8. Sistema Não Linear

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1 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 3 8. Sistema Não Linear Verificamos no capitulo anterior que o principio do máimo, resulta eficaz para determinar o conjunto dos estados atingíveis para um sistema linear. Neste capitulo vamos, através de um eemplo prático verificar o que acontece no caso do sistema ser não linear. 8.. Problema Vamos considerar o seguinte eemplo de um sistema não linear y! = a y by u a z! = + a z y com u() t, e t [,] vamos aplicar a seguinte transformação ao sistema não linear do nosso eemplo = y = z!! = y = z! y! resolvendo o sistema y! = a y by u! + a!! a = y + bu + a obtemos o sistema na forma linear!! + bu + a! = A + Bu em que a A = a a b B = Para continuar com a resolução do nosso problema vamos atribuir valores concretos ao nosso sistema. - -

2 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 3 a = a b = = 8.. Resolução do problema Com a ajuda do MATLAB vamos calcular o conjunto dos estados atingíveis Recorrendo à função criada e já descrita no capitulo 6, m=antig(nu,a,b,,t), vamos obter como resultado o conjunto dos estados atingíveis em que: nu! é o conjunto dos controlos aplicados ao sistema a! é a matriz A b! é o vector B! é o estado inicial t! é o tempo m! é o conjunto de pontos resultado que vai corresponder o conjunto dos estados atingíveis Obs: esta função recorre a outra função criada no capitulo 5, t=t(a,b,,u,t), que resolve o sistema linear para um único valor do controlo u. A função criada no capitulo 7, k=pma(m), calcula os pontos da fronteira dos pontos da entrada m calculados pela função m=atingi(nu,a,b,,t), ou seja é a aplicação do principio do máimo. Recorremos ainda outra função criada no capitulo 6, nu=nu(n), que vai gerar controlos correspondentes a variação do tempo de comutação para, e de para no controlo, n vai corresponder ao numero divisões no tempo. Teste do Sistema no MATLAB.» a=[ ; ] a =» b=[;] b =» =[.;] - -

3 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro =.» Nota: o estado inicial foi escolhido de modo a evidenciar a não conveidade do conjunto dos estados atingíveis do sistema não linear original. Vamos aplicar ao nosso sistema por eemplo 4 controlos possíveis.» load u4.mat o ficheiro u4.mat contem uma variável chamada uu com 4 controlos possíveis. = nu Vamos aplicar estes 4 controlos ao nosso sistema» m=atingi(uu,a,b,,) Vamos obter m que contem 4 pontos (valores) elementos do conjunto do estados atingíveis. No entanto este resultado corresponde ao sistema linear para obtermos o sistema não linear original temos que desfazer a transformação inicial, isso faz-se calculando o inverso da primeira coluna da matriz m.» m(:,)=./m(:,) Com a função plot() obtemos a figura 8.» plot(m(:,),m(:,),'g.')

4 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 3 Figura 8. : Nuvem com os pontos correspondentes ao conjunto dos estados atingíveis. Como podemos verificar o resultado vai ser uma nuvem de valores que forma uma figura não convea (côncava), o que vai ter consequências na aplicação do principio do máimo. Vamos a este resultado, ou seja a estes 4 pontos, aplicar o principio do máimo.» k=pma(m) Vamos obter pontos k correspondentes à aplicação do principio do máimo. Com a função plot() obtemos a figura 8.» plot(m(:,),m(:,),'g.')» hold on» plot(k(:,),k(:,)) Figura 8. : Envoltura convea aplicação do principio do máimo

5 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 3 Como se pode verificar da aplicação do principio do máimo a esta nuvem de valores resulta que vamos ter a envoltura convea da figura não convea (côncava), de facto todos os valores possíveis do conjunto dos estados atingíveis vão estar dentro da área definida pelo principio do máimo, no entanto eistem muitos valores que também estão dentro dessa área que não fazem parte do conjunto dos estados atingíveis, ou seja pecamos por ecesso. Vamos tentar aplicar a simplificação descrita no ponto 6.3. do capitulo 6. Se em vez dos 4 controlos aplicarmos só os controlos correspondentes a variação do tempo de comutação para, e de para no controlo. Ou seja os controlos gerados pela função seguinte. Por eemplo para transições para, e transições de para, vamos obter controlos aos quais acrescentamos um para fechar o ciclo..» u=nu() u = Vamos aplicar estes controlos ao nosso sistema» n=ating(u,a,b,,) Mais uma vez para obter resultados ao sistema não linear original temos que desfazer a transformação inicial, invertendo a primeira coluna da matriz n. O resultado n já corresponde ao resultado da aplicação do controlo óptimo.» n(:,)=./n(:,) - 5 -

6 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 3 Com a função plot() obtemos a figura 8.3» plot(m(:,),m(:,),'g.')» hold on» plot(n(:,),n(:,)) Figura 8.3 : Conjunto dos estados atingíveis resultado da aplicação do processo simplificado. Podemos verificar na figura que o resultado que obtemos deste modo é muito mais aproimado do resultado pretendido, deste modo já obtemos uma figura com forma não convea (côncava) muito próima do conjunto dos estados atingíveis, podemos melhorar e aproimar mais o resultado de aumentar-mos o numero de transições dos controlos. Se ao invés de transições tivermos transições no controlo ou seja controlos a que acrescentamos mais para fechar o ciclo, vamos obter um resultado melhor.» u=nu()» n=ating(u,a,b,,)» n(:,)=./n(:,) Com a função plot() obtemos a figura 8.4» plot(n(:,),n(:,)) - 6 -

7 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 3 Figura 8.4 : Conjunto dos estados atingíveis resultado do aumento de numero de transições do controlo Análise dos resultados Na resolução deste problema, sistema não linear, verificamos que o principio do máimo por si só não conseguimos chegar a um resultado satisfatório no que diz respeito de conjunto dos estados atingíveis, ou seja pecamos por ecesso, de facto o conjunto dos estados atingíveis vai estar contido na área representada pela figura 8., resultado da aplicação directa do principio do máimo, mas não representa satisfatoriamente o conjunto dos estados atingíveis do sistema do nosso eemplo. Neste problema conseguimos chegar a um resultado representativo dos conjuntos dos estados atingíveis, recorrendo a uma transformação que permitiu que o sistema não linear se transformasse num sistema linear, e no decorrer da resolução do problema desfizemos a transformação inicial para conseguirmos os valores representativos do conjunto dos estados atingíveis para o sistema não linear. Podemos dizer que esta transformação se trata de um processo de linearização, no entanto nem sempre é possível recorrer a este tipo de transformação, pelo que fica em aberto para futuro o desenvolvimento de um algoritmo que tenta resolver este problema