Primos gêmeos, primos de Sophie Germain e o Teorema de Brun

Transcrição

1 Prios gêos, rios d Sohi Grai o Tora d Bru {No da sção} Artigo Carlos Gustavo Morira IMPA Fabio Eriu Brochro Martíz UFMG Os úros rios od sr cosidrados os tijolos fudatais da aritética, a strutura do cojuto dos úros rios t iuitado graçõs d atáticos d todos os tos. Dois d tatos aos d trabalho itso d uitos atáticos, a uatidad d roblas abrtos cojcturas sobr úros rios é uito grad. Ua d tais cojcturas vrsa sobr os chaados rios gêos; dois úros rios são chaados rios gêos s. Cojctura-s, as ão s sab dostrar até agora, u ist ifiitos ars d rios gêos. S ss for o caso, tros li if +, u dota o -ésio rio. Por outro lado, são cohcidos ars d rios gêos bastat grads, coo ±, u tê dígitos cada. E gral, sab-s uito ouco sobr o coortato da fução d +, coo vros a sguir. O Tora dos Núros Prios, rovado iddtt or Jacus Hadaard Charls-Ja d la Vallé Poussi, 896, uival a dizr u li log. Isso ostra u, édia, d é da ord d log. A cojctura d u ist ifiitos rios gêos uival a dizr u li if d. Mas ão s sab rovar u li if d < +. Por outro lado, dfiido-s d L li if, log Erdős rovou u L < Mair u L 0, 48. Aas 005, D. A. Goldsto, J. Pitz C. Y. Yıldırı rovara u L 0 vr [4]. D fato ls rovara b ais vr [5]: dtr outros rsultados, ls ostrara u li if d log log log <. Por outro lado, o atático oruguês Viggo Bru ivtou a toria do crivo cobiatório rovou, 97 vr [], u rios gêos são scassos o sguit stido: s π #{ + são rios} é o úro d ars d rios gêos até tão ist ua costat A > 0 tal u log log π A log. E articular, isto ilica u < +, gêo uato sabos u a soa sobr todos os rios divrg Tora 7. Arstar ua rova dst rsultado, da fora ais ltar autocotida ossívl, é u dos riciais objtivos dst artigo. Bru rovou ostriort, [3], u π < 00 log ara suficitt grad. Acrdita-s, as ão s sab dostrar, u π sja assitótico a C/log ara algua costat ositiva C. Diaos coo rcício rovar a sguit caractrização d Matática Uivrsitária os 48/49 93

2 rios gêos dvida a Clt: Sja. Os itiros+ são abos rios s, sot s, 4! od + ; b coo a sguit gralização ara rios co difrça d: s d são itiros aiors u co cd, d!, t-s u + d são rios s, sot s, d!d! + +d! 0 od + d. Est últio robla foi roosto lo rofssor Adré Cotiro, da Uivrsidad Fdral d Alagoas, ara a II Cotição Ibroaricaa Itruivrsitária d Matática, ralizada 00 o Rio d Jairo. Outra faília itrssat d úros rios é forada los rios ara os uais + tabé é rio os chaados rios d Sohi Grai. Est o é usado oru a atática fracsa Sohi Grai rovou o chaado riiro caso do Últio Tora d Frat ara rios dsta fora. Dvos dstacar u Adrw Wils, colaboração co su tão aluo Richard Taylor, ostrou, 994, u rsultado sobr curvas líticas u, coo cosuêcia, ilica o Últio Tora d Frat. Proosição Sohi Grai. S + são rios co >, tão ão ist itiros, y, z co dc, y, z yztais u + y + z 0. Dostração. Obsrv iicialt u + yz: caso cotrário, lo Puo Tora d Frat, od +, o u uival a + 0 od +. Assi, tos u ± od +, aalogat, y ± od + z ± od +. Mas + y + z ± ± ± 0 od +, u absurdo. Por outro lado, tos y + zy y z + yz + z. Vaos ostrar u os dois fators da dirita são rios tr si. S é u rio u divid abos os tros, tão y z od, ortato, 0 y y z + + z y od ; tos ois, assi y y, as tão z y 0 od dividiria siultaat, y, z, cotrariado a hióts dc, y, z. Assi, la fatoração úica rios ist itiros a, d tais u a y + z d y y z + yz + z. Aalogat, ist b, c,, f itiros tais u b + z, z + z + z c + y, f y + y + y Coo + yz, odos suor s rda d gralidad u +. Assi, d b + c a, tos u + b + c a o so arguto o iício da dostração ostra u + abc tabé. Mas s + b + z ou + c + y, coo + + y + z 0 tríaos u + dc, y, z, u absurdo. Por outro lado, tos f y od +, s + a, tão + d y z od + d y od +. Assi, + f, ois caso cotrário tríaos ± f y d ± od +, u absurdo. Mas st caso, + z tabé, o u é iossívl já u dc, y, z, coltado a rova. Podos cioar tabé o sguit rsultado, u rlacioa rios d Sohi Grai co úros d Mrs, u são úros da fora M. Os 9 aiors rios cohcidos o oto são úros d Mrs, sdo o aior dls M Não é difícil ostrar u, s M é rio tão tabé é rio. A rcíroca, o tato, ão val, o rsultado abaio rit ibir los d rios bastat grads ara os uais M é coosto. Proosição. Sja, 3 od 4. Etão + é rio i.. é rio d Sohi Grai s, sot s, + divid M. Diaos a rova coo rcício ara o litor. 94 Matática Uivrsitária os 48/49

3 Algus rios d Sohi Grai bastat grads são cohcidos, coo , u t 799 dígitos. Sab-s tabé u s π SG dota o úro d rios d Sohi Grai ors do u tão ist C tal u π SG < C log ara todo. Acrdita-s u π SG sja assitótico a c/log ara algu c > 0, as ão s sab dostrar sur u ist ifiitos rios d Sohi Grai. Na atualidad os rios d Sohi Grai tê utilidad rática os étodos d critografia ública RSA ElGaal. Nst últio étodo a chav ública cosist d três ltos, g, h, u é u rio uito grad, g é u úro tal u < g < é raiz riitiva ódulo i.., a ord d g ódulo é, h g od, u é a chav rivada. Para codificar ua sag M, o issor scolh u úro y 0 trasit a, b, u a g y od b h y M od. Obsrvos u, ara dcodificar, basta calcular a b g y h y M g y g y M M od. Assi, é ossívl ubrar a codificação calculado, isto é, calculado o chaado logarito discrto d h co rsito a g ódulo. No oto são cohcidos étodos ara calcular o logarito discrto facilt uado os fators rios d são uos. D fato, s r α rα l l é sua fatoração ria, dfiios g i g /rα i i h i h /rα i i, tos u a ord d g i ódulo é r α i i gi h i od. Assi, s cotraos i tais u g i i h i od tos u i od r α i i, ortato od sr calculado usado-s o Tora Chiês dos Rstos. Agora obsrvos u ara solucioar a cogruêcia g h od uado a ord d g é r, do algorito da divisão tos u cotrar 0 b < r 0 a < r tais u ar + b. Mas coo h r g r g ar +br g r b od, tos u b é a solução do robla u v b od, u u h r v g r t ord r a é a solução do robla hg b g r a od, u g r t ord r. Podos tão calcular a idutivat, ortato, a colidad ara calcular o logarito discrto dd do taaho do aior rio u divid liart da otêcia ao ual tal rio stá lvado. No caso u é tal u é rio, isto é, uado é u rio d Sohi Grai, dizos u é u rio sguro. D fato, ss caso a tarfa d ttar cotrar dados, g h fica bastat dificultada. E gral, dados a, b, c úros itiros ositivos, rios rlativos dois a dois co atat u d tais úros ar, dotaos or π a,b,c a uatidad d ars d úros rios, u satisfaz a codição a b c co. G. H. Hardy J. E. Littlwood cojcturara, [6], a sguit stiativa assitótica ara π a,b,c. Cojctura 3 Hardy, Littlwood. u C π a,b,c C a log. > abc >, E articular, s a, b c tos u π,, π, s a, b c tos u π,, é o úro d rios d Sohi Grai ors do u ou iguais a. U fato iortat sobr úros rios é u a séri d sus ivrsos divrg, isto é, +. U itrssat arguto dvido a Erdös dá ua rova dst fato: suodo u < +, ist N N tal u <. N Matática Uivrsitária os 48/49 95

4 Vaos cosidrar a dcoosição N A B u A { N todos os fators rios d são ors u N} B N \ A. Sja,,..., todos os rios ors u N. Fios M N. S A M, tão s fatora coo α α...α, u α j log M log, j. Assi, A [, M] + log M log. Por outro lado, todo lto d B t u fator rio aior ou igual a N, ortato, B [, M] N M M < M. N Coo M N [, M] A [, M] + B [, M] < + log M log + M, tos M < + log M log ara todo M N, o u é absurdo, ois li M + + log M 0. M log Agora, ostros alguas stiativas sobr úros rios. Proosição 4 Chbyshv. Sja π a uatidad d rios ors do u ou iguais a. Eist ua costat ositiva C tal u π < C log ara todo. Dostração. Obsrvos iicialt u!!! é últilo d todos os rios u satisfaz <. Coo <, 0 sgu u o roduto dos rios tr éor do u. Coo há π π rios coo sss, sgu u π π < ois todos sss rios são aiors u, dod π π log < log log π π < log. Isso ilica facilt, or idução, u π + 5 coçado co 5; até 5 sgu d π / ara 4. Daí sgu u s < + tão ois f π 5 log 5 log log, é ua fução crsct ara 3. Proosição 5 Fators do Fatorial. Sja u rio. Etão a aior otêcia d u divid! é α, u α Obsrv u a soa acia é fiita, ois os tros i são ulos ara i grad. Dostração. No roduto!..., aas os últilos d cotribu co u fator. Há tais últilos tr. Dsts, os u são últilos d cotribu co u fator tra há tais fators. Dtr sts últios, os u são últilos d 3 cotribu co ais u fator assi or diat, rsultado a fórula acia. Proosição 6. log log + O. Dostração. Pla Proosição 5, tos! v, u v. Toado logaritos, tos, coo sgu u < log v < log v log log, log. 96 Matática Uivrsitária os 48/49

5 Ou sja, stá tr Coo log log log log. log π log, tão ss tro, la Proosição 4, é O. Por outro lado, log O rsultado sgu, ois 3 O. log log + O. A roosição atrior os rit stiar a ord d crscito da soa dos ivrsos dos rios. Tora 7. log log + O. Dostração. Dfia log s é rio a 0 caso cotrário S a. Pla roosição atrior, tos u S log log + O. Assi, or itgração or arts discrta, tos a log S S log + S log log + log log log + log + log log + + O + log + + O, S log + + O u a últia igualdad sgu do fato d u ilica + + d log + log + log + log + log + log + + log + O. + O rsultado é cosuêcia do la atrior, já u log log log + O. Vros a sguir alguas frratas u srão útis ara a rova do Tora d Bru. Ua fução f dfiida sobr N >0 é dita ultilicativa s dados dois úros aturais a b tais u dca, b tão f ab f a f b. Alguas fuçõs ultilicativas iortats são d df úro d divisors d σ df soa dos divisors d. Diaos ara o litor ostrar o fato ais gral d u ara todo úro ral a fução σ df d é ultilicativa. Assi, articular, d σ 0 σ σ são ultilicativas. O sguit tora os ostra ua fora d costruir fuçõs ultilicativas. Tora 8. S f é ua fução ultilicativa tão a fução é tabé ultilicativa. d F f d d Matática Uivrsitária os 48/49 97

6 Dostração. Sja a b itiros tais u dca, b. Etão Fab f d d ab f d d d a,d b f d f d d a,d b d a d b f d f d FaFb. d a d b Sgu u F tabé é ultilicativa. f d f d Dfiios a fução d Möbius µ : N >0 Z or s µ 0 s a ara algu a > s é roduto d rios distitos. Facilt s corova u a fução d Möbius é ultilicativa. Alé disso, val o sguit la. La 9. Para todo itiro ositivo tos s µd d 0 s >. Dostração. No caso ão tos ada ara rovar. Coo a fução d µd é ultilicativa, lo Tora 8, basta ostra o la ara, u é u úro rio. D fato, µd µ j 0, d j0 coo uríaos dostrar. Tora 0 Fórula d ivrsão d Möbius. Sja f ua fução ultilicativa F d f d. Etão, ara todo itiro ositivo, f µdf. d d Dostração. µdf d d µd d d d d d d d f d µd f d d d d µd f d f d d d µd f µ f. Nsta sção, rovaros o tora d Bru, sgudo o ual a séri dos ivrsos dos rios gêos covrg. Plo so arguto s rova u a soa dos ivrsos dos rios d Sohi Grai covrg, o u ostra u os rios gêos, assi coo os rios d Sohi Grai, são b ais raros u os rios. Ats d uciar a roosição fudatal dsta sção, rcisaos dos sguits las. La. Sja l úros aturais co l. Etão µd µd d d ωd l µd, d ωd l u ωd dota o úro d fators rios distitos d d. Dostração. S, os três tros são iguais a. S >, o tro do io é igual a 0, lo La 9. Agora sja ω. Coo µd 0 ilica u d é roduto d rios distitos, tão ara todo s tos u j, j µd d ωd s s j0 µd d ωdj s j0 ois s d é roduto d j rios distitos tão µd j ist j rodutos d j rios distitos u divid. Por outro lado, s j s [ ] + j + j j j j0 j s. s E articular, s s é ar tão s j0 j j 0ss é íar tão s j0 j j 0, coo uríaos dostrar. La. Sja u roduto d rios distitos b, c itiros rios tr si. O úro d soluçõs d b + c 0 od cotadas ódulo é f bc df d ddc, bc ω ωdc,bc, u d ω dota o úro d divisors d o úro d fators rios distitos d, rsctivat. 98 Matática Uivrsitária os 48/49

7 Dostração. Not u toda solução d b + c 0 od é solução do sista d cogruêcias 0 od r b c od r ara algu r. Por outro lado, ara cada r, tos u dcr, r ois é u roduto d rios distitos. Assi, lo Tora Chiês dos Rstos, o sista acia ossui ua úica solução r ódulo, s dcb, r dc, b r, ou hua, caso cotrário, ua vz u dcb, c. Assi, dvos cotar o úro d soluçõs r distitas ódulo uado r rcorr os divisors d tais u dc, b r. Sja r s dois divisors d u são últilos d dc, b suoha s r od. Tos u t cr,s a difrça siétrica dos rios u dcr,s divid r s divid siultaat s b s + c, logo t c, coo r, s, tos u t dcc,. Rcirocat, dado r coo ats u divisor t d dc, c, odos dfiir s cr,t, d odo u dcr,t dc, b s ; a solução corrsodt s é tal u s r od ara todo rio, ou sja, tos s r od. Assi, utilizado a ultilicatividad d d, tos u o úro d soluçõs é d/ dc, b ddc, c d ddc, bc ω ωdc,bc ω ωdc,bc. A sguit roosição é basada a osição d Y. Motohashi [7] sobr o chaado étodo do crivo. Ela ilica u π O log log log. Coo dissos a itrodução, Bru rovou u rsultado ais fort ara rios gêos, isto é, π O log. No tato, sta roosição t ua rova ais sils já é suficit ara garatir u a séri dos ivrsos dos rios gêos covrg, coo vros o fial dsta sção. Proosição 3. Sja a, b, c itiros ositivos, rios rlativos dois a dois co atat u dls ar. Etão log log π a,b,c O. log Dostração. Sja z /b, dfia P a z coo o roduto dos rios ors do u ou iguais a z u ão divid a, aida, A df {b + c }. Obsrvos u s y b + c A co b+c a rios > b a b+c z, tão a > b a > z, ortato, dcy, P a z. Assi, tos u π a,b,c #{y A dcy, P a z } + π a,b,c a b z < #{y A dcy, P a z } + a b z. D fato, sta últia arcla z b a b ão afta ossa stiativa, logo basta liitar o taaho da riira arcla. Para isso, obsrvos u, los Las 9, tos, ara todo l, #{y A dcy, P a z } y A dcy,p a z µ µ y A dcy,paz ω l Paz ω l µ A, u A df {y A divid y}. Mas, do La, sgu u A f bc < f bc, ois d cada cojuto d itiros coscutivos, atat f bc dls são tais u b + c. Assi #{y A dcy, P a z } µ f bc + O Paz Paz ω l ω l f bc. Coo P a z ω l ilica u é roduto d o áio l rios distitos ors ou iguais a z, sgu u z l o últio soado od sr liitado coo Paz ω l f bc r z l dr r z l d r z l z l z l z l d d d d Oz l logz l. Matática Uivrsitária os 48/49 99

8 Portato, o roósito é scolhr z l aduados, d tal fora u o tro liitado or z l logz l sja uo coarado co o outro. Tal scolha srá fita ais ara frt ddrá tabé da liitação do soado ricial µ f bc Paz ω l µ f bc µ f bc. P a z Paz ω l+ Assi, tos u dar valors a z l d tal fora u cada u dsts tros sja doiado or O log log log. Para isto, obsrvos u a fução µ f bc é ultilicativa, assi, bc µ f tabé é ultilicativa Tora 8. Logo odos utilizar o Tora 7, d od tos u µ f bc P a z u A 3 z, bc 3 z, bc + µ f bc Paz A 3 z A log 3 z O z O log log z Olog z, s A é íar s A é ar. Para stiar o tro rstat, obsrv u ω l + ilica f bc l+ bc, dod f bc bc l f bc. Assi, Paz ω l+ µ f bc bc l P a z f bc. Coo f bc ultilicativa, ortato, f bc P a z u B 3 3 z, bc 3 z, bc f é ultilicativa, sgu u bc Paz B 3 z B + f bc + 4 log 3 z O z O+4 log log z Olog 4 z, s a é íar + Dsta fora obtos #{y A dcy, P a z } + 4 s a é ar. Olog z +O l log 4 z+oz l logz l. Prcisaos scolhr z l d tal fora u a ord d gradza dos soados à dirita sja siultaat uos. D fato, fazdo log log z l 5 log log, 0 log log 4 log z tos u z l logz l O log, log log log z O log O l log 4 zo 0 log log log log 4 z O log 6 log 4 log log O log log 4 log, é 00 Matática Uivrsitária os 48/49

9 ois 0 log > 6. Isto colta a rova, ois as fuçõs log. ção log log log Corolário 4. A soa log log 4 log é covrgt. 9,+ rios são doiadas la fu Dostração. Do fato u o itrvalo [, ] o or rio é aior u o úro d rios gêos ss itrvalo é or u π, sgu u,+ rios,+ rios < π O O log + log u clarat é fiito, já u sta últia soa é doiada or α ara todo α co < α <. Covidaos o litor a odificar a rova do tora ara rovar o sguit rsultado. Tora 5. Sja Φ, y #{ todo divisor rio d é aior do u y}. S y log /0 log log tão Φ, y O. log y, [3] BRUN, V. L cribl d Eratosthè t l théorè d Goldbach. Kristiaia: E Coissió chz J. Dybwad, Vidsasslsats Sriftr, Mathatis-Naturvidsablig Klass,. 3 [4] GOLDSTON, D. A.; PINTZ, J.; YILDIRIM, C. Y. Pris i tuls I. Aals of Mathatics, v. 70,., , 009. Disoívl tabé ariv.org/abs/ath/ [5] GOLDSTON, D. A.; PINTZ, J.; YILDIRIM, C. Y. Pris i tuls II. Acta Mathatica, v. 04,.,. 47, 00. Disoívl tabé ariv.org/abs/ [6] HARDY, G. H.; LITTLEWOOD, J. E. So robls of artitio uroru ; III: o th rssio of a ubr as a su of ris. Acta Mathatica, v. 44,.,. 70, 93. [7] MOTOHASHI, Y. A ovrviw of th siv thod ad its history. Sugau Eositios, v.,. 3, 008. Disoívl tabé ariv.org/abs/ath/ Carlos Gustavo Morira gugu@ia.br Fabio Eriu Brochro Martíz fbrochr@at.ufg.br [] BROCHERO MARTÍNEZ, F. E.; MOREIRA, C. G.; SALDANHA, N. C.; TENGAN, E. Toria dos úros: u assio co rios outros úros failiars lo udo itiro. Rio d Jairo: IMPA, 00. Projto Euclids [] BRUN, V. La séri où ls déoiaturs sot obrs rirs juau st covrgt ou fii. Bullti ds Scics Mathéatius, v. 43, , 4 8, 99. Matática Uivrsitária os 48/49 0