METODOLOGIA PARA PROJETO DE CONTROLADORES DE AMORTECIMENTO PARA SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA MIGUEL AGUIRRE CARDOSO METODOLOGIA PARA PROJETO DE CONTROLADORES DE AMORTECIMENTO PARA SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO PATO BRANCO 2011

2 MIGUEL AGUIRRE CARDOSO METODOLOGIA PARA PROJETO DE CONTROLADORES DE AMORTECIMENTO PARA SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Trabalho de Conclusão de Curso de graduação, apresentado à dscplna de Trabalho de Conclusão de Curso 2, do Curso de Engenhara Elétrca da Coordenação de Engenhara Elétrca COELT da Unversdade Tecnológca Federal do Paraná UTFPR, Campus Pato Branco, como requsto parcal para obtenção do título de Engenhero. Orentador: Prof. Dr. Rcardo Vasques de Olvera. PATO BRANCO 2012

3 TERMO DE APROVAÇÃO O Trabalho de Conclusão de Curso nttulado METODOLOGIA PARA PROJETO DE CONTROLADORES DE AMORTECIMENTO PARA SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA, do acadêmco Mguel Agurre Cardoso fo consderado APROVADO de acordo com ata de defesa nº 17 de 2012, a qual encontra-se na coordenação do curso de Engenhara Elétrca. Fzeram parte da Banca os Professores RICARDO VASQUES DE OLIVEIRA (ORIENTADOR) CESAR RAFAEL CLAURE TORRICO CESAR AUGUSTO PORTOLANN EMERSON GIOVANI CARATI

4 DEDICATÓRIA A mnha famíla.

5 AGRADECIMENTOS pacênca. Ao Prof. Dr. Rcardo Vasques de Olvera, pela orentação, dedcação e A Unversdade Tecnológca Federal do Paraná, e demas professores do curso de Engenhara Elétrca, pela dsponbldade dos laboratóros e apoo. Aos colegas, em especal Kassana Kamla Pagnoncell Refat, Rafael Zamodzk e Luan Ruaro Marcante, pelo companhersmo, suporte e contrbuções.

6 RESUMO CARDOSO, Mguel Agurre. Metodologa para Projeto de Controladores de Amortecmento para Sstemas Elétrcos de Potênca f. Trabalho de Conclusão de Curso (Curso de Engenhara Elétrca) Coordenação de Engenhara Elétrca, Unversdade Tecnológca Federal do Paraná. Pato Branco, Este trabalho propõe uma metodologa de projeto de controladores de amortecmento para sstemas elétrcos de potênca baseada no uso da energa da saída como índce de desempenho. A metodologa proposta vsa oferecer uma alternatva as técncas de projeto de controladores de amortecmento baseadas no posconamento regonal de polos na forma de desgualdades matrcas lneares, oferecendo um menor dspêndo computaconal, favorecendo sua aplcação em sstemas de ordem elevada. Formulações de problemas de controle, na forma de desgualdades matrcas lneares, referentes à síntese de controladores de amortecmento são abordadas no trabalho. Serão caracterzadas as etapas do projeto, a solução proposta para o problema de controle, assm como resultados e testes decorrentes da elaboração da metodologa de controle de amortecmento proposta. Palavras-chave: Sstemas elétrcos de potênca. Osclações eletromecâncas de baxa frequênca. Projeto de Controladores Robustos de amortecmento. Formulação LMI.

7 ABSTRACT CARDOSO, Mguel Agurre. Methodology for Desgn of Dampng Controllers for Power Systems f. Trabalho de Conclusão de Curso (Curso de Engenhara Elétrca) Coordenação de Engenhara Elétrca, Unversdade Tecnológca Federal do Paraná. Pato Branco, Ths paper proposes a methodology to desgn dampng controllers for power systems based on the energy of the system output as a performance ndex. The proposed methodology ams to provde an alternatve to the desgn technques based on the regonal pole placement n the form of lnear matrx nequaltes, provdng less computer effort, promotng ts applcatons n hgh-order systems. Control formulaton problems, n the form of lnear matrx nequaltes, related to the synthess of dampng controllers are dscussed n the paper. The stages of the project wll be characterzed, the control problem proposed soluton, as well the tests and results due to the formulaton of the proposed dampng control methodology. Keywords: Power systems. Electromechancal low-frequency oscllatons. Robust desgn of dampng controllers. LMI formulatons.

8 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1 - ESTRUTURA CLÁSSICA DE UM ESTABILIZADOR DE SISTEMAS DE POTÊNCIA FIGURA 2 MÁQUINA SÍNCRONA DE POLOS SALIENTES FIGURA 3 DIAGRAMA FASORIAL PARA O CÁLCULO DA POSIÇÃO DO EIXO Q DA MÁQUINA SÍNCRONA FIGURA 4 REGIÃO PARA O POSICIONAMENTO DE POLOS A PARTIR DE UM FATOR DE AMORTECIMENTO MÍNIMO FIGURA 5 - COMPARAÇÃO ILUSTRATIVA ENTRE O POSICIONAMENTO REGIONAL DE POLOS E O USO DA ENERGIA DA SAÍDA COMO ÍNDICE DE DESEMPENHO FIGURA 6 RELAÇÃO ILUSTRATIVA ENTRE A ENERGIA DE UM SINAL DE SAÍDA ASSOCIADO A UM MODO AMORTECIDO E UM SINAL DE SAÍDA ASSOCIADO A UM MODO NÃO AMORTECIDO FIGURA 7 DIAGRAMA UNIFILAR SISTEMA TESTE FIGURA 8 - AUTOVALORES RELACIONADOS AOS MODOS ELETROMECÂNICOS DO SISTEMA EM MALHA ABERTA, PARA AS TRÊS CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO FIGURA 9 - VELOCIDADE DOS ROTORES DOS GERADORES DO SISTEMA TESTE 1 EM MALHA ABERTA, PARA A CONDIÇÃO DE OPERAÇÃO DO CASO BASE FIGURA 10 AUTOVALORES RELACIONADOS AOS MODOS ELETROMECÂNICOS DO SISTEMA, COM O CONTROLADOR DE AMORTECIMENTO INSERIDO NO GERADOR FIGURA 11 - VELOCIDADE DOS ROTORES DOS GERADORES DO SISTEMA TESTE 1 APÓS A INSERÇÃO DO CONTROLADOR NO GERADOR 3, PARA A CONDIÇÃO DE OPERAÇÃO DO CASO BASE FIGURA 12 - AUTOVALORES RELACIONADOS AOS MODOS ELETROMECÂNICOS DO SISTEMA, COM O CONTROLADOR DE AMORTECIMENTO PROJETADO PARA O GERADOR FIGURA 13 - VELOCIDADE DOS ROTORES DOS GERADORES DO SISTEMA TESTE 1 APÓS A INSERÇÃO DO CONTROLADOR PROJETADO PARA O GERADOR 1, PARA A CONDIÇÃO DE OPERAÇÃO DO CASO BASE

9 FIGURA 14 DIAGRAMA UNIFILAR DO SISTEMA TESTE 2, BASEADO NO SISTEMA INTERLIGADO NEW ENGLAND / NEW YORK FIGURA 15 - AUTOVALORES RELACIONADOS AOS MODOS ELETROMECÂNICOS DO SISTEMA, PARA O CASO BASE FIGURA 16 - VELOCIDADE DOS ROTORES DOS GERADORES 3, 10 E 12 DO SISTEMA TESTE 2 PARA O CENÁRIO INICIAL PROPOSTO, CONSIDERANDO AS CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO DO CASO BASE FIGURA 17 AUTOVALORES DO SISTEMA EM MALHA FECHADA PARA AS TRÊS CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO CONSIDERADAS FIGURA 18 VELOCIDADE DOS ROTORES DOS GERADORES 3, 10 E 12 DO SISTEMA TESTE 2, PARA AS CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO DO CASO BASE, APÓS A INCLUSÃO DO CONTROLADOR PROJETADO FIGURA 19 AUTOVALORES DO SISTEMA PARA AS TRÊS CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO, APÓS A RETIRADA DO PSS INICIALMENTE INSERIDO DO GERADOR FIGURA 20 RESPOSTA DAS VELOCIDADES DOS GERADORES 3, 10 E 12 DO SISTEMA TESTE 2, APÓS A RETIRADA DO PSS DO GERADOR 3, PARA AS CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO DO CASO BASE FIGURA 21 - AUTOVALORES DO SISTEMA PARA AS TRÊS CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO, APÓS A INCLUSÃO DOS CONTROLADORES PROJETADOS NOS GERADORES 3 E FIGURA 22 RESPOSTA DAS VELOCIDADES DOS ROTORES DOS GERADORES 3, 10 E 12, DO SISTEMA TESTE 2, CONSIDERANDO A INCLUSÃO DOS CONTROLADORES PROJETADOS PARA OS GERADORES 3 E

10 LISTA DE TABELAS TABELA 1 PSS PROJETADO PARA O GERADOR TABELA 2 PARÂMETROS DOS PSSS INICIALMENTE INSERIDOS NO SISTEMA TABELA 3 PSS PROJETADO PARA O GERADOR TABELA 4 PSS PROJETADOS PARA OS GERADORES 3 E

11 LISTA DE SIGLAS LMI PRP PSS AVR LTI BMI FACTS Lnear Matrx Inequaltes Desgualdade Matrcal Lnear Posconamento Regonal de Polos Power System Stablzer Establzador de Sstemas de Potênca Automatc Voltage Regulator Regulador Automátco de Tensão Lnear Tme Invarant Lnear Invarante no Tempo Blnear Matrx Inequaltes Desgualdade Matrcal Blnear Flexble AC Transmsson Systems Sstemas de Transmssão AC Flexíves

12 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO JUSTIFICATIVA OBJETIVOS Objetvo Geral Objetvos Específcos ESTADO DA ARTE ESTABILIDADE EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Establdade a pequenas perturbações em sstemas elétrcos de potênca Técncas para a análse da establdade a pequenas perturbações Autovetores e Autovalores Fator de Partcpação Resíduo da função de transferênca Snas Establzantes Suplementares MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA PARA ESTUDOS DE ESTABILIDADE A PEQUENAS PERTURBAÇÕES Máqunas Síncronas Sstema de exctação da máquna síncrona Rede de transmssão e cargas Redução da rede de transmssão DENVOLVIMENTO FORMULAÇÃO LMI PARA O PROJETO DE CONTROLADORES BASEADOS NA REALIMENTAÇÃO DINÂMICA DA SAÍDA TÉCNICA DE CONTROLE ROBUSTO BASEADA NO POSICIONAMENTO REGIONAL DE POLOS COMO ÍNDICE DE DESEMPENHO ENERGIA DA SAÍDA COMO ÍNDICE DE DESEMPENHO... 42

13 3.4. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE CONTROLE Metodologa V-K ANÁLISES E RESULTADOS ESTUDO DE CASO ESTUDO DE CASO CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS... 70

14 13 1. INTRODUÇÃO Os sstemas elétrcos de potênca estão constantemente sujetos a alterações, a fm de atender as crescentes necessdades energétcas da socedade contemporânea. Este fato, assocado à natureza osclatóra destes sstemas, caracterzada por osclações eletromecâncas de baxa frequênca, representa um desafo para que a operação do sstema possa acontecer de forma contínua e segura. As osclações eletromecâncas de baxa frequênca podem ser estmuladas por pequenas perturbações típcas da operação dos sstemas de potênca. Pequenas perturbações são defndas como o conjunto de dstúrbos que não afastam sgnfcatvamente o sstema elétrco de potênca do seu ponto de operação orgnal. Varações normas de carga e mudança na topologa do sstema de transmssão, assm como a presença de pequenas faltas, são alguns exemplos de pequenas perturbações (KUNDUR et al., 2004). Osclações eletromecâncas de baxa frequênca afetam a operação dos sstemas elétrcos de potênca podendo causar fadgas nos exos de geradores e desgaste excessvo dos atuadores mecâncos dos seus controladores, lmtações de transferênca de potênca nas barras do sstema e, quando mal amortecdas, podem até causar a perda de sncronsmo dos geradores. Tas osclações são nerentes aos sstemas elétrcos de potênca, de modo que, não há como elmná-las, porém, um amortecmento adequado pode mnmzar seus efetos, permtndo uma operação estável, contínua e segura destes sstemas quando submetdos a pequenas perturbações (AYRES, 2005) (CASTOLDI, 2011) (CASTRO, 2005) (RODRIGUES, 2007) (BORGES, 2009) (OLIVEIRA, 2006). Neste contexto, este trabalho propõe uma metodologa de projeto de controladores robustos para o amortecmento de osclações eletromecâncas de baxa frequênca, baseando-se no uso da energa do snal saída do sstema como índce de desempenho. A metodologa proposta consdera um modelo multmáqunas de sstemas elétrcos de potênca dretamente na etapa de projeto do controlador, permtndo assm um projeto coordenado dos controladores. Este trabalho está dvddo em cnco capítulos. O capítulo presente realza uma ntrodução a respeto do problema de osclações eletromecâncas de baxa

15 14 frequênca, projeto de controladores de amortecmento, assm como a justfcatva e defnção dos objetvos do trabalho. No capítulo 2 é apresentada a fundamentação teórca relaconada a establdade em sstemas elétrcos de potênca e suas metodologas de análse, assm como os modelos de componentes dos sstemas de potênca adotados, na construção dos estudos de caso realzados. O capítulo 3 trata de estabelecer as formulações LMI para projetos de controladores de amortecmento baseados no fator de amortecmento mínmo e energa da saída como índces de desempenho. Neste capítulo anda é estabelecda a formulação do problema de controle. O capítulo 4 apresenta os estudos realzados, envolvendo dos sstemas testes, através de análses modas e smulações não-lneares. Por fnal, no capítulo 5, são apresentadas as conclusões fnas e possíves trabalhos futuros JUSTIFICATIVA Conforme ctado anterormente, o comportamento osclatóro dos sstemas elétrcos de potênca, caracterzado pelas osclações eletromecâncas de baxa frequênca, pode ser exctado por um conjunto de dstúrbos denomnados pequenas perturbações. O aumento da demanda energétca assocada a lmtações operaconas resultou em uma redução da margem de establdade a pequenas perturbações destes sstemas, crando crcunstâncas favoráves ao aparecmento de osclações. Neste contexto, a robustez se apresenta como uma característca mportante no projeto de controladores de amortecmento (OLIVEIRA, 2007). Controladores lneares obtdos por meo de técncas de controle clásscas adotam apenas um ponto de operação no procedmento de projeto, dfcultando a obtenção do desempenho desejado, tendo em vsta que as condções de operação do sstema são varáves. Este problema pode ser contornado pela adoção de técncas de controle robusto. O projeto adequado de controladores robustos de amortecmento, através dos quas são obtdos controladores que garantem formalmente a establdade e o desempenho do sstema para dferentes condções de operação, é fundamental para o amortecmento das osclações eletromecâncas de baxa freqüênca nos sstemas elétrcos de potênca. Atualmente, deve-se ressaltar também, a presença de novos controladores de amortecmento, nserdos

16 15 em undades de geração alternatvas, como undades eólcas, e em dspostvos FACTS, dstrbuídos ao longo do sstema (GAUTAM et al., 2011a) (GAUTAM et al., 2011b) (FURINI, 2008) (SIMÕES et al., 2009). Sstemas de potênca de ordem elevada são comumente compostos por dferentes áreas de controle, o que oferece flexbldade de operação, porém, torna complexa a coordenação de seus controladores de amortecmento. Técncas de controle, que consderam as terações dnâmcas entre os múltplos geradores e dferentes dspostvos de um sstema de potênca, são propostas atualmente na elaboração de metodologas de projeto de establzadores robustos (JABR, PAL e MARTINS, 2010) (NGUYEN e GIANTO, 2010). Tas técncas são comumente baseadas no uso de modelos multmáqunas de sstemas de potênca. Neste âmbto, podem ser lstadas técncas baseadas na realmentação dnâmca da saída na forma de desgualdades matrcas lneares (ou LMIs, do Inglês, Lnear Matrx Inequaltes), empregadas com sucesso no projeto de controladores de amortecmento (OLIVEIRA, RAMOS e BRETAS, 2010) (CAMPOS, DA CRUZ e ZANETTA, 2006). Através da formulação dos problemas de controle por meo de LMIs, algumas vantagens podem ser alcançadas, como a possbldade de determnar soluções numércas para problemas de solução analítca dfícl ou nexstente, assm como a especfcação de números crtéros de desempenho no procedmento de projeto do controlador (OLIVEIRA, RAMOS e BRETAS, 2005). A solução de alguns problemas de controle na forma de LMIs, devdo às dmensões das LMIs correspondentes a formulação do problema e dos índces de desempenho adotados, pode resultar em esforços computaconas excessvos em casos que envolvem sstemas elétrcos de potênca de ordem elevada, de forma a restrngr o uso da metodologa (OLIVEIRA, 2006). Tradconalmente, o fator de amortecmento mínmo para os modos de resposta do sstema é empregado como índce de desempenho na avalação da margem de establdade a pequenas perturbações de sstemas elétrcos de potênca (GOMES, MARTINS e PORTELA, 2003). Em metodologas de projeto na forma de LMIs, o fator de amortecmento é usualmente especfcado através do posconamento regonal de polos (PRP), objetvo de projeto o qual mpõe a todos os polos do sstema em malha fechada uma localzação prevamente estabelecda no plano complexo (OLIVEIRA, RAMOS e BRETAS, 2010) (CHILALI, GAHINET e APKARIAN, 1999). Porém, o uso de técncas baseadas no PRP pode se tornar

17 16 nadequado para o projeto de um número reduzdo de controladores em sstemas multmáqunas, além de requerer esforços computaconas elevados no projeto de controladores de amortecmento para sstemas de grande e médo porte. Neste sentdo, este trabalho propõe o uso da energa do snal de saída do sstema como um índce de desempenho a ser empregado no projeto dos controladores robustos para o amortecmento de osclações eletromecâncas de baxa frequênca. O uso da energa do snal/varável de saída corresponde a uma alternatva ao fator de amortecmento mínmo, usualmente especfcado pelo posconamento regonal de polos, exgndo menos dspêndo computaconal. Determnar um lmte para a energa de saída de uma varável restrnge suas osclações em torno do seu ponto de equlíbro, mpondo um ncremento de amortecmento ao sstema. Por exemplo, estabelecer um lmte para o valor acumulado da energa referente ao desvo das velocdades das máqunas do sstema, tendo em vsta que osclações eletromecâncas têm grande nfluênca sobre as velocdades dos geradores, resulta em um ncremento de amortecmento e por conseqüênca uma dmnução das osclações da saída adotada (OLIVEIRA, 2006). A solução para o problema de controle é dada numercamente, devdo a sua formulação através de LMIs. A adoção da energa da varável de saída como índce de desempenho garante um esforço computaconal reduzdo, em comparação ao fator de amortecmento mínmo na forma de posconamento regonal de polos, mportante para projeto de controladores de amortecmento para sstemas multmáqunas de ordem elevada OBJETIVOS Objetvo Geral Desenvolver uma metodologa de projeto de controladores robustos para o amortecmento de osclações eletromecâncas de baxa frequênca baseada no uso da energa de saída como índce de desempenho.

18 Objetvos Específcos 1. Utlzar o conceto de energa da saída e sua aplcação como índce de desempenho no projeto de controladores de amortecmento para sstemas elétrcos de potênca. 2. Estruturar a formulação do problema de controle baseado em LMI. 3. Determnar a solução numérca para o problema de controle. 4. Projetar/Gerar controladores de amortecmento robustos de ordem reduzda. 5. Apresentar e avalar através de análses e smulações uma correlação entre a energa da saída de um determnado modo de resposta e o fator de amortecmento a ele relaconado.

19 18 2. ESTADO DA ARTE 2.1. ESTABILIDADE EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA O objetvo de um sstema elétrco de potênca é fornecer energa elétrca com qualdade e confabldade. A qualdade está relaconada à sustentação dos níves de tensão e frequênca adequados, enquanto a confabldade está atrelada a manutenção do fornecmento de energa elétrca com a menor quantdade de nterrupções possível. A establdade em sstemas elétrcos de potênca está dretamente relaconada com a qualdade e confabldade no fornecmento de energa, pos refere-se à capacdade do sstema de manter o equlíbro durante condções normas de operação, assm como retornar a um estado de equlíbro após a ocorrênca de um dstúrbo ou perturbação, mantendo suas grandezas físcas, como tensão e frequênca, dentro de lmtes operaconas acetáves (AYRES, 2005) (CASTOLDI, 2011) (BORGES, 2009). Em consequênca das dferentes formas de comportamento dnâmco dos sstemas de potênca, os estudos de establdade podem ser dvddos conforme a natureza físca do comportamento dnâmco, tensão e ângulo, por exemplo, e ntensdade dos dstúrbos, pequenas e grandes perturbações. A establdade de tensão está relaconada com a capacdade do sstema em manter a tensão dentro de uma faxa de tolerânca em todas as barras do sstema após a ocorrênca de uma perturbação, sendo essa perturbação grande, como curtos-crcutos severos, perdas de grandes undades de geração e lnhas de transmssão mportantes, e perturbações pequenas, como curtos-crcutos brandos, varações de carga e perda de pequenas undades de geração. A nstabldade de tensão é um fenômeno dnâmco decorrente de uma queda de tensão progressva e rreversível em uma ou mas barras do sstema, relaconada com o equlíbro entre potênca reatva gerada e consumda pelas cargas (AYRES, 2005) (KUNDUR et al., 2004). A establdade de ângulo está relaconada com a capacdade dos rotores dos geradores síncronos de manterem o sncronsmo após um dstúrbo, ou seja,

20 19 manter suas frequêncas guas a frequênca do resto do sstema. Este fenômeno dnâmco depende do equlíbro entre o torque magnétco e o torque mecânco do sstema (AYRES, 2005) (RODRIGUES, 2007). A establdade de ângulo, assm como a establdade de tensão, pode ser abordada segundo dos aspectos, establdade transtóra, ou establdade a grandes perturbações, e establdade a pequenas perturbações. No caso de establdade a pequenas perturbações, as equações que compõe a modelagem do sstema, podem ser lnearzadas em torno de um ponto de equlíbro, tornando possível a aplcação das ferramentas de sstemas lneares em sua análse. Porém, sob condções de grandes perturbações, a análse do comportamento do sstema por meo da lnearzação do modelo perde valdade, pos, grandes perturbações traduzem-se em grandes excursões de suas varáves do sstema (AYRES, 2005) (OLIVEIRA, 2006) (BORGES, 2009) (KUNDUR et al., 2004). Neste contexto, tendo em vsta que este trabalho trata do projeto de controladores para o amortecmento de osclações eletromecâncas estmuladas por pequenas perturbações em sstemas elétrcos de potênca, este capítulo defne o conceto de establdade a pequenas perturbações e apresenta algumas ferramentas para a análse de modelos lneares destes sstemas Establdade a pequenas perturbações em sstemas elétrcos de potênca Establdade a pequenas perturbações refere-se à capacdade dos sstemas elétrcos de potênca em manter o sncronsmo de seus geradores após sofrer nterferêncas que não afetem consderavelmente o ponto de equlíbro das varáves elétrcas e mecâncas do sstema, tas como alterações na confguração do sstema de transmssão, varações de carga e geração, assm como faltas aleatóras. O estudo da establdade a pequenas perturbações tem orgem no fato de que a mudança no ponto de equlíbro do sstema em função destes dstúrbos dá orgem a um período transtóro de reajuste das varáves de estado do sstema. Este período transtóro de natureza osclatóra é caracterzado por osclações eletromecâncas de baxa frequênca assocadas ao comportamento dnâmco dos geradores, o que torna este elemento o prncpal responsável pela dnâmca do

21 20 sstema (AYRES, 2005) (OLIVEIRA, 2006) (BORGES, 2009) (KUNDUR et al., 2004) (CASTRO, 2005). Os modos de resposta eletromecâncos são responsáves por osclações na faxa de frequênca de 0,1 a 3 Hz e geralmente são classfcados como: Modos ntra-planta: Geradores localzados na mesma usna osclando uns contra os outros. Esse modo geralmente apresenta frequênca na faxa de 2 a 3 Hz (KUNDUR, 1994). Modos locas: Caracterzado pela osclação de uma usna contra o resto do sstema, ocorre na faxa de 0,7 a 2,0 Hz (KUNDUR, 1994). Modos nter-área: Envolve um grupo de usnas osclando coerentemente contra outro grupo de usnas localzadas em uma área dferente, ocorre na faxa de freqüênca de 0,1 a 0,7 Hz (KUNDUR, 1994). Modos torconas: Osclações das partes mecâncas acopladas ao exo do gerador (KUNDUR, 1994). Modos de controle: Osclações nos sstemas de controle (KUNDUR, 1994). Os modos eletromecâncos dos sstemas, em algumas condções de operação, como de elevado carregamento, podem apresentar osclações pouco amortecdas ou até mesmo se tornarem nstáves, comprometendo ou nvablzando a operação do sstema. Neste sentdo, uma operação segura e confável de um sstema de potênca está ntmamente lgada a um amortecmento adequado dos modos eletromecâncos deste sstema (AYRES, 2005) (OLIVEIRA, 2006) Técncas para a análse da establdade a pequenas perturbações Sstemas elétrcos de potênca apresentam um comportamento dnâmco que pode ser representado por meo de equações algébrcas e dferencas. Os modelos construídos para realzação de estudos quanto a establdades de sstemas

22 21 de potênca a pequenas perturbações podem ser lnearzados sem que haja comprometmento da análse dnâmca do sstema, pos tas perturbações não afastam de modo consderável as varáves de estado do sstema de seu ponto de operação ncal (AYRES, 2005) (OLIVEIRA, 2006). A possbldade da utlzação de uma grande dversdade de técncas lneares de análse, em geral mas smples e de fácl mplementação que técncas não lneares, aparece como prncpal vantagem da adoção destes modelos lneares. A establdade no senso de Lyapunov é a mas utlzada nos estudos de sstemas elétrcos de potênca. Segundo esta defnção, a establdade de um sstema é analsada a partr do ponto de equlíbro do sstema. Um sstema é consderado estável no senso de Lyapunov quando, após a ocorrênca de uma perturbação, a trajetóra do sstema permanece nas vznhanças do ponto de equlíbro. A equação (1) apresenta a formalzação matemátca deste conceto, onde o ponto de equlíbro x R é estável se: * n 0 0 x( t ) x x( t) x t t 0 (1) * * 0 0 A equação anteror afrma que um sstema dnâmco é estável se, ao sofrer uma perturbação, a trajetóra do sstema xt () permanece no nteror de uma vznhança do ponto de equlíbro * x (KUNDUR et al., 2004). Os sstemas de potênca podem ser representados pelo modelos não lneares na forma condensada do tpo x f(x,u ) (2) 0 0, onde, x 0 é o vetor das varáves de estado do sstema para um dado ponto de equlíbro e u 0 é o vetor com as entradas de controle para este mesmo ponto. A lnearzação do modelo que representa o comportamento dnâmco do sstema se dará em torno do ponto de operação x 0. Submetendo o sstema a um pequeno desvo em relação ao seu ponto de operação ncal, temos que

23 22 x x 0 Δx f[ (x0 Δx),( u0 Δu) ]. (3) onde Δx representa o pequeno desvo das varáves de estado em relação a x 0 e Δu representa o desvo do snal de controle em relação a u 0. Consderando que o dstúrbo não afetou de modo sgnfcatvo o ponto de operação do sstema, podemos representá-lo através de sua expansão em sére de Taylor, que, truncada na prmera dervada, resulta em: f f x x0 Δx f(x 0,u 0) Δx Δu. x u x0, u0 x0, u0 (4) Sabendo que para a condção ncal Δx 0, temos que x f(x,u ) 0, o que permte que a equação (4) seja expressa na forma de espaços de estados como: (5) Δx Ax Bu onde a matrz A é o jacobano de f(x 0,u 0) f / x ) e B é a matrz de entradas x 0 u (, 0 dada por f/ u x 0,. A solução da equação (5) oferece uma aproxmação satsfatóra u 0 para o comportamento dnâmco do sstema elétrco de potênca quando submetdo a pequenas perturbações (OLIVEIRA, 2006). O modelo apresentado em (5) é tpcamente usado em estudos de establdade a pequenas perturbações de sstemas de potênca. Dentre as ferramentas de análse típcas para estudos de establdade de sstemas de potênca, pode-se menconar os autovalores e autovetores da matrz de estados do sstema, os fatores de partcpação e os resíduos da função de transferênca. Tas ferramentas de análse são dscutdas nos tópcos a segur Autovetores e Autovalores Modelos lneares de sstemas de potênca na forma Δx Ax Bu podem ter a análse de sua establdade através dos autovalores e autovetores da

24 23 matrz A, que podem oferecer nformações qualtatvas e quanttatvas a respeto da establdade. Cada autovalor corresponde a um modo de resposta do sstema, expresso na forma geral como ve t onde, v é o autovetor a dreta da matrz A e é o autovalor correspondente. Os autovalores são a solução não trval da equação característca: det( I) 0, A (6) e os autovetores equações v n, são defndos pelo conjunto de vetores que satsfazem as A v v, 1,, n, (7) assumndo que, A seja uma matrz quadrada de dmensão n e possua autovalores dstntos. De forma análoga, os autovetores a esquerda conjunto de vetores que satsfazem as equações n w da matrz A são o w w, 1,, n. A (8) é dada por A dependênca no tempo de um modo correspondente a um autovalor e λ t (AYRES, 2005) (BORGES, 2009). Os autovalores podem ter valores reas ou pares de conjugados complexos, e correspondem respectvamente a um modo não osclatóro e a um modo osclatóro. Os pares de autovalores conjugados aparecem na segunte forma: j, (9)

25 24 onde está lgado ao crescmento ou decamento exponencal da resposta e determna sua frequênca angular. A frequênca da osclação pode ser defnda através de f. 2 (10) Quando todos os autovalores do sstema apresentam uma resposta negatva, dzemos que o sstema é assntótcamente estável e se pelo menos um dos autovalores apresentarem um valor postvo podemos dzer que o sstema é assntótcamente nstável. O fator de amortecmento representa a taxa de decamento ou crescmento da ampltude das osclações de um dado modo de resposta. A ampltude do modo de resposta deca para 37% da ampltude ncal a 12 cclos de osclação (AYRES, 2005) (BORGES, 2009) (KUNDUR et al., 2004). Pode ser utlzado como índce de desempenho de um sstema, permtndo estabelecer a margem de establdade a pequenas perturbações do sstema. O fator de amortecmento pode ser escrto como. 2 2 (11) Fator de Partcpação O cálculo do fator de partcpação tem como objetvo determnar o grau de partcpação de determnada varável de estado em um modo de osclação de nteresse. Uma análse do sstema va os autovetores à dreta da matrz de estados pode oferecer a dstrbução de um modo de resposta entre as varáves de estado, porém devdo a sua dependênca das varáves de estado do sstema, esta análse pode apresentar problemas quando envolvem varáves de undade e dmensão muto dferentes. Consderando os autovalores a dreta e esquerda defndos pelas equações (7) e (8), o fator de partcpação é defndo como o produto, elemento por

26 25 elemento, dos autovetores a esquerda e a dreta assocado, conforme apresentado a segur: p w v (12) k k k onde w k é o k-ésmo elemento do -ésmo autovetor a esquerda w e v k é o k- ésmo elemento do -ésmo autovetor a dreta v (AYRES, 2005) (BORGES, 2009). Esses fatores são geralmente normalzados e admensonas, oferecendo a partcpação relatva da k-ésma varável de estado no -ésmo modo de resposta do sstema. Desta forma, é possível dentfcar as varáves estmuladas com maor ntensdade por determnados modos de nteresse, possbltando, por exemplo, a sua utlzação como snal de realmentação em uma malha de controle atuante sobre este modo Resíduo da função de transferênca O resíduo de uma função de transferênca oferece nformações sobre a controlabldade e a observabldade dos modos de resposta do sstema, e podem ser obtdos a partr de uma expansão em frações parcas da função de transferênca do sstema, consderando-se a entrada de controle e o snal de saída de nteresse. Os resíduos de uma função de transferênca podem ser obtdos a partr da expansão em frações parcas da função de transferênca do sstema, conforme descrto abaxo: R R R R s s s s n 1 2 n ( )..., Gs 1 2 n (13) 1 onde Gs () é a função de transferênca do sstema, R é o resíduo no polo do sstema. Tendo em vsta a dmensão dos modelos consderados em estudos de sstemas de potênca, a obtenção dos resíduos é comumente obtda a partr dos autovetores e autovalores do modelo lnear. Desta forma, a função de transferênca Gs () pode ser expressa por:

27 26 G s Y() s Us () C v I Λ w B (14) 1 ( )..( s )... Como Λ é uma matrz dagonal com os autovalores de A, pode-se escrever: n n R vw Gs ( ). s s C B (15) 1 1 Desta forma, o resíduo defne quanto um determnado modo de resposta é controlável e observável em função de uma saída e uma entrada de controle escolhdas. Sendo assm, através de uma análse de resíduos do sstema pode-se determnar a melhor localzação de um controlador projetado de forma que a atuação sobre o modo de resposta de nteresse seja otmzado (KUNDUR, 1994) Snas Establzantes Suplementares A establdade de ângulo a pequenas perturbações está dretamente assocada ao desbalanço entre os torques eletromecâncos das máqunas do sstema, o que leva os geradores a realzar trocas osclatóras de potênca. Para uma dada frequênca de osclação do rotor, o torque elétrco do gerador oscla na mesma frequênca com ampltude proporconal a da osclação. Essas varações no torque elétrco podem ser decompostas em duas componentes ortogonas, o torque de amortecmento, proporconal e em fase com as varações de velocdade do rotor, e o torque sncronzante, proporconal e em fase com as varações angulares do rotor. Em condções de regme, todos os geradores do sstema operam com a mesma velocdade, de forma que há um equlíbro entre os torques de amortecmento e sncronzante. Na ocorrênca de uma perturbação, o desequlíbro entre as duas componentes do torque elétrco pode resultar na nstabldade do sstema, denomnada nstabldade aperódca ou monotônca, na falta de torque sncronzante, e nstabldade osclatóra, quando é resultante da falta de torque de amortecmento.

28 27 O crescente uso de reguladores automátcos de tensão, de ação rápda e contínua, estabelecdos através de baxas constantes de tempo e altos ganhos estátcos, levaram a uma redução do amortecmento nerente aos sstemas elétrcos de potênca. Desta forma, a utlzação de snas establzantes na malha de controle dos reguladores automátcos de tensão, é aplcada em larga escala para fornecer amortecmento adconal para as osclações eletromecâncas do sstema de potênca. Esses snas establzantes são geralmente fornecdos por controladores denomnados establzadores de sstemas de potênca. Os establzadores de sstemas de potênca (ou PSS, do nglês, Power System Stablzer), são responsáves por aumentar a componente de torque de amortecmento dos geradores através da modulação da tensão de referênca do sstema de exctação do gerador (AYRES, 2005) (FURINI, 2008) (OLIVEIRA, 2006). A Fgura 1 apresenta a estrutura clássca de um PSS, composta por um ganho establzante e um fltro washout, a fm de o mesmo não atue em condções de regme, segudos por blocos de avanço de fase. Na fgura o índce k denota o k- ésmo establzador a ser projetado, enquanto nb representa o número de blocos de compensação empregados, normalmente são utlzados dos blocos de compensação. yk KPSSk STwk 1+STwk 1+ST1k nb 1+ST2k uk Fgura 1 - Estrutura clássca de um establzador de sstemas de potênca. Fonte: OLIVEIRA, RAMOS e BRETAS (2010). Atualmente, númeras metodologas de projetos de PSS s têm sdo propostas, dentre elas podemos ressaltar as baseadas na tradconal compensação de fase e na teora de controle moderno-robusto.

29 MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA PARA ESTUDOS DE ESTABILIDADE A PEQUENAS PERTURBAÇÕES O presente capítulo trata da modelagem dos componentes que usualmente consttuem um sstema elétrco de potênca multmáqunas para estudos de establdade. A obtenção dos modelos dos componentes que consttuem o sstema se dará de forma ndvdual e sequencal, de modo que, a modelagem fnal corresponda à conexão dos referdos modelos. Nos estudos realzados, fo consderado que a composção de um sstema elétrco de potênca é dada por geradores síncronos, reguladores de tensão, sstema de transmssão de energa elétrca e cargas Máqunas Síncronas A máquna síncrona é o elemento de maor mportânca nos estudos de establdade de sstemas elétrcos de potênca. Sua função é fornecer energa elétrca para as cargas do sstema através da rede de transmssão. Sua composção se dá bascamente por duas estruturas, o estator e o rotor. No rotor, mecansmo grante da máquna, é nserda a bobna referente ao crcuto de campo da máquna. O crcuto de campo é almentado por corrente contínua, de modo que, o campo magnétco gerado, alado ao movmento de rotação do rotor em uma frequênca fxa, nduza uma tensão aproxmadamente senodal nos enrolamentos do crcuto de armadura da máquna, presente no estator. Deste modo, a máquna síncrona apresenta um comportamento dnâmco com natureza eletromecânca, em função do movmento de rotação do rotor e das grandezas elétrcas presentes nos crcutos do estator e rotor da máquna (OLIVEIRA, 2006) (RODRIGUES, 2007). Em estudos de establdade a máquna síncrona é representada por um modelo equvalente de dos polos, que apresente condções balanceadas durante transtóros (ANDERSON e FOUAD, 1994). A Fgura 2 apresenta uma lustração de uma máquna síncrona de polos salentes.

30 29 No modelo dnâmco detalhado da máquna síncrona, o comportamento do rotor é representado por duas varáves de estado, posção e velocdade angular, e a característca elétrca da máquna síncrona é modelada através de crcutos equvalentes, utlzando a transformada de Park. Um dos crcutos equvalentes consderados descreve os efetos do fluxo prncpal do rotor, nduzdo pelo crcuto de campo, os efetos das correntes parastas no rotor e enrolamentos amortecedores são descrtos pelos demas crcutos equvalentes (RAMOS, 2002). Exo Dreto b Exo de referênca fxo ao estator c' Exo em Quadratura N Enrolamento de Campo a ' F Rotor S a Enrolamento de Armadura c Estator b' Entreferro Fgura 2 Máquna Síncrona de polos salentes. Fonte: OLIVEIRA (2006). Porém, este trabalho consdera um modelo mas smples, denomnado modelo de um exo, de tratamento computaconal mas fácl e capaz de descrever com precsão satsfatóra o comportamento da máquna para estudos de establdade, mas adequado aos estudos aqu realzados. O processo de obtenção detalhado do modelo de um exo pode ser encontrado em (RAMOS, ALBERTO e BRETAS, 2000). Segundo o modelo adotado, o comportamento dnâmco das grandezas mecâncas da máquna síncrona, pode ser descrto a partr da equação de swng do gerador, a qual, decomposta em duas equações dferencas de prmera ordem, equações (16) e (17), é apresentada a segur.. s (16) s

31 30 1 ( Pm Pe D ), (17) 2H onde é o ângulo elétrco do rotor, é a velocdade angular do rotor do gerador, s é a velocdade síncrona do sstema, H é a constante de nérca, P m e P e são, respectvamente, a potênca mecânca e potênca elétrca do gerador e D a constante de amortecmento (OLIVEIRA, 2006). O comportamento dnâmco das grandezas elétrcas da máquna síncrona é modelado em função do comportamento da tensão transtóra nterna da máquna, descrta pela equação dferencal de prmera ordem dada por 1 E ' q EFD E ' q ( xd x ' d ) Id, ' (18) do onde E ' q é a tensão transtóra do exo em quadratura, E FD é a tensão aplcada no crcuto de campo referdo ao estator, ' do é a constante de tempo transtóra de exo dreto, x d e x' d são, respectvamente, a reatânca síncrona e transtóra de exo dreto e I d é a corrente do estator de exo dreto. A tensão termnal da máquna, desprezando-se a resstênca de armadura, é dada por: V V, (19) t q jv d onde as tensões termnas dos exo dreto e em quadratura são expressas pelas equações (20) e (21), respectvamente (OLIVEIRA, 2006). V x' I, (20) d q q V E' x' I. (21) q q d d

32 31 Deste modo, as característcas elétrcas e mecâncas da máquna síncrona de polos salentes adotada neste trabalho podem ser expressas pelo conjunto das equações (16), (17), (18) e (19) Sstema de exctação da máquna síncrona Reguladores Automátcos de Tensão (ou AVRs, do Inglês, Automatc Voltage Regulators), têm a função de corrgr os desvos da tensão termnal do gerador síncrono, de acordo com um valor de referênca. Também pode proporconar o controle da potênca reatva gerada e do fator de potênca da máquna. O sstema de exctação atua sobre a tensão termnal do gerador síncrono através do fornecmento de corrente contínua para o crcuto de campo do rotor. A exctatrz produz a corrente necessára para o ajuste da tensão termnal da máquna, de acordo com a referênca estabelecda (RAMOS, 2002). Neste trabalho, o modelo do sstema de exctação adotado consste no tpo ST1, dado em (CRENSHAW et al., 1981). Realzadas algumas smplfcações, o modelo pode ser expresso através da segunte equação dferencal de prmera ordem: 1 [ K T FD e( Vref Vt Vs ) E FD], (22) e E onde V t é o módulo da tensão termnal, V ref é a tensão termnal de referênca, V s é a entrada suplementar de controle do regulador (também conhecdo como snal establzante), K e é o ganho do regulador e T e é a constante de tempo da exctatrz Rede de transmssão e cargas A modelagem das cargas de um sstema elétrco de potênca apresenta certa complexdade, devdo a dferença da natureza das mesmas e da grande

33 32 quantdade de elementos não lneares presentes sem sua composção (OLIVEIRA, 2006) (RODRIGUES, 2007). A fm de possbltar uma smplfcação no modelo fnal, neste trabalho as cargas serão representadas como mpedâncas constantes, lgadas aos barramentos do sstema. Este artfíco permte que um processo de redução de rede seja realzado, elmnando o conjunto de equações algébrcas, de modo que, o modelo do sstema seja representado apenas por um conjunto de equações dferencas na forma de espaço de estados (RAMOS, 2002). A rede de transmssão de um sstema elétrco de potênca tem a função de conectar os geradores e cargas do sstema, transportando energa entre eles. Consderando que os transtóros das redes de transmssão, são muto mas rápdos que as varações transtóras da máquna síncrona, os mesmos podem ser desprezados. Deste modo a rede de transmssão pode ser modelada como um crcuto estátco passvo, através de uma equação algébrca matrcal do tpo I = Ybus V,, onde I é um vetor com as correntes njetadas no sstema, V é o vetor das tensões nos barramentos e Ybus é a matrz de admtânca modfcada, nclundo as mpedâncas constantes das cargas (RAMOS, 2002) (OLIVEIRA, 2006) (RODRIGUES, 2007). Quando modelada a máquna síncrona, suas equações foram referdas aos seus própros exos d e q, porém, num sstema multmáqunas é necessáro expressar todas as equações em função de uma referênca síncrona comum, como por exemplo, a referênca angular do fluxo de carga em condções de equlíbro. A equação algébrca que defne o sstema de transmssão, fornece para cada barramento do sstema uma tensão V em relação à referênca comum adotada (denomnada exo Re ) (RAMOS, 2002) (RODRIGUES, 2007). Deste modo, nas barras de geração, a dreção do exo q, e por consequênca o ângulo, entre a tensão E q da máquna e o exo Re, é dado pela dreção da tensão fctíca E qd, conforme apresentado na Fgura 3. Consderando a referênca comum para todo o sstema, as equações da - ésma máquna do sstema podem ser escrtas como s s (23),

34 33 1 2H [ Pm E' q I R cos E' q I I sen D ], (24) E' 1 ' q [ EFD E' q( xd x' d ) I R sen ( xd x' d ) I I cos ], (25) do 1 [ ( 2 2 FD e ref R I. s ) FD ], Te E K V V V V E (26) V R E' cos x' I, (27) q d I V I E' sen x' I, (28) q d R Fgura 3 Dagrama fasoral para o cálculo da posção do exo q da máquna síncrona. Fonte: OLIVEIRA (2006). A equação do sstema é dada por I = YbusV que defne a corrente njetada em cada barramento I R ji I nb k1 Y k ( V Rk jv Ik ), (29) onde Y k representa os elementos da matrz sstema. Y bus e nb, o número total de barras do

35 Redução da rede de transmssão A fm de que seja possível a aplcação de grande parte das técncas lneares de análse e controle de sstemas de potênca, a modelagem destes sstemas deve ser expressa apenas em função de equações dferencas. Portanto, as equações algébrcas que descrevem o modelo da máquna síncrona e do regulador automátco de tensão devem ser elmnadas. A elmnação das equações algébrcas pode ser feta por meo de um processo denomnado redução de rede. Inclundo as reatâncas transtóras dos geradores na matrz Ybus do sstema e elmnando as barras de cargas do sstema por meo da Elmnação de Gauss, reduzmos o sstema às barras nternas dos geradores, de forma que o sstema de transmssão, as cargas e as reatâncas transtóras dos geradores passam a ser representadas por uma matrz de admtâncas modfcada geração por Y r (RAMOS, 2002) (OLIVEIRA, 2006) (RODRIGUES, 2007). Desta forma podemos expressar as correntes njetadas nas barras de I R n k1 G k E' qk cos B E' sen (30) k k qk k I I n k1 B E' k qk cos G E' sen, (31) k k qk k sendo E' Rk e E' Ik as partes real e magnára, respectvamente, da tensão transtóra nterna da máquna k, G k e B k são respectvamente, as partes real e magnára do elemento Y _ da matrz Y r e n, o número de geradores do sstema. r k Substtundo as equações (30) e (31) nas equações (23)-(26), encontra-se um novo conjunto de equações que descrevem o gerador síncrono no sstema reduzdo: s s (32),

36 35 n 1 [ P D E ' E ' ( G cos( ) B sen( ))], (33) m q qj j j j j 2H j1 n 1 E ' [ E E ' ( x x' ) ( G E ' sen( ) B E ' cos( ))], (34) q FD q d d j qj j j qj j ' do j1 1 [ K T FD e ( Vref Vt Vs) E FD ]. (35) e E V t [ E' 2 q 2E' q x' n d j1 E' qj ( B j cos( ) G j j sen( ) n n 2 1/ 2 d qk ql j l j l j l j l j l j l j1 l1 x' E ' E ' ( G G cos( ) 2G B sen( ) B B cos( ))]. j (36)

37 36 3. DENVOLVIMENTO 3.1. FORMULAÇÃO LMI PARA O PROJETO DE CONTROLADORES BASEADOS NA REALIMENTAÇÃO DINÂMICA DA SAÍDA. A análse da establdade e o projeto de controladores de amortecmento para sstemas elétrcos de potênca podem ser formulados através de LMIs. Através da formulação dos problemas de controle por meo de LMIs, é possível determnar soluções numércas para problemas de solução analítca dfícl ou nexstente, assm como a especfcação de números crtéros de desempenho no procedmento de projeto do controlador (OLIVEIRA, 2006). A formulação de problemas que envolvem restrções através de LMIs caracterzam problemas de otmzação convexa, onde o objetvo é maxmzar ou mnmzar uma função objetvo lnear sujeta a restrções na forma de LMIs, e problemas de factbldade, que consstem na determnação de uma solução que satsfaça a restrção na forma de LMIs. A análse da establdade de sstemas elétrcos de potênca submetdos a pequenas perturbações pode ser determnada por um problema de factbldade através da equação clássca de Lyapunov. O sstema elétrco de potênca pode ser defndo, em um determnado ponto de operação, por um modelo Lnear Invarante no Tempo (ou LTI, do nglês Lnear Tme Invarant) dado por x(t) Ax (t), x( 0 ) x 0. (37) A exstênca de uma matrz T P = P > 0, que satsfaça as desgualdades das equações (38) e (39), caracterza a condção necessára para que a trajetóra do sstema LTI convrja para zero com o tempo tendendo a nfnto (BOYD et al., 1994). T V( x ) x Px 0 (38)

38 37 V( ) T T T T x x Px + x Px = x (A P + PA)x < 0 (39) A equação (38) é chamada de função quadrátca de Lyapunov. A exstênca da condção de factbldade das equações (38) e (39) caracterza o sstema da equação (37) como quadratcamente estável (BOYD et al., 1994). A formulação LMI da condção sufcente para provar a establdade do sstema LTI é dado por e T P = P > 0 (40) T A P + PA < 0. (41) A fm de establzar ou melhorar o desempenho de um sstema dnâmco, pode-se atuar nele através de um snal de controle u (t). Consderando o snal de controle e o snal de saída da planta, o sstema lnear da equação (37) passa a ser escrto como: x(t) Ax(t) Bu (t), (42) y(t) Cx (t), (43) onde y (t) é o vetor com as saídas do sstema lnear (42). A fm de garantr um bom desempenho do sstema em malha fechada, pode-se utlzar um controlador baseado na realmentação dnâmca da saída, que possbltam um maor número de especfcações do problema de controle. A le de realmentação de um controlador baseado na realmentação dnâmca da saída é dada por u = K(s) y, (44) onde K (s) é a função de transferênca do controlador. Sua representação por espaço de estados é dada por

39 38 x ( t) A x ( t) B y ( t ), (45) C C C C u( t) C x ( t ), (46) C C onde x m () t R é o vetor de estados do controlador. A equação (42) descreve o C q comportamento dnâmco do controlador em função da saída da planta ( y() t R ). O snal de controle provenente da equação (43) é resultado da aplcação do ganho nos estados do controlador. O sstema em malha fechada, composto pela assocação do conjunto de equações (42), (43), (45) e (46) é dado por C C x(t) Ax (t), (47) onde 2m x() t R é um vetor com os estados do sstema e do controlador e 2 mx 2 AR m é a matrz de estados do sstema em malha fechada, defnda como: A BCC A=. (48) B C C A C Desta forma, encontrar as matrzes A C, B C e C C que satsfaçam que atendam as restrções estabelecdas pelo problema de amortecmento de osclações eletromecâncas de baxa frequênca, passa a ser o problema de controle (OLIVEIRA, 2006) TÉCNICA DE CONTROLE ROBUSTO BASEADA NO POSICIONAMENTO REGIONAL DE POLOS COMO ÍNDICE DE DESEMPENHO O modelo lnear de sstemas elétrcos de potênca traz consgo ncertezas relaconadas ao ponto de operação do sstema. Tendo em vsta a característca varável do ponto de operação e sua nfluênca negatva sobre o amortecmento de osclações eletromecâncas de baxa frequênca, é necessára a nclusão destas

40 39 ncertezas na modelagem do sstema. Através da construção de modelos que consderem as varações no ponto de operação do sstema em malha fechada, pode-se garantr a robustez de establdade e desempenho do sstema. A robustez de establdade pode ser garantda através da modelagem poltópca do sstema, técnca que consdera múltplos pontos de operação através de um conjunto L de modelos lneares, obtdos a partr da conexão de modelos lneares do sstema com o modelo de estados do controlador. O conjunto de modelos lneares é dado por x( t) A x ( t). (49) As matrzes A, para 1,, L, são as matrzes de estados do sstema em malha fechada defndas como A BCC A =, (50) B C C A C onde A, B e C para 1,, L, são as matrzes de estados do sstema em malha aberta, matrzes de entrada e matrzes de saída, respectvamente. As matrzes A C, B C e C C representam as matrzes a serem determnadas pelo procedmento de projeto (OLIVEIRA, 2006) (BOYD et al., 1994). A robustez de desempenho do sstema é garantda através da especfcação de um índce de desempenho mínno na fase de projeto do controlador. O fator de amortecmento mínmo, utlzado em conjunto com a taxa de amortecmento mínma, é comumente aceto em sstemas elétrcos de potênca como um índce de establdade frente a pequenas perturbações (GOMES, MARTINS e PORTELA, 2003). Em metodologas LMI, o fator de amortecmento mínmo é usualmente especfcado através do posconamento regonal de polos, que consste na mposção da localzação dos polos do sstema em malha fechada a uma regão determnada, de acordo com o fator e taxa de amortecmento desejado (CHILALI e GAHINET, 1996) (CHILALI, GAHINET e APKARIAN, 1999). Neste sentdo, conforme

41 40 apresentado na Fgura 4, a margem de establdade desejada, especfcada através de posconamento regonal de polos, será alcançada quando todos os polos do sstema em malha fechada se localzarem na regão delmtada pelo fator de amortecmento mínmo. 0 Im Regão de alocação dos polos em malha fechada Re Fgura 4 Regão para o posconamento de polos a partr de um fator de amortecmento mínmo. Fonte: Autora Própra (2011). A restrção na forma LMI, correspondente ao posconamento regonal de polos, que defnem a regão de localzação dos polos dada por um fator de amortecmento maor que, consderando que exsta uma matrz 0 dada pela equação (51). T P = P > 0, é T T sen θ( A P + PA ) cos θ( PA - A P ), T T <0 cos θ( A P - PA ) sen θ( A P + PA ) (51) 1 onde θ cos. 0 A combnação da modelagem poltópca com as desgualdades matrcas determnadas pelo posconamento regonal de polos defne a robustez de desempenho do sstema em malha fechada na fase de projeto dos controladores, de forma a garantr um desempenho mínmo para o sstema em malha fechada para todos os pontos de operação contdos no poltopo (RAMOS, ALBERTO e BRETAS, 2004). A LMI que defnem esta combnação é dada pela equação (52).