Existência de soluções para duas classes de problemas elípticos usando a aplicação bração relacionada à Variedade de Nehari

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA MESTRADO ACADÊMICO EM MATEMÁTICA Sandra Machado de Souza Lima Existência de soluções para duas classes de problemas elípticos usando a aplicação bração relacionada à Variedade de Nehari Juiz de Fora 2014

2 Sandra Machado de Souza Lima Existência de soluções para duas classes de problemas elípticos usando a aplicação bração relacionada à Variedade de Nehari Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Matemática, Área de concentração: Equações Diferenciais Paciais, da Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre. Orientador: Olímpio Hiroshi Miyagaki Juiz de Fora 2014

3 Machado de Souza Lima, Sandra. Existência de soluções para duas classes de problemas elípticos usando a aplicação bração relacionada à Variedade de Nehari / Sandra Machado de Souza Lima f. Orientador: Olímpio Hiroshi Miyagaki Dissertação (mestrado acadêmico) - Universidade Federal de Juiz de Fora, Instituto de Ciências Exatas. Programa de Pós-Graduação em Matemática, Variedade de Nehari. 2. Aplicação Fibração. 3. Problema elíptico semilinear. I. Miyagaki, O.H.. II. Existência de solução para duas classes de problemas elípticos usando a aplicação bração.

4 Dedico aos meus pais Lorival e Regina, à minha família querida e ao Fábio, meu marido e melhor amigo.

5 AGRADECIMENTOS À Deus, meu grande motivador e alimento. Dentre os inúmeros favores, ressalto minha gratidão pela Tua misericórdia e providência na minha vida. À Virgem Maria e ao meu Anjo da guarda, meus grandes amigos, obrigada pelo carinho, auxílio e presença constante. Aos meus pais, pelo exemplo de vida, por estarem sempre ao meu lado em cada momento e principalmente serem uma manifestaçao tão viva do amor de Deus para mim. Ao Fábio, meu amigo, marido e presente de Deus. Agradeço por me ajudar em cada decisão e também por estar ao meu lado na hora de assumir cada consequência, por car comigo nas intermináveis noites de estudo e compreender minhas ausências. Te amo! Aos meus familiares em especial Fatinha, Ricardo, Marcelo, Clarice, Davi, Júnior, Viliv e Vítor sempre me escutando, aconselhando e incentivando. Aos amigos que torceram de coração por mim, meu muito obrigado. Agradeço de forma especial aos amigos do ErACe que há tanto tempo caminham do meu lado, agradeço de coração pela amizade! À Tita e à Pri, por tudo o que vivenciamos juntas, obrigada pelo carinho e incentivo. Ao Olímpio, por acreditar em mim, me incentivar com suas palavras e principalmente com seu exemplo. Certamente seus ensinamentos foram muito além da Matemática. Aos professores da graduação e do mestrado pelo exemplo e dedicação. Aos professores Carlos e Fábio, por terem aceitado o convite de fazer parte da minha banca. Aos colegas de mestrado, obrigada pelo apoio e paciência, vocês tornaram este caminho árduo, bem mais agradável de se percorrer. Em especial, Weslley e Mariana que estão comigo desde o início. Ronaro, Bruno e Helena por me incentivarem a vir para a matemática. Eliza, Pavel, Vladimir, Juan, Julio e Yúlia por todo aprendizado e discontração. Yamashita, Gisele, Wilker, Gladston, Erasmo, Taís e Lívia, levo todos em meu coração. À Sandrinha, à quem devo vários "dez mil reais", meu muito obrigada! Aos funcionários do departamento de matemática, obrigada por sempre estarem dis-

6 postos a ajudar. Em especial à Laura pela torcida e amizade. À Fapemig e à UFJF pelo apoio nanceiro.

7 Tudo posso naquele que me fortalece". (Filipenses 4.13 )

8 RESUMO A variedade de Nehari para a equação u(x) = λa(x)u(x) q + b(x)u(x) p, com x, junto com a condição de fronteira de Dirichlet é investigada no caso em que a(x) = 1, λ R, q = 1 e 0 < p < 1, e também no caso em que λ > 0 e 0 < q < 1 < p < 2 1. Explorando a relação entre a variedade de Nehari e a aplicação bração ( isto é, aplicações da forma t J(tu) onde J é o funcional de Euler associado ao problema em questão), iremos discutir a existência e multiplicidade de soluções não negativas. Palavras-Chave: Variedade de Nehari; Aplicação Fibração; Problema elíptico semilinear.

9 ABSTRACT The Nehari Manifold for the equation u(x) = λa(x)u(x) q + b(x)u(x) p, for x together with Dirichlet boundary conditions is investigated in which case a(x) = 1, λ R, q = 1 and 0 < p < 1, and also in the case that λ > 0 and 0 < q < 1 < p < 2 1. Exploring the relationship between the Nehari manifold and bering maps (i.e., maps of the form t J(tu) where J is the Euler functional associated to the above equation), we will discuss the existence and multiplicity of non negative solutions. Key-words: Nehari manifold; Fibrering map; Semilinear elliptic problems.

10 ÍNDICE DE NOTAÇÕES : convergência forte; u n u : u n converge forte para u quando n ; : convergência fraca; u n u : u n converge fraco para u quando n ; q.t.p. : quase todo ponto; ( u u =, u,..., u ) ; x 1 x 2 x n u = i=n i=1 2 u ; x 2 i é a fronteira de ; é o fecho de ; C k () = {u : R; u é continuamente k vezes diferenciável}; L p () = {u : R; u é mensurável e u L p = ( u(x) p dx ) 1/p < }; W k,p () é o espaço de todas as funções u L p () tais que para cada multi-índice α com α k, D α u existe no sentido fraco e pertence a L p (); W 1,p () = {u L p (); g L p () tal que udα u = gφ, φ C1 c ()}; W 1,2 0 () = H 1 0() : Munido da norma u = u H 1 0 () = ( u 2 dx ) 1/2, denota o fecho de C 0 () em H 1 ().

11 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 12 1 O PROBLEMA (P 1 ) CONSIDERAÇÕES INICIAIS O MÉTODO DA APLICAÇÃO FIBRAÇÃO E A VARIEDADE DE NEHARI Denições Variedade de Nehari Aplicação Fibração ANÁLISE DA APLICAÇÃO FIBRAÇÃO Descrição da função m u Descrição da função φ u PROPRIEDADES DA VARIEDADE DE NEHARI A EXISTÊNCIA DE MINIMIZADORES BIFURCAÇÃO DO INFINITO O CASO DA NÃO EXISTÊNCIA O FUNCIONAL J λ C 1 (W 1,2 0 (), R) REGULARIDADE DA SOLUÇÃO FRACA DO PROBLEMA (P 1 ) O PROBLEMA (P 2 ) CONSIDERAÇÕES INICIAIS O MÉTODO DA APLICAÇÃO E A VARIEDADE DE NEHARI Denições

12 2.2.2 Variedade de Nehari Aplicação Fibração ANÁLISE DA APLICAÇÃO FIBRAÇÃO Descrição da função m u Descrição da função ϕ u EXISTÊNCIA DE SOLUÇÕES NÃO NEGATIVAS Existência de minimizadores para I λ Existência de soluções para um problema elíptico (P) O FUNCIONAL I λ C 1 (W 1,2 0 (), R) RESULTADOS BÁSICOS RESULTADOS DE GEOMETRIA RIEMANIANA RESULTADOS DA TEORIA DE MEDIDA E INTEGRAÇÃO DEFINIÇÕES E RESULTADOS DE ANÁLISE FUNCIONAL RESULTADOS DA TEORIA CLÁSSICA DE EDP E DOS ESPAÇOS DE SOBOLEV REFERÊNCIAS 89

13 12 INTRODUÇÃO Explorando a relação entre a variedade de Nehari e a aplicação bração, iremos discutir a existência e multiplicidade de soluções não triviais e não negativas para duas classes de problemas elíticos de Equações Diferenciais Parciais (EDP) os quais foram estudadas por Brown (2004) e por Brown (2007). Essas classes de problemas elípticos modelam vários problemas da física matemática e da dinâmica das populações, como pode ser visto no artigo de Chen (2009). No início dos anos 1960 Nehari introduziu um método que se tornou muito útil na teoria de pontos críticos e que atualmente recebe o nome de método da var iedades de Nehari. A idéia original de Nehari consiste em estudar um problema de valor de fronteira para certas equações diferenciais ordinárias não lineares de segunda ordem em um intervalo aberto (a, b) e mostrar que a equação possui uma solução não trivial que pode ser obtida através de um problema de minimização com vínculo. O método da aplicação bração introduzido por Drabek e Pohozaev (1997) e discutida por Brown e Zhang (2003) relaciona o funcional de Euler Lagrange com uma função real. As informações sobre esta função nos levam à uma demonstração simples do resultado que buscamos. No capítulo 1, iremos discutir a existência e multiplicidade de soluções não triviais e não negativas do seguinte problema: { u = λu(x) + b(x) u(x) γ 2 u(x), se x (P 1 ) u = 0, se x, onde é uma região limitada do R n com fronteira suave, e b : R é uma função regular que pode mudar de sinal em. Vamos considerar λ um parâmetro real e assumir γ como sendo um número real tal que 1 < γ < 2. Problemas semelhantes foram estudados por Binding, Drábek e Huang (1997) e Binding, Drábek e Huang (2000), usando métodos variacionais, e por Amann e Lopez-Gomez (1998) usando a teoria de bifurcação global. Em um trabalho anterior, Brown e Zhang (2003) consideraram um problema semelhante, no caso em que γ > 2. A mudança neste

14 13 parâmetro altera completamente a natureza da solução do problema (P 1 ). Quando γ > 2, a curva da solução positiva bifurca da solução nula até λ = λ 1, onde λ 1 é o autovalor principal do problema linear { u = λu(x), se x (P 0 ) u = 0, se x. A direção da bifurcação é determinada pelo sinal de bφγ 1dx, onde φ 1 é a autofunção positiva associada ao principal autovalor positivo λ 1 do operador. Quando 1 < γ < 2 o problema (P 1 ) se torna assintoticamente linear, e neste caso, a bifurcação no innito ocorre quando λ = λ 1. Iremos mostrar exatamente como isso acontece e o importante papel desempenhado por bφγ 1dx, investigando como a variedade de Nehari varia com λ. No capítulo 2, iremos estudar como utilizar o Método da aplicação bração, para outra classe de problemas elíticos, isto é, mostraremos a existência de soluções para { u = λa(x)u q + b(x)u p, se x (P 2 ) u = 0, se x, onde é uma região limitada do R n com fronteira suave, 0 < q < 1 < p < N+2 N 2, λ > 0 e a, b : R são funções regulares que podem mudar de sinal em. O problema (P 2 ) tem sido recentemente estudado por Figueiredo, Gossez e Ubilla (2003) usando o Teorema do Passo da Montanha, e por Il'yasov (2005) e Wu (2009) com a Variedade de Nehari. Drabek e Pohozaev (1997) e Brown e Zhang (2003), demonstraram para uma equação tal como em (P 2 ) que a variedade de Nehari está intimamente relacionado com as aplicações Fibração para o problema. Neste trabalho vamos mostrar como uma análise completa das aplicações Fibração nos levam à resultados semelhantes aos de Il'yasov (2005) e de Wu (2009). Ao longo do capítulo 2, discutiremos as propriedades da aplicação bração e da Variedade de Nehari. Faremos uma descrição completa dessa aplicação associada à (P 2 ) e usaremos essas informações para provar a existência de, pelo menos, duas soluções não triviais e não negativas de (P 2 ), para valores de λ sucientemente pequenos. Podemos observar que os dois problemas trabalhados são similares. Olhando para a equação u(x) = λa(x)u(x) q + b(x)u(x) p, com x, junto com a condição nula de fronteira de Dirichlet, tratamos em (P 1 ) o caso

15 14 em que a(x) = 1, λ R, q = 1 e 0 < p < 1, e em (P 2 ) o caso em que λ > 0 e 0 < q < 1 < p < 2 1. Deniremos para cada caso, o funcional J λ associado ao problema inicial de cada capítulo, bem como a variedade de Nehari e veremos como eles se relacionam. Mostraremos como o funcional é melhor comportado sobre a variedade de Nehari, mas não é limitado em geral sobre seu domínio todo W 1,2 0 (). Trabalharemos a relação entre a variedade de Nehari e o comportamento das funções na forma φ u : t J λ (tu); (t > 0). Por m, usando a teoria de regularidade Gilbard e Trudinger (1983), provaremos que as soluções fracas são, de fato, soluções clássicas do problema em questão.

16 15 1 O PROBLEMA (P 1 ) 1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS Iremos discutir neste capítulo a existência e multiplicidade de soluções não negativas para a seguinte classe de problemas elípticos de Equações Diferenciais Parciais: { u = λu(x) + b(x) u(x) γ 2 u(x), se x ; (P 1 ) u = 0, se x, onde é uma região limitada do R n com fronteira suave e b : R uma função regular, que pode mudar de sinal em. Vamos considerar λ um parâmetro real e assumir γ como sendo um número real tal que 1 < γ < 2. Inicialmente iremos denir a variedade de Nehari e a Aplicação Fibração a partir do funcional J λ associado ao problema (P 1 ). Na segunda parte, mostraremos a importância da condição L (λ) B na determinação da natureza da variedade de Nehari. Na terceira seção, provaremos a existência de minimizadores sobre a variedade de Nehari e em seguida discutiremos como todos esses resultados nos dão informações sobre as soluções não negativas de (P 1 ) com as variações de λ e em particular sobre a bifurcação no innito. Na seção seguinte, investigaremos a natureza da variedade de Nehari nos casos onde não há soluções não negativas e não triviais de (P 1 ). Por m, iremos observar que nossos resultados são assegurados somente no caso onde a não linearidade é a função homogênea. Isto assegura que a Aplicação Fibração envolve somente atribuições a t e a simplicidade das nossas provas dependem fortemente deste fato.

17 1.2 O MÉTODO DA APLICAÇÃO FIBRAÇÃO E A VARIEDADE DE NEHARI 16 Nesta seção deniremos o funcional J λ associado ao problema (P 1 ) mostraremos sua relação com e a variedade de Nehari e a Aplicação Fibração Denições O Funcional de Euler J λ : W 1,2 0 () R associado ao problema (P 1 ) é dado por J λ (u) = 1 u 2 dx λ u 2 dx 1 b u γ dx. (1.1) 2 2 γ Mostraremos em 1.8 que o funcional J λ C 1 (W 1,2 0 (), R) e que sua derivada de Gateaux é dada por J λ(u)v = e em particular u vdx λ uvdx b u γ 2 uvdx, u, v W 1,2 0 (), J λ(u)u = u 2 dx λ u 2 dx b u γ dx. Armação: J λ está bem denido. Prova: De fato, sejam J 1 (u) = u 2 dx, J 2 (u) = J 3 (u) = u 2 dx e b u γ dx. Iremos mostrar que cada um dos termos de J λ está bem denido. i) u 2 dx = u 2 < em W 1,2 0 (). ii) Consideremos λ 1 o autovalor principal do problema linear (P 0 ) { u = λu, se x ; u = 0, se x.

18 17 Observe que Logo, λ 1 = u 2 inf ; para u 0. u W 1,2 0 () u 2 u 2 dx 1 λ 1 u 2 dx <. iii) b u γ dx b u γ dx b(x) u γ dx max b(x) x u γ dx < já que u W 1,2 0 (). De fato, pelas imersões contínuas de Sobolev como em 3.10, W 1,2 0 () L r (), com r [1, 2 ], segue que u L γ (). Assim, J λ está bem denido para toda u W 1,2 0 (). Podemos observar que u 2 dx λ u 2 dx (λ 1 λ) u 2 dx, u W 1,2 0 (), (1.2) e ainda J λ (u) 1 2 (λ 1 λ) u 2 dx b γ 1. u γ dx, onde b = sup b(x) x Tomando p = 2 < 1 e γ p = 2, segue da desigualdade de Hölder que 2 γ J λ (u) 1 2 (λ 1 λ) u 2 dx b γ 1 2 (λ 1 λ) onde b = sup x b(x). ( u 2 dx b γ 1 γ 2 ) 2 γ γ dx ( u 2 dx ( ) γ 2, ) γ u γ 2 2 γ dx Assim, J λ é limitado inferiormente em W 1,2 0 () quando λ < λ 1 e 1 < γ < 2. Entretanto, se λ > λ 1, então lim t J λ (tφ 1 ) =. De fato, quando t, ( J λ (tφ 1 ) = t 2 λ1 φ 1 2 dx λ φ 1 2 dx 1 ) b φ 2 2 γt 2 γ 1 γ dx. Assim J λ não é limitado inferiormente em W 1,2 0 (), se λ > λ 1. Estamos procurando um subconjunto de W 1,2 0 () onde o funcional J λ seja melhor comportado, mais especi-

19 18 camente, onde este funcional seja, em geral, limitado inferiormente Variedade de Nehari Para obter resultados de existência neste caso, introduzimos a variedade de Nehari: onde, denota a dualidade usual. S(λ) = {u W 1,2 0 () : J λ(u), u = 0} Vamos mostrar que S(λ) é de fato uma variedade. Proposição 1.1. A variedade de Nehari S(λ) é não vazia e é uma subvariedade de W 1,2 0 (). Prova: Seja ψ : W 1,2 0 ()\{0} R dada por ψ(u) = J λ (u), u. Assim ψ(u) = u 2 dx λ u 2 dx b u γ dx. Como veremos na seção 1.8, fazendo J 1 = J 2 = J 3 = u 2 dx, u 2 dx e b u γ dx, temos que cada um destes termos são de classe C 1 (), e por conseguinte observa-se que são também de classe C 2 (), logo temos que ψ C 1 (). Além disso, ψ (u)v = 2 u vdx 2λ uvdx γ b u γ 2 uvdx. Seja v 0; v W 1,2 0 () e considere a função t ψ(tv); t R e t > 0.

20 19 Desse modo, ψ(tv) = t 2 v 2 dx t 2 λ ( = t 2 v 2 dx λ v 2 dx t γ v 2 dx ) ( t γ b v γ dx b v γ dx Se v 2 dx λ v2 dx > 0 e b v γ dx > 0, como 1 < γ < 2, segue que ). lim ψ(tv) = + e t lim ψ(tv) = 0, por valores menores que zero. t 0 Com isso, para algum t > 0 a função ψ( tv) é igual a zero, ou seja, tv S(λ). Dessa forma mostramos que S(λ). Vejamos agora que ψ não possui ponto crítico em S(λ). Observe que ψ (u)u = 2 u 2 dx 2λ u 2 dx γ b u γ dx. (1.3) Para u S(λ) com u 0, temos ψ(u) = 0 ( u 2 λu 2 )dx ( u 2 λu 2 )dx = Substituindo em (1.3), segue que ψ (u)u = (2 γ) b u γ dx. b u γ dx = 0 b u γ dx. Portanto, como 1 < γ < 2 e b 0, obtemos que ψ (u) 0 para todo u 0 em S(λ). Seja M = W 1,2 0 ()\{0}. Como b u γ dx > 0, vemos que 0 é o único ponto crítico em ψ 1 (0) e 0 / M. Logo, 0 é um valor regular de ψ M. Pelo Teorema 3.1, segue que ψ 1 M (0) é uma subvariedade de M. Portanto, S(λ) é uma C 1 subvariedade de W 1,2 0 (). Observação 1.1. Temos que u S(λ) se e somente se u 2 dx λ u 2 dx b u γ dx = 0

21 20 De fato, u S(λ) J λ(u)u = 0 u 2 dx λ u 2 dx b u γ dx = 0 Podemos perceber que S(λ) W 1,2 0 () e que S(λ) é um conjunto mais restrito que W 1,2 0 (), deste modo iremos estudar nosso funcional J λ restrito a S(λ). Note que em S(λ) temos u 2 dx λ u 2 dx = b u γ dx. (1.4) Substituindo em (1.1) camos com J λ (u) = 1 u 2 dx λ u 2 dx γ = 1 b u γ dx 1 b u γ dx 2 γ ( 1 = 2 1 ) b u γ dx. γ b u γ dx Aplicação Fibração Apresentaremos agora as funções da forma φ u : t J λ (tu); seu comportamento e mostraremos sua relação com a variedade de Nehari. Se u W 1,2 0 (), temos φ u (t) = t2 2 ( u 2 λu 2 )dx tγ γ φ u(t) = t ( u 2 λ u 2 )dx t γ 1 φ u(t) = ( u 2 λ u 2 )dx (γ 1)t γ 2 (t > 0), analisaremos b u γ dx, (1.5) b u γ dx, (1.6) b u γ dx. (1.7) A proposição abaixo relaciona a variedade de Nehari e a Aplicação Fibração. Proposição 1.2. Seja φ u a aplicação denida acima e u W 1,2 0 (), então: (i) u S(λ) se, e somente se, φ u(1) = 0; (ii) Mais geralmente tu S(λ) se, e somente se, φ u(t) = 0.

22 21 Prova: (i) Note que φ u(1) = ( u 2 λ u 2 )dx b(x) u γ dx = J λ(u)u. (ii) ( ) 0 = φ u(t) = t ( u 2 λ u 2 )dx t γ 1 b(x) u γ dx. Multiplicando esta equação por t, 0 = t 2 ( u 2 λ u 2 )dx t γ b(x) u γ dx = J λ(tu)tu. ( ) Como tu S(λ), temos 0 = J λ(tu)tu = t 2 ( u 2 λ u 2 )dx t γ b(x) u γ dx, dividindo esta equação por t > 0, 0 = t ( u 2 λ u 2 )dx t γ 1 b(x) u γ dx = φ u(t). Desta forma, os elementos em S(λ), correspondem aos pontos estacionários da Aplicação Fibração. Assim é natural subdividir S(λ) em subconjuntos, onde para cada u W 1,2 0 () xada, o número 1 é um ponto crítico de φ u. Segue de (1.6) e (1.7) que se φ u(t) = 0 então ( u 2 λu 2 )dx = t γ 2 φ u(t) = t γ 2 e como t > 0 e 1 < γ < 2, temos φ u(t) > 0 φ u(t) < 0 φ u(t) = 0 b u γ dx b u γ dx(2 γ), (1.8) b u γ dx > 0, b u γ dx < 0 e b u γ dx = 0.

23 22 Podemos agora denir os subconjuntos de S(λ): S + (λ) = {u S(λ); φ u(1) > 0} S (λ) = {u S(λ); φ u(1) < 0} S 0 (λ) = {u S(λ); φ u(1) = 0}. Assim, S +, S e S 0 correspondem ao conjunto de pontos de mínimo local, máximo local e de inexão, respectivamente. Observação 1.2. Note que se u S(λ), isto é, φ u(1) = 0 então ( u 2 λu 2 )dx = b u γ dx e φ u(1) = (2 γ) b u γ dx. (1.9) Iremos mostrar a existência de soluções de (P 1 ) investigando a existência de minimizadores em S(λ). Entretanto, S(λ) é apenas um pequeno subconjunto de W 1,2 0 (), mas verica-se que os minimizadores de J λ em S(λ) são também pontos críticos de J λ em W 1,2 0 (). De fato, como provado em Binding, Drábek e Huang (1997) ou em Brown e Zhang (2003), temos o resultado a seguir. Lema 1.1. Suponhamos que u 0 é um mínimo ou máximo local para J λ em S(λ), então se u 0 não pertence a S 0 (λ), u 0 é um ponto crítico de J λ em W 1,2 0 (). Prova: Seja u 0 um ponto de máximo ou de mínimo local de J λ em S(λ). Pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange (ver apêndice, Teorema 3.6), existe δ R vericando J λ(u) = δf (u), (1.10) onde Logo, F (u) = ( u 2 λu 2 )dx b u γ dx = J λ(u)u = 0. ( u 2 λu 2 )dx = b u γ dx. (1.11) Derivando F temos F F (u + th) F (u) (u)h = lim. t 0 t

24 23 Tomando h = u 0 e usando L`Hospital, obtemos F (u 0 )u 0 = 2 ( u 0 2 λu 2 0)dx γ b u 0 γ dx. Substituindo em (1.11) F (u 0 )u 0 = (2 γ) b u 0 γ dx = φ u(1). Como u 0 S(λ), por (1.10) obtemos 0 = J λ(u 0 )u 0 = δf (u 0 )u 0. Como u 0 não pertence à S 0 (λ) então φ u(1) 0. Daí F (u 0 )u 0 0, nos dando que δ = 0 e assim J λ (u 0) = 0. Portanto, u 0 é ponto crítico de J λ em W 1,2 0 (). 1.3 ANÁLISE DA APLICAÇÃO FIBRAÇÃO Faremos nesta seção uma descrição da Aplicação Fibração associada ao problema elíptico (P 1 ) Descrição da função m u Veremos que a natureza essencial da Aplicação Fibração φ u é determinada pelo sinal de ( u 2 λu 2 )dx e de b u γ dx. Para isso, vamos denir m u (t) = u 2 dx t γ 2 b u γ dx. (1.12) Observação 1.3. Note que, para t > 0, tu S(λ) se, e somente se, t é solução de m u (t) = λ u 2 dx. (1.13) De fato, pela equação (1.13), ( u 2 λu 2 )dx t γ 2 b u γ dx = 0. Multiplicando a equação acima por t 2 t 2 ( u 2 λu 2 )dx t γ b u γ dx = 0,

25 24 ou equivalentemente logo J λ(tu)tu = 0, tu S(λ). Derivando (1.12) camos com m u(t) = (2 γ)t γ 3 b u γ dx. (1.14) E ainda m u(t) = (2 γ)(γ 3)t γ 4 b u γ dx. Podemos observar que m e m não estão denidas para t = 0, já que 3 < γ 4 < γ 3 < 1. Vejamos que lim m t 0 u(t) = ± ; dependendo do sinal de b u γ dx, e além disso lim t m u(t) = 0. Para construir um esboço de m u dividiremos em dois casos. (i) Se b u γ dx > 0, sendo t > 0 e 1 < γ < 2, teremos que m u é uma função estritamente crescente. De fato, se t = 0 então m u(0) não está denida, mas se t > 0, então m u(t) = (2 γ)t γ 3 b u γ dx 0, e ainda m u(t) = (2 γ)(γ 3)t γ 4 b u γ dx 0. Com lim t m u (t) = u 2 dx e lim t 0 + m u (t) =, m u tem o gráco como na gura 1, onde A = u 2 dx. Se λ u2 dx > u 2 dx, então u 2 dx λ u2 dx < 0. Assim não há nenhum valor de t que satisfaça (1.13). Neste caso observamos que os sinais de b u γ dx e de u 2 dx λ u2 dx são opostos.

26 25 m u (t) A t Figura 1: Possível forma de m u quando b(x) u γ dx > 0 Já no caso em que λ u2 dx < u 2 dx, temos que u 2 dx λ u2 dx > 0 e assim há um único valor de t que satisfaz (1.13). Neste caso observamos que b u γ dx e u 2 dx λ u2 dx tem sinais positivos. (ii) Se b u γ dx < 0, sendo t > 0 e 1 < γ < 2, teremos que m u é uma função estritamente decrescente. De fato, se t = 0 então m u(0) não está denida, mas se t > 0, então m u(t) = (2 γ)t γ 3 b u γ dx 0, e ainda m u(t) = (2 γ)(γ 3)t γ 4 b u γ dx 0. Analogamente ao caso anterior, m u tem o gráco como na gura 2, onde A = u 2 dx. m u (t) A t Figura 2: Possível forma de m u quando b(x) u γ dx < 0 Se λ u2 dx > u 2 dx, então u 2 dx λ u2 dx < 0. Assim há um único

27 26 valor de t que satisfaz (1.13). Neste caso observamos que b u γ dx e ( u 2 λu 2 )dx tem o mesmo sinal. Se λ u2 dx < u 2 dx, então u 2 dx λ u2 dx > 0 e assim não há nenhum valor de t que satisfaça (1.13). Neste caso observamos que os sinais de b u γ dx e de ( u 2 λu 2 )dx são opostos. A partir das observações feitas acima, para u W 1,2 0 (), podemos concluir que: (I) Se ( u 2 λu 2 )dx e b u γ dx tem o mesmo sinal, φ u tem um único ponto crítico em [ ] t u = b u γ dx 1 2 γ ; ( u 2 λu 2 )dx assim, existe t R tal que tu S(λ); (II) Se ( u 2 λu 2 )dx e b u γ dx tem sinais diferentes, então φ u não possui pontos críticos e assim, pela proposição 1.2, nenhum múltiplo de u pertence à S(λ). Observação 1.4. Se tu S(λ), segue de (1.9) e (1.14) que φ tu(1) = t 3 m u(t). então De fato Como, φ tu(t) = (2 γ)t γ 2 φ tu(1) = (2 γ)1 γ 2 = (2 γ)t γ m u(t) = (2 γ)t γ 3 t 3 m u(t) = (2 γ)t γ b tu γ dx b tu γ dx b u γ dx. b u γ dx t 3 m u(t) = φ tu(1). b u γ ; Esta observação tem uma grande importância para este capítulo, pois se conhecermos o sinal de m u(t), conheceremos o sinal de φ tu(1), e assim poderemos saber se φ tu tem um ponto de mínimo local, máximo local ou de inexão.

28 27 Resumidamente: { tu S + (λ) se m u(t) > 0 tu S (λ) se m u(t) < Descrição da função φ u Iremos analisar a natureza da Aplicação Fibração para todos os possíveis sinais de ( u 2 λu 2 )dx e de b u γ dx. (i) Quando λ u2 dx < u 2 dx e b u γ dx < 0. Relembrando que φ u(t) = t 2 ( u 2 λu 2 )dx tγ γ temos φ u(t) > 0, b u γ dx, pois t > 0. Logo, φ u é crescente e como φ u(t) > 0, pela Proposição 1.2 concluímos que nenhum múltiplo de u está em S(λ). Daí, o gráco φ u tem uma forma mostrada na gura 3. φ u t Figura 3: Possível forma de φ u quando u2 dx < u 2 dx e b u γ dx < 0 (ii) Quando λ u2 dx > u 2 dx e b u γ dx < 0. Olhando para a gura 2, podemos observar que teremos um único ponto crítico de φ u no caso em que u 2 dx λ u2 dx < 0. Vamos mostrar que nestas condições a equação (1.13) tem uma única solução. Como m u é contínua e lim t 0 m u (t) = +, então, para t 1 sucientemente pequeno m u (t 1 ) > λ u 2 dx.

29 28 Além disso, λ u2 dx > u 2 dx e lim t m u (t) = u 2 dx, então, existe t 2 sucientemente grande tal que m u (t 2 ) < λ u 2 dx. Denindo m u : [t 1, t 2 ] R, e sendo m u uma função contínua com m u (t 1 ) < λ u 2 dx < m u (t 2 ), então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe t u (t 1, t 2 ) tal que, m u (t u ) = λ u 2 dx. logo, Além disso, m u(t) = (2 γ)t γ 3 b u γ dx, m u(t) < 0 pois t > 0 e 1 < γ < 2. Portanto m u é uma função estritamente decrescente. Daí concluímos que t u é único, ou seja, a equação m u (t) = λ u2 dx tem única solução t u. Desta forma, existe exatamente uma única solução de (1.13). Agora vamos mostrar que t u u S(λ). daí Como m u tem uma única solução, substituindo (1.13) em (1.12), camos com λ u 2 dx = u 2 dx t γ 2 u b u γ dx, u 2 dx λ u 2 dx t γ 2 u b u γ dx = 0. Multiplicando a equação acima por t 2 u obtemos ( u 2 λu 2 )dx t γ u t 2 u b u γ dx = 0, o que é o mesmo que J λ (t uu)t u u = 0. Consequentemente t u u S(λ). Como t u u S(λ), m u(t u ) < 0 e t > 0, pela observação 1.4 isto é, t u u S (λ). φ t uu(1) = t 3 m u(t u ) < 0

30 29 Note também que φ u(t u ) = 0, ou seja, a aplicação φ u tem um único ponto crítico em t = t u que é um ponto de máximo local. De fato, t 2 u ( u 2 λu 2 )dx t γ u b u γ dx = 0. Dividindo a equação acima por t u 0 camos com t u ( u 2 λu 2 )dx t γ 1 u b u γ dx = 0. e Além disso, lim φ t 2 u(t) = lim t t 2 lim φ t 2 u(t) = lim t 0 + t ( u 2 λu 2 )dx tγ γ ( u 2 λu 2 )dx tγ γ b u γ dx = b u γ dx = 0. Do que foi observado acima, segue que φ u, tem seu gráco como na gura 4. φ u t u t Figura 4: Possível forma de φ u quando u2 dx > u 2 dx e b u γ dx < 0 (iii) Quando λ u2 dx < u 2 dx e b u γ dx > 0. Neste caso, u 2 dx λ u2 dx > 0. Desse modo lim m u(t) = lim u t t 2 dx t γ 2 b u γ dx = u 2 dx > λ u 2 dx e ainda lim m u(t) = lim u t 0 + t 2 dx t γ 2 b u γ dx =. Como m u é uma função contínua com lim m u(t) < λ t 0 + u 2 dx < lim t m u (t),

31 30 pelo Teorema do Valor Intermediário, existe t u (0, + ) tal que, m u (t u ) = λ u 2 dx. logo, Além disso, m u(t) = (2 γ)t γ 3 b u γ dx, m u(t) > 0, pois t > 0 e 1 < γ < 2. Desse modo m u é uma função estritamente crescente. Daí, concluímos que t u é único, ou seja, a equação m u (t) = λ u2 dx tem única solução t u. Assim, existe exatamente uma única solução de (1.13). Por resultados análogos aos anteriores vemos que t u u S(λ). daí Como m u tem uma única solução, substituindo (1.13) em (1.12), λ u 2 dx = u 2 dx t γ 2 u b u γ dx, u 2 dx λ u 2 dx t γ 2 u b u γ dx = 0. Multiplicando a equação acima por t 2 u camos com ( u 2 λu 2 )dx t γ u b u γ dx = 0, t 2 u o que é o mesmo que J λ (t uu)t u u = 0. Consequentemente t u u S(λ). Como t u u S(λ), m u(t u ) > 0 e t > 0, isto é, t u u S + (λ). φ t uu(1) = t 3 m u(t u ) > 0, Note também que φ u(t u ) = 0, ou seja, a aplicação φ u tem um único ponto crítico em t = t u que é um ponto de mínimo local. De fato, ( u 2 λu 2 )dx t γ u t 2 u b u γ dx = 0. Dividindo a equação acima por t u, segue que t u ( u 2 λu 2 )dx t γ 1 u b u γ dx = 0 φ u(t u ) = 0.

32 31 Além disso, ( t 2 lim φ u(t) = lim t t 2 ( u 2 λu 2 )dx tγ γ e ( t 2 lim φ u(t) = lim t 0 + t ( u 2 λu 2 )dx tγ γ com φ u (t) se aproximando de zero por valores negativos. ) b u γ dx = ) b u γ dx = 0, Do que foi observado acima, concluímos que φ u, tem seu gráco como na gura 5. φ u t u t Figura 5: Possível forma de φ u quando λ u2 dx < u 2 dx e b u γ dx > 0 (iv) Quando λ u2 dx > u 2 dx e b u γ dx > 0. Neste caso, u 2 dx λ u2 dx < 0 e deste modo φ u(t) = t 2 ( u 2 λu 2 )dx tγ b u γ dx < 0, γ pois t > 0, logo φ u é decrescente e como φ u(t) > 0 pela Proposição 1.2, concluímos que tu S(λ). E o gráco φ u tem sua forma mostrada na gura 6. φ u t Figura 6: Possível forma de φ u quando λ u2 dx > u 2 dx e b u γ dx > 0 Do que vimos acima, podemos denir: L + (λ) = {u W 1,2 0 (); u = 1 e ( u 2 λu 2 )dx > 0}

33 32 B + = {u W 1,2 0 (); u = 1 e b u γ dx > 0}. E analogamente denimos L (λ), L 0 (λ), B e B 0, substituindo (> 0) por (< 0) ou (= 0) como for apropriado. Segue que: (i) Se u L + (λ) B +, então t φ u (t) tem um mínimo local em t = t u e t u u S(λ); (ii) Se u L (λ) B, então t φ u (t) tem um máximo local em t = t u e t u u S(λ); (iii) Se u L + (λ) B, então t φ u (t) é estritamente crescente e nenhum múltiplo de u está em S(λ); (iv) Se u L (λ) B +, então t φ u (t) é estritamente decrescente e nenhum múltiplo de u está em S(λ). 1.4 PROPRIEDADES DA VARIEDADE DE NEHARI Nesta seção vamos discutir o papel importante desempenhado pela condição de L (λ) B na determinação da natureza da variedade de Nehari. Assim Quando λ < λ 1, por (1.2) temos que ( u 2 λu 2 )dx > 0, para todo u W 1,2 0 ()., L (λ) = el 0 (λ) =. L + (λ) = {u W 1,2 0 () : u = 1} Quando λ = λ 1, temos que ( u 2 λu 2 )dx 0 e assim L (λ) = e L 0 (λ) = {±φ 1 } e quando λ > λ 1, L (λ) passa a ser não-vazio e se torna maior à medida que λ aumenta. Tendo em vista as considerações anteriores, veremos que a condição L (λ) B é sempre satisfeita quando λ < λ 1, já que neste caso o conjunto L (λ) =. Além disso, esta condição pode ou não, ser satisfeita quando λ > λ 1 e é cada vez mais provável a ser violada à medida que λ aumenta. Teorema 1.1. Suponhamos que exista ˆλ tal que para todo λ < ˆλ, L (λ) B. Então, para todo λ < ˆλ temos: (i) L 0 (λ) B e assim L 0 (λ) B 0 = ; (ii) S + (λ) é limitado ; (iii) 0 / S (λ) e S (λ) é fechado ;

34 33 (iv) S + (λ) S (λ) =. Prova: (i) Suponhamos por contradição que L 0 (λ) B. Então existe u L 0 (λ) tal que u / B. Assim, e u L 0 (λ) u W 1,2 0 (); u = 1 e u / B Se λ < µ < ˆλ, então 0 = ( u 2 λu 2 )dx > ( ) γ u b dx 0. u ( u 2 λu 2 )dx = 0 ( u 2 µu 2 )dx u L (µ), de modo que L (µ) B, o que nos dá uma contradição à hipótese do teorema. Logo L 0 (λ) B e sendo B B 0 = temos L 0 (λ) B 0 =. (ii) Suponhamos que S + (λ) seja ilimitado. u n, quando n. Então existe {u n } S + (λ), tal que Seja v n = un. Desse modo temos que {v u n n} é limitada e por 3.10 podemos supor, sem perda de generalidade, que v n v 0 em W 1,2 0 (). Assim v n v 0 em L 2 () e em L γ (), já que 1 < γ < 2. Como u n S + (λ), b v n γ dx = 1 u n γ logo, daí, Além disso, em S(λ) b u n γ dx > 0, b v 0 γ dx 0. (1.15) ( u n 2 λu 2 n)dx = ( v n 2 λvn)dx 2 = b u n γ dx, b v n γ 1 dx 0, u n 2 γ em L 2 () já que b v n γ é limitado em L γ () e u n 2 γ. Suponhamos agora que v n v 0 em W 1,2 0 (). Por 3.5 temos que v 0 2 dx < lim inf v n 2 dx, n

35 34 logo, e assim, v 0 L v 0 (λ). v 0 2 λv0dx 2 < lim v n n 2 λvndx 2 = 0, Pela hipótese do teorema temos L (λ) B e isso nos dá que impossível por (1.15). v 0 v 0 B, o que é Agora, suponhamos que v n v 0 em W 1,2 0 (). Desse modo v 0 = 1 e v 0 2 λv0dx 2 = lim v n n 2 λvndx 2 = 0. Assim, v 0 L 0 (λ) e por (i), L 0 (λ) B, nos dando v 0 B que é novamente impossível. Portanto, S + (λ) é limitado. (iii) Suponhamos que 0 S (λ). Então existe {u n } S (λ) tal que lim n u n = 0. Tomando v n = un u n, temos que {v n} é limitada e por 3.10 podemos supor, sem perda de generalidade, que v n v 0 em W 1,2 0 (). Assim v n v 0 em L 2 (). daí, Como u n S (λ), temos ( u n 2 λu 2 n)dx = b u n γ dx < 0. Multiplicando a equação acima por u n γ, camos com u n 2 γ ( v n 2 λvn)dx 2 = b v n γ dx 0. Sabendo que {v n } é limitada em W 1,2 0 (), b regular em e lim n u n = 0 obtemos b v n γ dx = 0, lim n já que b v n γ é limitado em e u n 2 γ. b v 0 γ dx = 0, (1.16) Suponhamos agora que v n v 0 em W 1,2 0 (), desse modo v 0 = 1 e v 0 2 λv0dx 2 = lim v n n 2 λvndx 2 0, nos dando v 0 L 0 (λ) ou v 0 L (λ). Entretanto, L (λ) B pela hipótese do teorema

36 35 e L 0 (λ) B por (i). Em ambos os casos teríamos v 0 B, o que contradiz (1.16). 3.3 daí, Assim v n v 0 em W 1,2 0 (), e desse modo, por 3.5 temos que v 0 2 dx < lim v n n 2 dx. Além disso, {v n } é limitada em W 1,2 0 () e pelo Teorema da Convergência Dominada lim vndx 2 = n lim n v2 ndx, ( v 0 2 λv0)dx 2 < lim ( v n n 2 λvn)dx 2 0. v Logo, 0 L v 0 (λ) B 0 que é novamente impossível, pois L (λ) B e B B 0 =. Portanto, 0 / S (λ). Vamos agora provar que S (λ) é fechado. Mostraremos que S (λ) S (λ). De fato, seja {u n } S (λ), assim existe {u n } S (λ) tal que u n u em W 1,2 0 (). Então u S (λ) e como vimos acima, u não pode ser identicamente nula. Além disso, temos o resultado que segue. ( u 2 λu 2 )dx = b u γ dx 0. Se ambas as integrais são iguais a 0, então u L u 0 0(λ) B 0, o que contradiz (i). Daí, pela expressão acima, ambas as integrais devem ser negativas, nos dando que u S (λ). Assim, S (λ) é fechado. (iv) Suponhamos que exista u S + (λ) S (λ). Como u S (λ), por (iii), temos que u não é identicamente nula e b u γ dx < 0. Além disso, por u S + (λ) b u γ dx 0, o que é impossível. Concluímos que S + (λ) S (λ) =. Podemos concluir outros resultados importantes sobre o comportamento de J λ em S + (λ) e S (λ) a partir de diferentes considerações. Ao analisar a Aplicação Fibração, observamos que J λ (u) > 0 em S (λ) e J λ (u) < 0 em S + (λ). Além disso,

37 36 Teorema 1.2. Suponhamos que as mesmas hipóteses do Teorema 1.1 sejam satisfeitas. Então (i) J λ é limitado inferiormente em S + (λ); (ii) inf u S (λ) J λ (u) > 0, provando que S (λ) é não- vazio. Prova: (i) É uma consequência imediata da limitação de S + (λ). (ii) Observe que J λ (u) 0 para u S (λ). De fato, se u S (λ) então u S(λ) e ( 1 J λ (u) = 2 1 ) ( 1 ( u 2 λu 2 )dx = γ 2 1 ) b u γ dx 0. (1.17) γ Suponhamos que inf u S (λ) J λ (u) = 0. Então existe {u n } S (λ) de modo que lim n J λ (u n ) = 0. Por (1.21) observamos que ( u n 2 λu 2 n)dx 0 e b u n γ dx 0 quando n. Seja v n = un u S n (λ), logo { u n } é limitada fora da origem, isto é, existe um c > 0 tal que u n > c. e Assim lim ( v n 2 λv 2 1 n)dx = lim ( u n n u n 2 n 2 λu 2 n)dx = 0 lim b v n γ 1 dx = lim b u n n u n 2 n γ dx = 0. Sendo v n limitada, por 3.10 podemos supor, sem perda de generalidade, que v n v 0 em W 1,2 0 (). Assim v n v 0 em L 2 () e em L γ (). Sendo b uma função regular em, podemos concluir usando o Teorema da Convergência Dominada 3.3 que lim b v n γ dx = b lim v n γ = b v 0 γ = 0. n n Logo, b v 0 γ dx = 0, ou seja, v 0 B 0. Se v n v 0 em W 1,2 0 (), então v 0 = 1 e ( v n 2 λvn)dx 2 = 0, isto é, v 0 L 0 (λ). Enquanto que, se v n v 0 em W 1,2 0 (), temos ( v n 2 λvn)dx 2 v < 0, isto é, 0 L v v 0 (λ). No entanto, em ambos os casos, 0 B v 0 0 e isso é uma contradição, pois como vimos L (λ) B e L 0 (λ) B 0 =. Daí, inf u S (λ) J λ (u) > 0. Concluímos esta seção, provando um lema técnico que se aplica quando as hipótese

38 37 do teorema anterior não são válidas. Como podemos observar, dizer que L (λ) B +, é o mesmo que dizer que existe u L (λ) tal que u B +. Sendo B + B =, a hipótese nos garante que L (λ) B. O lema será usado posteriormente em nossa discussão de situações em que (P 1 ) não possui soluções positivas. Lema 1.2. Suponhamos que L (λ) B +. Então existe k > 0 tal que, para cada ɛ > 0 existe u ɛ L + (λ) B + tal que ( u ɛ 2 λu 2 ɛ)dx < ɛ e b u ɛ γ dx > k. Prova: Seja v L (λ) B +, de modo que ( v 2 λv 2 )dx < 0; b v γ dx > 0. Podemos escolher h W 1,2 0 () com a norma do sup arbitrariamente pequena, mas de tal modo que h 2 dx seja arbitrariamente grande. Assim podemos tomar h de forma que e Seja u t = b v + th γ dx > 1 2 b v γ dx para 0 t 1, ( (v + h) 2 λ(v + h) 2 )dx > 0. v+th. Então, para 0 t 1, u v+th t B + ; de fato b u t γ 1 1 dx b v γ dx. ( v + h ) γ 2 Além disso, u 0 L (λ) e u 1 L + (λ). Tomando φ(t) = ( u t 2 λu 2 t )dx para 0 t 1. Então φ : [0, 1] R é uma função contínua tal que φ(0) < 0 e φ(1) > 0 e por isso, para qualquer ɛ > 0 dado, existem valores de t tal que u t possui as propriedades requeridas. 1.5 A EXISTÊNCIA DE MINIMIZADORES Teorema 1.3. Suponhamos que L (λ) B para todo λ < ˆλ. Então, para todo λ < ˆλ: (i) existe um minimizador para J λ em S + (λ);

39 38 (ii) existe um minimizador para J λ em S (λ), desde que L (λ) seja não-vazio. Prova: (i) Pelo Teorema 1.2, J λ é limitado inferiormente em S + (λ). Pela denição de ínmo, existe {u n } S + (λ), sequência minimizante, tal que, lim J λ(u n ) = inf J λ (u). n u S + (λ) Como, ( 1 J λ (u n ) = 2 1 ) b u n γ dx, γ ( ) 1 com 1 < 0 e b u 2 γ n γ dx > 0 para todo n, temos que J λ (u n ) < 0. Além disso, pelo Teorema 1.2(ii), S + (λ) é limitado, daí podemos supor que u n u 0 em W 1,2 0 () e por 3.10, u n u 0 em L γ (). Assim, segue que b u 0 γ dx = lim b u n n γ dx > 0 daí u 0 B u 0 +. Pelo Teorema 1.1, L 0 (λ) B, L (λ) B e temos também que B B + =. u Assim, 0 L u 0 +(λ) B + e por resultados anteriores obtemos que a Aplicação Fibração φ u0 tem um único mínimo em t u0 tal que t u0 u 0 S + (λ). Precisamos mostrar que u 0 está na variedade. Para isso, suponhamos u n u 0 em W 1,2 0 (). Então ( u 0 2 λu 2 0)dx < lim ( u n n 2 λu 2 n)dx = lim b u n n γ dx = b u 0 γ dx. Assim, e ainda, [ t u0 = b u 0 γ dx ( u 0 2 λu 2 0)dx ] 1 2 γ > 1, J λ (u 0 ) = ( u 0 2 λu 2 0)dx b u 0 γ dx < lim n ( u n 2 λu 2 n)dx lim n b u n γ dx = lim n J λ (u n ). (1.18)

40 39 Como φ u0 tem um único mínimo em t u0 tal que t u0 u 0 S + (λ), segue que φ u0 (t u0 ) = J λ (t u0 u 0 ) < φ u0 (t), t R +, em particular vale a desigualdade para t = 1, J λ (t u0 u 0 ) < J λ (u 0 ). (1.19) Por (1.18) e (1.19), temos que J λ (t u0 u 0 ) < J λ (u 0 ) < lim n J λ (u n ) = inf u S + (λ) J λ (u) o que é impossível, pois t u0 u 0 S + (λ). Daí, u n u 0 em W 1,2 0 () e assim u 0 S(λ). Segue que u 0 é um minimizador para J λ em S + (λ). (ii) Seja {u n } uma sequência minimizante para J λ em S (λ). Segue, do Teorema 1.2 que lim n J λ (u n ) = inf u S (λ) J λ (u) > 0. v n = Suponhamos que {u n } é ilimitada; desse modo u n quando n. Tomemos un. Sendo {J u n λ(u n )} limitada, segue que { ( u n 2 λu 2 n)dx} e { b u n γ dx} são limitadas e por isso lim ( v n 2 λvn)dx 2 = lim b v n n n γ dx = 1 = lim b u n u n 2 n γ dx = 0. Como {v n } é limitada, podemos assumir que v n v 0 em W 1,2 0 () e v n v 0 em L γ (), de modo que b v 0 γ dx = (i). Se v n v 0 em W 1,2 0 (), vemos que v 0 L 0 (λ) B 0, o que é impossível pelo Teorema Daí, v n v 0 em W 1,2 0 () e assim por 3.5 ( v 0 2 λv0)dx 2 < lim ( v n n 2 λvn)dx 2 = 0. Daí, v 0 0 e v 0 v 0 L (λ) B 0 que é novamente impossível. Assim u n é limitada e por isso podemos assumir que u n u 0 em W 1,2 0 () e u n u 0 em L γ (). Suponhamos u n u 0 em W 1,2 0 (). Então temos b u 0 γ dx = lim b u n n γ dx = ( γ ) 1 lim J λ (u n ) < 0 n

41 40 e ( u 0 2 λu 2 0)dx < lim ( u n n 2 λu 2 n)dx = lim b u n n γ dx = b u 0 γ dx < 0. Daí, u 0 L u 0 (λ) B e assim t u0 u 0 S (λ), onde [ t u0 = b u 0 γ dx ( u 0 2 λu 2 0)dx ] 1 2 γ < 1. Além disso t u0 u n t u0 u 0, mas t u0 u n t u0 u 0 em W 1,2 0 (), logo, J λ (t u0 u 0 ) < lim n J λ (t u0 u n ). Como a aplicação t J λ (tu n ) atinge seu máximo em t = 1, lim J λ(t u0 u n ) = lim J λ (u n ) = inf J λ (u). n n u S (λ) Assim J λ (t u0 u 0 ) < inf u S (λ) J λ (u), o que é uma contradição. S (λ). Desse modo, u n u 0 em W 1,2 0 () e segue que u 0 é um minimizador para J λ em A existência dos minimizadores acima implica a existência de correspondentes soluções não-negativas de (P 1 ). Suponhamos, por exemplo, que u 0 é um minimizador para J λ em S (λ). Sendo J λ (u) = J λ ( u ), podemos supor que u 0 é não-negativo em. Além disso, S (λ) é fechado, desse modo u 0 é um mínimo local para J λ em S(λ). Temos também, pelo Teorema 1.1 (i), L 0 B 0 =, logo, S 0 =. Segue do lema 1.1 que u 0 é um ponto crítico de J λ e pelos resultados de regularidade conforme na seção 1.9, u 0 é uma solução clássica de (P 1 ). Da mesma forma, se u 0 é um minimizador em S + (λ), J λ (u 0 ) < 0. Assim u 0 deve ser um mínimo local de J λ em S(λ) e temos novamente pelos resultados de regularidade, que u 0 é uma solução clássica de (P 1 ). 1.6 BIFURCAÇÃO DO INFINITO A equação (P 1 ) é assintoticamente linear (ver, por exemplo, Toland (1973)) com o correspondente problema linearizado (P 0 ). Pode-se mostrar usando argumentos da

42 41 teoria da bifurcação que a bifurcação do innito ocorre em λ = λ 1 e que a direção desta bifurcação é determinada pelo sinal de bφγ 1dx. Nesta seção, vamos mostrar como esses fatos são relacionado com as propriedades da variedade de Nehari do problema. Como L (λ) é vazio para λ < λ 1, resulta do Teorema 1.3, que existe um minimizador de J λ em S + (λ) sempre que λ < λ 1. Nosso próximo resultado corresponde ao fato de que um ramo de soluções positivas bifurca do innito à esquerda em λ = λ 1 quando bφγ 1dx > 0. Teorema 1.4. Suponhamos bφγ 1dx > 0. Então lim λ λ 1 inf J λ (u) =. u S + (λ) Prova: Sendo bφγ 1dx > 0 e ( φ 1 2 λφ 2 1)dx = (λ 1 λ) φ 2 1dx, temos que φ 1 L + (λ) B + para todo λ < λ 1. Daí t φ1 φ 1 S + (λ) e ( 1 J λ (t φ1 φ 1 ) = 2 1 ) t φ1 φ 1 ( φ 1 2 λφ 2 γ 1)dx ( 1 = 2 1 ) [ ] bφγ 1dx 2 2 γ γ ( φ ( φ 1 2 λφ λφ 2 1)dx 1)dx ( 1 = 2 1 ) [ bφγ 1dx] 2 2 γ γ [ ( φ 1 2 λφ 2 1)dx] γ 2 γ ( 1 = 2 1 ) 1 [ bφγ 1dx] 2 2 γ γ (λ 1 λ) γ 2 γ [. φ2 1dx] γ 2 γ Assim inf u S + (λ) J λ (u) J λ (t φ1 φ 1 ) quando λ λ 1. Corolário 1. Suponhamos bφγ 1dx > 0. Então, para cada λ < λ 1 existe um minimizador u λ em S + (λ) de tal modo que lim λ λ 1 u λ =.

43 42 Prova: De fato, pelo Teorema anterior, u λ 2 = lim u λ 2 dx > lim λ λ 1 λ λ 1 lim λ λ 1 lim λ λ 1 u λ 2 λu 2 dx u λ 2 dx lim λ λ 1 ( ) 1 lim γ λ λ 1 λu 2 dx { } inf u S + (λ) J λ (u). u λ λ 1 λ Figura 7: Bifurcação para o innito à esquerda de λ 1 Vamos agora voltar nossa atenção para o caso em que bφγ 1dx < 0. Neste caso as hipóteses do Teorema 1.1 se mantêm de alguma forma, à direita de λ = λ 1. Mais precisamente, temos o resultado a seguir. Lema 1.3. Suponhamos bφγ 1dx < 0. Então existem δ 1, δ 2 > 0 tal que u L (λ) buγ dx δ 2 sempre que λ 1 λ λ 1 + δ 1. Prova: Suponhamos por absurdo que para cada δ 1n, δ 2n > 0, existe u n L (λ n ) tais que buγ ndx > δ 2n, sempre que λ 1 λ n λ 1 + δ 1n. Tomemos δ 1n = δ 2n = 1 e {λ n n} n IN uma sequência estritamente decrescente tal \{1} que λ 1 λ n λ Desse modo, para cada n IN \ {1}, existe u n n L (λ n ) tal que buγ ndx > 1. n Observe que u 2 dx λ n u 2 dx < u 2 dx λ n+1 u 2 dx <... < Desse modo, se u L (λ n+1 ) u L (λ n ), nos dando L (λ n ) L (λ n+1 ) L (λ n+2 )... u 2 dx λ 1 u 2 dx

44 43 Ainda, para todo λ > λ 1 temos φ 1 2 λφ 2 1dx = (λ 1 λ) φ 2 1dx < 0 φ 1 L (λ). Além disso, já foi visto que se λ = λ 1 L 0 (λ 1 ) = φ 1, assim L 0 (λ 1 ) L (λ), λ > λ 1, daí, L (λ n ) L (λ n+1 ) L (λ n+2 )... L 0 (λ 1 ). Observe ainda que podemos tomar a sequência {u n } L (λ n ) tal que u n L (λ n ), u n+1 L (λ n+1 ); de modo que u n φ 1. Assim u γ n φ γ 1 u γ n φ γ 1 bu γ n bφ γ 1, nos dando que bφγ 1 > 1 n, teorema bφγ 1 < 0. n IN, o que é um absurdo, já que, pela hipótese do Corolário 2. Suponhamos bφγ 1dx < 0 e δ 1 seja como no lema 1.3. Então, sempre que λ 1 λ λ 1 +δ 1, existem minimizadores u λ e v λ de J λ em S + (λ) e S (λ) respectivamente. Prova: Podemos observar que φ 1 L (λ) e assim vemos que L (λ) é não- vazio sempre que λ > λ 1. Pelo lema 1.3, obtemos as hipóteses do Teorema 1.3 com ˆλ = λ 1 + δ 1 e por isso o resultado segue. O próximo resultado mostra que, quando bφγ 1dx < 0, ocorre a bifurcação do innito à direita de λ = λ 1. Teorema 1.5. Suponhamos bφγ 1dx < 0. Se λ λ + 1, v λ torna-se ilimitada em W 1,2 0 (). Prova: Seja v S (λ). Assim, v = t u u para algum u L (λ) B. Agora, pelo Lema 1.3, existem δ 1 eδ 2 > 0, tais que buγ 1dx δ 2 sempre que λ 1 < λ λ 1 + δ 1 e 0 > ) ( u 2 λu 2 )dx (1 λλ1 u 2 dx = λ 1 λ, λ 1

45 44 de modo que ( u 2 λu 2 )dx λ λ 1 λ 1. Por isso ( ) 1 J λ (v) = J λ (t u u) = t 2 u ( u 2 λu 2 )dx = 2 1 γ ( γ ) [ b u γ dx 2 2 γ ( u 2 λ 1 u 2 )dx γ 2 γ ( 1 γ 1 ) γ λ1 2 γ δ 2 2 γ 2. 2 (λ λ 1 ) γ 2 γ Daí inf v S (λ) J λ (v) já que λ λ + 1 e assim v λ é ilimitada quando λ λ + 1. Assim podemos construir um gráco como segue na gura 8. ] v n λ 1 λ 1 + δ 1 λ Figura 8: Bifurcação para o innito à direita de λ O CASO DA NÃO EXISTÊNCIA Finalmente, mostraremos que sob as hipóteses em que não há soluções positivas para (P 1 ), teremos que J λ não é limitado inferiormente em S(λ). Lema 1.4. J λ não é limitado inferiormente em S(λ) quando L (λ) B +. Prova: Suponhamos que u 0 L (λ) B +. Decorre do lema 1.2 que existe k > 0 e uma sequência {u n } L + (λ) B + tal que b u n γ dx k e 0 < ( u n 2 λu 2 n)dx < 1 n. Em seguida, utilizando o mesmo cálculo como na prova do Teorema 1.5, temos ( 1 J λ (t un u n ) = 2 1 ) [ b u ] n γ dx 2 2 γ γ ( u n 2 λu 2 n)dx γ 2 γ ( ) n γ 2 2 γ k 2 γ quando n. γ Daí J λ não é limitado inferiormente em S(λ).

46 45 Os seguintes resultados de não existência de soluções para ( P 1 ) seguem para complementar nosso estudo. Teorema 1.6. (i) Suponhamos bφγ 1dx > 0. Então o problema ( P 1 ) não tem soluções positivas se λ > λ 1. (ii) A equação (P 1 ) não tem soluções positivas quando λ > λ, onde λ é o principal autovalor de u(x) = λu(x) para x + ; u(x) = 0 para x + (1.20) e + = {x : b(x) > 0}. Prova: (i) Suponhamos bφγ 1dx > 0 e que (P 1 ) tem uma solução positiva u. Multiplicando (P 1 ) por φ 1, onde φ 1 é a primeira autofunção do operador, (P 0 ) por u e subtraindo as equaçoes resultantes obtemos u(x)φ 1 (x) + u(x) φ 1 (x) = (λ λ 1 )u(x)φ 1 (x) + b(x) u(x) γ 2 u(x)φ 1 (x) e assim ( ) γ 1 φ1 ( uφ 1 + u φ 1 )dx = (λ λ 1 )φ γ u 1u 2 γ dx + bφ γ 1dx. Pela identidade de Picone em Berestycki, Capuzzo-Dolcetta e Nirenberg (1995), o lado esquerdo é negativo. De fato, ( φ1 ) γ 1 ( uφ 1 + u φ 1 )dx = = = = = u ( ) γ 1 ( ) γ 1 φ1 φ1 uφ 1 + u φ 1 dx u u ( ) γ 1 ( ) γ 1 φ1 φ1 uφ 1 dx + u φ 1 dx u u ( ( ) ) γ 1 ( ( ) γ 1 φ1 φ1 u φ 1 dx φ 1 u dx) u u ( ) γ 1 ( ) γ 1 φ1 φ1 u φ 1 dx + uφ 1 dx u u ( ) γ 1 ( ) γ 1 φ1 φ1 φ 1 u dx φ 1 u dx. u u

47 46 Fazendo w = φ 1 2 1, teremos φ 1 = w 2. Segue que, ( ) γ 1 ( ) φ1 w ( uφ 1 + u φ 1 )dx = uw 2 2 γ 1 ( ) w w 2 2 γ 1 u dx. u u u ( Derivando os termos com ( φ1 ) γ 1 w 2 u ) γ 1 ( uφ 1 + u φ 1 )dx = = = = = = = u ( ) [ w 2 γ 2 ( ) w (γ 1) uw 2 2 γ 1 ( ) ] w w 2 2 γ 1 u dx u u u ( ) w 2 γ 2 [ (γ 1) uw 2 w 2 u ] ( ) w 2 dx u u ( ) w 2 γ 2 ( (γ 1) uw 2 w 2 u ) ( ) w 2 u w 2 u dx u u 2 ( ) w 2 γ 2 ( (γ 1) uw 2 w 2 u ) ( w 2 1 ( w ) ) 2 u u u dx u [ w 2 ( w ) ] 2 (γ 1) u u w2 u 2 w 2 w w2 u u w2 u dx [ ( ) ] w 2 w 2 2 (γ 1) u u w2 u 2 w w2 u u w2 u dx. Voltando com w 2 = φ 1 ( ) γ 1 [ ( φ1 ( uφ 1 + u φ 1 )dx = (γ 1) φ ) ] 2 1 u φ 1 u u u u φ 1 φ 1 2 dx. Substituindo da identidade de Picone, segue ] (γ 1)( 1) [ u 2 u2 v v dx 0. λ > λ 1. Por isso, devemos ter λ < λ 1 e assim (P 1 ) não tem nenhuma solução positiva quando (ii) Suponhamos que (P 1 ) tenha uma solução positiva u. Assim teremos, u(x) 0 em + e u(x) = λu + b(x) u γ 2 u λu em + ; u(x) 0 em +.

48 47 Segue do princípio do máximo que λ λ. Finalmente observa-se que em cada um dos casos acima J λ não é limitada inferiormente em S(λ). Teorema 1.7. J λ não é limitada inferiormente em S(λ) quando uma das seguintes condições acontecem: (i) bφγ 1dx > 0 e λ > λ 1 ; (ii) λ > λ onde λ é o mesmo denido no teorema anterior. Prova: Pelo lema 1.4, é suciente mostrar que L (λ) B +. Se a condição (i) é satisfeita, logo, φ 1 L (λ) B + e, se (ii) é satisfeita, então ψ L(λ) B +, onde ψ(x) = { principal autofunção positiva de (1.20) em + 0, se x \ O FUNCIONAL J λ C 1 (W 1,2 0 (), R) por O Funcional de Euler J λ : W 1,2 0 () R associado ao problema elíptico (P ) é dado J λ (u) = 1 2 u 2 dx λ a(x) u q+1 dx 1 b(x) u p+1 dx. q + 1 p + 1 Já vimos que ele está bem denido para toda u W 1,2 0 (). Iremos mostrar que ele é de classe C 1 (W 1,2 0 (), R). Mostraremos que existem as derivadas de Gateaux de J 1, J 2 e J 3 e que elas são contínuas. Para isso tomamos J 1, J 2, J 3 : W 1,2 0 () R, da seguinte maneira: J 1 (u) = 1 u 2 dx, 2 J 2 (u) = λ 2 J 3 (u) = 1 γ u 2 dx, b(x) u γ dx. (i) Para mostrar que J 1 é Gateaux diferenciável iremos encontrar J 1(u)v. J 1(u)v = lim t 0 J 1 (u + tv) J 1 (u) t = lim t u + tv u 2 t

49 48 = lim t 0 u 2 + t u, v + t2 v u t = u, v W 1,2 0 () = u vdx. Portanto, a derivada de Gateux existe em u com J 1(u)v = u vdx. Em W 1,2 0 (), temos J 1(u n ) J 1(u) (W 1,2 0 ()) = sup (J 1(u n ) J 1(u))v. v 1 Para todo v W 1,2 0 () com v 1 temos (J 1(u n ) J 1(u))v = J 1(u n )v J 1(u)v = u n, v u, v = u n u, v u n u v u n u. Contudo, quando n. J 1(u n ) J 1(u) (W 1,2 0 ()) = sup (J 1(u n ) J 1(u))v u n u 0, v 1 Desse modo, concluímos que J 1 é contínuo e com o resultado da proposição 3.1, J 1 C 1 (W 1,2 0 (), R). (ii) Agora vamos mostrar que J 2 é contínuo. Seja u n u em W 1,2 0 (). Queremos mostrar que J 2 (u n ) J 2 (u) em R. Pelo Teorema das Imersões 3.10 temos que u n u em L 2 (). Logo, u n 2 u 2 u n 2 2 u 2 2. Tendo que u 2 = ( u 2 dx ) 1 2 segue que u n 2 dx u 2 dx, isto é, J 2 (u n ) J 2 (u).

50 49 Mostraremos agora que a derivada de Gateaux existe em u J 2(u)v J 2 (u + tv) J 2 (u) = lim t 0 t = λ lim t 0 = lim t 0 u t u, v 2 L 2 () + t2 v 2 u t λ 2 u + tv 2 2 λ 2 u 2 2 t = λ u, v L 2 () = λ uvdx. Assim, J 2(u)v = λ uvdx. Em W 1,2 0 (), temos J 2(u n ) J 2(u) (W 1,2 0 ()) = sup (J 2(u n ) J 2(u))v. v 1 Para todo v W 1,2 0 () com v 1, temos (J 2(u n ) J 2(u))v = J 2(u n )v J 2(u)v = λ (u n, v) (u, v) = = λ (u n u, v) λ u n u v λ u n u. Assim, quando n. J 2(u n ) J 2(u) (W 1,2 0 ()) = sup (J 2(u n ) J 2(u))v λ u n u 0, v 1 Desse modo concluímos que J 2 é contínuo e pela proposição 3.1 temos que J 2 C 1 (W 1,2 0 (), R). (iii)por m iremos mostrar que J 3 C(W 1,2 0 (), R). Consideremos a seguinte função f : [0, 1] R, dada por f(s) = 1 γ b(x) u + stv γ, onde t R é tal que 0 < t < 1 e u, v W 1,2 0 (). Assim, (a) f(1) = 1 γ b(x) u + tv γ, (b) f(0) = 1 γ b(x) u γ, (c) f (s) = b(x) u + stv γ 2 (u + stv)tv.