EXERCÍCIOS ANÁLISE DE CIRCUITOS. Jorge Semião UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA CURSO TÉCNICO SUPERIOR PROFISSIONAL

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA CURSO TÉCNICO SUPERIOR PROFISSIONAL EXERCÍCIOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS Jorge Semião Setembro de 2015

2 ÍNDICE 0. Exercícios de Revisão - Conversões Carga Eléctrica Resistências e Lei de Ohm Potência e Energia em DC Leis Fundamentais e Análise em DC Métodos Sistemáticos de Análise em DC Teoremas Fundamentais e Análise em DC Condensadores e Bobinas Circuitos em Corrente Alternada (AC) Impedâncias e Leis Fundamentais em AC Métodos Sistemáticos e Análise em AC Teoremas Fundamentais e Análise em AC Potências em Circuitos AC Soluções Capítulo 0: Capítulo 1: Capítulo 2: Capítulo 3: Capítulo 4: Capítulo 5: Capítulo 6: Capítulo 7: Capítulo 8: Capítulo 9: Capítulo 10: Capítulo 11: Capítulo 12: ii

3 0. EXERCÍCIOS DE REVISÃO - CONVERSÕES 1. Realize as seguintes conversões. a) 2 h 3 min 47 s para segundos b) 85 Km/h para m/s 2. Calcule as seguintes áreas, convertendo as unidades. a) A área de um prato de 1,2m por 70cm em m 2. b) O volume de uma caixa de 10cm por 25cm por 80cm em m Uma ventoinha eléctrica roda a 300 rotações por minuto. Quantos graus por segundo ela roda? 4. Uma roda roda gira 18 em 0.02 s. Quantas rotações por minuto ela tem? 5. Sabendo que 1 hp = 550 ft-lb/s, 1 ft = m, 1 lb = N, 1 J = 1 Nm, e 1 W = 1 J/s, mostre que 1 hp = 746 W. 6. Expresse os valores ou o resultado da expressão em notação de potências de 10, com um algarismo à esquerda da vírgula: a) b) c) d) e) f) (17.6)(100) g) ( )( ) h) (12.5)(1000)(0.01) i) ( )(100)( )(0.001) 7. Expresse as seguintes expressões em notação de engenharia (exemplo: 1270 s = 1.27 ms). a) s b) s c) ms. 1

4 8. Um sinal de radio viaja a km/s e um sinal de telefone a 150 m/ s. Se são originados no mesmo ponto, qual chega primeiro a um destino situado a 5000 km? Qual o tempo de diferença entre as chegadas? 9. Se A = 4.05 ± 0.01 é dividido por B = 2.80 ± 0.01 a) Qual o menor resultado possível? b) Qual o maior resultado possível? c) Apresente A/B com margem de erro. 1. CARGA ELÉCTRICA 1. A força entre uma carga positiva e uma negativa separadas por 2 cm é de 180 N. Se Q1 = 4 C, qual é o valor de Q2? É uma força de atracção ou repulsão? com k = (no vácuo). 2. Se colocar uma carga de 1 C em dois corpos separados por 25 cm entre os seus centros, Qual a força eléctrica exercida em newtons? 3. Se electrões passam por um fio eléctrico em 1 s, quantos passam em 2 hr, 47 min e 10 s? 4. Se coulomb de carga passam num fio em 15 ms, quantos electrões passam (1 C representa electrões) em 1s? 5. À razão de 9.36 x electrões por segundo, quantos coulombs passam num ponto de um fio em 20 ms? 6. Uma placa de metal, neutral, adquire uma carga negativa de 47 C. Quantos electrões lhe foram adicionados? 7. Se 360 joules de energia são necessários para transferir 15 C de carga por uma lâmpada (na figura abaixo), qual a tensão da bateria que é necessária? 2

5 8. Para o circuito da figura anterior, se 27 C passam pela lâmpada em 9 segundos, qual a corrente em amperes? 9. Quanto tempo demoram 312 x electrões a passar pelo circuito da figura abaixo, se o amperímetro medir 8 A? 10. Para a bateria da figura abaixo, a reacção química causa a transferência de 15.6 x electrões do carbono para o zinco. Se são gastos 3.85 joules de energia, qual a tensão produzida na bateria? 11. Uma bateria com capacidade representada pelo gráfico abaixo é espectável que dure 17 h fornecendo uma corrente de 1.5A a 25 C. Quanto tempo espera que dure a bateria a 5 C com uma corrente de 0.8A? (a capacidade de uma bateria é normalmente medida em A.h, Amperes-hora) 3

6 12. Apresente as medições dos seguintes voltímetros: 2. RESISTÊNCIAS E LEI DE OHM 1. Utilizando a fórmula, determine a resistência, a 20ºC, de um fio de alumínio sólido (ρal_20ºc = m) com 100m e com os seguintes raios na secção transversal: a) 0.5 mm b) 1.0 mm c) mm d) 0.5 cm ρ = resistividade, em ohm-metros (.m) l = comprimento, em metros (m) A = área da secção transversal, em metros quadrados (m 2 ) 2. Calcule a condutância das seguintes resistências: a) b) 500. c) 250k. d) 12.5M. 3. Uma resistência com 3 k de valor nominal apresenta uma tolerância de 10%. Calcule a gama de valores práticos possíveis para a resistência. 4. Para o circuito da figura, determine: a) Com E = 40 V e R = 20, qual o valor de I? b) Com E = 50 V e I = 2.5 A, qual o valor de R? c) Com R = 30 k e I = 10 A, qual o valor de V? d) Com V = 200 V e R = 40 k, qual o valor de I? 4

7 5. Qual a tensão máxima que pode ser aplicada a uma resistência de 560, se a sua corrente não pode exceder os 50 ma? 6. Todas as resistências da figura abaixo apresentam 15. Determine a tensão e a polaridade, ou a corrente e a sua direcção. 7. Determine as leituras dos amperímetros da figura seguinte. 8. Determine as leituras dos voltímetros da figura seguinte. 3. POTÊNCIA E ENERGIA EM DC 1. Uma resistência dissipa 723 Joules de energia em 3 minutos e 47 segundos. Calcule a taxa a que a energia está sendo transferida para a resistência em Joules por segundo. Qual é a dissipação de potência em Watts? 5

8 2. Uma resistência puxa 3A de uma bateria de 12V. Qual a potência que a bateria entrega à resistência? 3. Um aquecedor eléctrico de 1.2 kw tem uma resistência de 6. Qual a corrente que ele conduz? 4. Quantos volts devem ser aplicados a uma resistência de 3, para resultar numa dissipação de potência de 752 W? 5. Uma resistência de 0.27k indica 2W de potência máxima. Calcule a máxima tensão que lhe pode ser aplicada, e a máxima corrente que pode conduzir, sem exceder a sua potência máxima. 6. Uma lâmpada de 40W está acesa durante 9 horas. a) Determine a energia em Joules. b) Determine a energia em Watts-hora. c) A 0.08 /kwh, quanto custou deixar a lâmpada acesa? 7. Determine as potências P1, P2, P3 e P4, absorvidas pelas fontes de tensão e corrente, para I = 2A. Verifique que a soma de todas as potências é zero. 4. LEIS FUNDAMENTAIS E ANÁLISE EM DC Lei das Tensões de Kirchhoff 1. Determine as tensões desconhecidas. a) b) c) 6

9 2. Determine as tensões desconhecidas. 3. Redesenhe os circuitos, trocando a ordem dos componentes, e simplifique-os obtendo apenas uma fonte de tensão e uma resistência por circuito. Calcule a corrente em cada circuito. a) b) 4. Calcule as tensões nas resistências e calcule Va. Lei das Correntes de Kirchhoff 5. Calcule as resistências equivalentes. 7

10 6. Para o circuito da figura, determine. a) As correntes I1, I2, I3 e I4, utilizando a lei das correntes de Kirchhoff. b) Calcule a tensão V. c) Determine as resistências R1, R3 e R4. 7. Indique se o fusível do circuito da figura vai queimar. Circuitos Série-Paralelo 8. Calcule as resistências equivalentes. 9. Simplifique o circuito e reduza-o a uma fonte e uma resistência, indicando o valor de RT e de IT. Utilizando a lei de Ohm e voltando atrás na simplificação do circuito, vá calculando os valores de I1, I2, I3, I4, e também de Vab e Vbc. a) b) 8

11 10. Para os circuitos obtenha as correntes indicadas e a tensão Vab. Verifique que a potência entregue ao circuito é igual à soma das potências dissipadas nas resistências. Associação de Resistências 11. Para os seguintes circuitos, indique quais as resistências que estão em série e quais estão em paralelo. 12. Determine a resistência total RT. 9

12 13. Apresente uma expressão para as resistências RT1 e RT2 equivalentes. 14. Calcule as resistências Rab e Rcd,, e Rab e Rbc, nos seguintes circuitos. Divisor de Tensão a) b) 15. Utilize a regra do divisor de tensão para calcular a tensão aos terminais de cada resistência. Depois utilize os resultados para verificar a lei das tensões de Kirchhoff. 10

13 16. Para os seguintes circuitos determine: a) Calcule os valores das resistências desconhecidas utilizando a regra do divisor de tensão b) Calcule as tensões em R1 e R3. c) Calcule as potências dissipadas em cada resistência. Divisor de Corrente 17. Utilize a regra do divisor de corrente para calcular I1 e I Utilize a regra do divisor de corrente para calcular todas as correntes desconhecidas. 11

14 19. Utilize a regra do divisor de corrente para calcular a resistência R. 20. Utilize a regra do divisor de corrente para calcular a resistência R. Transformações Estrela-Triângulo 21. Converta as seguintes redes em estrela para os seus equivalentes em triângulo. 22. Converta as seguintes redes em triângulo para os seus equivalentes em estrela. Transformações de Fonte 12

15 23. Utilizando transformações de fonte, associação de resistências e/ou transformações estrela-triângulo, simplifique o circuito e reduza-o a uma fonte e uma resistência. Aplicando a lei de Ohm aos diferentes circuitos equivalentes obtidos (por ordem inversa), calcule a corrente I2 assinalada e a tensão Vab. (a) (b) 24. Utilizando a simplificação dos circuitos, calcule I1, I2 e Vab. (a) (b) Aplicação das Leis Fundamentais 25. Sem utilizar simplificações nem métodos sistemáticos e utilizando unicamente a lei de Ohm e as leis das tensões correntes de Kirchhoff, obtenha as equações do circuito que permitem calcular Io, e calcule o seu valor. 5. MÉTODOS SISTEMÁTICOS DE ANÁLISE EM DC Métodos Sistemáticos - Método dos Nós 13

16 1. Utilize o método da análise nodal para calcular Io. 2. Utilize o método da análise nodal para calcular Vo. 3. Utilize o método da análise nodal para calcular Vo. 4. Utilize o método da análise nodal para calcular as tensões nos nós. 14

17 5. Utilize o método da análise nodal para calcular as tensões nos nós. Métodos Sistemáticos - Método das Malhas 6. Escreva as equações das malhas e resolva em ordem das correntes de malha, utilizando o método das malhas. 7. Utilize o método das malhas para calcular a corrente I2 no circuito abaixo. 8. Utilize o método das malhas para calcular as correntes de malha. Utilizando os resultados determine I e Vab. 15

18 9. Utilize o método das malhas para calcular a tensão Vo. 10. Utilize o método das malhas para calcular a corrente Io. 11. Utilize o método das malhas para calcular as correntes de malha assinaladas. 6. TEOREMAS FUNDAMENTAIS E ANÁLISE EM DC Teorema da Sobreposição 1. Utilize o teorema da sobreposição para calcular a corrente em cada resistência. 16

19 2. Utilize o teorema da sobreposição para calcular a tensão Va e a corrente I. 3. Utilize o teorema da sobreposição para calcular Vo. 4. Utilize o teorema da sobreposição para calcular Io. Teorema de Thévenin 5. Encontre o circuito equivalente de Thévenin externo à carga RL. Utilize o circuito equivalente para calcular Vab. (a) (b) 17

20 6. Para o circuito seguinte, determine: a) Encontre o circuito equivalente de Thévenin externo à carga RL. b) Utilize o circuito equivalente para calcular Vab quando RL=20 e quando RL= Para o circuito seguinte, determine: a) Encontre o circuito equivalente de Thévenin externo à carga RL. b) Utilize o circuito equivalente para calcular a corrente I quando RL=0, quando RL=1k e quando RL=50k. 8. Determine o circuito equivalente de Thévenin aos terminais assinalados. Teorema de Norton 18

21 9. Encontre o circuito equivalente de Norton externo à carga RL. Utilize o circuito equivalente para calcular IL. 10. Encontre o circuito equivalente de Norton externo à carga RL. 11. Para a figura seguinte, calcule o circuito equivalente de Norton externo aos terminais indicados. 12. Utilize o teorema de Norton para calcular a tensão aos terminais indicados. 19

22 Teorema da Máxima Transferência de Potência 13. Para o circuito do problema 7: a) Determine o valor de RL para que a máxima potência seja entregue à carga. b) Calcule a máxima potência que pode ser entregue à carga. 7. CONDENSADORES E BOBINAS Condensadores 1. Considere um condensador de 10 μf. Calcule: a) A sua carga, sabendo que apresenta uma tensão de 24V. b) A sua tensão, sabendo que foi carregado com uma corrente constante de 1 ma durante 0,5 segundos. 2. Considere um condensador plano com armaduras de dimensão 10 cm por 20 cm, e uma separação entre armaduras de 5 mm. a) Calcule a sua capacidade quando o dieléctrico é o ar (ε0 = 8,85 x F/m). b) Como se modifica a sua capacidade se: i) O dieléctrico de ar for trocado por cerâmica (εr = 7500)? ii) iii) A área duplicar? A distância entre armaduras reduzir para metade? c) A tensão de ruptura para o dieléctrico ar é 3 KV/mm. Qual é a tensão máxima para este condensador? 3. Para o circuito da figura, determine a capacidade equivalente. 20

23 4. Para o circuito da figura, determine a Capacidade Cx. 5. Para o circuito da figura abaixo, de termine as tensões V1, V2 e V3 (sugestão: utilize a regra do divisor de tensão). 6. Se a tensão nos terminais de um condensador de 4,7μF é vc = 100e -0,05t V, Qual é a sua corrente? 7. A corrente num condensador de 1 μf é apresentada na figura abaixo. Desenhe o gráfico para a sua tensão? A tensão em t = 0s é 0V. Bobinas: 8. Se a corrente de uma bobina de 5 mh muda a uma taxa de 1000 A/s, qual é a tensão induzida na bobina? 21

24 9. A corrente através de uma bobina de 10 mh é indicada na figura. Represente graficamente a sua tensão. 10. Qual é a tensão aos terminais de uma bobina de 12.5 H, cuja corrente é i = t.e -t A? 11. Uma bobina de 0,15 m de comprimento, com núcleo de ar, tem um raio de m e apresenta 120 voltas. Calcule a sua inductância (μ0 = 4π x 10-7 ). 12. A corrente numa bobina é representada pela figura abaixo. Se a tensão entre os instantes 0 e 2 ms é 100 volts, qual é o valor de L? 13. A figura abaixo mostra o gráfico da tensão numa bobina. A corrente varia de 4 A para 5 A durante o intervalo de tempo de 4 s para 5 s. 22

25 a) Qual o valor de L? b) Determine a onda da corrente e desenhe-a. c) Qual a corrente em t = 10 s? 14. Determine LT. 15. Através da combinação de elementos, reduza o circuito à sua forma mais simples. 16. No circuito abaixo, calcule E. 23

26 17. No circuito abaixo, calcule Rx. 18. Calcule a energia armazenada na bobine da figura abaixo. 19. Na figura, L1 = 2L2. A energia total armazenada é WT = 75 J. Calcule L1 e L2. 8. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (AC) Ondas e Valor Eficaz 24

27 1. Escreva as equações para as ondas da figura abaixo. Expresse o desfasamento inicial em graus. 2. Determine as equações para as ondas seguintes. Para (b) determine ainda i2. (a) (b) 3. Dada a equação v = 30sen(wt 45º), onde w = 40 rad/s, esboce um periodo. Determine os tempos para v = 0, v = 23 e v = 23 (V). 4. Determine os valores rms : (a) bateria de 12V; (b) 24 sen( t + 73 ) ma; (c) sen( t) V; (d) cos(2 t) V. Números Complexos 5. Reduza as seguintes expressões à forma polar º (12 j8) a) 15 j 6 11 j11) b) c) (21 20º) j41 (36 0º) (1 j12) (11 40º ) ( 18 40º ) (18 40º ) j (21 60º ) 7 12 j 4 25

28 6. Calcule o valor final da expressão: j / 3 ( 2 j3) 40e (8 140º) (5 40º) (4 j3) j(4 * j5) ( 6 4 j5 j8) Fasores 7. Para os seguintes fasores, determine a equação para v(t) ou i(t), consoante o caso. 8. Sabendo que para o circuito da figura abaixo se tem e 1 (t) = 10 sen(wt) (V) e e2(t) = 15 sen(wt + 60 ) (V), determine a equação da onda v(t) e esboce um período para as 3 ondas. 9. Num dado nó de um circuito onde confluem 3 ramos, de modo que i1(t) = i2(t) + i3(t), sabemos que a variação no tempo de duas das correntes são dadas pelas expressões: i 1 (t) = 2 10 cos(100t + 30º) (A); i 2 (t) = 2 15 sen(100t + 150º) (A). a) O intervalo de tempo entre dois instantes consecutivos para os quais o valor instantâneo de i3 é igual ao de i1. b) A energia eléctrica dissipada em calor durante 5 minutos numa resistência de 4 atravessada por i1. c) A expressão temporal de i3(t), bem como o valor das 3 correntes no instante t=2s. d) O valor de i2, nos instantes em que i3 se anula. e) O valor de i1, nos instantes em que i3 é igual a 7 A. 26

29 10. Para o circuito da figura determine it, sabendo que i1 = 10 sen(wt), i2 = 20 sen(wt 90 ) e i3 = 5 sen(wt + 90 ). 11. A tensão aos terminais de um determinado componente é v = 120 sen(wt + 55 ) V e a sua corrente é 18 cos(wt ) ma. Mostre que o componente é uma resistência e calcule o seu valor. R, L e C em regime permanente sinusoidal 12. Expresse as tensões e correntes das figuras abaixo no domínio do tempo e no domínio fasorial. 13. Para a figura abaixo, os valores máximos da tensão e corrente são, respectivamente, Vm = 10 V e Im = 5 A. Para os seguintes casos, 27

30 determine as equações em falta: a) vl = 10 sen(wt + 60 ) V, il? b) vl = 10 sen(wt 15 ) V, il? c) il = 5 cos(wt 60 ) A, vl? d) i L = 5 sen(wt + 10 ) A, v L? 14. Considere a seguinte tensão aos terminais de um componente eléctrico: v(t) = 100 sen(wt + 30 ) V. Calcule a expressão da corrente nas seguintes condições: a) Se o componente for uma resistência com resistência R = 2. b) Se o componente for uma bobina com reactância X = 2. c) Se o componente for uma capacidade com reactância X = Uma bobina de 0,5H apresenta aos seus terminais v(t) = 100sen(wt) V de tensão. Calcule a sua reactância e a sua corrente para uma operação a: a) 60Hz. b) 1000Hz. c) 500rad/s. 16. Considere as seguintes condições para uma bobina e determine: a) A frequência, se: vl = 40sen(wt+30º) V; il = 364sen(wt-60) ma, L = 2mH. b) L e, se: vl = 40sen(wt+ ) V; il = 250sen(wt+40) A, f = 500kHz. 17. Um condensador de 5 F apresenta aos seus terminais v(t) = 100sen(wt) V de tensão. Calcule a sua reactância e a sua corrente para uma operação a: a) 60Hz. b) 1000Hz. c) 500rad/s. 18. Considere as seguintes condições para um condensador e determine: a) A frequência, se: vc = 362sen(wt-33º) V; ic = 94sen(wt+57) ma, C = 2,2 F. b) C e, se: vc = 3,6sen(wt+ ) V; ic = 350sen(wt+40º) ma, f = 12kHz. 28

31 19. Se a corrente que atravessa cada elemento de circuito da figura é 0.5 0º (A) (na forma de fasor), determine a respectiva tensão, na forma de fasor e no domínio do tempo. 20. Para cada circuito da figura abaixo, determine as grandezas desconhecidas. 21. Para os componentes da figura abaixo: a) Determine a tensão v e a corrente i, usando fasores. b) Esboce as formas de onda sinusoidais de v e i. c) Trace o diagrama de fasor para V e I. 9. IMPEDÂNCIAS E LEIS FUNDAMENTAIS EM AC 29

32 1. Calcule a impedância total dos seguintes circuitos: 2. Considere o circuito da figura abaixo: a) Determine a impedância Z que conduz à impedância total ZT. b) Trace um diagrama de impedâncias mostrando Z e Z T. 3. Um circuito contendo dois elementos tem uma impedância total de ZT = 2k 15º a uma frequência de 18kHz. Determine os componentes e os seus respectivos valores em, H, ou F. 4. O circuito da figura abaixo opera a uma frequência de 1kHz. Que componentes em série devem ser colocados no bloco Z para as condições indicadas?. 30

33 5. Considere o circuito da figura abaixo: a) Determine a ZT, I, VR, VL e VC. b) Trace um diagrama de fasores mostrando as tensões e corrente nos componentes. c) Determine a potência média dissipada pela resistência. d) Calcule a potência média entregue pela fonte. Compare com o resultado de (c). 6. Suponha uma tensão de 240V 30º é aplicada ao circuito. Use o divisor de tensão para calcular a tensão aos terminais de cada impedância. 7. Considere o circuito da figura abaixo: 31

34 a) Determine a tensão em XC. b) Use a lei das tensões de Kirchhoff para encontrar a tensão aos terminais da impedância desconhecida. c) Determine Z. d) Determine a potência média dissipada pelo circuito. 8. Calcule a impedância de entrada dos seguintes circuitos: 9. Considere o circuito da figura abaixo: a) Determine ZT, IT, I1, I2 e I3. b) Esboce o diagrama de admitâncias mostrando cada uma delas. c) Esboce o diagrama de fasor mostrando E, IT, I1, I2 e I3. d) Determine a potência média dissipada pela resistência. e) Determine a potência média entregue pela fonte. 32

35 10. Considere o circuito da figura abaixo: a) Determine ZT. b) Dada a corrente indicada, utilize a lei de Ohm para calcular a tensão aos terminais do circuito. 11. Determine a impedância Z2 que conduz à impedância total mostrada na figura. 12. Utilize a regra do divisor de corrente para calcular a corrente em cada elemento do circuito. Verifique que se aplica a lei das correntes de Kirchhoff. 33

36 13. Considere o circuito da figura abaixo: a) Determine ZT, IL, IC e IR. b) Esboce o diagrama de fasor mostrando E, IL, IC, e IR. c) Determine a potência média dissipada pela resistência. d) Determine a potência média entregue pela fonte e compare com o resultado da alínea anterior. 14. Considere o circuito da figura abaixo: a) Determine ZT, IT, I1 e I2. b) Determine a tensão Vab. 34

37 15. Mostre que os circuitos têm a mesma impedância às frequências de 1 krad/s e 10 krad/s (pode ser mostrado que estes circuitos são equivalentes a todas as frequências). 16. Converta os circuitos da figura em equivalentes série de dois elementos. 17. Calcule Vout para o circuito. 18. Converta as fontes de corrente para fontes de tensão equivalentes. Calcule VL. 35

38 19. Considere o circuito: a) Calcule a tensão V. b) Converta a fonte de corrente para um equivalente com fonte de tensão e calcule novamente V. Compare com o resultado anterior. 10. MÉTODOS SISTEMÁTICOS E ANÁLISE EM AC 1. Para os circuitos da figura, determine I utilizando a lei das malhas. (a) (b) 2. Utilize a lei das malhas para determinar I e V no circuito. Repita a análise do problema, utilizando a lei dos nós. Compare os resultados. 36

39 3. Para os circuitos da figura, determine I e V utilizando a lei dos nós. (a) (b) 4. Calcule o equivalente estrela do circuito. 5. Calcule a impedância total ZT. 6. Usando as conversões estrela-triângulo, calcule as correntes I nos circuitos. (a) (b) 37

40 7. Determine a impedância equivalente ZT e calcule as correntes I e I1. 8. Determine a impedância equivalente ZT (equivalente dos elementos passivos no circuito) e calcule as tensões V e V TEOREMAS FUNDAMENTAIS E ANÁLISE EM AC Circuitos Ponte 1. Mostre que o circuito ponte da figura está equilibrado, isto é, que a seguinte relação de impedâncias se verifica: Z1 / Z3 = Z2 / Z4, ou Z1.Z4 = Z2.Z3. 38

41 2. Determine os valores das resistências desconhecidas, de modo que o circuito ponte esteja equilibrado. 3. Determine os valores dos condensadores desconhecidos, de modo que o circuito ponte esteja equilibrado. Teorema da Sobreposição 4. Utilize o teorema da sobreposição para determinar a corrente I indicada nos circuitos. (a) (b) 39

42 5. Utilize o teorema da sobreposição para determinar a tensão Vab indicada nos circuitos da pergunta anterior. 6. Considere o circuito da figura: a) Use o teorema da sobreposição para determinar a tensão V. b) Mostre que a potência dissipada pela resistência indicada não pode ser determinada por sobreposição. 7. Considere o circuito da figura: a) Use o teorema da sobreposição para calcular I. b) Calcule a onda sinusoidal de VR1. 40

43 8. Considere o circuito da figura: a) Use o teorema da sobreposição para calcular VL. b) Use o teorema da sobreposição para calcular I1. c) Se a magnitude da tensão aplicada V é aumentada para 200mV, calcule a tensão VL resultante. 9. Utilize o teorema da sobreposição para determinar a tensão VL dos circuitos. (a) (b) 10. Utilize o teorema da sobreposição para determinar a tensão Vab do circuito. Teoremas de Thévenin e de Norton 41

44 11. Calcule o circuito equivalente de Thévenin externo à carga indicada. 12. Considere o circuito da figura: a) Encontre o circuito equivalente de Thévenin externo à carga indicada, para uma frequência de 5kHz. b) Determine a potência dissipada na carga se ZL = º. 13. Suponha que o circuito do problema anterior opera a uma frequência de 2kHz: a) Encontre o circuito equivalente de Norton externo à carga. b) Se uma resistência de carga de 20 for ligada entre os terminais a e b, calcule a corrente na carga. 14. Considere o circuito da figura: 42

45 a) Encontre o circuito equivalente de Thévenin externo à carga indicada. b) Determine a potência dissipada na carga se Z L = 20 60º. 15. Considere o circuito da figura: a) Encontre o circuito equivalente de Norton externo à carga, colocada entre os terminais a e b. b) Determine a corrente através da carga indicada. c) Determine a potência dissipada pela carga. Teoremas da máxima potência entregue à carga 16. Para os seguintes circuitos, calcule a impedância de carga, ZL, necessária para assegurar que a carga recebe a máxima potência e calcule essa potência: (a) (b) 43

46 12. POTÊNCIAS EM CIRCUITOS AC 1. O circuito da figura trabalha a uma frequência de 100Hz. Calcule R, Xc e C para o circuito da figura (a) e P, XL e L, para o circuito da figura (b). (a) (b) 2. O circuito da figura calcule Xc. 3. O circuito da figura, Xc = 42,5. Calcule R, P e Q. 44

47 4. Calcule a potência media total e a potência reactiva total fornecida pela fonte da figura abaixo. 5. Para o circuito da figura abaixo, calcule P2 e Q3. O elemento da carga 3 é capacitivo ou indutivo? 6. Para o circuito da figura, w = 10 rad/s. Determine RT, R2, Xc e Leq. 7. Qual a leitura do wattímetro. Qual o triângulo de potências visto pela fonte. 45

48 8. Um gerador fornece potência a um aquecedor eléctrico, a um elemento indutivo e a um condensador, como ilustrado na figura. a) Determine P e Q para cada carga. b) Calcule a potência total activa e reactiva fornecida pelo gerador. c) Desenhe o triângulo de potências para as cargas combinadas e a potência aparente total. d) Determine a corrente fornecida pelo gerador. 9. Para os circuitos (a) e (b) da figura, determine, respectivamente, I e R. (a) (b) 10. Para o circuito da figura, Sfonte = 4835VA. Calcule R. 11. Para o circuito da figura determine PT, QT e ST. O fusível vai queimar? 46

49 12. Para corrigir o factor de potência do circuito para a unidade, é adicionado um condensador de correcção. Mostre onde o condensador é ligado e determine o seu valor (note que 1 hp = 745,7 W e lag indica que a corrente está atrasada em relação à tensão). 13. Um fornecedor eléctrico apresenta 600V, 300kVA de capacidade para fornecer energia eléctrica. Fornece energia para uma fábrica com um triângulo de potências mostrado na Figura. Esta é a carga máxima para o fornecedor. Se um condensador corrigir o factor de potência para a unidade, que potência (com factor de potência unitário) pode ainda ser vendida a outros consumidores? 14. Qual a leitura do wattímetro? 47

50 13. SOLUÇÕES CAPÍTULO 0: 1. a) 7427 s b) 23.61m/s 2. a) Aprato=0.84m 2 ; b) Volcaixa=0.02m º/s rot/min a) 8.72x10-3 ; b) 3.72 x10-1 ; c) 3.48x10 2 ; d) 2.15 x10-7 ; e) 1.41 ; x10 1 f) 1.76x10 3 ; g) 2x10 2 ; h) 1.25x10 2 ; i)2.76x a) 1.5ms; b)27us; c)350us 8. O sinal mais rápido a percorrer 5000km é o sinal de rádio. A diferença de tempo entre chegadas é 16.3ms. 9. a) 1.44 b) 1.46 c) 1.45±0.01 CAPÍTULO 1: 1. Q=-2uC 2. F=1.44x10 11 N x10 23 electrões x10 19 electrões x10 14 electrões 48

51 7. 24V 8. 3A s V 11. t=28,69 h 12. a)25v b) 25V c) 14V d) -6 V CAPÍTULO 2: 1. a) 3.6 ; b) 0.9 ; c) 36 k ; d) 36 m 2. a) 4 S; b) 2 ms; c) 4 S; d) 0.08 S 3. [2.7 k ; 3.3 k ] 4. a) 2 A; b) 20 ; c) 300 mv; d) 5 ma V 6. a) + 45 V ; b) 4 A ( ) ; c) 90 V + ; d) 7 A ( ). 7. a) 0.75A; b) -0.75A; c)-0.75ª 8. a) 30V; b) -90V. CAPÍTULO 3: J/s; 3.19 W W A V V; 86.1 ma 49

52 6. a) MJ; b) 360 Wh; c) 2.88 cêntimos 7. P1 = 16W; P2 = 24W; P3 = 20W; P3 = 28W. CAPÍTULO 4: 1. a) V1 = 7V; b) V1 = 4V; V2 = 4V; c) V1 = 10V; V2 = 4V; V3 = 12V. 2. V1 = 10 V; V3 = 60 V. 3. a) 0.15A; b) 0.115mA. 4. a) 45V; b) 3.03V. 5. a) 240 ; b) 9.39k ; c) a) I1=200mA; I2=500mA; I3=150mA; I4=200mA; b) 2.5V; c) R1=12.5 ; R3=16.7 ; R4= I T = 15.83A; o fusível vai queimar. 8. a) 1500 ; b) 2.33k. 9. a) RT=314 ; IT=63.7mA; I1=19.2mA; I2=44.5mA; I3=34.1mA; I4=10.4mA; Vab=13.6V; Vbc= 2.9V; b) RT=4.853k ; IT=7.42mA; I1=1.17mA; I2=0.96mA; I3=2.13mA; I4=5.29mA; Vab=10.5V; Vbc=25.5V. 10. a) I1=4.5mA; I2=4.5mA; I3=1.5mA; Vab= 9V; PT=162mW; b) I1=571mA; I2=365mA; I3=122mA; I4=206mA; Vab= 1.827V; PT=5.14W. 11. a) R2 e R3 estão em paralelo; R1 e R4 estão em série; b) R1 e R7 estão em série; R2 e R5 estão em série; R6 e R4 estão em paralelo; c) Estão todas em paralelo. 12. a) RT = 955.9k ; b) RT = 9.392k ; c) RT = 1.2k. 13. a) RT1 = R1 + [(R3 + R4) // R2] + R5; RT2 = R5; b) RT1 = R1 + (R2 // R3 // R5); RT2 = R2 // R3 // R a) Rab = 140 ; Rbc = 8.89 ; b) Rab = ; Rbc = a) V6 = 6V; V3 = 3V; V5 = 5V; V8 = 8V; V2 = 2V; VT = 24V; b) V4.3k = 21.6V; V2.7k = 13.6V; V7.8k = 39.2V; V9.1k = 45.7V; VT = 120V. 50

53 16. a) R1 = 5.14k ; R3 = 20.56k ; R4 = 18.75k ; VR1 = 7.4V; VR3 = 29.6V; P1 = 10.66mW; P2 = 51.84mW; P3 = 42.62mW; P4 = 38.88mW; b) R1 = 1.15k ; R2 = 1k ; R3 = 1.5k ; VR1 = 2.3V; VR3 = 3V; P1 = 4.6mW; P2 = 4mW; P3 = 6mW. 17. a) I1 = 2A; I2 = 8A; b) I1 = 4mA; I2 = 12mA. 18. a) I1 = 6.48mA; I2 = 9.23mA; I3 = 30.45mA; I4 = 13.84mA; b) I1 = 60mA; I2 = 30mA; I3 = 20mA; I4 = 40mA; I5 = 110mA. 19. R = R = 900k. 21. a) Rbc = 110 ; Rac = 36.7 ; Rab = 55 ; b) Rbc = 793k ; Rac = 1693k ; Rab = 955 k. 22. a) Ra = 6.92 ; Rb = ; Rc = ; b) Ra = 1.45 k ; Rb = 2.41k ; Rc = 2.03k. 23. a) I2 = 2.67A; Vab = 3.33V; b) I2 = 0.93A; Vab = 12.87V. 24. a) I1 = 0.14A; I2 = 3.14A; Vab = 7.062V; b) I1 = 3A; I2 = 0.167A; Vab = 8.67V. 25. Io = 7mA. CAPÍTULO 5: 1. Io = 0.33mA. 2. Vo = 7.565V. 3. Vo = 6V. 4. V1 = 16.78V; V2 = 17.57V; V3 = 12V; V4 = 22.49V; V5 = 26.62V. 5. V1 = 3.05V; V2 = 3.27V; V3 = 12V; V4 = 3.71V. 6. a) I1 = 0.467A; I2 = 0.3A; 7. I2 = 0.931A. 8. I = mA; Vab = 2.77V. 51

54 9. Vo = 6V. 10. Io = 2.8mA. 11. I1 = 3.8A; I2 = -0.34A; I3 = 3.38A; I4 = 2A; IA = 1.38A; VA = 3.38V. CAPÍTULO 6: 1. IR1 = 75mA (p/ cima); IR2 = 75mA (p/ direita); IR3 = 87.5mA (p/ baixo); IR4 = 12.5mA (p/ direita);. 2. Va = 3.11V; I = A. 3. Vo = 4.8V. 4. Io = 3.5mA. 5. a) VTH = 10V; RTH = 20 ; Vab = 6V; b) VTH = 3.6V; RTH = 120 ; Vab = 1.2V. 6. a) VTH = 5.6V; RTH = 16 ; b) Vab = 3.11V (para 20 ); Vab = 4.24V (para 50 ). 7. a) VTH = 25V; RTH = 60k ; b) I = 0.417mA (para 0 ); I = 0.357mA (para 10k ); I = 0.227mA (para 50k ). 8. VTH = 1.333V; RTH = IN = 0.594mA; RN = 2.02k ; IL = 0.341mA. 10. IN = 1.5A; RN = I N = A; R N = I N = 0.857mA; R N = 2.55k ; Vo = 2.185V. 13. a) RL = 60k ; PL = 2.6mW. CAPÍTULO 7: 1. (a) Q = 240 μc ; (b) V = 50 V. 52

55 2. (a) C = 35,4 pf ; (b) C = 266 nf ; C duplica; C duplica; (c) 15 KV. 3. CT = 476,19 pf 4. Cx = 12 μf 5. V1 = 14,4V; V2 = 36V; V3 = 9,6V 6. ic = -23,5e -0.05t μa 7. Vc (V) t (ms) 8. V = 5 V 9. Figura ao lado: 10. V = 12,5e -t (1 - t) V 11. L = 13,6 μh 12. L = 4 H 13. (a) 4H ; (b) ; (c) 5A 14. 4mH em série com (40 //(50H em série com 20 F)) 53

56 16. E = 60V 17. Rx = w = 0,32 J 19. L1 = 4H ; L2 = 2H CAPÍTULO 8: 1. (a) 5sen(1000t+36º) ; (b) 10sen(40 t+120º) ; (c) 40sen(1800 t-45º). 2. (a) 100sen(3491t+36º) ; (b) 18sen(wt-60º); i2 = 16,927A ms; 13.2ms; 38.2ms 4. (a) 12 V; (b) 17 ma; (c) 19,7 V; (d) 48,9 V. 5. (a) 14,2 23,8º; (b) 1,35 69,5º; (c) 5,31 167,7º. 6. 5,863+j 5,505 = 8,042 43,2º 7. (a) v(t) = cos(wt + 70º) (V) ; (b) i(t) = 2 20 cos(wt + 140º) (A) ; (c) i(t) = 2 10 cos(wt - 35º) (ma). 8. v(t) = 21,8 sen(wt + 36,6 ) V 9. (a) 31,416ms ; (b) 120 kj ; (c) i3(t) = 13,14 A ; (e) 7,18 A; 13,59 A. 2 8,07 cos(100t 81,7º) (A) ; (d) sen(wt 56,3 ) V 11. R = 6,67 k 12. (a) 70,7sen(wt) 70,7 2 90º; (b) 90sen(wt+30) º; (c) 100sen(wt) º; (d) 10cos(wt+70) º. 13. (a) 5sen(wt-30º); (b) 5sen(wt-105º); (c) 10sen(wt+120º); (d) 10sen(wt+100º). 54

57 14. (a) 50sen(wt+30º); 50sen(wt 60º); (c) 50sen(wt+120º). 15. (a) XL = 188,5; il = 0,531sen(377t-90º); (b) XL = ; il = 31,8sen(6283t-90º) ma; (c) XL = ; il = 0,4sen(500t-90º); 16. (a) f = 8,74kHz; (b) L = 50,9mH; = 130º. 17. (a) XC = 530,5 ; ic(t) = 0,1885 cos(wt) (A); (b) XC = 31,83 ; ic(t) = 3,14 cos(wt) (A) (c) XC = 400 ; ic(t) = 0,25 cos(wt) (A); 18. (a) f = 18,785 khz; (b) C = 1,3 F; = 50º 19. (a) v = 25 0º; v = 35,4cos(wt); (b) v = 12,5 90º; v = 17,7cos(wt+90º); (c) v = 5 90º; v = 7,07cos(wt-90º); 20. (a) f = 39,8Hz; (b) C = 6,37 F 21. (a) v = 1333cos(2000 t+30º), v = ; (b) ; (c) CAPÍTULO 9: 1. (a) ZT = 31,6 18,43º; (b) ZT = 8,29k -29,66º 2. (a) Z = 42 19,47º; Z = 39,6+j14; (b) 3. (a) R = 1,93k ; L = 4,58mH 4. R = 15 ; C = 1,93 F 5. (a) ZT = 50-36,87; I = 2,4 36,87; VR = 96 36,87; VL = ,87; VC = ,13; (b) ; (c) 230,4W; (d) 230,4W. 6. V1 = 158,149-45,83º; V2 = 253,039 67,3º 7. (a) VC = 6-110º; (b) VZ = 13,87 59,92º; (c) Z = 69,4 79,92º; (d) 1,286W. 8. (a) 199,9-1,99º; (b) ,04º. 9. (a) ZT = 3,92k -78,79º; IT = 2,55m 78,79º; I1 = 0,5m 0º; I2 = 10m -90º; I3 = 12,5m 90º; (b) ; (c) ; (d) 5mW; (e) 10. (a) ZT = 5,924k 17,38º; (b) 177,72 17,38º. 55

58 11. 2,55 81,8º. 12. IL = 2,83m -135º; IC = 3,54m 45º; IR = 0,71m -45º. 13. (a) Z T = 22,5-57,72º; I L = 5,34 57,72º; I C = 4,78-84,29º; I R = 2,39,71º; (b) ; (c) 342W; (d) 342W. 14. (a) ZT = 10,53 10,95º; IT = 1,9-10,95º; I1 = 2,28-67,26º; I2 = 2 60,61º; (b) Vab = 8,87 169,06º (a) R = 5,5k ; Reactância indutiva = 9 k ; (b) R = 207,7 ; Reactância indutiva = 138, Vout = 7, (a) V = 54V; VL = 13,5 V; (b) V = 0,45-60º; VL = 0,439-47,32º. 19. (a) V = 4,69 180º; (b) Vth = 7,5M I; V = 4,69 180º CAPÍTULO 10: 1. (a) I = 6,15-3,33º; (b) I = 152,4m 27,08º 2. I = 6,95m 6,79º; (b) V = 27,8 6,79º. 3. (a) I = 13,5-44,31º; (b) V = 4. Veja figura ao lado. 5. ZT = 2 + j (a) I = 0,337-2,82º; (b) I = 7. (a) ZT = 3,03-76,02º; I = 5,28 76,02º; I1 = 0,887-15,42º. 8. ZT = 3,2k -24,95º; V = 32,08V -24,95º; V1 = 7,079V -0,507º CAPÍTULO 11: 1. (a) Vab = 16V 53,1º; (b) Vab = 18,5V 136,2º. 56

59 2. R3 = 50,01 ; R1 = 253,3. 3. C1 = 100pF; C2 = 500pF 4. (a) I = 4,12A 50,91º; (b) I = 5,77mA -154,36º 5. (a) 16 53,13º; (b). 6. (a) 15,77 36,52º; (b) P(1) + P(2) = 1,826 P100- =.2,49W 7. (a) 0,436 º; (b) 19cos(wt+68,96º). 8. (a) VL = 1, º; (b) I1 = 0,361mA 3,18º; (c) VL = 6, º. 9. (a) VL = 9,88 0º; (b) VL =. 10. (a) Vab = 1,78 V 11. Zth = 3 90º; Vth = 20 90º. 12. (a) Zth = 37,2 57,99º; Vth = 9,63 78,49º; (b) 0,447 W. 13. (a) ZN = 14,1 85,41º; IN = 0,181 29,91º; (b) 100,512mA 81,65º. 14. (a) Zth = 20,6 34,94º; Vth = 10,99 13,36º; (b) 1,61 W. 15. (a) ZN = 109,9 28,44º; IN = 0,131 63,17º; (b) 0, ,09º; (c) 0,394 W. 16. (a) ZL = 8 22,62º; P = 40,2 W; (b) ZL = 2,47 21,98º; P = 1,04 W. CAPÍTULO 12: 1. (a) R = 10; Xc = 6; C = 265 F; (b) R = 21,25 ; P = 339,965 W; Q = 170 var. 4. P = 160W; Q = 400 var (ind.). 5. P2 = 900W; Q3 = 300 var (ind.). 57

60 6. RT = 20 ; R2 = 6 ; XC = 8 ; Leq = 1,2H. 7. Wattímetro = 750W; PT = 1150W; QT = 70var (cap); ST = 1152VA; = -3,48º 8. (a) PH = 2,5kW; QL = 2,4kvar (ind.); QC = 600var (ind.); (b) PT = 2,5kW; QT = 1,8kvar; (c) ST = PT + jqt = j1800 = ,8 ; ST = 3081; (d) I = 25,7A. 9. (a) I = 12,693 A; (b) R = 2, PT = 721W; QT = 82,3var (cap); ST = 726VA; I = 6,05A; Fusível não queima ,9 F ,3 kw W. 58