ANÁLISE DO ESCOAMENTO E DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR DE FLUIDOS VISCOELÁSTICOS UTILIZANDO A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA

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1 ANÁLISE DO ESCOAMENTO E DA TRANSERÊNCIA DE CALOR DE LIDOS VISCOELÁSTICOS TILIZANDO A TÉCNICA DA TRANSORMADA INTEGRAL GENERALIZADA Marcelo José Raol Soza Tese de Dotorado apresentada ao Prograa de Pós-Gradação e Engenhara de Recrsos Natras da Aazôna, Insttto de Tecnologa - ITEC, da nersdade ederal do Pará, coo parte dos reqstos necessáros à obtenção do títlo de Dotor e Engenhara de Recrsos Natras. Orentador: Eanel Negrão Macêdo Orentador: Carlos Edlson de A. Manesch Belé Dezebro de

2 ANÁLISE DO ESCOAMENTO E DA TRANSERÊNCIA DE CALOR DE LIDOS VISCOELÁSTICOS TILIZANDO A TÉCNICA DA TRANSORMADA INTEGRAL GENERALIZADA Marcelo José Raol Soza TESE SBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO PROGRAMA DE PÓS- GRADAÇÃO EM ENGENHARIA DE RECRSOS NATRAIS DA AMAZÔNIA (PRODERNA/ITEC) DA NIVERSIDADE EDERAL DO PARÁ COMO PARTE DOS REQISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO TÍTLO DE DOTOR EM ENGENHARIA DE RECRSOS NATRAIS. Aproada por: Prof. Eanel Negrão Macêdo, D.Sc. (EQ/PA-Orentador) Prof. Carlos Edlson de Aleda Manesch, Ph.D. (EM/PA-Orentador) Prof. João Nazareno Nonato Qaresa, D.Sc. (EQ/PA) Prof. João Ales de La, D.Sc. (DEM/RN) Prof. Lz Marano Perera, D.Sc. (CENMEC/NIVAS) Prof. Erb errera Lns, D.Sc. (EM/PA) BELÉM, PA BRASIL DEZEMBRO DE

3 Dados Internaconas de Catalogação na Pblcação (CIP) Insttto de Tecnologa/Prograa de Pós-gradação e Engenhara de Recrsos Natras da Aazôna Soza, Marcelo José Raol Análse do escoaento e da transferênca de calor de fldos scoelástcos tlzando a técnca da transforada ntegral generalzada/marcelo José Raol Soza; orentadores, Eanel Negrão Macêdo, Carlos Edlson de Aleda Manesch. - Belé, Tese (Dotorado) nersdade ederal do Pará. Insttto de Tecnologa. Prograa de Pós-gradação e Engenhara de Recrsos Natras da Aazôna,. Escoaento. Transferênca de Calor. ldos scoelástcos 4. Técnca da Transforada Integral Generalzada I. Títlo CDD. ed. 66.8

4 AGRADECIMENTOS A Des por ter e dado da e sabedora para tentar entender ndo anda neplorado da natreza qe nos cerca. Ao e aô e ídolo Aleo Caetano de Soza (n eoran), pos ses ensnaentos anda trago cogo e e ota sobreanera a qalqer desafo qe a da e põe. A nha aó e otadora Mara da Conceção da Sla Soza (n eoran), qe co sa sabedora e deternação sobe condzr es passos nos canhos árdos da bsca do conhecento. A nha lher Roseare da Sla e Sla qe e copreende, de força e carnho nas adrgadas nternáes e qe e entregaa à bsca da erdade nas entrelnhas da cênca. Aos es flhos Alan Rodrgo Sla Soza, Maríco Renor Sla Soza, Marcelle Crstne Sla Soza e Aanda Júla e Sla Soza pela copressão da asênca neste proeto de da. Ao e orentador e ago Eanel Negrão Macêdo qe co sa splcdade, orentação e copreensão e condzra ao térno de as trabalho. Ao e ago João Nazareno Nonato Qaresa pelas sábas orentações nos oentos dfíces do trabalho. Aos agos José Antôno de Castro e Sla e Cléo Márco Araúo pelo ncento nos longos papos regados a ta cerea nos botecos Beleenses. Aos Professores Cládo alho, Cládo Blanco, Ealdne, José Antôno e Erb Lns pelas dscssões elcdatas sobre pesqsa, ada no processo de eqaconaento e leantaento bblográfco.

5 Aos agos do PRODERNA, Bené, Claderno, Nelson, Carlos Célo, Sl, Edlson, Jean, Palão, Inaldo, Lz, Sr. Rbaar, Cléer pelo ncento e ada no térno do trabalho. Ao e copadre e ago Pedro Palo Qeróz por e esctar e e ncentar neste proeto de da qe coeço a ser delneado no níco do ano de 5 e tee sa conclsão e Dezebro de. Aos sadosos agos da operação, antenção e engenhara da Jar Cellose por acredtare na conclsão deste proeto. Aos professores da EPA André Cleentno, Sandro Mesqta, Manel de Pala, Jorge onseca, João Sandoal e Glace Karen por acredtare no potencal de caboclo araoara. A todos qe de alga fora contrbíra para o térno do trabalho.

6 Reso da Tese apresentada ao PRODERNA/PA coo parte dos reqstos necessáros para a obtenção do títlo de Dotor e Engenhara de Recrsos Natras (D.Eng.) ANÁLISE DO ESCOAMENTO E DA TRANSERÊNCIA DE CALOR DE LIDOS VISCOELÁSTICOS TILIZANDO A TÉCNICA DA TRANSORMADA INTEGRAL GENERALIZADA Marcelo José Raol Soza Dezebro/ Orentador: Eanel Negrão Macêdo Orentador: Carlos Edlson de Aleda Manesch Área de Concentração: Transforação de Recrsos Natras Neste trabalho, três probleas de escoaento e transferênca de calor de fldos não newtonanos scoelástcos fora estdados atraés da aplcação da Técnca da Transforada Integral Generalzada. O prero problea abordado analsa o escoaento e a transferênca de calor de fldo scoelástco de segndo gra sobre a placa plana e estraento contíno lnear, onde a placa está seta à neção o scção. O segndo problea analsa o escoaento e a transferênca de calor de fldo scoelástco de tercero gra na regão de entrada de canal de placas paralelas co neção e scção sltâneas. O tercero problea analsa o escoaento e a transferênca de calor de fldo scoelástco de segndo gra odfcado na regão de entrada de canal de placas paralelas co neção o scção. E todos os probleas, eqações dferencas parcas de caada lte são tlzadas para analsar os fenôenos. Para cada problea, as eqações de caada lte são transforadas e sstea de eqações dferencas ordnáras pelo so da Técnca da Transforada Integral Generalzada. A solção dos ssteas de eqações obtdos nos três probleas é realzada pelo so de rotnas nércas. Resltados para o capo de elocdade e teperatra para os três probleas e fnção de parâetros de nteresse são dsctdos e coparados co a lteratra dsponíel.

7 Abstract of Thess presented to PRODERNA/PA as a partal flfllent of the reqreents for the degree of Doctor of Natral Resorces Engneerng (D.Eng.) LOW AND HEAT TRANSER ANALISS O VISCOELASTICS LIDS SING GENERALIZED INTEGRAL TRANSORM TECHNIQE Marcelo José Raol Soza Deceber/ Adsor: Eanel Negrão Macêdo Adsor: Carlos Edlson de Aleda Manesch Research Area: Transforaton of Natral Resorces In ths wor three probles of flow and heat transfer of non-newtonan scoelastc flds were stded throgh applcaton of the Generalzed Integral Transfor Technqe. The frst approached proble analzes the flow and the transfer of heat of a second grade scoelastc fld on a planan plate n lnear contnos stretchng, where the plate s sbect to necton or scton. The second proble analzes the flow and the heat transfer of a thrd grade scoelastc fld n the entrance of a channel of parallel plates wth necton and scton sltaneos. The thrd proble analzes the flow and the heat transfer of a odfed second grade scoelastc fld n the entrance of a channel of parallel plates wth necton or scton. In all probles, partal dfferental eqatons of bondar laer are sed to analze the phenoenon. The bondar laer eqatons are transfored n an ordnar dfferental eqatons sste for the se of the Generalzed Integral Transfor Technqe. The solton of the eqatons sstes obtaned n the three probles s accoplshed b the se of nerc rotnes. Reslts for the eloct and teperatre feld for the three probles n fncton of paraeters of nterest are dscssed and copared wth the aalable lteratre.

8 SMÁRIO CAPÍTLO INTRODÇÃO.... MOTIVAÇÃO.... OBJETIVOS OBJETIVO GERAL OBJETIVOS ESPECÍICOS SÍNTESE DO TRABALHO... 7 CAPÍTLO A TÉCNICA DA TRANSORMADA INTEGRAL GENERALIZADA... CAPÍTLO - ESCOAMENTO E TRANSERÊNCIA DE CALOR DE M LIDO DE SEGNDO GRA SOBRE MA PLACA PLANA ESTIRADA COM INJEÇÃO O SCÇÃO INTRODÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁICA DEINIÇÃO DO PROBLEMA EQAÇÃO CONSTITTIVA PARA LIDO VISCOELÁSTICO DE SEGNDO GRA EQAÇÕES DE CONSERVAÇÃO DA MASSA, QANTIDADE DE MOVIMENTO E ENERGIA PARA O ESCOAMENTO DE M LIDO DE SEGNDO GRA EQAÇÕES DE CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA E TÉRMICA..4 - DETERMINAÇÃO DE CORRELAÇÃO PARA ESTIMAR A ESPESSRA DE CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS EQAÇÕES DE CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA E TÉRMICA TRANSORMAÇÃO DE ESCALA SOLÇÃO VIA GITT ALGORITMO COMPTACIONAL RESLTADOS E DISCSSÃO CAMPO DE VELOCIDADE CAMPO DE TEMPERATRA ESTIMATIVA DE ESPESSRA DE CAMADA LIMITE

9 HIDRODINÂMICA CONCLSÃO 8 CAPÍTLO 4 - ESCOAMENTO E TRANSERÊNCIA DE CALOR DE M LIDO DE TERCEIRO GRA NA REGIÃO DE ENTRADA DE M CANAL DE PLACAS PARALELAS COM INJEÇÃO E SCÇÃO SIMLTÂNEAS INTRODÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁICA DEINIÇÃO DO PROBLEMA EQAÇÃO CONSTITTIVA PARA M LIDO VISCOELÁSTICO DE TERCEIRO GRA EQAÇÕES DA CONSERVAÇÃO DA MASSA, QANTIDADE DE MOVIMENTO E ENERGIA PARA O ESCOAMENTO DE M LIDO DE TERCEIRO GRA EQAÇÕES DE CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA E TÉRMICA ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS EQAÇÕES DE CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA E TÉRMICA ORMLAÇÃO DA CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA E TÉRMICA POR NÇÃO CORRENTE SOLÇÃO VIA GITT ALGORITMO COMPTACIONAL RESLTADOS E DISCSSÃO CAMPO DE VELOCIDADE CAMPO DE TEMPERATRA CONCLSÃO... 4 CAPÍTLO 5 - ESCOAMENTO E TRANSERÊNCIA DE CALOR DE M LIDO DE SEGNDO GRA MODIICADO NA REGIÃO DE ENTRADA DE M CANAL DE PLACAS PARALELAS COM INJEÇÃO O SCÇÃO INTRODÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁICA DEINIÇÃO DO PROBLEMA EQAÇÃO CONSTITTIVA PARA M LIDO VISCOELÁSTICO

10 DE SEGNDO GRA MODIICADO EQAÇÕES DA CONSERVAÇÃO DA MASSA, QANTIDADE DE MOVIMENTO E ENERGIA PARA O ESCOAMENTO DE M LIDO DE SEGNDO GRA MODIICADO EQAÇÕES DE CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA E TÉRMICA ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS EQAÇÕES DE CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA E TÉRMICA ORMLAÇÃO DA CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA E TÉRMICA POR NÇÃO CORRENTE SOLÇÃO VIA GITT ALGORITMO COMPTACIONAL RESLTADOS E DISCSSÃO CAMPO DE VELOCIDADE CAMPO DE TEMPERATRA CONCLSÃO... 9 CAPÍTLO 6 - CONCLSÕES E SGESTÕES REÊRENCIAS BIBLIOGRÁICAS APÊNDICE I... 8 APÊNDICE II... 7 APÊNDICE III... 8 APÊNDICE IV... 6 APÊNDICE V... 4

11 LISTA DE IGRAS gra. Esqea básco do processo de secage de cellose... 4 gra. Dferença de tensões noras para fldos scoelástcos (Solção,5 % PIB) (MAGNO, 998)... 7 gra. Esqea básco da foração das caadas ltes hdrodnâca e térca ndzdo pelo estraento da placa plana seta a neção o scção... 6 gra. a) Esqea de foração da espessra da caada lte hdrodnâca no escoaento sobre a placa plana e reposo; b) Esqea de foração da caada lte hdrodnâca no escoaento ndzdo por a placa plana estrada (onte: PAPANASTASIO et al., ; adaptado)... 6 gra.4 Esqea de escoaento de fldo sobre placa plana seta a ação de forças gas e de sentdo opostos... 4 gra.5 Esqea de escoaento de fldo sobre placa plana estrada de bocal etrsor (onte: SRMA DEVI e NATH, 99; adaptado)... 4 gra.6 Perfs da coponente de elocdade adensonalzada para as caadas ltes hdrodnâcas de BLASIS e SAKIADIS (onte: PAPANASTASIO et al., ; adaptado)... 7 gra.7 Coparação entre perfs de elocdade da coponente V calclados no presente trabalho e dsponíes na lteratra para áros alores de K na posção gra.8 Perfs de elocdade da coponente para as posções,,,5 e, co K, e gra.9 Perfs de elocdade da coponente para as posções,,,5 e, co K e gra. Perfs de elocdade da coponente V para áros alores de e K gra. Coparação entre os perfs de teperatra adensonal obtdos pela GITT e a lteratra dsponíel para áros alores de K co Pr e... 74

12 gra. Coparação entre os perfs de teperatra adensonal obtdos pela GITT e a lteratra dsponíel para áros alores de Pr co K e gra. Perfl de teperatra e fnção da elocdade de neção/scção co K e Pr gra 4. Relações típcas entre tensão de csalhaento e taa de deforação e fldos não newtonanos co coportaento psedoplástco o dlatante gra 4. Geoetra da foração da caada lte e sstea de coordenadas do problea analsado gra 4. Coparação entre o perfl de elocdade copletaente desenoldo obtdo pela GITT e o trabalho de ARIEL () para o caso newtonano e R,5... gra 4.4 Perfs de elocdade no canal para áras posções aas e áros alores do parâetro scoelástco K, co K e R, gra 4.5 Perfs de elocdade no canal para áras posções aas e áros alores do parâetro scoelástco K, co K, e R, gra 4.6 Perfs de elocdade no canal para áras posções aas e áros alores do parâetro scoelástco K, co K, e R, gra 4.7 Perfs de elocdade no canal para áras posções aas e áros alores de neção e scção sltâneas, co K, e K gra 4.8 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, K. -7, Ec, R,, arando Pr... 4 gra 4.9 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, K. -7, Ec,, R,, arando Pr... 4 gra 4. Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, K. -7, Pr,8, R,, arando Ec... 6

13 gra 4. gra 4. gra 4. gra 4.4 gra 4.5 gra 4.6 gra 5. gra 5. gra 5. gra 5.4 gra 5.5 gra 5.6 gra 5.7 gra 5.8 gra 5.9 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, K. -7, Pr,8, R,, arando Ec... 6 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, K. -7, Pr 5, Ec, arando R... 7 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, K. -7, Pr 5, Ec,, arando R.. 7 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, Pr,8, Ec,, R,5, arando K. 8 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, Pr 5, Ec,, R,5, arando K... 8 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K, Pr, Ec,, R,, arando K... 9 Geoetra da foração da caada lte e sstea de coordenadas do problea analsado Coparação entre o perfl de elocdade nas regões de entrada e copletaente desenolda obtdo pela GITT e o trabalho de MAGNO (998) para o caso n, Coparação entre o perfl de elocdade nas regões de entrada e copletaente desenolda obtdo pela GITT e o trabalho de MAGNO (998) para o caso n Perfs de elocdade no canal para áras posções aas e áros alores de n, co K, e R, Perfs de elocdade no canal para áras posções aas e áros alores de n, co K, e R.-, Perfs de elocdade no canal para áras posções aas e áros alores de K co n,8 e R Perfs de elocdade no canal para áras posções aas e áros alores de K co n,4 e R... 8 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, n,8, Ec, R,, arando Pr Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, n,8, Ec, R -,, arando Pr.. 89

14 gra 5. gra 5. gra 5. gra 5. gra 5.4 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, n,4, Ec, R,, arando Pr... 9 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, n,4, Ec, R -,, arando Pr.. 9 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, n,8, Pr,8, Ec,, co neção o scção... 9 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para K,, n,4, Pr 5, Ec,, co neção o scção... 9 Desenolento do capo de teperatra ao longo da coordenada aal para n,8, Pr,8, Ec,, R, (scção), arando K... 9

15 LISTA DE TABELAS Tabela. Conergênca dos potencas de elocdade e teperatra para e fnção de para NV NT 48, K,, R, Pr, d,5 na posção, e, Tabela. Conergênca dos potencas de elocdade e teperatra para e fnção de para NV NT 48, K, R, Pr, d,4 na posção, e, Tabela. Conergênca da coponente de elocdade (-) V(, ) e fnção de para áras posções de co K,, e d, Tabela.4 Conergênca da coponente de elocdade (, ) e fnção de para áras posções de co K,, e d, Tabela.5 Conergênca da coponente de elocdade (-) V(, ) e fnção de para áras posções de co K, e d, Tabela.6 Conergênca da coponente de elocdade (, ) e fnção de para áras posções de co K, e d, Tabela.7 Conergênca da coponente de elocdade (-) V(, ) e fnção de para áras posções de co K, - (placa co scção) e d, Tabela.8 Conergênca da coponente de elocdade (-) V(, ) e fnção de para áras posções de co K,, (placa co neção) e d, Tabela.9 Conergênca do potencal de teperatra adensonal Ɵ(, ) e fnção de para áras posções de co K,,, Pr e d, Tabela. Conergênca do potencal de teperatra adensonal Ɵ(, ) e fnção de para áras posções de co K,, Pr e d, Tabela. Conergênca do potencal de teperatra adensonal Ɵ(, ) e fnção de para áras posções de co K, -, Pr.5 e d, Tabela. Conergênca do potencal de teperatra adensonal Ɵ(, ) e fnção de para áras posções de co K,,, Pr e d

16 Tabela. Resltados para as condções de contorno sétrcas e, e, Tabela.4 Valores da coponente de elocdade V e fnção do parâetro scoelástco K obtdos por solção eata (ARIEL, 995) Tabela.5 Erros relatos da espessra de caada lte hdrodnâca entre os alores de ARIEL (995) e os calclados pela eqação (.8) para áros alores de K... 8 Tabela 4. Conergênca da coponente de elocdade no centro do canal para K,, K e áros alores de R... 5 Tabela 4. Conergênca da coponente de elocdade no centro do canal para K,, K e áros alores de R... 6 Tabela 4. Conergênca da coponente de elocdade no centro do canal para K,, K e áros alores de R... 7 Tabela 4.4 Conergênca da coponente de elocdade no centro do canal para K,, K. -5 e áros alores de R... 8 Tabela 4.5 Conergênca da coponente de elocdade no centro do canal para K,, K. -5 e áros alores de R... 9 Tabela 4.6 Conergênca da coponente de elocdade no centro do canal para K,, K. -5 e áros alores de R... Tabela 4.7 Conergênca da teperatra adensonal no centro do canal para Pr,8, Ec, K,, K. -5 e áros alores de R... Tabela 4.8 Conergênca da teperatra adensonal no centro do canal para Pr,8, Ec,, K,, K. -5 e áros alores de R... Tabela 4.9 Conergênca da teperatra adensonal no centro do canal para Pr 5, Ec, K,, K. -5 e áros alores de R... Tabela 4. Conergênca da teperatra adensonal no centro do canal para Pr 5, Ec,, K,, K. -5 e áros alores de R... Tabela 5. Conergênca da coponente de elocdade no centro do canal para K,, n,8 e alores de neção e scção... 7 Tabela 5. Conergênca da coponente de elocdade no centro do canal para K,, n,4 e alores de neção e scção... 7 Tabela 5. Conergênca da coponente de elocdade no centro do canal para K,, n,8 e alores de neção e scção... 7

17 Tabela 5.4 Conergênca da coponente de elocdade no centro do canal para K,, n,4 e alores de neção e scção Tabela 5.5 Conergênca da teperatra adensonal no centro do canal para Pr,8, Ec, K,, n,8 e alores de neção e scção... 8 Tabela 5.6 Conergênca da teperatra adensonal no centro do canal para Pr,8, Ec, K,, n,4 e alores de neção e scção... 8 Tabela 5.7 Conergênca da teperatra adensonal no centro de canal para Pr,8, Ec,, K,, n,8 e alores de neção e scção... 8 Tabela 5.8 Conergênca da teperatra adensonal no centro do canal para Pr,8, Ec,, K,, n,4 e alores de neção e scção Tabela 5.9 Conergênca da teperatra adensonal no centro do canal para Pr 5, Ec, K,, n,8 e alores de neção e scção Tabela 5. Conergênca da teperatra adensonal no centro do canal para Pr 5, Ec, K,, n,4 e alores de neção e scção Tabela 5. Conergênca da teperatra adensonal no centro do canal para Pr 5, Ec,, K,, n,8 e alores de neção e scção Tabela 5. Conergênca da teperatra adensonal no centro de canal para Pr 5, Ec,, K,, n,4 e alores de neção e scção... 88

18 NOMENCLATRA DO CAPÍTLO A Constante de proporconaldade na eqação (.) A n Tensores cneátcos de Rln-Ercsen * A Coefcente defndo na eqação (.85) a Coefcente defndo na eqação (.9.a) B Constante de proporconaldade na eqação (.) B Coefcente defndo na eqação (.86) B b Tensor qe representa a força de corpo Coefcente defndo na eqação (.9.b) C Coefcente defndo na eqação (.) c p c c Calor específco do fldo Coefcente defndo na eqação (.95.a) Constante de estraento da placa D Coefcente defndo na eqação (.) D d d Parte sétrca do tensor deforação Parâetro de aste de escala Coefcente defndo na eqação (.95.b) E Coefcente defndo na eqação (.) Err Cálclo do erro relato defndo na eqação (.9) e, e, e, e d Versores das coponentes do tensor Gradente deforação Parâetro de estdo qe representa stações de neção o scção / Re ( V ) cl Coefcente defndo na eqação (.9) * G g Matrz dos coefcentes * A, C, D Matrz dos coefcentes B e E Coefcente defndo na eqação (.5.a) H Coefcente defndo na eqação (.96) h I Coefcente defndo na eqação (.5.b) Tensor Identdade Condtbldade térca do fldo

19 Parâetro densonal Vscoelástco de estdo Re K Parâetro adensonalzado Vscoelástco de Estdo ( K ) L Coprento característco da placa N Orde do trncaento onde se aala os coefcentes a e b N NT NV M Nora da atofnção do problea alar de elocdade defnda na eq. (.7) Orde do trncaento do sstea de eqações dferencas ordnáras para o capo de teperatra fltrado Orde do trncaento do sstea de eqações dferencas ordnáras para o capo de elocdade fltrado Nora da atofnção do problea alar de teperatra defnda na eq. (.77) P, p Pressão densonal P * Pressão odfcada defnda pela eqação (.) P Coefcente defndo na eqação (.) Pr Nero de Prandt Q Coefcente defndo na eqação (.) q Taa de calor por condção na eqação da energa q s onte de calor na eqação da energa R Coefcente defndo na eqação (.) Re Nero de Renolds r S s T t T w T T t,, Coefcente defndo na eqação (.7.a) Tensor cneátco generalzado Coefcente defndo na eqação (.7.b) Tensor Tensão Coefcente defndo na eqação (.9.a) Teperatra da sperfíce da placa Teperatra do fldo dstante da placa (no nfnto) Teperatra do fldo densonal Tepo Coordenadas cartesanas e notação ndcal, Coordenadas cartesanas densonas, Coordenadas cartesanas adensonas L

20 ~ ~ * V,, V Coponente densonal do etor elocdade na dreção Coefcente defndo na eqação (.9.b) Coponente adensonal do etor elocdade na dreção Velocdade na borda da caada lte (SAKIADIS) Potencal fltrado para o capo de elocdade Transforada ntegral do capo de elocdade defndo na eqação (.79) ltro para o potencal do capo de elocdade Energa nterna específca do fldo Velocdade na borda da caada lte (BLASIS) Coponente densonal do etor elocdade na dreção Coponente adensonal do etor elocdade na dreção Coponentes de elocdade e notação ndcal Vetor qe representa o capo de elocdade Velocdade de neção o scção na placa * V Coefcente defndo na eqação (.64) LETRAS GREGAS DO CAPÍTLO α α β Parâetro Vscoelástco qe representa a prera dferença de tensão noral Parâetro Vscoelástco qe representa a segnda dferença de tensão noral Parâetros Vscoelástcos ateras de fldos de tercero gra Γ Atofnção do problea de atoalor (.7) Γ ~ δ δ * Atofnção Noralzada do problea alar para capo de teperatra Espessra de caada lte hdrodnâca Espessra de caada lte hdrodnâca adensonal Varáel adensonal defnda na eqação (.4) θ ~ θ Capo de teperatra adensonal Potencal fltrado para o capo de teperatra

21 ~ θ Transforada ntegral do capo de teperatra defndo na eqação (.8) θ p ltro para o potencal do capo de teperatra κ Dfsdade térca λ Atoalores para o problea alar do capo de teperatra eq. (.7) µ Vscosdade dnâca do fldo scoelástco de segndo gra µ Atoalores para o problea alar do capo de elocdade eq. (.67) ν Vscosdade cneátca do fldo ξ Coordenada adensonalzada na fgra.6 ξ ν ρ Massa específca do fldo ψ Atofnção do problea de atoalor (.67) ψ ~ Atofnção Noralzada do problea alar para capo de elocdade

22 NOMENCLATRA DO CAPÍTLO 4 A n Tensores cneátcos de Rln-Ercsen A Coefcente defndo na eqação (4.8) B Coefcente defndo na eqação (4.8) a d c p Dfsdade térca Calor específco do fldo C Coefcente defndo na eqação (4.94) D Parte sétrca do tensor deforação D Coefcente defndo na eqação (4.95) e, e, e, e Versores das coponentes do tensor E Coefcente defndo na eqação (4.96) Ec Nero de Ecert 4 5 G G h I K K K nção defnda na eqação (4.6.a) nção defnda na eqação (4.6.b) nção defnda na eqação (4.6.c) nção defnda na eqação (4.6.d) nção defnda na eqação (4.6.e) Constante de ntegração da fnção corrente na parede nferor do canal Constante de ntegração da fnção corrente na parede speror do canal Altra do canal, densonal Tensor Identdade Condtbldade térca do fldo Parâetro densonal Vscoelástco de estdo Parâetro densonal Vscoelástco de estdo Parâetro adensonal Vscoelástco de estdo Parâetro adensonal Vscoelástco de estdo Parâetro adensonal Vscoelástco de estdo M Nora da atofnção de teperatra defnda na eqação (4.7) N Nora da atofnção de fnção de corrente defnda na eqação (4.67) p Pressão densonal P Pressão adensonal Pe Nero de Peclet P * Pressão odfcada defnda pela eqação (4.)

23 q Taa de calor por condção na eqação da energa q a Q Re R V T T w T T t *,, Vazão adensonalzada Vazão por profnddade ntára no nteror do canal (densonal) Nero de Renolds Relação de elocdade Tensor Tensão para fldo de tercero gra Teperatra das paredes do canal Teperatra do fldo na entrada do canal Teperatra Tepo Energa nterna específca do fldo Coponente densonal do etor elocdade na dreção Coponente adensonal do etor elocdade na dreção Velocdade do fldo na entrada do canal Coordenadas cartesanas e notação ndcal, Coordenadas cartesanas densonas, Coordenadas cartesanas adensonas Coponente densonal do etor elocdade na dreção Vetor qe representa o capo de elocdade V Coponente adensonal do etor elocdade na dreção V Velocdade transersal no canal LETRAS GREGAS DO CAPÍTLO 4 α α β Parâetro Vscoelástco qe representa a prera dferença de tensão noral Parâetro Vscoelástco qe representa a segnda dferença de tensão noral Parâetros Vscoelástcos ateras de fldos de tercero gra Γ Atofnção do problea (4.69) Γ ~ Atofnção noralzada defnda na eqação (4.74) δ θ Espessra de caada lte hdrodnâca Teperatra adensonal

24 ~ θ Transforada ntegral defnda na eqação (4.77) λ Atoalores do problea (4.69) µ Vscosdade dnâca do fldo µ Atoalores do problea (4.6) ν ρ Vscosdade cneátca do fldo Massa específca do fldo Potencal fltrado defndo na eqação (4.4) ~ Transforada ntegral defnda na eqação (4.75) ψ ψ nção corrente do capo de elocdade nção corrente do capo de elocdade copletaente desenoldo Ω Atofnção do problea de atoalor (4.6) Ω ~ Atofnção noralzada defnda na eqação (4.68)

25 NOMENCLATRA DO CAPÍTLO 5 A n Tensores cneátcos de Rln-Ercsen A Coefcente defndo na eqação (5.95) b,n Índces Power Law B Coefcente defndo na eqação (5.96) * B a d c p Coefcente defndo na eqação (5.97) Dfsdade térca Calor específco do fldo C Coefcente defndo na eqação (5.9) D Parte sétrca do tensor deforação D Coefcente defndo na eqação (5.) e, e, e, e Versores das coponentes do tensor E Coefcente defndo na eqação (5.) Ec Nero de Ecert G, G h I K K K * nção defnda na eqação (5.74.a) nção defnda na eqação (5.74.b) nção defnda na eqação (5.74.c) nção defnda na eqação (5.74.d) nção defnda na eqação (5.74.e) nção defnda na eqação (5.74.f) nção defnda na eqação (5.74.g) Constantes de ntegração da fnção de corrente etade da altra do canal, densonal Tensor Identdade Condtbldade térca do fldo Parâetro densonal Vscoelástco de estdo Parâetro densonal Vscoelástco de estdo Parâetro adensonal Vscoelástco de estdo Parâetro adensonal Vscoelástco de estdo Índce de consstênca do fldo no odelo Power law M Nora da atofnção de teperatra defnda na eqação (5.87) N Nora da atofnção de fnção corrente defnda na eqação (5.8) p Pressão densonal

26 P Pressão adensonal Pe Nero de Peclet Pr Nero de Prandt P * Pressão odfcada defnda pela eqação (5.4) q Taa de calor por condção na eqação da energa q a Q Re R V T T w T T t *,, Vazão adensonalzada Vazão por profnddade ntára no nteror do canal (densonal) Nero de Renolds Relação de elocdade Tensor Tensão para fldo de segndo gra odfcado Teperatra das paredes do canal Teperatra do fldo na entrada do canal Teperatra Tepo Energa nterna específca do fldo Coponente densonal do etor elocdade na dreção Coponente adensonal do etor elocdade na dreção Velocdade do fldo na entrada do canal Coordenadas cartesanas e notação ndcal, Coordenadas cartesanas densonas, Coordenadas cartesanas adensonas Coponente densonal do etor elocdade na dreção Vetor qe representa o capo de elocdade V Coponente adensonal do etor elocdade na dreção V Velocdade de neção o scção nas paredes do canal LETRAS GREGAS DO CAPÍTLO 5 α α Parâetro Vscoelástco qe representa a prera dferença de tensão noral Parâetro Vscoelástco qe representa a segnda dferença de tensão noral Γ Atofnção do problea (5.8)

27 Γ ~ Atofnção noralzada defnda na eqação (5.88) δ θ ~ θ Espessra de caada lte hdrodnâca Capo de teperatra adensonal Transforada ntegral defnda na eqação (5.9) λ Atoalores do problea (5.8) µ Vscosdade dnâca do fldo µ Atoalores do problea (5.75) ν ρ Vscosdade cneátca do fldo Massa específca do fldo Potencal fltrado defndo na eqação (5.6) ~ Transforada ntegral defnda na eqação (5.89) ψ ψ nção corrente do capo de elocdade nção corrente do capo de elocdade copletaente desenoldo Ω Atofnção do problea de atoalor (5.75) a (5.77) Ω ~ Atofnção noralzada defnda na eqação (5.8)

28 CAPÍTLO INTRODÇÃO.-MOTIVAÇÃO Atalente a regão aazônca passa por processo de ndstralzação, a ez qe, ses recrsos natras abndantes e tas ezes anda neplorados, chaa a atenção de epreendedores qe neste na constrção de plantas fabrs obetando transforar tas recrsos e prodtos útes para a socedade. Entretanto, esta transforação da realdade aazônca ne sepre e acopanhada co benefícos para sa poplação. É o qe se erfca, prncpalente, no lançaento de resídos ndstras sóldos, líqdos e gasosos para o eo abente aazônco se nenh trataento adeqado. No entanto, este tpo de attde por parte da aora das epresas localzadas na regão pode ser etado qando se adqre o total doíno dos ses processos. Edenteente, sto não pode ser realzado soente co eperêncas na própra planta, pos a possbldade de erros técnco e hano é bastante potencalzado e rtde da grande qantdade de aráes enoldas e processo fabrl. Sendo ass, tlzar étodos qe perta o gerencaento das aráes enoldas perte aos técncos o total gerencaento das ndades fabrs, etando contanação do eo abente, acdentes e redção de csto. a prátca qe e ganhando espaço nas fábrcas é a tlzação de ferraentas coptaconas, tanto na spersão do processo, qanto no se controle. No entanto, e algns tpos de processo, soente a tlzação destas ferraentas, geralente planlhas de controle de aráes e ssteas spersóros, não é sfcente para entender de fora satsfatóra o qe está ocorrendo na planta. a anera de contornar esta stação é a tlzação de étodos as elaborados, qe sa tratar o problea sob ses aspectos físcos as releantes co posteror so de ferraentas coptaconas na solção dos odelos ateátcos obtdos, o sea: so de étodos analítcos, étodos nércos o étodos híbrdos. Co sto é possíel conhecer o processo de fora as profnda e anda crar nterfaces

29 de alentação de dados gerados pelos étodos de fora a pertr a copleta copreensão e controle das ndades fabrs. Tendo e sta esta probleátca na regão, o presente trabalho é otado no desenolento de códgos de slação para copreensão de fenôenos físcos, qícos e físco-qícos qe ocorre no escoaento de fldos ndstras e na bsca da elhora efeta da efcênca das fábrcas a partr de slações realzadas co códgos coptaconas própros o coercas. Estes pontos são bastante otadores para engenheros, tendo e sta o atal cenáro fabrl qe a Aazôna se encontra, pos há necessdade de agregação de alor aos ses recrsos natras se, entretanto, polr. Portanto, ter profssonas qe na a pesqsa acadêca co a necessdade das ndústras na referda regão, lea a a stação as confortáel no sentdo de otzação de processos fabrs, e, conseqüenteente, a enor essão de eflentes para o eo abente aazônco. A aora dos probleas qe srge nas ndades fabrs está assocada ao escoaento de fldos, qe são to cons e processos ndstras. Grande parte dos escoaentos destes fldos são odelados coo fldos newtonanos e os resltados são satsfatóros. No entanto, este processos e qe o escoaento do fldo não obedece à le newtonana. Ass, é necessára a bsca de otros odelos constttos qe elhore a copreensão de tas escoaentos. Estes odelos constttos, desenoldos para caracterzar fldos qe foge à abordage newtonana, são chaados odelos de fldos não-newtonanos. Os as cons são fldos qe obedece a le da potênca Power Law, plástcos de Bngha, Herchell- Blle, fldos reopétcos, fldos totrópcos. No entanto, a classe de fldo não newtonano e ganhando atenção especal nos últos anos: são os fldos scoelástcos. Estes fldos apresenta propredades elástcas e scosas e, tas das ezes é o odelo escolhdo para descreer característcas de deternados tpos de escoaentos, coo eeplos: o escoaento e dtos de néro dlído, etrsão de fos e placas polércas, processos de etrsão, fação de fbras polércas, fabrcação de placas de borracha e plástco, fabrcação de recpentes de dro/plástco, bobeaento de solções polércas para controlar o ph de ága de calderas de alta pressão e o controle de áco e esas planas na foração de folha de cellose.

30 E teros de regão aazônca, tas são as ndades fabrs onde se erfca o escoaento de fldos não newtonanos o qe pode ser odelados coo tal. No dstrto ndstral de Mngba, localzado no Noroeste do estado do Pará, estão localzadas das epresas onde a copreensão do escoaento de fldos não newtonanos são tas para o scesso de sas operações. No caso da epresa de fabrcação de cellose, entre as áras stações de escoaento do referdo fldo podese destacar a foração da folha de cellose. A cellose, co sa característca polérca, ege a copreensão de sa coposção assocada às aráes de processo, o sea, assa específca do fldo, elocdade de neção da cellose e ca da esa plana receptora/foradora da folha, controle da scção (áco) na esa foradora da folha de cellose de fora a pertr neste estágo a secage as efcente, dade da cellose. Consderando soente o processo de secage de cellose a fgra. ostra qe a cellose antes de ser seca é preraente deprada, após a depração a esa é arazenada co obeto de absorer fltações no processo e desta anera etar nterrpções na prodção. a ez a polpa de cellose arazenada nos tanqes, a esa é bobeada até a caa de entrada, nesta caa a polpa é dstrbída e netada atraés de bcos e ca da esa receptora, nesta etapa do processo é feto áco co obeto de retrar parte da ága da polpa qe é coposta de fbras de cellose e ága. Percebe-se aí, escoaento e eo poroso, pos a ága percorre os poros forados pela polpa sob ação de áco. a ez retrada esta parte de ága, a folha parcalente seca é erfcada no fnal da esa plana e entrada das prensas, qe tabé te obeto de retrar ága sob ação ecânca de clndros prensadores, fnalente a secage é ternada co a folha de cellose sendo sbetda a ação do calor co obeto de refnar a retrada de ága e obter a cellose co teores de dade abao de %. Na seqênca a fgra. ostra o esqea do processo de corte da folha de cellose e tabé o enfardaento. Vale ressaltar qe o processo de secage é egdo qando o clente solcta a cellose seca, há clentes qe fabrca prodtos qe necessta de cellose e polpa. Neste últo caso a análse de escoaentos e trocas tércas no processo de transporte da polpa aenta e copledade, pos e todo o processo, a polpa é consderada coo fldo não newtonano. Anda no processo de fabrcação de cellose pode-se destacar a copreensão dos fenôenos qe ocorre nas descargas das bobas de cellose dlída e o entpento dos dtos de Selt (Sas NaOH) qe anda são desafo aos engenheros qe trabalha na área.

31 gra. Esqea básco do processo de secage de cellose. No caso da epresa benefcadora de Cal, o grande problea são os entpentos nos nerodtos, decorrentes do transporte do Cal da na até a ndade fabrl, os entpentos são casados prncpalente pela sedentação do ateral na parte nclnada da tblação dedo a parada da boba o sedentação ecessa do ateral. Anda, não se chego a a conclsão do por qe deste problea, as canho qe tos pesqsadores tê procrado eplcação é consderar o escoaento coo não newtonano. Nos dos eeplos anterores é fácl perceber a portânca do escoaento de fldos não newtonanos e processos fabrs na regão aazônca. Co sso, prograa de dotorado na referda regão qe tenha coo obeto tratar estes probleas e ao eso tepo fornecer ão de obra qalfcada e sa análse é no íno otador para as ndústras. A proposta do Prograa de Pós gradação e Engenhara de Recrsos Natras da Aazôna (PRODERNA) é eataente esta, co sto, a análse de escoaentos e transferênca de calor de fldos não newtonanos qe será trabalhada nesta tese e coo as a contrbção no sentdo de copreender os fenôenos nerentes a tas escoaentos e fnção dos dersos parâetros terofíscos característcos deste tpo de fldo. 4

32 A análse de escoaentos enolendo fldos co coportaento scoelástco, de segnda e tercera ordens, te ao longo dos anos desafado ateátcos, engenheros, físcos e centstas da coptação. Todos bsca obeto: a copreensão da nflênca dos parâetros scoelástcos nos capos de elocdade e teperatra nas as dersas stações de escoaento, o sea, rege peranente o transente, capos setos a ação elétrca o agnétca, geoetras n, b o trdensonal, escoaentos nternos o eternos. Alé dsto, otra stação desafadora qe srge natralente na análse de escoaentos scoelástcos é o aento da orde das eqações dferencas qe copõe o odelo ateátco. Isto tas ezes lea a egênca de condções de contorno etras, qe ne sepre estão prontaente dsponíes, dfcltando desta anera à bsca de a solção únca e fechada. Esta últa stação é bastante coplea para os centstas, pos a asênca de condções de contorno qe encerre o odelaento torna o processo de solção as dfícl e, e certas stações torna-se até eso náel. E otros casos, condções etras são propostas na lteratra, o qe de certa fora faclta o desenolento do algorto de solção do problea. Por otro lado, qando nada se te a respeto da nforação da condção de contorno etra, tlza-se técncas de aproação coo étodo de pertrbação reglar qe, para condções be específcas de escoaento, apresenta resltados satsfatóros. Atalente, os engenheros qe trabalha o nestga o escoaento de fldos scoelástcos tlza cada ez as os recrsos coptaconas, sea para proetar eqpaentos, para slar stações de escoaentos, para otzar ndades de processo ndstral qe enola o escoaento de fldos não newtonanos. Dante dsto, a slação co pacotes coercas de CD te ganhado portante destaqe neste cenáro. No entanto, os pacotes coercas hoe dsponíes no ercado anda estão to ltados, pos não perte a slação de escoaentos de a grande aredade de odelos de fldos não newtonanos, dentre os qas os scoelástcos. Dedo a sa copledade pode ser desantaoso, o sea, os resltados gerados pode não ter credbldade, e rtde prncpalente do núero de condções de contorno ser enor qe a orde das eqações dferencas parcas qe goerna o escoaento, ntaente co alto csto coptaconal. 5

33 Dante das ltações dos pacotes coercas CD, todos os trabalhos na área de escoaento de fldos scoelástcos são desenoldos a partr da constrção de códgos coptaconas dedcados, tlzando técncas analítcas, se-analítcas, praente nércas o híbrdas. a técnca híbrda qe e ganhando destaqe no trataento de probleas de transferênca de calor e assa e escoaento de fldos é a Técnca da Transforada Integral Generalzada (GITT), o qe ota aplcar tal técnca na análse de escoaentos e transferênca de calor de fldos scoelástcos. Tal técnca á fora tlzada na solção de escoaentos de fldos não newtonanos qe obedece a le da potênca Power Law (MAGNO, 998, MAIA et al., 6, MONTEIRO et al., ) e os resltados obtdos fora bastante otadores. Ass, neste trabalho, a GITT é tlzada coo ferraenta de solção das EDPs (eqações dferencas parcas), co obeto prncpal de ostrar sa potencaldade e tratar tas probleas e gerar noos resltados e conclsões para o escoaento e transferênca de calor de fldos scoelástcos. Vale ressaltar o nedtso da aplcação da GITT na solção de escoaentos e transferênca de calor de fldos scoelástcos, pos, co sa característca prncpal de ter núero de condções de contorno enor qe a orde da eqação goernante do problea, faz co qe otros pesqsadores tlze técncas aproatas para contornar esta dfcldade. A aplcação da etodologa GITT à solção deste tpo de problea perte qe se trate as EDPs de fora copleta, proporconando resltados físcos as precsos..-objetivos..-objetivo GERAL Análse dos capos de elocdade e teperatra de escoaentos de fldos scoelástcos de segndo e tercero gras e placa estrada e dtos de placas paralelas, setos a neção o scção, edante a aplcação da GITT. 6

34 ..-OBJETIVOS ESPECÍICOS a) Obtenção do odelo ateátco qe rege os escoaentos dos fldos de segndo e tercero gras nas geoetras consderadas, a partr da operação e epansões dos tensores qe copõe as eqações constttas dos fldos. b) Obtenção da forlação ateátca para os probleas de escoaento e placa estrada e das densões e dto de placas paralelas. c) Aplcação da GITT na solção dos probleas abordados. d) Ipleentação coptaconal das forlações híbrdas para o trataento dos probleas (desenolento dos códgos coptaconas). e) Obtenção, após solção do sstea de eqações dferencas ordnáras, dos perfs de elocdade e teperatra para áras aráes de nteresse e engenhara e fnção de parâetros scoelástcos. f) Obtenção, após solção do sstea de eqações dferencas ordnáras, das taas de conergênca para os potencas de elocdade e teperatra co obeto de ensração da precsão alcançada co o controle atoátco de erro. Dscssão dos resltados apresentados e coparação co a lteratra dsponíel..-síntese DO TRABALHO O presente trabalho consste na aplcação da GITT e três probleas de escoaento de fldos scoelástcos de segndo e tercero gras de nteresse para engenhara. O prero problea ersa sobre a análse bdensonal dos capos de elocdade e teperatra na caada lte de fldo de segndo gra e a placa plana e estraento contíno, seta a neção o scção. O segndo problea ersa sobre a análse bdensonal dos capos de elocdade e teperatra na caada lte de fldo de tercero gra nas regões de entrada e copletaente desenolda de canal de placas paralelas seta a neção de fldo na placa nferor e scção co 7

35 esa taa na placa speror o ce - ersa. O tercero problea ersa sobre a análse bdensonal dos capos de elocdade e teperatra na caada lte de fldo de segndo gra odfcado e canal de placas paralelas co neção o scção. Nestes probleas, eqações da contndade, qantdade de oento e energa são obtdas edante desenolento tensoral e consderações terodnâcas (DNN e RAJAGOPAL, 995) aplcadas aos tensores constttos dos fldos ctados. As eqações dferencas parcas obtdas fora transforadas e ssteas de eqações dferencas ordnáras de prera orde, co a condção de entrada, o sea, transforada e problea de alor ncal, após aplcação da GITT. De posse do sstea de eqações dferencas ordnáras obtdo, fora desenoldos códgos coptaconas e lngage ORTRAN, co obeto de obter resltados nércos para os capos de elocdade e teperatra. Taas de conergênca tabé fora aaladas e fnalente os resltados fora coparados co a lteratra estente. O presente trabalho é dddo e capítlos, co conteúdo pode ser resdo da segnte anera. O capítlo ostra a resão bblográfca dos aanços da GITT na solção de probleas dfsos/conectos e técncas de aceleração de conergênca tlzadas na redção de csto coptaconal. O Capítlo ostra, ncalente, a ntrodção sobre o conceto de fldo scoelástco de segndo gra, ctando sas prncpas característcas e aplcações na engenhara. Nesta ntrodção, tabé é ostrada a dferença qe este entre a caada lte de BLASIS (SCHLICHTING, 979) e a de SAKIADIS (PAPANASTASIO et al., ), qe é to portante na copreensão da análse do escoaento e caada lte sobre placa plana contnaente estrada. E segda, dscte-se as prncpas contrbções estentes sobre probleas enolendo este tpo de fldo na lteratra. A forlação ateátca do problea, o trataento a GITT e o algorto de solção são apresentados. A dscssão dos resltados nércos obtdos na slação é condzda, onde, efetos do parâetro scoelástco K são analsados e aráes coo coponente de elocdade aal (V), parâetro de neção/scção () e núero de Prandtl (Pr). nalente são apresentadas as prncpas conclsões e sgestões. 8

36 O capítlo 4 ostra a ntrodção sobre o conceto de fldo scoelástco de tercero gra, ctando sas prncpas característcas e aplcações na engenhara. E segda, dscte-se as prncpas contrbções estentes sobre probleas enolendo este tpo de fldo na lteratra. A forlação ateátca do problea, o trataento a GITT e o algorto de solção são apresentados. A dscssão dos resltados nércos obtdos na slação é condzda, onde, os efetos dos parâetros scoelástcos de segndo gra (K ), tercero gra (K ), núero de Prandtl (Pr), núero de Ecert, parâetro de neção/scção (R V ) são nestgados na foração dos perfs de elocdade e teperatra na regão de entrada do canal. a coparação dos resltados obtdos co a lteratra tabé é condzda. nalente são apresentadas as prncpas conclsões e sgestões. O capítlo 5 ostra a ntrodção sobre o conceto de fldo scoelástco de segndo gra odfcado, ctando sas prncpas característcas e aplcações na engenhara. E segda, dscte-se as prncpas contrbções estentes sobre probleas enolendo este tpo de fldo na lteratra. A forlação ateátca do problea, o trataento a GITT e o algorto de solção são apresentados. A dscssão dos resltados nércos obtdos na slação é condzda, onde, o efeto do parâetro scoelástco de segndo gra (K ), índce do odelo da le da potênca (n), núero de Prandtl (Pr), núero de Ecert, parâetro de neção/scção (R V ) são nestgados na foração dos perfs de elocdade e teperatra na regão de entrada do canal. a coparação dos resltados obtdos co a lteratra tabé é condzda. nalente são apresentadas as prncpas conclsões e sgestões. trabalhos. O capítlo 6 é dedcado à conclsão geral do trabalho e as sgestões para ftros 9

37 CAPÍTLO A TÉCNICA DA TRANSORMADA INTEGRAL GENERALIZADA A Técnca da Transforada Integral Generalzada, GITT do nglês (Generalzed Integral Transfor Technqe), é a etodologa analítco-nérca tlzada prncpalente para tratar probleas de Mecânca dos ldos e Transferênca de calor e assa. A GITT te sa base forada no trabalho ponero de MRRA e ÖZISIK (974), no qal é apresentada a técnca de característcas analítco-nérco para a solção de sstea de eqações dferencas parcas, EDPs, a prncípo não tratáes pela teora clássca de separação de aráes. Esta técnca dspensaa a necessdade do problea ser separáel a pror. Ass, estaa estabelecdos os foralsos báscos para o srgento da Técnca da Transforada Integral Clássca, a CITT do nglês (Classcal Integral Transfor Technqe) (COTTA, 99). Posterorente, MIKHAILOV e ÖZISIK (984) generalzara os foralsos da CITT para sete classes dferentes de probleas de dfsão de calor e assa encontrados na lteratra. A CITT consste, bascaente, e hoogenezar as eqações qe goerna o problea (caso necessáro), encontrar problea alar de atoalor aproprado, obter, edante propredade de ortogonaldade, o par transforada-nersa, aplcar a transforação ntegral nas eqações goernantes co obeto de transforar a eqação dferencal parcal orgnal e sstea desacoplado de eqações dferencas ordnáras, resoler o sstea desacoplado de EDOs e obter o potencal orgnal, após tlzação da fórla de nersão. A característca do sstea transforado de EDOs ser desacoplado torna a CITT étodo para obtenção de solções eatas de probleas lneares. No entanto, a CITT lta-se a probleas lneares. a ltação é a obtenção de solção de deternado problea, caso não sea possíel a transforação de algns dos teros, eso qando esses são lneares (COTTA, 99). Dessa fora a CITT é aplcada soente e sbconnto de probleas lneares, pos é necessáro qe todos os teros sea transforáes. COTTA (99) generalzando os foralsos clásscos da CITT para a classe I de probleas apresentado e MIKHAILOV e ÖZISIK (984), estende a técnca para a

38 solção de probleas não lneares e forteente acoplados. Alé dsso, propõe técncas de elhora na solção nérca. Co esta noa abordage, a asta gaa de probleas de nteresse na área de transferênca de calor e ecânca dos fldos; probleas estes, lneares e não lneares; transforáes e não transforáes pdera ser tratados. Ass, a CITT passa a ser denonada de Técnca da Transforada Integral Generalzada, a GITT. Neste trabalho, o ator apresenta os foralsos e aplcações para algas categoras de probleas de nteresse na área de transferênca de calor e ecânca dos fldos: probleas co coefcentes aráes na eqação e condção de contorno, probleas co contorno óes, geoetras rreglares nãotransforáes, probleas qe enole dfcldade na solção do problea de atoalor, probleas acoplados, probleas de dfsão e dfsão-conecção não lneares, forlações e caada lte e Naer-Stoes. Os passos báscos para aplcação da GITT na transforação das eqações dferencas parcas qe goerna probleas de nteresse e engenhara são apresentados a segr (COTTA, 99): a) Defnção do problea alar, co base nos teros dfsos da forlação orgnal; b) Solção do problea alar e obtenção das atofnções, atoalores, noras e propredade de ortogonaldade; c) Desenolento do par transforada nersa; d) Transforação do sstea de eqações dferencas parcas e sstea nfnto de eqações dferencas ordnáras, co so de operadores aproprados. O sstea de EDOs pode ser acoplado o não; e) Trncaento e solção do sstea de EDOs atendendo a precsão prescrta; f) Obtenção do potencal orgnal pelo so da fórla de nersão.

39 A déa básca da GITT é relaar a necessdade de se encontrar a transforação ntegral eata do problea a ser resoldo, o qe na CITT é obrgatóro. Dessa fora, pode-se escolher problea alar qe sea o as característco possíel do problea orgnal. Desenole-se, então, o par transforada nersa, conseqüênca dreta da propredade de ortogonaldade qe as atofnções orndas do problea alar posse. Efeta-se, fnalente, a transforação ntegral das eqações dferencas parcas qe rege o odelo físco do problea orgnal, obtendo-se coo resltado, após a transforação, sstea dferencal ordnáro acoplado e nfnto. Após o se trncaento na orde sfcenteente grande para atender a precsão reqerda, o sstea dferencal ordnáro é resoldo nercaente por algortos be estabelecdos, co controle atoátco de erro, dsponíes e bblotecas centífcas, coo a IMSL (989). A fórla de nersão é, então, epregada para fornecer a representação analítca do potencal orgnal nas deas aráes ndependentes, elnadas no processo de transforação do problea e connto co o capo transforado proenente do sstea dferencal ordnáro. Co as sgnfcatas contrbções de MIKHAILOV e ÖZISIK (984) e COTTA (99), a Técnca de Transforação Integral apresenta-se coo étodo analítco-nérco poderoso e prossor no trataento e solção de áros probleas de engenhara, oferecendo ao sáro precsão controlada, o qe deterna a obtenção de resltados de referênca e a perforance coptaconal bastante efcente. Poré, esta probleas qe ebora a GITT consegsse tratar, as taas de conergêncas dos potencas era to lentas. Ass para o trataento de probleas forteente não lneares e não hoogêneos srge as técncas de aceleração da conergênca e/o redção do csto coptaconal. Os prncpas esqeas desenoldos nos últos anos são: o so do fltro sples co ntto de redzr a nflênca das não hoogenedades na taa de conergênca, balanço ntegral, qe retê as nforações do contorno e a noa representação para a epansão, dança de base, qe de certa fora elna algns teros fontes ndeseáes na forlação orgnal, esqea adaptato, co o f de redzr atoatcaente a orde de trncaento do sstea dferencal ordnáro ao longo do processo de solção do sstea dferencal ordnáro transforado, o ordenaento de atoalores para probleas ltdensonas qe redz os últplos soatóro, e fnalente, o fltro nstantâneo local (COTTA, 99;