ÍNDICE I. INTRODUÇÃO... 1 II. A TEORIA DE SAINT-VENANT... 2 II.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS... 2 II.3 - CONDIÇÕES DE CONTORNO... 7

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1 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP ÍNDE. NTRODUÇÃO TEOR DE NT-VENNT ONDERÇÕE GER DERVD DREON D FUNÇÃO ψ ONDÇÕE DE ONTORNO FUNÇÃO D TENÕE DE PRNDT BRR DE EÇÃO TRNVER FEHD E PREDE DEGD BRR DE EÇÃO TRNVER BERT E PREDE DEGD EÇÕE HÍBRD EÇÕE FEHD UTEURE DE PREDE DEGD EEPO TEOR DE VOV - NÁE NER HPÓTEE BÁ DEOENTO D UPERFÍE ÉD ÁRE ETOR TENÕE E DEFORÇÕE NOR TENÕE DE HENTO EQUÇÕE DFEREN DE EQUÍBRO i

2 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP OBERVÇÕE EFORÇO OTNTE EFORÇO OTNTE ORREPONDENTE À TENÕE NOR EFORÇO OTNTE ORREPONDENTE À TENÕE DE HENTO OBERVÇÕE BRR O POO EÁTO PROPREDDE ETOR D EÇÕE OUN EÇÃO ONOÉTR EÇÃO ONOÉTR EÇÃO PONTO-ÉTR NTEGRÇÃO D EQUÇÃO DE EQUÍBRO PR OENTO E TORNO DE EEPO... 8 V. TEOR DE VOV - NÁE DE ETBDDE V.1 - ONDERÇÕE GER V. - EQUÇÕE DE EQUÍBRO V..1 - FORÇ TRNVER DON V.. - OENTO DE TORÇÃO DON V..3 - EQUÇÕE DFEREN DE EQUÍBRO V.3 - O ÉTODO ENERGÉTO... 1 V PÇÃO DO PRNÍPO DO TRBHO VRTU. OBTENÇÃO DO FUNON U.. 1 V.3. - PÇÃO DE U TEOR NÃO-NER GEOETRENTE ET ii

3 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP. NTRODUÇÃO O emprego de esruuras de aço no Brasil, embora ainda pouco inenso, em sendo incremenado coninuamene. o uso radicional do aço em ediícios de uso indusrial, coberuras, esruuras de apoio de equipamenos e residências de arquieura arrojada êm se somar agora os ediícios comerciais e residenciais de múliplos andares, para os quais sisemas consruios indusrialiados êm se reelado anajosos. Nos ediícios de grande pore, a esruura principal é consiuída principalmene de peris abricados a parir de chapas soldadas enre si, em geral com seção ransersal em orma de. Os peris conormados por dobrameno a rio de chapas delgadas são uiliados, neses ediícios, apenas como elemenos secundários. Já nos ediícios de pequena alura e pequenos ãos, o uso de chapas soldadas de pequena espessura não é economicamene anajoso, ano por eigir cuidados especiais de abricação quano pelo cuso das operações de core, soldagem e desempenameno. oera de peris laminados ambém em sido muio irregular, o que diicula a adequação dos mesmos às necessidades de projeo. Em isa disso, os peris de chapa dobrada são os mais adequados para esas consruções, podendo ser abricados em ormas ais que as caracerísicas geoméricas da seção ransersal possa aender, da melhor maneira, as necessidades de projeo. Os arranjos adoados nas esruuras correnes de ediícios são ais que as barras não icam, em geral, submeidas a esorços primários de orção consideráeis. No enano, a pequena rigide à orção dos peris de seção abera e parede delgada comumene uiliados pode ornar esas barras insáeis por uma combinação de orção e leão, mesmo quando submeidas apenas a ensões normais. Dese modo, a análise da orção de barras e, em especial, das barras de seção abera e parede delgada, é essencial para o esudo de elemenos submeidos a um carregameno qualquer. presenam-se inicialmene as hipóeses básicas da eoria da orção uniorme de ain-venan e a seguir, de orma mais ampla, os princípios básicos da eoria de Vlaso, aplicada a barras de seção ransersal abera e de parede delgada submeidas a um carregameno qualquer. insabilidade desas barras é esudada a parir da eoria de Vlaso. 1

4 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP. TEOR DE NT-VENNT.1 - ONDERÇÕE GER Ese capíulo raa do comporameno de barras prismáicas reas, consiuídas de maerial isorópico em regime elásico linear e submeidas a momeno de orção uniorme, ou seja, dois momenos de orção de senidos oposos aplicados às eremidades e barras isenas de qualquer impedimeno ao lire empenameno na direção longiudinal. Ese problema consise em se ober os deslocamenos, as ensões e as deormações em um pono genérico da barra, que saisaçam as condições de conorno do problema e que sejam a solução do sisema de equações da eoria da elasicidade dado por: Equações de equilíbrio: σ τ τ (1.a) τ σ τ (1.b) τ τ σ (1.c) Relações deslocamenos-deormações: ε ε ε u (.a) (.b) w (.c) γ u (.d)

5 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP γ γ u w (.e) w (.) Equações consiuias (relações ensões-deormações): [ ( )] ε 1 σ E ν σ σ [ ( )] 1 ε σ ν σ σ E [ ( )] ε 1 σ E ν σ σ (3.a) (3.b) (3.c) γ τ (3.d) G γ γ τ (3.e) G τ (3.) G O princípio de ain-venan esabelece que, conhecida uma solução qualquer, esa dee ser a solução do problema a menos das regiões próimas às eremidades. ain-venan propôs enão resoler o problema indireamene, com base em ceras hipóeses iniciais sugeridas pela inuição e por obserações eperimenais. e a solução assim enconrada aende as equações (1), () e (3), o problema esá resolido. s hipóeses ormuladas por ain-venan (1855) são as seguines: a) roação da barra em orno do eio longiudinal aria linearmene ao longo do comprimeno, ou seja, a roação especíica é consane. b) s seções ransersais empenam (deiam de ser planas) e o empenameno é o mesmo para odas as seções ransersais; sua inensidade é proporcional à roação especíica, logo: 3

6 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP w ψ (,) (4) onde ψ (,) é denominada unção empenameno de ain-venan. c) orma da seção ransersal não se alera, ou seja, não são consideradas disorções da seção ransersal em seu próprio plano (τ ; γ ). Tomando-se a origem O de um sisema de eios coordenados derógiro numa das eremidades da barra e o eio de roação coincidene com o eio, pode-se epressar a roação em orno de e os deslocamenos no plano da seção ransersal de um pono qualquer da barra de coordenadas,, como (ig..1) (5) u - - (6.a) (6.b) α r u (,) r α 4

7 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP FGUR.1 ubsiuindo-se (4) e (6) em () em-se ε ε ε γ (7.a) u w ψ γ ( ψ ) w ψ γ ( ψ ), (7.b), (7.c) e porano, com o uso das epressões (3), σ σ σ τ (8.a) τ G ( ψ ) τ G ( ψ ), (8.b), (8.c) O esado de ensões em qualquer pono é porano de cisalhameno puro, caraceriado pelos componenes τ e τ, e não ocorre disorção da seção ransersal em seu próprio plano, já que γ. s equações de equilíbrio nas direções e (epressões (1.a) e (1.b)) são auomaicamene saiseias por (8). Da equação de equilíbrio na direção (1.c), em-se τ τ σ,, G ( ψ, ψ, ) G ψ e porano ψ em (9) 5

8 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP onde é a seção ransersal da barra. unção empenameno ψ dee ser deerminada impondo-se que saisaça a epressão (9) e as condições de conorno do problema, descrias no iem DERVD DREON D FUNÇÃO ψ Para aplicação poserior em peris de parede delgada, é ineressane deerminar a ariação da unção empenameno ao longo de uma direção s qualquer. Tomando-se um sisema de eios derógiro n, s,, em-se na seção d, de acordo com a ig..: n d d cosθ (1.a) ds dn d d n senθ ds dn (1.b) r sen n n d d n cosθ θ ds ds (1.c) e ambém d d d d τ s τ senθ τ cos θ τ τ τ τ dn dn ds ds (11.a) d d d d τ n τ senθ ( τ ) cos θ τ τ τ τ dn dn ds ds (11.b) s θ n τ s τ r n -τ 6

9 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP s d dn d r sen θ d s - d d cos θ FGUR. deriada da unção ψ na direção s é dada, com o auílio de (8), por dψ d ds ψ d d d d d ds ψ ds 1 G τ ds τ ds ds ds τ s r n (1) G.3 - ONDÇÕE DE ONTORNO a) uperície laeral s condições de conorno na superície laeral da barra são obidas a parir do equilíbrio, na direção, de um prisma elemenar em que uma das aces perence à superície laeral (ig..3). mpondo-se que as ensões de cisalhameno no plano da mesma são nulas em isa da ausência de carregameno eerno na direção, conclui-se que : τ d d - τ dd τ n dsd (13) ou seja, a ensão de cisalhameno é angene ao conorno (τ τ s ). Pode-se escreer enão, inroduindo-se (8.b), (8.c) e (1) em (13), que 7

10 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP (ψ, - )n (ψ, )n em (14) unção ψ é a solução de um Problema de Valor no onorno deinido pelas epressões (9) e (14). Ese PV em solução única a menos de uma consane. 8

11 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP d θ -d V d τ V τ FGUR.3 b) Eremidades da barra s condições de conorno nas eremidades da barra, em e l, são obidas impondo-se que o sisema de ensões é esaicamene equialene ao momeno de orção, ou seja (ig..3), V τ d (15.a) V τ d (15.b) ( τ τ ) dd (15.c) 9

12 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP s duas primeiras equações são saiseias para ψ dada pela solução do PV. Tomando-se como eemplo a epressão (15.a), subsiuindo-se τ de (7.b) e somando-se ψ (de alor igual a ero, em isa de (9)) em-se, após algumas manipulações algébricas, τ ψ ψ ψ ψ ψ d G d G d G ψ ψ d plicando-se o eorema do diergene nesa epressão em-se, em isa de (14), ψ ψ τ d G n n d Da equação (15.c) resula, com a subsiuição de (8), que G (16.a) onde ( ψ ψ ),, d (16.b) é designada consane de orção de ain-venan ou momeno de inércia à orção. Noe-se que só é igual ao momeno polar de inércia, dado por ( ) d (17) se não há empenameno (ψ), o que só ocorre, por simeria, nas seções circulares maciças ou aadas (er iem 5). c) Obseração posição do eio de roação não é deinida na eoria de ain-venan. No enano, pode-se demonsrar que uma mudança na posição dos eios de reerência implica em aleração da 1

13 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP unção empenameno e do momeno polar de inércia, mas não do momeno de inércia à orção. Realmene, omando-se um sisema de eios,, conorme indicado na ig..4, em-se _ b _ a FGUR.4 a b (18.a) [ ] [ ψ, ( )] ψ, ( ) b n a n (18.b) comparando-se (14) e (18.b), conclui-se que: ψ ψ b ψ ψ a,,,, logo: ψ ψ b a c (19.a) ψ diere de ψ, porano, por um moimeno de corpo rígido. ubsiuindo-se (18.a) e (19.a) na epressão de e considerando-se que V e V são nulos, em-se: 11

14 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP ( ψ, ψ, ) ( ψ, ) ( ψ, ) d b d a d b G τ a d G τ d (19.b) Por ouro lado, o momeno polar de inércia depende do sisema de reerência, já que d ( ).4 - FUNÇÃO D TENÕE DE PRNDT solução apresenada por ain-venan, que corresponde ao éodo dos Deslocamenos, pode ser de diícil emprego se a condição de conorno é complicada. Prandl resoleu o problema direamene a parir das ensões, com o emprego da unção das ensões φ ; o méodo por ele proposo corresponde ao éodo dos Esorços. Prandl admiiu álidas as condições (7.a) e inroduiu a unção φ φ (,) al que τ φ φ τ () equação de equilíbrio (1.c) ica auomaicamene saiseia com o uso de (). ubsiuindose esas epressões em (7.b) e (7.c), em-se: φ τ G ( ψ, ) (1.a) φ τ G ( ψ, ) (1.b) Deriando-se a primeira epressão em relação a, a segunda em relação a e subraindo-se uma da oura, obém-se φ φ φ G em () Da condição de conorno τ n e com o uso de (11.b) e (), em-se 1

15 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP φ d φ d dφ τ ds ds ds n em (3) ou seja, φ é consane no conorno. Tomando-se curas de níel da unção φ ao longo da seção ransersal, conclui-se que a resulane das ensões de cisalhameno na direção normal a uma cura de níel de φ qualquer ambém é nula. ensão de cisalhameno τ s é, porano, angene à cura de níel de φ, sendo dada por: φ φ φ τ s d τ τ dn d dn d d d dn dn dn (4) logo, a ensão de cisalhameno é igual à máima inclinação da superície φ φ (,) no pono em quesão. omo apenas deriadas de φ comparecem nas epressões das ensões pode-se adoar, para seções simplesmene coneas, φ em. (5) Para seções com mais de um conorno (como as seções aadas), pode-se impor φ apenas em um dos conornos. Nos ouros, a unção φ é consane mas não obrigaoriamene nula. om a ajuda do eorema do diergene e de (3), pode-se mosrar que as condições de conorno (15.a) e (15.b) são auomaicamene saiseias, pois τ φ d φ d n d τ φ d φ d n d condição de conorno (15.c) resula em φ φ d ( ) ( ) φ φ φ d ( ) n φ n φ n d φ d φ r d φ d 13

16 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP Designando-se por φ o alor da unção das ensões no conorno (consane, em isa de 3) e por a área delimiada pelo conorno e noando-se ainda que rd n é o dobro da área do seor (ig..5), em que: φ φ d (6) s n d c s r n FGUR.5 Para seções simplesmene coneas, pode-se adoar φ em (6); para seções composas de dois conornos, como as seções aadas, o primeiro ermo de (6) passa a ser dado por: - (φ - φ i i ), onde i e φ i correspondem ao conorno inerno..5 - BRR DE EÇÃO TRNVER FEHD E PREDE DEGD 14

17 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP onsidere-se a barra de seção ransersal echada qualquer da ig.6.a. dmiindo-se pequena espessura em relação às demais dimensões da seção (/b 1, onde b é a menor dimensão da seção ransersal), pode-se considerar com boa aproimação que as ensões angenciais τ s êm, em cada pono, inensidade consane na espessura. Esa inensidade pode ser ariáel ao longo da seção ransersal caso a espessura da parede ambém seja ariáel ao longo da mesma. dicionalmene, do equilíbrio de um elemeno dsd na direção longiudinal (ig..6.b), podese concluir que: τ s1 1 d τ s d, logo o luo de cisalhameno τ s é consane na seção ransersal. d o s τ s n r n (a) 15

18 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP (b) FGUR.6 O momeno de orção é dado enão por τ dsr τ r ds τ (7) s n s n s rds n é o dobro da área do seor compreendido enre os ponos e, cujos raios eores são e (riângulo de base ds e alura r n ). é, porano, a área da igura delimiada pela linha média da seção. uliplicando-se a epressão (1) por ds, inegrando-se ao longo da seção ransersal e leando-se em cona que a inegral da unção empenameno em um conorno echado é nula, já que o empenameno é o mesmo nos eremos de inegração, obém-se: τ s dψ G ds τ s rds n G ds (8) ubsiuindo-se τ s de (7) em (8) e uiliando-se (16.a), em que 4 ds (9) Esa epressão para cálculo de um alor aproimado (dada a hipóese de τ s consane na espessura) de em seções echadas é conhecida como órmula de Bred. Dois eemplos de aplicação esão indicados a seguir (ig..7), assim como uma comparação com o alor de. b r a 16

19 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP FGUR.7 a) barras de seção reangular aada de lados a e b e espessura De acordo com a epressão (9), 4( ab) a b ( a b)/ ( a b) (3) enquano que 3 ( a b) > (31) 6 b) barras de seção circular aada de raio médio r e espessura ( π r ) 3 4 π r π r/ (3) e ambém: ( ) d r d r π r (33) ( ) Os alores de ou acima indicados para a barra de seção circular aada são aproimados. O alor eao de pode ser obido da epressão (16.b) impondo-se ψ. Noe-se que coincide com o alor eao de, dado por: r d r dr ds r r r e i r r e i π 4 4 drπ r ( re ri ) re ri π ( r r )( r r ) π r( r r ) (34) e i e i e i ogo, em isa de (16.b) e (17), a seção circular aada não sore empenameno. íulo de ilusração, o problema da seção circular aada é resolido abaio com o auílio de uma unção de Prandl sob a orma 17

20 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP r φ k1 k1 r e r e ri r r e Esa unção aende à condição φ para r r e (no conorno eerno). ubsiuindo-se a epressão acima em (), obém-se: k G r logo: e /, G re r φ 1 r e G re 1 (35) r ubsiuindo-se a unção φ em (1), em-se: e τ τ φ G φ G omparando-se esas epressões com (8.b) e (8.c), conclui-se que ψ, como já iso aneriormene. ubsiuindo-se a unção φ em (4) e noando-se que, na seção circular, dn dr, em-se: τ G r r r r (36) s i e o que eidencia que, na realidade, τ s aria ao longo da espessura. relação enre o momeno de orção e G pode ser obida de φd( φ φ ii) (37) Noando-se que φ no conorno eerno e que i πr i, subsiuindo-se φ de (35) e calculando-se φ i desa epressão para rr i, em que: 4 4 ( ) G π r r G e i (38) 18

21 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP.6 - BRR DE EÇÃO TRNVER BERT E PREDE DEGD Nas barras de seção ransersal abera e parede delgada de espessura consane (ig..8) pode-se considerar, a menos das regiões eremas e das de mudanças bruscas de direção da angene à superície média s, que as curas de níel da unção φ são paralelas a s (noe-se que φ no conorno), logo dφ/ds τ n ao longo da seção ransersal. Dese modo, sendo o sisema ns,, oronormal, pode-se escreer a equação () como: s n τ s má FGUR.8 G φ n (39) onde φ para n ± / Esas condições são saiseias para φ sob a orma 19

22 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP φ G 4 de onde: n (4) τ s φ G n n (41) n disribuição dos τ s é, porano, linear em n e τ s ma para n ± / (4) o longo da linha média em-se τ s e assim, de (1), ψ rn ds c (43) s Para rechos reos da seção ransersal, onde r n é consane, ψ é linear ao longo da linha média. omo se erá na eoria de Vlaso, ψ é denominada área seorial da seção. consane c depende da origem do eio s. Tomando-se em paricular uma seção reangular esbela de largura b com eio n na direção de, pode-se ober a unção empenameno das igualdades τ G ( ψ ) τ G, s τ G ( ψ ) τ, n de onde ψ, - e ψ, -, logo: ψ - (44) O empenameno é porano nulo ao longo dos eios de simeria e máimo nos canos da seção. O momeno de inércia à orção pode ser obido de: φ d G ds / / 4 3 b i n dn G 3 logo:

23 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP b 3 i 3 (45) É ineressane obserar que o momeno de orção resulane das ensões de cisalhameno τ s ale 1 τ sma b b τ sma b ou seja, corresponde a apenas a meade do momeno aplicado. oura meade é dada pelas ensões τ, que oram despreadas quando se admiiu φ sob a orma cilíndrica. Esas ensões, embora só sejam signiicaias nas proimidades dos bordos ±b/ da seção ransersal e enham alor inerior a τ s, auam com um braço de alaanca maior, sendo por isso responsáeis pela oura meade do..7 - EÇÕE HÍBRD Nas seções híbridas como a da igura.9, pode-se compor os resulados obidos nos iens 5 e 6, logo 4 1 ds 3 3 i i b (46) FGUR.9 1

24 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP.8 - EÇÕE FEHD UTEURE DE PREDE DEGD Para seções mulicelulares de parede delgada, o luo das ensões de cisalhameno τ s é semelhane ao de seções unicelulares. No enano, ao inés de se ober as ensões de cisalhameno direamene de (7), é preciso deerminar a disribuição de enre as diersas células. écnica de solução dese ipo de problema é ilusrada a seguir para uma seção reangular de duas células (ig..1). s ensões de cisalhameno são consanes em cada recho de espessura consane, como já iso no iem 5. 1 b τ 3 τ τ 1 1 a 1 a FGUR.1 onsidere-se que as células 1 e resisem respeciamene às parcelas 1 e do momeno de orção. No recho comum s 3, a ensão de cisalhameno τ 3 é a resulane das ensões calculadas nas células 1 e, endo sido assumido na igura que a componene deida a 1 é maior, em módulo, que a deida a. Uiliando-se a epressão (7), em que τ 1 1 (47.a) 1 1 τ (47.b) 1 τ 3 (47.c) 13 3

25 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP Em isa da hipóese de ausência de disorção da seção ransersal em seu próprio plano, o ângulo de roação de cada uma das duas células dee ser igual ao da seção mulicelular. De (16.a), (7), (8) e (9), em-se: τ s ds ( ) 1 τds G G G 4 (48) ogo 1 1 τ1 1 τ 3 3 τ τ G G 1 ( s s ) ( s s ) 3 3 (49) Noando-se que: s 1 a 1 b s a b s 3 b (5) 1 a 1 b a b (51) 1 (5) obêm-se inalmene as ensões de cisalhameno τ 1,τ eτ 3, dadas por ( ) ( ) s s (53.a) τ s 1 1s3 3s1 ( ) ( ) s s (53.b) τ s 1 1s3 3s1 s s (53.c) τ s ( 1 ) 1s3 3s1 Para seções siméricas, em paricular, em-se s 1 s, 1 e 1, logo τ 3 na alma cenral..9 - EEPO Eemplo 1 3

26 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP Deerminar a dimensão b das seções indicadas na ig..11, de modo que o momeno de inércia à orção seja igual ao de uma seção circular maciça de raio igual a 1cm. omparar as ensões de cisalhameno e o consumo de aço (área da seção ransersal). R R,65 cm b,635 cm b,635 a b a 4b FGUR.11 a) eção circular maciça R πr r d r πrdr Para R 1 cm, em-se: cm 4 4

27 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP πr 314 cm τ ma R / /1571 b) eção circular aada de espessura.635cm πr cm 4 logo R15,8 cm πr 63 cm τ ma / /πr /996 c) eção quadrada aada de espessura.635cm 4 4 4b 1578 ds 4b /.635 cm 4 logo b 9 cm 4b 74 cm τ ma / /b /168 d) eção reangular aada de espessura.635cm 4 4(4b ) 1578 cm ds 1b / logo b 15,65 cm 1b 99 cm τ ma / /(4b ) /144 Eemplo omparar a seção obida no iem c do eercício anerior com oura de mesma dimensão mas abera (ig..1). Deerminar o deslocameno relaio das bordas da seção, na direção longiudinal, para kncm. b 9 cm 5

28 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP O B FGUR.1 4b 3 /3 9.9 cm 4 << 1578 cm 4 τ / /15,6 >> /996 ogo, a seção abera é muio menos eiciene para orção. ψ rds n c s Tomando-se ψ e porano w i para uma das bordas (s i ), em-se ψ rn ds cm s G. w w i (ψ - ψ i ) -.1 Em paricular, para kn.cm resula w - 4.cm. 6

29 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP. TEOR DE VOV - NÁE NER.1 - HPÓTEE BÁ Teoria de Vlaso, aplicada às barras de seção ransersal abera e parede delgada submeidas a um carregameno qualquer, baseia-se nas seguines hipóeses: a- orma da seção ransersal não se alera, ou seja, não são consideradas disorções de seção em seu próprio plano (γ ). b- s deormações por cisalhameno na superície média da barra podem ser despreadas (γ s ). Esa hipóese corresponde à de Euler-Bernoulli na eoria clássica da Resisência dos aeriais. c- O empenameno da seção ransersal é consane ao longo da espessura e pode ser represenado pelo seu alor ao longo da superície média. s ensões de cisalhameno paralelas à superície média são dadas pela soma de dois ermos (igura.1). O primeiro ermo, com disribuição linear ao longo da espessura e anisimericamene disribuído em relação à linha média, é o obido da eoria da orção uniorme, como já iso. O esorço soliciane resulane desas ensões de cisalhameno (τ ) é o momeno de orção uniorme: G O segundo ermo (τ ) pode ser admiido consane ao longo da espessura. omo se erá a seguir, o esorço soliciane resulane desas ensões de cisalhameno é denominado momeno de leo-orção. Dee-se noar que esa disribuição de ensões esá em conradição com a hipóese de deormações por cisalhameno nulas na superície média, já que a eisência das ensões τ implica em disorções por cisalhameno da barra. ssim, as ensões de cisalhameno não podem ser associadas às disorções araés da equação consiuia τ G γ. 7

30 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP FGUR.1. - DEOENTO D UPERFÍE ÉD ÁRE ETOR Para as deduções que se seguem, qualquer pono da superície média da seção ransersal em suas coordenadas deinidas de uma das seguines maneiras (ig..): FGUR. - Pelas coordenadas,, do pono - Pelas coordenadas, na direção do eio da barra e s, ao longo da linha de conorno da superície média a parir de uma origem B a ser escolhida. 8

31 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP omo o conorno da seção não se alera, os deslocamenos do pono no plano da seção ransersal podem ser escrios em unção dos deslocamenos de um ouro pono qualquer denominado pólo, conido ou não na superície média, e da roação da seção em orno dese pono (ig..3). FGUR.3 a) Deslocamenos ransersais (no plano de superície média) endo (, ) e (,, ) as coordenadas de e respeciamene, (u, ) e (u, ) os deslocamenos deses ponos nas direções e e a roação da seção no plano, pode-se epressar os deslocamenos de em unção dos de como: u [ rcosθ rcos ( θ )] * u u u ( 1 ) rsenθ sen u rcos θ cos u ( )(. 1cos ) ( ) sen. [ rsen ( θ ) r sen ] * θ 9

32 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP ( )( 1 ) ( ) sen cos dmiindo-se pequeno, pode-se omar (1 - cos ) e sen, de onde ( ) u u (1.a) ( ) (1.b) Tomem-se agora os deslocamenos (, n ) de nas direções angene (de s ) e normal (de ~ n ) à superície média (ig..4). endo θ o ângulo enre a angene no pono (na direção ~ s ) e o eio e projeando-se u e nas direções de s ~ ~ coordenadas n, s, ~ ~ derógiro, em-se: ~ e n, para um sisema de ~ (, s) u cosθ senθ u cosθ senθ [ ( ) senθ ( ) cosθ ] (.a) ( ) n n, s u senθ cosθ u senθ cosθ [( ) θ ( ) senθ ] cos (.b) 3

33 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP FGUR.4 Os dois primeiros ermos desas equações correspondem aos deslocamenos do pólo nas direções s e n ~ ~. Pode-se obserar, na ig..4, que os ermos enre colchees das epressões (), que correspondem aos deslocamenos do pono deidos à roação, são os componenes do raio eor nas direções nes respeciamene, de onde: ~ ~ u cos θ senθ r (3.a) n u senθ cos θ r (3.b) Para a orienação de eios adoada na igura, direção de s ). ~ r é negaio (oposo a n ) e ~ n ~ r ~ s posiio (na b) Deslocamenos longiudinais Os deslocamenos de na direção podem ser deduidos a parir da consideração de que as deormações por cisalhameno na superície média são nulas (hipóese b, iem 1). endo s e dois eores desa superície inicialmene normais enre si, em-se: w γ (4) ~ ~ 31

34 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP Omiindo-se por simplicidade o índice em u e, obém-se, de (3a): ds u cosθ ds senθ ds r ds u d d r ds (5) n n onde r n ds é o dobro da área do seor com base ds e alura r n. Esa área, em módulo, pode ser calculada com o auílio da ig..4, sendo dada por: ( ) ( ) d( )d r ds (6) n N NN NN ogo, r n ds é uma unção linear da posição do pono em relação ao pólo. ubsiuindo-se (5) em (4), noando-se que u, e são unções apenas de e que senθ, cosθ, r n e r são unções apenas de s e inegrando-se enre a origem B e o pono, em-se: s w ( ) ( ) ( ) w, s ds wb wb u ( ) [ ( s) B ] ou ( ) [ ( s) ] ( ) ( s) B ( ) u ( ) ( s) ( ) ( s) ( ) ( s) w w (7.a) onde w o () w B () B u () B () (7.b) s () s r ds n (7.c) w o independe do pono da seção ransersal, pois é unção apenas de, ou seja, corresponde a um deslocameno longiudinal uniorme para oda a seção ransersal, igual ao da origem. (s) é o dobro da área do seor compreendido enre os ponos B e e depende porano, para cada pono, da posição do pólo e da origem B. Vlaso denomina (s) de área seorial de em relação ao pólo com origem seorial B. onsideram-se aqui incremenos posiios das 3

35 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP áreas seoriais se o raio eor percorre ds a parir da origem B no senido posiio e r n é negaio (oposo a n ), ou seja, se o produo eorial d s r é posiio (no senido de ~ posiio). É usual represenar (s) por um diagrama raçado sobre a linha média da seção ransersal, com o alor de indicado na direção normal ao conorno. lguns eemplos de deerminação da área seorial são apresenados no iem 8. Pode-se obserar que os rês primeiros ermos da epressão (7.a) correspondem à eoria usual de barras da Resisência dos aeriais, em que se admie álida a hipóese de Bernoulli-Euler, de que as seções planas permanecem planas e orogonais ao eio após a deormação. Ese ao decorre da hipóese γ s. O primeiro ermo represena um deslocameno aial uniorme na seção. Os dois seguines correspondem aos deslocamenos deidos às roações e,associadas por esa hipóese às deriadas em relação a dos deslocamenos do eio passando pelo pólo ( - e u ). O quaro ermo represena o empenameno da seção ransersal e é similar ao obido por ain- Venan para orção uniorme (epressão (4) do cap. ), embora aqui não seja consane em. Noe-se que a orma do empenameno é a mesma para odas as seções, mas sua inensidade diere de uma seção para oura, sendo proporcional a. Para posiio, áreas seoriais posiias correspondem a deslocamenos no senido posiio de. área seorial, nas seções aberas de paredes delgadas, corresponde à unção empenameno Ψ(,) da eoria da orção uniorme, como pode ser consaado comparando-se (7.c) à epressão 43 do cap.. ~ ~ n.3 - TENÕE E DEFORÇÕE NOR deormação longiudinal em qualquer pono da seção ransersal é dada por ( s), w ε w ( ) u ( ) ( s) ( ) ( s) "( ) ( s) (8) s ensões normais no pono são admiidas consanes ao longo da espessura e podem ser obidas da epressão (8), Omiindo-se por simplicidade a ariáel s, em que: σ E ε E [w o () u () - () () ] (9) 33

36 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP O diagrama de ensões normais decorrenes do empenameno da seção ransersal é, porano, proporcional ao diagrama das áreas seoriais. eoria de ain-venan ou da orção pura raa do caso paricular ε para qualquer alor de s, ou seja, w o (), u () e () (deslocamenos de corpo rígido) e ainda (), de onde () consane..4 - TENÕE DE HENTO Na eoria de Vlaso, apenas as ensões de cisalhameno na direção da angene à superície média τ V são consideradas. s ensões de cisalhameno τ podem ser obidas da eoria de ain- Venan. s ensões de cisalhameno deem ser deerminadas a parir das condições de equilíbrio de um elemeno da barra na direção longiudinal (ig..5) já que, por hipóese, as disorções no plano angene à superície média são nulas. ssim: FGUR.5 τ σ dsd p dsd dds s logo 34

37 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP τ p σ (1) s onde p é a projeção das orças eernas na direção. negrando-se a epressão (1) enre uma origem e o pono, respeciamene de coordenadas s o e s, e subsiuindo-se σ da epressão (9), em-se: p σ τ τ ds so τ s (, s) τ (, s ) E s s p ds w ",,, 1 o ds u so so so so E s s s ( ) ds,,, ( ) ds,,, ds so logo: s τ (,s)- τ (,s ) E 1 pds - w () (s) - u () (s) () (s) - ( ) ( s) E so (11) onde: s s () s ds, () s ds e () s so so s so ds são respeciamene a área e os momenos esáicos em relação aos eios e. s ( s) ds, por analogia, é denominado momeno esáico seorial do recho da seção so enre a origem e o pono. Esa origem não em qualquer relação com a origem seorial B, sendo apenas um pono no qual é a ensão de cisalhameno é conhecida. Usualmene, ese pono é uma eremidade do conorno, onde τ (, s o ). (s), (s), (s) e (s) são enão calculados para a pare da seção enre a eremidade e o pono. Os incremenos do momeno esáico seorial ao longo de s e com origem o são posiios se a área seorial é posiia ou, em noação eorial, se o produo eorial d s é posiio ( no senido de n ). ~ é um eor com direção ~ ~ e senido correspondene ao sinal da área seorial. ~ ~ 35

38 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP osra-se adiane (comparar as epressões 11 e 37.c) que, para momenos de orção posiios, as ensões de cisalhameno τ são posiias, ou seja, êm o senido de s, se o momeno esáico seorial é posiio. lguns eemplos de deerminação do momeno esáico seorial são apresenados no iem 8. dicionalmene, se as orças eernas na direção ao longo da superície são nulas (p ), os deslocamenos w () são lineares em e, assim, w (). Nese caso, E " (, s) [ u ( ) ( s) ( ) ( s) ( s) ] τ (1) Os ermos em u e correspondem às ensões de cisalhameno τ b resulanes da leão em dois planos orogonais. O ermo em corresponde às ensões de cisalhameno τ, uniormes ao longo da espessura, deidas ao empenameno da seção. s ensões de cisalhameno oais na seção são obidas adicionando-se as ensões de cisalhameno correspondenes à orção uniorme (epressão (41) do cap. ) às indicadas acima, logo: [ ] n E,,,,,,,,, τ (, s) u () () s () () s () s (13).5 - EQUÇÕE DFEREN DE EQUÍBRO s unções w o (), u(), () e () são deerminadas a parir das condições de equilíbrio de um elemeno de barra de comprimeno d. ação do resane da barra é subsiuída pelas ensões (σ, τ ), onde em τ não esão incluídas as ensões proenienes da orção pura, e pelo momeno de orção, esaicamene equialene à resulane das ensões de cisalhameno τ correspondenes à orção pura. O carregameno eerno, esaicamene equialene às orças, e, é subsiuído por um sisema de orças de mesma inensidade passando pelo pólo e pelo momeno de orção m resulane desas orças (ig..6). m e e (14) 36

39 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP FGUR.6.a Equilíbrio de orças na direção : FGUR.6.b σ d ds d i σ d (15.a) Equilíbrio de orças na direção : 37

40 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP τ dcos θ ds d i τ d i (15.b) Equilíbrio de orças na direção : τ dsenθ ds d i τ d i (15.c) Equilíbrio de momenos em orno do pólo : i τ d [( ) senθ ( ) cos θ ] ds d m d Uiliando-se a epressão (6) na equação de equilíbrio de momenos, em que: rn ds m d m i τ i τ (15.d) ubsiuindo-se (9) em (15.a), em-se: o" u (16) E onde, e são calculados para oda a seção ransersal. Das epressões (9) e (1), obém-se: τ s P σ P E " " [ w ( ) u ( ) ( ) ( ) ] logo: 38

41 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP τ s p ds V V V ( ) Ed u ( ) Ed ( ) E d ( ) Ed ds w (17) negrando-se por pares, ao longo da superície média, a equação de equilíbrio de orças na direção, em-se: τ i i τ s ds τ endo as ensões de cisalhameno τ nulas no conorno e porano, resula i τ s i ds (18.a) nalogamene para as orças na direção e momenos em orno de : i τ s ds (18.b) τ ds m (18.c) s i ubsiuindo-se (17) nesas epressões e noando-se que G " resula V V V 1 p w u ds (19.a) E i " V V V 1 p w u ds (19.b) E i 39

42 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP V V V G " 1 p w u m ds (19.c) E E i s epressões (16) e (19) represenam as quaro equações dierenciais de equilíbrio para as quaro incógnias w o (), u(), () e (). d, d e d são respeciamene os momenos de inércia em relação aos eios e e o produo de inércia da seção ransersal. Por analogia, d d e, d são denominados respeciamene momeno de inércia seorial ou consane de empenameno e produos de inércia seoriais da seção ransersal em relação aos eios e. O sisema de equações dierenciais de equilíbrio da barra pode ser basane simpliicado alerando-se a posição dos eios de reerência, do pólo e da origem B. a) udança dos eios de reerência Os momenos esáicos e se anulam se os eios de reerência passam pelo cenro de graidade da seção G. dicionalmene, se os eios de reerência são eios principais, o produo de inércia ambém se anula. b) udança do pólo onhecida a área seorial em relação a um pólo qualquer, pode-se acilmene deerminar a área seorial em relação a um ouro pólo. alculando-se d e d, para os pólos e por meio da epressão (6), em-se: d ( ) d ( ) d d ( ) d ( ) d logo: d( ) ( ) d ( ) d () 4

43 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP 41 negrando-se enre a origem B e o pono, em que: ( ) ( B ) ( ) ( B ) (1) omo a área seorial independe dos eios de reerência adoados oma-se aqui, por simplicidade, o sisema de eios passando pelo cenro de graidade, para o qual O pólo que orna os produos de inércia seoriais e nulos pode ser obido por meio de: ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d d B B c c ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d d B B c logo: ( ) ( ) ( ) ( ) Resolendo-se ese sisema de equações, obém-se (.a) (.b) O pólo assim deerminado é o pólo principal. Pode-se mosrar que, para seções com um eio de simeria, o pólo esá sobre ese eio. Em paricular se os eios são os principais, em-se e

44 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP (3.a) (3.b) c) udança da origem B s coordenadas do pólo principal não são aeadas por uma mudança da origem B. Ese ao pode ser consaado omando, para o mesmo pólo, duas origens dierenes B e D. s áreas seoriais dierem apenas por uma consane dada pelo dobro da área do seor compreendido enre os raios eores B e D (ig..7.a), ou seja: (s B,s) (s D,s) (s B,s D ) (4) onde o primeiro ermo enre parêneses indica a origem e o segundo o pono em quesão. FGUR.7 Tomando-se noamene por simplicidade o sisema de eios principais de reerência e subsiuindo-se esa epressão em (3), pode-se mosrar que e podem ser calculados indisinamene a parir das áreas seoriais em relação às origens B ou D, pois: 4

45 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP ( ) ( s s) d ( s, s) d ( s, s ) d ( s, s)d B, D B D D (5.a) ( ) ( s s) d ( s, s) d ( s, s ) d ( s, s)d, B D B D D (5.b) Por ouro lado, com a escolha de uma origem adequada, pode- se ober. área seorial correspondene a esa origem D e ao pólo é denominada área seorial principal, e pode ser calculada por meio de: D ou ( s, s) d ( s, s) d ( s, s ) D 1 ( s, s ) ( s, s) B B D B D B d (6) ssim, (s B,s D ) represena o alor médio da área seorial ao longo da área, calculada para uma origem B qualquer. Para seções com um eio de simeria, o pono D que orna ese alor médio nulo esá no enconro do eio de simeria com a seção ransersal - conorme ig. (.7.b) - iso que o eio de simeria diide a seção em duas pares com áreas seoriais iguais em módulo e de sinais conrários. Para seções como o peril ipo simérico da ig..7.c, pode eisir um número ininio de ponos com as caracerísicas da origem desejada. Todos os ponos da alma da seção êm área seorial nula e, assim, qualquer pono da alma pode ser omado como origem. onenciona-se deinir a origem como o pono mais próimo do pólo principal da seção. Esa origem é denominada origem seorial principal. Tomando-se agora os eios e passando pelo cenro de graidade e as propriedades seoriais da seção calculadas em relação ao pólo e à origem principais e considerando-se ainda que as orças eernas são composas apenas pelas orças resulanes, e e pelo momeno m, as equações de equilíbrio passam a ser escrias como: Ew (7.a) 43

46 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP G V G V E u E (7.b) (7.c) G V G V E u E V G m (7.d) E Noe-se que, se os eios e são os principais, em-se e as equações icam desacopladas Obserações a) Teoria da orção não-uniorme Uma barra esá submeida apenas a orção não-uniorme se as ensões normais são somene as que decorrem do empenameno da barra, ou seja, " σ E Os momenos leores e a orça normal deem ser nulos, já que o único esorço soliciane é o momeno de orção, logo: " " σ d E d E " " σ d E d E N " " σ d E d E onclui-se, porano, que só ocorre orção não-uniorme se o eio de roação passa pelo pólo principal. Noe-se que, na eoria da orção uniorme de ain Venan, a posição do eio de roação não precisa ser deinida. Ese pono é designado, na eoria da orção não-uniorme, como o cenro de orção. b) Teoria da leão simples Nas barras submeidas à leão simples, o momeno de orção aplicado m é nulo. doando-se por simplicidade o sisema de eios principais e noando-se que as ensões de cisalhameno são 44

47 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP somene as que decorrem das orças coranes V e V correspondenes às orças ransersais aplicadas no pólo em-se, da Teoria da Resisência dos aeriais, τ o V V () s () s negrando-se a equação de equilíbrio de momenos em orno do pólo (epressão (15.d)) para m, e em que V V τ V d () s d () s d i i (8) i negrando-se por pares o primeiro ermo desa epressão, em-se: i () s d () s i i d ds () s ds onde (s) é nulo nos eremos de inegração e d ds () s ds ds d Procedendo-se de orma análoga com o segundo ermo da epressão (8), obém-se: V V V V ( ) V ( ) d d V (9) onclui-se, porano, que não ocorre orção ( ) apenas quando as orças ransersais são aplicadas num eio passando pelo pólo principal. Ese pono é deinido, na eoria de leão, como o cenro de cisalhameno..6 - EFORÇO OTNTE 45

48 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP Os esorços solicianes na seção ransersal podem ser calculados a parir das ensões normais e de cisalhameno dadas pelas epressões (9) e (13) Esorços solicianes correspondenes às ensões normais Os esorços solicianes correspondenes às ensões normais são a orça normal N, os momenos leores e em orno dos eios e e o bimomeno, dados por: N σ d (3.a) σ d (3.b) σ d (3.c) σd (3.d) ubsiuindo-se a epressão (9) em (3), obém-se: N [ w ( ) u ( ) ( ) ( ) ] σ d E (31.a) " " " [ w ( ) u ( ) ( ) ( ) ] σ d E (31.b) [ w ( ) u ( ) ( ) ( ) ] σ d E (31.c) [ w ( ) u ( ) ( ) ( ) ] σd E (31.d) 46

49 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP Em paricular se os eios e passam pelo cenro de graidade e a área seorial é calculada G G em relação ao pólo e à origem seorial principais, em-se,, e nulos e assim, omiindo-se os índices e G,, ( ) N E w (3.a) " " ( u ( ) ( ) ) E (3.b) " " ( u ( ) ( ) ) E (3.c) ( ) " E (3.d) logo: N w ( ) (33.a) E Eu " (33.b) ( ) E (33.c) ( ) ( ) E (33.d) ubsiuindo-se eses alores na epressão (9), obém-se σ N (34) 47

50 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP Pode-se obserar que a epressão (34) coném um ermo adicional, em relação aos da eoria da Resisência dos aeriais, correspondene ao empenameno da seção ransersal, linearmene proporcional ao mesmo. Ese ermo é analisado em pormenor no iem

51 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP.6. - Esorços solicianes correspondenes às ensões de cisalhameno Um procedimeno similar pode ser adoado para as ensões de cisalhameno, deinindo-se como esorços solicianes as orças resulanes na seção nas direções e, V e V, e o momeno de leo-orção T em relação ao pólo principal, decorrene das orças τ auanes ao longo da angene ao conorno e uniormes ao longo da espessura. V τ ds cos θ τ d (35.a) V τ ds senθ τ d (35.b) T rnτ d rnτ ds τ d (35.c) i Tomando-se noamene p, e subsiuindo-se a epressão (1) em (35), em-se: V E u ( ) ( s) d ( ) ( s) d ( ) ( s) d (36.a) V Eu ( ) ( s) d ( ) ( s) d ( ) ( s) d (36.b) T Eu ( ) ( s) d ( ) ( s) d ( ) ( s) d (36.c) Em paricular se os eios e passam pelo cenro de graidade e a área seorial é calculada em relação ao pólo e origem seorial principais em-se, por inegração por pares, que: G G G d. i d i d nalogamene, 49

52 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP G G G,,, G d d d d G G G,,, G d d d d ubsiuindo-se eses alores nas epressões (36) e omiindo-se os índices e G, em-se V V [ u ( ) ( ) ] E (37.a) [ u ( ) ( ) ] E (37.b) T ( ) E (37.c) logo: Eu E V V (38.a) ( ) ( ) V V (38.b) E ( ) T (38.c) ubsiuindo-se eses alores na epressão (1), em que: 1 V V V V T () s () s () s τ V (39) Esa epressão ambém apresena um ermo adicional, em relação aos da eoria da Resisência dos aeriais, correspondene ao empenameno da seção. 5

53 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP s ensões de cisalhameno oais na seção são obidas adicionando-se ao alor obido de (39), uniorme ao longo da espessura, o correspondene à orção uniorme. Deriando-se as epressões (3) em relação a e comparando-se às epressões (37), conclui-se que: V (4.a) V (4.b) T (4.c) O momeno de orção oal na seção é dado pela soma de T e, logo: T T E G (41) omparando-se as epressões (41) e (7.d), pode-se escreer que (er ig..8) dt d E G G V E m (4) s epressões (41) e (4) são ormas alernaias de apresenação da equação de equilíbrio de momenos (7.d) 51

54 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP FGUR.8 s equações de equilíbrio (7) podem enão ser re-escrias em unção dos esorços solicianes e das orças eernas, obendo-se: N (43.a) V (43.b) V (43.c) " " m T T m (43.d) Pode-se obserar ainda que, se T, ou seja, se as ensões de cisalhameno são ais que o momeno das orças delas resulane em orno do pólo principal é nulo, a solução do problema é a da eoria da Resisência dos aeriais, onde se desprea o empenameno. Nese caso, se a peça não esá submeida à orção pura, em-se (). so ocorre se as orças ransersais passam pelo pólo principal, como já iso em Obserações Os esorços solicianes deduidos analiicamene nese capíulo serão agora obidos de maneira inormal para uma seção ipo ou. a- onsidere-se, a íulo de ilusração, duas barras, uma de seção quadrada e oura de seção delgada em orma de H, ambas engasadas na base e submeidas, na eremidade lire, a uma orma normal ecênrica de alor 4F. dmiindo-se álida a superposição de eeios, ese carregameno pode ser decomposo em quaro, como indicado na ig..9. 5

55 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP (a) (b) FGUR.9 Os rês primeiros equialem esaicamene a uma orça aial 4F e a momenos leores 4Fe em orno dos eios principais e. Para cada um deses carregamenos aplica-se a hipóese de Bernoulli Euler, de que as seções planas permanecem planas e orogonais ao eio da barra, sendo possíel considerar, neses casos, apenas os alongamenos paralelos ao eio da barra. No enano, para reproduir o carregameno proposo, é necessário considerar ainda o quaro sisema de orças. Para a barra de seção quadrada, ese carregameno é geralmene despreado, já que a orça normal e os momenos leores resulanes são nulos e, de acordo com o princípio de ain Venan, um sisema de orças esaicamene equialene a ero aplicado a uma 53

56 PEF5734 Projeo de Esruuras de ço omposas por Peris de eção bera e Parede Delgada Programa de Pós-Graduação em Engenharia iil Escola Poliécnica da UP pequena pare da superície de um corpo não aea signiicaiamene pares do corpo aasadas da região de inrodução das cargas. Para a barra de seção H de parede delgada, embora o sisema de orças seja ambém esaicamene equialene a ero, pode-se noar que a grande leibilidade da alma permie que ocorra leão das abas de orma praicamene independene, com senidos oposos em cada uma delas, o que prooca empenameno da seção ransersal (ig..1). FGUR.1 Para maner-se a inegridade da seção, a alma dee girar em orno do eio de um ângulo igual a Δ/e e, se não houer disorção da seção em seu próprio plano, as abas ambém giram do mesmo ângulo, ocorrendo enão ambém orção da seção ransersal. leão das abas resula em ensões normais σ e de cisalhameno τ (ig..1.b) enquano que a orção da seção resula em ensões de cisalhameno τ, que se somam às ensões decorrenes dos ouros rês sisemas de orças. Porano, não se aplica às barras de parede delgada, o princípio de ain-venan. Ese sisema auo-equilibrado de orças resula, porano, na seção ipo H nos seguines esorços solicianes: - Dois momenos leores de igual inensidade e senidos conrários, auando em orno do eio passando pela alma do peril e com aasameno igual à disância enre as abas, deinido como um noo esorço soliciane generaliado denominado bimomeno. - Duas orças coranes V nas abas, resulanes da leão das mesmas, de igual inensidade e senidos conrários. O momeno de orção T V.e é deinido como um noo esorço soliciane generaliado, denominado momeno de leo-orção. - Um momeno de orção que no caso, por equilíbrio, em igual inensidade e senido conrário a T, já que não há momeno de orção eerno T aplicado. b- O enômeno apresenado para orça normal ecênrica ocorre ambém para ouros carregamenos, como é o caso das barras submeidas à orção. Na eoria usual da orção, 54