Para os metais dúteis e isotrópicos, podemos assumir as seguintes hipóteses simples iniciais comprovadas experimentalmente:

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1 . CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO Too critério e escoamento plástico é uma epressão matemática que estabelece quano os iferentes estaos e tensão prouzirão o início as eformações plásticas (ou seja o início o escoamento plástico) no material sólio em análise. A forma geral a função matemática o critério e escoamento é: Para os metais úteis e isotrópicos, poemos assumir as seguintes hipóteses simples iniciais comprovaas eperimentalmente:., isto é, os limites escoamento em tração simples e em compressão são iguais.., portanto o coeficiente Poisson é equivalente a. O escoamento plástico não epene a, isto é poemos mover o círculo e Mohr ao longo eio a tensão normal e acoro com a conveniência. Portanto, o escoamento plástico epene somente. Essa hipótese é razoável se o escoamento plástico epene e mecanismos e cisalhamento como eslizamento ou maclação. Então a função matemática será, que implica que o escoamento plástico epene o tamanho o círculo e Mohr e não e sua posição no eio as tensões normais. Eistem ois enfoques simples que veremos a seguir.. Critério e Tresca : Esse foi o primeiro critério apresentao (87) e postula que o início o escoamento plástico ocorre quano a maior tensão e cisalhamento atinge um valor crítico, ou seja: ou para > > Para o caso e tração simples temos, 5

2 Para o caso e cisalhamento puro ou torção pura, temos, ou seja, N Círculo e Mohr o cisalhamento puro (ensaio e torção). Portanto, one K é o limite e escoamento plástico no cisalhamento e é o limite e escoamento na tração simples. N tração simples. Critério e Von Mises : Esse critério e escoamento (9) postula que o escoamento se inicia quano a méia as tensões e cisalhamento atinge um valor crítico, ou seja, ou, one a constante o material C poe ser eterminaa através o ensaio e tração uniaial, substituino com, então, 6

3 Portanto, Tresca K Von Mises K Fig.. Representação geométrica os critérios e Tresca e Von Mises para estao plano e tensões,.. Representação o Critério e Escoamento no Espaço Triimensional e Tensões - Espaço e Haigh - WesterGar O estao e tensão num corpo poe ser representao por um ponto no espaço triimensional cujas coorenaas são as tensões principais,,. Esse espaço é chamao e Haigh - WesterGar. Diferenca Tresca/Mises e plano N Q ( ) Os estaos e tensões em qualquer ponto a linha ON tem: 7

4 Como a reta ON tem ângulos iguais l m n, então N m. Portanto, a reta ON representa o estao hirostático e tensões. Consierano o plano perpenicular a reta ON, a equação este plano π é: one ρ Portanto, o plano que passa pela origem, plano π, tem equação: P N ( l, m, n ) Q ( m, m, m ) Plano π ρ l m n P (,, ) ρ OQ Projetano-se OP sobre a reta ON temos : OQ l m n ρ ρ m ρ m OQ m m m também, OP portanto, PQ ρ 8

5 PQ ( ) ( ) ( ) m m m I D [( ) ( ) ( ) ] Conforme critério e Von Mises, o material escoa quano, [( ) ( ) ( ) ], isto é, quano PQ Moveno-se P ao longo e uma reta paralela a ON, teremos uma reta PP em que PQ P'Q, ou seja, o esviaor e P esviaor e P. Portanto se PP for uma linha e escoamento, isto gerará uma, pois o escoamento plástico só epene o tensor esviaor. OQ N As componentes e PQ são: - m, - m, - m, que são as componentes esviaoras a tensão, isto é, PQ é o O critério e escoamento plástico e Von Mises é uma. Se o ponto P estiver entro o cilinro, o material está no campo elástico. Se P tocar a superfície o cilinro então a conição e escoamento plástico é atingia. Movimento e P ao longo e ON apresenta uma muança na componente que não afeta o escoamento. Plano π P N raio o cilinro : r Fig.. Representação o Critério e Escoamento Plástico e Von Mises no espaço e tensões principais,, ou espaço e Haigh-WesterGar. 9

6 Critério e Von Mises: PQ PQ ( m ) ( m ) ( m ) {( ) ( ) ( ) } PQ Consierano o plano π que passa pela origem e é perpenicular à ON. As projeções o cilinro e os eios,,, serão : r Critério e Tresca A superfície e escoamento plástico conforme Tresca será uma superfície heagonal inscrita entro o cilinro: curva e escoamento para estao plano e tensões Fig.. Representação o Critério e Escoamento Plástico e Tresca no espaço principal. 8

7 A projeção o critério e Tresca no plano π será:.4 Critério e Hill para Material Ansiotrópico Hill reformulou o critério e escoamento e Von Mises para material anisotrópico com simetria ortotrópica. O critério e Hill é: one F, G e H são constantes que efinem o grau e anisotropia. Supono o limite e escoamento na ireção, na ireção e na ireção, as constantes acima poem ser eterminaas a partir e : G H H F F G Para o caso e estao plano e tensões,, (como é o caso e conformação e chapas ou vaso e pressão), temos: Para Anisotropia Normal ou isotropia planar,, portanto, Introuzino o coeficiente e anisotropia normal R, o critério e Hill para materiais anisotrópicos será, R R one: ( R) 9

8 R R R Fig..4 Representação geométrica o Critério e Hill no plano..5 Critério e Eelman-Drucker : Um critério intermeiário entre os critérios e Tresca e Von Mises que permite uma concorância melhor com os resultaos eperimentais foi proposto pelos autores Eelman e Drucker. Este critério introuz os invariantes e seguna e terceira orem o tensor esviaor, I D e I D, e uma constante C que epene o material. Este critério escreve a superfície f o início o escoamento plástico como seno: f D 4 6 ( I ) ( C ) D D o 4(I ) 7C(I ) C o o 7 one o é o limite e escoamento em tração simples. Este critério torna-se o critério e Von Mises quano C, e o critério e Tresca quano C..6 Verificação Eperimental o Critério e Escoamento Plástico: Métoo Talor- Quinne As conições e tensões necessárias para ocorrer o início o escoamento plástico nos materiais poem ser estuaas empregano-se tubos e paree fina sob tração uniaial e torção. Além isso, poe-se introuzir pressão entro o tubo para se prouzir estao triaial e tensões. Um os primeiros métoos utilizao na verificação eperimental os critérios e escoamento foi o métoo e Talor e Quinne mostrao abaio. Este métoo investiga os estaos e tensões que se situam. T ( ) P T ( ) 4

9 Para o círculo e Mohr as tensões no tubo visto acima, temos, 4 4 Portanto, o critério e Tresca é: e o critério e Von Mises :,7,6,5,4,,, Fig..5 Comparação entre critérios e escoamento e pontos eperimentais. Resultaos eperimentais :,5, o 4

10 .7 Efeito e Bauschinger O material apresenta um limite e escoamento reuzio (menor) em comprensão após ter sofrio eformação plástica em tração e vice-versa. - Material Ieal Curva inicial e Efeito Bauschinger Curva subsequente e T P Distorção evio ao efeito 4

11 4. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS : RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO PLÁSTICA Eiste uma iferença funamental entre tensões e eformações nas regiões elástica e plástica. O estao e tensão na região elástica é a história ou a trajetória a eformação, enquanto que na região plástica o estao e tensão e o estao e eformação a trajetória a eformação. Entretanto, para o caso particular em que toas as tensões aumentam na mesma proporção, isto é, para o caso e carregamento proporcional, temos: e as eformações plásticas são inepenentes a trajetória e carregamento e epenem somente o estao final e tensão. Eistem uas classes gerais e relações tensão-eformação plástica: teoria incremental ou teoria o escoamento plástico, e a teoria e eformação total. 4. Equações e Lev - Mises Afim e relacionarmos as tensões e eformações, evemos assumir as seguintes hipóteses: - As eformações elásticas são, - Os eios principais e incrementos e eformação coinciem com os eios principais e, - Os incrementos e eformação plástica urante qualquer incremento e carga é proporcional aos valores instantâneos as tensões esviaora: (equilíbrio instantâneo) one λ é o ou constante e proporcionaliae que eve variar urante a eformação. No caso geral temos as relações : one: ' ' ' ' ' ' z, one: m z 4

12 44 As equações e Lev - Mises não a a eformação total. Para eterminar esta, evemos empregar o critério e escoamento plástico, isto é, λ portanto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } λ o móulo e plasticiae é As equações e Lev-Mises também poem ser escritas a seguinte forma: z z z z z... λ γ λ λ γ λ λ γ λ Comparano-se com as equações a Teoria a Elasticiae, temos: E e, portanto E correspone a Comparano-se com as equações e fluio, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z o o z z o o o o t t t µ µ µ µ µ µ & & & z o z z o z o t µ γ µ γ µ γ γ & & & one µ o Portanto, µ o correspone a

13 4. O Potencial Plástico Proprõem-se que eista uma função escalar e ij, seja G( ij ), a qual as razões (taas) os incrementos e eformação plástica ij poem ser obtias através a erivaa parcial e G( ij ) com relação à ij. Portanto, one β é uma constante não negativa e moo que eformação negativa não está associaa com tensão positiva. Assumino a função escoamento plástico e Von Mises como o Potencial Plástico, isto é, G D ( ) F( ) Ι ij ij 6 F portanto, então, G.β β portanto, e moo análogo, teremos: eq. e Lev-Mises Observar que λ( ' ' ') Para a função e escoamento e Tresca, temos que para > >, então: : : : : isto é, as eformações plásticas ocorrem somente no plano, pois, e são iguais mas e sinal oposto. Baseao em Von Mises, temos a função escoamento plástico proposta por Hill para material anisotrópico como seno, obs. euzir as equações os incrementos e eformação. 45

14 Círculo e Mohr para Tensões e Incrementos e Deformação Plástica : m N - A componente hirostática o estao e tensões não prouz eformação plástica, e portanto, o valor e m eve coinciir com o zero o círculo as eformações. 4. O Princípio a Normaliae As componentes e PQ paralelas aos eios principais são, e que são as componentes o tensor esviaor PQ. A ireção a normal à superfície e escoamento no ponto P é a ireção e PQ. Devio a regra e escoamento, ' ' ' λ, a razão entre os três incrementos e eformação e estão na mesma razão entre si como também as componentes o tensor esviaor. Portanto, um vetor teno componente, e terá a mesma ireção que PQ e poe ser localizao em P apontao para fora na ireção a normal à superfície no ponto P ( ; ; ). tot. P Q N tot. Plano π Von Mises P 46

15 tot. [ ] PQ [( ') ( ') ( ') ] Portanto, o incremento e eformação equivalente é normal à superfiície e escoamento plástico. Para um material isotrópico as ireções principais e tensão e eformação coinciem. Para o caso e espaço plano e tensões,, temos: one / é a inclinação a reta à curva e escoamento no ponto e interseção com a reta o carregamento. Isto é muito útil na construção eperimental a curva e escoamento. (Tração Biaial) Critério e Von Mises (Tração Simples) No vértice temos várias possibiliaes e ireção ou a trajetória a eformação. Critério e Tresca: não tem solucao unica nos cantos. - 47

16 4.4 Trabalho Plástico Se uma barra e comprimento inicial l o for submetia a uma força F que atua na àrea b o h o prouzino um incremento e etensão l, o trabalho realizao será F.l. O trabalho por uniae e volume será: ω Para o caso geral em três imensões: ω ou ω ( m ) ( m ) ( m ) i i m i Portanto, ω i ' i ' ' ' w. Portanto a componente hirostática não realiza trabalho. w p R P Q N PQ representa o vetor tensão esviaora PR representa o vetor incremento total e eformação PQ é paralelo à PR Como a componente hirostática OQ não realiza trabalho temos: ω PQ. PR PQ. PR PQ [( ') ( ') ( ') ] 48

17 PR [ ] ω Hipóteses e Encruamento : Epansão a Curva Subsequente o Escoamento Plástico Quano um metal ou liga é eformao em temperaturas abaio a recristalização, à meia que ocorre a eformação, sua resistência a uma eformação posterior aumenta, isto é, o material encrua ou aumenta a sua ureza. Assumino que a curva e escoamento mantém a mesma forma mas epane com o encruamento, não fica claro como a trajetória a eformação afeta o limite e escoamento corrente em caa instante (ou estao e tensão). No caso a hipótese e encruamento isotrópico temos uma epansão e curvas paralelas como visto abaio, W p eformação plástica > > isto é, ocorre ; ; limite e Há uas hipóteses gerais úteis sobre o encruamento os metais: o limite e escoamento plástico corrente epene e: a) b) 49

18 Dese que o limite e escoamento corrente critério e Von Mises, supomos que o escoamento plástico é evio a um valor crítico e. Portanto, temos uas hipóteses: a - Hipótese o trabalho plástico e encruamento w p como ω., então, b - Hipótese a eformação plástica total como por eemplo a equação e Holomon, k ( ) n Na prática essas uas hipóteses ão resultaos semelhantes. Geralmente, a iferença é menor que o erro eperimental. Portanto, evemos utilizar a hipótese mais conveniente. A maioria os resultaos eperimentais referem-se a uma trajetória linear e eformação. As investigações eperimentais confirmam as equações empíricas: o n K material recozio ( ) n K material encruao Eemplo.5 O comportamento plástico e certo metal é escrito por. psi (metal recozio). Se uma barra esse metal for trabalhao a frio, reuzino-se a área a secao tranversal em r. e moo uniforme, estimar o limite e escoamento a peça após o encruamento (isto é, trefilação). Solução: a eformação veraeira é, r ln. o novo limite e escoamento será:.5 ( ). psi Eemplo Um tubo e paree fina com etremiaes fechaas está sujeito à uma pressão interna máima e 5. psi em serviço. O raio méio o tubo é in e não eve sofrer escoamento plástico em qualquer ponto. Pergunta-se : 5

19 a) Se o material tem o limite e escoamento e. psi, qual eve ser a espessura mi nima h que eve ser especificao e acoro com o critério e Tresca? b) Se o limite e escoamento em cisalhamento puro K 4. psi, qual o valor mínimo e h? Solução: P.R h h P.R h P R P pressão a) ma, min então ma min Tresca h b) K ma min P.R 4. h h Eemplo Corte e barras para fabricar peças após a etrusão. F ferramenta b F plano e cisalhamento h Tensão méia e cisalhamento (escoamento) 5

20 Se aplicarmos uma tensão e tração T na barra como abaio, o critério e Von Mises nos á: ( ' ) T 6 ' O efeito e T é reuzir a tensão e cisalhamento para e portanto, a força F também é reuzia. Isso prolonga a via a ferramenta. Entretanto, para se aplicar T seria necessário um equipamento mais compleo. T em compressão seria melhor que tração. Para uma barra reona, a torção seria mais efetiva, reuzino aina mais a forca F a ser aplicaa. Eemplo 4 : Laminação P T Elástica Elástica P pressão o cilinro Zona e eformação plástica. T T Pelo critério e Tresca, esprezano-se o atrito, P ( P) P T observar que o efeito e se aplicar T (tensão e tração) é reuzir a pressão na superfície os cilinros. Isto é benéfico. Eemplo 5 : Etrusão T Matriz P A aplicação e T reuz P. 5

21 5. CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO DE MATERIAIS POROSOS A teoria a plasticiae convencional não é vália para eformações plásticas e sólios porosos para os quais a conição e volume constante não é vália e não satisfaz a hipótese o escoamento plástico ser inepenente a pressão hirostática m. Porosiae em um sólio A porosiae e um sólio é caracterizao pela fração e volume e porosiaes ou pela ensiae relativa o sólio que estão relacionaas por, one ρ e V são a ensiae e o volume total o sólio poroso. ρ M e V M, ensiae e volume a matriz, e V v é o volume total as porosiaes. Nos estágios iniciais a eformação C v é muito pequeno. Alguns valores e C v são vistos a seguir: - Ensaios iniciais e eformação para materiais com ligas convencionais : C v - Pós metálicos compactaos e sinterizaos : C v - Para eformações em ligas superplásticas : C v (alongamento até 5%) 5. Função o Escoamento Plástico e Gurson e sua Forma Simplificaa Materiais porosos sugerem que o critério e escoamento plástico é uma função o primeiro invariante o tensor tensão I e o seguno invariante o tensor esviaor, I D. Função e Gurson representa uma função baseaa numa solução a eformação esfericamente simétrica para materiais rígios perfeitos plásticos em torno as porosiaes esféricas simples. A tensão efetiva aparente em função a tensão efetiva na matriz é, M () () Forma simplificaa obtia pela epansão o cosseno hiperbólico em termos a série e potência e ( / m M ). Em muitos processos e eformação a magnitue este termo é menor que a uniae. A eq. () combinaa com a efinição e Hill para o limite e escoamento corrente para material com anisotropia normal R aa pela eq. 4 abaio, R [ R ( ) ( ) ( ) ] (4) () concluino em, (5) 5

22 Estaos triaiais e biaiais aplicaos a um material isotrópico, R. A função simplificaa e Gurson não poe substituir a forma original nos processos e carregamento triimensional Fig. Comparação entre os critérios e escoamento plástico e Gurson, Gurson simplificao, Green e Green não-quarático; R, C v,5. Fig. Efeito a fração e volume e porosiaes C V sobre o critério limite e escoamento e Gurson e Gurson Simplificao (coinciente) na conição e tensão plana; R. 54

23 R R R R Fig. Efeito a anisotropia normal R sobre o limite e escoamento quarático os moelos simplificaos e Gurson para a conição o estao plano e tensão; C v,5. Os incrementos e eformação plástica principais (obtio pela iferenciação a função escoamento plástico com respeito a tensão principal corresponente) são os seguintes, λ [ ( R ) R ] C v m (6) R λ [ ( R ) R ] C v m (7) R λ [ 4 ] C v m (8) R e a eformação volumétrica o sólio poroso é, (9) V Denotano o incremento a eformação equivalente ou efetiva a matriz por, então o trabalho plástico feito pela matriz o material teno o volume (- C v ), é epresso por: M 55

24 () W p Substituino as eq. (6), (7) e (8) em (), obtém-se o móulo e plasticiae : λ () e a eformação equivalente ou efetiva a matriz é aa por: M R ( R) [ R ( ) ( R ) ( R ) ] ( R)( R) 9 ( R) V ( R) R V 4 9 C V V / ( a) Para materiais isotrópicos, R, tem-se: / 4 v M [( ) ( ) ( ) ] ( b) 9 9 C V 5. Moelo não quarático e Green Assume que o material matriz obeece o critério plástico e Von Mises. Para materiais isotrópicos: δ e θ são funções a fração e volume C v ao por: () (4) Forma Simplificaa e Green assumino que o material a matriz possui anisotropia normal R e obeece o critério plástico não quarático proposto por Hill (979), (5) 56

25 one m é um ínice eterminao eperimentalmente relacionao a anisotropia normal: m r (Regaar e Abbas, 986) m,4,86 r (Liao, 989) m (Hill para materiais com r 5. Moelo e Shima Oane (976) Para materiais sólios porosos e isotrópicos, M (6) one f e f são funções e muança a ensiae relativa ou a fração volumétrica e poros. São eterminaos empiricamente por compressão simples e testes e tração. Para o cobre sinterizao resultaram em, f '.5 ( C V ) e f (7).49C.5 C.54 V V Na forma eplícita, esta equação a plasticiae é aa por: / M.5 [( ) ( ) ( ) ].5 C V m (8) ( C V ) 5.4 Leis o Crescimento a Porosiae e Comparações Eperimentais Toos os moelos e muança volumétrica v preizem leis para o crescimento e porosiaes. Dese que o volume a matriz V m V-V v V(-V v ) então tem-se (para um material incompreensível): V v (9) V Para a simplificação o moelo e Gurson (pela eq. ), C V λ () 9 C ( C ) m V V Muança incremental a fração e volume C v - substituição a eq. () na eq. () utilizano-se a eq.(5). C M V () 57

26 Integração a forma fechaa a eq. () epressa a fração e volume os poros para qualquer eformação plástica, one a lei o crescimento e poros fica: R α α 4 R R C V (C Vo ) C Vo l n ln () ( α α ) C Vo (C V ) C V As fórmulas erivaas que a fração corrente e poros é teoricamente epenente a fração e volume e poros inicial C v, o estao e carregamento, pela razão e eformação anisotrópica, e vários outros parâmetros e ajustes empíricos incorporaos no critério e escoamento como, q, q, q ou m nos moelos e Gurson Tvergaar, Gurson Richmon e Green não quarático ou Liao, respectivamente. Fig. 6 Comparação eperimental e preita entre o crescimento e porosiaes o bronze sob tensão uniaial; C v,5. 58

27 Fig. 7 Comparação eperimental e preita entre o crescimento e materiais isotrópicos superplásticos sob tensão uniaial Fig. 8 Comparação eperimental e preita entre o crescimento e porosiaes e um aço poroso anisotrópico (F,68) e alumínio (F,64) sob tensão equiaial. 59

28 Fig. 9 Comparação eperimental e preita entre o crescimento e porosiaes e cobre sinterizao sob compressão simples; C v,. 5.5 Aplicação ao Comportamento Plástico na Tração Uniaial e Barras com Crescimento e Porosiaes. - Curvas e escoamento e metais porosos sujeitos a cargas uniaiais - Utilização e moelos simplificaos e Gurson e suas formas moificaas - A matriz material é assumia a obeecer a lei simples a potência - resistência () one o subscrito M refere-se a matriz o material. K M, n M e γ M são os coeficientes e resistência á eformação, e encruamento e coeficiente sensitiviae a taa e eformação. - Para cargas uniaiais, a tensão efetiva a matriz é aa pela tensão aparente consierano-se nos moelos e escoamento. - A eformação efetiva a matriz poe ser relacionaa com a eformação aparente os vários moelos substituino as eq. () em (7); e outras respectivamente. 6

29 - As tensões equivalentes aparentes o sólio são obtios por vários moelos respectivamente aos por: Gurson (4) Gurson Tvergaar simplificao (5) Gurson Richmon simplificao (6) Green não quarático (7) A construção a curava e escoamento esigna um valor incremental a tensão aparente, então a fração e volume e porosiaes corrente associaa, é eterminaa utilizano a lei o crescimento as porosiaes e consequentemente a corresponente tensão e escoamento e caa uma e (4) (7) A fração e volume e poros inicial estas ligas é estimaa por iferentes métoos e acoro com as várias investigações: A fração e volume inicial e partículas é tomaa como a fração e volume inicial e poros o corte livre o bronze. Para materiais superplásticos, cobre sinterizao e ligas sinterizaas e Ti, C v é eterminao a meição a ensiae 6

30 O epoente e sensitiviae a taa e eformação e o coeficiente e tensão a matriz material utilizaa para preizer as curvas e escoamento são eterminaas para ligas superplásticas o comportamento eperimental os estágios iniciais e eformação. Para sinterizaos compactaos n M e K M são tomaos como aqueles os materiais e poros livres ou como ao em referências (Shima e Oane, 976; Bourcier, 986; a Silva e Ramech, 997, respectivamente)... Fig. Curvas e tensão e escoamento eperimental e prevista o bronze para uma fração e volume inicial C v,5. Fig. Curvas e tensão e tração e compressão eperimental e preita e um corpo e prova e cobre sintetizao isotrópico C v,5. 6

31 Fig. Curvas e tensão e escoamento eperimental e preita o bronze com uma fração e Ti sinterizao isotrópico. Fig. 4 Curvas e tensão e escoamento eperimental e preita e Ti-6Al-4V sinterizao isotrópico. 6

32 Fig. 5 Curvas e tensão e escoamento compressivo eperimental e preita o aço poroso sinterizao. CONCLUSÃO Dos quatro moelos constitutivos básicos e eformação plástica e sólios porosos, os moelos e Gurson simplificaos e o moelo não quarático e Green, possuem maior preferência nos tratamentos analíticos em problemas planos sem prejuízo na precisão os resultaos. As regras e escoamento associaas são apresentaas juntamente com as leis que governam o crescimento os poros com tensões acumulaas. Os fatores e ajuste incorporaos nestas leis capacita preizer o crescimento os poros para ligas metálicas satisfatoriamente comparaos a eperimentos com materiais convencionais, superplásticos e materiais sinterizaos. Também eve-se relevar que os parâmetros introuzio nos moelos e Gurson moificao são somente parâmetros e ajuste, one estes não poem ser trataos como proprieaes o material ou ao nível e porosiaes inicial. 64

33 6. TEORIA DA ELASTICIDADE As equações gerais a elasticiae que relacionam as eformações com as tensões, incluino as tensões térmicas são : E [ ] α T ; G γ E [ ] α T ; z G γ z z E [ ] αz T ; z G γ z 5. Estao Plano e Tensões : Para os casos e estao plano e tensões temos z, e portanto as equações acima ficam, assumino uma variação nula a temperatura, u E [ ] ; G γ u G v v E [ ] ; z z w z E [ ] ; z 5. Estao Plano e Deformações : Para os casos e estao plano e eformações temos z equações acima para variações zero e temperatura, se tornam,, e portanto as E [ ] ; G γ E [ ] ; z E [ ] ; z 65

34 z Teoria a Elasticiae e a Plasticiae TEP e, rearranjano a última equação, vem, Substituino esta na primeira equação teremos, E [ ν ν ν ] Reagrupano os termos, ( ν ) E ν ν Isto é, one: E * móulo e elasticiae para eformação plana. ν * coeficiente e Poisson para eformação plana. De moo análogo, obteremos, E * * [ ν ] Portanto, estao plano e eformações tem uma certa equivalência com o estao plano e tensões. A eformação angular ou e cizalhamento é aa por, γ E evem obeecer a equação a compatibiliae, 66

35 4 Ψ Equação Geral a Elasticia e Plana ou Bi im ensional Teoria a Elasticiae e a Plasticiae TEP 5. Equação Biharmônica : A equação geral a elasticiae para problemas e estao plano e eformação ou estao plano e tensões é aa pela equação iferencial biharmônica, Equação Geral a Elasticiae Plana ou Bi im ensional one Ψ é a Função Tensão e Air. Encontrano-se Ψ(,) que satisfaz a equação biharmônica, teremos, Ψ ; Ψ Ψ Teormas Sobre a Equação Biharmônica : o Teorema : Se U e U são funções harmônicas (isto é, U ), então, São Biharmônicas isto é, ou seja, qualquer função biharmônica poe ser escrita a forma : U U. o Teorema : Qualquer função biharmônica poe ser escrita a seguinte forma :, one r (coorenaas polares). Eemplo : seja a função harmônica Z n r n (cos nθ i sen nθ). Também são Harmônicas : Eemplo : ( Ar 4 Br C Dr ) cos θ é uma função biharmônica. Resumino, equação e Laplace e φ(,) é função harmônica. equação e Poisson-Laplace e φ(,) é função biharmônica. 67

36 Estao Plano e Tensões : Consierano as conições e equilíbrio e forças nas ireções OX e OY e um elemento o solio em estao plano e tensões, isto é z, e acoro com a figura abaio, temos as seguintes equações iferenciais e equilíbrio : Y Y X X X Y One X e Y são forças e campo como gravitacional, centrífuga, etc.. Assumino que as forças e campo são nulas, temos, Supono que as tensões poem ser aas pela função tensão e Aires Ψ, isto é, Ψ ; Ψ ; Ψ 68

37 69 então, as equações e equilíbrio o estao plano e tensões acima ficam, Portanto, está provao que Ψ satisfaz a conição e equilíbrio e forças. Se Ψ(,) for conhecia, então temos imeiatamente as tensões e as conições e equilíbrio são satisfeitas. Porém, Ψ(,) eve satisfazer também as conições e contorno específica para caa problema para ser a solução eata analítica o problema. Em geral, a maior ificulae está em encontrar a função Ψ(,) que satisfaça as conições e contorno e um problema prático e engenharia cujo peça analisaa tem uma geometria complea. Para estes problemas compleos e problemas e estao triimensional e tensão eve-se empregar a técnica o métoo e elementos finitos ou as iferenças finitas para se obter uma solução numérica aproimaa. Estao Plano e Deformações : As equações as eformações para estao plano e eformação são : Substituino estas equações na equação a compatibiliae, teremos, Introuzino a função tensão e Aires Ψ, temos, ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] z z z E E ou G ; E e ; ν ν ν ν γ γ ν ν ν [ ] [ ] ( ) γ

38 Diferenciano, teremos, rearranjano e simplificano (-ν) em ambos os laos, finalmente teremos, equação biharmônica ou Poisson Laplace e ou 4 Ψ, também ( Ψ ) 7