O ANGLO RESOLVE A PROVA DE MATEMÁTICA DO ITA

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1 O ANGLO RESOLVE A PROVA DE MATEMÁTICA DO ITA É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição de confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as Bancas Eaminadoras em sua tarefa árdua de não cometer injustiças. Didático, mais do que um simples gabarito, auilia o estudante em seu processo de aprendizagem. O Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA é uma escola de engenharia mundialmente conhecida. Com o mesmo zelo com que trata seus ecelentes cursos (Engenharia Aeronáutica, Engenharia Mecânica Aeronáutica, Engenharia de Infra-Estrutura, Engenharia Elétrica e Engenharia de Computação), trata seu vestibular. De forma inteligente, em dias de prova, tem conseguido selecionar os candidatos mais aptos.

2 MATEMÁTICA NOTAÇÕES *C é o conjunto dos números compleos. IR é o conjunto dos números reais. IN = {,,,...}. i denota a unidade imaginária, ou seja, i =. z é o conjugado do número compleo z. Se X é um conjunto, P(X) denota o conjunto de todos os subconjuntos de X. A\B = { A; B}. *[a, b] = { IR; a b}. [a, ) = { IR; a }. (, a] = { IR; a}. P = (, y) significa ponto P de coordenadas (, y). AB denota o segmento que une os pontos A e B. ln denota o logarítmo natural de. A t denota a matriz transposta da matriz A. QUESTÃO 0 Resposta: D Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos: I. Se e y, então y. II. Se ou y, então y. III. Se e y, então y 0. Então, destas é (são) verdadeira(s) A) apenas I. D) apenas I e III. B) apenas I e II. E) todas. C) apenas II e III. Consideremos as seguintes sentenças: S : 6 S : y y S : y y Portanto, se e y, então + ( y) 6 + ( ). Logo, se e y, então y. Concluímos, assim, que a afirmação I é verdadeira. Consideremos, agora, o caso particular = e y =. Nesse caso, temos y =. Assim, podemos concluir que a afirmação II, se ou y, então y, é falsa. De y 0 e y, podemos afirmar que: y y y Com, temos + ( y) + ( ), ou seja, y. Como 0, podemos concluir que a afirmação III, se e y, então y 0 é verdadeira. Portanto, apenas as afirmações I e III são verdadeiras. QUESTÃO 0 Resposta: E Sejam a, b, c reais não-nulos e distintos, c 0. Sendo par a função dada por a + b f( ) =, c c, então f(), para c c, é constante e igual a + c A) a + b. D) b. B) a + c. E) a. C) c. ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

3 f( ) = f(), para todo, c c a + b a + b = (, c c) + c + c (a + b) ( + c) = ( a + b) ( + c) (, c c) a + ac b + bc = a ac + b + bc (, c c) (ac b) = 0 (, c c) Logo, b = ac. a + b Como f() =, temos: + c a + ac f() = + c a ( + c) f() = + c f() = a QUESTÃO 0 Resposta: E Os valores de IR, para os quais a função real dada por formam o conjunto A) [0, ]. B) [, 6]. C) [, 0] [, ). D) (, 0] [, 6]. E) [, 0] [, 6]. f( ) = 6 está definida, Devemos ter: ou 0 0 ou 0 ou 6 Portanto, os valores de, IR, para os quais a função real dada por f ( ) = 6 está definida, formam o conjunto [, 0] [, 6]. QUESTÃO 0 Resposta: D Seja a equação em C z z + = 0. Qual dentre as alternativas abaio é igual à soma de duas das raízes dessa equação? A). D) i. B). E) C) +. i. z z + = 0 = = ± i z = z = cos + isen z = cos + isen ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

4 Donde temos: z = cos + i sen = + i z = cos + i sen = i 6 6 z = cos + i sen = + i 6 6 z = cos + i sen = 6 6 i Assim: z + z = i QUESTÃO 0 Resposta: B Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A B contenha elementos. Então, o número de elementos de P(B A) P( ) é igual a A) 8. D) 7. B) 6. E) 9. C) 0. Nessa resolução, sendo X um conjunto finito, n(x) denota o número de elementos de X. n(b\a) = n(a B) n(a) n(b\a) = 8 n(b\a) = n(b\a) = n(p(b\a)) = P(B\A) é um conjunto com 6 elementos. Como é subconjunto de qualquer conjunto, temos B\A, ou seja, P(B\A). Portanto, P(B\A) P( ) = P(B\A). Logo, o número de elementos do conjunto P(B\A) P( ) é igual a 6. QUESTÃO 06 Resposta: D Sejam f e g duas funções definidas por sen sen f( ) = ( ) e g( ) =, IR. A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a A) 0. D). B). E). C). sen f () = e g () =, IR ( ) sen f é mínimo quando sen = e g é mínimo quando sen =. Assim: f mín = g mín = ( ) = = Logo: f mín + g mín = + = ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

5 QUESTÃO 07 Resposta: B QUESTÃO 08 Resposta: A QUESTÃO 09 Resposta: B Seja f: IR P (IR) dada por f() = {y IR; sen y }. Se A é tal que f() = IR, A, então A) A = [, ]. B) A = [a, ), a. C) A = [a, ), a. D) A = (, a], a. E) A = (, a], a. A f () = {y IR; sen y } A f() = IR A {y IR; sen y } = IR Como, para todo real y, sen y, podemos concluir que a igualdade {y IR; sen y } = IR é verificada se, e somente se,. Portanto, A. Logo, A = [a, + ), onde a é um número real qualquer maior que. A divisão de um polinômio f() por ( ) ( ) tem resto +. Se os restos das divisões de f() por e são, respectivamente, os números a e b, então a + b vale A). D). B). E) 0. C). Sendo Q() o quociente da divisão de f() por ( ) ( ), temos f () ( ) ( ) Q() + +. Logo, f() = e f() =. Sendo a o resto da divisão de f() por, temos a = f () e, portanto, a =. Sendo b o resto da divisão de f() por, temos b = f() e, portanto, b =. Logo, a + b =. Sabendo que a equação p = q m, p, q 0, q, m IN, possui três raízes reais positivas a, b e c, então log q [abc (a + b + c ) a + b + c ] é igual a A) m + plog q p. D) m plog q p. B) m + plog q p. E) m plog q p. C) m + plog q p. Sendo a, b e c as raízes da equação p + 0 q m = 0, temos: a + b + c = p ab + ac + bc = 0 (relações de Girard) a b c = q m a + b + c = (a + b +c) (ab + ac + bc) a + b + c = p Sendo E = abc(a + b + c ) a + b + c, temos E = q m (p ) p, isto é, E = q m p p. Do enunciado, temos p 0, q 0 e q. Nessas condições: log q E = log q (q m p p ) log q E = log q q m + log q p p log q E = m + p log q p Nota: Para esta resolução não pudemos considerar que a, b e c são positivas, pois, neste caso, ab + ac + bc seria diferente de zero. 6 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

6 QUESTÃO 0 Resposta: D Dada a função quadrática f( ) = ln + ln6 ln temos que A) a equação f() = 0 não possui raízes reais. B) a equação f() = 0 possui duas raízes reais distintas e o gráfico de f possui concavidade para cima. C) a equação f() = 0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui concavidade para baio. ln ln D) o valor máimo de f é. ln ln ln ln E) o valor máimo de f é. ln ln Sendo o discriminante de f() = ln + ln6 ln, temos: = (ln6) (ln )( ln ) = [ ln( )] + ln ln = (ln + ln) + (ln ln)(ln ln) = ln ln ( 0) Como ln 0, podemos afirmar que o gráfico de f possui concavidade para baio. Sendo y v o valor máimo de f, temos: ln ln y v = ln ln ln y v = ( ln ln) y v = ln ln ln ln QUESTÃO Resposta: D QUESTÃO Resposta: A Quantos anagramas com letras distintas podemos formar com as 0 primeiras letras do alfabeto e que contenham das letras a, b e c? A) 69. B) 7. C) 0. D). E) 9. Para escolhermos letras, sem importar a ordem, de modo que contenham duas das letras a, b e c, temos: C, C 7, modos. Como os anagramas são as permutações das letras escolhidas, o número de anagramas é: C, C 7,! = ()() = O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida beneficente de bicicletas: Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Daí em diante, eles não mais deiaram as primeiras três posições e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, mudou de mãos nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posições trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou para nossos repórteres que David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida. ITA/00 ANGLO VESTIBULARES 7

7 Com base no trecho acima, você conclui que A) David ganhou a corrida. B) Ralf ganhou a corrida. C) Rubinho chegou em terceiro lugar. D) Ralf chegou em segundo lugar. E) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta. Nessa resolução, F denota Ralf, B denota Rubinho, D denota David, l(x, Y) denota o total de trocas de liderança entre os competidores X e Y. s(x, Y) denota o total de trocas entre a segunda e a terceira posição, entre os competidores X e Y. Do enunciado, podemos concluir que: l(f, D) + l(f, B) + l(d, B) = 9 () s(f, D) + s(f, B) + s(d, B) = 8 () No início da corrida, Ralf estava na liderança, seguido por David e Rubinho, nesta ordem. Representamos essa situação por Ini = (F, D, B). Para o término da corrida, há duas possibilidades: Ter = (F, D, B) ou Ter = (D, B, F), pois, pelo enunciado, Rubinho (B) termina a corrida atrás de David (D). Vamos, então, analisar essas duas possibilidades: º: Ini = (F, D, B) e Ter = (F, D, B) º: Ini = (F, D, B) e Ter = (D, B, F) Nessas possibilidades, não incluímos, ainda, os casos de empate. Esses serão analisados posteriormente. º poss.: Ini = (F, D, B) e Ter = (F, D, B) Temos: l(f, D) + l(f, B) é par. Como l(f, D) + l(f, B) + l(d, B) = 9 () segue que l(d, B) é ímpar. Como David e Rubinho terminaram nas mesmas posições, l(d, B) + s(d, B) é par. ímpar Portanto, s(d, B) é ímpar. Voltando à equação (), temos: s(f, D) + s(f, B) + s(d, B) = 8 ímpar Assim, s(f, D) + s(f, B) é ímpar. Logo, Ralf participou das trocas entre a segunda e a terceira posição. Como Ralf iniciou essas trocas na segunda posição (pois ele estava na liderança), ele terminaria em terceiro lugar, pois s(f, D) + s(f, B) é ímpar. Portanto, não seria possível Ralf reassumir a liderança e, assim, podemos afirmar que o caso Ini = (F, D, B) e Ter = (F, D, B) não ocorreu! ª poss.: Ini = (F, D, B) e Ter = (D, B, F). Como David (D) começa e termina na frente de Rubinho (B), l(d, B) + s(d, B) é par. Como Ralf (F) e David (D) começam e terminam em ordens distintas, l(f, D) + s(f, D) é ímpar. Analogamente, podemos afirmar que l(f, B) + s(f, B) é ímpar. Assim, [l(d, B) + s(d, B)] + [l(f, D) + s(f, D)] + [l(f, B) + s(f, B)] é par. par ímpar ímpar Reagrupando, temos: [l(f, D) + l(f, B) + l(d, B)] + [s(f, D) + s(f, B) + s(d, B)] é par, o que contradiz as equações () e (). Podemos afirmar que o caso Ini = (F, D, B) e Ter = (D, B, F) também não ocorreu! 8 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

8 Consideremos, agora, casos de empate, mediante um eemplo de seqüência de trocas de posições: Ini = (F, D, B) (D, F, B) l (D, B, F) s (B, D, F) l (D, B, F) l (D, F, B) s 6 (F, D, B) l 7 (D, F, B) l 8 (F, D, B) l 6 9 (D, F, B) l 7 0 (F, D, B) l 8 (D,F,B) l 9 (D,B,F) s (D,F,B) s (D,B,F) s (D,F,B) s 6 6 (D,B,F) s 7 7 (D,F,B) s 8 Ter = (,, ) Admitamos que a linha 7 represente a situação que precede o término da corrida. Há, então, dois casos possíveis: º caso: Ter = (DF, B), Ralf (F) alcançou David (D), não havendo troca de liderança. º caso: Ter = (D, FB), Rubinho (B) alcançou Ralf (F), não havendo troca de segunda e terceira posições. Note que, no eemplo dado, há nove trocas de liderança (l, l,, l 9 ) e oito trocas de segunda e terceira posições (s,s,, s 8 ). Além disso, nos dois casos possíveis de término da corrida, Rubinho (B) está atrás de David (D). No caso Ter = (DF, B), estariam corretas as alternativas (A) e (B). No caso Ter = (D, FB), estariam corretas as alternativas (A) e (D). Esses dois casos são coerentes com o trecho e este apresenta uma descrição matemeticamente correta. Portanto, podemos concluir que David ganhou a corrida. QUESTÃO Resposta: E Seja a matriz cos sen6. sen0 cos 90 O valor de seu determinante é A). B). C). D). E) 0. O valor do determinante é: D = cos90 cos sen0 sen6 D = cos0 cos sen60 sen6 D = cos0 cos cos0 cos D = 0 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES 9

9 QUESTÃO Resposta: C Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B. Então, [(A + B) t ] é igual a A) (A + B). B) (A t B t ). C) (A t + B t ). D) A t + B t. E) A t B t. Temos: AB = A BA = B Substituindo-se em : B(AB) = B (BA)B = B BB = B Substituindo-se em : A(BA) = A (AB) A = A AA = A Então: [(A + B) t ] = = A t A t + A t B t + B t A t + B t B t = (AA) t + (BA) t + (AB) t + (BB) t = A t + B t + A t + B t = A t + B t = (A t + B t ) QUESTÃO Resposta: A Seja A uma matriz real. Suponha que α e β sejam dois números distintos, e V e W duas matrizes reais não-nulas, tais que AV = αv e AW = βw. Se a, b IR são tais que av + bw é igual à matriz nula, então a + b vale A) 0. B). C). D). E). Do enunciado, av + bw = O av = bw () Suponhamos que a 0. Então: AV = αv a(av) = a(αv) AaV = αav De (), temos: A( b)w = α( b)w ( b)aw = ( b)αw ( b)βw = ( b)αw Como α β e W O, segue que b = 0. Substituindo-se em (), vem: av = O Sendo V O, conclui-se que a = 0, contradizendo a suposição. Se a = 0, em (), resulta b = 0. Logo, a + b = 0. 0 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

10 QUESTÃO 6 Resposta: A O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo é de º. O comprimento da circunferência, em cm, é A) 0 ( + ). B) 00 ( + ). C) 80 ( + ). D) 0 ( + ). E) 0 ( + ). Do enunciado, temos a figura: 0 cm, cujo ângulo oposto A B 0 O r C *O centro da circunferência r medida do raio Sendo senº = sen (º 0º), temos que senº = senº cos0º sen0º cosº. Assim, 6 senº =, ou seja, senº =. Aplicando o Teorema dos senos no triângulo ABC, temos: 0 6 ( ) R R = = ( ) 0 ( 6 + ) Portanto, o comprimento da circunferência é, ou seja, 0 + cm. QUESTÃO 7 Resposta: B Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes angulares e, respectivamente, se interceptam na origem 0. Se B r e C s são dois pontos no primeiro quadrante tais que o segmento BC é perpendicular a r e a área do triângulo OBC é igual a 0, então a distância de B ao eio das ordenadas vale 8 A). B). C). D). E). ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

11 Do enunciado, temos a figura: y r B s C 0 Equação da reta r: y = Equação da reta s: y = Sejam então: B(a, a) e C b b,, a 0 e b 0. Se o segmento BC é perpendicular a r, devemos ter: b a a = b = a b Assim, temos: B(a, a) e C a, a. Como a área do triângulo OBC é 0, então: 0 0 a a a a = 0 a = a = 0 a = (não convém) Portanto, a distância de B ao eio das ordenadas é. QUESTÃO 8 Sem Resposta Seja k 0 tal que a equação ( ) + k(y y) = 0 define uma elipse com distância focal igual a. Se (p, q) são as coordenadas de um ponto da elipse, com q q 0, então p p q q é igual a A) +. D). B). E). C) +. + k y y + + k = + + k y = k + y + k + k + k = ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

12 Sendo a, b e c (c = ), respectivamente, o semi-eio maior, o semi-eio menor e a distância focal, temos que: I) Se k, temos: Então: a = b + c k + k + a = eb =. k k + k + = k +, ou seja: k k = 0 k = k = + (não convém) Com k = +, substituindo-se as coordenadas (p, q) na equação da elipse, vem: (p p) + ( + ) (q q) = 0 p p q q = + II) Se 0 k, temos: k + a k eb k + = =. Então: a = b + c k + = k k + +, ou seja: k + k = 0 k = k = + (não convém) Com k = +, substituindo-se as coordenadas (p, q) na equação da elipse, vem: (p p) + ( + ) (q q) = 0 p p q q = + p p Assim, só podemos afirmar que é igual a +, se tivermos k. q q Logo, essa questão não apresenta alternativa correta. QUESTÃO 9 Resposta: A Considere a região do plano cartesiano y definida pela desigualdade + + y y 8 0. Quando esta região rodar um ângulo de radianos em torno da reta + y = 0, ela irá gerar um sólido 6 de superfície eterna total com área igual a A) 8. B) 8. C) 8. 8 D). 6 E) 8. 7 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

13 A circunferência + + y y 8 = 0 tem centro C(, ) e raio r =. Considere o esquema: Representação Gráfica Plana y Representação do sólido gerado C 0 + y = 0 /6 C /6 + y = 0 O sólido gerado é constituído por duas cunhas esféricas, cada uma com ângulo diedro rad e raio. 6 A área total da superfície eterna desse sólido é igual a 6, ou seja, + 8. QUESTÃO 0 Resposta: C Seja uma pirâmide regular de base heagonal e altura 0m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja da pirâmide original? A) m. D) 6 m. B) m. E) 8 m. C) m. Considere a figura: 8 do volume d 0 V volume da pirâmide obtida V volume da pirâmide original d distância do plano de corte ao vértice Do enunciado, temos que V = V 8 (). Sendo k a razão de semelhança entre a pirâmide obtida e a pirâmide original, nesta ordem, devemos ter V = k ( ). V De () e (), resulta que k =. Assim, k = 8 ( ). d Ainda, k = 0 ). De () e (), resulta d =. 0 Portanto, d = m. ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

14 As questões dissertativas, numeradas de a 0, devem ser respondidas no caderno de soluções. QUESTÃO Seja a função f dada por f () = (log ) log 8 + log + log ( + ) Determine todos os valores de que tornam f não-negativa. ( ) + ( ) log log log log 0 log ( ) log 8 log log 0 log ( ) log ( + ) ( ) Resposta: ( ) QUESTÃO Mostre que y + + y C 8,, para quaisquer e y reais positivos. Obs.: C n,p denota a combinação de n elementos tomados p a p. º modo: y y 8 y + + = + y y = + y O termo geral do binômio é: 8 p p 8 p 8 y 8 T = p y = p y O termo independente de e y ocorre quando 8 p = 0 p =. 8 T = C 8, = Como todos os termos do desenvolvimento são positivos: y + y 8 y C8, + + C8, y º modo: Adotando y (poderia ser o contrário), temos Assim: y y y y y y y y e 0. ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

15 8! Como C 8, = = 70, então:!! + + y y C8, QUESTÃO Com base no gráfico da função polinomial y = f() esboçado abaio, responda qual é o resto da divisão de f() por ( ). 8 y = f () é da forma a + b, onde a e b são cons- O resto da divisão do polinômio f() por tantes reais. ( ) Sendo Q() o quociente dessa divisão, temos f ( ) ( ) Q( ) + a + b. a Logo, f = + b e f() = a + b. Do gráfico, temos f = e f() = 0. 8 Resolvendo o sistema a + b = 8 a + b = 0, obtemos: a = e b = Portanto, a + b +. Resposta: +. QUESTÃO Sejam a e b dois números compleos não-nulos, tais que a + b = 0. Se z, w C satisfazem a zw + zw = 6a zw zw = 8 b determine o valor de a de forma que zw =. z w + z w = 6a z w z w = 8b z w = a + b e z w = a b z w = z w = (z w) (z w ) = (z w) (z w ) = Substituindo-se: (a + b)(a b) = 9a 6b = Como a + b = 0, temos b = a. 6 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

16 Assim: Resposta: a = a = a = QUESTÃO. Mostre que se uma matriz quadrada não-nula A satisfaz a equação A + A + A = 0 () então (A + I) = A + I, em que I é a matriz identidade.. Sendo dado que A = 0 satisfaz à equação () acima, encontre duas matrizes não-nulas B e C tais que B + C = B + C = A. Para essas matrizes você garante que o sistema de equações ( B C) y = 0 0 tem solução (, y) (0, 0)? Justifique.. Temos que: (A + I) = (A + I) (A + I) (A + I) (A + I) = A + A + A + A + I Como A + A + A = O, então: (A + I) = A + I. Sejam B = A + I e C = I. Então: B + C = (A + I) I B + C = A B + C = (A + I) + ( I) B + C = A 0 0 Assim, B = e C =. 0 0 Logo, B C = 0 0 e det (B C) = 0. Como det (B C) = 0 e o sistema associado à equação 0 (B C) = y 0 é homogêneo, então esse sistema tem solução (, y) (0, 0). QUESTÃO 6 Sejam n números reais positivos a,a, a n que formam uma progressão aritmética de razão positiva. Considere A n = a + a + + a n e responda, justificando: Para todo n, qual é o maior entre os números Observemos a diferença entre os números: An n An n A an e n an? n A a n n an n = = An A n A a + a n n n + an n n n ITA/00 ANGLO VESTIBULARES 7

17 + = a a n ( a an) n n n = an an a an = an ( an a) Como a P.A. é de termos positivos e crescente, temos que a n (a n a ) 0. A Como a diferença é positiva, n an é o número maior. n QUESTÃO 7 Considere n pontos distintos A,A, A n sobre uma circunferência de raio unitário, de forma que os comprimentos dos arcos A A,A A,,A n A n formam uma progressão geométrica de termo inicial e razão. Para que valores de n teremos o comprimento do arco A n A menor que do comprimento da circunferência? Obs.: Para todo arco A k A l, o comprimento considerado é o do arco que une o ponto A k ao ponto A l no sentido anti-horário. Sendo A A = a,a A = a,..., A n A n = a n, temos que (a,a,..., a n ) é uma PG com a = e q =. Do enunciado: A n A = S n, onde S n é a soma dos termos da P.G. n A n A = n A n A = + Temos ainda que: n 9 A n A n 9 n 0 Resposta: n 0 n 9 QUESTÃO 8 Seja S a área total da superfície de um cone circular reto de altura h, e seja m a razão entre as áreas lateral e da base desse cone. Obtenha uma epressão que forneça h em função apenas de S e m. Considere a figura: A *O... centro da base do cone h g r... medida do raio da base do cone h... medida da altura do cone g... medida da geratriz do cone O r B S... área da superfície total do cone 8 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

18 r g Do enunciado, temos que m = ou seja, g = r m (). r, Temos: S = r + r g, ou seja, S = r (r + g) (). De () e (), resulta que S = r (m + ) (). Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AOB, temos que g = r + h (). h De () e (), segue que r = (). ( m ) De () e (), temos que h S = ( m + ), ou seja, ( m ) S ( m ) h =. Portanto, h = S ( m ). QUESTÃO 9 Considere o seguinte raciocínio de cunho cartesiano: Se a circunferência de centro C = (h, 0) e raio r intercepta a curva y =+, 0, no ponto A = ( a, a) de forma que o segmento AC seja perpendicular à reta tangente à curva em A, então = a é raiz dupla da equação em que se obtém da intersecção da curva com a circunferência. Use este raciocínio para mostrar que o coeficiente angular dessa reta tangente em A é. a Consideremos o sistema formado pela equação da circunferência e pela equação da curva. ( ) + = h y r y =, 0 De e, vem: + ( h) + h r = 0. Sabendo-se que = a é raiz dupla dessa equação, então: a h h r a h + a a ah + a + h r h + a Devemos ter: h + a = 0 h = a +. ( ) Daí:A e C a +.,0 a, a Assim, o coeficiente angular da reta AC é: a 0 mac = a a + = a Como a reta tangente em A é perpendicular ao raio AC, seu coeficiente angular m é tal que: ( ) = = m a m a QUESTÃO 0 Se, y e z são os ângulos internos de um triângulo sen z, prove que o triân- cos z gulo ABC é retângulo. ABC e sen = sen y cos y + + ITA/00 ANGLO VESTIBULARES 9

19 sen = + sen y z y cos z y + z y z cos cos sen = tg y + z y + z Como = 90º, temos: sen = tg ( 90 ) sen = cotg cos sen cos = (pois cos 0) sen sen = sen = ± A única resposta que convém é: = = 90 Logo, ABC é um triângulo retângulo. 0 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

20 Comentário Mantendo a tradição, foi uma prova difícil e trabalhosa. A questão 8 não apresenta alternativa correta. Incidência ASSUNTO Análise Combinatória Binômio de Newton Conjunto Funções Geometria Analítica Geometria do Espaço Geometria Plana Logaritmo Lógica Matrizes Número Compleo Polinômio Progressão Aritmética Progressão Geométrica Trigonometria 6 Nº DE QUESTÕES ITA/00 ANGLO VESTIBULARES