Álgebra Linear, Cálculo Vetorial e Matricial

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1 PETROBRAS ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR - ELÉTRICA ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA: ELÉTRICA PROMINP - NÍVEL SUPERIOR - MATEMÁTICA V Álgebra Linear, Cálculo Vetorial e Matricial Questões Resolvidas QUESTÕES RETIRADAS DE PROVAS DAS BANCAS CESGRANRIO E CESPE Produzido por Exatas Concursos rev.a

2 Índice de Questões Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 014/ Q1 (pág. 1), Q (pág. 3), Q3 (pág. 5), Q4 (pág. 6). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 01/1 Q1 (pág. 7), Q (pág. 9), Q3 (pág. 10), Q7 (pág. 11), Q54 (pág. 1). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 011/1 Q37 (pág. 13), Q38 (pág. 14), Q39 (pág. 15), Q40 (pág. 16), Q49 (pág. 17). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 010/ Q1 (pág. 18), Q (pág. 19), Q3 (pág. ), Q6 (pág. 0), Q46 (pág. 3). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 010/1 Q (pág. 1), Q3 (pág. 4), Q4 (pág. 5), Q3 (pág. 7), Q33 (pág. 8), Q5 (pág. 30), Q61 (pág. 31), Q6 (pág. 3), Q63 (pág. 33). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 008 Q3 (pág. 34), Q39 (pág. 35), Q41 (pág. 36), Q4 (pág. 37). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cespe - Petrobras 008 Q58 (pág. 38), Q61 (pág. 39), Q6 (pág. 40), Q66 (pág. 41), Q68 (pág. 4), Q73 (pág. 44). Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 014/ Q59 (pág. 45), Q60 (pág. 46). Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 01/1 Q69 (pág. 47), Q70 (pág. 49).

3 ÁLGEBRA LINEAR Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 011 Q44 (pág. 50), Q48 (pág. 51). Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 010/ Q64 (pág. 19), Q65 (pág. ). *(Questões comuns às provas de Petróleo e Elétrica) Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 010/1 Q8 (pág. 5), Q9 (pág. 54), Q10 (pág. 53). Prova: Engenheiro(a) Júnior - Área: Elétrica - Transpetro 011 Q56 (pág. 55), Q57 (pág. 57), Q58 (pág. 59), Q59 (pág. 60), Q61 (pág. 6), Q69 (pág. 63), Q70 (pág. 64). Prova: Engenheiro(a) Júnior - Área: Elétrica - Transpetro 008 Q14 (pág. 65), Q18 (pág. 66). Prova: Engenheiro(a) de Manutenção Pleno - Elétrica - PetroquímicaSuape 011/1 Q0 (pág. 61), Q (pág. 68). Prova: Engenheiro(a) Júnior - Área: Elétrica - Transpetro 01 Q46 (pág. 69). Prova: Grupo G - Matemática V - PROMINP 01 Q13 (pág. 70), Q16 (pág. 71). Prova: Grupo F - Matemática V - PROMINP 010 Q11 (pág. 7), Q13 (pág. 73), Q16 (pág. 74), Q17 (pág. 75). Prova: Grupo F - Matemática V - PROMINP 009 Q13 (pág. 76), Q15 (pág. 79), Q17 (pág. 77), Q0 (pág. 78). Número total de questões resolvidas nesta apostila: 69

4 Álgebra Linear, Cálculo Vetorial e Matricial Questão 1 (Eng. de Petróleo Jr - Cesgranrio - Petrobras 014/) Sejam e duas bases do R tais que a matriz mudança 5 3 de base, de para, é dada por 6 4. A matriz mudança de base, de para, é dada por 5 6 (A) (B) (C) (D) 5 (E) 3 Resolução: Sendo M igual a matriz mudança de base, vale a seguinte equação: Mα = β A matriz mudança no sentido contrário pode ser obtida através de: M 1 Mα = M 1 β α = M 1 β Para encontrar a inversa de uma matriz, o candidato pode optar pela ma-

5 ÁLGEBRA LINEAR neira complicada, através da seguinte propriedade: AA 1 = I 5 3 a b 1 0 = 6 4 c d 0 1 5a + 3c = 1 6a + 4c = 0 5b + 3d = 0 6b + 4d = 1 Resolvendo estes sistemas, descobrirá que a =, b = - 3, c = -3, d = 5 Desejando ganhar tempo na prova, lembre-se dessa regra prática para encontrar a inversa de uma matriz de ordem (trocar de posição os elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária, dividir todos os elementos pelo determinante): a11 a 1 A = a 1 a A 1 1 a a 1 = det(a) a 1 a 11 Sendo assim: 5 3 det(a) = 6 4 det(a) = 5 4 (3 6) det(a) = A = det(a) A 1 = 3 5 Alternativa (E)

6 ÁLGEBRA LINEAR 3 Questão 0 Resolução: (Eng. de Petróleo Jr - Cesgranrio - Petrobras 010/) Sejam u e v vetores de cujos módulos são, respectivamente, 3 e 1 e que formam entre si um ângulo θ tal que cosθ =. O módulo do vetor u 3v é (A) 3 (B) AMOSTRA AMOSTRA (C) (D) Material de uso exclusivo de Sendo vedada, por quaisquer me (E) reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsabil Primeiramente, lembremos as seguintes propriedades: u v = u v cos(θ) u u = u u cos(0) = u u = u u Portanto o módulo de u 3v será dado por: u 3v = (u 3v) (u 3v) = 4u u 6u v 6v u + 9v v = 4u u 1u v + 9v v = 4 u 1 u v cos(θ) + 9 v ( ) = = = 69 Alternativa (E)