A colección i I β i é unha base do espazo suma. 2. As inclusións son abertas e pechadas; son, en particular, mergullos Exemplo. Tomemos as liñas verticais en R 2 como subespazos, L x = {(x, y) R 2, y R}, a colección de conxuntos da forma {(x, y) y 0 ɛ y y 0 + ɛ} é unha base da topoloxía suma.

87 6.3 Produto topolóxico Produto topolóxico 6.11 Definición Sexan X 1,..., X n espazos topolóxicos e X = n X i = X 1 X n i=1 o seu produto cartesiano (como conxuntos). A topoloxía produto de X é aquela que ten como base a colección de todos os produtos cartesianos n i=1 U i, onde U i é aberto en X i, para i = 1,..., n. Con esta topoloxía, dise que n i=1 X i é o espazo produto (ou produto topolóxico) dos espazos X i. Poderíase, de forma equivalente, definir inicialmente só o produto topolóxico de dous espazos, X Y, despois, por indución, dun número finito n, facendo n i=1 n 1 X i = ( X i ) X n. i=1 Deste xeito resulta cando menos máis cómodo demostrar algunhas propiedades, como teremos ocasión de comprobar. A base utilizada na definición de produto topolóxico é moi grande, con frecuencia convén utilizar bases máis sinxelas. O lema ofrece unha boa alternativa Lema Sexa β i unha base da topoloxía de X i. A colección de todos os produtos cartesianos n i=1 B i, onde B i é aberto básico en X i, para i = 1,..., n, é unha base da topoloxía produto. Proba Dado un aberto na base da definición e un punto nel, (x 1,..., x n ) n U i, trátase de ver que existe un aberto da colección β que contén o punto e está contido no aberto dado. Para cada x k existe un aberto básico B k en X k verificando x k B k U k. O conxunto n i=1 B i satisfai as condicións requeridas. i= Exemplo. R 2 coa topoloxía usual é un produto topolóxico. En efecto, sabemos que os cadrados con lados paralelos aos eixos forman unha base, son as bólas abertas para a métrica d, logo os produtos de intervalos abertos, tamén. Analogamente, (R n, τ u ) é o produto topolóxico de n copias de (R, τ u ). Sexa pr k : n i=1 X i X k, dada por pr k (x 1,..., x n ) = x k, a k-ésima proxección.

88 88 Espazos suma e produto 6.14 Teorema Cada proxección pr k é continua e aberta. A topoloxía produto é a menos fina para a que todas as proxeccións son continuas. Proba A imaxe por pr k de cada aberto básico é certamente un conxunto aberto, logo cada proxección é unha aplicación aberta. A imaxe recíproca por pr k do aberto U k X k é pr 1 k (U k) = X 1 X 2 U k X n, U k no lugar k-ésimo, que é un conxunto aberto no produto. Logo, pr k é continua. Se, reciprocamente, cada pr k é continua, daquela estes conxuntos da forma X 1 X 2 U k X n son abertos, e calquera conxunto básico é intersección finita de conxuntos deste tipo, n U 1 U 2 U n = (X 1 X 2 U i X n ). i= Converxencia en espazos produto Sexa {(x n, y n )} unha sucesión nun espazo produto X Y. Xa que as proxeccións son aplicacións continuas e toda aplicación continua é secuencialmente continua, se a sucesión converxe a un punto (x, y), daquela {x n } converxe a x en X e {y n } converxe a y en Y. Reciprocamente, se cada sucesión coordenada converxe, {x n } x, {y n } y, toda veciñanza básica U V de (x, y) contén unha cola da sucesión e, pois, {(x n, y n )} converxe a (x, y) Proposición Sexan X i, i = 1,..., n, espazos topolóxicos, A i X i. 1. Int( n i=1 A i) = n i=1 Int(A i). 2. Cl( n i=1 A i) = n i=1 Cl(A i). Proba Certamente, tense a inclusión n n Int(A i ) Int( A i ), i=1 pois o conxunto n i=1 Int(A i) é aberto e está contido en n i=1 (A i). Doutra parte, pr k (Int i=1 n A i ) Int(A k ) para cada k, i=1 pois cada proxección é un aberto, por ser imaxe dun aberto, e esta contida en A k. Logo, Int( n i=1 A i) n i=1 Int(A i). Para as adherencias, por comodidade, imos supor n = 2, A X, B Y, e traballar en X Y. Sexa (x, y) Cl(A) Cl(B). Significa que todo aberto U con x U corta a A, e que todo aberto V con y V corta a B, e isto equivale a que todo aberto básico U V con (x, y) U V corte a A B. Ou sexa, a que (x, y) Cl(A B).

89 6.3 Produto topolóxico 89 ( Para o caso xeral argumentamos por indución. Supoñemos o resultado certo para n 1, n 1 ) Cl i=1 A i = n 1 i=1 Cl(A i). Agora, ( n ) [( n 1 ) ] ( n 1 ) n Cl A i = Cl A i A n = Cl(A i ) Cl(A n ) = Cl(A i ). i=1 i=1 En particular, o produto de conxuntos pechados é pechado. O seguinte teorema caracteriza as aplicacións continuas con rango un produto Teorema Unha aplicación f : Y n i=1 X i é continua sse cada composición pr k f : Y X k é continua. i=1 i=1 Y f n i=1 X i pr k f pr k X k Proba Supoñamos cada composición continua. Sexa U = n i=1 U i un aberto básico no produto. Todo consiste en comprobar a igualdade n f 1 (U) = (pr i f) 1 (U i ). i= Observación Se a colección X i fora infinita, o anterior argumento non sería correcto, pois aparecería unha intersección infinita, que non daría lugar necesariamente a un conxunto aberto. Mais a propiedade do teorema é característica da topoloxía final, polo que no caso infinito a topoloxía produto non ten como base o produto arbitrario de abertos, senón que case todos deberán ser o espazo total. A topoloxía con base o produto de abertos, no caso infinito, chámase, ás veces, topoloxía das caixas (vid. [15]). Como sinalamos no Exemplo 6.13, (R n, τ u ) é un produto topolóxico. Normalmente identifícase cada factor cun eixo coordenado. Deste xeito, defínense inclusións j k : R R n, j k (t) = (0,..., t,... 0), onde t ocupa o lugar k-ésimo. Pódese facer algo análogo en calquera produto. A soa diferencia é que no caso de R n partíase, de forma natural, da orixe coma punto de referencia. Consideramos, pois, un espazo produto arbitrario, n i=1 X i, e fixamos un punto nel, x 0 = (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n). Definimos n inxeccións onde x ocupa o lugar k-ésimo. jk x0 : X k n i=1 X i, jk x0(x) = (x0 1,..., x,..., x 0 n) 6.19 Proposición As aplicacións jk x0 : X k n i=1 X i son mergullos. Proba A restricción da proxección pr k á imaxe de jk x0 é a aplicación inversa do homeomorfismo inducido por jk x0.

90 90 Espazos suma e produto 6.20 Proposición Sexan X i, (1 i n) espazos topolóxicos. 1. O produto é Hausdorff sse cada X i é Hausdorff. 2. O produto é primeiro enumerábel sse cada X i é primeiro enumerábel. 3. O produto é segundo enumerábel sse cada X i é segundo enumerábel. 4. O espazo produto é separábel sse cada X i o é. Proba Se un produto ten unha propiedade hereditaria, a ten cada factor, tendo en conta a existencia dos mergullos da Proposición Así, se o produto é Hausdorff, primeiro ou segundo enumerábel, a mesma propiedade a ten cada factor. Se o produto é separábel tamén o é cada factor, pois é imaxe continua do produto. Vexamos agora como as propiedades nos factores inducen as correspondentes no produto. Dados dous puntos diferentes do produto, x e y, con, por exemplo, k-ésimas coordenadas x k e y k distintas, sexan U e V abertos disxuntos en X k, verificando x k U e y k V. Se pr k é a k-ésima proxección, os abertos pr 1 k (U) e pr 1 k (V ) separan x e y. A partir de bases ou bases locais enumerábeis dos factores, as familias de produtos dos seus elementos son unha base enumerábel ou unha base local enumerábel, respectivamente, do produto. Da Proposición 6.16 séguese que o produto de conxuntos densos en cada factor é un conxunto denso no produto Definición Dada unha familia finita de aplicacións {f i : X i Y i }, i = 1,..., n, o seu produto cartesiano é a aplicación n i=1 f i = f 1 f n : n i=1 X i n i=1 Y i, definida por ( n i=1 f i)(x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1 ),..., f n (x n )) Proposición O produto cartesiano de aplicacións continuas é unha aplicación continua. Proba Obviamente, a imaxe recíproca dun aberto básico, V 1 V 2 V n é o aberto f1 1 (V 1) f2 1 (V 2) fn 1 (V n ) do dominio. En ocasións, todos os factores nun produto serán o mesmo espazo X. Daquela úsase a notación X n para o produto, e denomínase potencia topolóxica de X. Pódese definir, neste caso, unha aplicación D : X X n, D(x) = (x, x,..., x), o mergullo diagonal, pois, efectivamente, é un mergullo. A súa imaxe chámase diagonal de X n Exemplo. Imos dar un sinxelo pero interesante exemplo de aplicación dos últimos resultados. Sexa X un espazo topolóxico, λ: X R, f : X R n dúas aplicacións continuas, en R e en R n, topoloxía usual. Imos comprobar que a aplicación λ.f : X R n definida por λ.f(x) = λ(x).f(x), produto dun escalar por un vector, é continua.

91 6.3 Produto topolóxico 91 Sexan pr i : R n R, i = 1,..., n, as proxeccións, f i = pr i f. Comecemos comprobando a continuidade das aplicacións λ.f i : X R. Sabemos que a aplicación produto ξ : R R n R n é continua. Agora, a aplicación λ.f i é a composición de aplicacións continuas X D X X λ fi R R n ξ R n, logo é continua. Séguese que a aplicación λ.f é continua, usando o Teorema 6.17, pois pr i (λ.f) = λ.f i Apéndice: Produtos infinitos No curso estudamos o produto dunha colección finita de espazos topolóxicos. Agora imos botar unha ollada ao produto de familias arbitrarias. Produto cartesiano de conxuntos Para comezar, imos considerar unha situación particular, a potencia cartesiana, produto dun conxunto por si mesmo. Se a potencia é finita, digamos, X n, usabamos a notación (x 1, x 2...., x n ), x i X, para designar cada elemento de X n. No caso dun produto enumerábel, aínda podemos escribir (x 1, x 2,..., x n,...) para denotar cada elemento, aínda que, recoñecendo que se trata dunha sucesión en X, resulte máis acaído presentar o elemento como aplicación φ: N X, con x n = φ(n). Escribimos X N para denotar esta potencia. No caso máis xeral, se Y é un conxunto arbitrario, un elemento da potencia X Y será un obxecto que asigna un punto x y X a cada índice y Y ; ou sexa, será unha función φ: Y X. A potencia cartesiana X Y é o conxunto de funcións de dominio Y e rango X Exemplo. Dado un conxunto Y, a función característica dun subconxunto E é a función χ E : Y {0, 1}, dada por 1 se y E χ E (y) = 0 se y / E Denotemos 2 ao conxunto de dous elementos, {0, 1}. A potencia 2 Y é o conxunto de partes de Y, P(Y ); pois toda función de Y en 2 é a función característica dun subconxunto E de Y. Sexa agora {X λ, λ Λ} unha familia de conxuntos con índices nun conxunto Λ. Sexa X = λ Λ X λ. Definimos o produto cartesiano da familia {X λ, λ Λ}, como o conxunto de aplicacións tais que φ(λ) X λ. Π λ Λ X λ φ : Λ X 6.25 Exemplo. Xa estudamos o Cubo de Hilbert, C (vid. Sección 5.4). Coa linguaxe e notación que acabamos de introducir este conxunto sería un produto, con Λ = N, X n = [0, 1/n], X = [0, 1]. Cada elemento é unha sucesión φ: N [0, 1], con φ(n) [0, 1/n].

92 92 Espazos suma e produto Como no caso de produtos finitos, defínense as proxeccións coordenadas. Se µ Λ, a µ-ésima proxección p µ : Π λ Λ X λ X µ é a aplicación dada por p µ (φ) = φ(µ). A topoloxía produto No caso de partir dunha familia {(X λ, τ λ ), λ Λ} de espazos topolóxicos, definimos no seu produto X a topoloxía produto ou topoloxía de Tychonoff, que será a menor topoloxía que faga continuas todas as proxeccións. A condición de que a proxección p λ sexa continua é que cada conxunto p 1 λ (U λ), U λ τ λ, sexa aberto. Tal topoloxía ten como base as interseccións finitas deste tipo de conxuntos. E, como no caso dun número finito de factores, ademais de continua, cada proxección vai ser unha aplicación aberta Exemplo. O subconxunto Π n N [0, 1/n) do cubo de Hilbert non é aberto Exercicio. Visualizar en R 2 unha veciñanza básica dun punto de R R (identificando un punto co grafo da función!) Exercicio. Demostrade que nun produto topolóxico Π λ Λ X λ unha sucesión {φ n } converxe a un elemento φ 0 sse cada sucesión coordenada {p λ (φ n )} converxe a p λ (φ 0 ) en X λ Teorema. Unha aplicación f con rango un produto topolóxico Π λ Λ X λ é continua sse cada composición p λ f é continua Exercicio. Sexa X un espazo topolóxico, Λ un conxunto. A aplicación D : X X Λ definida por D(x)(λ) = x é un mergullo. Denomínase mergullo diagonal Exercicio. Sexa f λ : X λ Y λ, λ Λ unha familia de funcións continuas. Define o seu produto cartesiano e demostra que é unha función continua. O seguinte diagrama pode ser de axuda: Π λ Λ X λ Π λ Λ f λ Πλ Λ Y λ pµ p µ f µ X µ Yµ Métrica de Baire Imos definir unha métrica nunha potencia enumerábel, X N. Se φ e ψ son elementos de X N, definimos: d(φ, ψ) = 0 se φ = ψ d(φ, ψ) = 1 n 0 se n 0 = mín{n N φ(n) ψ(n)} É a denominada métrica de Baire. Sexa τ d a topoloxía asociada.

93 6.4 Exercicios Exercicio. Consideramos N e R coa topoloxía usual. Demostrade que en N N, τ d é a topoloxía produto. E que en R N, τ d é estritamente máis fina que a topoloxía produto. A topoloxía das caixas Nun produto de espazos topolóxicos pódese definir outra topoloxía dando a seguinte base: un aberto básico será un produto arbitrario de abertos de cada factor. É a denominada topoloxía das caixas. No caso dun número finito de factores, topoloxía das caixas e topoloxía produto, obviamente, coinciden Exercicio. Construíde un homeomorfismo entre os produtos topolóxicos Π n N [0, 1/n] e [0, 1] N. Pensados, despois, como espazos de funcións reais limitadas, coa métrica da converxencia uniforme, comparade en cada caso a topoloxía métrica coa topoloxía produto e a topoloxía das caixas. (O Cubo de Hilbert [Sección 5.4] aparece normalmente na literatura como potencia enumerábel do intervalo unidade, C = I N. Cando interesa explicitar a métrica adoita expresarse como subconxunto do espazo de Hilbert l 2 ) 6.4. Exercicios 6.1 Probade que a suma topolóxica de dous espacios discretos é un espacio discreto. Probade que a suma topolóxica de dous espacios triviais non é sempre un espacio trivial. 6.2 Sexan X e Y dous espacios topolóxicos disxuntos e f : X Y unha aplicación. Definimos unha aplicación F : X Y Y por f(z) se z X F (z) = z se z Y. Probade que f é continua sse F é continua. 6.3 Sexa S r o subespacio de R 2, coa topoloxía usual, definido por S r = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 = r 2 }. Considerade a suma topolóxica X = r [0,+ ) S r e estudiade se X satisfai algún axioma de numerabilidade e se é separábel. 6.4 Considerade as circunferencias S(n) = {(x, y) R 2 (x 1/n) 2 +y 2 = 1/n 2 }, coa topoloxía inducida pola usual de R 2. Sexa S(0) = {(0, 0)}. Discutide se o espazo Z, suma topolóxica de S(n), n 0, é primeiro enumerábel. 6.5 Sexa X un conxunto, E un subconxunto. Consideremos a función característica de E, χ E : X {0, 1}, dada por: 1 se x E χ E = 0 se x / E

94 94 Espazos suma e produto Describide a topoloxía inicial inducida pola función χ E en X, considerando en {0, 1} a topoloxía discreta. 6.6 Probade que o producto topolóxico de espacios discretos (triviais) é discreto (resp., trivial). 6.7 Considerade o producto (R, τ S ) (R, τ S ) da recta de Sorgenfrey por si propia. Describide a topoloxía inducida pola topoloxía producto en cada recta pola orixe. 6.8 Sexa S = {(0, 1)} o espazo de Sierpinski, con {0} o único conxunto aberto propio. Describide a topoloxía de S S 6.9 Sexan (M i, d i ), 1 i n, espacios métricos e (M, d ) o seu espacio métrico producto, é dicir, M = n i=1 M i, e d ((x 1,..., x n ), (y 1,..., y n )) = máx 1 i n {d i(x i, y i )}. Probade que a topoloxía asociada á métrica producto coincide coa topoloxía producto Probade que un espacio topolóxico X é Haudorff sse a diagonal de X 2, o conxunto = {(x, x) x X}, é un pechado en X Demostrade que se f : X Y é continua e Y é Hausdorff, entón o conxunto é pechado en X X. { (x 1, x 2 ) X X f(x 1 ) = f(x 2 )} 6.12 Sexan X, Y espacios topolóxicos, sendo Y Hausdorff, f, g : X Y dúas aplicacións continuas. 1. Demostrade que o conxunto é pechado. {x X f(x) = g(x)} 2. Demostrade que se D X é denso e f(x) = g(x) para todo x D, daquela f = g Demostrade que se f : X Y é unha aplicación aberta e sobrexectiva e o conxunto é pechado en X X, daquela Y é Hausdorff. { (x 1, x 2 ) X X f(x 1 ) = f(x 2 )} 6.14 Sexan X e Y espacios topolóxicos, A X e B Y. Demostrade: 1. (A B) = [Cl(A) B ] [A Cl(B)]. 2. Fr(A B) = [Cl(A) Fr(B)] [Fr(A) Cl(B)].

95 6.4 Exercicios Probade que a suma topolóxica de dous espacios discretos é un espacio discreto. Probade que a suma topolóxica de dous espacios triviais non é sempre un espacio trivial Sexan X e Y dous espacios topolóxicos disxuntos e f : X Y unha aplicación. Definimos unha aplicación F : X Y Y por f(z) se z X F (z) = z se z Y. Probade que f é continua sse F é continua Sexa S r o subespacio de R 2, coa topoloxía usual, definido por S r = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 = r 2 }. Considerade a suma topolóxica X = r [0,+ ) S r e estudiade se X satisfai algún axioma de numerabilidade e se é separábel.

96 96 Espazos suma e produto

97 Capítulo 7 Espazos cociente Nicolas Bourbaki (1930-) Adaís da corrección estilística, herdeiros da vella ilusión enciclopedista, sen foto, moitos nomes ilustres, comezan a súa andaina colectiva alá polos anos 30 do pasado século. Foi, é, un referente imprescindíbel en Topoloxía Xeral 7.1. Relacións de equivalencia Nun sentido moi amplo calquera subconxunto non baleiro dun produto cartesiano de conxuntos é unha relación. Nós limitarémonos ás denominadas binarias, subconxuntos do produto de dous conxuntos. Así, unha relación binaria vén determinada por un conxunto X, un conxunto Y e un subconxunto R X Y do produto cartesiano de X e Y. Este conxunto R denomínase grafo da relación. Cando un par (x, y) R, diremos que x e y están relacionados, e escribiremos xry. Por exemplo, unha aplicación de dominio X e rango Y é unha relación binaria, a dada polo seu grafo, punto de vista no que nós non imos insistir. O tipo de relacións que imos considerar de cote non soamente van ser binarias, senón que X = Y. Ou sexa, temos un conxunto X e unha relación binaria R en X, é dicir, un subconxunto R X X. Tal é o caso das relacións de equivalencia nun conxunto. 7.1 Definición Unha relación binaria en X, R, é unha relación de equivalencia se se verifica 1. xrx para todo x X. (Propiedade reflexiva) 2. Se xry, daquela yrx. (Propiedade simétrica) 3. Se xry e yrz, daquela xrz. (Propiedade transitiva) Normalmente escribiremos x y en lugar de xry, e diremos x equivalente a y. As veces, a relación usa un símbolo diferente. Tal é o caso dos dous exemplos seguintes.

98 98 Espazos cociente 7.2 Exemplo. Para todo conxunto X, a diagonal X X é o grafo dunha relación de equivalencia sobre X, a relación x = y. 7.3 Exemplo. Sexa p 1 un enteiro. No conxunto Z dos números enteiros a relación p divide a x y é unha relación de equivalencia, a congruencia módulo p, denotada x y (mod p). Conxunto cociente O subconxunto de X dos elementos equivalentes a un dado denomínase clase de equivalencia. Denotaremos por [x] a clase de equivalencia do elemento x. O conxunto das clases de equivalencia, denotado X/R ou X/, é o conxunto cociente. A aplicación p: X X/ que a cada punto de X asocia a súa clase de equivalencia, denomínase proxección cociente. p(x) = [x], Vexamos outra forma de introducir estas nocións. Dado un conxunto X, unha partición de X é unha familia Q de subconxuntos non baleiros de X, disxuntos dous a dous, tales que a súa unión é X. A aplicación p: X Q que a cada punto de X fai corresponder o único elemento da partición que o contén, chámase proxección natural de X sobre Q. Unha partición dun conxunto X define unha relación de equivalencia en X: dous puntos de X son equivalentes se pertencen ó mesmo elemento da partición. Reciprocamente, toda relación de equivalencia en X determina unha partición X/, sendo os seus elementos as clases de equivalencia. 7.4 : Cociente pola acción dun grupo.. Unha relación de equivalencia pode vir dada pola acción dun grupo sobre un conxunto. Se G é un grupo, a acción defínese como unha aplicación tal que h: X G X 1. h(x, e) = x para todo x X, onde e é o elemento neutro do grupo. 2. h((h(x, s), t) = h(x, s t), onde s t designa o produto dos elementos s e t do grupo. Ou sexa, o elemento neutro actúa como a identidade e, ademais, a acción é asociativa. Agora x será equivalente a y se existe un elemento s do grupo tal que h(x, s) = y. O cociente dunha relación de equivalencia así definida denótase X/G.

99 7.1 Relacións de equivalencia 99 A aplicación h: R Z R, dada por h(x, n) = x + n, define unha acción de Z sobre R. A relación de equivalencia asociada en R vén dada por x y sse existe un enteiro n Z tal que x = y + n e o cociente denótase R/Z. 7.5 Exemplo. A toda aplicación de dominio X asóciase unha partición en X. Sexa f : X Y. A partición será a familia de subconxuntos {f 1 (y), y f(x) Y }. (Aquí o correcto sería escribir f 1 ({y}), cometendo, no texto, un pequeno abuso de linguaxe usual). Así, x x sse f(x) = f(x ). Normalmente pártese de aplicacións sobrexectivas. Neste caso, o conxunto cociente é Y, ou, para ser preciso, existe unha aplicación bixectiva entre Q e Y, a que a cada conxunto f 1 (y) fai corresponder y, que vén canonicamente determinada, o que permite identificar sen ambigüidade ambos conxuntos. Consideremos, por exemplo, a aplicación exponencial exp : R S 1, dada por exp (x) = (cos 2πx, sen 2πx). A relación de equivalencia asociada é a mesma que no exemplo anterior, a dada pola acción de Z sobre R e, así, os conxuntos cocientes, R/Z e S 1, ben que presentados de forma diferente, son o mesmo. Factorización dunha aplicación Dado un conxunto X e unha relación de equivalencia nel, ímonos interesar por aplicacións con dominio X/, digamos g : X/ Y. Se [x] X/, o valor de g debe depender exclusivamente de [x], e non dun representante particular da súa clase de equivalencia. Ou sexa, se x 1 x 2, debe ser g([x 1 ]) = g([x 2 ]), pois [x 1 ] = [x 2 ]. Esta observación obvia é pertinente por cuanto usualmente vaise definir g a partir de X e non directamente no cociente. Dada a regra de definición en X, esta condición permitirá concluír que a correspondencia determina unha función ben definida en X/ (a linguaxe é algo imprecisa, se non estivera ben definida non sería unha función!). Consideremos, pois, unha relación de equivalencia nun conxunto X, con aplicación cociente p: X X/, e unha aplicación f : X Y. Imos abordar a cuestión de cando existe unha aplicación f : X/ Y que faga conmutativo o diagrama p X f X/ f Y En caso afirmativo diremos que a aplicación f pasa ao cociente ou que se factoriza por p. Dende logo, se x 1 x 2, entón p(x 1 ) = p(x 2 ) e, pois, f(p(x 1 )) = f(p(x 2 )), ou sexa, f(x 1 ) = f(x 2 ). Así, unha condición necesaria para que f pase ao cociente é que tome o mesmo valor en todos os elementos dunha mesma clase de equivalencia. Se designamos por R o grafo da

100 100 Espazos cociente relación de equivalencia dada e por R f o grafo da relación de equivalencia definida por f, esta condición exprésase por la inclusión R R f. Esta inclusión é, pois, condición necesaria para la factorización. É tamén condición suficiente. En efecto, se se cumpre, definimos f por f([x]) = f(x), e a condición garante que a aplicación f está ben definida. En conclusión: 7.6 Proposición Unha aplicación f : X Y factorízase polo cociente dunha relación de equivalencia en X de grafo R se, e soamente se, R R f, sendo R f o grafo da relación de equivalencia definida por f en X. De forma máis xeral, se temos unha aplicación f : X Y e relacións de equivalencia en X e Y de grafos, respectivamente, R e S, podemos determinar as condicións nas que f defina unha aplicación f : X/R Y/S entre os cocientes. De forma análoga á proposición anterior, tense: 7.7 Proposición Nas hipóteses anteriores, a aplicación f : X Y determina unha aplicación f facendo o seguinte diagrama conmutativo X f Y p X X/ se, e soamente se, se cumpre a inclusión f p Y Y/ (f f)(r) S. Noutros termos, se x 1 x 2, daquela f(x 1 ) f(x 2 ). Neste caso dise que a aplicación f é compatíbel coas relacións de equivalencia Espazos cociente Nesta sección imos abordar a definición e estudo dunha topoloxía natural no conxunto cociente dun espazo topolóxico por unha relación de equivalencia. 7.8 Definición Sexa X é un espazo topolóxico, unha relación de equivaléncia definida nel. Chámase espazo cociente de X pola relación de equivalencia ao conxunto cociente X/ provisto da topoloxía inducida pola proxección natural p: X X/. A topoloxía inducida chámase neste caso topoloxía cociente. Con esta definición a proxección cociente resulta, pois, continua. O espazo cociente dun espazo Hausdorff non é necesariamente Hausdorff. De feito, moitos dos espazos non Hausdorff que aparecen de forma natural, son definidos como cocientes. Vexamos un exemplo característico.

101 7.2 Espazos cociente Exemplo. Sexa X = (R {0}) (R {1}) subespazo de R 2 coa súa topoloxía usual (ou, o que é o mesmo, a suma topolóxica de dúas copias disxuntas de R). Consideremos o espazo cociente de X pola relación de equivalencia xerada por: (x, 0) (x, 1) se x < 0. B[ ) A [ Figura 7.1: Espazo cociente non Hausdorff. Sexan A = p(0, 0) e B = p(0, 1). Sexan U e V abertos no cociente con A U e B V. Por seren abertos e conter, respectivamente, A e B, as imaxes recíprocas p 1 (U) e p 1 (V ) deben conter intervalos abertos centrados no (0, 0) e no (0, 1), respc., digamos ( ɛ 1, ɛ 1 ) {0} e ( ɛ 2, ɛ 2 ) {1}. Se t é un número maior que ɛ 1 e ɛ 2 e menor que 0, o punto p(t, 0) = p(t, 1) está en U V. Logo non existen abertos que separen A e B. Toda aplicación f : X Y define unha relación de equivalencia no dominio; dous elementos son equivalentes se teñen a mesma imaxe. Se a aplicación é sobrexectiva a relación ten o rango Y como conxunto cociente. Se se tratara de espazos topolóxicos e mesmo dunha aplicación continua, a topoloxía do espazo cociente non ten por que ser a topoloxía do rango, rango e espazo cociente non son necesariamente homeomorfos, non son necesariamente o mesmo espazo topolóxico. O seguinte concepto axudará a discernir esta cuestión, que encontrará resposta no Teorema Definición Sexan X e Y espazos topolóxicos. Diremos que unha aplicación f : X Y é unha identificación se é sobrexectiva e se cumpre que un subconxunto U de Y é aberto en Y sse f 1 (U) é aberto en X Lema Unha aplicación f : X Y é unha identificación sse f é sobrexectiva e un subconxunto F de Y é pechado en Y sse f 1 (F ) é pechado en X. Proba É consecuencia inmediata da relación f 1 (Y E) = X f 1 (E) Proposición Toda aplicación continua, sobrexectiva e aberta ou pechada é unha identificación. Proba Supoñamos f aberta. Sexa E é un conxunto en Y tal que f 1 (E) sexa aberto en X. Dado que f é sobre, tense f[f 1 (E)] = E. Xa que f 1 (E) é aberto en X e f é aberta, séguese que E é un conxunto aberto en Y. Analogamente se proba que f é unha identificación se f é pechada. En particular, todo homeomorfismo é unha identificación. Con frecuencia, para determinar se unha aplicación é unha identificación, comprobaremos que é aberta ou pechada. Convén ter presente que non se trata de condicións necesarias, unha identificación pode non ser nin aberta nin pechada.

102 102 Espazos cociente 7.13 Exemplo. A aplicación exponencial de R en S 1 é aberta (vid. 2.22), logo, unha identificación Exemplo. Sempre coa topoloxía usual, a seguinte aplicación é unha identificación: f : I 2 D 2 f(s, t) = s e 2πit. En efecto, é continua e sobrexectiva, e por ter dominio un compacto de R 2 e rango un subespazo de R 2, é pechada. A seguinte propiedade, característica das topoloxías finais, é de grande importancia no estudo dos espazos cociente Teorema Sexan X, Y e Z espazos topolóxicos e f : X Y unha identificación. Unha aplicación g : Y Z é continua sse o é a composición g f : X Z. X g f f Z g Y Proba A necesidade da condición é obvia, pois a composición de dúas aplicacións continuas é continua. Para probar a suficiencia, supoñamos que a composición h = g f : X Z sexa continua. Sexa W un aberto arbitrario en Z e sexan V = g 1 (W ) e U = f 1 (V ). Tense h 1 (W ) = f 1 [g 1 (W )] = U. Como W é aberto e h é continua, séguese que U é aberto en X. Pola definición de identificación, isto implica que V é aberto en Y. Logo, g é continua. Na proba do seguinte teorema utilizamos dúas veces o anterior, e serve de modelo a moitas demostracións de que un espazo cociente resulta ser (homeomorfo a) un espazo topolóxico coñecido Teorema Se f : X Y é unha identificación, daquela Y é homeomorfo ó espazo cociente de X pola relación de equivalencia determinada por f. Proba Certamente, a aplicación h([x]) = f(x) de X/ en Y está ben definida, é bixectiva e fai conmutativo o diagrama X p f h X/ Y

103 7.2 Espazos cociente 103 Ou sexa, f = h p. En consecuencia, xa que p é unha identificación e a aplicación f é continua, h é continua. Analogamente, p é a composición h 1 f da aplicación inversa h 1 e da aplicación f, que é unha identificación, logo h 1 é continua Espazo proxectivo. O espazo proxectivo real RP n ten como elementos as rectas pola orixe en R n+1. É o espazo cociente de Rn+1 {0}, coa topoloxía usual, pola relación de equivalencia dada por: (a 0,..., a n ) (b 0,..., b n ) sse λ R, λ 0 b i = λa i, i = 1,..., n. Denotemos por p: R n+1 {0} RP n a proxección cociente. Tamén se pode expresar como cociente da esfera S n. A restricción da proxección π = p S n : S n P n é continua e sobre. Para comprobar que é unha identificación hai varios camiños posibles. O máis cómodo neste momento (cando aínda non estudamos compacidade nos espazos abstractos), é partir do feito de que a aplicación h: R n+1 {0} S n dada por h(x) = x/ x é unha identificación Exemplo. Consideremos o cilindro S 1 [ 1, 1], como subespazo de R 3 coa topoloxía usual. Sexa Z o cociente deste espazo pola relación de equivalencia xerada por: (x, 1) (y, 1) e (x, 1) (y, 1) para todos os x, y S 1. Imos ver que Z é homeomorfo á esfera S 2 coa topoloxía usual. Xa que a esfera é un subespazo de R 3 e S 1 [ 1, 1] é un espazo compacto, unha función continua e sobrexectiva de S 1 [ 1, 1] en S 2 será unha identificación. Abonda pois construír tal función f : S 1 [ 1, 1] S 2, de xeito que defina en S 1 [ 1, 1] a relación de equivalencia dada. A función buscada vai levar cada circunferencia horizontal no cilindro ao paralelo da esfera do mesmo plano. Á base e á tapa do cilindro van corresponder puntos, o polo sur e o polo norte, dando lugar á relación de equivalencia desexada. A función conserva a altura, terceira coordenada para nos, e move as outras dúas no seu plano, na mesma semirrecta pola orixe. Ou sexa, f(x, y, t) = (x, y, t), con x = rx, y = ry, para algún r > 0. Como o punto resultante está na esfera, debe cumprir xa que x 2 + y 2 = 1 por estar en S 1. Logo, r 2 x 2 + r 2 y 2 + t 2 = 1, e pois r = 1 t 2, f(x, y, t) = (x 1 t 2, y 1 t 2, t), que satisfai as condicións requeridas.

104 104 Espazos cociente 7.19 Colapso dun subconxunto a un punto. Se X é un espazo topolóxico e A un subconxunto non baleiro de X, o colapso de A a un punto en X é o espazo cociente asociado á partición de X que ten como elementos cada conxunto {x}, se x A, e o propio A. Denótase X/A. Os colapsos, que teñen máis interese do que podería suxerir a simplicidade da súa definición, foron xa usados polo topólogo alxebrista J.H.C. Whitehead en Exemplo. Sexa D a bola unitaria pechada en R 2 coa topoloxía usual. O colapso D/S 1 é homeomorfo á esfera S 2. Para demostralo, imos construír unha identificación f : D S 2 que defina a mesma relación de equivalencia en D que a do colapso. Existirá, pois, unha función bixectiva h entre D/S 1 e S 2, de xeito que h p = f e que h 1 f = p. Razoando como no teorema anterior, por seren f e p ambas as dúas identificacións, tanto h como h 1 serán continuas. Construamos f. Imos facer corresponder ao punto (0, 0) o polo norte da esfera, e a cada diámetro de D a circunferencia máxima que se proxecta sobre el. Así, a imaxe dun punto quedará totalmente determinada se coñecemos a súa altura, a coordenada z. Esta coordenada vai variar entre 1 e +1, e será soamente función da norma. Se usamos como parametro o cadrado da norma, a cada punto x = (x 1, x 2 ) de D farémoslle corresponder un punto (a, b, z) con z = 2 x 2 1. Por se proxectar no plano na mesma semirrecta, a = tx 1, b = tx 2. Por estar na esfera, de a 2 + b 2 + z 2 = 1 resulta t = 2 1 x 2. Finalmente, f(x) = (2 1 x 2. x 1, 2 1 x 2. x 2, 2 x 2 1). Pois que f é continua, é pechada por ser o dominio un compacto de R 2 e o rango un subespazo de R 3 coa topoloxía usual. Por último, f é sobrexectiva. Dende logo, (0, 0, 1) é imaxe de calquera vector de norma unidade. Se un punto (a, b, c) de S 2, con c 1, é imaxe de (x 1, x 2 ), sería c = 2 x 2 1, ou sexa, e x 1 = 2 1 x 2 = 2(1 c), a 2(1 c), x 2 = b 2(1 c) Exemplo. Consideremos o colapso X de R 2, coa topoloxía usual, polo eixo de abscisas, X = R 2 /(R {0}). Sexa Θ o punto de X imaxe do eixo. Imos ver que neste punto X non satisfai o primeiro axioma de numerabilidade. Supoñamos, por contra, que {U n, n N} fora unha base local contractiva en Θ. Escollamos puntos (n, y n ) U n, con y n > 0. A sucesión {(n, y n )} así formada tería que converxer a Θ. Imos construír unha veciñanza aberta de Θ que non contén ningún punto da sucesión. Vai ser a imaxe no cociente do aberto V de R 2 formado como segue: sexan V 1 = (, 2) ( y 1, y 1 ), V n = (n 1, n + 1) ( y n, y n ), n 2. O aberto buscado será V = n N V n.

105 7.3 Apéndice: Acción de grupos e espazos homoxéneos Apéndice: Acción de grupos e espazos homoxéneos Accións de grupos Sexa G un grupo abstracto, X un conxunto. Unha acción de G sobre X é unha función que verifica Φ: G X X 1. Φ(e, x) = x, onde e é o elemento neutro do grupo e x calquera elemento do conxunto X. 2. Φ(g 1, Φ(g 2, x)) = Φ(g 1 g 2, x), propiedade asociativa. Normalmente escríbese g x ou mesmo gx na vez de Φ(g, x). E para expresar que existe unha acción escríbese G X. Para ser precisos, o definido é unha acción pola esquerda; analogamente se define acción pola dereita. A acción define unha relación de equivalencia: dous elementos x, y X son equivalentes se existe un elemento g do grupo tal que y = g x. As clases de equivalencia chámanse órbitas. A órbita de x denótase Gx. O conxunto cociente denótase X/G. (Ou G\X cando conveña explicitar que se trata dunha acción pola esquerda). Para cada g G, a acción define unha función ϕ g : X X, dada por ϕ g (x) = Φ(g, x). Esta función é bixectiva. Grupos topolóxicos Un grupo topolóxico é un grupo G que ten tamén unha topoloxía, e tal que as operacións do grupo, produto e inverso, son continuas: Exemplos Π: G G G ; ι: G G. (g 1, g 2 ) g 1 g 2 ; g g 1 1. (R n, +), (C n, +), (R {0}, ), (C {0}, ). Estes dous últimos grupos adóitanse denotar R e C, respectivamente. 2. O grupo Z 2 = { 1, 1} podemos identificalo con S 0, que ten a topoloxía discreta. 3. O grupo S 1 pódese presentar como subgrupo e subespazo de C {0}. 4. Analogamente defínese unha estrutura de grupo en S 3, como subgrupo do grupo multiplicativo H {0} dos cuaternios. Como espazo vectorial, H é R 4, coa métrica euclidiana. Para definir a estrutura multiplicativa pártese da base canónica, que se denota por {1, i, j, k}; o 1 actua como elemento neutro, para os outros establécese: i 2 = j 2 = k 2 = 1 ; ij = k = ji, jk = i = kj, e ki = j = ik, e se estende a todos os elementos de H por linearidade. Sexa q = a + bi + cj + dk, a, b, c, d R. A norma q é a raiz cadrada de qq, onde q denota o conxugado de q, q = a bi cj dk. Para comprobar que a norma dun produto é o produto das normas, cálculase primeiro p q = q p. Séguese que S 3, o conxunto dos cuaternios de norma unidade, é un subgrupo de H {0}.

106 106 Espazos cociente 5. O grupo linear xeral, GL(n, R), matrices n n inversibles, e os seus subgrupos, son grupos topolóxicos. Dótase dunha topoloxía ao conxunto M n (R) de todas as matrices n n identificándoo con R n2, facendo corresponder a cada matriz o elemento de R n2 que ten como coordenadas as entradas da matriz, lidas fila a fila. O grupo ortogonal, O(3), é un subgrupo de GL(3, R). Unha matriz é ortogonal se a súa inversa coincide coa súa transposta. Disto dedúcese que o conxunto de puntos correspondentes de R 9 é pechado e limitado. Ou sexa, que O(3) é un subespazo compacto de GL(3, R). Ten dúas compoñentes conexas. Unha delas é o grupo das rotacións de R 3, SO(3), matrices ortogonais con determinante Se A e B son subconxuntos de G, usaremos a notación AB = Π(A B) e A 1 = ι(a) para denotar o conxunto de todos os produtos de elementos de A por elementos de B, nun caso, o conxunto de inversos de A, no outro. 1. Cada elemento g do grupo define tres homeomorfismos do grupo en si mesmo: L g (x) = gx ; R g (x) = xg ; I g (x) = gxg Sexa V unha veciñanza do elemento neutro e. Existe unha veciñanza U de e contida en V e tal que U U 1 V. 3. Sexa V unha veciñanza do elemento neutro e. Existe unha veciñanza U de e contida en V e tal que U = U As veciñanzas U de e verificando U = U 1 forman unha base local. Accións continuas Sexa G un grupo topolóxico e X un espazo topolóxico. Se Φ: G X X é continua, dise que a acción é continua, ou que G opera en X por homeomorfismos, pois neste caso cada ϕ g é un homeomorfismo. A aplicación cociente X X/G é aberta. Exemplos 1. O grupo multiplicativo R {0} opera sobre R n+1 {0} polo produto dun escalar por un vector. O cociente da acción é, por definición, o espazo proxectivo real RP n. 2. Analogamente, o grupo multiplicativo C {0} opera sobre C n+1 {0} polo produto escalar. O cociente da acción é o espazo proxectivo complexo CP n. 3. Para definir unha acción de Z 2 nun espazo X chega con coñecer φ 1 : X X, que pode ser calquera involución de X, ou sexa, unha aplicación tal que feita dúas veces dea a identidade. É o caso da aplicación antipodal a: S n S n, a(x) = x. O cociente por esta acción, S n /Z 2, é o espazo proxectivo real RP n. 4. As transformacións ϕ(x, y) = (x, y+1), ψ(x, y) = (x+1, y) son dúas isometrías do plano. Definen un grupo G = {ϕ, ψ ψ 1 ϕψϕ} que opera sobre R 2. O cociente é a Garrafa de Klein, K.

107 7.4 Exercicios 107 Espazos homoxéneos Se H é un subgrupo de G, podemos considerar a acción de H sobre G dada pola multiplicación pola esquerda. Neste caso o cociente denótase H\G. Se a acción é pola dereita, G/H. Estes espazos topolóxicos, cocientes dun grupo pola acción dun subgrupo, denomínanse espazos homoxéneos (homogeneous spaces). Exemplos 1. O subgrupo Z opera sobre o grupo aditivo R. O cociente é homeomorfo e isomorfo ao grupo topolóxico S Podemos considerar SO(2) SO(3) identificando SO(2) co subgrupo das rotacións de R 3 que deixan fixo o eixo z. O cociente é homeomorfo a S 2. Indicación: Se z = (0, 0, 1) é o polo norte, traballade coa aplicación φ de SO(3) en S 2 dada por φ(g) = g 1 z. 3. Xa comentamos que a acción do grupo Z 2 sobre S 3 ten como cociente é o espazo proxectivo real RP 3. Como Z 2 é un subgrupo normal de S 3, o cociente tamén é un grupo: é o grupo SO(3) (unha demostración pódese ver nos apuntamentos de Topoloxía de Superficies). 4. Consideremos o subgrupo S 1 de S 3, actuando pola dereita. O cociente S 3 /S 1 é homeomorfo a S 2. Indicación: Se q = (a, b, c, d) é un cuaternio unitario, traballade coa aplicación φ de S 3 en S 2 dada por φ(q) = (a 2 + b 2 c 2 d 2, 2(ad + bc), 2(bd ac)) Exercicios 7.1 Probade que S 1 é homeomorfo ao colapso de {0, 1} a un punto en I. 7.2 Considerade o espazo cociente de R 2 coa topoloxía usual pola relación de equivalencia dada por (x, y) (x, y ) se x 2 + y 2 = x 2 + y 2. Probade que R 2 / é homeomorfo a [ 0, + ) coa topoloxía usual. 7.3 Dado un espazo topolóxico X, defínese o cono de X como o espazo cociente C(X) = (X I)/(X {1}). Probade que C(S 1 ) é homeomorfo ao disco pechado unitario D = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 }. 7.4 Denomínase toro, T 2, ao produto topolóxico de dúas copias da circunferencia unitaria, S 1 S 1. Demostrade que o toro é homeomorfo ao cociente do cadrado unitario I 2 coa topoloxía usual, pola relación de equivalencia xerada por (s, 0) (s, 1) e (0, t) (1, t). 7.5 Sexa D n a bóla pechada unitaria no espazo euclidiano R n. Demostrade que o cociente D n /S n 1 é homeomorfo a S n, verificando que a función f : D n S n dada por f(x) = (2 1 x 2 x, 2 x 2 1)

108 108 Espazos cociente é unha identificación e define en D 2 a mesma relación de equivalencia que a dada polo colapso de S n 1 a un punto. 7.6 Defínese a Faixa de Möbius, M, como cociente do cadrado unitario I 2 pola relación de equivalencia xerada por (0, t) (1, 1 t). Construíde unha función sobrexectiva de M en S Sexan X e Y dous espacios topolóxicos disxuntos, x 0 un punto de X e y 0 un punto de Y. A unión por un punto dos espacios X e Y con puntos base x 0 X e y 0 Y é o espacio X Y = (X + Y )/{x 0, y 0 }. Sexa p: X + Y X Y a aplicación cociente. Probade que as aplicacións f : X X Y e g : Y X Y, dadas por f(x) = p(x) e g(y) = p(y), son mergullos. 7.8 Sexa X un espacio topolóxico, A B X subconxuntos pechados. 1. Demostrade que a proxección cociente p: X X/A induce un homeomorfismo entre X A e X/A {p(a)}. 2. Demostrade que a imaxe p(b) en X/A é homeomorfa a B/A. 3. Demostrade que hai un homeomorfismo natural (X/A)/(B/A) X/B. 7.9 Sexa X o seguinte subespacio de R 2 coa topoloxía usual: X = { (x, 1) 1 x 1 } { (x, 1) 1 x 1 }. Sexa a relación de equivalencia en X xerada por: ( 1, 1) ( 1, 1) e (1, 1) (1, 1). Probade que o espacio cociente é homeomorfo a S Sexan unha relación de equivalencia nun espazo X e p: X X/ a proxección natural sobre o espazo cociente. Para cada subconxunto A de X, definimos R(A) = {x X x a, para algún a A}. O conxunto R(A) denomínase saturado de A pola relación de equivalencia. Demostrade a equivalencia das seguintes afirmacións: 1. p é unha aplicación aberta 2. R(A) é un conxunto aberto para todo subconxunto aberto A de X. Neste enunciado pódese substituír en cada caso aberto por pechado Sexa X = { (x, y) R 2 y 0 }, coa topoloxía usual, e A = { (x, y) X y > 0 }. Considerade o espacio cociente Y = X/A e representade por [x, y] a clase de (x, y). a) Estudade se Y é Hausdorff. b) Estudade se é continua a aplicación f : Y R, onde R ten a topoloxía usual, dada por: x se y = 0, f([x, y]) = 0 se y > 0.

109 Capítulo 8 Espazos normais Mary Ellen (Estill) Rudin ( ) foi profesora na Universidade de Wisconsin, especialista en Topoloxía Conxuntista. Destacou a súa extraordinaria habilidade para construír inxeniosos contraexemplos a conxecturas coñecidas, moitos realmente complicados. Entre os que podemos comprender, construiu un espazo normal X tal que o produto X I non é normal, resolvendo a chamada conxectura de Dowker. Foi vice-presidenta da American Mathematical Society ( ). Nesta lección encontraremos os resultados menos elementais do curso. O tema trata maiormente do problema de extensión, para o que se dan respostas moi elaboradas. Trata, tamén, aproveitando as ferramentas desenvoltas, doutra cuestión, de cando un espazo topolóxico é metrizábel, para a que se da unha resposta bastante completa O problema de extensión. Retractos 8.1 Definición Sexan X e Y espazos topolóxicos, E un subespazo de X e f : E Y unha aplicación continua. Unha extensión de f é unha aplicación continua g : X Y tal que g E = f. O problema de extensión dunha aplicación continua f : E Y ao espazo X consiste en determinar se f ten ou non unha extensión a X e, en caso afirmativo, obter unha.