Condições Sucientes para a propriedade da dualidade fraca para o Problema Dual Multiobjetivo de Mond-Weir. 1 Introdução. Luiz L.

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Miguel Filipe Carreiro
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1 Condições Sucientes para a propriedade da dualidade fraca para o Problema Dual Multiobjetivo de Mond-Weir Luiz L. de Salles Neto, Instituto de Ciência e Tecnologia - UNIFESP, , São José dos Campos, SP luiz.leduino@unifesp.br Resumo: Neste trabalho nós apresentamos um conjunto de condições sucientes para a dualidade fraca entre o problema de otimização vetorial com restrições de desigualdade e seu Dual de Mon-Weir, generalizando os resultados encontrados na literatura.. Palavras-chave: Otimização Vetorial, Dual de Mond-Weir, Propriedade da Dualidade Fraca 1 Introdução Nos últimos 30 anos vários trabalhos buscaram caracterizar e relacionar as soluções de um problema de otimização vetorial (POV) com as soluções dos duais associados [6], [1], [10], [2], [11], [3], [12]. Um dos temas de interesse dos pesquisadores da área, por conta das aplicações, é a propriedade da dualidade fraca. De forma geral, se a propriedade da dualidade fraca é válida, uma solução viável do dual fornece um limite inferior para o primal. A propriedade da dualidade fraca para problema de otimização escalar diferenciável foi caracterizado por Martin em [5]. Recentemente Zhang et al. [13] apresentaram condições necessárias e sucentes para dualidade fraca de um problema de otimização escalar não-diferenciável. Nesse trabalho nós consideramos o seguinte problema de otimização vetorial (POV): (POV) Min f(x), s.a : g(x) 0, x S onde S é um conjunto aberto de R n, f = (f 1,..., f p ) : S R n R p e g = (g 1,..., g m ) : S R n R m são diferenciáveis. Para uma precisa denição de uma solução eciente (Pareto-otimal) para o (POV) [9], assumimos as seguintes convenções para igualdades e desigualdades: Se x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, então x = y x i = y i, i = 1,..., n, x < y x i < y i, i = 1,..., n, x y x i y i, i = 1,..., n, x y x i y i, i = 1,..., n, e existe j tal que x j < y j. Similarmente para >,,. Apresentamos a seguir a denição de solução eciente para o (POV). Denição 1 Um ponto viável x é chamado de solução eciente para o (POV) se não existe outro ponto viável x, tal que f(x) f( x). Posteriormente foi introduzido um conceito mais geral, chamado de solução fracamente eciente: 278

$br Resumo: Neste trabalho nós apresentamos um conjunto de condições sucientes para a dualidade fraca entre o problema de otimização vetorial com restrições de desigualdade e seu Dual de Mon-Weir,$

2 Denição 2 Um ponto viável x é chamado de solução fracamente eciente para o (POV) se não existe outro ponto viável x, tal que f(x) < f( x). É fácil ver que qualquer solução eciente também é fracamente eciente. Chamamos X de conjunto viável do problema primal (POV): X = {x S R n, tal que g(x) 0} Denição 3 Chamamos de Problema Dual Multiobjetivo de Mond-Weir associado com o (POV) ao problema formulado como: (DMW) Max f(u), s.a : λ T f(u) + ȳ T g(u) = 0, ȳ T g(u) 0, ȳ 0, λ > 0, λ T e = 1, u S. onde λ e e = (1, 1,..., 1) T R p. Usamos a notação U MW para o conjunto viável do Dual de Mond-Weir. 2 Propriedade da dualidade fraca A denição de invexidade, abaixo, foi introduzido por Hanson [4] como uma generalização do conceito de convexidade: Denição 4 A função vetorial f : S R é chamada de invex se existe uma função vetorial η : R n R n R n tal que x, x S. f(x) f( x) f( x)η(x, x) Martin [5] estabeleceu o conceito de dualidade fracamente invex (WD-invex) e mostrou que essa condição é necessária e suciente para a propriedade da dualidade fraca ser válida em um problema de otimização escalar diferenciável: Denição 5 O problema (P) minimize f(x) para x S R n sujeito g(x) 0, onde f : S R and g : S R são funções diferenciáveis em um conjunto aberto S em R n é dito ser dual fracamente invex (WD-invex) se existe uma função η : S S R n tal que, para x, u S, g(x) 0: Ou f(u)η f(x) f(u) e g(u) + g(u)η(x, u) 0 ou f(u)η < 0 e g(u)η(x, u) 0 Nós generalizamos a denição de um problema WD-invex para o (POV): Denição 6 O (POV) é chamado dual fracamente invex I (WD-invexI) se existe uma função η : R n R n R n e dois conjuntos disjuntos I e J, I J = {1, 2,... p}, tal que x, u S, g(x) 0 uma das seguintes condições acontece: i) f(u)η 0 e g(u)η(x, u) 0. ii) f i (u)η f i (x) f i (u) para todo i I, f j (u)η 0 para todo j J, onde I e g(u)η(x, u)

Chamamos X de conjunto viável do problema primal (POV): X = {x S R n, tal que g(x) 0} Denição 3 Chamamos de Problema Dual Multiobjetivo de Mond-Weir associado com o (POV) ao problema formulado como:

3 iii) f(u)η 0 e g(u) + g(u)η(x, u) 0. iv) f i (u)η f i (x) f i (u) para todo i I, f j (u)η 0 para todo j J, onde I and g(u) + g(u)η(x, u) 0. Osuna et al. [7] demonstraram recentemente o seguinte resultado: Teorema 1 Seja x X and (u, λ, ȳ) U MW. Se f e g são invex com respeito a mesma função vetorial η, então não pode ocorrer: f(x) < f(u). O seguinte resultado generaliza o resultado acima e os demais publicadas na literatura: Teorema 2 (Condições Sucientes para a Dualidade Fraca) Seja x X e (u, λ, y) U MW quaisquer soluções viáveis. Se (POV) é WD-invexI então não pode ocorrer f(x) < f(u). Demonstração: Temos que estudar quatro casos: i) f(u)η 0 e g(u)η(x, u) 0. Seja x e u S. Nesse caso temos f i (u)η(x, u) 0, i = 1,... p, f k (u)η(x, u) < 0 para algum k Z, 1 k p e g(u)η 0, o que implica que não pode ocorrer (λ t f(u)+y t g(u))η = 0, visto que λ > 0 e y 0. Portanto, λ t f(u)+y t g(u) 0. ii) f i (u)η f i (x) f i (u) para todo i I, f j (u)η 0 para todo j J, onde I e g(u)η(x, u) 0. Nesse caso para algum k Z, 1 k p f k (u)η(x, u) (f k (x) f k (u)) 0. Suponha que existam pontos viáveis x X, e (u, λ, ȳ) U MW tal que f(x) < f(u). Então f i (x) f i (u) < 0 para todo i. Temos: Como g(u)η 0, y 0 e λ k > 0: 0 < (f k (x) f k (u)) f k (u)η 0 < (f k (x) f k (u)) f k (u)η y t g(u)η 0 < λ k f k (u)η y t g(u)η Como f i (u)η 0 para todo i k temos: o que é um absurdo. 0 < λ t f(u)η y t g(u)η λ t f(u) + y t g(u) 0 iii) f(u)η 0 e g(u) + g(u)η(x, u) 0. Como y t g(u)η y t g(u) 0, a demonstração é similar ao caso anterior. iv) f i (u)η f i (x) f i (u) para todo i I, f j (u)η 0 para todo j J, onde I e g(u) + g(u)η(x, u) 0. Nesse caso existe k tal que: f k (u)η(x, u) (f k (x) f k (u)) 0. Suponha que existam pontos viáveis x X, e (u, λ, ȳ) U MW tal que f(x) < f(u). Então f i (x) f i (u) < 0 para todo i. Temos: 280

O seguinte resultado generaliza o resultado acima e os demais publicadas na literatura: Teorema 2 (Condições Sucientes para a Dualidade Fraca) Seja x X e (u, λ, y) U MW quaisquer soluções viáveis.

4 Como y t g(u) 0, temos: 0 < (f k (x) f k (u) f k (u)η 0 < (f k (x) f k (u) + y t g(u) f k (u)η y t g(u)η Dado que f i (u)η 0 para todo i k temos: o que é absurdo. 0 < λ t f(u)η y t g(u)η λ t f(u) + y t g(u) 0 3 Conclusão Nesse trabalho nós apresentamos condições sucientes para dualidade fraca para o (POV) considerando o dual de Mond-Weir, generalizando resultados publicados na literatura. Referências [1] G. Bitran, Duality in nonlinear multiple criteria optimization problems, Journ. of Optimization Theory and Applications 35-3 (1981) [2] R.R. Egudo and M.A. Hanson, Duality with Generalized Convexity, J. Austral. Math. Soc. Ser. B 28 (1986) [3] R.R. Egudo, Eciency and generalized convex duality for multiobjective programs. J. Math. Anal. Appl. 138 (1989) [4] M.A. Hanson, On Suciency of Kuhn-Tucker Conditions, J. Math. Anal. Appl. 80 (1981) [5] D.H. Martin, The essence of invexity. Journ. of Optimization Theory and Applications. 47 (1985), [6] B. Mond and T. Weir, Generalized concavity and duality. In: Schaible, S. and Ziemba, W.T. (eds.), Generalized Concavity Optimization and Economics. Academic Press, New York, (1981), [7] R. Osuna-Gomez, B. H. Jimenez, L. L. Salles-Neto, Duality theory for the multiobjective nonlinear programming involving generalized convex functions. In: Manuel Arana-Jimenez, Antonio Ruán-Lizana, Gabriel Ruiz-Garzón. (Org.). Optimality Conditions in Vector Optimization. Bentham, 2010, v. 1, p [8] O.L. Mangasarian, Nonlinear Programming, McGraw Hill Book Company, New York, [9] V. Pareto, Course d'economie politique, Rouge, Lausanne, [10] T. Weir, Proper eciency and duality for vector valued optimization problems. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 43 (1987) [11] T. Weir, A note on invex functions and duality in multiple objective optimization. Opsearch 25 (1988) [12] T. Weir and B. Mond, Generalized convexity and duality in multiobjective programming. Bull. Aust. Math. Soc. 39 (1989),

resultados publicados na literatura. Referências [1] G. Bitran, Duality in nonlinear multiple criteria optimization problems, Journ. of Optimization Theory and Applications 35-3 (1981) 367-401. [2] R.

5 [13] Y. Zhang, Y. Xu and F. Wang, Necessary and sucient conditions for Kuhn-Tucker type optimality and for weak duality of nonsmooth programming. Nonlinear Analysis. 71 (2009),

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