Programação Linear. Utilização de Software e Aplicações da Programação Linear. O problema do vendedor de frutas (dever de casa 1-1)

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1 Utilização de Software e Aplicações da Programação Linear Programação Linear Aderson Passos, M.A. O problema do vendedor de frutas (dever de casa -) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 00 caixas de laranja a R$0,00 de lucro por caixa, pelo menos 00 caixas de pêssegos a R$0,00 de lucro por caixa, e no máximo 00 caixas de tangerinas a R$0,00 de lucro por caixa. De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter o lucro máximo? / 48 O Modelo do vendedor de frutas max 0x 0x 0x s.r. x x x 800 x = 00 x 00 Resolveremos x 00 usando o Solver do Excel. x, x, x 0 / 48

2 Chamando o Solver a partir do Excel 4/ 48 Examinando a janela para os parâmetros do Solver Função Objetivo variáveis restrições Para o Excel, tudo tem que estar em células. A função objetivo, as variáveis e as restrições. Para tanto, precisamos definir as células onde estarão as variáveis, e calcular a função objetivo e as restrições com fórmulas que usem estas células 5/ 48 Passando os parâmetros para o Excel Lugar para o Excel colocar a solução ótima Lugar para o valor ótimo de Z Cálculo das restrições 6/ 48

3 Calculando a função objetivo 7/ 48 Calculando as restrições Escrevendo as fórmulas com $, basta arrastar às demais 8/ 48 Passando os parâmetros do Solver 9/ 48

4 Passando as restrições x x x 800 E assim, para todas as restrições 0 / 48 O Solver totalmente preenchido Faltam apenas algumas opções / 48 Preenchendo as opções do solver As opções do solver servem para controlar os métodos numéricos de aproximação. Como estamos resolvendo problemas lineares, é bastante assinalar os campos indicados. O campo de não negativos, se necessário. / 48

5 Verificando a resposta do Solver Depois de clicar no botão Resolver, o Solver mostrará uma janela como esta: Preste atenção nesta mensagem. Em caso de Solução Impossível ou Solução Ilimitada, ele relatará apenas aqui. / 48 Mensagens de erro do Solver Solução Impossível Solução Ilimitada 4 / 48 A solução do Solver Solução Ótima Valor Ótimo de Z 5 / 48

6 Pedindo o Relatório de Resposta Quando o Solver oferece a mensagem de resposta, você tem a opção de pedir relatórios. Por enquanto, vamos examinar apenas o Relatório de Resposta. 6 / 48 O Relatório de Resposta Microsoft Excel 8.0 Relatório de resposta Planilha: [Aula 05_.xls]dados Relatório criado: 0/0/00 9:6:04 Célula de destino (Máx) Célula ome Valor original Valor final $F$5 F. Objetivo Células ajustáveis Célula ome Valor original Valor final $C$ Valor X 0 00 $D$ Valor X $E$ Valor X 0 00 Valor final do lado esquerdo das restrições Valor antes e depois do solver atuar da função objetivo e das variáveis. Fórmula passada ao Solver Agrupar = restrição no limite Restrições Célula ome Valor da célula Fórmula Status Transigência $F$ Valor Restrição 00 $F$<=$G$ Agrupar 0 $F$9 Valor Restrição 00 $F$9=$G$9 Agrupar 0 $F$0 Valor Restrição 400 $F$0>=$G$0 Sem agrupar 00 $F$8 Valor Restrição 800 $F$8=$G$8 Agrupar 0 distância ao limite 7 / 48 Problema de Mistura A A firma LCL TITAS produz dois tipos de tintas: Seca Rápido (SR) e Super Seca (SS). Ambas Ambas são produzidas a partir de uma base de silicato e uma solução de óleo de linhaça, a, que são adquiridos pela LCL de vários v fornecedores. Atualmente estão disponíveis no mercado apenas duas soluções preliminares e os produtos isolados. A A solução do tipo A contém m 60% de silicato e 40% de óleo de linhaça. a. A A solução do tipo B contém m 0% de silicato e 70% de óleo de linhaça. a. 8 / 48

7 Problema de Mistura A solução A custa R$ 0,50 por litro, a solução B custa R$ 0,75 por litro, e o silicato e óleo de linhaça a puros custam R$,00 e R$,0 por litro. Cada litro de SR requer no mínimo m 5% de silicato e 50% de óleo de linhaça; a; Cada litro de SS requer no mínimo m 0% de silicato e no máximo m 50% de óleo de linhaça. a. Quantos litros de cada matéria prima, devem ser adquiridos para produzir exatamente 00 litros de SR e 50 litros de SS? 9 / 48 Variáveis de Decisão x ij = Qtde.(litros) da matéria prima i usados na produção da tinta j. A:Solução A B :Solução B R = Tinta Seca Rápido i = j = S :Silicato Puro S = Tinta Super Seca O :Óleo de Linhaça Puro Por exemplo, x AR = Qtde. em litros da solução A que foi utilizado na produção da tinta SR 0 / 48 Problema de Mistura Função Objetivo min 0,5( xar xas ) 0,75( xbr xbs ),0( x x ), ( x x ) SR SS Restrições de Quantidade de Produção x x x x = 00 x AR AS x BR BS x SR SS x OR OS OR OS = 50 / 48

8 Problema de Mistura Restrições de tipo de componentes 0,6xAR 0,xBR xsr 0,5( xar xbr xsr xor ) 0,4xAR 0,7xBR xor 0,50( xar xbr xsr xor ) 0,6xAS 0,xBS xss 0,0( xas xbs xss xos ) 0,4x 0,7x x 0,50( x x x x ) AS BS Restrições de não negatividade x ij OS 0 AS BS SS OS / 48 Problema de Mistura Excel Variáveis de Decisão / 48 Problema de Mistura Excel 4 / 48

9 Problema de Mistura Excel 5 / 48 Problema de Mistura Excel 6 / 48 Parâmetros e Opções do Solver 7 / 48

10 Solução do Excel 8 / 48 Decisões do tipo Fazer vs Comprar A LCL Motores recebeu recentemente R$90.000,00 em pedidos de seus quatro tipos de motores. Cada motor necessita de um determinado número n de horas de trabalho no setor de montagem e de acabamento. A LCL pode terceirizar parte da sua produção. A tabela a seguir resume estes dados. 9 / 48 Modelo Decisões do tipo Fazer vs Comprar Total Demanda 000 un 500 un 500 un 6000 un Montagem h/un h /un/ 0,5 h /un/ 6000 h Acabamento,5 h/un h/un 4 h/un 0000 h Custo Produção Terceirizado R$ 50 R$ 65 R$ 90 R$ 9 R$ 0 R$ 40 0 / 48

11 Decisões do tipo Fazer vs Comprar Variáveis de Decisão Fabricando: F º Motores do modelo fabricados pela LCL F º Motores do modelo fabricados pela LCL F º Motores do modelo fabricados pela LCL Terceirizando T º Motores do modelo Terceirizados pela LCL T º Motores do modelo Terceirizados pela LCL T º Motores do modelo Terceirizados pela LCL / 48 Decisões do tipo Fazer vs Comprar Função Objetivo Min 50F T 90F 0F 65T 9T 40 Restrições de Produção F,5F F F 0,5F 4F (montagem) (acabamento) / 48 Decisões do tipo Fazer vs Comprar Restrições de Demanda F T F T F T = 000 = 500 = 500 (motor do tipo) (motor do tipo ) (motor do tipo ) / 48

12 Decisões do tipo Fazer vs Comprar Variáveis de Decisão Função Objetivo 4 / 48 Definição da Função Objetivo 5 / 48 Forma alternativa para a Função Objetivo 6 / 48

13 Definição do lado esquerdo das restrições =BB4 =CC4 =DD4 7 / 48 Definição do lado esquerdo das restrições =(B*B)(C*C)(D*D) =(B4*B)(C4*C)(D4*D) 8 / 48 Forma alternativa para o lado esquerdo das restrições =SUMPRODUCT(B:D,$B$:$D$) =SUMPRODUCT(B4:D4,$B$:$D$) 9 / 48

14 As opções do Solver opcional 40 / 48 Alternativa para os parâmetros do Solver várias restrições por linha 4 / 48 Modelo Linear Variáveis não-negativas 4 / 48

15 Solução 4 / 48 Um Problema de Investimento A LCL Previdência Privada escolhe carteiras de investimento para diversos clientes, baseados em Bonds de diversas empresas. O cliente exige que: ão mais de 5% do total aplicado deva ser investido em um único investimento. Mais de 50% do total deve ser aplicado em títulos t tulos de maturidade de mais de 0 anos. O total aplicado em títulos t tulos de alto risco deve ser no máximo de 50% do total investido. A tabela a seguir mostra os dados dos títulos t tulos selecionados 44 / 48 Um Problema de Investimento Título Retorno Anual 8,7% Anos para Vencimento 5 Risco - Muito Baixo Título 9,5% - Regular Título,0% 8 4- Alto Título 4 9,0% 7 - Baixo Título 5,0% 4- Alto Título 6 0,0% 5 5- Muito Alto 45 / 48

16 Um Problema de Investimento Variáveis de Decisão P Percentual do total aplicado no título t tulo do tipo P Percentual do total aplicado no título t tulo do tipo P Percentual do total aplicado no título t tulo do tipo P 4 Percentual do total aplicado no título t tulo do tipo 4 P 5 Percentual do total aplicado no título t tulo do tipo 5 P 6 Percentual do total aplicado no título t tulo do tipo 6 46 / 48 A Função Objetivo P P P Max P4 P5 P / 48 Um problema de Investimento - Restrições Restrição de Orçamento P P P P4 P5 P6 = P 5 P 4 5 P 5 5 P Restrições de Máximo M de Aplicação por Tipo de TítuloT P 5 P 5 48 / 48

17 Um Problema de Investimento - Restrições Restrições de Mínimo M de Aplicação em Título T de Maturidade maior que 0 anos. P P P5 50 Restrições de Máximo M de Aplicação em Título T de Alto Risco. P P P4 50 ou P P5 P / 48 Excel =(SUMPRODUCT(B4:B9,D4:D9) =SUMPRODUCT(B4:B9,H4:H9) =SUMPRODUCT(B4:B9,F4:F9) 50 / 48 Excel - Solver 5 / 48

18 Excel - Solução 5 / 48 Excel Relatório de Resposta Target Cell (Max) Cell ame Original Value Final Value $D$ Retorno Anual 0,00%,88% Adjustable Cells Cell ame Original Value Final Value $B$4 Título Investido 0,00% 0,00% $B$5 Título Investido 0,00% 5,00% $B$6 Título Investido 0,00% 0,00% $B$7 Título 4 Investido 0,00% 5,00% $B$8 Título 5 Investido 0,00% 5,00% $B$9 Título 6 Investido 0,00% 5,00% Constraints Cell ame Cell Value Formula Status Slack $H$0 Risco calculado Alto 50,00% $H$0<=$H$ Binding 0 $F$0 Maturidade 0 anos 50,00% $F$0>=$F$ Binding 0,00% $B$0 Total Invest. Investido 00,00% $B$0=$B$ Binding 0 $B$4 Título Investido 0,00% $B$4<=$C$4 ot Binding 0,5 $B$5 Título Investido 5,00% $B$5<=$C$5 Binding 0 $B$6 Título Investido 0,00% $B$6<=$C$6 ot Binding 0,5 $B$7 Título 4 Investido 5,00% $B$7<=$C$7 Binding 0 $B$8 Título 5 Investido 5,00% $B$8<=$C$8 Binding 0 $B$9 Título 6 Investido 5,00% $B$9<=$C$9 Binding 0 5 / 48 Escala de Funcionários Uma franquia da ECT- Empresa de Correios e Telégrafos, deseja estabelecer o número n de funcionários de horário rio integral que deve contratar para iniciar suas atividades. Para tal recebeu uma tabela da ECT com o mínimo m de funcionários por dia da semana. Estas informações se encontram na tabela a seguir. 54 / 48

19 Escala de Funcionários O sindicato dos empregados de franqueadores dos correios mantém m um acordo sindical que determina que cada empregado deve trabalhar cinco dias consecutivos e folgar em seguida dois dias. (por exemplo um funcionário que trabalhe de ª à 6ª deve folgar sábado s e domingo) e que as franquias devem ter apenas empregados com horário rio integral. Formule o problema de maneira a resolver o problema. 55 / 48 Programação Linear Escala de Funcionários Dia da Semana.º Mínimo de Empregados Requeridos Segunda-feira 8 Terça-feira Quarta-feira 5 Quinta-feira 9 Sexta-feira 4 Sábado 6 Domingo 56 / 48 Escala de Funcionários Variáveis de Decisão nº de funcionários que iniciam atividades no domingo nº de funcionários que iniciam atividades na segunda nº de funcionários que iniciam atividades na terça-feira 4 nº de funcionários que iniciam atividades na quarta-feira 5 nº de funcionários que iniciam atividades na quinta-feira 6 nº de funcionários que iniciam atividades na sexta-feira 7 nº de funcionários que iniciam atividades no sábados 57 / 48

20 58 / 48 Escala de Funcionários Feira º deempregadosque trabalhana 4ª - Feira º deempregadosque trabalhana ª - Feira º deempregadosque trabalhana ª - º deempregadosque trabalhano Domingo - º deempregadosque trabalhanosábado - Feira º deempregadosque trabalhana 6ª - Feira º deempregadosque trabalhana 5ª / 48 Escala de Funcionários Fun Função ão ObjetivoRestri ObjetivoRestrições ões de de º Mínimo de nimo de Empregados Empregados Min Fun Função Objetivo ão Objetivo 60 / 48 Escala de Funcionários Alternativa A =SUMPRODUCT(B4:B0,$I$4:$I$0)

21 Excel - Solver 6 / 48 Solução da Alternativa A 6 / 48 Escala de Funcionários Alternativa B =SUM(B4,B7:B0) 6 / 48

22 Parâmetros e opções do Solver 64 / 48 Solução da Alternativa B 65 / 48 Programação Linear Escala de Funcionários Porém m nenhuma das soluções apresentadas parece lógica l jáj que o nº n de pessoas a iniciar o trabalho num determinado dia não pode ser fracionário. rio. A solução para tal é identificar as variáveis veis de decisão como inteiras 66 / 48

23 Restringindo a solução a ser inteira Alternativa A 67 / 48 Escala de Funcionários - Solução Inteira no Excel 68 / 48 Restringindo a solução a ser inteira Alternativa B 69 / 48

24 Escala de Funcionários - Solução Inteira no Excel 70 / 48 Produção e Estoque A Sunshine Armazéns e Comércio Ltda. possui armazém m com capacidade de armazenamento de toneladas de grãos. o início do mês de janeiro a Sunshine tinha toneladas de grãos de trigo; Existe uma previsão de preços de compra e venda para o ano (tabela a seguir). A Sunshine pode comprar ou vender em qualquer quantidade desejada, desde que: Respeite Respeite a capacidade de armazenamento; Venda Venda apenas o que possuir em estoque (não é possível vender uma mercadoria que ainda não foi comprada). 7 / 48 Produção e Estoque Mês Preço de Venda Preço de Compra Janeiro 8 Fevereiro 6 8 Março 8 Abril Maio 4 4 Junho 5 Julho 6 Agosto Setembro 5 Outubro 5 ovembro Dezembro 7 / 48

25 Produção e Estoque Modelagem Variáveis de Decisão: QC i Quantidade de Grãos Comprados no mês i ; QV i Quantidade de Grãos Vendidos no mês i ; Variáveis Auxiliares: SF i Saldo Final no mês i ; SF 0 Saldo Final em Dezembro anterior = 8000 toneladas. i =,,..., 7 / 48 Programação Linear Produção e Estoque Função Objetivo Max Lucro Receita = Custo = ( PVendai QVi ) ( PComprai QCi ) i= = Receita Custo i= 74 / 48 Programação Linear Produção e Estoque Restrições Auxiliares de Saldo Armazenado SFi = SFi QCi QVi para i =... Restrições de Armazenagem SF i para i =... Restrições de Quantidade Vendida QVi SFi para i = / 48

26 Fórmulas no Excel 76 / 48 Fórmulas no Excel Saldo Anterior Qtde. Vendida Qtde. Comprada 77 / 48 Parâmetros e Opções do Solver 78 / 48

27 Solução do Excel 79 / 48 Fluxo De Caixa Multi- Período A LCL restaurantes quer construir uma nova filial. Para tal necessita de um total R$500 mil, que será pago a construtora em duas parcelas de R$50 mil ao final do º e 5º 5 meses e uma última de R$00 mil ao final da construção, no 7º 7 mês. A empresa dispõe de 4 tipos de investimentos (tabela a seguir) que podem ser utilizados afim de gerar caixa futuro para quitar a construção, de maneira a minimizar a necessidade de caixa presente. 80 / 48 Fluxo De Caixa Multi- Período Investimento Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D Mês Disponível para aplicação,,,4,5,6,7,,5,4 Meses de Duração Da aplicação 7 Retorno ao Final do Investimento,5%,% 4,5% 9,0% 8 / 48

28 Fluxo De Caixa Multi- Período Variável de Decisão A i Valor aplicado no mês i na aplicação A (i=,,,4,5,6,7) B i Valor aplicado no mês i na aplicação B (i=,,5) C i Valor aplicado no mês i na aplicação C (i=,4) D i Valor aplicado no mês i na aplicação D (i=) 8 / 48 Fluxo de Caixa,05A,05A,05A,05A,05A 4,05A 7,0B,05A,0B 5 6,0B 5,045C,045C ,09D 8 A B C D A A B A 4 C 4 A 5 A 6 A 7 B 5 Aplicação Resgate Parcela a pagar 50 mil 50 mil 00 mil O índice refere-se ao início do mês 8 / 48 Metodologia para modelagem Função Objetivo minimizar a aplicação inicial: Min A B C D Restrições ( Resgate) ( Reinvestimento) i i =,,...,8 Parcela i = a pagar i 84 / 48

29 O Modelo no Excel Variáveis de Decisão 85 / 48 O Modelo no Excel 86 / 48 Parâmetros e Opções do Solver 87 / 48

30 Solução do Excel 88 / 48