1.Introdução. Dois pontos e uma circunferência: Outra solução por inversão

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1 Dois pontos e uma circunferência: utra solução por inversão STRT: It is proposed a method for solving a tangency problem that can be sumarised in this way: as we have one circumference and two points find circumferences that pass to points and be tangent with the circumference. In a proposed method we join the power point concept and the geometric transformation inversion. We show the classic solution by inversion and the proposed method. The method shown here brings new light on tangency problems and stimulates the inquiries of new solutions for the other cases of pollonius problem. Keywords: Tangency problems, pollonius problem, Inversion. RESUM: Neste artigo apresentamos um método para resolução do problema de se encontrar circunferências que passam por dois pontos e são tangentes a uma circunferência. No método proposto juntamos os dois principais métodos de solução utilizados na resolução deste problema, o conceito de potência de ponto e o uso da transformação geométrica inversão. presentamos a solução clássica por inversão e método proposto seguidos de discussões acerca de sua abrangência. método mostrado aqui traz nova luz sobre problemas de tangência e estimula a investigações de novos métodos de soluções para os outros casos do problema de polônio. Palavras chave: Problemas de tangências, Problema de apolônio, Inversão. 1.Introdução Um dos temas frequentes e interessantes em Desenho Geométrico são problemas de tangências cujo enunciado pode ser resumido no seguinte: dados três elementos geométricos que podem ser individualmente pontos, retas e circunferências, deve-se construir circunferências tangentes aos três elementos. história deste problema tem início no livro IV da obra Elementos de Euclides de lexandria (325 a a..). Nele, o autor mostra como construir uma circunferência que passa por três pontos, bem como, construir uma circunferência tangente a três retas. Posteriormente, polônio de Perga (262 a a..) generalizou este problema para a construção de circunferências tangentes a arranjos de três elementos formados por pontos, retas e circunferências, dando assim origem aos dez casos do problema. obra na qual supostamente foram publicadas as soluções deste problema, Tangências, perdeu-se. s informações que se têm sobre sua existência e autoria são

2 baseadas no trabalho Enciclopédia de Pappus de lexandria (290 a a..). Exceto tentativas de reconstrução por estudiosos árabes, do trabalho Tangências, que se supõem terem sido feitas, o problema de polônio esteve esquecido até o período histórico do Renascimento, quando François Viète ( ) em 1600 publicou o trabalho L pollonius Français (VIÈTE, 1982) que contém soluções para os dez casos do problema. Desde então, vários estudiosos como Rene Descartes ( ), Pierre de Fermat ( ) e Isaac Newton ( ), Frederick Soddy (-) Joseph Diaz Gergonnne ( ) e Jean Victor Poncelet ( ) estudaram este problema, dando cada um deles sua contribuição. Para muitos dos casos do problema são conhecidas várias estratégias de soluções. Por exemplo, para o caso em que são dados dois pontos e uma circunferências são conhecidas dois métodos de solução. solução clássica baseada em potência de ponto que pode ser vista em várias referências, por exemplo em (MRM, 1965). outro método clássico de solução conhecido é baseado na transformação geométrica inversão e pode ser visto na referência (LIDGE, 1916). Neste atigo apresentamos outro método de solução para este problema utilizando inversão em combinação com o conceito de potência de ponto. 2.Inversão Segundo (NGLIN, 1994) a transformação geométrica inversão é baseada em idéias de polônio de Perga (262 a a..). Destas idéias para o que temos hoje muitas contribuições foram dadas. Segundo (SMITH, 2006), a invenção da inversão é atribuída a Jakob Steiner ( ) cujo trabalho sobre o assunto por volta de 1820 apresentou de modo claro esta transformação. primeira descrição da inversão como uma transformação geométrica foi proposta por Julius Plucker ( ) em 1831, enquanto que a primeira teoria foi proposta por ugust Ferdinand Moebius ( ) em Finalmente, a primeira apresentação da inversão por meio de construções com régua e compasso foi feita por Mario Pieri ( ) em Nesta seção, introduzimos conceitos que serão utilizados no trabalho. motivação é mais a de fixar a notação do que apresentar fatos novos. oas referências para o material aqui apresentado são: (XETER H. S. ; GREITZER, 1967), (LTSHILLER-URT, 1952) e (JNHSN, 1960). onstrução 1. Dada uma circunferência (,r) e um ponto P externo à, constróemse os segmentos de reta tangentes pelo ponto P à nos pontos e. ponto obtido pela intersecção do segmento P e, P, é chamado inverso do ponto P. Se o

3 ponto P é interno à mas P 0, constrói-se um segmento perpendicular por P à P que intercepta em pontos e D. ponto P obtido pela intersecção das retas tangentes à nos pontos e D é o inverso de P. P P P a) b) P Figure 1: Inversão de pontos. Em ambos os casos, como ilustrado na figura 1, a relação entre P e P pode ser descrita por semelhança de triângulos. Sejam P e P os triângulos formados no caso em que P é externo a. omo eles são retângulos, P P = 2.omo = r,entãop P = r 2. Sejam os triângulos formados, P e P, no caso em que P é interno a. Eles são retângulos também. Portanto, P P = 2. omo = r,entãop P = r 2. Definição 1. Dada uma circunferência (,r), a transformação geométrica que leva um ponto P ao ponto P como descrito na construção 1 chama-se inversão. Se P, então tome P = P. circunferência é chamada de circunferência de inversão e r 2 de potência de inversão. Se P é o inverso de P, P é o inverso de P.Istoé,(P ) =P. Enquanto P se mantém no interior de, seu inverso está no exterior. Quanto mais próximo P está de, mais próximo seu inverso de. Quando P se aproxima do centro de inversão, P fica cada vez mais distante de. 2.1 Inversões de retas e circunferências inversão de uma circunferência resulta em outra circunferência ou uma reta. Isto depende daposição relativada circunferência a ser invertida, em relação a circunferência de inversão, como ilustram as figuras 2 e 3.

4 Lema 1. figura inversa de uma circunferência que passa pelo centro de inversão éumareta. = t 1 2 s Figure 2: Inversão de uma circunferência: primeiro caso. Prova 1. Seja (1,r 1 ) a circunferência de inversão e (2,r 2 ) a circunferência que passa pelo centro de inversão 1.Seja 1 o ponto onde a reta 1 2 intercepta. Pelo ponto, inverso do ponto, constrói-se uma reta t perpendicular a reta 1 2.Seja 1 o ponto onde uma reta s que passa pelo ponto 1 intercepta a circunferência. Sejao ponto onde a reta s intercepta a reta t. Note que o ponto pode pertencer, ser interno ou externo à circunferência. Se a reta s 1 2, os triângulos formados, 1 e 1, são semelhantes, pois o ângulo 1 é comum aos dois triângulos e os ângulos 1 Â e 1 são retos. Portanto, 1 = 1 1 1, (1) ou seja, 1 1 = r1. 2 Logo, o ponto é o inverso do ponto. Se a reta s = 1 2, o ponto coincide com o ponto. ponto coincide com o ponto. Por isso, o ponto é inverso do ponto. omo descreve a circunferência, exceto = 1, descreve a reta t. Lema 2. figura inversa de uma reta t que não passa pelo centro de inversão é uma circunferência que passa pelo centro de inversão. Prova 2. Seja (1,r 1 ) a circunferência de inversão e t a reta que não passa pelo centro de inversão. Seja o ponto de intersecção de uma reta s, que passa pelo ponto 1 eé

5 perpendicular à reta t. Seja o inverso do ponto. Sejau suma reta por 1 que intercepta a reta t num ponto. Seja o inverso do ponto. Sejaa circunferência que passa pelos pontos, e 1.Sejavuma reta que passa por 1 e intercepta no ponto earetatno ponto D. Se a reta v u, os triângulos formados, 1 e D 1 são semelhantes, pois o ângulo Ô1 é comum aos dois triângulos e os ângulos  1 e D 1 são retos. Portanto, 1 1 D = 1 1, (2) ou seja, 1 D 1 = r1. 2 Logo, o ponto é o inverso do ponto D. Se as retas v = u, o ponto coincide com o ponto e o ponto coincide com o ponto.seasretasv=s, o ponto coincide com o ponto e o ponto coincide com o ponto. omo o ponto descreve a reta t o ponto = D descreve a circunferência, exceto D = 1. Lema 3. figura inversa de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão 1, é uma circunferência que não passa por 1. P 1 P Figure 3: Inversão de uma circunferência: segundo caso. Prova 3. Seja (1,r 1 ) a circunferência de inversão e a circunferência a ser invertida. Sejam e os pontos onde a reta s que passa pelo ponto 1 intercepta. SejaP um ponto de. Sejam, ep os inversos dos pontos, e P. Pela definição de inversão 1 1 = 1 P 1 P. Então,

6 1 1 P = 1P 1. (3) Seja P, P. Sejam os triângulos 1 P e 1 P. Eles são semelhantes pelo critério de semelhança lado-ângulo-lado, pois os lados correspondentes que formam o ângulo P Ô1, que é comum, nos dois triângulos são proporcionais como mostra a expressão 3. Então, sejam 1 ÂP = θ 1 e 1 P = θ2. ângulo θ 1 é igual a soma dos ângulos internos opostos, P e P.omo 1 P = 1 ÂP = θ 1 e 1 P = 1 P = θ2, P = PÂ 1 1 P = θ 1 θ 2 = P. (4) omo os ângulos P e P são iguais, P descreve a circunferência. circunferência não passa por 1 pois pelo lema 1, a inversa da circunferência caso esta passe pelo centro de inversão é uma reta. s inversos de edepertencem à. Para qualquer reta que passa pelo ponto 1 e intercepta a circunferência nos pontos e a potência do ponto 1 é 1 1 = Pot (1,) (5) Seja é o ponto inverso de na circunferência. Pela definição de inversão, 1 1 = r 2 1. (6) divisão da expressão 6 pela expressão 5 resulta: 1 Pot (1,) 1 = r 2 1. (7) Esse resultado mostra que enquanto descreve a circunferência, descreve a circunferência. 2.2 Propriedades da inversão Lema 4. Se uma reta t e uma circunferência são tangentes, suas inversas são tangentes no ponto P inverso do ponto P. Prova 4. Seja (1,r 1 ) a circunferência de inversão. reta t e a circunferência são

7 transformadas em retas ou circunferências. omo apenas o ponto P é comum, as inversas de t e são tangentes no ponto P. 3. Dois pontos e uma circunferência Problema 1. onstruir circunferências que passam pontos e, e são tangentes a uma circunferência (,r1 ). No caso geral deste problema nenhum dos pontos está sobre (,r1 ) ou coincide com o centro de (,r1 ). Na solução clássica por inversão apresentada na referência (LIDGE, 1916), toma-se um dos pontos, ou como centro de inversão - neste caso o ponto e invertem-se o ponto e a circunferência, pois pela definição 1, o inverso do ponto não está definido. inverso do ponto é o ponto, enquanto que o inversa da circunferência é a circunferência como mostra a figura 4. Figure 4: Inversão de e do ponto. Supondo o problema resolvido, as circunferências que são tangentes à e que passam pelos pontos e são transformadas em retas que passam pelo ponto e são tangentes à circunferência. Portanto, invertendo-se o ponto e a circunferência, o problema se reduz à construção das retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto como ilustrado na figura 5.

8 φ E D D E Figure 5: Retas tangentes à que passam por. Seja U o centro da circunferência o qual não é mostrado na figura. s pontos de tangência, D e E, são resultantes da intersecção entre as circunferências e φ cujo diâmetro é U. Sejam D e E as retas tangentes à que passam pelo ponto como mostra a figura 5. Sabemos que invertendo-se de volta todos os elementos inicialmente invertidos, mais as retas D e E, obtém-se circunferências que passam pelo centro de inversão e são as soluções procuradas. Sabemos também que como são possíveis traçar apenas duas retas tangentes pelo ponto à o problema tem duas soluções. omo ilustrado na figura 5, os inversos dos pontos D e E, D e E, são obtidos como resultado das intersecções das retas D e E respectivamente com a circunferência. Sejam δ 1 e δ 2 as circunferências soluções do problema. circunferência δ 1 é formada pelos pontos E, e e a circunferência δ 2 é formada pelos pontos D, e como mostra a figura 6. Se o ponto estiversobre a circunferência e se tomarmos o ponto como centro de inversão o problema se reduz a construção de uma reta tangente a circunferência no ponto.sejauareta tangente à circunferência ponto. omo apenas uma reta é tangente a uma circunferência num ponto, a inversa da reta u, a circunferência u, passa pelo ponto, pois este é o centro de inversão. Por isso, esse caso do problema

9 E D D δ 1 E δ 2 Figure 6: ircunferências δ 1 e δ 2. tem apenas uma solução. Se o ponto estiver sobre a circunferência e se tomarmos o ponto como centro de inversão o problema se reduz a construção de uma reta u paralela à reta e que passa pelo ponto, inverso do ponto. Sejaua reta paralela à que passa pelo ponto. Sua inversa é uma circunferência u que passa pelo centro de inversão, ponto. omo apenas uma reta paralela a uma outra passa por um ponto, esse caso do problema tem apenas uma solução. 3.1 Solução proposta Tomemos como circunferência de inversão. Seja ɛ 1 uma circunferência arbitrária que passapelos pontos e e intercepta a circunferência em pontos e D. SejaM o ponto médio do segmento D,eM seu inverso como mostra a figura 7. Do mesmo modo, seja ɛ 2 outra circunferência arbitrária que passa pelos pontos e e intercepta em pontos E e F.SejaNoponto médio do segmento EF, en seu inverso. Seja M N e reta definida pelos pontos M e N. Seja M N e reta definida pelos pontos M e N. reta M N intercepta a circunferência = em pontos G e H que são os pontos de tangência procurados como

10 M M D E N N ɛ 1 F ɛ 2 Figure 7: ircunferências arbitrárias: ɛ 1 e ɛ 2 mostra a figura 8. M G H N Figure 8: Reta M N : pontos de tangência procurados.

11 3.1.1 Justificativa Seja P o ponto onde as retas D e interceptam-se. Note que se o triângulo for equilátero ou isósceles, ( = ), as retas D e são paralelas. Nesse caso, a reta MN passa pelo centro de. omoé a circunferência de inversão, pelo lema 2, a inversa da reta MN, (MN) é uma reta que coincide com MN e as soluções do problema são triviais usando ou não a inversão. Nos outros casos, o triângulo é escaleno e as retas D e interceptamse no ponto P, que é o centro radical das circunferências que passam por e e interceptam como ilustra a figura 9. Se os pontos de tangências procurados são S e T a expressão PS 2 = PT 2 = P P = P PD resume este parágrafo. P D ɛ 1 Figure 9: btenção do ponto P. Seja φ a circunferência cujo diâmetro é P. omo os pontos, M, N e P formam triângulos retângulos, MP e NP estão inscritos na circunferência φ como ilustra a figura 10. Do mesmo modo, P Ŝ e P T são também triângulos retângulos inscritos na circunferência φ, a qual contém os pontos S, T,M e N. Quando invertemos os pontos M e N, invertemos a circunferência φ. omoφ passa pelo centro de inversão, pelo lema 1, sua inversa é uma reta, reta M N. s pontos onde M N intercepta = são os pontos de tangências procurados, pontos G e H.

12 P φ D ɛ 1 Figure 10: ircunferência φ: triângulos retângulos. 3.1 Discussão Este método de solução pode ser aplicado a qualquer caso do problema, mesmo quando os segmentos =. Neste caso, o ponto P é considerado um ponto imprópio. omo todas as cordas produzidas na circunferência são paralelas entre si, invertendo-se os pontos médios delas obtém-se a mediatriz t do segmento. Essa mediatriz intercepta a circunferência em pontoss I e J que são os pontos de tangências procurados. Se um dos pontos, ou pertencem a circunferência, os inversos dos pontos médios das cordas produzidas na circunferência resultam em uma reta tangente à circunferência =, o que indica que este caso do problema admite apenas uma solução. Se um dos pontos, ou coincidem com o centro circunferência, os inversos dos pontos médios das cordas produzidas na circunferência resultam em uma reta secante à circunferência =, o que indica que este caso do problema admite como no caso geral duas soluções. 4. onclusões Problemas de construções geométricas podem apresentar um ou mais caminhos de solução. Encontrar outras soluções depende de um estudo minucioso das propriedades geométricas envolvidas. Em atividades de ensino, estas possibilidades devem ser apresentadas para o estudante como motivação. Não apenas a apropriação do conhecimento existente mais também a possibilidade de desenvolvê-lo.

13 Referências LTSHILLER-URT, N. ollege Geometry: n introduction to the modern geometry of the triangle and the circle. NewYork,2 a edição: arnes and Noble Inc., (arnes and Noble ollege utline Series). NGLIN, W. S. Mathematics: concise history and philosophy. NewYork: Springer-Verlag, (Undergraduate texts in mathematics. Readings in mathematics). LIDGE, J. L. treatise on the circle and the sphere. xford: laredon Press, XETER H. S. ; GREITZER, S. L. Geometry revisited. Toronto: Randon House, JNHSN, R.. dvanced Euclidian Geometry: n elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle. New York: Dover Publications, Inc., MRM,. urso de Desenho: Métodos I. São Paulo: Gráfica Editora Hamburg, SMITH, J. T.. M. The Legacy of Mario Pieri in Geometry and rithmetic. [S.l.]: Manuscript ( para smith@math.sfsu.edu para accesso - contato em), VIÈTE, F. L apollonius français. In: JEN, P. (Ed.). euvres Mathématiques - Deuxiéme partie:euvres géométriques,trigonométrie,suive de la relation du calendrier véritablement grégorien. [S.l.]: pg , Librairie. lanchard, 1982.