PROJETO DE CONTROLADORES DE AMORTECIMENTO PARA SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

Transcrição

1 Rcardo Vasques de Olvera PROJETO DE ONTROLADORES DE AMORTEIMENTO PARA SISTEMAS ELÉTRIOS DE POTÊNIA Tese apresentada à Escola de Engenhara de São arlos da Unversdade de São Paulo, como parte dos requstos para a obtenção do Título de Doutor em Engenhara Elétrca. ORIENTADOR: Prof. Newton G. Bretas O-ORIENTADOR: Prof. Rodrgo A. Ramos São arlos 26

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3 A mnha querda mãe, Drce, e meus rmãos Renato e belle.

4 v Agradecmentos Ao Prof. Newton Geraldo Bretas, pela orentação e lções que não podem ser encontradas em lvros. Ao Prof. Rodrgo Andrade Ramos, pela co-orentação, pelo exemplo profssonal e pessoal. Ao Prof. Lus Fernando osta Alberto, pelas dscussões técncas. A todos os companheros do LAO, pelas dscussões técncas e amzade. A todos os amgos e famlares que contrbuíram de forma dreta e ndreta para a concretzação deste trabalho. A todos os professores e funconáros do Departamento de Engenhara Elétrca da EES / USP, pela contrbução dreta e ndreta. À FAPESP, pela bolsa de estudo concedda.

5 v "É melhor tentar e falhar, que preocupar-se e ver a vda passar; é melhor tentar, anda que em vão, que sentar-se fazendo nada até o fnal. Eu prefro na chuva camnhar, que em das trstes em casa me esconder. Prefro ser felz, embora louco, que em conformdade vver..." Martn Luther Kng Jr. ( )

6 v onteúdo Lsta de Fguras Lsta de Tabelas Lsta de Abrevaturas e Sglas Lsta de Símbolos Resumo Abstract x x x x xv xv 1. Introdução 1 2. Modelos Multmáqunas: Desenvolvmento do Modelo Padrão e Modelo com a Hpótese do Barramento Infnto Modelo Padrão Máqunas Síncronas Sstema de Exctação da Máquna Síncrona Sstema de Transmssão e argas Sstema de Referênca Redução da Rede de Transmssão Modelo Lnear Modelo com Barramento Infnto Técncas de ontrole: Técncas onvenconas de Projeto Técncas de ontrole lássco Técncas de ontrole Moderno Baseadas em Desgualdades Matrcas Lneares Projeto de ontroladores Baseado em Desgualdades Matrcas Lneares Técncas de ontrole Robusto Índce de Desempenho

7 v 4. Problema de ontrole Proposto: Abordagem com a Energa da Saída como Índce de Desempenho Energa nétca do Sstema Energa da Saída como Índce de Desempenho Formulação do Problema de ontrole Parametrzações e Mudanças de Varáves Procedmento de Projeto do ontrolador Proposto Regão para Lmtar os Pólos do Sstema em Malha Fechada Testes e Resultados: Abordagem com a Hpótese do Barramento Infnto Sstema Teste 1: Abordagem com a Hpótese do Barramento Infnto Sstema Teste 1 em Malha Aberta Sstema Teste 1: Projeto e Teste dos ontroladores Propostos ontrolador Baseado em Técnca de ontrole lássco Sstema Teste 2: Abordagem com a Hpótese do Barramento Infnto Modelo Multmáquna: Abordagem sem a Hpótese do Barramento Infnto Modelo com o Ângulo de uma das Máqunas como Referênca Ganho Nulo dos ontroladores em Regme Permanente Obtenção do Ganho Nulo dos ontroladores em Regme Permanente Testes e Resultados: Abordagem sem a Hpótese do Barramento Infnto e Análse da Influênca de tal Hpótese Sstema Teste 1: Abordagem sem a Hpótese do Barramento Infnto e Análse da Influênca de tal Hpótese Dnâmca do Sstema Teste 1 com e sem a Hpótese do Barramento Infnto Projeto dos ontroladores Propostos Baseado na Abordagem sem a Hpótese do Barramento Infnto Projeto dos ontroladores Propostos com a Hpótese do Barramento Infnto Sstema Teste 3: Abordagem sem a Hpótese do Barramento Infnto e Análse da Influênca de tal Hpótese... 97

8 v Dnâmca do Sstema teste 3 com e sem a Hpótese do Barramento Infnto Sstema Teste 3: Projeto dos ontroladores Propostos com a Hpótese do Barramento Infnto Sstema Teste 3: Projeto dos ontroladores Propostos sem a Hpótese do Barramento Infnto onclusões 16 Bblografa 19 Apêndce A - Modelo com Sstema Prmáro de ontrole de Velocdade 116 Apêndce B - Dados do Sstema Teste Apêndce - Dados do Sstema Teste Apêndce D - Dados do Sstema Teste 3 137

9 x Lsta de Fguras 2.1 Representação lustratva da máquna síncrona de dos pólos rcuto equvalente da máquna síncrona Dagrama esquemátco do sstema de exctação Dagrama de Blocos do regulador IEEE ST Dagrama fasoral com os sstemas de referênca Representação do sstema multmáqunas Estrutura de controle do tpo rede de avanço-atraso Esquema de realmentação com E Regão para o posconamento de pólos Relação entre as osclações de velocdade e a energa cnétca do sstema Elpsóde no espaço R Regão para lmtar os pólos do sstema em malha fechada Dagrama unflar do sstema teste Autovalores do sstema teste 1 em malha aberta Velocdades dos rotores dos geradores do sstema teste 1 em malha aberta Pólos do sstema teste 1 equpado com os controladores propostos Sstema teste 1 operando com controladores propostos Tensões termnas dos geradores operando com controladores propostos Sstema teste 1 operando com controladores propostos - +7% Autovalores do sstema teste 1 equpado com controladores baseados em técnca de controle clássco Sstema teste 1 operando com controladores baseados em técnca de controle clássco Dagrama unflar do sstema teste Sstema teste 2 operando com controladores propostos Sstema teste 2 operando com controladores baseados no posconamento regonal de pólos Modos eletromecâncos do sstema teste 1 equpado com controladores propostos baseados no modelo multmáqunas com um ângulo como referênca... 92

10 x 7.2 Velocdades dos rotores dos geradores do sstema teste 1 equpado com controladores baseados no modelo multmáqunas com um ângulo como referênca Tensões termnas dos geradores do sstema teste 1 equpado com controladores baseados no modelo multmáqunas com um ângulo como referênca (fltro washout ncluído) Modos eletromecâncos do sstema teste 1 equpado com controladores baseados no modelo multmáqunas com controle de velocdade Velocdades dos rotores dos geradores do sstema teste 1 equpado com controladores baseados no modelo multmáqunas com um ângulo como referênca Autovalores referentes aos modos eletromecâncos do sstema teste 1 equpado com controladores baseados no modelo multmáqunas com barramento nfnto Velocdades dos rotores dos geradores do sstema teste 1 equpado com controladores baseados no modelo multmáqunas com barramento nfnto Dagrama unflar do sstema teste Sstema teste 3 operando com controladores baseados no modelo com o gerador 3 como barramento nfnto (fltro washout ncluído) Sstema teste 3 operando com controladores baseados no modelo com o gerador 6 como barramento nfnto (fltro washout ncluído) Sstema teste 3 operando com controladores baseados no modelo com o gerador 1 como barramento nfnto (fltro washout ncluído) Pólos do sstema teste 3 equpado com controladores baseados no modelo multmáqunas com um ângulo como referênca (com e sem washout) Sstema teste 3 operando com controladores baseados no modelo multmáqunas com um ângulo como referênca (com e sem washout) A Dagrama esquemátco do controle prmáro de velocdade A Dagrama de blocos do sstema prmáro de controle de velocdade B Dagrama unflar do sstema teste B Dagrama de Bode das funções de transferênca (2B)-(4B) B Dagrama de Bode das funções de transferênca (5B)-(8B) Dagrama unflar do sstema teste D Dagrama unflar do sstema teste

11 x Lsta de Tabelas 5.1 Desvos utlzados para defnr o elpsóde Autovalores do sstema teste 1 com e sem a hpótese do barramento nfnto Autovalores do sstema teste 3 com e sem a hpótese do barramento nfnto B Dados do sstema de transmssão do sstema teste B ondção de operação referente ao caso base (sstema teste 1) B Parâmetros dos geradores do sstema teste B Parâmetros dos establzadores convenconas do sstema teste Dados do sstema de transmssão do sstema teste ondção de operação referente ao caso base (sstema teste 2) Parâmetros dos geradores do sstema teste D Dados do sstema de transmssão do sstema teste D ondção de operação referente ao caso base (sstema teste 3) D Parâmetros dos geradores do sstema teste

12 x Lsta de Abrevaturas e Sglas AVR - Automatc Voltage Regulator BMI - Blnear Matrx Inequalty AG - ontrole Automátco de Geração E - Establzador onvenconal FATS - Flexble A Transmsson Systems IDLP - Inclusão Dferencal Lnear Poltópca LMI - Lnear Matrx Inequalty LTI - Lnear Tme Invarant PRP - Posconamento Regonal de Pólos PSS - Power System Stablzer

13 x Lsta de Símbolos δ δ ω - ângulo do rotor do gerador, [rad] - centro de ângulo do sstema (ângulo do OA), [rad] - velocdade angular do rotor do gerador, [p.u.] ω - desvo de velocdade angular do gerador, [p.u.] ω θ ~ ω - velocdade do centro de ângulo (velocdade do OA), [p.u.] - ângulo do rotor do gerador na referênca do OA, [rad] - velocdade angular do rotor do gerador na referênca do OA, [p.u.] E' q - componente da tensão transtóra ao longo do exo em quadratura do gerador, [p.u.] E FD - tensão de campo do gerador, [p.u.] P m - potênca mecânca do gerador, [p.u.] X S - posção do servomotor do sstema prmáro de controle de velocdade do gerador G T H M M T D D T I d - posção do dstrbudor da turbna do gerador - constante de nérca do gerador, [s] - momento angular do gerador, [p.u.] - momento angular total do sstema, [p.u.] - constante de amortecmento do gerador, [p.u torque/ p.u. velocdade] - constante de amortecmento total do sstema, [p.u torque/ p.u. velocdade] - componente da corrente do estator ao longo do exo dreto do gerador, [p.u.] I q - componente da corrente do estator ao longo do exo em quadratura do gerador, [p.u.] V d - componente da tensão termnal ao longo do exo dreto do gerador, [p.u.] V q - componente da tensão termnal ao longo

14 xv x d do exo em quadratura do gerador, [p.u.] - reatânca síncrona de exo dreto do gerador, [p.u.] x' d - reatânca transtóra de exo dreto do gerador, [p.u.] x' q - reatânca transtóra de exo em quadratura do gerador, [p.u.] τ ' do - constante de tempo transtóra de exo dreto r em crcuto aberto do gerador, [s] - resstênca de uma fase do estator do gerador, [p.u.] K e - ganho do regulador de tensão do gerador T e V t - constante de tempo do regulador de tensão do gerador, [s] - tensão termnal do gerador, [p.u.] V ref - referênca para o regulador de tensão do gerador, [p.u.] V s R - snal establzante para o regulador de tensão do gerador, [p.u.] - estatsmo (ou regulação de velocdade) do gerador R T - estatsmo transtóro do gerador T G - constante de tempo do servomotor do sstema prmáro de controle de velocdade do gerador, [s] T R - constante de tempo do compensador transtóro do sstema prmáro de controle de velocdade do gerador, [s] T w - constante de tempo de partda da água da turbna hdráulca I V do gerador, [s] - vetor com as correntes njetadas na rede de transmssão, [p.u.] - vetor com as tensões dos barramentos da rede de transmssão, [p.u.] Y bus - matrz com as admtâncas da rede de transmssão, [p.u.] V - modulo da tensão termnal do barramento, [p.u.] β - ângulo da tensão termnal do barramento, [rad] V R - componente da tensão termnal do gerador ao longo do exo real da referênca síncrona comum, [p.u.] V I - componente da tensão termnal do gerador ao longo do exo magnáro da referênca síncrona comum, [p.u.]

15 xv I R - componente da corrente do estator do gerador ao longo do I I Y r exo real da referênca síncrona comum, [p.u.] - componente da corrente do estator do gerador ao longo do exo magnáro da referênca síncrona comum, [p.u.] - matrz admtânca modfcada da rede de transmssão, [p.u.] G k - parte real do elemento da matrz Y r, [p.u.] B k - parte magnára do elemento da matrz n x - número de geradores do sstema - vetor de estados x - vetor de estados no tempo t = x - vetor de desvos com relação ao estado x Y r, [p.u.] ς - fator de amortecmento mínmo do sstema em malha fechada σ - taxa de decamento mínma do sstema em malha fechada γ - lmte superor para a energa da saída do sstema s em malha fechada - freqüênca complexa K pss - ganho do establzador convenconal (E) do gerador T ws - constante de tempo do fltro tpo washout do -ésmo E, [s] a - constante de tempo do -ésmo E, [s] T1 T4 A, B e - matrzes da realzação de estados dos establzadores y u θ Ω robustos - vetor de saídas do modelo lnearzado - vetor de entradas do modelo lnearzado - ângulo do setor cônco no posconamento regonal de pólos - conjunto convexo que defne uma Inclusão Dferencal Lnear Poltópca Sg base - potênca base dos geradores, [MVA] Vg base - tensão base dos geradores, [kv] S base - potênca base do sstema, [MVA] V base - tensão base do sstema, [kv]

16 xv P g - parcela de varação de potênca atva total requerda pelas cargas, [MW] P total - varação de potênca atva total F ( s ) assumda pelo gerador, [MW] - funções de transferênca dos controladores propostos projetados

17 xv Resumo OLIVEIRA, R. V. (26). Projeto de ontroladores de Amortecmento para Sstemas Elétrcos de Potênca. Tese (Doutorado) Escola de Engenhara de São arlos, Unversdade de São Paulo, São arlos, 26. O presente trabalho propõe, como novação, o lmte superor para a energa da saída do sstema em malha fechada como índce de desempenho a ser usado no projeto de controladores robustos para amortecer osclações eletromecâncas de baxa freqüênca em sstemas de potênca. A saída do sstema em malha fechada é especfcada de forma que a energa da saída corresponda ao valor acumulado do desvo da energa cnétca do sstema. O índce de desempenho proposto mostrou-se adequado ao problema de osclações eletromecâncas. Tal índce de desempenho é utlzado na formulação de uma metodologa sstemátca de projeto. O problema de controle é estruturado na forma de desgualdades matrcas lneares, permtndo a obtenção de uma solução numérca para o problema. A obtenção da solução do problema de controle proposto (energa da saída como índce de desempenho) exge menos dspêndo computaconal, quando comparado com o tradconal fator de amortecmento mínmo na forma de posconamento regonal de pólos. Tal característca pode ser sgnfcatva para o tempo computaconal requerdo pelo projeto de controladores envolvendo modelos sstemas de potênca de ordem elevada. O projeto de controladores de amortecmento robustos, baseados em modelos multmáqunas que dspensem a hpótese de exstênca de um barramento nfnto, consttu a segunda parte da pesqusa proposta. Os problemas nerentes à hpótese do barramento nfnto são resolvdos pelo uso de duas abordagens que não adotam tal hpótese. A prmera abordagem adotada refere-se ao uso de um modelo multmáqunas com o ângulo de uma das máqunas do sstema como referênca angular. A segunda alternatva proposta é a ncorporação do sstema prmáro de controle de velocdade no modelo multmáqunas referente à prmera alternatva. Além de resolver o problema referente ao uso do barramento nfnto, o presente trabalho também propõe análses da nfluênca da hpótese de tal barramento no projeto de controladores de amortecmento. A nfluênca da hpótese do barramento nfnto no projeto dos controladores é delneada por meo dos fundamentos expostos e dos resultados obtdos com as dferentes alternatvas utlzadas. Palavras-chave: Sstemas de Potênca; Dnâmca de Sstemas de Potênca; Establdade a Pequenas Perturbações; ontroladores de Amortecmento; ontrole Robusto; Desgualdades Matrcas Lneares.

18 xv Abstract OLIVEIRA, R. V. (26). Desgn of Dampng ontrollers for Electrc Power Systems. Ph.D. Thess Escola de Engenhara de São arlos, Unversdade de São Paulo, São arlos, 26. The present work proposes, as nnovaton, an upper bound for the output energy of the closed loop system to be used as a performance ndex n the desgn of robust controllers to damp low-frequency electromechancal oscllatons n electrc power systems. The output of the closed loop system s specfed so that the output energy corresponds to the accumulated value of the knetc energy devaton of the closed loop system. The performance ndex used n the procedure has shown to be sutable to the oscllaton problem. The proposed performance ndex s used n the formulaton of a systematc desgn methodology. The control problem s structured n the form of lnear matrx nequaltes, allowng a numercal soluton to the control problem. The adopted performance ndex s less costly n terms of computatonal effort when compared wth the tradtonal mnmum dampng rato (performance ndex usually accepted n power system as small sgnal stablty margn) va regonal pole placement n the LMI formulaton. Ths characterstc may be sgnfcant to the computatonal tme requred for the controller desgn nvolvng large power system models. The robust dampng controller desgn, based on multmachne models wthout the nfnte-bus assumpton, consttutes the second part of ths research proposal. The problems nherent to the nfnte-bus assumpton are solved by means of two approaches whch do not use such assumpton. The frst proposed approach refers to the use of a multmachne model adoptng one machne angle of the system as angular reference. The second adopted approach s the ncorporaton of the prmary speed control n the multmachne model regardng to the frst approach. Besdes solvng the problem regardng to the use of nfnte-bus assumpton, the present work also proposes analyses of such assumpton nfluence n the desgn of dampng controllers. The nfluence of such assumpton, n the desgn of the controllers, s outlned by means of exposed fundamentals and results obtaned wth the proposed approaches. Keywords: Power Systems; Power System Dynamcs; Small sgnal Stablty; Dampng ontrollers; Robust ontrol; Lnear Matrx Inequaltes.

19 1 apítulo 1 INTRODUÇÃO Os sstemas elétrcos de potênca contemporâneos, em geral, apresentam uma resposta transtóra de natureza osclatóra. Esta resposta osclatóra é ntrínseca ao sstema, e é caracterzada por osclações eletromecâncas de baxa freqüênca. A natureza da resposta osclatóra do sstema depende de dversos fatores, dentre os quas os prncpas são: ponto de operação do sstema, capacdade de transferênca de potênca do sstema de transmssão, parâmetros construtvos dos geradores e tpo do sstema de exctação dos geradores que consttuem o sstema de potênca. Estas osclações podem ser exctadas por pequenas perturbações, tas como varações normas de carga, varações normas da geração, varações na confguração do sstema de transmssão e até mesmo por pequenas faltas aleatóras. Uma classfcação detalhada dos tpos de dstúrbos que podem ser caracterzados como pequenas perturbações é nexeqüível devdo à grande varedade de dstúrbos aos quas os sstemas elétrcos de potênca estão sujetos. No entanto, as pequenas perturbações podem ser usualmente defndas como o conjunto de todos os dstúrbos que não afastam sgnfcatvamente os sstemas elétrcos de potênca do ponto de operação orgnal (ou equvalentemente, que não afastam sgnfcatvamente as varáves de estado do ponto de equlíbro orgnal). Pode-se entender por afastamento sgnfcatvo o afastamento que não permte a lnearzação do modelo que representa os sstemas elétrcos de potênca, sem prejuízo sgnfcatvo da precsão da análse da dnâmca do sstema. As osclações eletromecâncas de baxa freqüênca são prejudcas para a operação dos sstemas elétrcos de potênca, pos elas podem causar a fadga do exo dos geradores, desgaste excessvo dos atuadores mecâncos dos controladores dos geradores, e dfcultar a operação do sstema em condções transtóras. Tas osclações

20 2 podem persstr no sstema por mnutos, e em alguns casos geram lmtações nas transferêncas de potênca entre as barras do sstema. Além dsto, em casos extremos, as osclações de baxa freqüênca, quando mal amortecdas, podem causar a perda de sncronsmo dos geradores. Não é possível elmnar as osclações eletromecâncas, uma vez que elas são nerentes aos sstemas elétrcos de potênca. No entanto, os efetos adversos causados por elas podem ser mnmzados por meo do seu amortecmento. Além de estender o lmte de transferênca de potênca, em condções transtóras, o amortecmento das osclações proporcona uma operação estável, segura e contínua dos sstemas elétrcos de potênca submetdos a pequenas perturbações. O problema de osclações eletromecâncas de baxa freqüênca é estudado pela subárea da establdade denomnada de Establdade a Pequenas Perturbações. Os estudos de establdade a pequenas perturbações enfocam o comportamento dos sstemas elétrcos de potênca após a ocorrênca de pequenas perturbações. O objetvo prmáro de tas estudos é o melhoramento da resposta dos sstemas elétrcos de potênca submetdos a pequenas perturbações. Os estudos em questão dentfcaram dversos tpos de osclações em város sstemas elétrcos de potênca. A classfcação mas usual dos tpos de osclação é: - Modos ntra-planta: ocorrem entre geradores próxmos, geralmente os localzados na mesma undade geradora, na faxa de freqüênca de,7 a 2, Hz (KUNDUR, 1994); - Modos locas: são caracterzados pela osclação de uma planta de geração contra o resto do sstema de potênca, e geralmente ocorrem na faxa de freqüênca de,7 a 2, Hz (KUNDUR, 1994); - Modos nter-área: envolvem um grupo de geradores osclando coerentemente contra outro grupo em uma área dferente, e geralmente ocorrem na faxa de freqüênca de,1 a,7 Hz (KLEIN et al., 1991); Além desses, exstem os modos da exctatrz, que são caracterzados por osclações no sstema de exctação dos geradores, e os modos torconas, que são caracterzados, em geral, por osclações das partes (seções), que consttuem o exo do conjunto turbogerador. Ambos os modos podem ser nstablzados pela nteração de controladores projetados de manera nadequada (KUNDUR, 1994).

21 3 Em (DEMELLO & ONÓRDIA, 1969) fo proposta a utlzação de um snal establzante, dervado da velocdade do rotor (ou de outro snal proporconal à velocdade), que devera ser adconado à referênca dos Reguladores Automátcos de Tensão (ou AVRs, do Inglês Automatc Voltage Regulators) para produzr amortecmento adconal às osclações. Também foram propostos em (DEMELLO & ONÓRDIA, 1969) procedmentos de projeto para um controlador responsável pelo amortecmento das osclações. Tal controlador tem como entrada o desvo de velocdade angular do rotor do gerador e como saída um snal establzante que é adconado à referênca de tensão dos AVRs. O controlador projetado por meo desse procedmento fcou conhecdo como PSS (do Inglês, Power System Stablzer) e, pelo fato de a maora dos controladores atuas se basear nos prncípos acma descrtos, será chamado neste trabalho de Establzador onvenconal (E). O procedmento de projeto do E é baseado na teora de controle clássco, mas especfcamente na técnca de compensação de fase no domíno da freqüênca. Os estudos de establdade a pequenas perturbações, envolvendo análse e projeto de controladores, em geral, são realzados por meo de modelos matemátcos que descrevem o comportamento do sstema elétrco de potênca de nteresse. Um mesmo sstema pode ser representado por dferentes modelos, dependendo do objetvo do estudo proposto. O procedmento de projeto do E utlza o modelo denomnado Heffron-Phllps (HEFFRON & PHILLIPS, 1952), que é um modelo lnearzado de uma máquna síncrona conectada a um barramento nfnto. Este modelo não leva em consderação a nfluênca das dnâmcas das outras máqunas, pos estas são reduzdas a um barramento nfnto. O procedmento de projeto do E não consdera as dnâmcas dos modos nter-área, pos o modelo Heffron-Phllps não nclu os elementos do sstema que exercem nfluênca sobre tal modo. A presença de tas modos no sstema pode ser observada quando se utlza o modelo multmáqunas, pos tal modelo consdera as nterações das dnâmcas das dversas máqunas do sstema de potênca através do sstema de transmssão. Foram propostos em (LARSEN & SWANN, 1981) concetos de ajuste para melhorar o desempenho dos Es. Tal conjunto de ajustes é denomnado técnca de sntona, e é utlzada para que os Es forneçam um amortecmento adequado para os modos locas sob uma ampla faxa de pontos de operação, prncpalmente para elevado carregamento do gerador e sstema de transmssão fraco, e smultaneamente forneçam amortecmento para os modos nter-área que não são consderados no projeto de tas establzadores. A utlzação da técnca de

22 4 sntona fornece uma robustez aos Es frente às mudanças do ponto de operação do sstema. Entretanto, deve-se ressaltar que esta robustez não é obtda de manera rgorosa pela aplcação da metodologa de projeto. Obtém-se apenas uma robustez empírca a partr da análse do desempenho dos Es atuando em dferentes pontos de operação do sstema. Além do mas, a aplcação da técnca de sntona requer um elevado conhecmento do projetsta sobre o sstema elétrco de potênca de nteresse. Um dos maores problemas nerentes ao projeto de controladores lneares para sstemas elétrcos de potênca vem do fato de que o desempenho dos controladores depende sgnfcatvamente do ponto de operação do sstema, e as condções de operação do sstema varam normalmente ao longo do da. Esta característca do sstema dfculta a obtenção de um desempenho desejado para os controladores projetados por meo de técncas de controle clássco (ROGERS, 2), pos elas adotam apenas um ponto de operação nos procedmentos de projeto dos controladores. Após o projeto, baseado em um únco ponto de operação, dversos pontos de operação, representando dversos cenáros, são analsados e, se em algum dos casos o desempenho do sstema em malha fechada não for satsfatóro, os controladores são reprojetados. Esta dfculdade pode ser contornada pelo uso de técncas de controle robusto, ou seja, pelo uso das técncas de controle robusto é possível obter controladores que garantem formalmente a establdade do sstema e um desempenho acetável do controlador frente a varações das condções de operação do sstema. Os grandes avanços obtdos nos últmos anos nas áreas de teora e engenhara de controle, assocados à evolução dos computadores, têm possbltado o desenvolvmento de novas metodologas de projetos de establzadores (ou, equvalentemente, controladores de amortecmento), que apresentam maor robustez, e conseqüentemente maor efcênca que os Es. Além dsso, os avanços na área da eletrônca de potênca têm permtdo a aplcação de uma grande varedade de dspostvos capazes de fornecer amortecmento adconal para as osclações dos sstemas elétrcos de potênca contemporâneos. Os sstemas flexíves de transmssão A (ou dspostvos FATS, do Inglês Flexble A Transmsson Systems), por exemplo, são dspostvos que podem ser utlzados para o amortecmento das osclações em sstemas elétrcos de potênca. Em (MITHULANATHAN et al., 23) é apresentada uma comparação entre dos tpos de dspostvos FATS e um tpo de PSS, com o objetvo de verfcar a sua efcáca no amortecmento das osclações eletromecâncas do modo nter-área. Os estudos apresentados no referdo trabalho mostraram que o PSS fo o mas efetvo, no

23 5 amortecmento das osclações, pelo fato de atuar dretamente nas varáves de estado que produzem as osclações. Além do mas, a escolha e a aplcação aproprada de um PSS, assocadas a um sstema exctação, é a forma mas prátca e econômca para fornecer amortecmento adconal para os sstemas elétrcos de potênca contemporâneos (KUNDUR et al., 23). No entanto, podem exstr casos em que os dspostvos FATS sejam os mas efetvos e mas confáves para o amortecmento das osclações dos modos nter-área. Recentemente, foram apresentadas novas técncas para sntonzar e/ou melhorar a robustez do E. Por exemplo, técncas baseadas em algortmos genétcos (DO BONFIM et al., 2) e em programação matemátca (ZANETTA & RUZ, 25) são utlzadas com sucesso para coordenadamente sntonzar os controladores em questão. Técncas baseadas nos resíduos da função de transferênca (FERRAZ et al., 21) e nos coefcentes de torque nduzdo (POUBEIK et al., 22), também são propostas para melhorarem a robustez do E. Na área de controle robusto, as novas técncas de controle estão sendo utlzadas satsfatoramente na elaboração de metodologas de projeto de controladores de amortecmento robustos. Técncas baseadas na síntese µ (SWAREWIZ & WRÓBLEWSKA-SWAREWIZ, 21), na teora de controle H (NGAMROO, 21), na teora de controle msto H 2 /H assocada à técnca de posconamento regonal de pólos (WERNER et al., 23), na realmentação de saída peródca (GUPTA et al., 23), nas ncertezas paramétrcas (ZANHIN & BAZANELLA, 23) e na realmentação estátca de saída na forma de desgualdades matrcas lneares (ou LMIs, do Inglês Lnear Matrx Inequaltes) (SAVONI et al., 21), por exemplo, foram utlzadas com sucesso em metodologas de projeto de controladores de amortecmento robustos. Estas últmas ses referêncas ctadas utlzam, na metodologa de projeto proposta, um modelo de sstemas elétrcos de potênca consttuído por uma máquna síncrona conectada a um barramento nfnto. Quando se utlza um modelo de uma máquna conectada ao barramento nfnto no procedmento de projeto, além dos problemas advndos da consderação da exstênca do barramento nfnto, surgem também dfculdades relaconadas com o ajuste e a coordenação do controlador projetado com os demas controladores do sstema (por exemplo, quando uma máquna tem uma nfluênca sgnfcante em mas de um modo de osclação, o ajuste e coordenação de seu controlador, para produzr um desempenho desejável, pode ser bastante laboroso). O ajuste e a coordenação do controlador,

24 6 posteror ao projeto, são necessáros pelo fato de o modelo utlzado não consderar as dnâmcas das outras máqunas do sstema com seus respectvos controladores. A alternatva passa a ser, então, a utlzação do modelo multmáqunas dretamente na etapa de projeto do controlador, e não apenas para a valdação do projeto feto sobre o modelo de uma máquna conectada a um barramento nfnto. om sso, todos os modos de nteresse do sstema (sejam eles locas ou nter-área) estarão presentes na modelagem utlzada. Outra vantagem da utlzação deste modelo é que a coordenação dos controladores projetados é ntrínseca ao procedmento de projeto, uma vez que todos os controladores do sstema são projetados smultaneamente. Novas metodologas de projeto de controladores de amortecmento robustos que consderam as nterações das dnâmcas das máqunas do sstema, pelo uso do modelo multmáqunas, também foram propostas. A síntese µ (YUE & SHLUETER, 23), a teora de controle H (HUANJIANG et al., 23), e os algortmos genétcos (ABDEL-MAGID & ABIDO, 23), por exemplo, foram utlzados em metodologas de projeto de controladores de amortecmento. Em (RAO & SEN, 2) e (RAMOS et al., 24a) são apresentadas metodologas de projeto (também adotando o modelo multmáqunas) baseadas no posconamento regonal de pólos na forma de LMIs. As formulações LMIs têm sdo usadas com sucesso em mutas metodologas de projeto, como menconado prevamente. Problemas de controle na forma de LMIs, em geral, podem ser formulados como problemas de otmzação convexa, o que geralmente permte a obtenção de soluções mas adequadas para alguns tpos de problemas. Outra grande vantagem do uso de LMIs vem da possbldade de encontrar uma solução numérca para problemas que não apresentam solução analítca ou com solução analítca de dfícl obtenção. Além do mas, problemas de controle na forma de LMIs permtem a especfcação de város crtéros de desempenho no procedmento de projeto do controlador (OLIVEIRA, RAMOS & BRETAS, 25a). As múltplas especfcações podem ser ncluídas em uma metodologa de projeto por meo de uma formulação LMI unfcada. Em certos casos, pode-se especfcar até objetvos confltantes. No entanto, algumas dessas metodologas, estruturadas na forma de LMIs, demandam um excessvo esforço computaconal devdo ao(s) objetvo(s) de projeto especfcado(s) no problema de controle formulado. Esse esforço pode ser probtvo para projetos que envolvem modelos de sstemas de potênca de ordem elevada. Neste contexto, o presente trabalho propõe o uso da energa da saída como um índce de desempenho a ser utlzado no projeto de controladores robustos para o

25 7 amortecmento de osclações eletromecâncas de baxa freqüênca em sstemas elétrcos de potênca. A energa da saída é utlzada como uma alternatva ao fator de amortecmento mínmo, usualmente especfcado por meo do posconamento regonal de pólos. A mposção de um lmte para a energa da saída, na formulação adotada neste trabalho, corresponde à mposção de um lmte para o valor acumulado do desvo da energa cnétca do sstema. Dessa forma, a mposção de um lmte superor para a energa da saída reflete-se dretamente na dmnução das osclações na saída adotada. A solução para o problema de controle é obtda numercamente, pos tal problema de controle é formulado por meo de LMIs. A obtenção da solução do problema de controle proposto (energa da saída como índce de desempenho) exge menos dspêndo computaconal, quando comparado com o tradconal fator de amortecmento mínmo na forma de posconamento regonal de pólos. Tal característca é mportante para o projeto de controladores envolvendo modelos de sstemas de potênca de ordem elevada. A metodologa de projeto é sstemátca e utlza o modelo multmáqunas para contornar as dfculdades referentes ao ajuste dos controladores. Além do mas, váras restrções prátcas do problema em questão são tratadas pela metodologa proposta. Além do problema de esforço computaconal anterormente menconado, os projetos baseados em LMIs também apresentam dfculdades relaconadas à necessdade de um modelo lnear não sngular (matrz de estados não sngular). Tal dfculdade pode ser contornada com a utlzação de um barramento nfnto na modelagem do sstema. O barramento nfnto, em geral, é utlzado para representar (equvalentar) parte de sstemas elétrcos de potênca em estudos para o seu planejamento e operação. Após consderar a hpótese da exstênca do barramento nfnto, este pode ser utlzado para resolver o problema de referênca angular dos modelos de sstemas elétrcos de potênca utlzados nos estudos de establdade a pequenas perturbações (a utlzação de tal hpótese elmna a sngulardade dos modelos lneares de sstemas elétrcos do potênca). O barramento nfnto é defndo como uma máquna nfnta, ou seja, possu capacdade de geração lmtada com uma nérca nfnta (BRETAS & ALBERTO, 2). Ele pode ser utlzado como referênca angular do sstema, da mesma forma que o barramento slack o é no fluxo de carga. No entanto, quando se admte a exstênca de um barramento nfnto no sstema, consdera-se que a porção do sstema representada por ele tem capacdade de geração lmtada e constante de nérca nfnta. Isso mplca que o barramento gerado pela redução de uma porção do sstema tem tensão e ângulo constantes, ndependentemente da potênca fornecda ou absorvda por

26 8 ele (BRETAS & ALBERTO, 2). Se essa consderação for dferente do comportamento real da porção do sstema escolhda como barramento nfnto, um erro será ntroduzdo no modelo resultante. Dessa forma, os establzadores projetados por meo de modelos com a hpótese do barramento nfnto podem ter sua efcênca reduzda, devdo às consderações menconadas anterormente. Além dsso, os establzadores e reguladores do grupo de máqunas representado (ou da máquna representada) pelo barramento nfnto não são ncluídos no processo de coordenação com os demas establzadores do sstema. onsderando todos esses fatos, o presente trabalho também propõe o projeto de controladores de amortecmento robustos, baseado em modelos multmáqunas que dspensem a hpótese de exstênca de um barramento nfnto. Os problemas nerentes a tal hpótese, conforme menconado no parágrafo anteror, são resolvdos pelo uso de duas abordagens que não adotam tal hpótese. A prmera abordagem adotada refere-se ao uso de um modelo multmáqunas com o ângulo de uma das máqunas do sstema como referênca angular. A segunda alternatva adotada é a ncorporação do controle prmáro de velocdade no modelo multmáqunas referente à prmera alternatva. onsderando-se que na prátca os reguladores de velocdade estão presentes e atuam no sentdo de controlar a freqüênca do sstema num ntervalo de tempo mas longo, o modelo utlzado nesta abordagem representa mas adequadamente a operação real do sstema. abe ressaltar que os modelos adotados não foram propostos nesse trabalho, e seu uso em estudos de sstemas de potênca é dfunddo. No entanto, o seu uso em uma metodologa de projeto de controladores de amortecmento, utlzando a estrutura de realmentação adotada, consttu uma das propostas desse trabalho. Além de resolver o problema referente ao uso do barramento nfnto, o presente trabalho também propõe análses da sua nfluênca no projeto de controladores de amortecmento. Essa nfluênca no projeto de controladores robustos de amortecmento é delneada pelos fundamentos expostos e pelos resultados obtdos com as dferentes alternatvas utlzadas. Este texto está dvddo em oto capítulos, onde são expostos os fundamentos de forma a permtr o entendmento da proposta de pesqusa e dos resultados obtdos. O prmero capítulo (capítulo presente) apresenta uma ntrodução a respeto do problema de osclações eletromecâncas de baxa freqüênca, nclundo o projeto de controladores de amortecmento para sstemas elétrcos de potênca, e também defne o escopo do trabalho. A modelagem de sstemas elétrcos de potênca, referente ao modelo

27 9 multmáqunas padrão e ao modelo multmáqunas com a hpótese do barramento nfnto, é apresentada no segundo capítulo. No capítulo três, são apresentadas técncas de controle utlzadas no projeto de controladores de amortecmento. O capítulo quatro apresenta o problema de controle proposto, nclundo a metodologa para o projeto dos controladores de amortecmento. Os testes realzados e resultados obtdos com os controladores propostos, baseados no modelo com a hpótese do barramento nfnto, são apresentados no qunto capítulo. No sexto capítulo, é apresentado um dos modelos multmáqunas propostos como alternatva ao modelo com a hpótese do barramento nfnto, assm como algumas consderações a respeto do modelo em questão. Os controladores propostos projetados, baseados nas abordagens que não adotam a hpótese do barramento nfnto, assm como as análses da nfluênca da referda hpótese no desempenho do sstema em malha fechada, são apresentados no sétmo capítulo. O otavo e últmo capítulo expõe as conclusões e consderações fnas.

28 1 apítulo 2 MODELOS MULTIMÁQUINAS: DESENVOLVIMENTO DO MODELO PADRÃO E MODELO OM A HIPÓTESE DO BARRAMENTO INFINITO Os estudos dos fenômenos que ocorrem em sstemas elétrcos de potênca, em geral, são realzados por meo de modelos matemátcos que descrevem o seu comportamento. Um sstema físco pode ser representado por dferentes modelos matemátcos. O grau de realsmo no qual cada modelo representa o sstema de nteresse vara de acordo com as consderações e aproxmações utlzadas no desenvolvmento dele. Além do mas, o modelo utlzado na fase de projeto de controladores exerce uma nfluênca sgnfcatva no desempenho dos controladores projetados (RAMOS, OLIVEIRA & BRETAS, 23; OLIVEIRA, RAMOS & BRETAS, 24). Neste capítulo será apresentada a modelagem de sstemas elétrcos de potênca a ser utlzada nos estudos propostos. A modelagem é baseada em sstemas multmáqunas e é desenvolvda de forma a permtr o uso dos modelos nos estudos de establdade a pequenas perturbações (análse do sstema e projeto de controladores robustos baseado em LMIs). O procedmento de projeto dos controladores é fundamentado no uso de técncas lneares de controle robusto na forma de LMIs. Dessa forma, os modelos a serem desenvolvdos deverão ser aproprados para a aplcação das técncas de controle adotadas. Todos os modelos multmáqunas propostos (modelos menconados no capítulo 1) serão estruturados a partr de um modelo multmáqunas padrão desenvolvdo ncalmente. O sstema elétrco de potênca adotado será consttuído, bascamente, pelos geradores síncronos, dspostvos de controle agregados ao gerador, lnhas de

29 11 transmssão e cargas. Portanto, no modelo multmáqunas padrão todos esses elementos devem ser modelados de forma que ele possa ser utlzado satsfatoramente no projeto dos controladores propostos. onsderações e aproxmações serão utlzadas para a obtenção dos modelos. 2.1 Modelo Padrão O desenvolvmento do modelo padrão será feto de forma seqüencal e por etapas, na qual, ncalmente, cada etapa corresponderá à modelagem dos elementos que consttuem o sstema elétrco de potênca adotado. E, posterormente, serão adotados procedmentos para conectar os modelos construídos e obter a modelagem fnal. O modelo padrão será desenvolvdo consderando-se um sstema elétrco de potênca consttuído por geradores síncronos, AVRs, sstema de transmssão de energa elétrca e cargas Máqunas Síncronas A máquna síncrona é o elemento de maor relevânca nos estudos de establdade, e sua função é fornecer energa elétrca para as cargas do sstema de potênca através do sstema de transmssão. A construção do modelo da máquna síncrona requer um consderável detalhamento para que o modelo fnal represente as dnâmcas do sstema elétrco de potênca com consderável exatdão. A dnâmca eletromecânca da máquna síncrona é caracterzada pelo movmento de rotação do rotor da máquna e pelo comportamento das grandezas elétrcas nos crcutos elétrcos do rotor e estator (crcuto de campo e crcuto de armadura, respectvamente). A máquna síncrona é consttuída, bascamente, por uma estrutura fxa, denomnada estator, e uma estrutura grante, denomnada rotor. A bobna do crcuto de campo, fxa ao rotor, é almentada por uma corrente contínua e o movmento do rotor, em uma freqüênca constante, faz com que o campo magnétco gerado por este crcuto nduza uma tensão aproxmadamente senodal na bobna do crcuto de armadura, fxa ao estator da máquna. As máqunas síncronas estão dvddas, bascamente, em duas categoras: máqunas de pólos lsos (também conhecda como máquna de rotor clíndrco) e máqunas de pólos salentes. O tpo de máquna síncrona nstalada na undade geradora depende do tpo da força motrz utlzada pela undade geradora (ou, equvalentemente, depende do tpo da

30 12 turbna adotada turbna a vapor ou turbna hdráulca). Em undades termoelétrcas, onde as máqunas operam em alta velocdade (por exemplo, 18 rpm para máqunas de 4 pólos), são utlzadas máqunas síncronas de pólos lsos, para evtar as forças de atrto entre o rotor e o ar. Nas undades hdroelétrcas, onde as máqunas operam em baxa velocdade (por exemplo, 9 rpm para máqunas de 2 pólos), são utlzadas máqunas de pólos salentes. Nas máqunas de pólos salentes, as correntes de Foucault através do ferro do rotor são pequenas, devdo à quantdade de materal ferromagnétco que compõe o rotor. Portanto, não há necessdade de modelar o efeto das correntes de Foucault. Já nas máqunas de pólos lsos, que apresentam um rotor com maor quantdade de materal ferromagnétco, as correntes de Foucault que fluem através do rotor têm efeto sgnfcatvo na dnâmca da máquna. Desta forma, os efetos dessas correntes devem ser ncluídos na modelagem. Neste trabalho, as máqunas síncronas do sstema elétrco de potênca serão modeladas como máqunas de pólos salentes com as seguntes consderações: a força magnetomotrz é dstrbuída senodalmente no entreferro da máquna, as harmôncas são neglgencadas, a hsterese magnétca e saturação magnétca serão desprezadas. A dnâmca eletromecânca da máquna será matematcamente descrta por um conjunto de equações dferencas de prmera ordem, onde as varáves do modelo serão grandezas elétrcas e mecâncas. Incalmente, será apresentada a modelagem das equações elétrcas da máquna síncrona. Um dagrama esquemátco representando uma máquna síncrona trfásca com dos pólos salentes é apresentado na Fgura 2.1. Exo Dreto θ b Exo de referênca fxo ao estator c' Exo em Quadratura N Enrolamento de ampo a ' ω F Rotor S a Enrolamento de Armadura c Estator b' Entreferro Fgura 2.1: Representação lustratva da máquna síncrona de dos pólos.

31 13 Nas equações elétrcas da máquna, as grandezas eletromagnétcas varam de acordo com posção do rotor em relação ao estator. Ou seja, estas grandezas são representadas por funções que dependem da posção θ do rotor com relação a uma referênca fxa ao estator (ver Fgura 2.1). O fato de as equações elétrcas dependerem da posção θ faz com que sua solução não seja trval. No entanto, as equações podem ser smplfcadas por meo de uma transformação de varáves denomnada Transformação de Park. Por meo da Transformação de Park, os enrolamentos a, b e c são substtuídos por enrolamentos fctícos d, q e, que gram com a mesma velocdade do enrolamento de campo fxo ao rotor, e estão posconados no exo dreto do crcuto de campo e no exo em quadratura (sto sgnfca que o enrolamento fctíco do estator no exo dreto está acoplado magnetcamente com o enrolamento de campo). Desta forma, as correntes a, b e c dos crcutos de armadura são transformadas nas correntes fctícas d, q e, onde d corresponde à projeção das correntes de fase ao longo de um exo paralelo ao exo magnétco do enrolamento de campo, denomnado de exo dreto (exo d), e q corresponde à projeção das correntes de fase ao longo de um exo atrasado de 9º em relação ao exo dreto, chamado de exo em quadratura (exo q). A varável é uma corrente estaconára, proporconal à corrente de seqüênca zero. A corrente é gual a zero quando a máquna opera em condção balanceada ( a + b + c =). As correntes d e q produzem um campo magnétco resultante gual ao produzdo pelas correntes a, b e c. O novo conjunto de equações da máquna elétrca será nvarante no tempo, o que sgnfca que as ndutâncas da máquna se mantêm constantes em condção de regme permanente. Nesta fase da modelagem, deve-se lembrar que o modelo está sendo desenvolvdo para estudos de establdade a pequenas perturbações em sstemas elétrcos de potênca. Em tas estudos, o ntervalo de tempo após a ocorrênca de uma perturbação no sstema até o estabelecmento de novas condções de regme permanente pode ser subdvddo em dos períodos: transtóro e subtranstóro. O fluxo magnétco estabelecdo nos nstantes ncas após a perturbação faz com que crculem correntes nos enrolamentos amortecedores, e o tempo necessáro para que elas desapareçam é denomnado período subtranstóro. O tempo entre o fm do período subtranstóro e o estabelecmento de novas condções de equlíbro é denomnado período transtóro. O modelo da máquna será desenvolvdo desprezando-se os fenômenos ocorrdos durante o período subtranstóro, e levando-se em conta apenas os efetos do período transtóro. Dessa forma, o enrolamento amortecedor não será modelado. O fato de o

32 14 rotor da máquna de pólos salentes apresentar enrolamento apenas no exo dreto (exo do enrolamento do crcuto de campo) faz com que a reatânca transtóra de exo em quadratura x' q seja gual à reatânca síncrona de exo em quadratura x ( x ' = x ). O q q q modelo também despreza o efeto da salênca transtóra (KIMBARK, 1995), o que permte consderar que a reatânca transtóra de exo em quadratura x' q seja gual à reatânca transtóra de exo dreto x' ( x' = x' ). d q d om a utlzação da Transformação de Park, a tensão nterna nduzda nas bobnas do crcuto de armadura, em regme permanente, pode ser escrta como sendo E = E q + je d, (2.1) E o valor rms da tensão nterna nduzda no enrolamento fctíco do exo d e d E q o valor rms da tensão nterna nduzda no enrolamento fctíco do exo q. Devdo à exclusão do enrolamento amortecedor e do efeto da corrente de Foucault, o modelo não apresenta enrolamento no exo em quadratura, e conseqüentemente a expressão da tensão nterna da armadura se reduz a (KIMBARK, 1995) onde ω, e F E = E + j = ωm F, (2.2) q F M são, respectvamente, a velocdade angular do rotor (e, F conseqüentemente, a velocdade do crcuto de campo agregado a ele), a corrente no enrolamento de campo e a ndutânca mútua entre o enrolamento de campo e o enrolamento fctíco do exo d. A partr da equação (2.2), pode-se observar que E =. Para as condções transtóras, uma nova tensão de exo em quadratura será expressa em termos do fluxo concatenado produzdo pelo crcuto de campo. A referda tensão é chamada de tensão transtóra de exo em quadratura E ' ), e é defnda como (KIMBARK, 1995) sendo E' q ( q ωm F = λf, (2.3) L FF L FF a ndutânca própra do crcuto de campo e λ F, o fluxo concatenado produzdo pelo crcuto de campo. A tensão E' é menos sensível às varações rápdas q d da corrente de armadura, quando comparada com a tensão E, pelo fato de ser q

33 15 proporconal ao fluxo λ F. A relação entre a tensão de exo em quadratura transtóra de exo em quadratura E' é apresentada na equação (2.4). q E e a tensão q E q = E' ( x x' ) I. (2.4) q d d d Desprezar o efeto da salênca transtóra ( x' q = x' d ) permte que o modelo da máquna seja representado por um crcuto equvalente consttuído pela tensão transtóra nterna atrás da reatânca transtóra de exo dreto. O referdo crcuto equvalente da máquna síncrona adotada no trabalho é apresentado na Fgura d' I + + ' q - Fgura 2.2: rcuto equvalente da máquna síncrona. A tensão atrás da reatânca transtóra vara devdo à ação do regulador automátco de tensão, e será representada como uma varável de estado do modelo. A tensão E' é q nduzda pelo fluxo magnétco λ F gerado pela corrente F do enrolamento de campo. A corrente F, por sua vez, é gerada pela tensão v F aplcada ao crcuto de campo (crcuto F apresentado Fgura 2.1). A equação que rege as grandezas elétrcas do crcuto de campo pode ser escrta como v F = R + λ (2.5) F F F, onde R F é a resstênca do crcuto de campo. A equação (2.5) está referda ao rotor, no entanto, as grandezas do rotor serão referdas ao estator, pos a força eletromotrz referda ao estator pode ser expressa em termos da tensão termnal do gerador o que torna o modelo mas convenente para os estudos propostos. Multplcando-se a equação (2.5) por ω M F / RF, suas grandezas elétrcas serão referdas ao estator. A nova equação do crcuto de campo referda ao estator é dada por (KIMBARK, 1995)

34 16 onde ωm R F F v F ωm F = ωm FF + λf, (2.6) R E ωm F F FD = vf (2.7) RF é a tensão aplcada ao crcuto de campo referda ao crcuto de armadura. Por meo da equação (2.3), pode-se escrever o que mplca em ωm R F F LFF ωm F λf = λf = τ ' do E' q, (2.8) R L ωm R F F F FF λ = τ ' E ', (2.9) sendo τ ' = L / R a constante de tempo transtóra de exo dreto em crcuto aberto. do FF F Tal constante de tempo determna o decamento da corrente no crcuto de campo, com o crcuto de estator em aberto. ombnando-se as equações (2.2), (2.4), (2.7) e (2.9) com a equação (2.6), obtém-se F do q 1 E ' q = [ EFD E' q + ( xd x' d ) Id ]. τ ' (2.1) do A expressão (2.1) é dada em p.u. e trata-se de uma equação dferencal ordnára de prmera ordem que rege o comportamento da tensão transtóra nterna da máquna síncrona de pólos salentes adotada neste trabalho. A tensão termnal da armadura, desprezando-se a resstênca de armadura, é dada por: V =V +, (2.11) t q jv d sendo e V q = E' + x' I (2.12) q d d V = x' I q. (2.13) d q A característca elétrca da máquna síncrona, sem qualquer dspostvo de controle, é representada pelas equações (2.1) e (2.11). Outra característca mportante da máquna síncrona é a característca mecânca. Ela é de grande relevânca para o estudo proposto,