Cálculo Diferencial e Integral

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1 PETROBRAS ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR - ELÉTRICA QUÍMICO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR PROMINP - NÍVEL SUPERIOR - GRUPO G Cálculo Diferencial e Integral Questões Resolvidas QUESTÕES RETIRADAS DE PROVAS DA BANCA CESGRANRIO E CESPE Produzido por Exatas Concursos rev.3a

2 Índice de Questões Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 214/2 Q24 (pág. 1), Q25 (pág. 3), Q26 (pág. 5). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 212/1 Q24 (pág. 6), Q25 (pág. 7), Q26 (pág. 8), Q28 (pág. 9). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 21/2 Q24 (pág. 1), Q25 (pág. 12), Q27 (pág. 13), Q28 (pág. 14). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 211/1 Q22 (pág. 15), Q23 (pág. 17), Q24 (pág. 19). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 21/1 Q5 (pág. 2), Q13 (pág. 21), Q22 (pág. 22), Q35 (pág. 25), Q42 (pág. 23), Q43 (pág. 26). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 28 Q29 (pág. 28), Q43 (pág. 3), Q45 (pág. 31). Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cespe - Petrobras 28 Q51 (pág. 33), Q52 (pág. 34), Q53 (pág. 35), Q56 (pág. 37), Q57 (pág. 38), Q69 (pág. 39). Prova: Grupo G - Cesgranrio - PROMINP 212 Q17 (pág. 4), Q18 (pág. 41), Q19 (pág. 43). Prova: Grupo G - Cesgranrio - PROMINP 21 Q12 (pág. 44), Q14 (pág. 45), Q18 (pág. 46), Q2 (pág. 47),

3 CÁLCULO Prova: Grupo G - Cesgranrio - PROMINP 29 Q11 (pág. 48), Q14 (pág. 49), Q16 (pág. 5). Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 214/2 Q56 (pág. 51), Q57 (pág. 53). Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 212/1 Q66 (pág. 55), Q67 (pág. 58), Q68 (pág. 59). Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 211 Q43 (pág. 56), Q45 (pág. 61), Q46 (pág. 63). Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 21/2 Q66 (pág. 62), Q67 (pág. 64), Q68 (pág. 66). Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 21/1 Q1 (pág. 67), Q2 (pág. 68), Q5 (pág. 69), Q7 (pág. 71). Prova: Engenheiro(a) de Manutenção Pleno - Elétrica - PetroquímicaSuape 211/1 Q16 (pág. 73), Q18 (pág. 74), Q19 (pág. 75), Q24 (pág. 76), Q25 (pág. 78). Prova: Engenheiro(a) Júnior - Área: Elétrica - Transpetro 212 Q42 (pág. 79), Q47 (pág. 81), Q48 (pág. 82). Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 211/1 Q21 (pág. 83), Q23 (pág. 84). Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 21/2 Q24* (pág. 13), Q25* (pág. 64). * Estas mesmas duas questões apareceram na prova de Eng. de Petróleo deste mesmo ano. Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 21/1 Q1 (pág. 86), Q2 (pág. 87), Q3 (pág. 89). Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 28 Q27* (pág. 3), Q29 (pág. 91). * Esta mesma questão apareceu na prova de Eng. de Petróleo deste mesmo ano.

4 CÁLCULO Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 26 Q37 (pág. 93), Q38 (pág. 92). Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 212 Q21 (pág. 94), Q22 (pág. 95), Q24 (pág. 96), Q25 (pág. 98). Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 211 Q56 (pág. 1), Q57 (pág. 11), Q58 (pág. 12), Q59 (pág. 15), Q6 (pág. 13), Q62 (pág. 16), Q63 (pág. 16). Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 26 Q21 (pág. 18), Q22 (pág. 19). Número total de questões resolvidas nesta apostila: 83

5 CÁLCULO 3 Questão 2 (Eng. de Petróleo Jr - Petrobras 214/2) Resolução: A medida do volume de água presente em um reservatório, em metros cúbicos, é representada por V. Uma bomba foi ligada (t = ) e tal medida passou a variar em função do tempo t, dado em horas, por meio da função V : R + R. A função V é derivável, e sua derivada é tal que V (t) 1, t>. Sabe-se que V(2) = 3, isto é, duas horas após a bomba ter sido ligada, havia 3 m 3 de água no reservatório. Qual é o menor valor de t para o qual V(t) pode ser igual a zero? (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Ao afirmar que V (t) 1, o entendimento é de que o volume no reservatório altera-se, no máximo, em 1m 3 a cada hora. Como o módulo foi utilizado, essa variação pode ser tanto positiva quanto negativa. Se V (t) for positivo o reservatório estará enchendo, se V (t) for negativo ele estará esvaziando. Para encontrarmos o menor valor de t onde V (t) =, obviamente precisamos considerar o maior valor (em módulo) de V (t). Supondo que o reservatório está se enchendo (V (t) > ), o maior valor de V (t) é igual a 1: V (t) = 1 Integrando ambos os lados da equação: V (t)dt = 1dt Sabendo que V (2) = 3, temos: V (t) = t + C AMOSTRA AMOSTRA AMOSTRA AMOSTRA V (2) = 2 + C 3 = 2 + C C = 1 Portanto, se supormos que o reservatório está se enchendo, o mínimo valor

6 CÁLCULO 4 de t quando V (t) = é: V (t) = t + 1 = t + 1 t = 1 Mas como é dito no enunciado que a expressão é válida apenas para t >, vemos que este resultado não é o que estamos buscando. Ou seja, na verdade o reservatório está se esvaziando (V (t) < ). Então basta assumirmos V (t) = 1 e repetirmos os cálculos anteriores: V (t) = 1 V (t)dt = Encontrando o valor da constante C: Portanto: AMOSTRA AMOSTRA AMOSTRA AMOSTRA 1dt V (t) = t + C V (2) = 2 + C 3 = 2 + C C = 5 V (t) = t + 5 = t + 5 t = 5 Alternativa (D)

7 CÁLCULO 8 Questão 6 (Eng. de Petróleo Jr - Petrobras 212/1) A figura a seguir mostra uma parte dos gráficos das funções reais de variáveis reais dadas por f(x) = x 3 e g(x) = x f (x) x 3 g (x) x 2 1 Resolução: A parte pintada representa a região do plano R 2 em que x 3 y x 2, com x. Se o quadrado formado pelos pontos (,); (,1); (1,1) e (1,) tem área igual a 1 unidade de área, quantas unidades de área tem a região pintada? (A) (B) (C) (D) (E) A parte pintada, que queremos calcular a área, está contida na região delimitada por < x < 1, portanto já sabemos que os limites inferior e superior de integração (integrando em x) são respectivamente e 1. Também percebemos que a área pintada é delimita superiormente pela função g(x) = x 2 e inferiormente pela função f(x) = x 3, logo a função a ser integrada é dada por: h(x) = x 2 x 3. Agora que identificamos a função a ser integrada e os limites de integração, podemos finalmente encontrar o valor da área pintada: A = A = 1 1 h(x)dx (x 2 x 3 )dx [ x 3 A = 3 x4 4 AMOSTRA AMOSTRA AMOSTRA AMOSTRA ] 1 A = ( ) 4 A = A = 1 12 Alternativa (A)