DISCUSSÃO E RESOLUÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES UTILIZANDO O WINPLOT.

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1 DISCUSSÃO E RESOLUÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES UTILIZANDO O WINPLOT. Hyasmin Dállia d Paiva Txira Univrsidad do Estado do Rio Grand do Nort UERN hyasmin06@gmail.com Lnaldo d Castro Litão Univrsidad do Estado do Rio Grand do Nort UERN casttrolnaldo4@gmail.com Jnff Vivian dos Santos Fonsêca Univrsidad do Estado do Rio Grand do Nort UERN jnffvivian@gmail.com Profª Orintadora Ma. Tayara Crystina Prira Bnigno Univrsidad do Estado do Rio Grand do Nort UERN tayara0703@gmail.com RESUMO O studo d Sistmas d Equaçõs Linars tm sido rpassado atualmnt d modo xagrado, dstacando a rsolução algébrica d xrcícios para a mmorização d fórmulas dixando d lado as suas aplicaçõs. Grando problmas na comprnsão, pois xig do aprndiz uma abstração do su sntido prático. Além da rprsntação algébrica, uma das principais inquitaçõs no nsino d matmática é a rprsntação gráfica. A modificação d uma rprsntação para outra é important para a comprnsão, m gral, é d difícil ntndimnto. Porém, xistm hoj tcnologias d informação comunicação qu disponibiliza d um lqu d instrumntos qu podm sr usado no nsino d matmática. Essas tcnologias stão cada vz mais sndo insridas no contxto scolar, srvindo d táticas complmntars ao procsso d nsino-aprndizagm qu xpand as possibilidads produtivas m sala d aula. É nssa prspctiva qu a utilização d softwars no nsino da matmática é algo qu pod sr tomado como part da atual socidad do conhcimnto. Diant disso, scolhmos o softwar ducativo d plotagns d gráficos winplot, dsnvolvmos uma psquisa partindo do prssuposto d qu st softwar contribui para a comprnsão do nosso objto d studo, os Sistmas d Equaçõs Linars. No ntanto, surgiu à problmática d como a rprsntação gráfica dos sistmas por mio do winplot, pod contribuir para a comprnsão, rsolução discussão dsss sistmas? Em consquência, objtivamos nossa psquisa m discutir analisar do ponto d vista gométrico a contribuição do softwar winplot no studo d Sistmas d Equaçõs Linars. Farmos isso, dfinindo inicialmnt o concito d Sistmas d Equaçõs Linars, nfatizando suas possívis soluçõs bm como ls podm sr classificados. Em sguida, aprsntamos o winplot qu xplorarmos m nossa psquisa, d modo sucinto. Por fim, irmos rsolvr algumas atividads nvolvndo sistmas d quaçõs linars discutindo a partir da sua rprsntação gráfica, com o intuito d xpor a contribuição do softwar para a comprnsão das msmas. Palavras-chav: Tcnologias d Informação Comunicação, Sistmas d Equaçõs Linars; Softwar.

2 1. INTRODUÇÃO O profssor d matmática, muitas vzs, é qustionado quanto à importância aplicabilidad do contúdo studado para a vida do ducando. Prguntas ssas qu nm smpr são rspondidas com isso, faz com qu o aluno s torn avsso à matéria, dificultando todo o su dsnvolvimnto scolar. Educadors mais prparados, com uma abordagm mais contmporâna, qu procuram divrsificar suas técnicas d nsino, fazndo uso das Tcnologias d Informação Comunicação (TICs), tndm a aproximar-s dos aprndizs comprndr sus rcios potncialidads a srm trabalhadas. As dificuldads ncontradas plos studants quanto à aprndizagm da Matmática não são motivadas xclusivamnt plas caractrísticas da disciplina. Essas dificuldads são rflxos, também, da capacitação dficitária dos profssors, da busca inadquada d novos rcursos pdagógicos da falta d contxtualização. A busca d solução para ssa problmática passa, ncssariamnt, por uma rnovação da scola. É prciso qu ssa scola s torn um spaço motivant d trabalho d crscimnto pssoal social. Para isso é ncssário uma mudança nos mais divrsos nívis, incluindo as práticas pdagógicas, o currículo, o sistma ducativo a própria socidad m gral. (SILVA, 2005, p.10) Em discursão da rnovação da scola, é imprscindívl ignorar o progrsso das TICs na ducação. Um aparato tcnológico, como os softwars ducativos xrcm bm o objtivo d ofrcr aos alunos uma visão mais ampla prática d alguns contúdos, dando mais sntido ao qu s nsina ao qu s aprnd. Esta psquisa s caractriza como xploratória, por s nquadrar nos aspctos obsrvados por GIL (2002, p. 41), têm como objtivo proporcionar maior familiaridad com o problma, com vistas a torná-lo mais xplícito ou a constituir hipótss. Pod-s dizr qu sta psquisa tm como objtivo principal o aprimoramnto d idias ou a dscobrta d intuiçõs. O planjamnto da psquisa m sua dimnsão mais ampla, ou sja, o dlinamnto é bibliográfico qu para GIL (2002, p.44) é dsnvolvida com bas m matrial já laborado, constituído principalmnt d livros artigos cintíficos. A partir dsta toria, fizmos nossa psquisa basado no objto d studo os Sistmas d Equaçõs Linars. Com bas na anális d txtos, no dsprtar da curiosidad sobr os bnfícios qu st softwar pod trazr na comprnsão do objto d studo m sala d aula. O método d anális usado é o ddutivo qu sgundo PRESTES (2002), prssupõ a ralização ou combinação d idias m sntido intrprtativo, no qual o raciocínio caminha do sntido gral para o particular. Para GIL (2002), o uso da abordagm qualitativa propicia o aprofundamnto da invstigação das qustõs rlacionadas ao fnômno m studo das suas rlaçõs, mdiant a máxima valorização do contato dirto com a situação studada, buscando-s o (83) qu ra

3 comum, mas prmancndo, ntrtanto, abrta para prcbr a individualidad os significados múltiplos. Por mio d lvantamntos d matriais abordagns studadas trabalhadas por outros studiosos, buscamos assimilar su concito xplorar aspctos já publicados. Diant disso, surgiu a problmatização Como a rprsntação gráfica dos Sistmas d Equaçõs Linars, a partir do winplot, pod contribuir para a comprnsão, rsolução discussão dsss sistmas?. Fizmos o dircionamnto da nossa psquisa, voltada ao objtivo gral qu é: Discutir analisar a contribuição do softwar winplot no studo d Sistmas d Equaçõs Linars, rprsntando graficamnt os sistmas d quaçõs linars por fim, discutir a partir da rprsntação gométrica as possívis soluçõs dos sistmas. Prtnd-s fazr a utilização do softwar Winplot para xplorar as rprsntaçõs gráficas dos sistmas d quaçõs linars possibilitando a solução discussão gráfica. A fim d discutir os sistmas d quaçõs linars pla forma qu srão rprsntados. Aprsntamos atividads, as rspondmos quanto sua solução classificação fazndo uma discussão a partir da sua rprsntação gométrica. 2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Sgundo PAIVA (2013), chama-s quação linar nas incógnitas toda quação qu pod sr aprsntada na forma, m qu são constants rais chamadas d coficints da quação é uma constant ral chamada d trmo indpndnt da quação. A solução dssa quação é toda nupla d númros tal qu a sntnça sja vrdadira. Um sistma linar d quaçõs incógnitas, com, é um conjunto d quaçõs simultânas na forma: b1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn a x a22 x2 a23 x3 a2 n xn b2 S : 21 1 am1 x1 am 2 x2 am 3 x3 amn xn bm Em qu:

4 são as incógnitas; são os coficints das incógnitas, com são os trmos indpndnts das quaçõs, com ;. 2.1 SOLUÇÕES DOS SISTEMAS LINEARES Chama-s solução d um sistma linar qualqur solução comum a todas as quaçõs do sistma. O conjunto S formado por todas as soluçõs d um sistma linar é chamado d conjunto solução do sistma. A quantidad d lmntos dss conjunto dtrmina a forma com qu o próprio sistma é classificado. IEZZI, Glson (2004) dfin como a squência ou ênupla ordnada d rais (α 1, α2, α3..., αn) é solução d um sistma linar S, s for solução d todas as quaçõs d S, isto é: a11 x1 a21 x1 am1 x1 a12 x2 a22 x2 a m 2 x2 a13 x3 a23 x3 am 3 x3 a1n xn b1 a 2 n xn b2 amn xn bm Todas as sntnças acima são vrdadiras Classificação d um sistma linar Um sistma linar é classificado d acordo com o númro d soluçõs qu tm: sistma possívl dtrminado (SPD), sistma possívl indtrminado (SPI) ou sistma impossívl (SI). Sistma Possívl Dtrminado (SPD): admit uma única squência ordnada como solução. Sistma Possívl Indtrminado (SPI): admit mais d uma n-upla como solução. Sistma Impossívl (SI): Não admit solução. 3. O SOFTWARE WINPLOT O Winplot é um softwar d plotagm d gráficos qu é disponibilizado m vários sits da intrnt gratuitamnt mostra tr bastant popularidad no mundo acadêmico, a pondrar plo númro crscnt d trabalhos qu vêm sndo produzidos aprsntados nos

5 vntos qu têm como foco a ducação matmática. Sm uma busca apurada do qu lva ralmnt a ssa crscnt popularidad não s pod ao crto apontar os fators qu causam isso, até por não sr ss o objtivo dst trabalho. O Winplot é um softwar qu foi produzido m 1985, plo profssor Richard Parris, da Philips Extr Acadmy. Nssa época chamava-s Plot xcutado no DOS, mas a partir do lançamnto do ambint opracional Windows 3.1 rbatizado d Winplot. Ess softwar gráfico prmit o traçado animação d gráficos m 2D m 3D, através d divrsos tipos d quaçõs (xplícitas, implícitas, paramétricas outras). O programa traz inúmros rcursos qu facilitam a comprnsão do qu s stá sndo nsinado, como por xmplo: o zoom; disponibilizam rcursos d formatação como tamanho da font, spssura da linha cor, instrumntos qu prmitm ncontrar os zros das funçõs, traçar divrsos gráficos num msmo sistma d ixo cartsiano também um rcurso chamado adivinhar, com o objtivo d rforçar o qu o aluno aprndu, no qual o msmo dv dscobrir a partir do gráfico qual é a função corrspondnt. El prmit visualizar graficamnt a solução d um sistma linar também a dtrminação dos pontos d intrscção. Ess softwar é frwar1, sndo disponibilizado m várias páginas da wb, sndo uns dos mais populars softwars ducativos no Brasil. Além da vrsão m inglês l pod sr ncontrado m outros sis idiomas. 4. DISCUSSÃO E RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Vamos agora, rsolvr algumas atividads, discutindo a partir da rprsntação gráfica dos sistmas d quaçõs linars com duas quaçõs duas incógnitas três quaçõs três incógnitas, mostrando a contribuição do softwar para a comprnsão das suas soluçõs assim classifica-las. ATIVIDADE 1: Utilizando o winplot, discuta sua classificação quanto a solução do sistma 3x S1 : 5x 2y 6y 12 8 A rprsntação gráfica dss sistma, é rprsntada por duas rtas concorrnts, qu por dfinição, pod sr obsrvado prfitamnt na imagm, s intrsctam m apnas um ponto. Ess ponto, dnominado ponto d intrscção é a solução do sistma. No qual, 1 Qualqur programa d computador cuja utilização não implica no pagamnto d licnças.

6 podmos rprsnta-lo através do winplot, clicando na opção dois, m sguida, intrscção. Como mostra a Figura 1. Figura 1: Rprsntação gráfica da solução do sistma Na caixa d frramntas d intrscção, pod-s obsrvar a dtrminação dos valors d. Logo,. Assim, tmos qu a solução do sistma é dada plo conjunto A classificação dos sistmas linars é dado d acordo com o númro d suas soluçõs. Mas, não dixmos d obsrvar qu a partir dssa rprsntação gráfica da Figura 1, podmos dtrminar sua classificação, tndo m vista as posiçõs rlativas das rtas dtrminadas plas quaçõs do sistma linar. Portanto, é classificado como Sistma Possívl Dtrminado (SPD). Figura 2: Rprsntação gráfica do ponto d intrscção das rtas

7 ATIVIDADE 2: Expliqu como são atribuídas as soluçõs do sistma 6x S3 : 3x Not qu 3y 9y 4x 18 3y 6 8 não stá organizado. Há trmos smlhants qu não foram rsolvidos d acordo com o padrão. Mas isso não s torna um mpcilho na rsolução gráfica, não prcisamos organizar as quaçõs para qu las possam sr plotadas. Basta digitar a quação xatamnt igual à forma qu foi dada, como podmos obsrvar na Figura 3. Figura 1: Rprsntação gráfica d Nst caso, aumntamos considravlmnt a spssura da rta rprsntada pla quação m rlação a spssura da rta rprsntada pla quação, contribuindo a favor d uma comprnsão nítida da rprsntação gráfica da solução do sistma qu é dado por duas rtas,, coincidnts. Isto é, possum infinitos pontos m comum. Esss pontos, ou soluçõs são do tipo atnção qu a incógnita, com, chamando passa a sr chamada d variávl arbitrária. Logo, é classificado como Sistma Possívl Indtrminado (SPI). Consquntmnt, também não podm sr ncontrados no winplot, como podmos vrificar na Figura 4.

8 Figura 2: Sistma Possívl Indtrminado ATIVIDADE 3: Usando o winplot discuta a classificação do sistma a partir da posição rlativa dos sus planos x S 4 : 2x 4x y z 3 y z 2 2y z 1 O gráfico dtrminado por ss sistma é indicado na Figura 5. Nla podmos idntificar nitidamnt três planos,, rprsntados no spaço. Na Figura 6, o msmo sistma linar visto m outro ângulo, nos proporciona uma visualização clara d qu s trata d três planos qu s intrsctam m um único ponto.

9 Figura 3: Rprsntação gráfica do Figura 4: Rprsntação gráfica do sistma m outro ângulo Na frramnta intrscção, o softwar nos ofrc uma mlhor visualização gráfica para não trmos dúvida d qu ss sistma tm como intrscção um único ponto. Obtmos isso na opção dois, m sguida, intrscção por fim clicando m suprfíci-suprfíci. Logo, surgirão as frramntas indicadas na Figura 7.

10 Figura 5: Caixa d alimntação d Intrsçõs Not qu na caixa d alimntação da intrscção, stão slcionados apnas dois dos três planos plotados, qu são ls, o plano o plano. Então, é prciso rptir o procdimnto d insrção dos planos d modo qu ntjam agrupados dois a dois. É válido sabr, qu stas intrsçõs são rprsntadas por rtas na cor prta, m uma spssura tamanho 1. Qu stá rprsntado na Figura 8 é só obsrvar com mais atnção. Figura 6: Rprsntação gráfica das intrsçõs d Podmos ainda, scondr os planos,, dixando xpostos apnas suas intrsçõs, o ponto ond s cruzam. Como podm obsrvar na Figura 9.

11 Figura 7: As rtas das intrsçõs dos planos, cruzam-s m um único ponto. Portanto, podmos concluir graficamnt qu é classificado como um Sistma Possívl Dtrminado (SPD). ATIVIDADE 4: Plotar o gráfico do sistma abaixo discutir sua classificação a partir da posição rlativa dos sus planos. x S 6 2 x x 2y z 4 y z 2 3y 2z 6 A rprsntação gráfica do sistma é dada pla Figura 10. Figura10: Rprsntação gráfica d

12 Na Figura 10, stão rprsntados graficamnt três planos distintos,,. Esss três planos têm m comum apnas uma rta, rprsntada por, ou sja, a intrscção dsss planos é xatamnt a rta. Em modlo simbólico, tmos qu os pontos prtncnts à rta são soluçõs do sistma. Assim, as soluçõs do sistma são todos os pontos da forma soluçõs para. Logo, todos, com. Há, portanto, infinitas. A classificação dst sistma é Possívl Indtrminado (SPI). 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Buscando uma comprnsão d sistmas d quaçõs linars difrnt do método algébrico qu s é abordado nas scolas qu o aluno possa chgar à rsolução por mio d uma conclusão gráfica, propomos nst trabalho utilizar o softwar winplot, com o intuito d rspondr à problmática: Como a rprsntação gráfica dos Sistmas d Equaçõs Linars, a partir do winplot, pod contribuir para a comprnsão, rsolução discussão do nosso objto d studo? Nas atividads abordadas rprsntávamos discutíamos os sistmas d quaçõs linars dpois d trmos fito um studo concitual dos msmos, ficou claro qu por mio d rprsntaçõs visuais qu o softwar proporciona, consguimos stablcr uma rlação ntr o qu é concrto o qu é abstrato, fazndo uma ligação ntr as quaçõs dos sistmas linars com a gomtria os planos no spaço dtrminado por las, além d mostrarm-s ficint na possibilidad d comprnsão dos sus tipos d soluçõs para classificá-los. Assim, rprsntando uma altrnativa ficaz para o aprndizado. Essas rprsntaçõs gráficas são fundamntais para o dsnvolvimnto d intuiçõs significados matmáticos, ajudando na formulação d suposiçõs na procura d vias d dmonstração. Podmos confirmar isso, com bas nas discussõs fitas no dcorrr do trabalho. A partir da rprsntação gráfica por mio do winplot para dar xplicaçõs surgir prguntas sobr o qu o gráfico stá a dizr acrca das xprssõs algébricas aprsntadas nas atividads, muda compltamnt a nossa tarfa, qu ao invés d dsnvolvr sus cálculos norms até chgar a uma solução por fim classifica-los, scrvmos xplicaçõs d pontoschav d gráficos até chgar à msma solução.

13 Dntro dssa concpção, acrditamos qu, por tudo o qu foi xposto xposto discutido, o softwar winplot contribui significativamnt no studo d sistmas d quaçõs linars, mostrando-s bastant ficint na rprsntação gráfica, na comprnsão na discussão dos sus tipos d soluçõs. 6. REFERÊNCIAS IEZZI, Glson; HAZZAN, Samul. Fundamntos d Matmática Elmntar: squências, matrizs, dtrminants sistmas. 7. d. São Paulo: Atual, GIL, Antônio Carlos. Como laborar projtos d psquisa. 4. d. São Paulo: Atlas S.a, Imprsso no Brasil. PAIVA, Manol. Matmática Paiva. 2. d. São Paulo: Modrna, PRESTES, Maria Luci d Msquita. A psquisa a construção do conhcimnto cintífico: Do planjamnto aos txtos da scola à acadmia. São Paulo: Rêspl, SILVA, Rita d Cássia. O profssor, sus sabrs suas crnças. In: GUARNIERI, Maria Rgina (Org.). Aprndndo a nsinar: o caminho nada suav da docência. 2. d. Campinas: Autors Associados, WINPLOT. Disponívl m: < Acsso m 20 d julho d 2015.