3 ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E A ARMADURA. FISSURAÇÃO

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1 3 ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E A ARMADURA. FISSURAÇÃO 3.1 Inrodução Na compreão e na ração ane da fiuração, a armadura e o concreo vizinho pouem iguai deformaçõe. Tão logo haja fiuração do concreo, ea deformaçõe, na proximidade da fiura, paam a er diferene: a armadura alonga-e mai do que o concreo. A diferença de alongameno enre amo o maeriai implica na exiência de delizameno da armadura em relação ao concreo. A quanidade de delizameno, proveniene de cada lado da e medida na fiura, é igual à própria aerura da fiura. No primeiro cao, em que há igualdade de deformaçõe, em-e a chamada aderência rígida, poi não há delizameno; no egundo cao em que o alongameno diferem enre i, ea aderência é chamada delizane ou móvel. O eudo da aderência delizane enre a arra da armadura e o concreo que a envolve eá, porano, inimamene relacionado com a fiuração. Sore ee ema há na lieraura epecífica muio raalho, com diferença de aordagem do prolema. Pode-e diinguir dua forma de raameno do prolema. Na primeira, devida a pequiadore canadene e nore-americano ( Collin e Michell (1986), Hu e Belari (1994), enre ouro), não e faz uma conideração direa da lei enão de aderência em função do delizameno, ma ane eaelecem-e lei coniuiva do aço e do concreo em ermo de deformaçõe média. Na deformação média do concreo, igual à da armadura, incluem-e o eu efeivo alongameno médio enre fiura e a aerura dea, ranformada em deformação, dividindo-a pela diância enre fiura, a quai ão, aim, epalhada ao longo da peça fiurada. Novamene, ranforma-e o deconínuo num conínuo equivalene. Na egunda forma, devida a pequiadore europeu, o prolema é raado por meio da definição de uma lei enão de aderência em função

2 63 do delizameno. Dea decorre, como implificação, uma lei enão da armadura na fiura aociada à ua deformação média. Em qualquer uma dea forma de raameno do prolema, fica coniderado o chamado efeio de enrijecimeno da arra da armadura na ração (enion iffening), em conrapoição à arra nua. Ee fenômeno precia er coniderado na deerminação da deformaçõe do elemeno eruurai, não ó ane, ma amém apó o ecoameno do aço. Procura-e, a eguir, morar algun apeco da egunda forma de raameno aravé da lei enão de aderência-delizameno, ou da lei enão da armadura na fiura aociada à ua deformação média, ama dada no MC-90, e derivada do raalho de Eligehauen, Popov e Berero. Além dea, menciona-e amém o modelo de Sigri (1995). No primeiro cao, em-e uma lei aparenemene aane complexa, a qual procura aarcar o maior número de influência poível; ao pao que no egundo em-e uma lei enão de aderênciadelizameno em mai imple, do ipo rígido-pláica, com doi nívei de enão (média) de aderência: o maior ocorre para deformaçõe na armadura inferiore à de ecoameno, o menor em cao conrário. O argumeno dee doi modelo é, como não pode deixar de er, a concordância com o repecivo reulado experimenai coniderado. Enreano, como e afirma no diferene raalho, nenhum dele pode er coniderado como oalmene definiivo. Apear dio, ea diferença endem a diminuir quando e conidera o elemeno eruural propriamene, uordinado a condiçõe de equilírio, compaiilidade e demai lei coniuiva. 3. Lei Tenão de Aderência-Delizameno do MC-90 Seja o irane armado da Fig. 3.1 ujeio à ação de uma carga F, monoônica e crecene. No irane eja amém a eção B onde já exie uma fiura. Nela o concreo erá delocado u c e a armadura u, em cada lado dea eção. No cao de uma única fiura o repecivo delocameno de cada maerial, à equerda e à direia de B, ão iguai. No que egue admie-e que a eção permaneça plana apó deformar-e.

3 64 φ F A B F PDN e uce ucd d F F c l (x) ue ud c(x) x dx φ F(x) F- Fc(x) F (x) + d F(x) (x) Fig. 3.1: Tirane com uma fiura, delizameno enre a armadura e o concreo, deformaçõe no doi maeriai, equilírio da arra da armadura. O delizameno enre o doi maeriai numa deerminada eção próxima de B é igual a: ( x) u ( x) u ( x) (3.1) c e ua variação ao longo da arra é dada por: d dx du duc ( x) c ( x) (3.) dx dx Ea variação ocorre no chamado comprimeno de ranmião l, onde há delizameno. Nele a força da armadura na fiura, a mema aplicada no irane, é ranmiida, por aderência ao concreo e pela própria armadura, à eção

4 65 compoa, quando enão a deformaçõe no doi maeriai ão iguai (aderência rígida). Na eção B em-e uma fiura cuja aerura w reula da oma do delizameno e e d, repecivamene à equerda e à direia dea eção, i. e.: w ( u u ) + ( u u ) + (3.3) e ce d cd e d À força F (x) da armadura ao longo do comprimeno de ranmião correpondem a deformaçõe no aço e no concreo, (x) e (x). Por equilírio no elemeno de comprimeno dx, Fig. 3.1, em-e, indicando-e por φ o diâmero da arra e por a enão de aderência auane na uperfície laeral da arra: c df dx dfc πφ (x) (3.4) dx ou: πφ 4 dσ ( x) dx A c dσ c ( x) dx πφ ( x) donde reula, pondo-e πφ 4Ac, onde c A é a área da eção de concreo: dσ ( x) dx 1 dσ c ( x) 4 ( x) (3.5) dx φ Oerve-e que a variação da enão no concreo é, em módulo e a meno de uma conane, igual à do aço. Dada a lei coniuiva do maeriai, a derivada da enõe em (3.5) podem er poa em função da deformaçõe do aço e do concreo. Coniderando-e que o aço pode ear plaificado, define-e E como o módulo de

5 66 deformação angene do aço, admiido implificadamene como conane e não nulo. Logo: E d ( x) dx Ec d c ( x) 4 ( x) (3.6) dx φ Derivando-e (3.) e coniderando-e (3.6), reula a equação diferencial que une o delizameno e a enão de aderência: d ( x) dx 4 ( x) (1 + α ) (3.7) φ E onde α E E. c Não há maior ineree aqui em coniderar o módulo de deformação angene do aço como variável, poi apó a plaificação da armadura ea equação em, em geral, de er reolvida por inegração numérica. Ane do ecoameno ee módulo é o próprio módulo de elaicidade do aço E. Oerve-e que a expreão do parênee de (3.7) é igual a 1, e o alongameno do concreo for deprezado em face do alongameno do aço. Adiane mora-e uma olução dea equação para a fae eláica da armadura. A olução da equação diferencial que une o delizameno e a enão de aderência preupõe o conhecimeno da lei coniuiva (), em como da condiçõe de conorno de cada prolema. Ea lei, repreenada na Fig. 3., aume a eguine forma, cf. o MC-90, iem 3.1.1: ( ) α max (3.8a) max 1 (3.8) max ( max f )( ) 3 (3.8c) 3

6 67 f 3 (3.8d) max f 1 3 Fig. 3.: Lei enão de aderência-delizameno, cf. o MC-90. O ei parâmero dea quaro equaçõe eão reumido na Taela 3.1. Nea aela em-e f ck em MPa e o expoene α conane. O parâmero aí indicado ão valore médio e preupõem arra nervurada, cuja área relaiva f R é aproximadamene igual ao eu valor mínimo. A grandeza referene ao delizameno, 1, e 3, e a referene à reiência, devem ainda er muliplicada pelo faor: max e f, d x β d 0, 1 (3.9) φ onde d x é a diância ( 5φ ) medida a parir da fiura aé o pono coniderado, onde e calculam a grandeza que inerferem no prolema (Fig. 3.3). Conforme mencionado no iem 3.1 do MC-90, o ramo acendene da curva () refere-e ao eágio em que a nervura peneram na mariz da argamaa, caracerizado por emagameno local e microfiuração do concreo envolvene. O ramo horizonal ó ocorre para concreo confinado, e deve-e a emagameno em fae avançada e a core do concreo enre a nervura. O ramo linear decendene deve-e à redução da reiência de aderência por fiura de eparação ao longo da arra da armadura, e o ramo horizonal ueqüene

7 68 repreena a capacidade reidual de aderência, manida pela exiência de uma armadura ranveral mínima. Para maiore dealhe, ver o MC-90, iem Taela 3.1: Parâmero para a definição da lei enão de aderência-delizameno, cf. o MC Concreo não-confinado, rupura por fiuração longiudinal à arra Concreo confinado, rupura por core do concreo enre nervura Zona de oa aderência Toda a demai zona Zona de oa aderência Toda a demai zona (mm) 0,6 0, (mm) 0,6 0, (mm) 1,5 Epaçameno Idem enre nervura α 0,4 0,4 0,4 0,4 max f ck ck f,5 f ck 1,5 f ck f 0,15 max 0,15 max 0,4 max 0,4 max Conidere-e agora o ramo acendene dado pela Equação (3.8a). Emora exia um recho inicial próximo à fiura no qual a aderência é deruída, conidera-e válido ee ramo acendene amém para diância próxima da fiura. Ver a Fig. 3.3, onde e indica por 0 φ o recho em aderência próximo à fiura. Para coniderar ee fao, o valor médio da enão de aderência, no recho onde há delizameno, é reduzido no MC-90 em 10%. Oerve-e amém que a enão de aderência é máxima onde o delizameno o for, quando na realidade aquela deve er nula na fiura. Ea correção é realizada pelo coeficiene Equação (3.9). Na oluçõe que eguem ee doi fao não eão coniderado. Com ea conideraçõe, é poível inegrar analiicamene a Equação (3.7), para eágio do carregameno aneriore ou próximo do ecoameno da armadura. Pondo-e nea equação para a fae eláica: α E E e E Ec β d,, reula

8 69 φ PDN fiura F (I) (II) c m (x) (x) l c(x) 5φ φ x x Fig. 3.3: Diriuição da deformaçõe e enão de aderência no comprimeno de ranmião. d ( x) dx 4 ( x) (1 + α ) (3.10) φ E De (3.8a) oém-e (x) em função de (x) : ( ) ( x) (3.11) 1 x α 1 [ ] max Para inegrar a equação diferencial (3.10) põe-e: 3 p ( x) K f / ck x (3.1) onde K e p ão conane a erem deerminada idenificando-e, na eção genérica diane x do pono de delizameno nulo (PDN), o delizameno (x) oido da equaçõe (3.10) e (3.11), nela já e inerindo a (3.1). Aim, reulam:

9 70 d ( x) dx 4 K f / 3 ck p (1 + α ) x (3.13) φ E d( x) 4 dx φ K f E / 3 ck p+ 1 x (1 + α ) + C ( p + 1) 1 (3.14) 4 ( x) φ K f E / 3 ck p+ x (1 + α ) + C1x + C ( p + 1)( p + ) K f 1[ / 3 ck max x p ] 1 α (3.15) A conane de inegração C é empre nula, uma vez que no PDN em-e ( 0) 0, ma a conane C 1 não é neceariamene empre nula, poi ela é igual à diferença de deformaçõe do aço e do concreo no PDN, cf. Equação (3.). Por ea razão, a preene inegração é limiada ao cao em que ( 0) d(0) dx 0, com o que ama conane ão nula. Io ocorre no prolema da Fig De (3.15) reulam: α p (3.16) 1 α 1 1 α α ( max ) (1 + α ) (1 α) 1 α [ ] / 3 f ck φ 1E (1 + α) K (3.17) A enão de aderência ao longo da acia x é dada por: α 3 1 α K f / ck ( x) x (3.18) O delizameno correpondene reula igual a: 1 α ( x) K x (3.19) onde

10 71 K f K (3.0) / 3 ck 1 α 1 [ ] max A enõe na armadura e no concreo decorrem de (3.5): 1+ α 1 α σ ( x 0) + Kσ σ ( x) x (3.1a) Kσ φ 4 / 3 K f ck 1 α 1+ α (3.1) e 1+ α 1 α σ c ( x 0) Kσ σ c ( x) x (3.) c com Kσ Kσ (3.3) c Conidere-e como uma primeira aplicação dea equaçõe o enaio de arrancameno de uma arra de armadura (Fig. 3.4), aravé do qual oém-e o comprimeno de ancoragem rea l, e, nee comprimeno, a enão média de aderência m e a relação enre a deformaçõe do aço média e na orda do corpo onde e aplica a força F. Na orda opoa ão nula a enõe no aço e no concreo, a enão de aderência e o delizameno. De (3.1a) reula o comprimeno de ancoragem: 1 α f y 1+ α l ( ) (3.4) K σ Nee comprimeno a enão média de aderência é igual a:

11 7 φ f y m (3.5) 4 l l φ m F φ π 4 fy x Fig. 3.4: Enaio de arrancameno. A deformação média na armadura reula de ua enão média dividida pelo módulo de elaicidade do aço. A inegral de (3.1a) dividida por l e por E é: m K (3.6) 1+ α 1 α σ 1 α ( l ) E Coniderando-e a condiçõe da Taela 3.1, coluna 1, zona de oa aderência, concreo não-confinado, e o dado adicionai eguine: E 00GPa, f y 500MPa e α 0, oém-e a Fig. 3.5, onde eão indicada a relaçõe f ck, endo m f cm e l cm / 3 0,3 f ck φ em função do diâmero da arra, para rê valore de f, em MPa. Na Fig. 3.5a oerva-e que a enão média de aderência crece com o diâmero da arra e eá no inervalo (1 a 1, 75 ) f cm. Na Fig. 3.5 vê-e que o quociene l φ decrece com a mema variável. A relação enre a deformaçõe média e de ecoameno,, é conane e igual a 0, 3. Se for m y

12 73 coniderada zona de má aderência, ee úlimo quociene é o memo, l φ é cerca de 1, 64 veze maior, e a enão média de aderência é 0, 6 ( 1 1,64) veze menor. O delizameno máximo que e dá na exremidade carregada é igual ao produo da deformação média do aço pelo comprimeno de ancoragem, deprezando-e a deformação do concreo: max ( x l ) ml (3.7) e varia de 0,3mm a 0,61mm para f ck 0MPa. 50 Tau-m/fcm 1,5 1 0, Diâmero da arra (mm) fck0 MPa fck35 MPa fck50 MPa l/d Diâmero da arra (mm) fck0 MPa fck35 MPa fck50 MPa (a) Tenão média de aderência () Comprimeno de ancoragem Fig. 3.5: Enaio de arrancameno, oa aderência, concreo não-confinado. Sigri (1995) uiliza a equação enão de aderência-delizameno propoa por Noakowki (1985), a aer: 3 N K f / c (3.8) onde a unidade ão mm e MPa, a conane valem K 0, 8 e N 0, 15, e f c é a reiência à compreão do concreo (0 a 40 MPa) oervada no enaio. Com ee dado o valor da enão média de aderência varia de a m / 3 0,49 f c m / 3 0,57 f c, para diâmero repecivamene iguai a 10 e 30 mm. De oura forma

13 74 3 em-e (0,3 / ) 1, 63 a 1, 90, valore que e aproximam do oido na Fig. m f c 3.5a para f ck 0MPa e diâmero grande. α fc fc w PDN F F l l x Fig. 3.6: Fiura iolada. A egunda aplicação da equaçõe (3.17) a (3.1) refere-e à deerminação do comprimeno de ranmião l, da enão média de aderência relaiva à reiência média à ração do concreo, do quociene enre a deformaçõe do aço, a média ao longo dee comprimeno e a na fiura, em como da aerura da fiura, no irane da Fig Ee irane eá ujeio à força F que produz no concreo, no Eádio I, a enão f cm. Ea aplicação refere-e ao eado de formação de fiura, a er mai em dealhado adiane. A força aplicada no irane é igual a: F A f + A α σ (3.9) c cm ( f cm ) A Dea equação de equilírio oém-e a enão da armadura na fiura: f cm σ (1 + α ) (3.30) onde α E Ec, A Ac. De (3.1a) reula:

14 75 σ σ α + (3.31) 7 / 3 ( x l ) f cm Kσ l Logo: l f ( K cm 3 7 (3.3) σ ) onde K σ decorre de (3.1) uando-e a (3.17). Conhecido o comprimeno de ranmião de (3.3), o valore médio da enõe de aderência e da armadura, e a correpondene deformação média nee comprimeno ão repecivamene iguai a: m 1 φ 4 l cm (3.33) f σ E α f + (3.34) m m cm 7 / 3 0,3K σ l O delizameno máximo decorre de (3.19), com K de (3.0): K l (3.35) max 10 / 3 A aerura w da fiura é o doro dee valor. Ea equaçõe ão aplicada com o eguine dado: Concreo: f ck 35MPa, f cm 3, 1MPa, 4 3 Ec 10 ( f ck + 8) MPa, Aço: f y 500MPa ; α 5, 71. A enão da armadura na fiura varia de 100 a 500 MPa, e para cada valor dea enão fica definida uma axa geomérica da armadura aravé de (3.30), de modo a maner-e a enão no concreo conane e igual a f cm pela Equação (3.37), a er uada adiane.. Tamém fica deerminada a fração dada

15 76 Tau-m / fcm 1,5 1 0, d5 mm d16 mm d10 mm l / d d10 mm d16 mm d5 mm Tenão na armadura na fiura (MPa) Tenão na armadura na fiura (MPa) (a) () Aerura da fiura (mm) 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, d5 mm d16 mm d10 mm Def. média do aço/def.do aço na fiura 0,5 0,4 0,3 0, 0, qualquer diâmero Tenão na armadura na fiura (MPa) Tenão na armadura na fiura (MPa) (c) (d) Fig. 3.7: Fae de formação de fiura para diferene diâmero, f ck 35MPa, oa aderência. (a) Tenão média de aderência; () Comprimeno de ranmião; (c) Aerura da fiura; (d) Quociene enre a deformaçõe do aço média e na fiura, m. Na Fig. 3.7 eão repreenada a oluçõe do prolema decrio, para a fae de formação de fiura (fiura iolada, em inerferência múua), em função da enão da armadura na fiura, σ. Na Fig. 3.7a vê-e que a enão média de aderência aivada no egmeno de comprimeno l crece com a enão σ, de ( 0, 5 a,5) 1 f cm, e é ano maior quano maior for o diâmero da arra. O quociene l φ, Fig. 3.7, enre o comprimeno de ranmião e o diâmero da arra amém crece com a mema variável, ma a influência do diâmero é invera

16 77 do cao anerior. Na Fig. 3.7c em-e a aerura da fiura w, a qual varia de 0, 13 a 0,46 mm, para enõe na faixa 00 a 300 MPa (em erviço), conforme o diâmero da arra, e é maior para diâmero maiore, em igualdade de enõe σ. Na Fig. 3.7d eá repreenada a fração enre a deformaçõe do aço, a média e a na fiura, m. Excluindo-e enõe muio aixa (<00MPa), ea grandeza pode er coniderada conane, poi varia pouco, de 0,36 a 0,33. Se nee prolema for coniderada a condição de má aderência, ee úlimo quociene é o memo, como no primeiro prolema. A relação enre f da zona de má e de oa aderência m cm é conane e igual a 0,61. O memo ocorre com l φ, ma a fração invere-e ( 1,64 1 0, 61), i. e., l φ da zona de má aderência é 1, 64 veze maior que l φ da zona de oa aderência. A mema fração exie enre a repeciva aerura de fiura, independenemene do diâmero da arra. Todo ee número ão praicamene iguai ao do primeiro prolema. O MC-90, iem 3.., define um coeficiene β, que é um faor de inegração da deformação da armadura ao longo do comprimeno de ranmião, dado por: m (1 ) m β (3.36) r r1 r r1 (1 ) r onde r é a deformação da armadura na fiura quando e em no concreo a enão f cm, e r1 é a deformação na armadura no PDN, para a mema enão. Sendo: r1 r f E f E cm c cm 1 ( 1 + α ) α 1+ α (3.37)

17 78 ea relação independe de f c, não impora o quanil dea reiência. Coniderando-e a deerminação de β para a fae de formação de fiura ( r ), oém-e do reulado aneriore o valor de β conane e igual a 0, 7. Noe-e, na Fig. 3.9, que ee faor eria igual a 0, 5 e variae linearmene. No MC-90 ee valor é igual a 0, 6. A diferença deve-e, poivelmene, à deconideração do coeficiene dado pela Equação (3.9) e ao fao de não ear endo coniderada a fiuração eailizada. No capíulo 5 dá-e a olução numérica da Equação (3.7) para o cao epecífico do anzo racionado de peça fleida, com o que fica coniderado o enrijecimeno da armadura na ração, para um quadro de fiuração eailizada, incluída a evenual plaificação da armadura. 3.3 Fiuração do Concreo e Epaçameno Médio da Fiura A fiuração do concreo origina-e de deformaçõe impoa e/ou impedida e da carga aplicada na eruura. No que egue dá-e precedência à fiuração originada por carga, poi em-e em via eudar o eágio avançado do carregameno, em que a armadura eá próxima do ecoameno ou enconra-e já plaificada. Nee eágio a influência de deformaçõe impoa ou impedida é relaivamene pequena. No eudo da fiuração é uual definir dua fae diina: (1) Formação de fiura: é a fae em que e iniciam e e formam nova fiura naquela eçõe de menor quociene Reiência/Soliciação, e geralmene não há inerferência múua enre a fiura; () Eailização da fiura: é a fae em que já e formaram praicamene oda a fiura, e para aumeno ueqüene da carga ó há aumeno da aerura da fiura.

18 79 A L N área racionada reduzida pela preença do erio A DETALHE A (a) Redução da área racionada de concreo DETALHE A () Concenração de enõe no cano do erio cl VISTA A (c) Alongameno longiudinal no concreo Fig. 3.8: Açõe do erio na indução da fiuração do concreo. Oura caua de indução de fiura ão o erio (Fig. 3.8), poi, de um lado, reduzem a área da eção ranveral de concreo (Fig. 3.8a), e, de ouro, a ua ração induz no concreo, juno ao cano do erio, enõe de fendilhameno, aravé de alongameno longiudinai que e omam àquele originado pela carga (Fig. 3.8 e c). É freqüene enconrar na lieraura epecífica o epaçameno médio da fiura idenificado com o epaçameno do erio. Enreano, ee epaçameno não ão neceariamene iguai. Adiane mora-e a deerminação do epaçameno médio da fiura coniderando-e a influência do erio, cf. Kreller (1989). Para melhor enendimeno, a decrição que egue preupõe um irane de concreo armado, como o da Fig Uma grandeza que deempenha um papel imporane no epaçameno da fiura, na fae de formação de fiura, é o comprimeno de ranmião, l, calculado implificadamene no iem anerior.

19 80 w α f c A B PDN F fc F l x l c r1 m β r r cm β r1 c x Fig. 3.9 Coniderando-e a diperão da reiência à ração do concreo, para o quani de 95 % e 5 %, em-e uma variação de ± 30% em relação à reiência média f cm. A variação correpondene em l, conforme Equação (3.3), é em menor e aproximadamene igual a ± 15%. Io quer dizer que e erra pouco na deerminação do epaçameno médio da fiura, e for admiida para o cálculo do comprimeno de ranmião a reiência média à ração do concreo. No que egue ua-e o valor médio da enão de aderência m. (Ee deve er uiuído pelo valor caraceríico, k, na deerminação da aerura máxima da fiura em erviço). Na fae de formação de fiura, como e indica na Fig. 3.9, o irane em recho no Eádio I, onde ão iguai a deformaçõe no aço e no concreo, e recho onde há delizameno enre o concreo e a armadura. A deformação média do aço, onde há delizameno, é dada por: m β β ( ) 1 (3.38) r r r onde:

20 81 β 0,6 é o já mencionado faor de inegração da deformação do aço enre a fiura e o PDN. é a deformação da armadura na fiura, inferior ou igual à de ecoameno. r é a deformação da armadura na fiura para a força F al que a enão no concreo eja igual a f cm da armadura na fiura, Equação (3.30), dividida por. Seu valor decorre da correpondene enão r1 é a deformação da armadura no PDN, e igual à do concreo, para a E. mema força F, i. e., r1 f cm Ec α f cm E. é o aumeno da deformação da armadura enre o PDN e a r fiura. r r1 aderência O comprimeno de ranmião l é oido igualando-e a força de F, ranmiida ao concreo ao longo dee comprimeno, com a diferença de força da armadura na fiura e no PDN: F πφ l m πφ 4 ( σ πφ σ 1) 4 E r (3.39) Ma σ 1 é a enão da armadura reulane da aplicação da força πφ σ 4 na eção de área ideal Ac ( 1+ α ), onde A c é a área da eção de concreo e πφ 4A é a axa geomérica da armadura. Logo: c σ 1 α σ (3.40) 1+ α e σ σ σ 1 (3.41) 1+ α

21 8 m 1 β r 3 3 r c lm lm l 3 Srm Srm 4 3 l Fig Porano: l φ σ (3.4) 4 (1 + α ) m Oerve-e que, cf. a Fig. 3.9: (1) para a dada força F que cauou a fiura na eção B de menor reiência, () e na eção A, diane l de B, exiir a mema reiência da eção B, er-e-ia, omene aí, não ane, formado amém oura fiura, imulaneamene com a primeira. Dio decorre que o menor epaçameno da fiura é igual ao próprio comprimeno de ranmião l. Por ouro lado, para aumeno ueqüene da força F, a fiura mai próxima de B não poderá diar dea eção mai do que o doro dee comprimeno, poi do conrário eria poível ranmiir ao concreo, por enõe de aderência, uma força maior do que a de fiuração. Com mai rigor pode-e dizer que a menor diância da fiura é igual ao comprimeno de

22 83 ranmião calculado com f c,5% comprimeno de ranmião calculado com f c,95%., e a maior diância é igual ao doro do Coniderando-e concluída a formação de fiura, exiirão no irane fiura com epaçameno variando aleaoriamene enre l e deaparecem odo o recho no Eádio I, e há diferença de deformaçõe do doi maeriai em oda pare. O érmino da formação de fiura pode er admiido quando a força F for al que correponda à enão no concreo igual a f c,95%, um valor, porano, f 0,4 0,3 1, 33 veze maior que a força A 1+ α ). c, 95% f cm c f cm ( l, A eoria cláica da fiuração aume como epaçameno médio da fiura, rm, a média ariméica da diância exrema enre fiura, l e upondo a reiência à ração do concreo como uma grandeza deerminíica. Ee valor do epaçameno médio ó eria verdadeiro e o irane foe muio longo, poi nee cao eriam iguai o número de epaçameno rm rm e rm rm l, + denro daquele inervalo. De fao, comprova-e eórica e experimenalmene que a diância média da fiura é 33 % maior que o comprimeno de ranmião l. A diperão da reiência à ração do concreo foi coniderada por Kreller (1989) na deerminação do epaçameno médio da fiura. Ee epaçameno, cf. Equação (3.60), é igual a 1,31l, endo o comprimeno de ranmião l (variável com o quanil omado para a reiência do concreo) calculado com o valor médio da reiência à ração do concreo, f cm. Aim, pode-e pôr: 4 rm l (l ) (3.43) 3 3 Manido o valor médio da enão de aderência, a força de aderência reduz-e em 1 3, conforme a redução no comprimeno de ranmião, agora igual a l 3. Ver a Fig Logo, de acordo com a Equação (3.39), reula: rm F m 3 F E A r 3 (3.44)

23 84 Nea equação r é, como já definido, o alo na deformação da armadura na formação de fiura iolada, calculado com σ c f cm, donde: r σ σ 1 f cm [ E (1 + α ) α f r r1 r r1 cm E ] ou f cm r (3.45) E Uando-e a equaçõe (3.41), (3.4) e (3.45) oém-e: l φ 4 f cm m De (3.43) reula a expreão do epaçameno médio da fiura, apó a concluão da fae de formação de fiura: rm 1 3 φ f cm (3.46) m Pondo m,5 f cm ( 10 % menor que o valor uual,,5 f cm, para coniderar a mencionada deruição da aderência juno à fiura), o epaçameno médio da fiura é igual a: rm φ 0,15 (3.47) e ea expreão coincide com a deduzida por Kupfer e al. (1983). Enreano, o MC-90 uiliza no cálculo da aerura caraceríica da fiura o quanil inferior da reiência média de aderência, k, 0% menor do que o valor de m e igual a

24 85 1,8 f cm para fiuração eailizada. Dio reula para o cálculo da aerura máxima da fiura: rm φ 0,185 (3.48) Toda ea equaçõe relacionada com o irane da Fig. 3.9 podem er uada para oura peça, rocando-e a axa geomérica pela axa geomérica efeiva, ef, definida adiane. O EC- dá a eguine equação emi-empírica do epaçameno médio da fiura: rm φ ,10 (3.49) ef com rm e φ em mm. Ea equação em a vanagem de impor no cálculo numérico um limie inferior para ee epaçameno. Epaçameno médio da fiura (mm) Taxa geomérica efeiva (%) Epaçameno médio da fiura (mm) Taxa geomérica efeiva (%) Equação (3.47), d 6,3 mm Equação (3.49), d 6,3 mm Equação (3.47), d 5 mm Equação (3.49), d 5 mm (a) () Fig. 3.11: Comparação do epaçameno médio da fiura, cf. o MC-90 e o EC-.

25 86 Mora-e na Fig a comparação enre a equaçõe (3.49) e (3.47), para doi valore exremo do diâmero: φ 6, 3 e 5 mm. É viível nea figura que a diferença enre o valore de rm dea dua equaçõe diminuem com o aumeno do diâmero da armadura, e ão razoavelmene concordane para axa ef média e ala, no cao de diâmero não muio aixo. No doi exemplo dado adiane (Fig e 3.15) upõe-e válida a Equação (3.43) para o epaçameno médio do EC-. Na fiuração eailizada, a redução da deformação no aço enre a fiura e o pono médio enre fiura é, cf. Equação (3.44), igual a: 3 m r (3.50) Com io a deformação média do aço, igual à deformação média do irane, cf. a Fig. 3.10, paa a er, com β 0, 6 : m β m β ( r r1) β ( r r1) (3.51) 3 onde β β 0, 40 para carga inanânea. Para carga de longa duração ou 3 repeida ee valor é alerado para β 0, 5. Noe-e que a relação 0,5 0,40 0, 6 é a mema oida no iem anerior, comparando-e grandeza em zona de oa e de má aderência. Na fiuração eailizada, a força média de aderência ranmiida ao concreo enre a fiura e o pono de delizameno nulo é amém igual a: F m πφ m rm / Coniderando a equaçõe (3.44), (3.50), (3.51) e β 0, 6 reula:

26 87 1, m rm m (3.5) E φ com a enão média de aderência, em MPa, igual a: f (3.53) m 3,5 cm 0,675 f ck O faor 1, em (3.5) pode poivelmene er explicado pelo fao de a reiência média à ração do concreo ear em função da reiência caraceríica f ck, ao invé do valor médio f cm. Para efeio de comparação, no mencionado modelo de Sigri não aparece o faor 1, de (3.5), e em-e, ane do ecoameno da armadura, a enão média de aderência dada em função da reiência à ração: f (3.54) m 3 c 0,6 f c onde f c é a reiência do concreo na compreão uniaxial, oervada no enaio. Nee memo modelo a enão de aderência é reduzida à meade, i. e., f c, no egmeno da arra em ecoameno. Na deerminação da máxima aerura da fiura em erviço o MC- 90, iem , runca a dua fae mencionada aravé da condição eguine. Se ocorrer ef σ > f cm (1 + α ) (3.55) ef em-e fiuração eailizada, do conrário em-e a fae de formação de fiura. Nea deigualdade: A ef é a axa geomérica efeiva do anzo racionado. Acef

27 88 A cef é a área efeiva do anzo racionado (Fig. 3.1). x h L N d hef,5(h-d) h-x/3 h L φ x N hef c + 0,5 φ c corimeno,5(c + 0,5 φ ) h-x/3 (a) Viga () Laje Fig. 3.1: Área efeiva do anzo racionado na viga e na laje. A comprovação eórica da Equação (3.43), onde e lê que o epaçameno médio da fiura é 33 % maior que o comprimeno de ranmião, eá dada no raalho de Kreller, a parir do raalho de Meier. Nela ão neceária conideraçõe proailíica, como e mora a eguir. Sejam doi eado iniciai a parir do quai é deerminada a diância média enre fiura (Fig. 3.13): (1) A diância inicial r enre fiura eá no inervalo ( l,3l ). () A diância inicial r enre fiura eá no inervalo ( 3l,4l ). Ouro inervalo ueqüene reduzem-e a ee doi cao, cf. Kreller. No primeiro cao, enre a dua fiura já exiene ó é poível formar-e uma única nova fiura, de modo que a diância média enre ela é: 1 rm, 1 (1 l + 1,5 l ) 1, 5l (3.56) No egundo cao, pode-e igualar a diância enre a dua fiura já exiene a ( k + )l, onde k é uma variável no inervalo ( 1,). No doi recho exremo, de

28 89 F F l l l l (II) (I) (II) σ c (-k)l (k-1)l (k-1)l kl (k+)l Fig. 3.13: Deerminação do epaçameno médio da fiura, cf. Meier, apud Kreller (1989). comprimeno l e adjacene à dua fiura já exiene, não é poível a formação de nova fiura. Se ocorrer uma nova fiura no recho cenral (I), enão não é poível formar oura fiura. Ma e uma fiura ocorrer num do recho (II), é poível a ocorrência de oura fiura. A diância média enre fiura dee egundo cao decorre da proailidade de ocorrência de uma fiura no recho (I) e (II), e ea diância é uma função de k : + rm, rmi PI rmii PII (3.57) onde: k + ) l : diância média da fiura, e a nova fiura ocorrer na rmi ( zona (I). P I ( k) k : proailidade de ocorrer uma nova fiura ó na zona (I). k + ) l 3: diância média da fiura, para dua nova fiura rmii ( ocorrendo na zona (II).

29 90 P II ( k 1) k : proailidade de ocorrência de dua nova fiura na zona (II). Logo, a Equação (3.57) paa a er: rm, l ( k + 4k + 4) ( k) (3.58) 6 k Variando-e k enre 1 e oém-e a diância média aravé da eguine inegral: l 1, ( 1) ( k k rm ) 1 dk ou rm, 1, 38l (3.59) Admiindo-e igual proailidade de ocorrência em amo o cao, a diância média final erá: rm,1 + rm, 1,5 + 1,38 rm l 1, 31l (3.60) endo l max l. r min e r Ea é a dedução de Meier, decria no raalho de Kreller. Seu reulado praicamene coincide com o dado no iem 3.. do MC-90, 1, 33l, que por ua vez decorre de reulado experimenai. Nea demonração não foi coniderada a diperão da reiência à ração do concreo. Kreller conidera io, aravé do conceio de grau de formação de fiura, aociado à reiência à ração f, correpondene ao quanil q, com 5% q 95%, e mora que a c q Equação (3.60) é válida no fim da fae de formação de fiura, com o comprimeno rm

30 91 de ranmião l calculado com a reiência f cm, i. e., q 50% coniderado ane, na dedução de (3.46) e no doi exemplo do iem 3... E io é o que foi Com ea dedução pode-e levar em cona a influência do erio no epaçameno médio da fiura. Para io, Kreller faz a eguine hipóee: (1) O erio é coniderado como uma coação na formação de fiura, e não e leva em conideração a redução da área de concreo decorrene da preença do erio na eção ranveral. () Num recho do elemeno eruural de igual proailidade para a poição da primeira fiura, ea ocorrem empre em um erio. (3) Toma-e como ae o comprimeno de ranmião correpondene à reiência f cm, e io quer dizer fiuração eailizada. O eguine cao podem ocorrer (indica-e por er o epaçameno do erio, e por rm, er o epaçameno médio da fiura coniderada a influência do erio): ranmião, i. e., Cao I: O epaçameno do erio é inferior ao comprimeno de < l. er fiura é: Na concluão da formação de fiura, a diância média enre l rm, er er[ INT( ) + 1] (3.61) er onde INT ( l er ) é a pare ineira da fração l er. Seu valor mínimo é igual a 1, e em-e, enão, uma fiura a cada doi erio. Se ee ineiro for igual a em-e uma fiura a cada rê erio, e aim por diane.

31 9 Cao II: O epaçameno do erio é inferior ao doro do comprimeno de ranmião, i. e., l < l. er Nee cao faz-e: rm, er er (3.6) ou eja, uma fiura a cada erio. Oerve-e que ee é o cao mai freqüenemene admiido em diferene raalho da área. Cao III: O epaçameno do erio é inferior ao riplo do comprimeno de ranmião, i. e., l < 3l. er Para ee cao põe-e: er rm, er (3.63) quer dizer, uma fiura a cada erio e oura enre doi erio uceivo. Cao IV: O epaçameno do erio é inferior ao quádruplo do comprimeno de ranmião, i. e., 3 l < 4l. er De acordo com a Fig. 3.13, nee cao a diância ( k + )l enre a dua fiura já exiene, e coincidene ali com o erio, é igualada à diância enre ee, ao invé de er coniderada variável: ( k + ) (3.64) er l Com o valor de k dea equação poo em (3.58), reula:

32 93 rm, er er (3.65) er 6( ) l l O inervalo ueqüene, na afirmação de Kreller, não êm ignificado práico. Como uma enaiva de oer a Equação (3.65) com ae no eguine: rm, er por ouro caminho, alera-e (1) Na fae de fiuração eailizada, com a diância do erio uperior a rê veze o comprimeno de ranmião, exiem já dua fiura, uma em cada erio, como no egundo e erceiro cao. () O número de epaçameno da fiura que e formam enre a dua coincidene com o erio é, evidenemene, ineiro. Ee fao não eá coniderado pela Equação (3.65). (3) O epaçameno enre a fiura no inervalo de doi erio ano pode e aproximar de l quano de l, ma o mai provável é que ee epaçameno eeja próximo do epaçameno médio rm que não coném a influência do erio. Supõe-e, no que egue, que o número de fiura enre doi erio quaiquer e uceivo repia-e no demai inervalo enre erio uceivo. er 3l Com ae nea conideraçõe propõe-e, no cao em que, ecolher o epaçameno médio da fiura como um umúliplo da diância enre erio, de modo que eja mínimo o afaameno enre ee epaçameno e o oido em a conideração da influência do erio, i. e., com rm de uma da Equaçõe (3.47) e (3.49). A Equação (3.65) em como alernaiva a dua eguine: er rm, er ou er INT( ) + 1 rm er rm, er (3.66a) ou (3.66) er INT( ) rm

33 94 valendo o reulado mai próximo de rm. Na egunda equação, e er for um múliplo de rm em-e a igualdade rm, er rm. Do conrário, a primeira equação leva a valore de rm, er aaixo de rm, e a egunda a valore de rm, er acima de rm. Deve-e lemrar que rm, er não pode er inferior a l, nem uperior a Mora-e a eguir a comparação enre o reulado eórico aqui decrio e o experimenai de Rizkalla, Hwang e El Shahawi, relaado no livro de Collin e Michell (1987). Ver a Fig Ee experimeno evidenciam, em pare, a influência da armadura ranveral ore o epaçameno da fiura. Com o dado da Fig em-e: l. Corimeno: c 19mm Diâmero nominal da arra: φ 11, 3 mm Área da armadura longiudinal: A 800mm Área de concreo: A c mm Taxa geomérica da armadura: ,5% Área efeiva de concreo: A cef [,5 ( ,3 )] mm Taxa geomérica efeiva da armadura: ,13% ef Comparam-e, nee exemplo, omene o epaçameno médio eórico e experimenal da fiura. No primeiro cao não há armadura ranveral, e de (3.49) e (3.43) oém-e rm 103mm e l 0, , 3mm. O epaçameno médio oervado experimenalmene é igual a 104 mm, 1 % maior. No egundo cao a armadura ranveral em epaçameno er 16mm, e endo: l 154,6mm er 16mm < 3l 3mm reula rm, er 108mm da Equação (3.63). O reulado experimenal é 96 mm, 11 % menor.

34 95 Fig. 3.14: Influência da armadura ranveral ore o epaçameno da fiura, cf. Rizkalla, Hwang e El Shahawi, apud Collin e Michell (1987). No erceiro cao em-e er 10mm, e porano: l 77,3mm er 10mm < l 154, 6mm donde, cf. Equação (3.6), rm, er 10mm, valor coincidene com o medido experimenalmene. Dea comparação fica evidene a concordância muio oa enre o reulado eórico e experimenai. viga da Fig. 3.15, de largura Como exemplo no qual pode ocorrer a condição 3l, eja a 00mm e erio com epaçameno iguai a 100, 00 e 300 mm. O reulado eão dado na Taela 3.. er er

35 96 c+ø 6,3mm e 5mm v 45,3mm 34,3mm 48,8mm 54,8mm A 5Ø mm Ø mm 10Ø mm 4Ø mm Acef 650 mm mm 4400 mm 7400 mm ef 1,77%,33% 3,8%,9% (a) () (c) (d) Fig Taela 3.: Epaçameno médio da fiura com influência do erio. φ / ef (%) (mm) l Equação (3.43) rm (mm) Equação (3.49) rm, er ( mm) Epaçameno médio da fiura com influência do erio er 100mm 00 mm 300 mm 10 / 1, ,5 100 Eq. (3.6) 100 Eq. (3.63) 100 Eq. (3.66a) 10 / 3,8 60,4 80,5 100 Eq. (3.6) 66,7 Eq. (3.66a) 75 Eq. (3.66a) 16 /, Eq. (3.6) 100 Eq. (3.63) 100 Eq. (3.66a) 16 /,9 78,6 105,8 100 Eq. (3.6) 100 Eq. (3.63) 100 Eq. (3.66a) Nea aela oerva-e que o epaçameno médio da fiura incluindo-e a influência do erio, rm, er, diferem pouco do epaçameno médio da fiura, rm, em ea influência, e há um número ineiro de epaçameno enre o erio. Se foe aplicada a Equação (3.65) para φ 16,,33% e er 300mm, reularia rm, er 13mm, que não é umúliplo de 300 mm. Concluída a deerminação do epaçameno médio da fiura, pode-e definir o uelemeno eruural cujo comprimeno é exaamene igual a ee ef

36 97 epaçameno, e que ervirá de ae para a análie ueqüene, na fae de fiuração eailizada, com ou em plaificação da armadura. 3.4 Lei Tenão da Armadura na Fiura Aociada à Sua Deformação Média No iem anerior morou-e que, na fiuração eailizada e armadura com enão na fiura inferior à de ecoameno, a diferença enre a deformaçõe da armadura na fiura e média é igual a uma conane, Equaçõe (3.51) e (3.5). Conforme o MC-90, iem 3..3, a deformailidade gloal do anzo racionado pode er decria pelo valor médio da deformação na armadura, com o que fica coniderado o eu enrijecimeno na ração, proveniene da aderência com o concreo circundane. No que egue, decreve-e reumidamene a lei enão da armadura na fiura em função da ua deformação média, σ ), incluindo-e a ( m fae pó-ecoameno do aço. Ea lei erá uada no capíulo eguine, na deerminação da rigidez à flexão (capíulo 4) e no cálculo implificado da capacidade de roação pláica (capíulo 5). Supõe-e que a arra nua enha uma lei coniuiva, σ ), ilinear com encruameno. No Eádio I a deformação média do aço coincide com a ua deformação na eção não fiurada. O fim dea fae anerior à fiuração é eaelecido no MC-90 conforme a finalidade da análie, decorrendo daí diferene valore da reiência à ração do concreo, conforme o quanil coniderado. Na deerminação de delocameno ão ugerido o valore médio e caraceríico inferior dea reiência. No que egue ua-e (principalmene) o valor médio f cm, Equação (.4). Definida a enão no concreo com a qual e inicia a fiuração, oém-e a enão correpondene no aço na (primeira) fiura, σ r1. A concluão da fae de formação de fiura dá-e para um valor da enão na armadura 33 % uperior a σ r1 (no MC-90, 1,3σ r1 ), conforme morado ane. A fae de fiuração eailizada ocorre para enõe da armadura na fiura acima dee valor, e é (

37 caracerizada por uma rea σ ) paralela à do aço nu, poi o recuo na ( m deformação, igual à diferença enre a deformação do aço na fiura e a correpondene deformação média, ou eja, m r 98 β, é conane. O coeficiene β é igual a 0, 4 para carga de cura duração e 0, 5 para carga repeida ou de longa duração, como e viu. E o alo na deformação do aço, r, na paagem do Eádio I para o II decorre de (3.45), uando-e para peça fleida ef no lugar de. A fae pó-ecoameno é repreenada pela eguine equação, decorrene do raalho de Kreller (1989): m σ r1 my + δ ( 1 )( y ) e y u (3.67) f yk onde: f ) E é a deformação da armadura na fiura. Ver a Fig. y + ( σ yk h.5. my é a deformação média da armadura no início do ecoameno na fiura. É uma conane e decorre de (3.51) ou (3.5) com y. δ 0,8 é um coeficiene válido para aço de ducilidade ipo A do MC-90 e f yk 500MPa. Admie-e, como aproximação, que ee coeficiene eja o memo para o aço nacionai CA-50 e CA-60. σ r1 é a enão da armadura na fiura ao formar-e a primeira fiura. Ea enão é função do momeno de fiuração e da força normal auane, σ (, r 1 M cr N ). Conidera-e, nee exo, a força normal aplicada primeiro e o momeno fleor crecene aé aingir a fiuração do anzo racionado.

38 99 repreenada pelo faor Oerve-e nea equação que a qualidade da aderência, β, ó aparece em my, e eá, porano, excluída na diferença. Io erá influência no cálculo da roação pláica (capíulo 5). m my O momeno de fiuração que erve de ae para a deerminação do alo na deformação enre o Eádio I e II em aqui uma definição um pouco diferene da uual, ma coerene com o modelo de irane adoado para o anzo racionado. Ee momeno, coniderada a força normal já auane, é definido como aquele neceário para cauar a deformação f E na camada mai alongada da armadura (primeira camada). Ea definição em em via eviar o cao de flexo-compreão em que há fiuração (i. e., a orda racionada ainge o alongameno de rupura do concreo), ma a armadura ainda eá comprimida. Deve-e, é claro, aplicá-la omene ao cao uuai de dipoição da armadura próxima à orda da eção. Tenha-e em mene que: cm cm ci (1) de um lado, não eá coniderado o aumeno da reiência à ração na flexão pela ação da fiura coeiva, e que no projeo eima-e a reiência média do concreo à ração aravé da Equação (.4), onde e em / 3 f ck, e não aravé da Equação (.60), onde e em f, () e, de ouro lado, o momeno de fiuração, aim definido, é ligeiramene maior do que o convencional, e com io é amém maior a enão σ r1. Aim, apó o ecoameno o efeio do enrijecimeno da armadura é / 3 cm ligeiramene maior, poi a deformação média da armadura decai. No capíulo 5, quando da deerminação implificada da capacidade de roação pláica em viga, reoma-e a definição uual do momeno de fiuração (e ainda com f c,5%, cf. o MC-90), para efeio de comparação com uma olução mai rigoroa e independene do momeno de fiuração. Ma é evidene que um enrijecimeno maior correponde a uma melhor qualidade da aderência, com o que e em menor deformailidade (i. e., menor capacidade de roação pláica, a favor da egurança no projeo). Reume-e na Fig a lei implificada enão da armadura na fiura aociada à ua deformação média, irada do MC-90, iem 3..3, conforme

39 100 explicado nee iem. Deve-e noar que nea figura σ é a enão da armadura na fiura, aqui indicada por σ, e que σ rn é a enão da armadura na fiura no fim da fae de formação de fiura, igual a 1,33σ r1. σ F / A σ σ F / A f k f yk m 1 Eh β r σ rn σ r1 1 E r y u m, Fig. 3.16: Lei enão-deformação média da armadura do anzo racionado (Indica-e amém a lei enão-deformação da arra nua), cf. o MC-90, iem A linha cheia enre σ r1 e σ rn pode er uiuída pela linha racejada, quando e calculam o efeio da deformaçõe impoa, conforme dio no memo iem do MC-90. Como ea eão empre preene, ee egmeno erá uiuído, no capíulo eguine, pela linha racejada.