Teoria das Estruturas - Aula 07

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Marta Capistrano Leveck
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1 Teoria das Estruturas - Aula 07 Arcos Isostáticos Definição e Tipos Casos Particulares de Arcos Equação do Arco Parabólico de 2º. Grau, Equação da Linha de Pressões e Arcos com Apoios Desnivelados Prof. Juliano J. Scremin 1

2 Aula 07 - Seção 1: Definição e Tipos 2

3 Arcos (1) Definição: Arco é uma estrutura linear de eixo curvo, situada em um plano vertical, vinculada em suas extremidades de modo a que estas não sofram translações, solicitada por cargas contidas no plano referido, provocando esforços de compressão, flexão e cisalhamento. Arco Triarticulado : arco isostático, com apoios fixos e descontinuidade interna do tipo rótula. Objetivo dos arcos: vencer grandes vãos com a redução dos esforços de flexão. 3

4 Arcos (2) 4

5 Arcos (3) 5

6 Tipos de Arcos Biengastado Triarticulado Biarticulado Viga Curva 6

7 Exemplos de Utilização 7

8 Nomenclatura 8

9 Aula 07 - Seção 2: Arcos Circulares 9

10 Viga Curva Biapoiada Carregada Verticalmente (1) Quando um arco é solicitado somente por cargas verticais, um recurso interessante é a utilização de uma viga análoga para auxílio no cálculo dos esforços: VV SS = VV AA ssssssθθ = PP ssssssss/2 NN SS = VV AA ccccccθθ = PP cccccccc/2 MM SS = VV AA (RR RRRRRRRRθθ) = PPPP(1 cccccccc)/2 Diagrama de Momentos Fletores de uma Viga Análoga 10

11 Viga Curva Biapoiada Carregada Verticalmente (2) 11

12 Revisão do Círculo Trigonométrico 12

13 Mapeamento de Arcos Circulares (1) 13

14 Mapeamento de Arcos Circulares (2) 14

15 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (1) Cálculo das Reações de Apoio: MM AA = VV BB. 2RR PPPP = 0 VV BB = PP/2 FFVV = VV AA PP + VV BB = 0 VV AA = PP/2 MM CC = HH BB. RR + PP/2. RR = 0 HH BB = PP/2 FFHH = HH AA HH BB = 0 HH AA = PP/2 15

16 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (2) Equacionamento dos Momentos Fletores: Trecho I : β entre 0 e 90 MM II ββ = PP 2 RR RRRRRRRRββ PP RR ssssssββ 2 MM II ββ = PPPP 2 1 ccccccββ ssssssss 16

17 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (3) Equacionamento dos Momentos Fletores: Trecho II : β entre 90 e 180 MM II ββ = PP 2 RR RRRRRRRRββ PP RR ssssssββ 2 MM IIII ββ = MM II ββ + PPRR ccccccββ MM IIII ββ = PPPP ccccccββ ssssssss * O braço de alavanca da reação vertical P/2 é R + R cos β, porém, como β esta entre 90 e 180 seu cosseno é negativo sendo a distância calculada como R R cos β 17

18 Ideia Geral do Equacionamento de Cortantes e Axiais em Arcos 1. Fazer o somatório de todas as forçar verticais à esquerda da seção de análise (ΣVER); 2. Fazer o somatório de todas as forçar horizontais à esquerda da seção de análise (ΣHOR); 3. Decompor ΣVER e ΣHOR nos eixos Secante e Tangencial obedecendo a convenção de sinais para diagramas. OBS: a decomposição pode ser feita em relação tanto ao ângulo β quanto ao ângulo α indicados. 18

19 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (4) Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho I : β entre 0 e 90 Em função de α: VV II α = ΣVVVVVV. ccccccα - ΣHHHHHH. ssssssα NN II α = ΣVVVVVV. ssssssα- ΣHHHHHH. ccccccα ΣΣVVVVVV = PP/22 ΣΣHHHHHH = PP/22 Em função de β: VV II ββ = ΣVVVVVV. ssssssβ - ΣHHHHHH. ccccccβ NN II ββ = ΣVVVVVV. ccccccβ - ΣHHHHHH. ssssssβ 19

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (5) Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho II : β entre 90 e 180 Em função de α negativo : VV IIII α = ΣVVVVVV. cos ( α) + ΣHHHHHH.

20 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (5) Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho II : β entre 90 e 180 Em função de α negativo : VV IIII α = ΣVVVVVV. cos ( α) + ΣHHHHHH. ssssss( α) NN IIII α = ΣVVVVVV. ssssss( α)- ΣHHHHHH. cos ( α) Processando as substibuições -sen(α) = sen(-α) e cos(α) = cos(-α) ΣΣVVVVVV = PP/22 PP = PP/22 ΣΣHHHHHH = PP/22 VV IIII α = ΣΣVVVVVV. cccccc (αα) - ΣΣHHHHHH. ssssss(αα) NN IIII α = ΣΣVVVVVV. ssssss(αα)- ΣΣHHHHHH. cccccc (αα) 20

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (6) Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho II : β entre 90 e 180 Em função de β : VV IIII

21 Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (6) Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho II : β entre 90 e 180 Em função de β : VV IIII ββ = ΣVVVVVV. cos (β 90 ) + ΣHHHHHH. ssssss(β 90 ) NN IIII ββ = ΣVVVVVV. ssssss β 90 - ΣHHHHHH. cos (β 90 ) ΣΣVVVVVV = PP/22 PP = PP/22 ΣΣHHHHHH = PP/22 21

22 Resumo do Equacionamento de Cortantes e Axiais (1) β entre 0 e 90 / α entre 90 e 0 VV II α = ΣVVVVVV. ccccccα - ΣHHHHHH. ssssssα NN II α = ΣVVVVVV. ssssssα- ΣHHHHHH. ccccccα β entre 90 e 180 / α entre 0 e -90 VV IIII α = ΣΣVVVVVV. cccccc αα- ΣΣHHHHHH. ssssssαα NN IIII α = ΣΣVVVVVV. ssssssαα- ΣΣHHHHHH. cccccc αα O ângulo α ser negativo NÃO INTERFERE na convenção de sinais e a mesma expressão válida para o intervalo de 0 a 90 também se aplica para 90 a 180. VV II ββ = ΣVVVVVV. ssssssβ - ΣHHHHHH. ccccccβ NN II ββ = ΣVVVVVV. ccccccβ - ΣHHHHHH. ssssssβ VV IIII ββ = ΣVVVVVV. cos (β 90 ) + ΣHHHHHH. ssssss(β 90 ) NN IIII ββ = ΣVVVVVV. ssssss β 90 - ΣHHHHHH. cos (β 90 ) O ângulo β ser maior do que 90 INTERFERE na convenção de sinais e fazem-se necessárias duas expressões: uma para intervalo de 0 a 90 e outra para 90 a

23 Resumo do Equacionamento de Cortantes e Axiais (2) Como equacionar cortantes e axiais no arco circular com equações válidas para todo o domínio de 0 a 180 no ângulo β? RESPOSTA: Dado que ângulo alfa não afeta a convenção de sinais de diagramas basta substituir a relação: α + β = 90 ou α = 90 β no equacionamento feito com alfa. VV α = ΣVVVVVV. ccccccα - ΣHHHHHH. ssssssα NN α = ΣVVVVVV. ssssssα- ΣHHHHHH. ccccccα VV ββ = ΣVVVVVV. cccccc(90 -β) - ΣHHHHHH. ssssss (90 -β) NN ββ = ΣVVVVVV. ssssss(90 β) - ΣHHHHHH. cccccc(90 -β) 23

24 Aula 07 - Seção 3: Arcos Parabólicos de 2 Graus e Uso da Viga Análoga 24

25 Arcos Triarticulados Parabólicos Um dos formatos mais comuns de arco triarticulado é o parabólico, sendo as posições y do arco definidas por uma equação do tipo: y(x) = a + b*x + c*x^2 Conhecidos 3 pontos da parábola é possível montar um sistema linear para definição da equação do arco. Ex., dados os pontos: (X1,Y1), (X2,Y2) e (X3,Y3): YYYY = aa + bbbbbb + cccc11 22 YY22 = aa + bbbb22 + ccxx22 22 YY33 = aa + bbbb33 + cccc33 22 YY11 YYYY YYYY = 11 XXXX XX XXXX XX XXXX XX aa bb cc 25

26 Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (1) Arcos triarticulados possuem reações horizontais em seus apoios denominadas Empuxo que podem ser quantificadas (também) fazendo uso da viga análoga antes mencionada. Arco Viga Análoga 26

27 Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (2) HH = HH AA HH BB = 0 HH AA = HH BB = HH MM BB = VV AA. LL + PPPP(LL xx ii ) = 0 VV AA = + PPPP(LL xx ii ) / L = VV AAAA MM AA = 0 VV BB = VV BBBB Arco: MM GG = 00 VV AA. aa PPPP(aa xx ii ) - H.f = 0 Viga Análoga: MM GGGG = 00 VV AAAA. aa PPPP aa xx ii = 0 HH = MM GGGG ff M27

28 Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (3) HH AA = HH BB = HH MM SS (xx) = M S0 (xx) H.y(xx) V S (xx) = +V S0 (xx) cosα (x) - H senα (x) Ns(xx) = -V S0 (xx) senα(x) - H cosα (x) Sendo o ângulo α também uma função da posição x, ou seja α(x) 28

29 Ângulo α(x) Conhecida a equação do arco y(x) é possível determinar o ângulo das tangentes do arco com a horizontal, em qualquer um dos infinitos pontos que compõe o arco contínuo por meio de: α(x) = arctg ( dy(x) / dx ) 29

30 Aula 07 - Seção 4: Equação da Linha de Pressões e Arcos com Apoios Desnivelados 30

31 Linha de Pressões A linha de pressões para um determinado carregamento permanente é a linha que define a geometria do arco de modo que este trabalhe somente com esforços normais. Um arco com estas característica é denominado arco funicular. Equação da Linha de Pressões: como a equação dos momentos fletores de um arco é função da equação do arco, fazendo M S (x) = 0 tem-se: y(x) = M S0 (x) / H Assim sendo, y(x) (equação da linha de pressões) pode ser escrita em função da equação de momentos fletores da viga análoga dividida pelo empuxo nas laterais do arco. 31

32 Arcos Triarticulados com Apoios Desnivelados HHH = MM gg ff. ccccccαα Fonte: 32

33 FIM 33

34 Exercício 7.1 Para o arco triarticulado abaixo, obter as reações de apoio e os esforços Ms, Ns, e Qs: y = x² + 1.5x 34

35 Exercício 7.2 Traçar o diagrama de momentos fletores para o arco parabólico de 2º grau abaixo: 35

36 Exercício 7.3 Obter as equações da linha de pressões da estrutura triarticulada com os apoios A e B e articulação interna em C. Calcular a força normal na seção onde a tangente é nula: ( Viga Análoga ) 36

37 Exercício 7.4 Para o arco parabólico de 2º grau triarticulado da figura abaixo determine: a) A equação do arco (considerar a origem do sistema cartesiano indicada na figura); b) As reações de apoio (V A, H A, V B, H B ); c) O momento fletor, o esforço cortante e o esforço normal na seção S indicada; 37

38 Exercício 7.5 Traçar o diagrama de esforços axiais para o arco parabólico de 2º grau abaixo: 5,0 m 5,0 m 38

39 Exercício 7.6 Obtenha as reações de apoio para o arco parabólico de 2º grau abaixo: 39

40 Exercício 7.7 Determinar os momentos fletores, os esforços cortantes e os esforços axiais para o arco circular abaixo no ponto A e no ponto B bem como no ângulos β = 30, 60, 90, 120 e 150 (sentido horário): 40

41 Exercício 7.8 Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço axial para o arco parabólico de segundo grau abaixo, determinando os valores destes esforços internos a cada 1 metro do eixo horizontal (x). 41

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