DESEMPENHO DE MODELOS COMPUTACIONAIS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO NO CÁLCULO DE TENSÕES INDUZIDAS

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1 DESEMPENHO DE MODELOS COMPUTACIONAIS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO NO CÁLCULO DE TENSÕES INDUZIDAS ALÉCIO B. FERNANDES *, ANTONIO C. S. LIMA, WASHINGTON L. A. NEVES * Consultor do Operador Naconal do Sstema Elétrco ONS Rua 15 de Março, 50, Sala A05, Torrões, , Recfe, PE, Brasl Escola de Engenhara, Unversdade Federal do Ro de Janero Cdade Unverstára, Centro de Tecnologa, Bloco H, , Ro de Janero, RJ, Brasl Laboratóro de Alta Tensão, Depto. de Engenhara Elétrca, Unversdade Federal de Campna Grande Av. Aprígo Veloso, 88, , Campna Grande, PB, Brasl Emals: aleco@ons.org.br, acsl@dee.ufrj.br, waneves@dee.ufcg.edu.br Abstract At the present stage, computatonal models n modal and phase domans can be used to represent transmsson lnes n dgtal smulatons. Modal-doman models have been largely used, however, n the way they are mplemented they can not be used wth the same degree of accuracy to model all lne confguratons. Phase-Doman models came to overcome the modal-doman models lmtatons. In ths work, conventonal models (modal-doman) and phase-doman models are used to smulate nduced voltages n physcally close transmsson systems. The models performances are analyzed, based on accuracy, numercal stablty and computatonal effcency. Computatonal models, Transmsson lnes, Modal-doman, Phase-Doman, Induced voltages, Numercal prob- Keywords lems. Resumo No atual estágo de desenvolvmento, pode-se utlzar modelos computaconas no domíno modal e no domíno de fases, para representar lnhas de transmssão em estudos va smulação dgtal. Os modelos modas têm grande utlzação, embora, na forma como estão mplementados, não possam ser utlzados com a mesma precsão para todos os tpos e confgurações de lnhas. Os modelos no domíno de fases surgram vsando superar as lmtações dos modelos modas. No presente trabalho, fazse uso de modelos convenconas (modas) e de modelos no domíno de fases para a smulação de tensões nduzdas em sstemas de transmssão fscamente próxmos. Analsa-se o desempenho destes modelos sob os aspectos precsão, establdade numérca e efcênca computaconal. Palavras-chave Modelos computaconas, Lnhas de transmssão, Domíno modal, Domíno de fases, Tensões nduzdas, Problemas numércos. 1 Introdução Dentre as técncas desenvolvdas para smulação dgtal de sstemas elétrcos, os programas tpo EMTP (Electromagnetc Transents Program) têm se destacado, pos permtem uma solução dreta no domíno do tempo, possbltando smular mudanças súbtas na confguração do sstema (como defetos, abertura e fechamento de dsjuntores) e consderar elementos não lneares como transformadores (consderando saturação e hsterese), controladores, e páraraos (Dommel, 1996; IEEE WG , 1998; Martnez-Velasco, 1998). As lnhas de transmssão apresentam duas peculardades: seus parâmetros estão dstrbuídos ao longo de sua extensão, e possuem forte dependênca da freqüênca (Dommel, 1996), e por sso, podem ser modeladas de dferentes formas, de acordo com a precsão e a efcênca necessáras (CIGRÉ WG 33.0, 1990). No atual estágo de desenvolvmento, destacamse duas classes de modelos computaconas para representar lnhas de transmssão em estudos va smulação dgtal: modelos no domíno modal e modelos no domíno de fases (Mart, 198; Fernandes, 001; Morched et al, 1999). Os modelos modas, propostos na década de 1960, têm grande utlzação embora, no estágo atual, não possam ser utlzados com a mesma precsão para todos os tpos e confgurações de lnhas, restrngndo a aplcação destes (Fernandes, 001; Morched et al, 1999). Os modelos no domíno de fases sugram a partr de meados da década de 1990, objetvando um modelo precso e sem restrções. Apesar do grande nteresse despertado, tas modelos anda têm aplcação lmtada, e poucos programas tpo EMTP os dsponblzam (Noda e Ametan, 1998; Mantoba HVDC Research Center, 003). Neste trabalho, faz-se uso de modelos convenconas (modas) e de modelos no domíno de fases para a smulação de tensões nduzdas em sstemas de transmssão fscamente próxmos. Apresenta-se anda o estado da arte sobre modelos de lnhas de transmssão no domíno de fases. Analsa-se o desempenho dos modelos em estudo sob os aspectos precsão, establdade numérca e efcênca computaconal. Os estudos realzados mostram que em um estudo sobre tensões nduzdas, os resultados podem ser amplfcados e rreas, seja pelas restrções do mode-

2 lo computaconal utlzado, seja devdo a problemas como osclação e nstabldade numérca. Modelos de Lnhas de Transmssão Devdo às suas partculardades, as lnhas de transmssão podem ser modeladas de dferentes formas, de acordo com a precsão e a efcênca necessáras. Quanto à natureza dstrbuída de seus parâmetros, as lnhas de transmssão podem ser representadas por modelos a parâmetros concentrados ou modelos a parâmetros dstrbuídos, nos quas a natureza dstrbuída dos parâmetros é levada em consderação, modelando o fenômeno da propagação de ondas. Quanto à dependênca de seus parâmetros com a freqüênca, dstnguem-se duas classes de modelos de lnhas de transmssão: modelos a parâmetros constantes na freqüênca, e modelos a parâmetros dependentes da freqüênca, nos quas os efetos da freqüênca sobre os parâmetros são consderados. Lnhas de transmssão polfáscas, podem anda ser modeladas no domíno modal ou no domíno de fases. Os modelos modas fazem uso da técnca da transformação modal (Wedepohl, 1963). Através do cálculo de autovalores e autovetores das matrzes que caracterzam a lnha, as n fases de uma lnha polfásca podem ser desacopladas em n lnhas monofáscas ndependentes (Mart, 198; Dommel, 1996). São modelos de grande utlzação, embora no atual estágo de desenvolvmento não possam ser utlzados com a mesma precsão para todos os tpos e confgurações de lnhas. São bastante precsos no caso de lnhas de transmssão aéreas smétrcas, mas perdem em precsão, quando aplcados a lnhas aéreas com alto grau de assmetra, lnhas em confgurações de crcutos multplos e cabos subterrâneos (Noda et al, 1997; Morched et al, 1999; Gustavsen et al, 1999; Fernandes, 001). Os modelos no domíno de fases vsam uma representação matemátca sem restrções quanto à geometra ou natureza das lnhas de transmssão. 3 Modelos no domíno de fases: Estado da arte Dentre os dversos modelos de lnhas de transmssão desenvolvdos ao longo dos anos, o modelo modal proposto por Mart (198) se destaca por ter fundamentado uma metodologa, na qual a lnha de transmssão é completamente caracterzada no domíno da freqüênca pela admtânca característca Y c (jω), e pelo fator de propagação A(jω), estando mplementado nos prncpas programas tpo EMTP. Dentre os programas EMTP, o programa EMTDC (Mantoba HVDC Research Center, 003) dsponblza um modelo de lnhas de transmssão no domíno de fases, denomnado modelo unversal (Unversal Model), conforme proposto por Morched et al (1999). Versão recente do programa ATP (Leuven EMTP Center, 1987) também dsponblza um modelo de lnhas de transmssão no domíno de fases, denomnado modelo IARMA (Interpolated Auto- Regressve Movng Average), conforme proposto por Noda et al (1997). Aprmoramentos de modelos de lnhas de transmssão no domíno de fases foram apresentados, por um dos autores em um trabalho de doutorado, realzado na UFPB (Fernandes, 001; Fernandes e Neves, 001). Detalham-se a segur os prncpas aspectos dos modelos de lnhas de transmssão no domíno de fases supractados. 3.1 Modelo IARMA Noda et al (1997) apresentam um modelo no domíno de fases, defndo no plano z, denomnado modelo IARMA (Interpolated Auto-Regressve Movng Average). Y c (jω) e A(jω) no domíno de fases são aproxmados por funções raconas no plano z, reescrtas na forma lnear: G( z) = a 0 + a z 1 G( z) 1 m [ b z + b z + K + b z ] a z + K + a z n m n + (1) fazendo uso do método de Householder, conforme o algortmo proposto por Golub (Press et al, 199). A transção para o domíno do tempo é dreta e sem orgnar convoluções no domíno do tempo, pos da Equação (1) tem-se: v( t) = a 0 a b ( t) + a1 ( t t) + ( t t) + K + an ( t n t) b1 v( t t) v( t t) K b v( t m t). m () O ajuste de funções raconas no plano z tem susctado dscussões quanto à sua pratcdade, uma vez que está dretamente assocado ao ntervalo de tempo t utlzado na transção para o domíno z (dscretzação). Teorcamente, este passo de tempo t deve ser o mesmo utlzado na dscretzação do modelo IARMA e nas smulações com programas EMTP. Ao alterar o passo de tempo, o usuáro deve obter novas aproxmações. Usando nterpolação, o modelo IARMA permte um passo de tempo nas smulações dferente do utlzado na síntese do modelo, e desta forma, supera-se um grande nconvenente da síntese no plano z. O maor problema fca a cargo da establdade do modelo (Gustavsen, 001). Crtéros dstntos de establdade são estabelecdos para a admtânca característca e o fator de propagação no domíno de fases. No entanto, segundo Noda e Ametan (1998), estes crtéros anda não foram mplementados na rotna NODA SETUP do ATP. O modelo IARMA é dsponblzado em versão recente do programa ATP.

3 3. Modelo Unversal Morched et al (1999) apresentam um modelo de lnhas de transmssão no domíno de fases, denomnado de modelo Unversal (Unversal Model). Esse modelo faz uso do método de ajuste vetoral, para obter aproxmações raconas para Y c (jω) e A(jω) no domíno de fases (Gustavsen et al, 1999). Incalmente a matrz fator de propagação no domíno modal é aproxmada por funções raconas, na forma: A mod j. ω. τ ( j ) P. e, ω (3) α sendo: d j. β ( ) d Amod jω = e e, modo α d do fator de propagação, com módulo ( e ) e β jω d na freqüênca ω; P (jω) = função fase ( ( ) ) polnomal raconal de fase mínma; τ = tempo de propagação (ou de trânsto) da mas veloz componente de freqüênca do modo. Sendo o processo de ajuste vetoral um método lnear, não é capaz de levar em consderação o tempo de trânsto na Equação (3) como uma varável do processo de ajuste. Desse modo, é necessára a determnação do tempo de trânsto em uma etapa anteror ao processo de ajuste para cada um dos n modos do fator de propagação. Uma vez calculados os tempos de propagação de cada modo, as rotações de fase devdas a estes são extraídas, e + s. τ N cm. A ( s), para s = j.ω, (4) mod s p m= 1 sendo: c m = resíduos da função raconal aproxmada para o modo ; p m = pólos da função raconal aproxmada para o modo. Morched et al (1999) agrupam os modos com tempos de propagação muto próxmos, no ntuto de tornar o modelo mas efcente. Este artfíco reduz o número de convoluções no tempo, contrbundo com um ganho em efcênca computaconal. Os modos para os quas o crtéro da Equação (5) é satsfeto são agrupados sob um tempo de trânsto comum τ* (gual ao menor tempo de trânsto ndvdual entre os modos agrupados). Ω τ ( 10 j < π ), (5) 360 sendo: τ j = τ - τ j, dferença entre os tempos de trânsto dos modos e j. De posse dos pólos calculados no domíno modal, os elementos de A(jω) no domíno de fases são calculados de modo a compartlharem de todos os pólos calculados no domíno modal, e assm: m n N k cmk j s. τk A ( ) j s e, (6) k = 1 m= 1 s pmk sendo: A j (s) = elemento (, j) da matrz A(s) no domíno de fases; p mk = pólos da função raconal aproxmada para o modo k; τ k = tempo de trânsto do modo k; N k = ordem da aproxmação raconal para modo k; c mk-j = resíduo da função raconal para o modo k; n = número de modos (ou grupos, caso haja agrupamento de modos). Nota-se que a cada elemento da matrz fator de propagação estão assocados n tempos de propagação modal. O compartlhamento de pólos contrbu para um aumento na efcênca computaconal em smulações no domíno do tempo. Como as aproxmações raconas para os n modos A mod- (jω) são obtdas de forma ndependente, eventualmente, alguns pólos de dferentes modos podem estar mutos próxmos. Se sto ocorre em baxas freqüêncas, os respectvos resíduos da função raconal aproxmada no domíno de fases podem ter valores elevados com snas opostos. Isto pode levar a nstabldades em smulações no tempo. A probabldade dsto ocorrer é proporconal à ordem do ajuste. Os elementos da admtânca característca Y c (jω), por sua vez, são aproxmados dretamente no domíno de fases, também compartlhando os mesmos pólos, n ck j Yc j( s) dj +, para s = j.ω, (7) k = 1 s pk sendo: Y c- j (s) = elemento (,j) da matrz Y c (s) no domíno de fases. O modelo proposto por Morched et al (1999) é dsponblzado em versão recente do programa EMTDC. 3.3 Modelo desenvolvdo No modelo proposto por Fernandes (001), as matrzes admtânca característca Y c (jω) e fator de propagação A(jω) no domíno de fases, são obtdas por: T Yc = T Yc mod T (8) A jω = T jω A jω T jω ( ) ( ) ( ) ( ) 1 mod Ao contráro do usual, a matrz transformação modal é consderada como complexa e dependente da freqüênca, ncluíndo-se as condutâncas em dervação (Fernandes e Neves, 001). Normalmente, em uma lnha de transmssão polfásca com n fases, tem-se n tempos de propagação modas. No modelo computaconal desenvolvdo, os elementos das matrzes admtânca característca e fator de propagação no domíno de fases, são escrtos na forma polar (módulo e fase), a partr da Equação (8), como: c j = Yj j = A. e j θ j Y. e (9) ψ j j. ω. τ Aj j. e, (10) sendo: τ = tempo de propagação comum a todos os elementos de A(jω). Uma vez calculados os n tempos de propagação modas, encontra-se o menor tempo de trânsto τ mn, dentre os modos, tal que τ mn τ, = 1,,, n. Faz-se então τ=τ mn, e extra-se o tempo de trânsto mínmo de todos os modos do fator de propagação. No equaconamento apresentado, observa-se que todos os elementos de A(jω) têm um tempo de propa-

4 gação comum e únco. Portanto, a fase ψ j (jω) na Equação (10) possu uma parcela devda à contrbução da dferença entre os tempos de propagação (ω.(τ - τ)). Com o agrupamento de dferentes tempos de propagação no cálculo de A(jω) no domíno de fases, é possível assocar um únco tempo de propagação a todos os elementos desta matrz. Na obtenção do modelo desenvolvdo, todos os elementos das matrzes Y c (jω) e A(jω) são sntetzados por funções raconas precsas de baxa ordem, dretamente no domíno de fases, em uma únca etapa, fazendo-se uso do método de ajuste vetoral. Destaca-se a possbldade de se obter funções polnomas raconas aproxmadas, para todos os elementos de um vetor ou uma matrz de uma só vez, o que é um dferencal deste método de ajuste para a aplcação aqu estudada, em que se têm matrzes cheas (domíno de fases). O método de ajuste vetoral possblta anda o compartlhamento de pólos pelas funções raconas aproxmadas, o que contrbuu para uma maor efcênca do modelo. O modelo computaconal proposto tem se mostrado precso, efcente e numercamente estável em smulações no domíno do tempo. 4 Estudo de desempenho dos modelos computaconas Este sstema fo modelado no EMTDC e no ATP com os modelos nos domínos modal e de fases mplementados. Um quarto modelo também fo obtdo, conforme o modelo desenvolvdo. Utlzando os modelos em estudo, smulou-se nos programas ATP e EMTDC a energzação do sstema da Fg. 1 por uma fonte de tensão senodal, trfásca e equlbrada (1,0 p.u., 60 Hz), aplcada nas fases 1, e 3, estando os demas termnas em aberto. Nas referdas smulações, utlzou-se um passo de tempo de 1,0 µs. As tensões transtóras nduzdas nos termnas receptores das fases 4, 5 e 6, obtdas com os modelos em estudo, são apresentadas nas Fgs. e 3. 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6 Modelo Modal do EMTDC Modelo de Fases do EMTDC Modelo Proposto -0, Fgura. Tensões transtóras nduzdas nos termnas receptores das fases 4, 5 e 6 da lnha da Fg. 1 Modelos modal, Unversal e o modelo desenvolvdo. Usando os programas EMTDC e ATP, apresenta-se a segur um estudo de casos, nos quas se destacam aspectos mportantes dos modelos em análse. Adotou-se 1.0x10-9 S/km para a condutânca de dspersão em todos os modelos obtdos, e a freqüênca de 1, khz para o cálculo da matrz transformação nos modelos modas. 4.1 Lnhas de transmssão fscamente próxmas Fase 4 Fase 5 Fase 6 Consdere o sstema de transmssão da Fg. 1, composto por duas lnhas de transmssão trfáscas, horzontas, não transpostas e fscamente próxmas. Condutores das Fases: Rdc= 3,06 mω/km ; Dâmetro: 4,069 cm Condutores dos Cabos Pára-Raos: Rdc= 86,45 mω/km ; Dâmetro: 1,105 cm Comprmento da Lnha: 100,0 km; Resstvdade do Solo: 100,0 Ω.m 7,0 m 15,0 m ,0 m 40,0 m ,0 m 7,0 m 15,0 m Fgura 1. Sstema de transmssão composto por duas lnhas de transmssão trfáscas, horzontas, não transpostas e fscamente próxmas Fgura 3. Tensões transtóras nduzdas nos termnas receptores das fases 4, 5 e 6 da lnha da Fg. 1 Modelo IARMA do ATP. O modelo unversal e o modelo desenvolvdo apresentam resultados coerentes e concordantes. Dos resultados, verfcam-se problemas de osclação numérca com o modelo IARMA para as tensões nduzdas nos termnas receptores das fases 4, 5 e 6 (vde Fg. 3). Dos resultados das smulações observa-se que dando contnudade à smulação, têm-se problemas com osclações numércas quando se faz uso do modelo IARMA. Ao se analsar a localzação dos zeros e pólos no plano z (mapa pólo-zero) das funções raconas aproxmadas para alguns elementos de A(z) (Fg. 4), observa-se a exstênca zeros reas e negatvos fora da regão de establdade do plano z (círculo de rao untáro) (Fernandes, 001). Tal constatação serve

5 como nferênca para os problemas numércos obtdos com o modelo IARMA. O esforço computaconal, em termos do tempo de processamento, é apresentado na Tabela 1, para um passo de cálculo de 1µs com 0ms de tempo de smulação. Apesar de se tratar de um sstema de pequeno porte, as dferenças entre os tempos de processamento são expressvas. O modelo IARMA do ATP apresentou um desempenho ntermedáro entre o desempenho do modelo Unversal do EMTDC e o modelo desenvolvdo. Por se tratar de um sstema de transmssão desbalanceado (matrz transformação com forte dependênca da freqüênca), os resultados obtdos com o modelo modal (modelo convenconal) dferem sgnfcatvamente dos demas (Fernandes, 001). Neste caso, as tensões nduzdas se mostram amplfcadas quando se faz uso do modelo modal. Pode-se observar a concordânca entre os resultados obtdos com o modelo teorcamente exato (modelo FDTP) e o modelo proposto no domíno de fases. t = 0 s Fase 1 Fase Fase 3 Degrau de Tensão 1,0 p.u. 1,0x10-6 Ω Fase 4 Fase 5 Fase 6 Fgura 5. Energzação da fase 1 por um degrau de tensão untáro (1,0 p.u.) Sstema de transmssão da Fg. 1. Fgura 4. Mapa pólo-zero no plano z para a função raconal aproxmada do elemento (,6) de A(z) Programa ARMAFIT. Tabela 1. Esforço Computaconal quantzado em termos do tempo de processamento Mcrocomputador com processador PENTIUM II 400 MHz, 18 MB de RAM. IARMA Modelo Unversal Modelo Proposto 16,103 s 18,36 s 14,095 s 0,5 Fase 6 - Modelo do FDTP 0,4 Fase 6 - Modelo Proposto 0,3 0, 0,1 0,0-0,1-0, -0,3-0,4-0,5 4. Lnhas de transmssão fscamente próxmas A comparação entre resultados de medções em campo e resultados de smulações dgtas é seguramente o melhor parâmetro para valdar um dado modelo computaconal. No caso de lnhas de transmssão, no entanto, não se dspõe de mutos resultados de medções em campo dadas às dfculdades nerentes a tas medções. Na falta destes, comumente na lteratura, faz-se uso de um programa tpo FDTP (Frequency Doman Transents Program), em conjunto com um modelo de lnhas de transmssão no domíno da freqüênca. Os resultados obtdos com estes programas são tdos como teorcamente corretos, pos as dependêncas dos parâmetros das lnhas com a freqüênca são consderadas, sem quasquer smplfcações ou aproxmações (Noda et al, 1997; Morched et al, 1999). Assm, estes resultados têm servdo de base para a valdação de modelos computaconas em programas tpo EMTP. Vsando valdar o modelo proposto, smulou-se a energzação do sstema de transmssão da Fg. 1, através de um programa tpo FDTP, conforme lustrado na Fg. 5. Nas smulações, utlzou-se um passo de tempo de 1,0 µs. As tensões nduzdas no termnal receptor da fase 6, obtdas com os modelos em estudo, são apresentadas nas Fgs. 6 e Fgura 6. Tensão transtóra nduzda no termnal receptor da fase 6 Modelo do FDTP (Resposta teorcamente exata) e Modelo Proposto. 0,6 Fase 6 - Modelo Modal do EMTDC Fase 6 - Modelo FDTP 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0, Fgura 7. Tensão transtóra nduzda no termnal receptor da fase 6 Modelo do FDTP (Resposta teorcamente exata) e Modelo modal do EMTDC (Modelo Convenconal). O modelo no domíno de fases do EMTDC (ULM Unversal Lne Model) quando comparado ao modelo teorcamente correto não produzu resultados tão precsos quanto os produzdos pelo modelo

6 proposto. Dante dos resultados das smulações apresentados, valda-se o modelo proposto. Destaca-se anda o melhor desempenho computaconal do mesmo. 5 Conclusões A aplcação dos modelos no domíno de fases analsados revela aspectos mportantes relatvos à precsão, efcênca computaconal e establdade numérca. Os resultados obtdos como modelo Unversal e o modelo proposto, se mostraram teorcamente coerentes e concordantes entre s. O modelo IARMA, por sua vez, pode apresentar problemas tanto de establdade quanto de osclação numércas. Estudos detalhados do processo de ajuste por funções raconas revelam evdêncas que podem justfcar tas problemas. Um programa FDTP, que produz resultados tdos como teorcamente corretos, serve de referênca para valdação do modelo desenvolvdo. Sob os aspectos precsão e efcênca computaconal, o modelo proposto apresentou o melhor desempenho. Deve se ressaltar que mesmo sem smplfcações em relação às grandezas dependentes com a freqüênca, o modelo proposto anda se mostrou mas efcente. Agradecmentos Os autores agradecem ao Dr. Bjorn Gustavsen (SINTEF, Noruega) que forneceu os resultados das smulações obtdos com um programa FDTP. Referêncas Bblográfcas CIGRÉ Workng Group 33.0 (1990), Gudelnes for Representaton of Network Elements when Calculatng Transents, Techncal Brochure CE/SC GT/WG 0. Dommel, H. W. (1996), Electromagnetc Transents Program Reference Manual, Vancouver: Department of Electrcal Engneerng, The Unversty of Brtsh Columba, Canada. Fernandes, A. B. (001), Lnhas de Transmssão: Um Modelo no Domíno de Fases Precso e Efcente. Tese de Doutorado, Unversdade Federal da Paraíba, Campna Grande, Brasl. Fernandes, A. B., Neves, W. L. A. (001), Frequency-Dependent Transformaton Matrces for Phase-Doman Transmsson Lne Models, Proceedngs of the IEEE Power Engneerng Socety Summer Meetng 001, Vancouver, Canada: Gustavsen, B., Irwn, G., Mangelrod, R., Brandt, D., Kent, K. (1999). Transmsson Lne Models for the Smulaton of Interacton Phenomena between AC and DC Overhead Lnes. Proceedngs of the IPST 99 - Internatonal Conference on Power Systems Transents, Budapest, Hungary: Gustavsen, B., Semlyen, A. (001), Enforcng Passvty for Admtance Matrces Approxmated by Ratonal Functons. IEEE Trans. on Power Delvery, Vol. 16, No.1, February: IEEE Workng Group (1998), Modelng and Analyss of System Transents Usng Dgtal Programs, Pscataway: IEEE PES Specal Publcaton. Leuven EMTP Center (1987). ATP - Alternatve Transent Program - Rule Book, Herverlee, Belgum. Mantoba HVDC Research Centre (003). PSCAD/EMTDC Smulaton Program - V3.8 Personal Edton, Wnnpeg, Canada. Martí, J. R. (198). Accurate Modellng of Frequency-Dependent Transmsson Lnes n Electromagnetc Transents Smulatons. IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, Vol. PAS- 101, No. 1, January: Martnez-Velasco, J. A., Power Qualty Analyss usng Electromagnetc Transents Programs. Proceedngs of the ICHQP 98 Internatonal Conference on harmoncs and Qualty of Power, Athens, Greece, 1998, pp Morched, A., Gustavsen, B., Tartb, M. (1999). A Unversal Model for Accurate Calculaton of Electromagnetc Transents on Overhead Lnes and Underground Cables. IEEE Trans. on Power Delvery, Vol. 14, Iss..3, July: Noda, T., Ametan, A. (1998), User Instructons of Noda Setup n ATP. Japan. Noda, T., Nagaoka, N., Ametan, A. (1997). Further Improvements to a Phase-Doman ARMA Lne Modeln Terms of Convoluton, Steady-State Intalzaton, and Stablty. IEEE Trans. on Power Delvery, Vol. 1, No.3, July: Oppenhem, A. V., Wllsky, A. S., Nawab, S. H. (1997), Sgnals and Systems Second Edton. New Jersey: Prentce Hall, Inc. Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterlng, W. T., Flannery B. P. (199), Numercal Recpes n Fortran - The Art of Scentfc Computng, Second Edton, New York: Cambrdge Unversty Press. Wedepohl, L. M. (1963), Applcaton of Matrx Methods to the Soluton of Travellng-Wave Phenomena n Polyphase Systems, Proc. IEE, Vol. 110, No. 1, pp