RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS

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1 CURSOS INDIVIDUAIS OU EM GRUPO, RACIOCÍNIO LÓGICO, MATEMÁTICA BÁSICA, MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA. Curso Professor Elias Daher Rua 86, nº 660 Setor Sul Goiânia/GO RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS APOSTILA COM RESOLUÇÃO Fones: (62) (GVT) (62) (Tim) (62) (Claro) (62) (Vivo) ivanzecchin.com fb.me/profivanzecchin ivanzecchin@hotmail.com

2 Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. Diagramas lógicos. Proposições categóricas de Aristóteles. Instrumental para a resolução de questões 1) TODO A é B. (Se A, então B) Dizemos, ainda, que: (FORMAS EQUIVALENTES) - A é suficiente para B (pois basta ocorrer A, para ocorrer B) - B é necessário para A (Não existiria A, se não existisse B) - Se A, então B (Condicional) - Se não B, então não A. (Contra positiva da Condicional) 2) ALGUM A é B 3) NENHUM A é B ( Não há A que seja B) NEGATIVAS DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS -Todo A é B: Algum A não é B ou Pelo menos um A não é B -Algum A é B: Nenhum A é B -Nenhum A é B: Algum A é B DICA: A negativa de Todo A é B NÃO é Nenhum A é B. Cuidado!! 1

3 Exemplo-1 (Quadrix) A negação da frase todos os homens são desonestos" é: a) Nenhum homem é honesto. b) Todos os homens são desonestos. c) Alguns homens são desonestos. d) Nenhum homem é desonesto. e) Alguns homens são honestos. Negação de proposições categóricas. A negativa de Todo A é B é Algum A não é B Daí, a negativa pedida é Algum homem não é desonesto Ora, Não ser desonesto é ser honesto Portanto, a frase acima é equivalente a Algum homem é honesto. OU Pelo menos um homem é honesto A alternativa E é a mais compatível. Exemplo-2 É falso que nenhum ser humano é mau. Daí, será verdade que: a) Todo ser humano é mau. b) Existe ao menos um ser humano que é mau. c) Nenhum ser humano é bom. d) Pelo menos um ser humano é bom. e) Pelo menos um ser não é humano. Se uma proposição é falsa, sua negativa é verdadeira, daí basta negar a frase dada. A negativa de Nenhum A é B é Algum A é B. A negativa de nenhum ser humano é mau. Será ; Algum ser humano é mau. Alternativa B OBSERVAÇÃO: Para se negar uma frase com e, nega-se cada parte e troca-se o conectivo para ou. Para se negar uma frase com o ou, nega-se cada parte e troca-se o conectivo para e. Exemplo: A negativa de Sou rico e sou triste. é Não sou rico ou não sou triste. A negativa de Pedro trabalha ou João não acorda. é Pedro não trabalha e João acorda. Essas são as LEIS DE MORGAN. 2

4 ARGUMENTO OU FORMA DE DEDUÇÃO PROFESSOR IVAN ZECCHIN Denomina-se Argumento ou Forma de Dedução a relação que associa um conjunto de proposições, chamadas premissas (ou hipóteses), a outra proposição chamada de conclusão (ou tese). A lógica se ocupa da análise dos argumentos. Estrutura de um Argumento (Encadeamento de proposições) P1 :...( ) P2 :...( ) P3:...( ) C:...,...( ) ou ( ) IMPORTANTE A Lógica não se preocupa com o valor lógico das premissas e da conclusão, se preocupa apenas com a forma que as premissas se relacionam com a conclusão, ou seja, se o argumento é válido ou inválido. Por isso, na análise da Validade de um Argumento, as premissas são, sempre, verdadeiras!! A Conclusão, se for V, tornará o Argumento Válido e, se for F, Inválido. As Premissas e Conclusão, quando analisadas separadamente, serão analisadas de acordo com o mundo real. Veja que interessante: Todo homem é animal. Todo animal é mortal. Eu sou mortal. Logo, eu sou animal. **argumento inválido, de premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. O texto é uma Falácia, um Argumento Inválido ou SOFISMA Veja: Todo homem é animal Todo animal é mortal. 3

5 Eu sou mortal. Eu pode estar em vários lugares, mas você tem que procurar contrariar a Conclusão, sem contrariar as premissas. Nesse caso, é possível fazer isso? Sim, veja: Nessa possibilidade de desenho a conclusão Eu sou animal é falsa, pois é possível ser mortal ser animal. Portanto, o Argumento é Inválido. Lembre-se, para ser verdadeira a Conclusão, ela não pode contrariar NENHUMA possibilidade de desenho! Veja assuntos à frente... VALIDADE DE UM ARGUMENTO Um argumento é válido, também chamado de Legítimo ou Bem Construído, quando a conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Qualquer circunstância que torne as premissas de um argumento verdadeiras faz com que sua conclusão seja automaticamente verdadeira. A validade de um argumento depende tão somente das relações matemáticas existentes entre as premissas e a conclusão. Logo, afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas forem verdadeiras. Um argumento é inválido, também chamado de ilegítimo, mal construído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exemplo-1 Todo homem é honesto. Alguma pessoa honesta é cruel Logo, não há homens cruéis. Vejamos: 4

6 Análise: No primeiro diagrama (que atende às duas premissas) realmente não há homens cruéis, mas no segundo (que também atende às duas premissas), há. Concluímos, portanto, que o argumento é INVÁLIDO. Note que, se a conclusão do argumento dado fosse logo, há homens cruéis, o argumento ainda seria INVÁLIDO, pois a mesma estaria contrariada pelo primeiro diagrama. Obs: há outras possibilidades de desenhos, porém o diagrama 2 já invalida o argumento. Exemplo-2 (a conclusão correta está em uma alternativa) Todos os animais são seres da natureza e alguns animais são herbívoros. Daí: (A) Todo herbívoro é um ser. (B) Nenhum herbívoro é um ser. (C) Algum animal não é herbívoro. (D) O ser que não for herbívoro, também não é animal. (E) O herbívoro que não for ser, não é animal. (Diagramas Lógicos / Argumentos) Todos animais são seres da natureza, significa que o conjunto dos animais está contido no conjunto dos seres. Alguns animais são herbívoros. Alguns significa PELO MENOS UM, podendo ser até todos. Alguns animais são herbívoros. Pode ser assim: 5

7 As alternativas A, C e E estariam corretas Mas, Pode ser assim: Veja que o diagrama atende às duas premissas: 1) Todos os animais são seres da natureza 2) e alguns animais são herbívoros. (No caso, todos) A alternativa A diz: Todo herbívoro é um ser. ERRADO, pois pode existir herbívoro, fora de ser! A alternativa C diz: Algum animal não é herbívoro. ERRADO!! No desenho podemos ver, claramente, QUE NÃO HÁ ANIMAL QUE NÃO SEJA HERBÍVORO! Observe que a alternativa E não pode ser contrariada, de forma alguma, por isso está CORRETA. CLARO! Se todo animal é um ser, então se não for ser, não é animal!!!! Óbvio, não? DICAS: Uma alternativa somente estará correta se não puder ser contrariada, de forma alguma, por diagrama algum. Se você puder criar um desenho, que atenda às premissas, mas contrarie a alternativa (conclusão), então ela estará ERRADA. Por fim, lembre-se que ALGUM pode ser TODOS. Mas não o inverso. 6

8 Exemplo-3 Prova: ESPP BANPARÁ - Técnico Bancário: O diagrama abaixo representa a população de animais (A), de certa região, que são mamíferos (M) ou herbívoros (H). De acordo com o diagrama acima, podemos dizer com certeza que: a) Há mamíferos que não são animais. b) Todos os animais são mamíferos ou herbívoros. c) Alguns herbívoros não são animais. d) Há mamíferos que são herbívoros. e) Alguns mamíferos não são animais. (Diagramas Lógicos) a) Não, pois o conjunto M está contido em A b) Não, pois há região dentro de A que não é M, nem H c) Não, H está contido em A d) Sim, há uma região comum a M e H. e) Idêntica à letra a, errada. Alternativa... D Exemplo-4 Se a temperatura está abaixo de 5ºC, há nevoeiro. Se há nevoeiro, os aviões não decolam. Assim sendo, também é verdadeira a sentença: a) Se não há nevoeiro, os aviões decolam b) Se não há nevoeiro, a temperatura está igual ou acima de 5ºC c) Se os aviões não decolam, então há nevoeiro d) Se há nevoeiro, então a temperatura está abaixo de 5ºC e) Se a temperatura está igual ou acima de 5ºC os aviões decolam 1- Se A, então B = Todo A é B. 2- São dadas duas premissas e pede-se a alternativa que contém uma Conclusão verdadeira. Analisando alternativas: a) Não, pois pode não haver nevoeiro e os aviões decolarem. b) Sim, pois estando fora de há nevoeiro estará fora de a temperatura está abaixo de 5ºC. Se está fora, então a frase é falsa. Daí sua negativa será verdadeira. Se não é verdade que a temperatura está abaixo de 5º, então a temperatura estará igual a 5º ou acima de 5º. Alternativa B Analisando as outras... c) Não, pois é possível estar dentro de os aviões não decolam e fora de há nevoeiro d) Não, pois é possível estar dentro de há nevoeiro e estar fora de a temperatura está abaixo de 5º e) Não, pois é possível estar fora de a temperatura está abaixo de 5º e dentro de os aviões não decolam. 7

9 Exemplo-5 Todos os homens acima de 20 anos são atletas. Alguns homens que são atletas jogam futebol. Logo (A) Alguns homens acima de 20 anos jogam futebol. (B) Alguns homens que jogam futebol são atletas. (C) Alguns homens acima de 20 anos não jogam futebol. (D) Todos os homens acima de 20 anos jogam futebol. (E) Todos homens que são atletas jogam futebol. - Deve-se tentar eliminar cada alternativa, fazendo um diagrama que atenda às premissas, mas contrarie a conclusão escrita na mesma. Aquela alternativa que não puder ser contrariada por desenho algum, será a correta. Diagrama 1 Diagrama-2 Diagrama-3 Obs: Há outras possibilidades de desenhos, mas aqueles acima Já são suficientes para eliminar 4 das 5 alternativas. Analisando... 8

10 (A) Alguns homens acima de 20 anos jogam futebol. Contrariada pelo diagrama-1 PROFESSOR IVAN ZECCHIN (B) Alguns homens que jogam futebol são atletas. Inegável, inclusive pelo fato de ser uma das premissas (A segunda). (C) Alguns homens acima de 20 anos não jogam futebol. Contrariada pelo diagrama-3 (D) Todos os homens acima de 20 anos jogam futebol. Contrariada pelos diagramas 1 e 2 (E) Todos homens que são atletas jogam futebol. Contrariada por todos os diagramas Exemplo-6 É necessário dormir bem para que o dia seguinte seja bom. Logo: a) Se não dorme bem, então o dia seguinte não é bom. b) Se dorme bem, então o dia seguinte é bom. c) Se o dia seguinte não foi bom, então não dormi bem. d) Vou dormir, pois não entendi nada. SEM DIAGRAMAS "É NECESSÁRIO DORMIR BEM PARA QUE O DIA SEGUINTE SEJA BOM." É uma proposição equivalente a "SE O DIA SEGUINTE FOI BOM, ENTÃO DORMI BEM." É uma CONDICIONAL e as Condicionais podem ser reescritas de modo correto e equivalente em sua forma chamada "Contra positiva". Exemplo: a Contra positiva de "Se A, então B." é "Se não B, então não A Daí a Contra positiva de "SE O DIA SEGUINTE FOI BOM, ENTÃO DORMI BEM." Será "Se não dorme bem, então o dia seguinte não é bom." Alternativa "A" COM DIAGRAMAS Na alternativa A é colocado um elemento FORA do conjunto maior, consequentemente estará FORA do menor. Daí, Se não dorme bem, não tem um bom dia. Alternativa A 9

11 QUESTÕES DE PROVAS (Quadrix Esaf- Cesgranrio Cespe IBADE IADES- FCC) 1- O Raciocínio a seguir, é: Todos os gatos são pretos. Alguns animais pretos mordem. Logo, alguns gatos mordem. a) Válido com pelo menos uma premissa verdadeira b) Inválido, com pelo menos uma premissa falsa c) Inválido, com todas premissas verdadeiras d) Válido, com todas premissas verdadeiras e) Válido, com nenhuma premissa verdadeira RESOLUÇÃO: O conjunto dos gatos está contido no conjunto dos pretos (1º premissa) e o conjunto dos gatos faz intersecção com o conjunto dos que mordem (2º premissa), mas isso não garante que o conjunto dos gatos (o de dentro) também fará intersecção com o conjunto dos que mordem e essa é a conclusão. Logo, o argumento é INVÁLIDO. Com certeza, há uma premissa falsa: Todos os gatos são pretos. Alternativa B LEMBRE-SE!! 1- Um argumento somente é válido quando a conclusão não pode ser negada (nunca) e no caso, pode! 2- Quando há uma referência a uma premissa em particular (se ele é V ou F) analisamos de acordo com o mundo real!! Ou seja, na análise da VERACIDADE de uma premissa ou conclusão, independentemente, do Argumento, prevalece o mundo real, as verdades factuais. 3- Na análise da VALIDADE DO ARGUMENTO consideramos as premissas sempre V. Observe: (exemplo a parte) Todo homem é mulher. Todo anjo é homem Logo, todo anjo é mulher. Note que tanto as premissas como a conclusão, quando observadas separadamente são FALSAS. Porém, quando analisamos o ARGUMENTO, consideramos as premissas como informações verdadeiras para verificar se levam à verdade da conclusão, MATEMATICAMENTE. Veja: Se for verdade que...todo homem é mulher. Se for verdade que...todo anjo é homem Será verdade que..., todo anjo é mulher. O Argumento é VÁLIDO!! 10

12 2- Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum filósofo é rico" e que "alguns professores são ricos". Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade (A) Alguns filósofos são professores (B) Alguns professores são filósofos (C) Nenhum filósofo é professor (D) Alguns professores não são filósofos (E) Nenhum professor é filósofo Nenhum Filósofo é rico significa que os dois conjuntos são disjuntos (separados) Como Alguns professores são ricos há uma intersecção (região comum) entre professores e ricos, mas nada é dito sobre professores e filósofos, podendo, então, haver professor filósofo (o que invalida c e e ) ou não (o que invalida a e b ). A alternativa d é a correta, por exclusão. Porém verifique que: Existem professores ricos e não há rico filósofo. Daí, existirão sempre professores que não são filósofos. Aqueles que forem ricos. Alternativa D 3- Se é religioso, então é crente. Se é crente, então tem fé. Daí, se João: (A) (B) (C) (D) (E) Não é crente, então não tem fé. Não e religioso, então não é crente. Não tem fé, então PODE ser crente É crente, então é religioso. É religioso, então tem fé. Se A, então B = Todo A é B a) Fora de C não implica fora de F. ERRADA b) Fora de R não implica fora de C. ERRADA. c) Fora de F implica fora de C. ERRADA d) Dentro de C não implica dentro de R. ERRADA. e) Dentro de R, implica dentro de F. CORRETA 11

13 4- Assinale a alternativa que indica a negação da proposição Paulo é estudante e Rafael é engenheiro. (A) (B) (C) (D) (E) Paulo não é estudante e Rafael não é engenheiro. Paulo é professor e Rafael é químico. Paulo não é estudante ou Rafael não é engenheiro. Paulo não é estudante ou Rafael é engenheiro. Paulo não é estudante e Rafael é engenheiro. A negativa de A e B é Não A ou Não B Alternativa C 5- Considere que C é o conjunto de cachorros, que F é o conjunto de animais fiéis e o diagrama a seguir. O diagrama representa a seguinte proposição: (A) (B) (C) (D) (E) Todos os cachorros são fiéis Nenhum cachorro é fiel. Alguns cachorros são infiéis. Todos os cachorros são infiéis. Alguns cachorros são fiéis. O conjunto dos cachorros está contido no conjunto dos Fiéis, logo, TODOS OS CACHORROS SÃO FIÉIS. Alternativa A 6- Considerando as proposições: Alguns funcionários são estrangeiros e Não é verdade que algum advogado é estrangeiro, conclui-se corretamente que (A) Algum funcionário é advogado. (B) Nenhum advogado é estrangeiro. (C) Algum funcionário não é advogado. (D) Todo advogado é funcionário. (E) Todo estrangeiro é funcionário. Não é verdade que algum advogado é estrangeiro corresponde a Nenhum advogado é estrangeiro. a) Contrariada pelo primeiro diagrama. ERRADA b) É verdade, mas não é consequência das DUAS premissas e sim, somente da segunda. ERRADA c) Sim, aquele que for estrangeiro ( intersecção de F com E). CORRETA d) Contrariada pelo primeiro diagrama. ERRADA e) Contrariada pelos dois diagramas. ERRADA 12

14 7- Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras: Algum maranhense é pescador. Todo maranhense é trabalhador. Assim pode-se afirmar, do ponto de vista lógico, que: a) Algum maranhense pescador não é trabalhador b) Algum maranhense não pescador não é trabalhador c) Todo maranhense trabalhador é pescador d) Algum maranhense trabalhador é pescador e) Todo maranhense pescador não é trabalhador. a) Contrariada pelos dois diagramas. ERRADA. b) Contrariada pelos dois diagramas. ERRADA c) Contrariada pelos dois diagramas. ERRADA d) Não contrariada por diagrama algum. CORRETA e) Contrariada pelos dois diagramas. ERRADA. 8- Se todos os maranhenses são nordestinos e todos os nordestinos são brasileiros, então pode-se concluir que: a) É possível existir um maranhense que não seja nordestino. b) É possível existir um nordestino que não seja maranhense. c) É possível existir um maranhense que não seja brasileiro. d) Todos os nordestinos são maranhenses. e) Todos os brasileiros são maranhenses. Observe que é possível existir um Nordestino que não seja Maranhense. Alternativa B 13

15 9- Uma classe de 300 pessoas foi entrevistada para saber se pagava suas compras em dinheiro ou utilizava cartão. 110 pessoas disseram que pagavam suas compras apenas com dinheiro e 80 responderam que pagavam apenas com o cartão. Sabendo que todos os entrevistados responderam à pesquisa, quantas pessoas fazem suas compras utilizando os dois, dinheiro e cartão? a) 40 b) 150 c) 155 d) 90 e) 110 X = 300 X = X = 110 Alternativa E 10- A negação de Não sabe matemática ou sabe português é: a) Sabe matemática ou sabe português b) Sabe matemática ou não sabe português c) Não sabe matemática e não sabe português d) Sabe matemática e não sabe português e) Não sabe matemática e sabe português. A negativa de A ou B é Não A e Não B Daí, alternativa D 14

16 LÓGICA PROPOSICIONAL OU SENTENCIAL PROFESSOR IVAN ZECCHIN É a Lógica das Proposições, ou seja, a análise matemática de frases ou conjunto de frases, que atendem a certos requisitos. Para ser Proposição é necessário que a sentença: - Não seja interrogativa, nem exclamativa, nem imperativa. - Tem que possuir verbo. - Tem que ser verdadeira (V) ou Falsa (F), mas não as duas coisas. Exemplo-1 (CESPE -STJ) julgue o item abaixo: Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições. A: 12 é menor que 6. B: Para qual time você torce? C: x + 3 > 10 D: Existe vida após a morte. Comentários: Uma proposição pode ser simples (quando não tem outra proposição como parte de si mesma) ou composta (quando tem outra proposição como parte de si mesma). Representamos as proposições por letras; A, B, C, P,Q,R, etc. Exemplos: P = Pedro é casado. Proposição Simples. Q = Maria não é professora. Proposição Composta. R = João tem um carro ou Ana dorme. Proposição Composta. Uma proposição é composta quando tem um ou mais Operadores Lógicos (Conectivos), que são palavras ou expressões que, a partir de proposições Simples, formam outras proposições. CONECTIVOS: NÃO.... Forma a Negativa Não P = P ^ v NÃO.... Forma a Negativa Não P = ~ P...E.... Forma a Conjunção. P e Q = P ^ Q...OU..... Forma a Disjunção.. Ou P ou Q. OU...OU.... Forma a Disjunção exclusiva Se...,então.... Forma a Condicional. Se P, então Q....,se e somente se,.... Forma a Bicondicional. P, se e somente se, Q. 15

17 Exemplos: Considerando que: M = Maria dorme. P = Pedro Canta. Teremos que: 1) Pedro não canta. = ~P 2) Pedro canta e Maria dorme. = P ^ M 3) Se Maria Não dorme, então Pedro canta = (~M) P Exemplos de prova. 1- Suponha que P represente a proposição hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes. I) A sentença: Hoje não choveu então, Maria não foi ao comércio e José não foi à praia. Pode ser corretamente representada por P ( R ^ Q). II) A sentença, Hoje choveu e José não foi à praia. Pode ser representada por : P v (~Q). 2- Considere as sentenças abaixo. I. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. P: Fumar deve ser proibido. Q: Fumar deve ser encorajado. R: Fumar não faz bem à saúde. T: Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. (1) A sentença I pode ser corretamente representada por P ( T). (2) A sentença II pode ser corretamente representada por ( P) ( R). (3) A sentença III pode ser corretamente representada por R P. (4) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ( T)) P. I. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. P ^ T (item 1, ERRADO) II. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. ( P) ^ ( R). (item 2, CORRETO) III. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. R P (item 3, CORRETO) IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. (R ( T)) P. (item 4, CORRETO) 16

18 3- Considerando que a proposição P representa Paulo é motorista de ônibus. E a proposição Q represente Antônio é assistente administrativo., então a proposição composta; Se Antônio não é assistente administrativo, então Paulo é motorista de ônibus. Será representada por: a) (P Q) b) P Q c) Q P d) P Q e) Q P Alternativa E Julgamento de Proposições Compostas Uma proposição composta será V ou F, dependendo dos valores lógicos das proposições simples que a compõe e dos conectivos usados. 1) Proposições com e : serão V apenas quando as duas partes forem V. Serão F nas demais situações. 2) Proposições com ou serão F apenas quando as duas partes forem F. Serão V nas demais situações. 3) Proposições com Ou...ou... serão V quando as partes tiverem valorações diferentes e F quando as partes tiverem mesmas valorações. 4) Proposições com Se...,então... serão F apenas quando a primeira parte for V e a segunda parte for F. Será V nas demais situações. 5) Proposições com...,se e somente se,... serão V quando os valores lógicos das partes forem iguais e serão F quando forem diferentes. Explicações: (De onde vieram as afirmativas acima.) Duas proposições simples (P e Q) podem assumir as seguintes valorações: P Q V V V F F V F F CONJUNTOS Teoria dos Conjuntos Em geral, apresentamos o conjunto por letras maiúsculas e os elementos por minúsculas. Se a é elemento de A, indicamos a A e, se não é elemento, indicamos a A. Notações Existem várias maneiras de representar conjuntos. Uma é enumerar os elementos entre chaves. Exemplos: Conjunto vazio:{ } Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u} Conjunto formado pelos números pares: {2,4, 6, 8...} 17

19 Um conjunto fica caracterizado por uma propriedade P de seus elementos. Assim indicamos: A = {x x possui a propriedade P} Exemplo: A={x x é um número inteiro e par} Logo A= {0, 2, 4, 6, } O conjunto que apresenta um único elemento é chamado de Unitário. Exemplo: Conjunto dos números primos e pares: {2} Caso o conjunto não apresente elementos ele é chamado conjunto Vazio. Representamos o conjunto vazio por ou { }. Muitas vezes é necessário determinar o conjunto formado pela totalidade dos elementos que estão sendo analisados. É o chamado conjunto Universo. Subconjunto ou INCLUSÃO ( = está contido) Dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se todo elemento de A também pertence a B. A B ( x)( x A x B) Com A B indicamos A não é subconjunto de B. Exemplos: {1, 7} {1, 3, 7, 10} {a, c} {a, e, i, o, u} A B, significa, em diagramas: Se pertence a A, então pertence a B Se A, Então B Ou seja, a Condicional (A B), na Lógica, corresponde à Inclusão de Conjuntos. Assim, podemos analisar quando uma Condicional é V ou F. Ser Verdade (V) significa que o elemento está no conjunto. Ser Falso (F) significa que o elemento não está no conjunto. A B (A B) V V Um elemento pode estar nos dois conjuntos? SIM!, então... V V = V V F Um elemento pode estar em A e fora de B? NÃO!, então...v F = F F V Um elemento pode estar em B e fora de A? SIM!, então...f V = V 18

20 F F Um elemento pode estar fora dos dois conjuntos? SIM!, então.. F F = V Por isso: Proposições com Se...,então... serão F apenas quando a primeira parte for V e a segunda parte for F. Será V nas demais situações. Exemplo: Se o elefante voa, então o gato fala inglês. Simbolicamente, teremos :.. F F = V Daí, a proposição é Verdadeira! Igualdade de Conjuntos (=) A B ( A B e B A) Exemplos: {1, 4, 6, 7} = {7, 4, 6, 1} {x Z 10 < x < 20} = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} Notem que em conjunto não importa ordem, nem a quantidade de vezes que aparece o mesmo elemento, ou seja: {a, b, c, d} = {b, c, a, d} = {a, a, a, b, b, c, d, d} A = B, significa, em diagramas: Se pertence a A, então pertence a B, e se pertence a B, então pertence a A., o elemento estará em A somente se estiver em B e vice-versa A, se e somente se, B Ou seja, a Bicondicional (A B), na Lógica, corresponde à Igualdade de Conjuntos. Assim, podemos analisar quando uma Bicondicional é V ou F. Ser Verdade (V) significa que o elemento está no conjunto. Ser Falso (F) significa que o elemento não está no conjunto. A B (A B) V V Um elemento pode estar nos dois conjuntos? SIM!, então... V V = V V F Um elemento pode estar em A e fora de B? NÃO!, então...v F = F F V Um elemento pode estar em B e fora de A? NÃO!, então...f V = F F F Um elemento pode estar fora dos dois conjuntos? SIM!, então... F F = V Por isso: Proposições com...,se e somente se,... serão V quando os valores lógicos das partes forem iguais e serão F quando forem diferentes. 19

21 Exemplo: O Céu é azul, se e somente se, o Sol é preto. Simbolicamente: V F = F Daí, a proposição acima é Falsa! Operações com Conjuntos União (U = TODOS os elementos) A B = {x x A ou x B} Diagrama de Venn: Exemplos: {c, e} {b, c, d, e} = { b, c, d, e} {1, 3, 4} {1, 3, 4, 5} {3, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {2, 3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} Veja que a União (U) corresponde ao conectivo OU. A B (A v B) V V O elemento que está nos dois conjuntos entra na União? SIM!, então.,,,,,..,, V ou V = V V F O elemento que está em só um, entra na União? SIM!, então...,,.,,,..v ou F = V F V O elemento que está em só um, entra na União? SIM!, então..,,,,,.,...v ou F = V F F O elemento não está em A, nem em B? Entra na União NÃO!, então, F ou F = F 2.) Por isso, proposições com ou serão F apenas quando as duas partes forem F. Serão V nas demais situações. Intersecção de Conjuntos ( = só os elementos COMUNS) A B = {x x A e x B} Diagrama de Venn: A B 20

22 {10, 20, 30, 40, 50} {20, 30, 60, 70} = {20, 30} {A, F, H} {b, c, d} = = Verifique que a Intersecção ( ) corresponde ao conectivo e A B (Agora, operação de Intersecção. Entram os elementos COMUNS!) V V O elemento que está nos dois. Entra na Intersecção? SIM!, então... V e V = V V F O elemento que está em só um, entra na Intersecção? NÃO!, então...v e F = F F V O elemento que está em só um, entra na União? SIM!, então...,.,...v e F = F F F O elemento não está em A, nem em B? Entra na União NÃO!, então,..f e F = F Por isso: (A ^ B) Proposições com e : serão V apenas quando as duas partes forem V. Serão F nas demais situações. Diferença entre Conjuntos e União das Diferenças (União Exclusiva) A - B = {x x A e x B} Diagrama de Venn: Exemplos: {a, b, c, f, e} - {a, e, i, o, u} = {b, c, f} N N * = {0} {3, 4, 5} - {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {5} 21

23 A UNIÃO (U) de (A-B) com (B-A) será um conjunto formado pelos elementos que pertencem a exclusivamente a um dos conjuntos. Daí, para entrar nessa União, o elemento Ou pertence a A ou pertence a B, não podendo pertencer aos dois ou a nenhum deles. Em outras palavras: Ou A ou B. (Disjunção Exclusiva = conectivo OU...ou... ) A B (Agora, a União acima. Entram os elementos EXCLUSIVOS!) V V O elemento que está nos dois. Entra na nessa União? NÃO!, então,...ou. V ou V = F V F O elemento que está em só um, entra nessa União? SIM!, então,.ou V ou F = V F V O elemento que está em só um, entra nessa União? SIM!, então, OU V ou F = V F F O elemento não está em A, nem B? Entra? NÃO!, então,....ou F ou F = F Por isso: (A B) Proposições com Ou...ou... serão V quando as partes tiverem valorações diferentes e F quando as partes tiverem mesmas valorações. Resumo (TABELA VERDADE) Exemplo-1 Se P é falsa e Q é Verdade, então Q (Q ^ P), será? Substitua as proposições P e Q por seus valores lógicos. V (V^F) = V F = F Resposta: Falsa 22

24 QUESTÕES: QUADRIX CESPE IBADE CESGRANRIO FCC IADES 1- Considere a tabela-verdade a seguir. Ao preencher corretamente a terceira coluna da tabela, o resultado ordenadamente obtido, de cima para baixo, é (A) V, F, F, F. (B) F, V, F, F. (C) F, F, V, F. (D) V, F, V, V. (E) F, V, V, V. Temos a proposição p ligada à negativa de q (~q), pelo conectivo e (^). Uma frase com e somente é verdadeira quando as duas partes que a compões forem verdadeiras. A negativa inverte o valor lógico da proposição, então onde for V, na coluna de q, será F e vice-versa. 1ª linha...v ^ F = F 2ª linha...v ^ V = V 3ª linha...f ^ F = F 4ª linha,,,,,,f ^V = F Alternativa B 2- Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p e q são, respectivamente, a verdade e a falsidade, assinale o item que apresenta a proposição composta cujo valor lógico é a verdade. Substituindo as proposições por suas valorações a) F v F F = F F = V É essa! Alternativa A Consideração: A Condicional ( ) tem mais força que o Ou (v), por isso a expressão da alternativa a é uma CONDICIONAL e não uma DISJUNÇÃO. Sendo assim a Disjunção deve ser resolvida primeiro e, por último, a Condicional. 23

25 3- Considere que todas as vogais do alfabeto em vigor representem proposições FALSAS e todas as outras letras representem proposições VERDADEIRAS. Sendo assim, julgue as afirmativas a seguir e marque a alternativa verdadeira: I- (A C) v Y é verdadeira II- P (K v Z) é falsa III- (W ^ U) E é falsa a) Apenas (I) está errada b) Apenas (II) está certa c) (I) e (III) estão erradas d) Apenas (III) está certa e) Todas estão certas I- É uma DISJUNÇÃO (ou) e Y é V, logo toda a frase é V...CORRETO II- Todas são consoantes, então fica: V (V ou V) = V...ERRADO III- Substituindo os valões, teremos: (V ^ F) F = F V = V V = V ERRADO Não há alternativa CORRETA 4- Considere as afirmativas: I- As flores são feitas de plástico, logo, o logaritmo de 7 é 0,69. II- Se passo no concurso, então 4 > 2. III- 13 é maior ou igual a 10 Assinale a alternativa correta: a) Apenas (I) está errada b) Apenas (II) está certa c) (I) e (III) estão erradas d) Apenas (III) está certa e) Todas estão certas I- É uma Condicional, com a primeira parte FALSA, logo a Condicional será VERDADEIRA, independentemente da segunada parte. II- É uma Condicional com a segunda parte VERDADEIRA, logo a Condicional será VERDADEIRA, independentemente da primeira parte. III- 13 é maior que 10 ou 13 é igual a 10. É uma Disjunção com a primeira parte VERDADEIRA, logo a Disjunção será VERDADEIRA Alternativa E DICA: Para que uma Condicional seja Verdadeira, basta que a primeira parte seja Falsa ou a segundo parte seja Verdadeira. F qualquer coisa = V qualquer coisa V = V Nas Disjunções (ou), basta uma parte V para que a Disjunção seja V. 24

26 ARGUMENTOS Estrutura de um Argumento (Encadeamento de proposições) P1 :...( V ) P2 :...( V ) P3:...( V ) C:...,...( V ) ou (F ) IMPORTANTE A Lógica não se preocupa com o valor lógico das premissas e da conclusão, se preocupa apenas com a forma que as premissas se relacionam com a conclusão, ou seja, se o argumento é válido ou inválido. Por isso, na análise da Validade de um Argumento, as premissas são, sempre, verdadeiras!! A Conclusão, se for V, tornará o Argumento Válido e, se for F, Inválido. As Premissas e Conclusão, quando analisadas separadamente, serão analisadas de acordo com o mundo real. Exemplo: Verificar a Validade do Argumento: P1: Se Passo no concurso da Polícia, então estou realizado. P2: Não fiquei realizado. Portanto, Não passei no concurso da polícia. Comentários: As premissas são verdadeiras P1: Se Passo no concurso da Polícia, então estou realizado. (V) P2: Não fiquei realizado. (V) Portanto, não passei no concurso da polícia. (Conclusão a ser analisada) A premissa 2 torna a segunda parte da Condicional (P1) falsa (pois, se é verdade que não me realizei, será falso que estou realizado!!) Daí, temos: P1: Se Passo no concurso da Polícia, então estou realizado. (V) F Agora, observe a tabela verdade e veja que para uma Condicional ser verdadeira tendo a segunda parte falsa, obrigatoriamente a primeira parte também terá que ser falsa, pois F com F = V. Reforçando, a primeira parte (Passo no concurso da Polícia) NÃO PODE SER V, pois V com F, nas Condicionais, seria F e a Condicional é V, pois é premissa. Daí, é falso que Passei no concurso da polícia. Então, a verdade é que Não passei no concurso da polícia. A conclusão é verdadeira, logo o ARGUMENTO é Válido! Exemplo: Verificar a validade do Argumento: P1: Se Passo no concurso da Polícia, então estou realizado. P2: Não passei no concurso da polícia. Portanto, não estou realizado. Comentários: As premissas são V 25

27 P1: Se Passo no concurso da Polícia, então estou realizado. (V) P2: Não passei no concurso da polícia.(v) Portanto, não estou realizado.(conclusão, a ser analisada) Observe que P2 nega a primeira parte da Condicional, ou seja, a torna falsa. P1: Se Passo no concurso da Polícia, então estou realizado. (V) F Temos uma Condicional verdadeira com a primeira parte falsa. Observando a tabela verdade, vemos que a segunda parte pode ser V ou F, pois F com V é V e F com F é V. Daí, nada se conclui da segunda parte. Nada pode ser AFIRMADO sobre ela. Se for...estará errado. O texto afirmou!! Disse que a segunda parte é falsa. Está errado. A conclusão é falsa, logo o ARGUMENTO é INVÁLIDO. É uma Falácia, um Sofisma. Exemplo: Verificar a Validade do Argumento: P1: Se Passo no concurso da Polícia, então estou realizado. P2: Passei no concurso da Polícia. Portanto, estou realizado. Ora, a P2 torna verdadeira a primeira parte da Condicional (P1) Daí (Tabela), a segunda parte será obrigatoriamente verdadeira, pois V com V é V, mas V com F seria F! ( e a Premissa é V!). Logo, é verdade que Estou realizado. ARGUMENTO VÁLIDO RESUMO: (sobre argumentos formados por uma Condicional e uma afirmativa sobre uma de suas partes) Havendo uma Condicional e uma afirmativa sobre uma das partes (premissas), teremos: 1- Se a primeira parte for V, a segunda parte também será V. 2- Se a segunda parte for F, a primeira parte será também F. NÃO VALEM AS RECÍPROCAS!! (OS CAMINHOS CONTRÁRIOS). **Guarde essas regras!! 26

28 Questões: QUADRIX CESPE CESGRANRIO IBADE IADES - FCC 1- Se caminho todo dia, não fico preguiçoso. Estou preguiçoso. Logo: a) Estou preguiçoso b) Não estou preguiçoso c) Não caminho todo dia d) Caminho todo dia e) Nada se pode afirma sobre caminhar todo dia A segunda premissa nega a segunda parte da Condicional ( primeira premissa) Daí, a primeira parte (caminho todo dia) também será falsa. A verdade será...não caminho todo dia. Alternativa C 2- Se entendo de Lógica, serei aprovado. Logo,... Não fui aprovado. a) Não entendo de Lógica. b) Entendo de Lógica c) Não fui aprovado d) Fui aprovado e) Nada se pode afirmar sobre ter sido aprovado ou não Alternativa A, pelos mesmos motivos da anterior. 3- Se sair o concurso do Procon, farei a prova. Não saiu o concurso do Procon. Logo, a) Saiu o concurso do Procon b) Saiu o concurso do Metrobus c) Farei a prova d) Não farei a prova e) Nada se pode afirmar sobre fazer a prova ou não. A segunda premissa nega a primeira parte da Condicional. A falsidade da primeira parte nada garante da segunda parte. Se a conclusão afirmar que fará, é falsa. Se a conclusão afirmar que não fará, é falsa. Alternativa E 27

29 4- O encadeamento de proposições abaixo, é:l X Y, Y Z, ~Z v W. Ora, ~W. Logo, X. a) Argumento válido. b) Argumento inválido c) Silogismo inválido d) Silogismo válido e) Contradição PROFESSOR IVAN ZECCHIN Colocando nas posições tradicionais, teremos: P 1 - X Y (V) P 2 - Y Z (V) P 3 - ~Z v W.(V) P4 - ~W. (V) Logo, X. I- Se ~W é V, então W é F, então em P 3 teremos uma Disjunção Verdadeira com a segunda parte Falsa. Daí, a primeira parte (~Z) tem que ser verdadeira. II- ~Z sendo verdadeira, Z será falsa, que torna a segunda parte de P 2 falsa. Logo, Y será falsa. III- Sendo Y falsa (P 1) então X também será falsa. Conclusão, Não ocorre X, ou seja, ~X. Como a conclusão do Argumento foi X, então o mesmo é INVÁLIDO. Alternativa B Comentário: Um Argumento de DUAS premissas chama-se SILOGISMO. Não é o caso desse Argumento, pois possui 4 premissas. 5- Se Maria tem bom currículo e é competente, então conseguirá emprego. Porém, Maria não tem bom currículo, embora seja competente. Daí: a) Conseguirá emprego, assim mesmo. b) Não conseguirá emprego. c) Poderá não conseguir emprego. d) Não tem competência. e) Impossível determinar consequências. RESOLUÇÃO: A frase principal é uma condicional, onde a primeira parte é uma conjunção (e). Como Maria tem bom currículo é Falso, então a conjunção é falsa, o que torna a primeira parte da condicional, falsa. A falsidade da primeira parte da condicional, porém, nada acarreta da segunda, podendo ser essa, verdadeira ou falsa. Por isso está certa a alternativa C. 28

30 6- Considere as seguintes afirmações: I. Se a temperatura está baixa, então a minha pele está seca. II. Se não tenho rachaduras nas mãos, então a minha pele não está seca. III. Se eu tenho rachaduras nas mãos, então eu sinto dor nas mãos. IV. Não sinto dor nas mãos. A partir delas é correto concluir que a) É possível ter dor nas mãos causada por outro motivo. b) Não tenho rachaduras nas mãos ou a temperatura está baixa. c) Minha pele não está seca e tenho rachaduras nas mãos. d) Não tenho rachaduras nas mãos e a temperatura está baixa. e) Tenho rachaduras nas mãos ou a temperatura está baixa. Lembre-se: - Em uma Condicional de um Argumento: - Se a segunda parte é F, a primeira parte será F - Se a primeira parte for V, a segunda parte será V. - Se uma afirmativa qualquer é falsa, sua negativa é verdadeira e vice-versa. PROFESSOR IVAN ZECCHIN Daí, as verdades extraídas da análise são: Não sinto dor nas mãos Não tenho rachadura nas mãos Minha pele não está seca A temperatura não está baixa Analisando as alternativas... a) é possível ter dor nas mãos causada por outro motivo. O texto nada diz sobre isso. ERRADA b) não tenho rachaduras nas mãos ou a temperatura está baixa. V ou F = V. CORRETA c) minha pele não está seca e tenho rachaduras nas mãos. V e F = F. ERRADA d) não tenho rachaduras nas mãos e a temperatura está baixa. V e F = F. ERRADA e) tenho rachaduras nas mãos ou a temperatura está baixa. F ou F = F. ERRADA 29

31 7- Partindo das premissas: I. Todo médico é formado em medicina. II. Todo médico é atencioso. III. Ribamar é atencioso. IV. Francisca é funcionária do hospital. Pode-se concluir que: a) Ribamar é funcionário do hospital. b) Francisca e Ribamar são casados. c) Francisca é atenciosa. d) Ribamar é formado em medicina. e) há pessoas atenciosas que são formadas em medicina. Devemos marcar a alternativa que seja decorrência lógica das premissas. Por isso faremos diagramas que atendam as premissas, mas que eliminem alternativas. Aquela que não puder ser eliminada por qualquer dos diagramas possíveis, será a alternativa correta. Observe que a premissa IV não tem conexão com as outras. Veja um diagrama relacionando as três primeiras premissas... Analisando as alternativas: a) Ribamar é funcionário do hospital. Não há relação de Ribamar e Hospital...ERRADO b) Francisca e Ribamar são casados. Ridículo. c) Francisca é atenciosa. Nada garante isso....errado d) Ribamar é formado em medicina. O diagrama mostra que é possível que não!...errado e) há pessoas atenciosas que são formadas em medicina. Não há como negar...correto Alternativa E 8- Considere, abaixo, as afirmações e o valor lógico atribuído a cada uma delas entre parênteses. Ou Júlio é pintor, ou Bruno não é cozinheiro (afirmação FALSA). Se Carlos é marceneiro, então Júlio não é pintor (afirmação FALSA). Bruno é cozinheiro ou Antônio não é pedreiro (afirmação VERDADEIRA). A partir dessas afirmações, a) Júlio não é pintor e Bruno não é cozinheiro. b) Antônio é pedreiro ou Bruno é cozinheiro. c) Carlos é marceneiro e Antônio não é pedreiro. d) Júlio é pintor e Carlos não é marceneiro. e) Antônio é pedreiro ou Júlio não é pintor. 30

32 1- Uma Condicional só fica FALSA quando a primeira parte for V e a segunda for F Então, na frase: Se Carlos é marceneiro, então Júlio não é pintor (afirmação FALSA). Temos que: - Carlos é Marceneiro - Júlio é pintor (pois é falso que não é) 2- Uma Disjunção exclusiva é FALSA quando as duas partes são falsas ou quando as duas partes são verdadeiras. Ou Júlio é pintor, ou Bruno não é cozinheiro (afirmação FALSA). Já sabemos que Júlio é pintor, então a primeira parte da Disjunção exclusiva é verdadeira, logo a segunda também será... Bruno não é cozinheiro. Na Disjunção abaixo temos que ter ao menos uma parte verdadeira: Bruno é cozinheiro ou Antônio não é pedreiro (afirmação VERDADEIRA). Mas, Bruno é cozinheiro é falso, logo Antônio não é pedreiro é verdade. Alternativa C 9- Acerca dos argumentos racionais, julgue o item a seguir. No diálogo a seguir, a resposta de B é fundamentada em um raciocínio por analogia. ( ) Certo ( ) Errado A: O que eu faço para ser rico assim como você? B: Como você sabe, eu não nasci rico. Eu alcancei o padrão de vida que tenho hoje trabalhando muito duro. Logo, você também conseguirá ter esse padrão de vida trabalhando muito duro. Raciocínio por ANALOGIA é pensar por COMPARAÇÃO. Por exemplo: Pedro é alto, tem braços longos e joga basquete muito bem. Eu gostaria de jogar basquete muito bem, mas para isso deveria ser alto e ter braços longos. No caso em questão, B estabeleceu uma comparação, um paralelo, a ser seguido pelo outro, para que se tornasse igual a ele. É ANALOGIA. Item CERTO. 10- R S, Q, S Q, M R. Daí: a) M b) M c) S d) S e) R Sempre procure como ponto de partida, em um Argumento, uma proposição de uma parte só, pois ela será usada para negar ou confirmar partes das outras proposições envolvidas. No caso, temos Q. Significa que não ocorre Q. Agora, lembre-se que, em uma CONDICIONAL, se a segunda parte for falsa, a primeira também será. Daí, em S Q, teremos que não ocorre S ( S). Em R S, teremos que não ocorre R ( R) Em M R teremos que não ocorre M ( M) São verdades: Q, S, R, M 31

33 11- Num famoso talk-show, o entrevistado faz a seguinte afirmação: Toda pessoa gorda não tem boa memória. Ao que o entrevistador contrapôs: Eu tenho boa memória. Logo, não sou gordo. Supondo que a afirmação do entrevistado seja verdadeira, a conclusão do entrevistador é A) Falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele não fosse gordo, então teria uma boa memória. B) Falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele não tem uma boa memória, então ele tanto poderia ser gordo como não. C) Falsa, pois o correto seria afirmar que ele é gordo e, portanto, não tem boa memória. D) Verdadeira, pois todo gordo tem boa memória. E) Verdadeira, pois, caso contrário, a afirmação do entrevistado seria falsa. A condicional (frase com o conectivo "SE...ENTÃO...) tem muitas formas equivalentes (maneiras de transmitir a mesma ideia), entre elas estão; 1- Se P, então Q 2- Todo P é Q 3- Se não Q, então não P (contra positiva da condicional) As afirmativas do Entrevistador e do entrevistado são formas equivalentes de dizer a mesma coisa. Veja, usando os termos da questão... Todo gordo não tem boa memória = Se é gordo, então não tem boa memória = Se tem boa memória, então(ou logo) não é gordo Portanto, como a afirmativa do entrevistado é verdadeira, a afirmativa do entrevistador também será, pois são equivalentes. Alternativa E 12- Renata tem três amigos um paulista, um carioca e um gaúcho. Sabe-se que: ou Pedro é paulista, ou Henrique é paulista; ou Pedro é carioca, ou Mário é gaúcho; ou Henrique é gaúcho, ou Mário é gaúcho; ou Mário é carioca, ou Henrique é carioca. Nessas condições, Pedro, Mário e Henrique são, respectivamente, (A) Paulista, carioca e gaúcho. (B) Carioca, gaúcho e paulista. (C) Gaúcho, paulista e carioca. (D) Carioca, paulista e gaúcho. (E) Paulista, gaúcho e carioca. 32

34 São 4 Disjunções exclusivas (Ou...ou...). Nesses casos, uma delas é V e a outra é F, sempre. Como não há uma afirmativa inicial sobre uma das partes de uma delas, fazemos uma suposição sobre qualquer parte de qualquer uma delas. Vamos supor, por exemplo, que Pedro é paulista seja V. Se tudo der certo ( não ocorrer conflitos) então tudo que tirarmos da análise estará correto. Caso contrário, concluiremos que nossa suposição estava errada e, a verdade é que Pedro é paulista era F. Nesse caso, faríamos tudo novamente, com a proposição Pedro é paulista sendo F. Tudo certo, não houve conflitos( como por exemplo, ocorrer de um deles ter duas naturalidades ou dois com a mesma naturalidade) Então: Pedro é paulista, Mário é gaúcho e Henrique é carioca. Alternativa E 13- A negação lógica da afirmação: Corro bastante e não tomo chuva é a) Não corro bastante e tomo chuva. b) Tomo chuva ou não corro bastante. c) Tomo chuva porque não corro bastante. d) Se eu corro bastante, então não tomo chuva. e) Corro bastante ou tomo chuva. A negação de (A e B) é (Não A ou Não B) Daí: Não corro bastante ou tomo chuva. Como (A ou B) = ( B ou A), teremos: Alternativa B 14- Considere verdadeiras as afirmações abaixo. I. Ou Bruno é médico, ou Carlos não é engenheiro. II. Se Durval é administrador, então Eliane não é secretária. III. Se Bruno é médico, então Eliane é secretária. IV. Carlos é engenheiro. A partir dessas afirmações, pode-se concluir corretamente que a) Eliane não é secretária e Durval não é administrador. b) Bruno não é médico ou Durval é administrador. c) Se Eliane não é secretária, então Bruno não é médico. d) Carlos é engenheiro e Eliane não é secretária. e) Se Carlos é engenheiro, então Eliane não é secretária. 33

35 Lembre-se: no OU..ou.. uma parte é V e a outra é F. No Se...,então,... se a segunda parte é F, a primeira é F. Se a primeira é V, a segunda é V. Daí: Carlos é engenheiro Bruno é médico Eliane é secretária Durval não é administrador Analisando alternativas: a) Eliane não é secretária e Durval não é administrador. (F e V = F) b) Bruno não é médico ou Durval é administrador. (F ou F = F) c) Se Eliane não é secretária, então Bruno não é médico. (Se F, então F = V) d) Carlos é engenheiro e Eliane não é secretária. (V e F = F) e) Se Carlos é engenheiro, então Eliane não é secretária. (Se V, então F = F) Alternativa C 15- Partindo das premissas: I. Todo médico é formado em medicina. II. Todo médico é atencioso. III. Ribamar é atencioso. IV. Francisca é funcionária do hospital. Pode-se concluir que: a) Ribamar é funcionário do hospital. b) Francisca e Ribamar são casados. c) Francisca é atenciosa. d) Ribamar é formado em medicina. e) há pessoas atenciosas que são formadas em medicina. 34

36 Devemos marcar a alternativa que seja decorrência lógica das premissas. Por isso faremos diagramas que atendam as premissas, mas que eliminem alternativas. Aquela que não puder ser eliminada por qualquer dos diagramas possíveis, será a alternativa correta. Observe que a premissa IV não tem conexão com as outras. Veja um diagrama relacionando as três primeiras premissas... Analisando as alternativas: a) Ribamar é funcionário do hospital. Não há relação de Ribamar e Hospital...ERRADO b) Francisca e Ribamar são casados. Ridículo. c) Francisca é atenciosa. Nada garante isso....errado d) Ribamar é formado em medicina. O diagrama mostra que é possível que não!...errado e) Há pessoas atenciosas que são formadas em medicina. Não há como negar...correto Alternativa E 16- Considere, abaixo, as afirmações e o valor lógico atribuído a cada uma delas entre parênteses. Ou Júlio é pintor, ou Bruno não é cozinheiro (afirmação FALSA). Se Carlos é marceneiro, então Júlio não é pintor (afirmação FALSA). Bruno é cozinheiro ou Antônio não é pedreiro (afirmação VERDADEIRA). A partir dessas afirmações, a) Júlio não é pintor e Bruno não é cozinheiro. b) Antônio é pedreiro ou Bruno é cozinheiro. c) Carlos é marceneiro e Antônio não é pedreiro. d) Júlio é pintor e Carlos não é marceneiro. e) Antônio é pedreiro ou Júlio não é pintor. 1- Uma Condicional só fica FALSA quando a primeira parte for V e a segunda for F Então, na frase: Se Carlos é marceneiro, então Júlio não é pintor (afirmação FALSA). Temos que: - Carlos é Marceneiro - Júlio é pintor (pois é falso que não é) 2- Uma Disjunção exclusiva é FALSA quando as duas partes são falsas ou quando as duas partes são verdadeiras. Ou Júlio é pintor, ou Bruno não é cozinheiro (afirmação FALSA). Já sabemos que Júlio é pintor, então a primeira parte da Disjunção exclusiva é verdadeira, logo a segunda também será... Bruno não é cozinheiro. Na Disjunção abaixo temos que ter ao menos uma parte verdadeira: Bruno é cozinheiro ou Antônio não é pedreiro (afirmação VERDADEIRA). Mas, Bruno é cozinheiro é falso, logo Antônio não é pedreiro é verdade. Alternativa C 35

37 17- Dizer que Inácio Rios não é sambista ou Mônica Mac não é cantora é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Inácio Rios é sambista, então Mônica Mac não é cantora. b) se Inácio Rios não é sambista, entao Mônica Mac é cantora. c) se Inácio Rios é sambista, entao Mônica Mac é cantora. d) se Mônica Mac é cantora, entao Inácio Rios é sambista. e) se Inácio Rios não é sambista então Mônica Mac nao é cantora. Foi dada uma proposição e pede-se a sua EQUIVALENTE. Para saber se duas proposições são Equivalentes, pode-se negar as duas. Se as negativas forem iguais, as proposições serão Equivalentes. Lembrete: ~ (AvB) = ~A ^ ~B ~(A B) = A ^ ~B Negando a frase dada no texto: ~( Inácio Rios não é sambista ou Mônica Mac não é cantora ) = Inácio Rios é sambista E Mônica Mac é cantora Agora, negaremos as alternativas. Aquela que tiver a MESMA negativa acima, será a correta. a) Se Inácio Rios é sambista, então Mônica Mac não é cantora. Neg. Inácio Rios é sambista E Mônica Mac é cantora. b) Se Inácio Rios não é sambista, então Mônica Mac é cantora. Neg. Inácio Rios não é sambista E Mônica Mac não é cantora. c) Se Inácio Rios é sambista, então Mônica Mac é cantora. Neg. Inácio Rios é sambista E Mônica Mac não é cantora. d) Se Mônica Mac é cantora, então Inácio Rios é sambista. Neg. Mônica Mac é cantora E Inácio Rios não é sambista. e) Se Inácio Rios não é sambista então Mônica Mac não é cantora. Neg. Inácio Rios não é sambista E Mônica Mac é cantora. Alternativa A 18- Considere a afirmação: existem cariocas que não sabem sambar. Se essa afirmação é falsa, então é verdade que: a) nenhuma pessoa que sabe sambar é carioca. b) todo carioca sabe sambar. c) nenhum carioca sabe sambar. d) todas as pessoas que sabem sambar são cariocas. e) nem todos os cariocas sabem sambar. Se uma frase é Falsa, sua NEGATIVA será verdadeira. Por isso, basta negar a frase dada: Neg.( existem cariocas que não sabem sambar.) Existe = Algum A negativa de Algum A é B é Nenhum A é B. Resposta: Nenhum carioca não sabe sambar Como não há essa alternativa, exatamente, observe que pode ser reescrita como: TODO CARIOCA SABE SAMBAR Alternativa B 36

38 19- Se Anamara é médica, então Angélica é médica. Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. Se Andrea é médica, então Anamara é médica. Considerando que as afirmações são verdadeiras, segue- se, portanto, que: a) Anamara, Angélica e Andrea são arquitetas. b) Anamara é médica, mas Angélica e Andrea são arquitetas. c) Anamara, Angélica e Andrea são médicas. d) Anamara e Angélica são arquitetas, mas Andrea é médica. e) Anamara e Andrea são médicas, mas Angélica é arquiteta. Organizando... I- Se Anamara é médica, então Angélica é médica. II- Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. III -Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. IV-Se Andrea é médica, então Anamara é médica. Vamos supor que Anamara é médica seja V. De (I), termos: Angélica é médica De(III) teremos: Andrea não é arquiteta, logo, é médica. Não há contradições. Alternativa C Observação: Se a suposição fosse que Anamara é arquiteta, terminaríamos por descobrir que ela não é arquiteta (Contradição). Experimente!! 20- Durante uma investigação, um detetive recebeu as seguintes afirmações: I. Carlos e Donald são inocentes. II. Beto é culpado ou Carlos é inocente. III. Se Elias é culpado, então Alex é inocente. IV. Se Beto ou Fábio são inocentes, então Giu e Hélio são culpados. V. Alex é inocente. Após analisar fatos, pistas e consultar seus informantes, o detetive concluiu que a afirmação II era falsa, enquanto que a V era verdadeira. Com base nessas conclusões é possível inferir que as afirmações I, III e IV são, respectivamente: a) verdadeira verdadeira verdadeira b) falsa falsa falsa c) verdadeira falsa verdadeira d) verdadeira falsa falsa e) falsa verdadeira verdadeira 37

39 I. Carlos e Donald são inocentes. II. Beto é culpado ou Carlos é inocente. (F) III. Se Elias é culpado, então Alex é inocente. IV. Se Beto ou Fábio são inocentes, então Giu e Hélio são culpados. V. Alex é inocente. (V) Se (II) é falsa, as duas partes são falsas, logo: Beto é inocente Carlos é culpado. (de onde concluímos que (I) é Falsa, pois Carlos é culpado) (III) não pode ser falsa, pois em uma condicional falsa, a primeira parte é V e a segunda é F, o que tornaria Alex culpado, mas sabemos que ele é inocente. Logo, (III) é verdadeira. Já é possível determinar a alternativa. Alternativa E 21- Considere os seguintes conjuntos: P = (x, y, w, z, k} Q = {x, y, m} Assinale a alternativa que contém o conjunto R, sabendo-se que R = {P Q}. a) R = {x, y, w, z, k} b) R = {w, z, k} c) R = {m} d) R = {x, y} e) R = {m, w, z, k} A Intersecção entre dois conjuntos forma novo conjunto, com os elementos que são COMUNS aos dois. No caso: {P Q} = {x,y} Alternativa D 38

40 22- Observe a tabela-verdade a seguir. PROFESSOR IVAN ZECCHIN Essa tabela-verdade representa o funcionamento de 2 sensores x e y em um equipamento, de tal forma que: V = VERDADEIRO, ou seja, o sensor está acionado. F = FALSO, ou seja, o sensor não está acionado. Assinale a alternativa que contém os valores CORRETOS para 1, 2, 3 e 4, considerando-se o Conectivo do tipo OU (x y). a) 1 V, 2 V, 3 V, 4 F b) 1 F, 2 F, 3 F, 4 F c) 1 V, 2 F, 3 V, 4 F d) 1 V, 2 V, 3 F, 4 F e) 1 V, 2 F, 3 F, 4 F É a TABELA-VERDADE do conectivo OU!! V V V F, respectivamente. Alternativa A 23- Sejam dadas as proposições r e s: r: A feijoada é um prato calórico. s: A feijoada possui gorduras. Assinale a alternativa que contém a tradução para a LINGUAGEM CORRENTE, considerando-se uma proposição com conectivo do tipo disjunção (r s). a) A feijoada é um prato calórico se, e somente se, a feijoada possui gorduras b) A feijoada é um prato calórico, então a feijoada possui gorduras c) A feijoada é um prato calórico e a feijoada possui gorduras d) A feijoada é um prato calórico, então a feijoada não possui gorduras e) A feijoada é um prato calórico ou a feijoada possui gorduras v é o conectivo OU, logo... Alternativa E 39