Dicas de Matemática Douglas

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1 Dicas de Matemática Douglas 1) De um depósito de contém 79 litros de ácido puro, foram extraídos a litros e o depósito recompletado com água.depois de misturados até que a solução se tornasse homogênea, foram novamente extraídos a litros da solução e recompletado com água, misturando bem ao final. Depois de repetir 6 vezes essa mesma operação, a solução no depósito continha 64 litros de ácido puro. O valor de a, em litros, é: 1ª operação ácido (79 a) ª operação ácido 79 a (79 a) (79 a) a ª operação ácido 3 (79 a) (79 a) (79 a) a Repetindo o mesmo raciocínio para as operações seguintes, vem: 6ª operação ácido 6 (79 a) Por inspeção a 43. cx ) Considere a função f(x), definida para todo real x tal que dx 3 dx 3 0, onde c e d são constantes reais. Sabendo que f(f(x)) x e () 3 f (3) f(f(f(f(f(3))))), podemos afirmar que c d é igual a: cx c c x f f x dx 3 x cx dc 3 x 9 d 3 dx 3 c x d c 3 x 9x

2 c 3 e d 0 d c 3 0 ou c 9 c 3edqualquer () 3 f (3) f(f(f(f(f(3))))) f f f 3 f 3 3c 3 f(3) c 3d 3 3d 3 c = 3 e d = 0 não convém c = 3 d c d 3 4 3) Determine as soluções reais da equação x 6 7x 6 0. RESPOSTA: x 6 ou x 6 6 x 7x 6 0 x 6x x x x 6 x 6 0 x x 6 x 6 x x 6 x 6x x 6 ou x As soluções reais são x 6 ou x 4) Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representação decimal de x/y é a dízima periódica 7, Então, o valor de x + y + z é Solução: x = yz +8 x/y = 7, z = 7 x = 7y +8

3 x/y = 7, = 81/11 x = 81k e y = 11k 81k = 711k + 8 k = x = 16, y = e z = 7 x +y +z = 191 ) Sejam x e y reais tais que x y 6x 8y 4 0. O máximo valor de x y é: x y 6x 8y 4 0 x 3 y 4 1 A equação representa uma circunferência com centro em C(3, 4) e raio 1. O maior valor de x y está associado ao ponto da circunferência mais distante da origem, ou seja, o maior segmento determinado na reta que liga a origem ao centro que chamaremos de D. dco 3 4 D dco r 1 6 D é o valor máximo de x y, então o valor máximo de x y é 36. 6) Complete o quadro a seguir, sabendo que em cada linha e em cada coluna os elementos formam uma progressão aritmética RESPOSTA:

4 4r 3r 8 r 188 r 13 0 Podemos ver que na seguda linha temos como razao o numero(8-3r) logo rescrevendo a tabela teríamos: 4r 3r (8-3r) r 188 r 13 a 0 E aplicando termo médio na quarta linha temos que 64=r+a, logo a=64-r e finalizando terems como termo médio da quinta coluna e resolvendo a equação temos logo r=1, e preenchendo a tabela teremos: ) Um pentágono ABCDE é inscrito num círculo unitário. Sabe-se que AB, ABE 4, EBD 30, e BC CD. A área do pentágono é expressa por um número real da forma a b 3, com a e b racionais, logo a b é igual a: AB AB 90 BE é um diâmetro ABE 4 AE 90 e AE EBD 30 e BC CD BC CD DE 60

5 1 3 3 S a b ) Dois jogadores disputam uma série de rodadas de cara-ou-coroa. No início, cada jogador dispõe de fichas. A cada rodada o vencedor ganha uma ficha do perdedor. O jogo termina quando um dos jogadores fica sem fichas. Determine a probabilidade de haver, ao menos, 100 rodadas. É fácil ver que não há uma quantidade ímpar de rodadas pois temos uma quantidade par de fichas. Então podemos ter a seguinte quantidade de rodadas 100 ou 10 ou 104 ou 106 e assim por diante, de forma que para se ter duas rodadas, o primeiro cara que jogador terá probabilidade, de ganhar e o próximo a ganhar deve ser ele logo terá probabilidade 1 veja(.1)= e para se ter 4 rodadas a probabilidade é(.1..1)pois o primeiro jogador terá probabilidade de ganhar, o proximo a ganhar não será ele para que tenhamos mais rodadas entao deve ser o outro logo prob. =1 e o próximo a ganhar terá prob. e o último a ganhar terá prob 1 pois deve ser o mesmo vencedor da terceira rodada. Logo fazendo a analogia dos fatos teremos como resposta para o problema a soma das seguintes probabilidades o que nos dará um limite da soma dos termos de uma P.G. infinita 9) A parte imaginária de cos1 i sen1 cos 48 i sen48 6 é:

6 Seja w cos1 isen1 e z cos48 isen48. O ponto A representa w e o ponto B representa z. O ponto C da figura representa w+z. Como w z 1, o quadrilátero OACB é um losango. BOA ˆ ˆ 36 COA 18 Assim, CO forma um ângulo de com o eixo x e a forma trigonométrica de w+z é r cis w z r cis6 30 r 6 Im w z 0 10) Quatro carros A, B, C, D viajam a velocidades constantes na mesma estrada. A ultrapassa B e C às 8 horas e 9 horas, respectivamente, e encontra D às 10 horas; D encontra B e C às 1 horas e 14 horas, respectivamente. Determine a que horas B ultrapassa C. Desenhe os gráficos dos movimentos dos carros (linhas retas) considerando 8 horas como o tempo inicial. Suponha que B passe por C no momento T. Na figura, os pontos X, Y, Z, M, N, G correspondem às ultrapassagens entre pares de carros. É fácil ver que M e N são pontos médios de YZ e XY, respectivamente, e que XM e ZN são medianas do XYZ. Isso implica que sua interseção G, correspondente à ultrapassagem de C por B, é o baricentro do triângulo. Logo, a abscissa de G é a média aritmética das abscissas de X, Y e Z, ou seja, 1 T ( ) 10. Logo, B ultrapassa C às 10:40 horas )