Novos olhares para as funções inversas

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1 DESTAQUE Novos olhares para as funções inversas Diva Marília Flemming RESUMO Em 006, inovamos o Curso de Matemática da UnisulVirtual, com a inserção de pequenos tetos on-line, disponíveis no Espaço Virtual de Aprendizagem (EVA) de diversas disciplinas. Como autora de diversos materiais didáticos para a EAD, acompanhei muito de perto essa inovação, que foi sempre muito elogiada pelos nossos alunos. Agora novamente, vamos inovar frente aos desafios de um novo Projeto Pedagógico de Curso. Os pequenos tetos estão sendo revistos e recriados para compor formalmente Roteiros de Estudos. Para facilitar a dinâmica atual em relação a formas de apresentação e em relação a eemplos práticos, vamos disponibilizar esses pequenos tetos no Laboratório Virtual do Curso de Matemática (LAVIM) para compartilhar com um público maior, para além de um grupo de participantes de uma disciplina. Neste teto reunimos alguns conceitos formais, no conteto das funções inversas. SUMÁRIO (Clique nos itens que você deseja analisar) I Função Inversa. II Eemplos práticos () Você está diante do gráfico de uma função e quer saber se ela é inversível. Como fazer? () É possível transformar uma função não inversível em uma função inversível? () Como posso verificar que duas funções dadas são a inversa uma da outra sem o uso de gráficos? (4) Como posso verificar que duas funções são a inversa uma da outra usando gráficos? (5) Mostre-me um eemplo para encontrar a função inversa. (6) Veja uma eperiência para você fazer. Teto organizado e adaptado por Flemming, D.M., a partir do material on-line da disciplina de Cálculo I do Curso de Matemática da UNISUL, 006.

2 I - FUNÇÕES INVERSAS Escolhemos a discussão das funções inversas para que você tenha a oportunidade de ter um "olhar diferente" para as funções inversíveis. Definição: Seja y = f () uma função de A em B ou f : A B. Se, para cada y B, eistir eatamente um valor A tal que y = f (), então podemos definir uma função g : B A tal que = g( y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de y = f () e denotada por f. II - EXEMPLOS PRÁTICOS () VOCÊ ESTÁ DIANTE DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO E QUER SABER SE ELA É INVERSÍVEL. COMO FAZER? Muito simples, use o teste da reta horizontal. Se a função é inversível retas horizontais cortam o gráfico em um único ponto. Veja a Figura com o gráfico da função horizontal verde movendo-se. y =. Imagine a reta O que vai acontecer? Figura Gráfico da função y =

3 f() Fonte: Elaboração da autora, usando o software Graph, 0 Você deve ter concluído que a reta horizontal vai cortar o gráfico da função em um único ponto. Assim concluímos que a função é inversível. Observe agora o gráfico da função y =, na Figura. Faça o mesmo raciocínio. Figura Gráfico da função y = f() Fonte: Elaboração da autora usando o Graph, 0

4 4 Veja que interessante, uma simples parábola não é inversível, pois a reta verde está cortando o gráfico em dois pontos. () É POSSÍVEL TRANSFORMAR UMA FUNÇÃO NÃO INVERSÍVEL EM UMA FUNÇÃO INVERSÍVEL? A resposta para esta pergunta é sim, na maioria das vezes basta fazer uma restrição no domínio. Por eemplo, no caso das parábolas basta considerar somente um ramo. Matematicamente escrevemos: f : [0, ) [0, ) f ( ) = Observe o gráfico da Figura. Figura Gráfico de uma parábola com restrição no domínio f() Fonte: Elaboração da autora, usando o software Graph, 0.

5 5 () COMO POSSO VERIFICAR QUE DUAS FUNÇÕES SÃO A INVERSA UMA DA OUTRA SEM O USO DE GRÁFICOS? Quando duas funções f e g são inversas uma da outra vale a relação f g = e g f = Verifique no eemplo f ( ) = + para [ 0, + ). g ( ) = para [, + ). Fazendo: f g = f [ g( )] = [ g( )] + = [ ] + = + = g f = g[ f ( )] = f ( ) = + = = (4) COMO POSSO VERIFICAR QUE DUAS FUNÇÕES SÃO A INVERSA UMA DA OUTRA USANDO GRÁFICOS? Bem fácil! Veja um eemplo, observe a Figura 4.

6 6 Figura 4 Funções inversas com visualização da simetria com a reta y=. f() - Fonte: Elaboração da autora, usando o Graph, 0. O que você observou? Uma simetria com a reta bissetriz y =. (5) MOSTRE-ME UM EXEMPLO PARA ENCONTRAR A FUNÇÃO INVERSA. Vamos segui o roteiro: () Ter a certeza da eistência da inversa; () Substituir por y e y por ; () Eplicitar y Veja a função y = para 0. + Etapa (): É fácil de verificar que para cada vai corresponder um único valor de y. Se quiser observar graficamente faça o gráfico.

7 7 Etapa (): Troca do por y e do y por. y = = + y + Etapa (): Vamos eplicitar o y. = ( y y y y = y + + ) = + = = Observe que o domínio desta função é ( 0,] que é igual ao conjunto imagem da função dada. Confira graficamente na Figura 5! Figura 5 Funções inversas f() y = y = + - Fonte: Elaboração da autora, 0

8 8 (6) UMA EXPERIÊNCIA PARA VOCÊ FAZER. Observe a eperiência para ser feita com folha de papel e lápis.