Códigos NMDS sob a Métrica Poset
|
|
- Luiz Henrique Palma Jardim
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Códigos NMDS sob a Métrica Poset Luiz Henrique de Almeida P. Couto, Allan de Oliveira Moura, Departamento de Matemática - Universidade Federal de Viçosa, MG 36570, Viçosa - MG luiz.almeida@ufv.br Resumo: Neste trabalho abordaremos alguns resultados da teoria dos Códigos Corretores de Erros clássica e também dos códigos sobre ordens parciais. Um código corretor de erros é, basicamente, um modo organizado de acrescentar algum dado adicional a cada informação que se queira transmitir ou armazenar e que permita, ao recuperar a informação, detectar e corrigir os erros no processo de transmissão da informação. É um resultado conhecido da teoria clássica que a eficiência da detecção e correção está intimamente ligada à distância mínima do código, conforme definida por Hamming. Os códigos em que a distância mínima é a maior possível são denominados Códigos MDS e foram alvo de muitos estudos na teoria de códigos. Nesse trabalho, definimos os códigos corretores lineares sobre uma ordem parcial e fazemos um breve estudo da família dos códigos near-mds (NMDS) que, embora obtidos pelo enfraquecimento das restrições dos clássicos códigos MDS, ainda preservam algumas das propriedades destes. Palavras-chave: Códigos Corretores, Métricas Poset, Códigos NMDS 1 Introdução A Teoria dos Códigos Corretores de erros foi fundamentada pelo matemático C.E. Shannon, do Laboratório Bell, no trabalho A mathematical theory of communication, de A teoria continuou a ser desenvolvida por matemáticos nas décadas de 50 e 60 mas, com o advento das pesquisas espaciais e a popularização dos computadores, a partir da década de 70, a teoria também começou a interessar aos engenheiros. Atualmente, a utilidade dos códigos corretores apresenta-se sempre que fazemos uso de informações digitalizadas, como assistir programas de televisão, falar ao telefone, navegar pela internet, fazer compras, dentre outras atividades. Um dos objetivos principais da teoria baseiase na transmissão e armazenamento de dados de forma eficiente, garantindo a confiabilidade destes. No entanto, é um resultado conhecido da teoria clássica que a eficiência da detecção e correção está intimamente ligada à distância mínima do código, conforme definida por Hamming [5]. Com esse objetivo, surge o problema clássico da teoria, que consiste em encontrar a distância mínima conforme a métrica estabelecida por Hamming [8]. Códigos MDS são definidos como os códigos em que a distância mínima é a máxima possível. Porém, o comprimento destes não pode ser muito grande [2]. Esta restrição levou ao estudo de classes de códigos com distâncias mínimas próximas a dos códigos MDS e que, por isto, preservam muitas das propriedades estruturais associadas a estes. Estudos mais avançados possibilitaram uma generalização do problema clássico por Niederreider [9], a partir da definição de uma nova classe de métricas. Essas métricas foram, posteriormente, esquematizadas em um modelo geral baseado em uma métrica ponderada por uma ordem parcial. Nesse trabalho, definimos os códigos corretores lineares sob a métrica ponderada e fazemos um breve estudo da família dos códigos near-mds (NMDS), obtidos pelo enfraquecimento das restrições dos clássicos códigos MDS. Vale ressaltar que este trabalho é parte de uma dissertação de mestrado, que se encontra em andamento. 223
2 2 Conceitos e Resultados Preliminares Sejam A um conjunto finito e n N. Um código corretor de erros é um subconjunto próprio C A n. Para nosso estudo, o conjunto finito A será denominado alfabeto e, se A = q, o código C A n será denominado código q-ário. Os elementos de C são sequências finitas dos símbolos do alfabeto, denominadas palavras do código e o número de letras de uma palavra é denominado comprimento da palavra, e corresponde ao número n. Por fim, A = F q denotará um corpo finito com q elementos. Dados dois elementos x = x 1 x 2... x n e y = y 1 y 2... y n de um espaço A n, chama-se distância de Hamming de x a y ao número de coordenadas em que estes elementos diferem, isto é, d(x, y) = {i; x i y i, 1 i n}. Dado um código C A n chama-se distância mínima de C ao número d = min{d(x, y); x, y C, x y}. A distância de Hamming acima definida define uma métrica [5]. No espaço métrico ( F n q, d ), define-se a bola de raio r e centro em x como B(x, r) = {y F n q ; d(x, y) r} e o raio de empacotamento de um código C como o maior número real κ tal que as bolas de raio κ e centro nas palavras do código são disjuntas, um código com distância mínima d pode detectar até d 1 erros e corrigir até κ = d 1 2 erros [5]. Em geral, se não colocarmos uma boa estrutura no código, sua utilidade é um pouco limitada. A estrutura utilizada mais comum é a linearidade. Um código linear é um subespaço vetorial próprio de F n q. Dado x F n q, o peso da palavra x é o número inteiro ω(x) = {i; x i 0} = d(x, 0) e o peso de um código linear C é o inteiro ω(c) = min{ω(x); x C\{0}}. Seja C F n q um código linear. Chamamos de parâmetros do código C a terna de inteiros (n, k, d), onde k é a dimensão de C sob F q e d é a distância mínima de C. Seja β = {v 1, v 2,, v k } uma base ordenada de C e considere a matriz G de ordem k n dada por G = A matriz G é chamada matriz geradora do código C associada à base β. A matriz geradora G gera uma transformação linear definida por v 1. v k. T : F k q F n q x x G cuja imagem Im(T ) é o código C. Seja C um código linear. Definimos o dual de C como C = {v F n q ; v, u = 0, u C}. Pode-se provar que se C um (n, k) código linear então: C é um subespaço vetorial de F n q (ou seja, também é um código), x C Gx t = 0 e dim ( C ) = n k. Ainda sobre os códigos duais, se C um (n, k) código linear com matriz geradora G, então uma matriz H de ordem (n k) k com coeficientes em F q e com linhas linearmente independentes é uma matriz geradora de C se, e somente se, G H t = 0. com isso, obtemos ( C ) = C. Um outro importante resultado, pelo qual H também é chamada matriz teste de paridade do código C é o seguinte: Teorema 2.1 [5] Se C um código linear e se H é uma matriz geradora de C, então v C Hv t = 0. Uma caracterização para a distância mínima, que generalizaremos posteriormente nos diz que: Teorema 2.2 [5] Se H é a matriz teste de paridade de um código C, então o peso de C é igual a s se, e somente se, quaisquer s 1 colunas de H são linearmente independentes e existem s colunas de H linearmente dependentes. 224
3 Como corolário dessa caracterização, temos a conhecida Cota de Singleton, que afirma que os parâmetros (n, k, d) de um código satisfazem à desiguadade d n k + 1. Quando a distância mínima de um código atinge a Cota de Singleton, dizemos que este código é MDS. Já o conceito de métricas ponderadas por ordens parciais (poset metrics, em inglês) foi iniciado por Niederreider [9] e, posteriormente, generalizado por Brualdi, Graves e Lawrence [3]. Nos últimos anos, muitos trabalhos têm aprofundado o conhecimento sobre esses espaços para alguns casos particulares de conjuntos parcialmente ordenados, tais como as ordens coroa [6, 1], hierárquico (ordem fraca) [7] e Rosenbloom-Tsfasman [11, 4]. Se X é um conjunto, o par ordenado (X, ) é denominado conjunto parcialmente ordenado (ou poset) se é uma ordem parcial sobre X. Se a b ou b a dizemos que a e b são comparáveis. Caso contrário, eles são ditos incomparáveis. Um poset (X, ) no qual quaisquer dois elementos são comparáveis é dito totalmente ordenado ou poset linear (ou cadeia). Um poset é dito antilinear (ou anticadeia) se quaisquer dois elementos são incomparáveis. Se X é finito, então dizemos que o poset é finito e a cardinalidade do conjunto X é chamada de comprimento do poset. Seja P = (N, ). Um ideal I N alinhado à esquerda desse poset é um subconjunto I N tal que j I e i j i I. O poset dual P é o conjunto N com o mesmo conjunto de cadeias de P, mas com a ordem invertida, isto é, j i em P i j em P. Escrevemos S P para nos referirmos ao subconjunto S N cujos elementos são ordenados de acordo com P. Para um subconjunto S P denotaremos por S = S P o menor P -ideal contendo o conjunto S. O suporte de um elemento x é o subconjunto supp(x) N formado pelos índices de todas as entradas não nulas de x. O conjunto supp(x) P será chamado suporte alinhado à esquerda de x. Seja P um poset definido em N e sejam x, y, F N q. Definiremos o peso de x com respeiro a P é ω(x) = supp(x), a distância entre x e y é definida como d P (x, y) = ω(x y) = supp(x y) e um código C de distância mínima d é um subconjunto próprio de F n q tal que para quaisquer vetores distintos x e y de C temos d P (x, y) d [3]. Se P é um poset sobre N, então a distância d P (x, y) = ω(x y) é uma métrica em F n q [3]. Um código linear C F n q com a métrica definida pela distância d P é denominado código poset. Uma motivação para o estudo dessa nova classe de códigos é que as métricas definidas sobre conjuntos parcialmente ordenados generalizam a métrica de Hamming: Observação 2.3 A métrica de Hamming é um caso particular de uma métrica poset, pois pode ser definida pela ordem parcial P que possui apenas uma anticadeia de tamanho n = N. No entanto, o raio de empacotamento de códigos poset lineares difere daquele obtido na métrica de Hamming clássica: Observação 2.4 Se C é um código poset linear, constituído por uma única cadeia e com distância mínima d, então o raio de empacotamento de C é κ = d 1. Em códigos ponderados por ordens parciais, também temos a definição do dual, definida da mesma forma anterior. No entanto, vale ressaltar que os pesos no dual C são considerados aqui de acordo com o poset dual P. Seja D um subespaço de F n q. Definimos supp(d) = supp(x) e o t-ésimo peso poset generalizado de um (n, k) código linear C como x D d t (C) = min { supp(d) ; D é um (n, t) subcódigo de C }, conforme visto em [12]. Cabe observar que d 1 (C) = d, onde d é a distância mínima de C. O conjunto {d r (C); 1 r k)} é chamado Hierarquia de P -pesos de C. 225
4 Os seguintes resultados sobre os pesos da hierarquia serão utilizados fortemente na caracterização dos códigos NMDS: Lema 2.5 [2][Lema da Monotocidade da Hierarquia dos pesos Generalizados] Seja C um (n, k) código poset linear em F n q. Então 0 < d 1 (C) < d 2 (C) <... < d k (C) n. Lema 2.6 [2][Limitante de Singleton Generalizado] Seja C um (n, k) código poset linear em F n q. Então d t (C) n dim(c) + t, t 1. Teorema 2.7 [2][Dualidade de Wei] Seja C um (n, k) código poset linear em F n q código dual. Considerando a hierarquia de pesos de C e o conjunto X = {d 1 (C), d 2 (C),..., d k (C)} Y = {n + 1 d 1 (C ), n + 1 d 2 (C ),..., n + 1 d n k (C )}, então X e Y são disjuntos e X Y = {1, 2,..., n}. O seguinte resultado é uma generalização do Teorema 2.2: e C o seu Teorema 2.8 [2] Seja C um (n, k) código poset linear em F n q e seja H a matriz teste de paridade de C. Então d t (C) = δ se, e somente se (a) Quaisquer δ 1 colunas alinhadas à esquerda de H têm posto no mínimo δ t; (b) Existem δ colunas alinhadas à esquerda de H com posto exatamente δ t. 3 Códigos NMDS e caracterizações Um (n, k, d) código linear C é chamado near-mds (NMDS) se d(c) = n k e d 2 (C) = n k + 2, isto é, o primeiro peso poset generalizado de C é uma unidade a menos que o limitante de Singleton e todos os outros pesos atingem o limitante. Nosso objetivo será fornecer caracterizações alternativas a esta definição de códigos NMDS. A primeira delas nos fornece uma caracterização em termos da matriz de paridade do código: Teorema 3.1 [2] Seja C F n q um (n, k, d) código linear no poset P. C é NMDS se e somente se (a) Quaisquer n k 1 colunas alinhadas à esquerda da matriz de paridade H são linearmente independentes; (b) Existem n k colunas de H alinhadas à esquerda linearmente dependentes; (c) Quaisquer n k + 1 colunas de H alinhadas à esquerda têm posto máximo. Além disso, um resultado conhecido para códigos MDS com a métrica poset [8] ainda continua válido para códigos NMDS sob esta métrica: Lema 3.2 [2] Seja C F n q um (n, k, d) código linear no poset P. Se C é NMDS, seu dual C também o é. Este lema nos ajuda em outra caracterização dos códigos NMDS. Teorema 3.3 [2] Seja C F n q um (n, k, d) código linear no poset P. C é NMDS se, e somente se, d(c) + d(c ) = n. Por fim, usando os três resultados anteriores, obtemos o seguinte teorema de existência: Corolário 3.4 [2] Seja C F n q um (n, k, d) código linear no poset P. Se C é NMDS então existe um código NMDS com parâmetros (n 1, k 1, d). 226
5 4 Considerações finais Os últimos teoremas nos fornecem caracterizações que nos ajudam a entender melhor a estrutura dos códigos NMDS e compará-los com os MDS. Como perspectivas futuras, utilizaremos estes resultados para estabelecer mais relações entre os códigos NMDS e MDS, mais precisamente quanto a discrepância MDS. Referências [1] J. Ahn, H. K. Kim, J. S. Kim, M. Kim, Classification of perfect linear codes with crown poset structure, Discrete Math, 268 (2003), no. 1-3, pp [2] A. Barg, P. Purkayastha, Near MDS Poset Codes and Distributions, Error-Correcting Codes, Finite Geometries, and Cryptography, AMS Series: Contemporary Mathematics, 523 (2010), pp [3] R. A. Brualdi, J. S. Graves, K. M. Lawrence, Codes with a poset metric, Discrete Math, 147 (1995), no. 1-3, pp [4] S. T. Dougherty, M.M. Skriganov, Maximum distance separable codes in the ρ metric over arbitrary alphabets, J. Algebraic Combin., 16 (2002), no. 1, pp [5] A. Hefez, M. L. T. Villela, Códigos Corretores de Erros, 2 a Edição, Rio de Janeiro, IMPA, [6] D. S. Kim, S. H. Cho, Wheight distribution of the crown-wheight space, European J. Combin, 28 (2007), no 1, pp [7] D. S. Kim, D. Y. Oh, A classification of posets admitting the MacWilliams identity, IEEE Trans. Inform. Theory, 51 (2005), no 4, pp [8] A. O. Moura, Dualidade em Espaços Poset, Tese de doutorado, IMECC-Unicamp, [9] H. Niederreiter, A combinatorial problem for vector spaces over finite fields, Discrete Math 96 (1991) no 3, pp [10] J. Neggers, H. S. Kim, Basic Posets, 1 a Edição, World Scientific, [11] L. Panek, M. Firer, M. M. S. Alves, Symmetry gropus of Rosenbloom-Tsfasman spaces, Discrete Math 309 (2009) no 4, pp [12] V. Wei, Generalized Hamming wheights for linear codes, IEEE Trans. Infor. Theory 37 (1991), no. 5,
A Minimalidade IP -MDS e a Identidade de Minimalidades IP -MDS para códigos lineares com a métrica poset.
Trabalho apresentado no XXXV CNMAC, Natal-RN, 2014. A Minimalidade IP -MDS e a Identidade de Minimalidades IP -MDS para códigos lineares com a métrica poset. Me. Marcelo Augusto Leocádio Associação Educacional
Leia maisCodificação de Canal
Laboratório de Processamento de Sinais Laboratório de Sistemas Embarcados Universidade Federal do Pará 26 de janeiro de 2012 Sumário 1 Introdução a 2 Códigos de Blocos Lineares 3 Códigos Cíclicos Introdução
Leia maisVanessa Juliana da Costa Maringá PR, Brasil
Decodificação para Códigos Lineares Vanessa Juliana da Costa Maringá PR, Brasil Abstract In this work we present a decoding algorithm for linear codes. We introduce basic properties of linear codes such
Leia maisDisciplina: Introdução à Álgebra Linear
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa
Leia mais1 Base de um Espaço Vetorial
Disciplina: Anéis e Corpos Professor: Fernando Torres Membros do grupo: Blas Melendez Caraballo (ra143857), Leonardo Soriani Alves (ra115465), Osmar Rogério Reis Severiano (ra134333) Ramon Códamo Braga
Leia maisA ideia de coordenatização (2/2)
8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-1 Instituto Superior Técnico 2010/11 1 o semestre Álgebra Linear 1 o ano das Lics. em Engenharia Informática e de Computadores A ideia de coordenatização
Leia maisUM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA
UM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA PERCOLAÇÃO Hemílio Fernandes Campos Coêlho Andrei Toom PIBIC-UFPE-CNPq A percolação é uma parte importante da teoria da probabilidade moderna que tem atraído muita atenção
Leia maisDef. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC,
ESPAÇO VETORIAL Def. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC, + é a operação (função) soma + : V V V, que a cada par (u, v) V V, associa um único elemento de V, denotado
Leia maisProf. Márcio Nascimento. 22 de julho de 2015
Núcleo e Imagem Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Linear
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I
1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 013/I 1 Sejam u = ( 4 3) v = ( 5) e w = (a b) Encontre a e b tais
Leia maisLista 1 para a P2. Operações com subespaços
Lista 1 para a P2 Observação 1: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós sugerimos
Leia maisCódigos Reed-Solomon CAPÍTULO 9
CAPÍTULO 9 Códigos Reed-Solomon Um dos problemas na Teoria de Códigos é determinar a distância mínima de um dado código. Tratando-se de códigos cíclicos, por vezes conseguimos controlar a distância mínima
Leia maisÁlgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013
Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante
Leia maisCódigos Lineares CAPÍTULO 4
CAPÍTULO 4 Códigos Lineares 1. Definição, pârametros e peso mínimo Seja F q o corpo de ordem q. Portanto, pelo Teorema 3.24, q = p m para algum primo p e inteiro positivo m. Definição 4.1. Um código linear
Leia maisa 1 x 1 +... + a n x n = b,
Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição
Leia maisExpansão linear e geradores
Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 4 Expansão linear e geradores Se u ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u ; u ; :::;
Leia maisatravés do reticulado hexagonal
Anais do CNMAC v.2 ISSN 1984-820X Construção de códigos esféricos através do reticulado hexagonal Carina Alves UFU - Faculdade de Matemática Campus Santa Mônica 38408-100, Uberlândia, MG E-mail: carina
Leia maisEspaços não reversíveis
{Nome da seção} Notas de aula Espaços não reversíveis Fernando Lucatelli Nunes UnB-UC/UP 1 Se X e Y são espaços topológicos quaisquer, o gráfico de uma função f : X Y é o conjunto G( f )={(x, f (x)) :
Leia maisBreve introdução à Teoria dos Códigos Corretores de Erros
Breve introdução à Teoria dos Códigos Corretores de Erros César Polcino Milies Instituto de Matemática e Estatística Universidade de Saõ Paulo Caixa Postal 66.281, CEP 05311-970 São Paulo, SP - Brasil
Leia maisficha 3 espaços lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo
Leia maisCAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR
INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são
Leia maisO Teorema da Função Inversa e da Função Implícita
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit O Teorema da Função Inversa
Leia maisExercícios Teóricos Resolvidos
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar
Leia maisO ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2
3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata
Leia maisÅaxwell Mariano de Barros
ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÅ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹¼ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ¾¼½½ ËÓÄÙ ¹ÅA ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Bases.........................................
Leia maisMÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBBILIDDE Quando estudamos algum fenômeno através do método estatístico, na maior parte das vezes é preciso estabelecer uma distinção entre o modelo matemático que construímos para
Leia maisDois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ
Probabilidade Vimos anteriormente como caracterizar uma massa de dados, como o objetivo de organizar e resumir informações. Agora, apresentamos a teoria matemática que dá base teórica para o desenvolvimento
Leia maisCapítulo 5: Transformações Lineares
5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................
Leia maisESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO
ESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO Angelo Fernando Fiori 1 Bruna Larissa Cecco 2 Grazielli Vassoler 3 Resumo: O presente trabalho apresenta um estudo sobre os espaços vetoriais munidos de produto interno.
Leia maisExercícios Adicionais
Exercícios Adicionais Observação: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós recomendamos
Leia maisCombinatória e Teoria de Códigos
Notas de Combinatória e Teoria de Códigos (2011, revistas e aumentadas em 2013) Joana Ventura ÍNDICE CAPÍTULO 1. Introdução 1 1. Primeiros exemplos e definições 1 2. Canal de transmissão 3 3. Descodificação
Leia maisDepartamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Leia maisContagem. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho. Matemática Discreta. Fundamentos Inclusão/Exclusão Princípio da Casa dos Pombos Permutações Combinações
Contagem Prof. Dr. Leandro Balby Marinho Matemática Discreta Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 1 / 39 UFCG CEEI Motivação Contagem e combinatória são partes importantes da matemática discreta. Se resumem
Leia maisO Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48
Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações com Repetições Combinações com Repetições O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos > Princípios de Contagem e Enumeração
Leia maisSó Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES
FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
Leia mais6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D
6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também
Leia mais4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r
94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,
Leia mais1. O conjunto dos polinômios de grau m, com 2 m 5, acrescido do polinômio nulo, é um subespaço do espaço P 5.
UFPB/PRAI/CCT/DME - CAMPUS II DISCIPLINA: Álgebra Linear ALUNO (A): 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS 1 a PARTE: QUESTÕES TIPO VERDADEIRO OU FALSO COM JUSTI- FICATIVA. 1. O conjunto dos polinômios de grau m com
Leia maisAula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)
ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008 Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado
Leia maisResíduos Quadráticos e Fatoração: uma aplicação à criptoanálise do RSA
Resíduos Quadráticos e Fatoração: uma aplicação à criptoanálise do RSA Charles F. de Barros 20 de novembro de 2008 Resumo Faremos uma breve introdução ao conceito de resíduos quadráticos, descrevendo em
Leia maisIvan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:
Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto
Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum
Leia maisFUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos
Leia maisMÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA
1 MÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Profa. Marcia Mahon Grupo de Pesquisas em Comunicações - CODEC Departamento de Eletrônica e Sistemas - UFPE Outubro 2003 2 CONTEÚDO 1 - Introdução
Leia maisx0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?
Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões
Leia maisProblemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias
Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados
Leia maisDomínio, Contradomínio e Imagem
Domínio, Contradomínio e Imagem (domínio, contradomínio e imagem de função) Seja f : X Y uma função. Dizemos que: f (X) X Y X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y B; y = f (x) para algum x X} é a imagem,
Leia maisIdentidades de MacWilliams para códigos poset
Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics Vol. 2 N. 1 2014. Trabalho apresentado no CMAC-Sul Curitiba-PR 2014. Identidades de MacWilliams para códigos poset Marcelo
Leia maisTEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos
1 MATERIAL DE APOIO MATEMÁTICA Turmas 1º AS e 1º PD Profº Carlos Roberto da Silva A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar
Leia maisFACULDADE CAMPO LIMPO PAULISTA MESTRADO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO. Projeto e Análise de Algoritmos II Lista de Exercícios 2
FACULDADE CAMPO LIMPO PAULISTA MESTRADO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Projeto e Análise de Algoritmos II Lista de Exercícios 2 Prof. Osvaldo. 1. Desenvolva algoritmos para as operações abaixo e calcule a complexidade
Leia maisCapítulo 5: Aplicações da Derivada
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f
Leia maisDadas a base e a altura de um triangulo, determinar sua área.
Disciplina Lógica de Programação Visual Ana Rita Dutra dos Santos Especialista em Novas Tecnologias aplicadas a Educação Mestranda em Informática aplicada a Educação ana.santos@qi.edu.br Conceitos Preliminares
Leia maisO MÉTODO HÚNGARO PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
O MÉTODO HÚNGARO PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO João Cesar Guirado Universidade Estadual de Maringá E-mail: jcguirado@gmail.com Márcio Roberto da Rocha Universidade Estadual de Maringá E-mail:
Leia maisBases Matemáticas. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. v. 2013-7-31 1/15
Bases Matemáticas Aula 2 Métodos de Demonstração Rodrigo Hausen v. 2013-7-31 1/15 Como o Conhecimento Matemático é Organizado Definições Definição: um enunciado que descreve o significado de um termo.
Leia maisResolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul
Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova
Leia maisAula 04. Código BCD, Códigos Alfa-numéricos e Sistemas de Detecção de Erros
Aula 04 Código BCD, Códigos Alfa-numéricos e Sistemas de Detecção de Erros Prof. Otávio Gomes otavio.gomes@ifmg.edu.br sites.google.com/a/ifmg.edu.br/otavio-gomes/ 1 Bytes A maioria dos microcomputadores
Leia maisAPLICAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS
http://hermes.ucs.br/ccet/deme/emsoares/inipes/complexos/ APLICAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS Silvia Carla Menti Propicio Universidade de Caxias do Sul Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de
Leia maisNotas de Cálculo Numérico
Notas de Cálculo Numérico Túlio Carvalho 6 de novembro de 2002 2 Cálculo Numérico Capítulo 1 Elementos sobre erros numéricos Neste primeiro capítulo, vamos falar de uma limitação importante do cálculo
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =
Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo
Leia maisRecordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I.
Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas Detalhes sobre a Secção.3 dos Apontamentos das Aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: LMAC, MEBiom e MEFT (semestre, 0/0, Prof. Paulo Pinto) Recordamos
Leia mais6.3 Equivalência entre Autômatos com Pilha Não-Determinísticos e Gramáticas Livre do Contexto
Capítulo 6. Autômatos com Pilha 6.3 Equivalência entre Autômatos com Pilha Não-Determinísticos e Gramáticas Livre do Contexto Nos exemplos da seção anterior, vimos que os autômatos com pilha existem para
Leia maisCálculo das Probabilidades e Estatística I
Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Introdução a Probabilidade Existem dois tipos
Leia maisVetores. Definição geométrica de vetores
Vetores Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, olume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma ez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são
Leia maisNOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
ESPAÇO VETORIAL REAL NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u, v V, u+v V e α R, u V, αu V
Leia maisResolução de sistemas lineares
Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)
Leia maisMaterial Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas. Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória Segundo Ano do Ensino Médio Prof Cícero Thiago Bernardino Magalhães Prof Antonio Caminha Muniz
Leia mais2.2 Subespaços Vetoriais
32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:
Leia mais1 Propriedades das Funções Contínuas 2
Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES
Leia maisPOTENCIAL ELÉTRICO. por unidade de carga
POTENCIAL ELÉTRICO A lei de Newton da Gravitação e a lei de Coulomb da eletrostática são matematicamente idênticas, então os aspectos gerais discutidos para a força gravitacional podem ser aplicadas para
Leia maisAula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente
MÓDULO 1 AULA 9 Aula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente Objetivos Aprender o conceito de plano tangente ao gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis. Conhecer a notação clássica para
Leia maisMA14 - Aritmética Unidade 4. Representação dos Números Inteiros (Sistemas de Numeração)
MA14 - Aritmética Unidade 4 Representação dos Números Inteiros (Sistemas de Numeração) Abramo Hefez PROFMAT - SBM Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo
Leia maisExercícios resolvidos P2
Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte
Leia maisESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA. [x] := {y X t.q. x y}.
ESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA 1. Relações de equivalência Seja uma relação de equivalência sobre um conjunto X, isto é, uma rel ção binária que satisfaz as seguintes propriedades i. (Prop. Reflexiva.)
Leia maisCálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante
Cálculo Numérico Aula : Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Computação Numérica - O que é Cálculo Numérico? Cálculo numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos
Leia maisPrincípio das casas de pombo
Princípio das casas de pombo Márcia R. Cerioli IM e COPPE, UFRJ Renata de Freitas IME, UFF Petrucio Viana IME, UFF Maio de 2014 1 Introdução Neste texto, apresentamos e exemplificamos o Princípio das Casas
Leia maisTRANSFORMAÇÕES LINEARES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga
TRANSFORMAÇÕES LINEARES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga INTRODUÇÃO Estudaremos um tipo especial de função, onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto
Leia maisUtilização do SOLVER do EXCEL
Utilização do SOLVER do EXCEL 1 Utilização do SOLVER do EXCEL José Fernando Oliveira DEEC FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO MAIO 1998 Para ilustrar a utilização do Solver na resolução de
Leia maisENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO BANCO DE DADOS I CONTEÚDO 5 ABORDAGEM RELACIONAL
ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO BANCO DE DADOS I CONTEÚDO 5 ABORDAGEM RELACIONAL PROF. MS C. RICARDO ANTONELLO WWW.ANTONELLO.COM.B R PORQUE SER RELACIONAL? Hoje, há um claro predomínio dos SGBD relacionais, principalmente
Leia maisDiagrama de transição de Estados (DTE)
Diagrama de transição de Estados (DTE) O DTE é uma ferramenta de modelação poderosa para descrever o comportamento do sistema dependente do tempo. A necessidade de uma ferramenta deste tipo surgiu das
Leia maispor séries de potências
Seção 23: Resolução de equações diferenciais por séries de potências Até este ponto, quando resolvemos equações diferenciais ordinárias, nosso objetivo foi sempre encontrar as soluções expressas por meio
Leia maisSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO DIRETORIA DE TECNOLOGIA EDUCACIONAL PORTAL DIA A DIA EDUCAÇÃO Natel Marcos Ferreira
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO DIRETORIA DE TECNOLOGIA EDUCACIONAL PORTAL DIA A DIA EDUCAÇÃO Natel Marcos Ferreira Movimento 1. Nível de ensino: Ensino Médio 2. Conteúdo
Leia maisFUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da
FUNÇÃO COMO CONJUNTO Definição 4.4 Seja f uma relação de A em B, dizemos que f é uma função de A em B se as duas condições a seguir forem satisfeitas: i) D(f) = A, ou seja, o domínio de f é o conjunto
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares
Leia maisCAPÍTULO 2. Grafos e Redes
CAPÍTULO 2 1. Introdução Um grafo é uma representação visual de um determinado conjunto de dados e da ligação existente entre alguns dos elementos desse conjunto. Desta forma, em muitos dos problemas que
Leia mais9. Derivadas de ordem superior
9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de
Leia maisConceitos e fórmulas
1 Conceitos e fórmulas 1).- Triângulo: definição e elementos principais Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que
Leia maisÁlgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa
Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares
Leia maisCurvas de nível homotópicas a um ponto
Curvas de nível homotópicas a um ponto Praciano-Pereira, T Sobral Matemática 6 de agosto de 2011 tarcisio@member.ams.org pré-prints da Sobral Matemática no. 2011.03 Editor Tarcisio Praciano-Pereira, tarcisio@member.ams.org
Leia maisAnálise de Arredondamento em Ponto Flutuante
Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto
Leia maisCAPÍTULO 4. A Produção de Significados para a Noção de Base: Um Estudo de Caso
CAPÍTULO 4 A Produção de Significados para a Noção de Base: Um Estudo de Caso 77 4. Um Estudo Preliminar Na primeira fase de elaboração das atividades do estudo de caso, tentamos reunir alguns elementos
Leia maisPROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA
Geometria Analítica A Geometria Analítica, famosa G.A., ou conhecida como Geometria Cartesiana, é o estudo dos elementos geométricos no plano cartesiano. PLANO CARTESIANO O sistema cartesiano de coordenada,
Leia maisA Descrição do Produto ou Serviço e a Análise do Mercado e dos Competidores Fabiano Marques
A Descrição do Produto ou Serviço e a Análise do Mercado e dos Competidores Fabiano Marques "O plano de negócios é o cartão de visitas do empreendedor em busca de financiamento". (DORNELAS, 2005) A partir
Leia maisCamadas de Transporte, Sessão & Apresentação. Função. Camadas REDES x TRANSPORTE. Redes de Computadores Prof. Leandro C. Pykosz
Camadas de Transporte, Sessão & Apresentação Redes de Computadores Prof. Leandro C. Pykosz Função A camada de Transporte fica entre as camadas de nível de aplicação (camadas 5 a 7) e as de nível físico
Leia maisAlgoritmos e Estrutura de Dados III. Árvores
Algoritmos e Estrutura de Dados III Árvores Uma das mais importantes classes de estruturas de dados em computação são as árvores. Aproveitando-se de sua organização hierárquica, muitas aplicações são realizadas
Leia maisINTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS
Capítulo II INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS A Análise Factorial de Correspondências é uma técnica simples do ponto de vista matemático e computacional. Porém, devido ao elevado suporte geométrico desta
Leia maisAPLICAÇÕES DA DERIVADA
Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,
Leia maisProcessamento e Comunicação Multimédia
Universidade da Beira Interior Departamento de Informática Processamento e Comunicação Multimédia Mestrado em Eng. Informática João Caldeira Maio 2008 Tema Códigos Convolucionais: Codificação JC 2007/2008
Leia maisKarine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta
Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Professor Orientador: Alberto Berly Sarmiento Vera Belo Horizonte 2012 Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Monografia
Leia maisUniversidade Federal de Goiás Instituto de Informática
Universidade Federal de Goiás Instituto de Informática EXERCÍCIOS DE ESTRUTURAS SEQUÊNCIAIS 1. O coração humano bate em média uma vez por segundo. Desenvolver um algoritmo para calcular e escrever quantas
Leia mais