EQUIVALÊNCIA E A MATRIZ COMPANHEIRA P

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1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sudeste de Minas Gerais Campus Rio Pomba Coordenação de Cursos de Pós-Graduação e Pesquisa PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA E INOVAÇÃO TECNOLÓGICA Projeto de Pesquisa EQUIVALÊNCIA E A MATRIZ COMPANHEIRA P Professor Orientador proponente: Marcos Pavani de Carvalho Professora co-orientador: Alex Eduardo Andrade Borges Estudante bolsista: Bruna Silva da Trindade Rio Pomba - MG Julho/2009

2 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO OBJETIVOS Objetivo Geral Objetivos Específicos Justificativa Metodologia Cronograma Orçamento Referências bibliográficas ABREVIATURAS UTILIZADAS IFET Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia CAMFE Coordenação Acadêmica de Matemática, Física e Estatística 1

3 1 INTRODUÇÃO Em cursos avançados em dinâmica, o estudo de formas normais obtidas por mudança de coordenadas é um tópico importante. Na literatura de Teoria do Controle matemático, questões alternativas sobre representação de sistemas têm sempre sido importantes. Entretanto, não sabemos de nenhum texto de equações diferenciais elementares fora a literatura da Teoria do Controle que sistematicamente conduz a questão de transformar um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem em um sistema companheiro de n equações diferenciais de primeira ordem. Sabemos que uma equação diferencial ordinária de ordem n é equivalente via a definição padrão, ao sistema companheiro de n equações diferenciais de primeira ordem. Neste trabalho estudamos a questão da equivalência entre uma equação diferencial ordinária linear de ordem n e um sistema de n equações de primeira ordem. Problemas de controlabilidade completa, observabilidade e estabilização de equilíbrio são considerados. O propósito básico deste trabalho é introduzir um círculo de idéias em Teoria do Controle. O acesso é via a questão da equivalência entre um sistema linear de primeira ordem e uma equação linear de ordem n. A resposta completa para a questão de equivalência introduz conceitos centrais em Teoria do Controle moderno. Obtemos alguns resultados clássicos relacionados à controlabilidade e observabilidade, e também consideramos o relacionamento desses conceitos com outros importantes tópicos em controle, como a estabilização de equilíbrio, e linearização de sistemas não lineares usando mudança de coordenadas e retroalimentação. 2 OBJETIVO 2.1 Objetivos Gerais O objetivo deste trabalho é de formalizar uma condição suficiente e necessária para a equivalência de uma equação diferencial ordinária não homogênea de ordem n e um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem. 2.2 Objetivos Específicos a) Introduzir um círculo de idéias em Teoria do Controle matemático; 2

4 b) Mostrar as vantagens de trabalhar com um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem na forma companhia; c) Analisar condições para controlabilidade completa de um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem. 3 JUSTIFICATIVA O curso de Licenciatura em Matemática do campus Rio Pomba tem como objetivo principal formar um profissional com visão abrangente do papel do educador, capacidade de trabalhar em equipes multidisciplinares utilizando dos conhecimentos matemáticos para a compreensão do mundo também deverá apresentar capacidade de aprendizagem continuada, de aquisição e utilização de novas ideias e tecnologias, criação e adaptação de métodos pedagógicos ao seu ambiente de trabalho para poder despertar o hábito de estudo independente e criatividade dos alunos. Mas não deixando passar em branco o aluno que demonstra potencial, interesse em seguir seus estudos na aquisição de novas idéias e tecnologias, de comunicar-se matematicamente e de compreender matemática, de estabelecer relações entre a mesma e outras áreas do conhecimento sempre com clareza, precisão e objetividade. Com esse intuito o presente trabalho visa através da equivalência de uma equação diferencial ordinária de ordem n e um sistema companheiro de n equações diferenciais de primeira ordem via a definição padrão introduzir um circulo de idéias em Teoria do Controle, na tentativa de uma equivalência de uma equação diferencial ordinária de ordem n com um sistema que não esteja necessariamente na forma da matriz companheira fazendo o uso de ferramentas básicas em matemática pura tais como Álgebra Linear e Equações Diferenciais. 3 METODOLOGIA Serão consultadas nesta pesquisa as literaturas citadas na bibliografia, literaturas complementares tais como periódicos, anais de congressos e dissertações e teses depositadas em bases da CAPES e CNPq, versando temas afins à pesquisa em questão. Apresentação de seminários ministrados pela orientanda fará parte das ações 3

5 metodológicas, juntamente com reuniões semanais na CAMFE Coordenação Acadêmica de Matemática, Física e Estatística visando o esclarecimento de dúvidas e orientações. 4 CRONOGRAMA Atividades Estudo pré-requisitos (Álgebra linear e Equações Diferenciais) Período Agosto a outubro de 2009 Tradução (artigo) e trabalhar a questão da equivalência Outubro a dezembro de 2009 Equivalência/Controlabilidade Dezembro a fevereiro de 2010 Redação da versão preliminar Fevereiro a março de 2010 Redação final Abril a maio de 2010 Reserva de Tempo Junho a julho de 2010 Quadro 1: cronograma de execução do projeto 5 ORCAMENTO 5.1 Materiais de consumo ITEM UNIDADE Quant. Valor Valor total Unit (R$) (R$) Cópia xérox unidade ,10 100,00 Subtotal 100,00 QUADRO 2: orçamento material de consumo para a execução do projeto de pesquisa. 5.2 Pessoal ITEM UNIDADE Quant. Valor Mensal (R$) Valor total Bolsa para o aluno participante unidade 1 300, ,00 QUADRO 3: orçamento de pessoal para a execução do projeto de pesquisa. 1.3 Orçamento Total (R$) Subtotal 3.600,00 4

6 ITEM Valor total (R$) Bolsa para o Aluno Participante 3.600,00 Cópia xérox 100,00 VALOR TOTAL 3.700,00 QUADRO 4: resumo total do orçamento para a execução do projeto de pesquisa. 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Burghes, D.; Graham, A. Control and Options Control Theories with Applications: Horwood, Coelho, F. U.; Lourenço M. L. Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, Figueiredo, D. G.; Neves, A. F. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio de Janeiro: IMPA, Horn, R. A.; Johnson, C. R. Matriz Analysis. New York: Cambridge University Press, Lima, E. L. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, Monteiro, L. H. A. Sistemas Dinâmicos. São Paulo: Livraria da Física Nering, E. D. Linear Álgebra and Matriz Theory. New York: John Wiley, Terrel, W. J. Some Fundamental Control Theory I: Controllability, Observability, and Duality. American Mathematical Monthy, v.106, n.8, p , Wonham. W. M. Linear Multivariable Control. Third Edition, Springer-Verlag,