enem 2+3 MATEMÁTICA ESUASTECNOLOGIAS F A S C Í C U L O D ISPO N ÍV EL N O SITE FA RIA SBRITO.CO M.BR

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1 eem F A S C Í C U L O D ISPO N ÍV EL N O SITE FA RIA SBRITO.CO M.BR Proibidaareproduçãoouduplicaçãodestefascículo.Todososdireitosreservados. % + FASCÍCULO 6 MATEMÁTICA ESUASTECNOLOGIAS MATEMÁTICA

2 6 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS FASCÍCULO CARO ALUNO, Na Área de Matemática e suas Tecologias, após uma aálise estatística dos Objetos do Cohecimeto abordados desde a criação do Novo Eem, tratamos de selecioar cuidadosamete os assutos que listamos agora, trabalhados os fascículos ateriores: Fução Afim, Fução Quadrática, Fuções Expoeciais e Logarítmicas, Aálise Combiatória, Probabilidade e Estatística, Proporcioalidade a Geometria, Trigoometria e suas aplicações e Volumes e suas aplicações. Para fializar, este fascículo, abordamos as Razões e Proporções, Sequêcias e Progressões e, fialmete, Porcetagem e Juros. Chegamos ao fial do Projeto Eem 0, com este fascículo úmero 6, certos da eorme cotribuição que proporcioamos ao seu apredizado que será traduzido a sua aprovação o curso desejado. Sucesso e até breve! INTRODUÇÃO Os úmeros soltos, isolados, para ada servem, mas, embutidos de sigificados tudo explicam. Costruir sigificados para as razões e proporções é o foco pricipal do texto seguite. Para isso, você terá acesso a uma cosistete fudametação teórica, acompahada de situações-problema detro das habilidades de Matriz de Referêcia de Matemática e suas Tecologias, matriz essa que serve de base para o Eem. OBJETO DO CONHECIMENTO Coceito de razão Razões e Proporções A razão etre duas gradezas é o quociete etre elas. Assim, por exemplo, se uma festa comparecerem 0 homes e 0 mulheres, dizemos que: I. A razão etre o úmero de homes e o de mulheres a festa é: º de homes º de mulheres 0 = = 0 (lê-se: para ) Isso sigifica que para cada homes existem mulheres. II. A razão etre o úmero de mulheres e o total de pessoas a festa é: º demulheres 0 0 = = = º total de pessoas (lê-se: para ) Isso os diz que para cada pessoas a festa, são são mulheres. Em geral, dados dois úmeros reais a e b, com b 0, usamos a ou a : b para idicar a razão etre a e b, b respectivamete. Na razão a (lê-se: a para b), o úmero a é chamado b de atecedete e o úmero b, de cosequete. a Razão etre a e b = b Proporção Proporção é uma igualdade etre duas razões. Quado dizemos que os úmeros reais a, b, c, d, ão ulos, formam, essa ordem, uma proporção, sigifica que se tem a seguite igualdade: a c b = d ou a: b = c : d (Lê-se: a está para b, assim como c está para d) Observe, a última igualdade acima, que os termos a e d ficaram as extremidades (a e d são chamados de extremos da proporção); já os termos b e c ficaram o meio (b e c são os meios da proporção). Propriedades da proporção Se a c =, com a, b, c, d, reais ão ulos, temos: b d a c a kb = = k b d { = = k (costate de proporcioalidade) c = kd I. Sedo assim, temos as seguites propriedades: a c = ad bc (propriedade fudametal) b d Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. a c a c a + c II. = = = b d b d b + d a c a c III. = = b d a + b c + d

3 Números Diretamete Proporcioais Cosidere as seguites sequêcias uméricas: x ª sequêcia: (, 6, 4, 0) ª sequêcia: (6, 8,, 0) x x x Nessas sequêcias, observe que elas crescem ou decrescem a mesma razão iversa, isto é, se um dado elemeto de uma delas triplica, por exemplo, o correspodete desse elemeto a outra sequêcia também triplica. Em outras palavras, os elemetos correspodetes as duas sequêcias estão a mesma razão. Veja: 6 6 = = 6 = = = =,isto é, = 4 0 = 0 Em geral, dizemos que os úmeros da sucessão umérica (a, a, a,..., a ) são diretamete proporcioais (ou simplesmete proporcioais) aos úmeros da sucessão (b, b, b,..., b ) quado as razões etre seus respectivos correspodetes forem iguais, ou seja: a b a = k b a a a a = k b = = =... = = k b b b... a = k b Esta razão costate k é chamada de fator de proporcioalidade e idica quatas vezes cada atecedete é maior que o respectivo cosequete. Exemplo: Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus têm 6 aos, 4 aos e 0 aos, respectivamete. Se o pai deles distribuir R$ 40,00 etre eles, em partes diretamete proporcioais às idades, quato receberá cada um? Sedo k a costate de proporcioalidade, a parte de cada um será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes serão 6k (João Victor), 4k (Gabriela) e 0k (Matheus). Daí: 6k = 6 6 = 96 6k + 4k + 0k = 40 k = 6 4k = 4 6= 84 0k = 0 6 = 60 Sedo assim, temos que: João Victor, Gabriela e Matheus receberam, respectivamete, R$ 96,00, R$ 84,00 e R$ 60,00. Gradezas diretamete proporcioais Observe a tabela seguite as quatidades (Q) de picolés comprados a R$,00 cada um e os respectivos valores pagos: x Valor (V) Quatidade (Q) 8 6 x Note que as razões obtidas etre os respectivos elemetos das sequêcias de valores (V) e de quatidades (Q) são iguais. V Q 6 6 V = = = =... = = Q Coeficiete de proporcioalidade Em geral, dizemos que duas gradezas, A e B, são diretamete proporcioais quado uma aumeta e a outra também aumeta a mesma proporção, isto é, quado as razões obtidas etre os valores assumidos por uma das gradezas e os respectivos valores assumidos pela outra forem iguais. Em símbolos: A A B = k, B ode k é a costate de proporcioalidade Números iversamete proporcioais Cosidere as seguites sequêcias uméricas: x ª sequêcia: ; ; ; formada pelos x respectivos iversos de (, 6, 4, 0). ª sequêcia: (6, 8,, 0) x x Nessas sequêcias, observe, elas crescem ou decrescem a razão iversa, isto é, se um dado elemeto de uma delas triplica, por exemplo, o correspodete deste elemeto a outra sequêcia reduz-se à sua terça parte. Note que os iversos dos úmeros da ª sequêcia são diretamete proporcioais aos úmeros da ª sequêcia. Iversos da ª sequêcia (, 6, 4, 0) x Em geral, dizemos que os úmeros da sequêcia (a, a, a,..., a ) são iversamete proporcioais aos úmeros da sequêcia (b, b, b,..., b ) quado os úmeros de uma delas forem, respectivamete, diretamete proporcioais aos iversos da outra, ou seja: a b a a = = =... = = k b b b b ou de outra forma: ab = ab = ab =... = ab = k x Aqui, a costate k também é chamada de fator ou coeficiete de proporcioalidade e idica o produto etre os respectivos elemetos das sequêcias iversamete proporcioais. Matemática e suas Tecologias

4 Exemplo: Os fucioários de uma fábrica, Lucas, Raquel e Elias, o mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, dias e dias, respectivamete. Se o diretor fiaceiro dessa fábrica dividir R$ 96, 00 etre os citados fucioários, em partes iversamete proporcioais às faltas, podemos calcular a parte de cada um. Veja: As partes devem ser diretamete proporcioais aos iversos dos úmeros de faltas, e, 8 respectivamete. Sedo k a costate de proporcioalidade, as partes serão, etão: k ( Lucas), k ( Raquel) e k ( Elias). Daí: 8 k k k 96 k = + k + 0 k = k = 480 = k = 480 k = 480 = 96 k = 48 0 = 40 Sedo assim, temos que: Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00, R$ 96,00 e R$ 40,00, respectivamete. Gradezas iversamete proporcioais Matheus quer dividir todos os seus 60 bombos etre os amigos, em partes iguais. Observe a tabela seguite os possíveis úmeros de amigos e as respectivas quatidades (B) de bombos recebidos por cada amigo: Número de amigos (A) Bombos recebidos (B) x x Note que os produtos obtidos etre os respectivos elemetos das sequêcias úmero de amigos (A) e úmero de bombos recebidos (B) são iguais: A B = 0 = 0 = = 0 A B = 60 Exemplo: Em símbolos: A B A. B = k ode k é a costate de proporcioalidade Se 0 operários, todos com a mesma capacidade de trabalho, realizam determiado serviço em dias, podemos iferir em quatos dias 4 desses operários farão serviço idêtico. Para isso, ote que as gradezas, º de operários (H) e º dias (D) são iversamete proporcioais (ote: quato mais homes trabalhado, meos dias eles gastam ). Daí, H D = k, ode k é costate. Daí, para os dois serviços, devemos ter: H D = 0 = 4 x = k, ode x é o úmero de dias para a realização do outro serviço. 0 Assim, x = =,. 4 C- H- EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Resolver situação-problema evolvedo cohecimetos uméricos. 0. Segudo a Lei de Boyle-Mariotte, sabe-se que: A uma temperatura costate, os volumes de uma mesma massa de gás estão a razão iversa das pressões que produzem. Se, sob a pressão de atmosferas, uma massa de gás ocupa um volume de 0,6 dm, a expressão que permite calcular a pressão P, em atmosferas, em fução do volume V, em dm, ocupado por essa massa de gás, é a) V = P d) V = P 6 b) V = P e) V c) V = 6P C- H- = P Resolver situação-problema evolvedo cohecimetos uméricos. Coeficiete de proporcioalidade Em geral, dizemos que duas gradezas, A e B, são iversamete proporcioais quado uma aumeta e a outra dimiui a razão iversa, isto é, quado os produtos obtidos multiplicado-se cada valor assumido por uma das gradezas pelo respectivo valor assumido pela outra forem iguais. 0. Um fazedeiro resolveu que dividirá os 00 ha de sua fazeda em partes iversamete proporcioais às idades de seus três filhos e diretamete proporcioais às quatidades dos filhos de cada um de seus filhos, ou seja, seus etos. Sabe-se que as idades dos filhos, são 60, 0 e 0 aos e que cada um deles possui, e filhos, respectivamete. Matemática e suas Tecologias

5 Marque a opção que correspode à quatidade de ha que receberá o filho do meio. a) ha d) 7 8 ha b) ha e) 8 6 ha c) ha FIQUE DE OLHO! O QUE É UM QUILATE DE OURO? A palavra quilate vem do grego keratio, sigificado uma semete que era usada como uidade de peso a atiga Grécia. Uma joia é cosiderada de quilates se de sua 4 massa for de ouro, sedo maior ou igual a e meor ou igual a 4. Assim, o ouro de um objeto com 8 partes de ouro e 6 de outro metal é de 8 quilates. Desta forma, o ouro 8 quilates tem 7% de ouro, e os % restates são ligas adicioadas para garatir maior durabilidade e brilho à joia. Note que 8 quilates = 8/4 = 7% de ouro (também chamado de ouro 70). O ouro puro tem 4 quilates (cotém 00% de ouro) e é deomiado ouro 000. Na realidade, o ouro uca tem uma pureza total, e a classificação mais alta cai para 999 potos, a escala europeia, coforme mostra a tabela. Quilatagem Coteúdo de Ouro Pureza 4 K 00% K 7% 70 4 K 8,% 8 0 K 4,6% 46 Dispoível em: Adaptado. Algumas sequêcias, detre elas, as progressões aritméticas e geométricas, apresetam padrões defiidos que estudaremos a seguir. Com certeza, o cohecimeto de tais padrões será de grade utilidade o efretameto de situações-problema que cotemplem sucessões uméricas. Sequêcia OBJETO DO CONHECIMENTO Sequêcias e Progressões Por defiição, uma sequêcia de elemetos é uma fução f de N + = {,,,... } em R: f : N f * ( ) = R a Por coveiêcia, represetaremos uma sequêcia apeas por suas images (a, a, a,..., a,...), que podem ser determiadas por meio da Lei de recorrêcia ou da Lei de formação da respectiva sequêcia. Lei de recorrêcia Cosiste em uma lei que os permite ecotrar qualquer termo (a ) da sequêcia recorredo a termo(s) aterior(es). Note que, a Lei de recorrêcia, é coveiete se cohecer o primeiro termo (a ), caso cotrário, ão podemos recorrer ao termo aterior para ecotrar os demais termos. Na sequêcia (,, 6, 4,...), por exemplo, cada termo (a ), a partir do segudo, é obtido multiplicado-se o termo aterior (a ) por ( ), ode idica a posição do termo. Veja: (,, 6, 4, 0,...) ( ) ( ) ( 4) ( ) INTRODUÇÃO Olá, querido estudate, Quem observa e idetifica padrões pode fazer aferições com maior precisão e agilidade. Por exemplo, meu filho Matheus, o dia 0/juho/0, quita-feira, completou 4 aos. Observado que de 7 em 7 dias temos o mesmo dia da semaa, podemos aferir que ele asceu o dia 0/juho/997, uma seguda-feira ( dias ates de quita-feira). Percebeu? Se ão, veja: sedo 4 (6 dias) uma quatidade de dias múltipla de 7, voltado o tempo essa quatidade, chegamos o mesmo dia da semaa do dia 0/juho/0 (quita-feira). A partir daí, devemos voltar a semaa apeas os dias relativos a 9 de fevereiro de 008, 004 e 000 (aos bissextos do período em questão). Assim, os termos da sequêcia poderão ser determiados por meio da Lei de recorrêcia: a = a = a,ode Note que o primeiro termo (a = ) sedo cohecido, a lei a = a,, forece o restate dos elemetos da sequêcia: = a = a = a = = a = a = ( ) a = 6 = 4 a 4 = 4 a = 4 6 a 4 = Matemática e suas Tecologias

6 Lei de formação ou termo geral Cosiste em uma lei que os permite ecotrar qualquer termo (a ) da sequêcia em fução da sua posição. Na sequêcia (, 8,, 4,...), por exemplo, podemos obter o seu termo geral (Lei de formação), dado valores sucessivos a a sua Lei de recorrêcia a = a = a,ode. Veja: a = a a = a a = a4 a = ( ) igualdades a a = Somado membro a membro, essas igualdades e cacelado os termos, obtemos: a = + ( ) Daí, a Lei de formação (termo geral) da sequêcia é: a = + Assim, por exemplo, o 00 o termo será a 00 = 0. Progressão Aritmética Toda sequêcia umérica em que cada termo, a partir do segudo, é igual à soma do termo precedete (aterior) com uma costate r chama-se progressão aritmética (P. A.). Ou seja, P. A. é uma sequêcia determiada por uma fórmula de recorrêcia do seguite tipo: a a dado a = a + r, N *, = ( ) A costate r é chamada de razão da progressão aritmética e pode ser obtida por meio da difereça etre dois termos cosecutivos quaisquer da P. A., isto é: Razão da P. A. = a a = a a =... = a a = r Assim, se três termos (a, b, c) estão em progressão aritmética, o do meio é a média aritmética dos extremos, uma vez que temos: a + c Razão da P.A. = b a = c b b =. Termo geral da P. A. Cosidere a P. A. (a, a, a,..., a m, a m +,..., a,...) de razão r. Sedo a m e a dois termos dessa progressão, podemos relacioá-los. Para isso, observe que: am + am = r am + am + = r am + am + = r a a = r Cotado os ídices (úmeros aturais) de m + até, observamos (m + ) + = m igualdades acima. Somado, membro a membro, todas essas igualdades e fazedo os devidos cacelametos, obtemos: ( ) a am = r + r + r r, ou seja: ( m) vezes a = a m + ( m)r Em particular, para m =, temos que: a = a + ( ) r, para. Cosidere a seguite situação-problema: Em um trecho de serra de km de uma rodovia, foi implatada a Operação Descida. Um dos procedimetos dessa operação cosiste em bloquear a subida de veículos e permitir a descida da serra por mais faixas. Para isso, são colocados 6 coes sializadores ao logo do trecho, sedo que a distâcia etre dois coes cosecutivos quaisquer é costate e que o primeiro e o último ficam exatamete o iício e o fim do trecho, respectivamete. Queredo descobrir qual deve ser a distâcia etre dois coes cosecutivos, podemos utilizar a fórmula do termo geral de uma P.A. Veja: Como km = 000 m, o primeiro coe ficará a posição a = 0 m e o último, a posição a 6 = 000 m. Sedo R a distâcia (costate), em metros, etre dois coes cosecutivos, as posições dos coes formarão uma P. A. de razão R. Daí: a 6 = a + 60R 000 = 60R R = 0 m. Assim, a distâcia etre dois coes cosecutivos quaisquer deve ser 0 m. Soma dos termos equidistates dos extremos de uma P. A. Cosidere a k e a p dois termos que ficam, respectivamete, à igual distâcia dos extremos a e a de uma P. A. de razão R, isto é, cosidere a seguite P. A.: +R +R +R +R +R +R (a ; a ;... ; a k ; a k ;... ; a p ; a p + ;... ; a ) Equidistates dos extremos Sedo m o úmero de razões que devemos somar ao primeiro termo a para a obteção de a k, m também será o úmero de razões que devemos somar ao termo a p para a obteção do extremo a, uma vez que a k e a p são equidistates dos extremos a e a. Daí: a k = a + mr, ode m = k ; a = a p + mr, ode m = p. Matemática e suas Tecologias

7 Isso deixa evidete dois fatos: º) A soma dos ídices de dois termos equidistates dos extremos é igual à soma dos ídices dos extremos. Veja: m = k = p k + p = + º) Numa P. A., a soma de dois termos equidistates dos extremos é igual à soma dos extremos. Veja: mr = a a = a a a + a = a + a k p k p Na P. A. 0 ; 4 ; 8 ; ; 6 ; 40 ; 44, por exemplo, a a a a4 a a6 a7 temos que a + a 7 = a + a 6 = a + a = a 4 + a 4 = 64. Note a soma dos ídices igual a 8 em cada adição. Soma dos primeiros termos de uma P. A. Cosidere a P. A. (a, a, a,..., a, a, a ), ode a e a são os extremos e a e a, a e a etc. são equidistates dos extremos. Temos que: S = a + a + a a + a + a e, como a ordem ão altera a soma, S = a + a + a a + a + a. Somado, agora, membro a membro, essas duas igualdades, ficamos com: S = (a + a ) + (a + a ) + (a + a ) (a + a ) Observado que: a + a = a + a = a + a =... = a + a (termos equidistates dos extremos), temos: a + a S = ( a + a) ( a + a) S =, od e: vezes a é o primeiro termo somado; a é o último termo somado; ( ) é a quatidade de termos, em P. A., somados. Cosidere a seguite situação-problema: Deseja-se pitar com titas de cores preta e amarela, alteradamete, um disco o qual estão marcados círculos cocêtricos, cujos raios estão em P. A. de razão metro. Pita-se, o primeiro P A P A P... dia, o círculo cetral do disco, de raio metro, usado 0, L de tita preta. Em cada dia seguite, pita-se a região delimitada pela circuferêcia seguite ao círculo pitado o dia aterior. Se a tita usada, ão importado a cor, tem sempre o mesmo redimeto, podemos descobrir a quatidade total de tita amarela gasta até o º dia, em litros, da seguite forma: I. O raio do primeiro círculo (meor), em metro, é r = e forma, com os demais raios, uma P. A. de razão. Assim, em metros, as medidas desses raios são r =, r =,..., a =. II. As áreas pitadas de amarelo são aquelas pitadas em dias pares (segudo, quarto,..., vigésimo dia), cujas áreas, em m, são respectivamete: A = p p A = p A = p 4 p A = 7p A = p 6 p A = p A 4 = p 8 p 7 A 4 = p... (Uma P. A. de razão R = 4p, cujo décimo termo, A 0, é a área pitada o vigésimo dia.) Assim, A 0 = A + 9 R, ou seja, A 0 = p + 9 (4p) = 9p e a soma das áreas pitadas de amarelo, em m, será: S 0 ( A + A0 ) 0 ( π + 9π) 0 = S0 = = 0π III. No primeiro dia, foram usados 0, L de tita preta para pitar p = p m do disco. Como os redimetos das titas são iguais e 0p m = 0 (p m ), foram utilizados 0 0, L = 0 L de tita amarela. Progressão Geométrica Toda sequêcia umérica em que cada termo, a partir do segudo, é igual ao produto do termo precedete (aterior) por uma costate q chama-se progressão geométrica (P. G.). Ou seja, P. G. é uma sequêcia determiada por uma fórmula de recorrêcia do seguite tipo: a a dado a = a q, N *, = ( ) A costate q é chamada de razão da progressão geométrica e pode ser obtida por meio do quociete etre dois termos cosecutivos quaisquer da P. G., isto é: Raz oda PG a a a ã.. = = =... = = q a a a Assim, se três termos (a, b, c) estão em progressão geométrica, o do meio ao quadrado é igual ao produto dos extremos, uma vez que temos: Raz oda PG b c ã.. = = b = a c a b A sequêcia (, 6,, 4, 48,..., a,...), por exemplo, é uma progressão geométrica de razão q =, ou seja, ela, cada termo, a partir do segudo, é o seu termo aterior vezes. Podemos dizer também que, essa sequêcia, o quadrado de cada termo, a partir do segudo, é igual ao produto do termo aterior com o posterior. 6 Matemática e suas Tecologias

8 Termo geral da P. G. Cosidere a P. G. (a, a, a,..., a m, a m +,..., a,...) de razão q. Sedo a m e a dois termos dessa progressão, podemos relacioá-los. Para isso, observe que: a m + = a m q a m + = a m q a m + = a m + q... a = a q Cotado os ídices (úmeros aturais) de m + até, observamos (m + ) + = m igualdades acima. Multiplicado, membro a membro, todas essas igualdades e cacelado os fatores iguais, mas em membros opostos, obtemos: a am q q q... q, ouseja: ( m) vezes = ( ) a = a m q m Em particular, para m =, temos que: a = a q, para. Cosidere a seguite situação-problema: Para aalisar o crescimeto de uma bactéria, foram ioculadas 000 células a um determiado volume de meio de cultura apropriado. Em seguida, durate 0 horas, em itervalos de hora, era medido o úmero total de bactérias essa cultura. Os resultados da pesquisa estão mostrados o gráfico ao lado. Número de células, Tempo (horas) No gráfico, o tempo 0 correspode ao mometo do ióculo bacteriao. Observado que, de 0 a horas, a quatidade de bactérias presetes o meio, medida a cada hora, segue uma progressão geométrica, o úmero de bactérias ecotrado o meio de cultura, horas após o ióculo, pode ser obtido da seguite forma: I. a 0 = 000 (úmero de bactérias a hora zero) e a = 4000 (úmero de bactérias a ª hora) são termos de uma mesma progressão geométrica. Daí: a0 = { a = a. 0 q 4000 = 000. q a = 4000 Etã: o q = 4 =, isto é, q=. (Aqui, é coveiete cosiderar o primeiro termo a 0 = 000, o ídice idicado a hora, e ão a = 000.) II. Queremos o úmero de bactérias a terceira hora (a ): a = a q a = 000 a = Soma dos termos de uma P. G. fiita Cosidere a P. G. de razão q (a, a, a,..., a ) cuja soma dos termos é S = a + a + a a. Temos que: I. q S = q (a + a + a a ) q S = a + a + a q a II. S q S = (a + a + a a ) (a + a + a q a ) ( ) = = S q a q a S a q a q Podemos, agora, substituir a = a q a fórmula aterior e obter: S a a q q = e daí: S = a, ode q. q q Soma dos termos de uma P. G. ifiita covergete Quado a razão q de uma P. G. ifiita é tal que < q <, isto é, q <, dizemos que a P. G. é covergete. Isso sigifica dizer que quado tede a mais ifiito, a e q tedem a zero (covergem para zero). Na prática, substituido q = 0 a fórmula aterior, obtemos: Observação: S 0 a = a S = q q Dizemos que S = a é o limite da soma dos ifiitos q termos da P.G. de razão q, ode q < (P.G. ifiita covergete). Cosidere a seguite situação-problema: Uma bola é laçada a vertical de ecotro ao solo, de uma altura h. Cada vez que bate o solo, ela sobe até 80% da altura de que caiu. O comprimeto total percorrido pela bola em sua trajetória, até tocar o solo pela quita vez, pode ser 80 obtido observado que 80 % = 4 00 = e que, saido de uma altura h, a bola percorre: S = h + h + h + h h subido subido descedo (bate o solo pela ª vez) descedo (bate o solo pela ª vez) descedo (bate o solo pela ª vez) Daí, somado os termos iguais, obtemos: S = h + h h h h + Matemática e suas Tecologias 7

9 Assim, até tocar o solo pela quita vez, a bola percorrerá h mais a soma dos quatro primeiros termos da P. G., isto é: 4 q S = h + a S = h + h q 4 Logo: S = 77 h 6 Podemos também calcular o comprimeto total percorrido pela bola em sua trajetória, até atigir o repouso. Para isso, é só observar que h h h + h + é a soma dos ifiitos termos de uma P.G. covergete 4 < q = <. Assim, até parar, a bola percorrerá a distâcia total S, tal que: 4 h a h S = h + S = h + 8 = h + S = h q 4 9 C-4 H-7 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Aalisar iformações evolvedo a variação de gradezas como recurso para a costrução de argumetação. 0. Admita a realização de um campeoato de futebol o qual as advertêcias recebidas pelos atletas são represetadas apeas por cartões amarelos. Esses cartões são covertidos em multas, de acordo com os seguites critérios: os dois primeiros cartões recebidos ão geram multas; o terceiro cartão gera multa de R$ 00,00; os cartões seguites geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 00,00 em relação ao valor da multa aterior. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a a) 0000 d) 9000 b) 000 e) 4000 c) 6000 C-4 H-7 Aalisar iformações evolvedo a variação de gradezas como recurso para a costrução de argumetação. 04. Em outubro de 0, o preço do dólar aumetou 8%. Se admitirmos o mesmo aumeto, mesal e cumulativo, os meses subsequetes, em quatos meses, a partir de outubro, o preço do dólar ficará multiplicado por doze? Dado: use a aproximação,8 a) d) b) e) 6 c) 4 FIQUE DE OLHO! A NATUREZA EM FIBONACCI A sequêcia (,,,,, 8,,...), chamada de sequêcia de Fiboacci, é tal que seus dois primeiros termos são iguais a e cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos seus dois termos imediatamete ateriores. Em outras palavras, os úmeros de Fiboacci formam uma sequêcia defiida recursivamete pela lei: F = F = F = F + F, para Os úmeros de Fiboacci ligam-se facilmete à atureza. É possível ecotrá-los o arrajo das folhas do ramo de uma plata, as copas das árvores ou até mesmo o úmero de pétalas das flores, o corpo humao e as formas de algus aimais. A seguir, temos situações em que possível idetificar a sequêcia de Fiboacci. Na tabela, idicam-se as multas relacioadas aos cico primeiros cartões aplicados a um atleta. Cartão amarelo recebido Valor da multa (R$) º º º 00 4º 000 º 00 Cosidere um atleta que teha recebido cartões amarelos durate o campeoato. Percebeu a sequêcia de Fiboacci a primeira figura? Se ão, observe os úmeros seguites idicado as medidas dos lados dos respectivos quadrados. Esses mesmos úmeros também idicam as medidas dos raios dos arcos de circuferêcias que formam a citada figura. 8 Matemática e suas Tecologias

10 Nessa equação, x (,0)60 é o motate gerado pelo primeiro depósito e x, o gerado pelo último. Adicioado os termos em P.G., João Victor chegou à equação equivalete Essa belíssima sequêcia foi descoberta com a resolução do clássico problema dos coelhos, proposta pelo matemático italiao Leoardo de Pisa, cohecido como Fiboacci (que quer dizer filho de Boacci ). O problema dos coelhos é o seguite: Quatos casais de coelhos teremos ao fial de um ao, se partirmos de um úico casal imaturo o º mês, que amadurece o º mês e gera um ovo casal de filhotes o º mês e, a partir daí, cotiua parido mesalmete, idefiidamete? Leve em cota que os ovos casais gerados também passam pelo mesmo processo descrito ateriormete e cosidere que ehum coelho vai morrer. Acompahe a ilustração abaixo que os traz a evolução da quatidade de coelhos. (, 0)6 x = ,, 0 a qual, utilizado-se a aproximação (,0)6 6, o valor aproximado de x é 8,70 reais. Você etede por que o motate gerado por cada parcela (x) depositada, após meses, é dado por x (,0)? Se ão, leia com ateção a teoria seguite, pricipalmete a parte relativa a juros compostos. OBJETO DO CONHECIMENTO Número de casais º mês: Porcetagem e Juros (jovem) º mês: (maduro) º mês: (maduro) (jovem) (maduro) (maduro) 4º mês: Porcetagem Chama-se porcetagem ou percetagem a porção de um dado valor que se determia sabedo-se o quato correspode a cada 00. (jovem) p% = º mês: Note que, para, o úmero total de coelhos do mês, F, é também o úmero de casais maduros do mês seguite (mês ). Como cada casal maduro do mês gera um ovo casal o mês (mês seguite), F também idica o úmero de casais imaturos (recém-ascidos) do mês. Sedo assim, os casais do mês são os casais do mês aterior (mês ) mais os recém-ascidos do mês, ou seja: F = F + F, para Agora, fica fácil ver que a sequêcia represetativa das quatidades de casais, mês a mês, é a sequêcia de Fiboacci (,,,,, 8,,, 4,, 89, 44,...), a qual o décimo segudo termo é 44. Após um ao ( meses), são 44 casais. p (lê-se p por ceto ) 00 Por exemplo: De um grupo de 00 joves, 8 praticam atação. Isso sigifica que 8% (lê-se 8 por ceto ) dos joves praticam atação. A porcetagem de um úmero a em relação a outro b é dada pela razão a. b Exemplos: 0 =, = = 0%, isto é, é 0% de. 00 7, = 0, 7 = = 7, %, isto é, é 7, % de Assim: INTRODUÇÃO Olá, querido estudate, Daqui a 0 aos (60 meses), quado se aposetará, João Victor pretede resgatar um motate de milhão de reais de sua cota poupaça. Para isso, ele depositará, mesalmete, a partir de hoje, uma mesma quatia (x), cujos redimetos médios estão estimados em % ao mês. Queredo determiar essa quatia (x) a ser depositada mesalmete, João Victor chegou à seguite equação, cujo primeiro membro é uma soma de termos em progressão geométrica: x + x (,0) + x (,0) x (,0)60 = p c 00 p% de c = p% c = Após um aumeto de p% sobre c, passamos a ter: c+ p p c = + c Após um descoto de p% sobre c, passamos a ter: c p p c = c Matemática e suas Tecologias 9

11 Após aumetos sucessivos de p% sobre c, passamos a ter: p + 00 c Em geral, para obter um resultado p% maior que certo valor x, devemos multiplicar x por ( + p%). Veja: Exemplo: x ( + p%) = x + p%x aumeto valor iicial (Eem) O cosumo total de eergia as residêcias brasileiras evolve diversas fotes como eletricidade, gás de coziha, leha etc. O gráfico mostra a evolução do cosumo de eergia elétrica residecial comparada com o cosumo total de eergia residecial, de 970 a 99. Cosumo de Eergia (x0 6 tep) eergia total eergia elétrica *tep = toeladas equivaletes de petróleo. Valores calculados por meio dos dados obtidos de Verifica-se que a participação percetual da eergia elétrica o total de eergia gasta as residêcias brasileiras cresceu etre 970 e 99, passado, aproximadamete, de a) % para %. d) 0% para 60%. b) 40% para 80%. e) 0% para 60%. c) 0% para 40%. Solução: Em 970, o cosumo de eergia elétrica era cerca de, 0 6 tep, de um total aproximado de 0 6 tep, isto é, 6, 0 tep 0 = = = 0%. Já em 99, o percetual 6 0 tep tep 6, era cerca de 0, 6 6, %. 6 0 tep = 8 = = 00 = Logo, aproximadamete, o cosumo de eergia elétrica passou de 0% para 60%. Resposta correta: D Lucro Chamamos de lucro (L), em uma trasação comercial de compra e veda, a difereça etre o preço de veda (V) e o preço de custo (C). Assim, podemos escrever: Lucro = preço de veda preço de custo, isto é: L = V C Observação: Caso essa difereça seja egativa, ela será chamada de prejuízo. Podemos expressar o lucro a forma de porcetagem, em relação ao preço de custo ou em relação ao preço de veda, das seguites maeiras: Percetual do lucro sobre o custo = Percetual do lucro sobre a veda = Exemplo: LUCRO PREÇODE CUSTO LUCRO PREÇODE VENDA João comprou uma bicicleta por R$ 80,00 e a vedeu por R$ 6,00. Nesse caso, temos: Lucro (L) de João a trasação: L = V C L = 6 80 L = 6 reais A porcetagem do lucro sobre o preço de custo: L c LUCRO 6 0 = = = 0, Lc = = 0% PREÇODE CUSTO A porcetagem do lucro sobre o preço de veda: L V LUCRO 6 = = 0, 0 LV = % PREÇODE VENDA 6 00 Juro simples Supohamos que uma pessoa deseje comprar uma geladeira e ão dispoha de diheiro suficiete para pagameto à vista. Nessas codições, ela pode efetuar a compra a prazo ou tetar um empréstimo em um baco. Em qualquer um dos casos, a pessoa geralmete paga uma quatia além do preço da geladeira a título de juros. O valor desses juros é justificado pelo prazo obtido para o pagameto ou pelo aluguel do diheiro emprestado. Supohamos agora que, sobre uma quatia, devam ser calculados juros simples, a uma taxa fixa por período, durate certo úmero de períodos. Isso sigifica que os juros correspodetes a cada um dos períodos serão sempre calculados sobre a quatia iicial e só serão icorporados a ela ao fial do último período. Sedo assim, para um capital iicial C 0, emprestado à taxa i, todos os aumetos da dívida serão iguais a: aumeto = i C 0, ão importado a época do aumeto. Lembre-se: taxa i sigifica a porcetagem de aumeto. 0 Matemática e suas Tecologias

12 Em geral, para um capital iicial C 0 aplicado à taxa i, em regime de juro simples, temos: C + = C + i C 0 próximo aumeto costate motate atual próximo motate Assim, a sequêcia de motates (C 0, C, C, C,..., C,...) é uma P. A. de razão R = i C 0, pois cada termo é o aterior mais uma costate. Daí, usado a fórmula do termo geral da P. A., obtemos: Ode: C = C 0 + ( 0) R C = C0 + i C 0 C é o motate (total da dívida) após aumetos; C 0 é o capital iicial; é o úmero de aumetos; i é a taxa de juros (porcetagem de aumeto). Observação: i C 0 são os juros pagos em um aumeto e J = i C 0 são os juros pagos em aumetos. Portato: Exemplo: Motate = Capital iicial + Juros Um comerciate cotraiu de um amigo um empréstimo de R$ 400,00, comprometedo-se a pagar a dívida em meses, à taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Assim, temos: C = = = ( úmero de aumetos) Taxa trimestral em meses, teremos cico aumetos. i = ao trimestre 6% Substituido os valores em C = C 0 + i C 0, tem-se: C aumeto 6 = C = aumetos 70 = 0 reais Ao fial dos meses, o comerciate pagará um motate de R$.0,00, sedo R$ 70,00 de juros. Juro Composto O tipo de juro mais usado as trasações fiaceiras é o juro composto. Para eteder esse tipo de juro, observemos o exemplo seguite. Aplicado R$ ,00 durate meses, à taxa de juro de 0% ao mês, qual o juro composto produzido? Calculemos: Mês Capital Juro Motate º R$ 00000,00 R$ 0000,00 R$ 0000,00 º R$ 0000,00 R$ 000,00 R$ 000,00 º R$ 000,00 R$ 00,00 R$ 00,00 Portato, o juro composto produzido foi de R$.00,00 (motate fial meos capital iicial). Note que, em cada mês, a partir do segudo, a taxa de juro icide sobre o motate acumulado o mês aterior. Por isso, esse tipo de redimeto é chamado de juro composto. Quado os juros são compostos, cada aumeto é calculado sobre o respectivo motate. Assim, um capital C 0, aplicado à taxa i, gera, após aumetos, um motate C, tal que: Daí: C + = C + i C próximo aumeto motate atual próximo motate C + = C ( + i) costate = ( + i) Cocluímos, pois, que a sequêcia de motates (C 0, C, C, C,..., C,...) é uma P. G. de razão q = ( + i), pois cada termo é o aterior vezes uma costate. Usado a fórmula do termo geral da P. G., obtemos: Ode: C = C 0 q 0 C = C 0 ( + i) C é o motate após aumetos; i é a taxa de juros (porcetagem de aumeto); C 0 é o capital iicial; é o úmero de aumetos. C- H- EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Recohecer, o cotexto social, diferetes sigificados e represetações dos úmeros e operações aturais, iteiros, racioais ou reais. 0. Numa loja, o preço de um produto tem um descoto de %, se for pago à vista, ou um acréscimo de %, se for pago com cartão de crédito. Tedo optado pelo cartão, uma pessoa pagou R$ 80,00 de acréscimo em relação ao que pagaria, com descoto, à vista. Etão a soma dos preços do produto à vista com descoto e o cartão é a) R$ 700,00 b) R$ 740,00 c) R$ 760,00 d) R$ 70,00 e) R$ 780,00 Matemática e suas Tecologias

13 C- H- Avaliar propostas de iterveção a realidade utilizado cohecimetos uméricos. C- H- Resolver situação-problema evolvedo cohecimetos uméricos. 06. Fulao aplicou um capital de R$ 000,00 a juros compostos, pelo período de 4 aos, e a uma taxa de % am. Ao cotabilizar o valor recebido ao fial da aplicação, fulao cocluiu que o valor correspode a Dado: log,0,60 = 4 a) R$ 6800,00 d) R$ 7600,00 b) R$ 700,00 e) R$ 8400,00 c) R$ 9700,00 FIQUE DE OLHO! INFLAÇÃO Em Ecoomia, iflação é a queda do valor de mercado ou poder de compra do diheiro. Porém, é popularmete usada para se referir ao aumeto geral dos preços. Iflação é o oposto de deflação. Ídices de preços detro de uma faixa etre e 4,% ao ao é uma situação chamada de estabilidade de preços. Iflação zero ão é o que se deseja, pois pode estar deuciado a ocorrêcia de uma estagação da ecoomia, mometo em que a reda e, cosequetemete, a demada, estão muito baixas, sigificado alto desemprego e crise. Os ídices de iflação o Brasil são medidos de diversas maeiras. Duas formas de medir a iflação ao cosumir são o INPC, aplicado a famílias de baixa reda (aquelas que teham reda de um a seis salários míimos), e o IPCA, aplicado para famílias que recebem um motate de até quareta salários míimos. Até 994, a ecoomia brasileira sofreu com iflação alta, etrado um processo de hiperiflação, a década de 80. Esse processo só foi iterrompido em 994, com a criação do Plao Real e a mudaça da moeda para o real (R$), atual moeda do país. Atualmete, a iflação é cotrolada pelo Baco Cetral por meio da política moetária que segue o regime de metas de iflação. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. José, Carlos e Paulo devem trasportar em suas bicicletas uma certa quatidade de larajas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sedo que, ao fial da primeira parte, eles redistribuiriam a quatidade de larajas que cada um carregava, depededo do casaço de cada um. Na primeira parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as larajas a proporção 6 : : 4, respectivamete. Na seguda parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as larajas a proporção 4 : 4 :, respectivamete. Sabedo-se que um deles levou 0 larajas a mais o segudo trajeto, qual a quatidade de larajas que José, Carlos e Paulo, essa ordem, trasportaram a seguda parte do trajeto? a) 600, 0, 0 d) 00, 00, 00 b) 00, 00, 0 e) 00, 00, 0 c) 00, 0, 00 C- H- Resolver situação-problema evolvedo cohecimetos uméricos. 0. Um aluo pré-uiversitário pretede passar toda a semaa estudado h por dia. Ele itecioa dividir suas horas de estudo etre Português e Matemática de tal maeira que o tempo destiado ao estudo fique iversamete proporcioal às suas otas em cada matéria a última etapa. Se o aluo tirou 9 em Português e 6 em Matemática, qual o tempo que ele destiará ao estudo de Matemática por semaa? a) 7h e 8mi d) 6h e 8mi b) 7h e mi e) 6h e mi c) 7h e 06mi C- H- Resolver situação-problema evolvedo cohecimetos uméricos. C- H- Resolver situação-problema evolvedo cohecimetos uméricos. 0. Duas gradezas positivas, x e y, são iversamete proporcioais, se existe uma correspodêcia bijetiva etre os valores de x e os valores de y e um úmero costate positivo k, tal que, se o valor y é o correspodete do valor x, etão y x = k. Nestas codições, se o valor y = 6 é o correspodete ao valor x =, etão o valor y que correspode ao valor x = é a) 8 d) 4 b) 0 e) 6 c) 04. O lucro de uma empresa foi dividido etre seus três diretores, recebedo o primeiro deles um valor proporcioal a, o segudo um valor proporcioal a 8 e o terceiro um valor proporcioal a 0. Marque a opção que correspode ao valor recebido pelo terceiro diretor, sabedo que o primeiro recebeu R$ ,00 a meos que o segudo. a) R$ 00000,00 d) R$ ,00 b) R$ 00000,00 e) R$ ,00 c) R$ ,00 Matemática e suas Tecologias

14 C- H- Recohecer, o cotexto social, diferetes sigificados e represetações dos úmeros e operações aturais, iteiros, racioais ou reais. C-4 H-7 Aalisar iformações evolvedo a variação de gradezas como recurso para a costrução de argumetação. 0. Amada e Beliha são amigas e possuem assiaturas de TV a cabo de empresas diferetes. A empresa de TV a cabo de Amada dá descotos de % a compra dos igressos de ciema de um shoppig. A empresa de TV a cabo de Beliha dá descoto de 0% a compra de igressos do mesmo ciema. O preço do igresso de ciema, sem descoto, é de R$ 0,00. Em um passeio em família, Amada compra 4 igressos, e Beliha compra igressos de ciema o shoppig, ambas utilizado-se dos descotos oferecidos por suas respectivas empresas de TV a cabo. Quatos reais Beliha gasta a mais que Amada a compra dos igressos? a) 0 d) b) e) 0 c) 0 C- H- Avaliar propostas de iterveção a realidade utilizado cohecimetos uméricos. 06. Em determiada data, uma pessoa aplica R$ 0000,00 à taxa de juros simples de % ao mês. Decorridos meses, outra pessoa aplica R$ 8000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. Determie quatos meses depois da primeira aplicação o motate referete ao valor aplicado pela primeira pessoa será igual ao motate referete ao valor aplicado pela seguda pessoa. a) d) 6 b) 0 e) 8 c) 4 C- H-4 Avaliar a razoabilidade de um resultado umérico a costrução de argumetos sobre afirmações quatitativas. 07. O valor C de um capital (empregado a uma taxa i de juros capitalizados periodicamete ao fim do período), após t períodos, é dado por C = C 0 ( + i) t, em que C 0 é o valor iicial. Qual é o tempo ecessário para que um capital empregado à taxa de % ao mês, com juros capitalizados mesalmete, dobre de valor? Utilize os dados da tabela a seguir que julgar coveiete: x log x 0,0,6989,0 0,079,00 0,00 0,0086 a) meses. d) 4 meses. b) meses. e) meses. c) meses. 08. Na orgaização de um determiado rali, quato à quilometragem diária a ser percorrida pelas equipes participates durate os 0 dias da competição, ficou estabelecida a seguite regra. No primeiro dia, as equipes deveriam percorrer 00 km e, os dias subsequetes, deveriam percorrer 0 km a mais que o dia aterior. A partir dos dados apresetados, é correto afirmar que uma equipe, para completar a prova, deverá percorrer o míimo. a) 4000 km d) 400 km b) 800 km e) 00 km c) 600 km C-4 H-7 Aalisar iformações evolvedo a variação de gradezas como recurso para a costrução de argumetação. 09. Depois de percorrer um comprimeto de arco de 7 m, uma criaça deixa de empurrar o balaço em que está bricado e aguarda até o balaço, parar completamete. Se o atrito dimiui a velocidade do balaço de modo que o comprimeto de arco percorrido seja sempre igual a 80% ao do aterior, a distâcia total percorrida pela criaça, até que o balaço pare completamete, é dada pela expressão D = 7 + 0, ,80 (0,80 7) +... Cosiderado-se que o segudo membro dessa igualdade é a soma dos termos de uma progressão geométrica, é correto estimar que o valor de D, em metros, é igual a a) 8 d) 49 b) e) 6 c) 4 C-4 H-8 Avaliar propostas de iterveção a realidade evolvedo variação de gradezas. Leia o texto para respoder à próxima questão. Pesquisas mostram difereças uméricas sigificativas etre as várias regiões do Brasil, o que diz respeito ao úmero de fiéis distribuídos pelos diversos grupos religiosos. Os católicos, por exemplo, têm uma maior participação o total da população as regiões Nordeste e Sul, ultrapassado 80% da população o Nordeste cotra uma média acioal de 74%. Por outro lado, Rio de Jaeiro e Rodôia são os estados com meor população de católicos. Cosidere que, os aos seguites, a publicação dos dados costates o quadro a seguir, o úmero de fiéis das religiões orietais cresceu 0% ao ao em progressão geométrica, equato que o úmero de fiéis afro-brasileiros cresceu % ao ao em progressão aritmética. Matemática e suas Tecologias

15 NÚMERO DE FIÉIS POR GRUPOS RELIGIOSOS NO BRASIL REGIÃO NORTE NÚMERO DE FIÉIS Católicos Evagélicos 0000 Afro-Brasileiros 00 Orietais 000 Espiritualistas 000 Outras Religiões 600 Sem Religião TOTAL 9000 Texto adaptado Revista de Geografia da UFC, Sedo log(,) = 0,08 e log(,076) = 0,, o tempo ecessário para que o úmero de fiéis das religiões orietais seja 604 a mais do que o valor costate o quadro acima é a) 7 meses. d) 40 meses. b) 60 meses. e) 6 meses. c) 48 meses. C-4 H-7 Aalisar iformações evolvedo a variação de gradezas como recurso para a costrução de argumetação. Sabedo que o comprimeto vertical da primeira ramificação é de h = m, qual o comprimeto vertical total da raiz, em metros, até h 0? a) d) b) e) c) 9 0 GABARITOS 9 9 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO a a b d c e EXERCÍCIOS PROPOSTOS b b b c a a e b b c c ANOTAÇÕES. A figura a seguir represeta um modelo plao do desevolvimeto vertical da raiz de uma plata do mague. A partir do caule, surgem duas ramificações da raiz, e em cada uma delas surgem mais duas ramificações, e, assim, sucessivamete. O comprimeto vertical de uma ramificação, dado pela distâcia vertical reta do iício ao fim da mesma, é sempre a metade do comprimeto da ramificação aterior. caule h C m / m /4 m /8 m Modelo de raiz de plata de mague h h h h 4 Expediete Supervisão Pedagógica: Marcelo Pea Supervisão Gráfica: Felipe Marques e Sebastião Pereira Gerete do SFB: Ferada Deardi Projeto Gráfico: Atôio Nailto, Daiel Paiva e João Lima Editoração Eletrôica: Atôio Nailto Ilustrações: Arte FB Revisão: Allaa Gadelha OSG.: 09848/ 4 Matemática e suas Tecologias