DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DE MÁQUINAS SÍNCRONAS PELA SIMULAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS DO ENSAIO DE RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

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1 DEERMINAÇÃO DOS PARÂMEROS DE MÁQUINAS SÍNCRONAS PEA SIMUAÇÃO POR EEMENOS FINIOS DO ENSAIO DE RESPOSA EM FREQÜÊNCIA Slvo Ikuyo Nabeta, José Roberto Caroso MAG aboratóro e Eletromagnetsmo Aplcao PEA Departamento e Engenhara e Energa e Automação Elétrcas Escola Poltécnca a Unversae e São Paulo Av. Pro. ucano Gualberto, tr.3, n 158 CEP São Paulo el: Fax: emal: nabeta@pea.usp.br Albert Fogga, Jean-ous Coulomb, Glbert Reyne EG aboratore Electrotechnque e Grenoble Insttut Natonal Polytechnque e Grenoble el: Fax: RESUMO Este trabalho apresenta a etermnação os parâmetros e uma máquna síncrona e polos salentes através a smulação o Ensao e Resposta em Freqüênca (SSFR Stanstll Frequency Response estng) pelo Métoo os Elementos Fntos. Os resultaos e smulação são comparaos aos valores obtos pelo ensao e curto-crcuto trásco, ensao este realzao em tensão reuza para se observar a conção e lnearae. Palavras-chaves: Máqunas Síncronas, Elementos Fntos, Ensao e Resposta em Freqüênca ABSRAC hs work presents the etermnaton o the parameters o a salent-pole synchronous machne by a Fnte Element smulaton o the SSFR Stanstll Frequency Response estng. Compute results are compare wth expermental values ssue rom the symmetrc short-crcut test whch was carre out n low-voltage n orer to assure the lnear conton. Keywors: Synchronous Machne, Fnte Element, Stanstll Frequency Response estng O conhecmento antecpao os parâmetros permte too um estuo antecpao e uma preção e comportamentos, não apenas a máquna solaa, mas também o conunto one esta está nsera, conuzno a um sstema nal e maor conablae e custo reuzo. Nos as atuas, com a evolução e a ssemnação os meos computaconas, poerosas erramentas numércas têm seu uso generalzao, o que torna possível, entre outras, a presposção precsa e aos, tas como as reatâncas e constantes e tempo e máqunas síncronas, outrora apenas sponíves através e ensaos os proutos acabaos. Uma essas erramentas é o Métoo os Elementos Fntos (MEF) que, aplcaa na Engenhara Elétrca, permte etermnar granezas eletromagnétcas em spostvos e sstemas elétrcos. Neste trabalho utlzaremos o MEF para smular o Ensao e Resposta em Freqüênca e etermnar os parâmetros, reatâncas e constantes e tempo, e uma máquna síncrona e polos salentes. 1 INRODUÇÃO A etermnação os parâmetros e máqunas síncronas é eetuaa, geralmente, através e ensaos, seno o mas reqüente o ensao e curto-crcuto trásco. oava, a obtenção precsa os parâmetros ana na ase e proeto é uma aspração, não apenas os proetstas e máqunas elétrcas, mas também os proetstas os sstemas e spostvos assocaos à máquna. Artgo submeto em 28/01/97 1a. Revsão em 04/09/97; 2a. Revsão em 25/05/98 Aceto sob recomenação o E. Cons. Pro.Dr. Eson Watanabe Os resultaos e smulação serão comparaos aos valores obtos através o Ensao e Curto-Crcuto rásco, uma vez que a realzação o Ensao e Resposta em Freqüênca não o possível por nsponblae e equpamentos. 2 ESUDO DE MÁQUINAS SÍNCRONAS O estuo e máqunas síncronas é, normalmente, realzao por meo e um crcuto elétrco a parâmetros concentraos. Um os moelos mas unos avém a eora e Park (Akns e Harley, 1975) na qual as granezas tráscas o estator são transormaas e transeras a um novo sstema e reerêncas, ortogonal e xo ao rotor, conheco como exos D-Q (Dreto e Quaratura). SBA Controle & Automação Vol. 9 no. 3 / Set., Out., Nov.. e Dezembro e

2 0 Assm, para uma máquna com os enrolamentos amorteceores, um no exo D e outro no exo Q, temos a representação mostraa na gura 1. Nessa nova reerênca, as equações e tensão poem ser escrtas como: φ V φq. ω r t ra. (1) φq V q + φ. ωr ra. q t (2) φ V r. + t (3) φk 0 rk. k + t (4) φ 0 r. + t (5) φ M a M ak φ 3 2 M a M k. φ 3 k 2 M ak M k k k (6) φ φ q seno: M φ r ω r V q, I q V, I 3 2 Exo Q M a 1.1. K q K F D V k, I k V, I V, I M a. : nutânca própra; : nutânca mútua; : luxo; : resstênca; : velocae angular o rotor 2.1 Inutâncas Operaconas D, Q : Armaura F : Inutor K, K q : Amorteceores Em alguns estuos, o curto-crcuto trásco por exemplo, poese conserar que a velocae angular ω r o rotor é constante. Nesses casos as equações (1-5) tornam-se lneares a coecentes constantes e o operaor /t poe ser substtuo pela varável e aplace p (Akns e Harley, 1975). Ana, elmnano-se as correntes, k e as equações (6) e (7) obtém-se: q Exo D Fgura 1: Máquna síncrona com 2 enrolamentos amorteceores (7) V p. ω r. q φ φq r a (8) V p. ω r. φ q + φ r a q (9) V pφ r. (10) k k 0 p φ + r. (11) k 0 p φ + r. (12) φ. + G( p). V (13) ( ). φ q q p q (14) nas quas e q são as nutâncas operaconas a máquna síncrona e G(p) é uma unção e transerênca entre o nutor e a armaura. Suas expressões são a orma: p)(.1+ p) p)(.1+. (15) 0 0 q p) q q. (16) q 0 M a ( 1 + p) G. (17) r com 0 0 k ( 1 + p)(. + p) Constante e tempo transtóra o exo reto, armaura em aberto Constante e tempo transtóra o exo reto, armaura em curto-crcuto Constante e tempo subtranstóra o exo reto, armaura em aberto Constante e tempo transtóra o exo reto, armaura em aberto Constante e tempo transtóra o exo em quaratura, q0 armaura em aberto q k X X X X q X q Constante e tempo transtóra o exo em quaratura, armaura em curto-crcuto Constante e tempo a spersão o amorteceor o exo reto reatânca síncrona o exo reto X 2π. reatânca transtóra o exo reto X X. (18) 0 reatânca subtranstóra o exo reto. X X. (19). 0 0 reatânca síncrona o exo em quaratura X q 2π. q reatânca subtranstóra o exo em quaratura q X q X q. (20) Observa-se, portanto, que a partr as reatâncas operaconas (p) e q (p) é possível se obter os parâmetros e nteresse e uma máquna síncrona Observa-se, portanto, que a partr as reatâncas operaconas (p) e q (p) é possível se obter os parâmetros e nteresse e uma máquna síncrona. q0 166 SBA Controle & Automação Vol. 9 no. 3 / Set., Out., Nov.. e Dezembro e 1998

3 Analsano a expressão (8) e V, para o caso partcular e rotor parao (ω r 0) a reera expressão toma a orma: V pφ r. a Substtuno φ pela expressão (13), tem-se: V p pg( p). V r. Supono que o enrolamento o nutor está em curto-crcuto (V 0) obtém-se: V p r. a E, nalmente, a nutânca operaconal (p) poe ser expressa como uma relação a tensão e a corrente e armaura. V + r a (21) p a (ω) Fgura 2: Curva esquemátca o móulo e (ω) A expressão (21) mostra que a nutânca operaconal poe ser etermnaa no omíno reqüencal a partr a tensão e a corrente e armaura. Este é o prncípo o Ensao e Resposta em Freqüênca que será apresentao na seção subseqüente. 3 ENSAIO DE RESPOSA EM FREQÜÊNCIA Um os métoos e etermnação os parâmetros e máqunas síncronas que vem se estacano nos últmos tempos é o Ensao e Resposta em Freqüênca (Coultes e Watson, 1981; Daneno e Poray, 1981; Canay, 1993). Esse ensao se tornou vável graças à evolução os nstrumentos e mea e à melhora as técncas e meção (Keyhan, 1992). As vantagens o métoo repousam no baxo rsco ao qual a máquna ca submeta, nversamente o que ocorre no ensao e curto-crcuto trásco, e na sua execução com o rotor parao. As meas no omíno reqüencal são, entretanto, susceptíves aos ruíos e harmôncos nerentes em tas casos e que acabam por ntrouzr uma spersão acentuaa entre os pontos expermentas. Bascamente, esse ensao consste em obter o agrama e Boe a nutânca operaconal, em ambos os exos, através as meas e tensão e corrente estatórcas numa aa axa e reqüênca. Fgura 3: Conguração recomenaa pela norma IEEE r a resstênca a armaura p ω; na qual 1 A gura 4 mostra uma curva típca e (p), móulo e ase, para um caso com 4 constantes e tempo (IEEE-St 115, 1987). Observa-se que, na prátca, a curva e móulo se mostra bem erente a apresentaa na gura 2 e o patamar reerente à nutânca transtóra é pratcamente nexstente. Isso nos leva à utlzação e algorítmos e austes e curvas para a extração e polos e zeros a partr o agrama e Boe. A nutânca síncrona é obta pela extrapolação a curva até a reqüênca zero. As reatâncas transtóra e subtranstóra são obtas pelas equações (18) e (19). Para a nutânca operaconal q (p) os procementos são smlares aos menconaos. A gura 2 apresenta, e orma esquemátca, a curva e móulo o agrama e Boe para a nutânca operaconal (p) com os respectvos parâmetros assocaos. Observa-se por esta curva que os polos ( 1/ 0 e 1/ 0 ) e os zeros ( 1/ e 1/ ) elmtam as regões e transção as reatâncas síncrona, transtóra e subtranstóra. O ensao é normalzao pela IEEE-St 115 (IEEE-St 115, 1987) e a gura 3 mostra a conguração recomenaa pela mesma. A nutânca operaconal o exo D será obta por: 1 Varm Z. (22) 2 arm Z ra (23) p Fgura 4: Curva característca e (p) seno: SBA Controle & Automação Vol. 9 no. 1 / Jan., Fev., Mar. e Abrl e

4 4 MÉODO DOS EEMENOS FINIOS Os métoos numércos, em partcular o Métoo os Elementos Fntos, (MEF) vêm se consolano como erramentas poerosas no estuo e máqunas elétrcas (Mnnch, Char e Berkery, 1983; Dougherty e Mnnch, 1983; Maun e Kamabu, 1988). Nesta seção apresentaremos os sstemas o MEF para problemas em regme permanente senoal e uma técnca aconal conheca como acoplamento e crcutos elétrcos. Por ser muto extensa e não se consttur no obeto prncpal este trabalho, a ormulação será apresentaa e orma suscnta. Maores etalhes poem ser encontraos em ombar (1993). 4.1 Formulação Magnetonâmca O estuo e problemas eletromagnétcos tem seu ponto e parta nas equações e Maxwell. Assm, para casos epenentes o tempo, as equações erencas que regem o enômeno são: Para conutores lormes rot (ν. rot A) (24) Para conutores macços A rot( ν. rot A) + σ + gra V 0 t (25) com: A potencal vetor magnétco vetor ensae e corrente V potencal escalar elétrco ν relutvae magnétca σ conutblae elétrca Entenemos como conutor macço os conutores susceptíves ao eeto pelcular, eeto esse que não ocorre em conutores lormes. Aplcano o MEF às equações (24) e (25) obtemos os seguntes sstemas matrcas, (ombar, 1993): Para conutores lormes: S. A C. I (26) [][] [][] Para conutores macços: [][] S A [ A]. + [ C ][. V] (27) t Nota-se pela equação (26) que os conutores lormes são almentaos por ontes e corrente enquanto que a maora os spostvos eletromecâncos são almentaos por ontes e tensão. A necessae e se ter uma ormulação geral que contemplasse tanto conutores lormes como os macços e, ana, permtsse a almentação por onte e tensão ez com que se esenvolvesse a técnca e acoplamento e crcutos elétrcos, que é escrto a segur. 4.2 Acoplamento e Crcutos Elétrcos Esta técnca se basea na assocação as equações e Krchho ao sstema oruno o MEF. Além e permtr a almentação em tensão para os conutores lormes, esta técnca permte acoplar à análse componentes externos tas como resstores e nutores. Para se entener o prncípo este acoplamento, analsemos ncalmente o nutor representao na gura 5a na qual estão representaos o núcleo erromagnétco e os os laos a bobna que envolve uma as colunas o nutor. Amtno-se que esta bobna é almentaa por uma onte e tensão E, o crcuto corresponente é o apresentao na gura 5b, no qual R ext e ext representam a resstênca e a nutânca e cabeça e bobna. Realzano a análse e Krchho neste crcuto, obtemos a expressão: I E V1 + V2 + Rext. I + ext. (28) t Para o acoplamento esta equação com o sstema matrcal (26) corresponente aos conutores lormes resta relaconar as tensões V com a corrente I. Esta relação vem a le e Ohm expressa por: A σ. gra V + σ. (29) t Aplcano o MEF na expressão (29), obtemos o sstema matrcal: [ V ] [ R][. I ] + [ C] [ A]. (30) t Para se conserar ana os conutores macços na análse, é precso combnar a equação (27) às equações (26), (28) e (30). De acoro com ombar (ombar, 1993) esse sstema global, ncluno os conutores lormes e macços, e as equações e Krchho resulta: ao 1 R ext ao 2 (a) E ext Núcleo ao 1 ao 2 (b) Fgura 5: Acoplamentos e crcutos elétrcos ao MEF 168 SBA Controle & Automação Vol. 9 no. 3 / Set., Out., Nov.. e Dezembro e 1998

5 [] S + [ G] [ C] [ C ][. D ] com: S G R 1 [ C R ] [ ] [ D + ] D [ ][ ] [ ] Z D. C m [ ].. C. k N s. C. Sk k σ. α. σ S α ν. graα. graα σ. α. α k m. [ A] [ V] [ I ] m [] 0 [] 0 E m ω (31) A máquna síncrona analsaa tem as seguntes característcas: 3 KVA; 220 V; 60 Hz; 4 polos salentes. A característca partcular essa máquna é o ato os amorteceores serem bobnaos e, por sso, não serem susceptíves ao eeto pelcular as correntes nuzas. Desta orma, torna-se possível a utlzação e um moelo a 4 constantes e tempo para o exo D, como aquele representao pela equação (15). Máqunas síncronas com amorteceores a barras macças poem ser representaas por uma nutânca operaconal a 6 constantes e tempo, como proposto por Nabeta et al (1995). A geometra utlzaa na smulação para este trabalho é mostraa na gura 7. A nutânca no exo D o calculaa numa axa e reqüênca [D] e [D ] são matrzes que ncam os sentos as correntes I m nas malhas [I m ] é o vetor e corrente e malhas [Z m ] é a matrz e resstêncas externas [ m ] é a matrz e nutâncas externas [ V] é o vetor e quea e tensão nos conutores [E m ] é o vetor as ontes e tensão nas malhas é o comprmento os conutores α I eα são unções e orma 5 SIMUAÇÃO NUMÉRICA Neste trabalho apenas os parâmetros o exo D oram etermnaos. A smulação numérca o SSFR o realzaa através o programa e elementos ntos FUX2D (1994) na sua ormulação bmensonal, em regme permanente senoal, lnear e acoplao com crcutos elétrcos. Fgura 7: Geometra a máquna síncrona e 1mHz a 400 Hz pelas seguntes expressões. 4 V arm ( ω ) Z ( ω ). (32) 3 ( ω ) arm Z ( ω ) ra (33) ω 6 RESUADOS O agrama e Boe obto através os aos a smulação é mostrao na gura 8. Através o pacote computaconal MARIX x (1992) ez-se o auste e curvas com um moelo a 4 constantes e tempo. Extrano-se os polos e zeros essa curva austaa obteve-se as 4 constantes e tempo, como mostraas na tabela 1(a). O crcuto elétrco utlzao neste trabalho é apresentao na gura 6. As mpeâncas Z representam as mpeâncas e cabeça e bobna e caa enrolamento. I arm Z a Amorteceor D A Z k V arm Z c C B Inutor Z b Z Fgura 6: crcuto elétrco utlzao Fgura 8: Dagrama e Boe e (p) SBA Controle & Automação Vol. 9 no. 1 / Jan., Fev., Mar. e Abrl e

6 Extrapolano-se a curva e móulo para ω0 e utlzano as relações (18) e (19) obteve-se as reatâncas, síncrona, transtóra e subtranstóra, respectvamente, como apresentaas na tabela 1(b). Os resultaos e smulação oram comparaos com valores expermentas obtos o ensao e curto-crcuto trásco, o qual o realzao em tensão reuza, observano-se assm a conção e lnearae para a etermnação os parâmetros, prncpalmente e X. abela 1(a): Comparação as constantes e tempo Constantes 0 0 Métoo As smulações oram executaas em estações e trabalho HP sére 700 e para caa reqüênca o tempo e processamento o e 15 mnutos. No total, oram realzaas 48 smulações. 7 CONCUSÕES A smulação o Ensao e Resposta em Freqüênca com rotor parao (SSFR) o realzaa através o Métoo os Elementos Fntos. Os valores as reatâncas e as constantes e tempo obtas pela smulação apresentaram boa conormae com os valores extraíos o ensao e curto-crcuto. Os resultaos mostram que é possível se obter os parâmetros e máqunas síncronas, na ase e proeto, com acetável precsão pelo métoo proposto. Esse resultao mostra ana que uma unção e transerênca a 4 constantes e tempo é sucente para a representação e (p) a máquna em questão. Isso sgnca que, quano a proposção o crcuto elétrco para o exo D, apenas um ramo é o sucente para se representar o enrolamento amorteceor. Convém salentar que o cálculo e (p) pela expressão (21) é sensível ao valor a resstênca e armaura r a que, geralmente, é bem baxo. Portanto, um especal cuao eve ser spensao na etermnação essa resstênca antes a sua conseração nos cálculos posterores. Smulação SSFR 0,68 0,15 0,033 0,021 Ensao e curto-crcuto , ,019 abela 1(b): Comparação as constantes e tempo Reatâncas X X X Métoo () () () Smulação SSFR 22,16 5,00 3,19 Ensao e curto-crcuto 20,73 4,99 3,16 AGRADECIMENOS Os autores agraecem ao CNPq Conselho Naconal e Desenvolvmento Centíco e ecnológco pelo suporte nancero urante a elaboração este trabalho. 8 REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS Akns, B. E Harley, R.G. (1975) he General heory o Alternatng Current Machnes. Chapman & Hall, onon. Canay, I.M. (1993) Determnaton o the moel parameters o machnes rom the reactance operators X (p), X q (p) (evaluaton o stanstll requency response test), IEEE- ransactons on Energy Converson, vol.8, n 2, pp Coultes, W. E Watson, W. (1981) Synchronous machne moels by stanstll requency response test, IEEE-ransactons on Power Apparatus an Systems, vol.100, n 4, pp Daneno, P.. E Poray, A.. (1981) Development o etale turbogenerator equvalent crcuts rom stanstll requency response measurements, IEEE-ransactons on Power Apparatus an Systems, vol.100, n 4, pp Dougherty, J. W. E Mnnch, S. H. (1983) Operatonal nuctances o turbne generators; test ata versus nte element metho, IEEE-ransactons on Power Apparatus an Systems, vol. PAS-102, n 10, pp FUX2D (1994) Fnte element Sotware or electromagnetc Applcatons, verson 7.11, Cerat (CEE) Magsot (USA) IEEE-St 115 (1987) Stanar Proceures or Obtanng Synchronous Machne Parameters by Stanstll Frequency Response estng. Keyhan, A. (1992) Synchronous machne parameter entcaton, IEE-Electrc Machnes an PowerSystems, n 20, pp ombar, P. E Meuner, G. (1993) A General purpose metho or electrc an magnetc combne problems or 2D axsymmetrc an transent systems, IEEE-ransactons on Magnetcs, vol.29, n 2, pp MARIX x (1992) Core verson, 3.0, Integrate Systems Inc. Maun, J. C. E Kamabu,. (1988) Results o turbne generator moellng by the nte element metho, Proceengs ICEM-88, Psa, Italy, pp Mnnch, S. H.; Char, M. V. K. E Berkery, J. F. (1993) Operatonal nuctances o turbne generators by nte elements metho, IEEE-ransactons on Power Apparatus an Systems, vol. PAS 112, n 1, pp Nabeta, S. I.; Caroso, J. R.; Fogga, A.; Coulomb, J..; Reyne, G. (1995) Determnação os parâmetros transtóros e máqunas síncronas pelo métoo os elementos ntos conserano o eeto pelcular nas barras amorteceoras, Anas o XIII SNPEE-Semnáro Naconal e Proução e ransmssão e Energa Elétrca, Camború. 170 SBA Controle & Automação Vol. 9 no. 3 / Set., Out., Nov.. e Dezembro e 1998