MATEMÁTICA MÓDULO 12 RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS. Professor Renato Madeira

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Adriano Chagas Alcaide
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3 1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR PAPB PCPD

4 Exemplo: Calcule x na figura a seguir. PAPB PCPD x 10 1 x 3 3 3

5 1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR (CONT.) Sejam dois segmentos de reta PB e PD de origem comum e os pontos A em PB e C em PD tais que PA PB = PC PD então os pontos A, B, C e D são concíclicos.

6 1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR (CONT.) 2 PT PAPB

7 Exemplo: Calcule x na figura a seguir. PC 2 PAPB 2 x 25 x 10

8 1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR (CONT.) 2 2 PAPB d R

9 Exemplo: Seja P um ponto exterior a um círculo de centro O e raio R e tal que OP = R 3. Traça-se por P a secante PAB ao círculo. Se PA = R, então calcule AB em função de R. 2 2 PAPB OP R RR x 2R R R x R 3 R x R

10 2. POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR PAPB PCPD

11 Exemplo: Calcule x na figura a seguir. APBP CPDP 4x 22x x 1 4x 2 4x 8x 0 x2

12 2. POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR (CONT.) Sejam dois segmentos de reta AB e CD que se cruzam em um ponto P tal que PA PB = PC PD, então os pontos A, B, C e D são concíclicos.

13 2. POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR (CONT.) 2 2 PAPB R d

14 Exemplo: Calcule x na figura, onde O é o centro da circunferência. 2 2 PAPB R d x 4 2 x 8 x 2 2

15 3. POTÊNCIA DE PONTO A potência de um ponto P em relação a um círculo de centro O e raio R é dada por O 2 2 Pot P d R P exterior ao círculo d R Pot P 0 O P pertence ao círculo d R Pot P 0 O O P interior aocírculo d R Pot P 0

16 Exemplo: Considerando o círculo da figura de centro O, calcule PotOA PotOB PotOC. O Pot A OA R O Pot B OB R O Pot C OC R Pot A Pot B Pot C O O O

17 4. EIXO RADICAL O lugar geométrico dos pontos cujas potências em relação a dois círculos não concêntricos são iguais é uma reta perpendicular à reta que une os centros dos dois círculos e é chamado eixo radical dos círculos. P e.r. Pot P Pot P O O 1 2 O eixo radical de dois círculos é o lugar geométrico dos pontos dos quais podese traçar tangentes de mesmo comprimento aos dois círculos.

18 4. EIXO RADICAL (CONT.)

19 5. CENTRO RADICAL O lugar geométrico dos pontos de mesma potência em relação a três círculos não concêntricos e cujos centros não são colineares é um único ponto, denominado centro radical dos círculos.

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23 QUESTÃO 4 (CMRJ 2009) Na figura abaixo, temos um círculo de centro O, em que PA = 3 cm e PB = 2 cm. O valor de PQ é: a) 10 cm b) 12 cm c) 13 cm d) 15 cm e) 20 cm

24 RESOLUÇÃO: M AB CD AB CD AM MB 2,5 MP 0,5 PCPJ PAPB 32 6 MPC ~ JPQ A.A.A. PC MP PQ PJ 0,5PQ 6 PQ 12 cm OPÇÃO: B

27 MATEMÁTICA Professor Renato Madeira MÓDULO 12 RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

28 QUESTÃO 5 (EPCAR 2004) Na figura abaixo, T é ponto de tangência, PQ e PS são secantes ao círculo de centro O e MS = 6 cm. Se PN, PM e PT são respectivamente proporcionais a 1, 2 e 3, então a área do círculo vale, em cm 2, a) 51,84 b) 70,56 c) 92,16 d) 104,04

29 RESOLUÇÃO: 2 PT PMPS PM PM MS 2 3k 2k 2k 6 k 0 não convém k 2 PT PNPQ PN PN NQ k kk 2R PN k PN PM PT k PM 2k PT 3k OPÇÃO: C R 4k S 92,16 cm 5 2

32 MATEMÁTICA Professor Renato Madeira MÓDULO 12 RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

33 QUESTÃO 15 (CN 1996) Na figura, AT é tangente ao círculo, TC e BD são as cordas que se interceptam no ponto E. Sabe-se que existe a relação O valor de x é: c d 2ab 4t 4 c d. a) b) c c 2 3 d d c) 2c 4 d d) c 8 2d e) 3c 6 4d

34 RESOLUÇÃO: 2 2 AT AB AD t x c d x TEEC BEED ab c d c d 2ab 4t 4 c d c d 2cd 4x x c d 4 c d 2 4x 4 c d x 3 c d x c d ou x c d OPÇÃO: A x 0 x c 2 d

37 MATEMÁTICA Professor Renato Madeira MÓDULO 12 RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

38 QUESTÃO 18 (CN 2002) Na figura abaixo, o ponto P do menor arco AB dista 6 cm e 10 cm, respectivamente, das tangentes AQ e BQ. A distância, em cm, do ponto P à corda AB é igual a: a) 30 b) 2 15 c)16 d)18 e) 6 10

39 RESOLUÇÃO: ACP ˆ AEP ˆ # ACPE é inscritível AP CEP ˆ CAP ˆ ABP ˆ EDP ˆ 2 BDP ˆ BEP ˆ #BDPE é inscritível BP DEP ˆ DBP ˆ BAP ˆ ECP ˆ 2 PC 6 cm PD 10 cm 2 PE 610 PE 2 15 cm CEP ˆ EDP ˆ e ECP ˆ DEP ˆ CEP ~ EDP PE PC 2 PE PCPD PD PE OPÇÃO: B

42 MATEMÁTICA Professor Renato Madeira MÓDULO 12 RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

43 QUESTÃO (CN 2005) Sejam L1 e L2 duas circunferências fixas de raios diferentes, que se cortam em A e B. P é um ponto variável exterior às circunferências (no mesmo plano). De P traçam-se retas tangentes à L1 e L2, cujos pontos de contato são R e S. Se PR = PS, pode-se afirmar que P, A e B a) estão sempre alinhados. b) estão alinhados somente em duas posições. c) estão alinhados somente em três posições. d) estão alinhados somente em quatro posições. e) nunca estarão alinhados.

44 RESOLUÇÃO: Se PR=PS, então o ponto P tem a mesma potência em relação às circunferências L1 e L2. Logo, P pertence ao eixo radical de L1 e L2, que é uma reta que passa por A e B. Daí, conclui-se que P, A e B estão sempre alinhados. OPÇÃO: A

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