NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA UNIVERSIDADE VIRTUAL DO MARANHÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES IMPERATRIZ 009

2 JULIMAR CARLOS DE OLIVEIRA CARLOS CRUZ GOMES NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES Moogafia apesetada ao Depatameto de Matemática e Física da UFSC, como equisito pacial paa obteção do gau de pofesso Especialista em Matemática. Oietado: Pof.º Elieze Batista IMPERATRIZ 009

3 Oliveia, Julima Calos Númeos iacioais e tascedetes/ Julima Calos de Oliveia; Calos Cuz Gomes.-Impeatiz, 009. Moogafia (Especialização em Matemática) Uivesidade Fedeal de Sata Cataia e Uivesidade Vitual do Maahão, 009..Númeos Iacioais..Númeos Tascedetes. 3. Númeos Algébicos. I Gomes, Calos Cuz. II.Título. CDU 5.4

4 JULIMAR CARLOS DE OLIVEIRA CARLOS CRUZ GOMES NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES Moogafia apesetada ao Depatameto de Matemática e Física da UFSC, como equisito pacial paa obteção do gau de Pofesso Especialista em Matemática. Apovada em / / BANCA EXAMINADORA Pof.º Elieze Batista (oietado) Pof. D. Lício Heaes Bezea Pof. D. Iva Potual Costa e Silva

5 A todos os pofessoes do cuso de especialização, em especial ao pofesso Elieze Batista e à Coodeadoa do cuso, Nei Teeziha Both Cavalho, po teem se empehado paa o bom adameto deste cuso. Calos Cuz A todos os pofessoes do cuso de especialização em Matemática da UFSC e, em especial, ao pofesso Elieze Batista po te os oietado de foma tão pestativa ao logo de todo o tabalho. Julima Calos

6 AGRADECIMENTOS A todos os pofessoes do cuso de especialização em matemática da UFSC que duate todo o cuso os popocioaam os fudametos ecessáios paa a busca do cohecimeto. A Deus, pelo dom da vida, e po te os dado, até aqui, foça, saúde e iteligêcia paa que pudéssemos alcaça mais essa coquista. A toda a equipe de fucioáios da Uivima po teem povido os meios ecessáios paa facilita o osso acesso ao sabe. Aos ossos colegas de tuma, pelos cohecimetos e expeiêcias compatilhados o decoe de todo o cuso. A todos aqueles que de uma foma dieta ou idieta cotibuíam paa que pudéssemos alcaça osso tão almejado objetivo.

7 A filosofia está escita esse gade livo, ou seja, o uiveso, que se ecota abeto cotiuamete ate os ossos olhos, mas ele ão pode se etedido a meos que se apeda, pimeio, a le sua liguagem e itepeta as letas com as quais o compuseam. Ele foi escito o idioma da matemática e seus símbolos são tiâgulos, cículos e outas figuas geométicas sem as quais é humaamete impossível etede uma úica palava de seu texto. Galileu Galilei, Il Saggiatoe (63)

8 RESUMO Este tabalho tata dos úmeos iacioais e tascedetes caacteizado-os sob difeetes aspectos. Paticulamete taz a demostação da iacioalidade do úmeo π e do úmeo e de Eule, base do logaitmo atual. Também apeseta uma demostação da tascedêcia do úmeo e baseada o oteio de execícios popostos po D.G. de Figueiedo em [4], além de um pequeo apahado históico sobe π, e, úmeos algébicos e tascedetes. Palavas-chave: úmeos acioais, úmeos iacioais, úmeos algébicos, úmeos tascedetes, úmeo π, umeo e.

9 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...8. CAPÍTULO I NÚMEROS RACIONAIS E IRRACIONAIS.... Caacteização dos Númeos Racioais.... Radiciação e Iacioalidade Eumeabilidade dos Racioais Não Eumeabilidade dos Iacioais.... CAPÍTULO II ALGUNS NÚMEROS IRRACIONAIS...4. Iacioalidade do Númeo e...4. Um pouco da Históia do Númeo π Iacioalidade do Númeo π CAPÍTULO III NÚMEROS ALGÉBRICOS TRANSCENDENTES Um Pouco Sobe Númeos Algébicos e Tascedetes Caacteização dos Númeos Algébicos e Tascedetes CAPÍTULO IV A TRANSCÊNDENCIA DO NÚMERO e CONCLUSÃO REFERÊNCIAS APÊNDICES Algoitmo da Divisão de Euclides Teoema Fudametal da Aitmética...58

10 8 INTRODUÇÃO Desde a auoa da históia escita os sees humaos têm ecessitado lida com úmeos. Paa os atigos, e paa algumas tibos aida hoje, os úmeos estão esumidos aos atuais. De fato, quado se toa ecessáio eumea aquilo que possuímos, os úmeos atuais são suficietes. Cedo ou tade, poém, devemos lida com medições, ecota a áea de um teeo, o volume de um ecipiete ou a distâcia ete duas cidades e é altamete impovável que tais medidas esultem em valoes exatos de uidades. Daí suge a ecessidade de fações. As fações já eam cohecidas pelos egípcios e babilôios que ciaam meios egehosos de egistá-las e de faze cálculos com elas. Mas foam os gegos, iflueciados pelos esiametos de Pitágoas, que fizeam das fações o ceto de seu sistema matemático filosófico, elevado-as a uma codição quase mítica. Os pitagóicos aceditavam que tudo o mudo, da física e da cosmologia até a ate e a aquitetua, podia se expesso em temos de fações, isto é, úmeos acioais. Esta ceça povavelmete oigiou-se do iteesse de Pitágoas pelas leis da hamoia musical. Assim, Pitágoas aciociou que se a música ea baseada em úmeos acioais, cetamete o mesmo deveia acotece com o uiveso iteio. E os úmeos acioais passaam a domia a visão gega do mudo, exatamete como o pesameto acioal domiou sua filosofia (de fato, a palava gega paa acioal é logos, da qual deiva o temo modeo, lógica). É clao que ão foam apeas agumetos filosóficos que colocaam os úmeos acioais tão o ceto da matemática. Uma popiedade que distigue esses úmeos dos iteios é que os acioais fomam um cojuto deso de úmeos A palava desa eflete com pecisão o modo como os acioais se distibuem ao logo da liha dos úmeos. Pegue qualque segmeto de eta e, ão impota o quão pequeo ele seja, estaá sempe povoado po um úmeo ifiito de potos acioais. Assim paece atual coclui, como os gegos fizeam, que toda a liha dos úmeos é povoada po potos acioais. Mas a matemática o que paece se uma coclusão atual muitas vezes se evela falsa. Um dos mometos mais impotates da históia da matemática foi a descobeta de que os úmeos acioais, apesa de sua desidade, deixam buacos ao logo da liha dos úmeos, ou seja, potos que ão coespodem a ehum úmeo acioal. A descobeta desses buacos é atibuída a Pitágoas, emboa possa te sido feita po um de seus discípulos. A descobeta evolveu a diagoal de um quadado uitáio. Chamado o compimeto da diagoal de x, pelo Teoema de Pitágoas teemos

11 9 x, de modo que x é a aiz quadada de, que escevemos. Os pitagóicos, é clao, pesumiam que este úmeo ea igual a alguma fação e tetaam petiazmete ecotá-lo. Ceto dia, poém, um deles fez a espatosa descobeta de que igual a uma fação. E assim foi descobeta a existêcia dos úmeos iacioais. A descobeta de que ão podia se é iacioal deixou os pitagóicos um estado de choque, pois lá estava uma quatidade que podia claamete se medida e até mesmo costuída com esquado e compasso e, o etato, ão se tatava de um úmeo acioal. Fiéis ao seu juameto de segedo, os pitagóicos se compometeam a mate a descobeta somete ete eles. Etetato, o cohecimeto da descobeta espalhou-se e logo outos úmeos iacioais foam ecotados. Na época em que Euclides esceveu seus Elemetos, o século III a.c., os úmeos iacioais já tiham deixado de se ovidade. No etato, uma teoia iteiamete satisfatóia dos iacioais, destituída de cosideações geométicas, só apaeceu em 87, quado Richad Dedekid (83-96) publicou seu famoso esaio Cotiuidade e úmeos iacioais. Jutado o cojuto dos úmeos acioais com o dos iacioais obtemos o cojuto maio dos úmeos eais. Caacteiza os úmeos iacioais a pati da costução dos acioais seá osso objetivo o pimeio capítulo. Já o segudo, demostaemos a iacioalidade de duas das mais impotates costates matemáticas; π e e, além de um pequeo apahado históico sobe eles. Outa alteativa de classificamos os eais é em algébicos e tascedetes. Dizemos que um úmeo x é algébico quado satisfaz uma equação poliomial com coeficietes iteios, ou seja, existem a,..., 0 a paa os quais a a x a x... a x a x 0. 0 A gade maioia dos úmeos que ecotamos satisfaz essa codição. Não é difícil pecebe que todo úmeo acioal é algébico assim, se um úmeo ão satisfize a equação acima ecessaiamete deve se iacioal. A ecípoca dessa afimação ão é vedadeia pois, po exemplo, a aiz -ésima de todo úmeo pimo é iacioal sedo que tal úmeo, o etato, é algébico. Quado um úmeo ão satisfaz uma equação poliomial com coeficietes iteios dizemos que ele é um úmeo tascedetal idicado com isso apeas que esses úmeos tascedem, ou seja, vão além o eio dos úmeos algébicos. A

12 0 questão que itigou po muito tempo os matemáticos ea a seguite: existião úmeos iacioais ão algébicos? Essa esposta só foi dada po volta da metade do século XIX. No teceio capítulo osso objetivo seá caacteiza os úmeos algébicos bem como demosta idietamete que úmeos ão algébicos, ou seja, tascedetes, de fato existem. No último capítulo demostaemos a tascedêcia do úmeo e, base dos logaitmos atuais, seguido o oteio dos execícios popostos pelo pofesso Djaio Guedes de Figueiedo apesetado em [4]. Ao logo de todo este tabalho supoemos estabelecidas a existêcia e popiedades do cojuto dos úmeos eais como feito, po exemplo, em.

13 CAPÍTULO I NÚMEROS RACIONAIS E IRRACIONAIS. Caacteização dos Númeos Racioais Uma fação a b, com b 0, diz-se iedutível se mdc( a, b).os úmeos acioais costumam se epesetados po fações odiáias, epesetação essa que é úica se tomamos as fações em foma iedutível e com deomiadoes positivos. Assim, podemos defii úmeos acioais da seguite foma: Defiição. Um úmeo eal é dito acioal se pode se escito a foma a *, com a e b. Simbolicamete b a * x ; x, com a e b b. Vamos cosidea a covesão de fações odiáias em decimais, com vistas a etede quado a epesetação decimal esulta se fiita ou peiódica. A covesão de uma fação odiáia em úmeo decimal se faz dividido o umeado pelo deomiado. Assim, podemos estabelece a seguite poposição. Poposição. Toda fação iedutível epeseta um decimal fiito ou peiódico. Demostação a Seja uma fação iedutível. Pelo algoitmo de Euclides existem a0 e 0 tais b a 0 que a ba0 0 a0, b b com 0 0 b. Podemos expadi essa divisão da seguite foma: a 00 a a0 a0 a a0, b 0 b 0 b 0 0 b Cotiuado com o mesmo aciocíio teemos, com 00 ba e 0 b. a a 0 a a a a0 a0 a a0, b 0 0 b 0 0 b b com 0 ba e 0 b.

14 Cotiuado com o mesmo aciocíio, ecotaemos 3, 4,..., i, com 0 b. Acotece que os possíveis estos da divisão de qualque úmeo po b só pode se 0,,,..., b. Diate disso, teemos duas possibilidades: i) 0 paa algum i i Neste caso, a expasão de a b seá; i i a a a ai i a a ai a0... a 0... a 0, aa... a i i i i que epesetaá b b um decimal fiito. ii) 0 i i Neste caso, como as classes de estos módulo b são fiitas, em algum mometo teemos um j i tal que i j i. Assim, a pati do mometo em que isso ocoe, os algaismos do quociete voltaão a se epeti. Dessa foma, teemos; a a a ai aj i j a com a i i j j i a j, ai a j,... que b b 0 0 b esultaá em a a a ai a a i j a a 0, aa... ai ai ai... a i i j j que epesetaá um b decimal peiódico. A baa sobe a seqüêcia de úmeos idica que estes úmeos são epetidos ifiitas vezes. Po esse caso, cocluímos também que o peíodo teá o máximo b algaismos. A ecípoca dessa poposição também é vedadeia, como veemos agoa. Poposição. Todo decimal fiito ou peiódico é acioal. Demostação: Se x é decimal fiito, etão x a0, aa... a, com 0 a 9( i,,... ) e a0. Multiplicado ambos os membos da igualdade po 0, obtemos: a0aa... a 0 x a0aa... a x que é acioal. 0 i

15 3 Cosideado x um úmeo decimal peiódico, etão x a0, a ab bs, com 0 a 9, 0 b 9, i,,...,, j,,..., s e a. Multiplicado ambos os membos da i igualdade po j 0 e 0 s : 0 x a0aa... ab... b s : 0 x a0a... a b... bs b... bs. Fazedo espectivamete, obtemos: s a aa... a 0 a, 0 s 0 a a a b b b e subtaido de, obtemos: s s b a 0 x 0 x b a x0 0 b a x s 0 0 que é acioal. Outa impotate caacteística das fações iedutíveis se efee à decomposição do deomiado em fatoes pimos, como veemos agoa., Poposição.3 Se uma fação iedutível cotém somete fatoes pimos e/ou 5 o deomiado, etão epesetaá um decimal fiito. Demostação: Seja a x uma fação iedutível com a decomposição do deomiado somete em b fatoes pimos e/ou 5. Etão a b a a Se s, etão 5 0 a seá da foma ( s, ). s 5 e x é decimal fiito. Se s, tomemos mi(, s) e m max(, s) e, assim, podemos itoduzi fatoes e/ou 5 o deomiado em umeo suficiete paa toá-lo potêcia de 0 e, dessa foma, teemos q se ou q 5 se s) e ovamete x é decimal fiito. a a. q x 5 0 s s m (com Outa alteativa de epesetamos um úmeo acioal é atavés de fações cotíuas. Esse seá o objetivo de ossa póxima poposição. Basicamete, paa essa epesetação, utilizamos o algoitmo da divisão de Euclides que, como vimos a Poposição., após um úmeo fiito de passos os foeceá esto.

16 4 Poposição.4 Um úmeo é acioal se, e somete se, epeseta uma fação cotíua fiita. Demostação: a Cosidee o acioal iedutível. Pelo algoitmo de Euclides existem a 0 e b tais que a ba 0, ou seja, a a0, com 0 b. Se, pocedimeto eceado b b a e teemos a0. Caso cotáio, cotiuamos o pocedimeto, fazedo: b b a b a0 a0, com b a e 0. Se b, pocedimeto eceado a a e teemos, a 0. b a a a0 a0 b a a 3 a Caso cotáio, cotiuamos o pocedimeto, fazedo:, com a 3 e 0 3. Acotece que existem apeas b atuais meoes que b e como temos b 3..., teemos ecessaiamete um que fializaá o pocedimeto e a toaá a0 b a a a Po outo lado, dada uma fação cotíua fiita a0 a podemos estabelece o pocesso iveso fazedo b a, b a,..., b a até obtemos o acioal b a0. a b b b 3 a 3 a a a, Covém obseva que, esse pocesso de divisões sucessivas, somete o pimeio

17 5 quociete é possivelmete egativo e os demais são todos positivos. Disso cocluímos que a fação cotíua todos os ai ' s são iteios positivos, com a possível exceção de a 0. Defiiemos agoa úmeos cuja epesetação decimal ão é em fiita em peiódica. Númeos como esses são chamados de iacioais. De foma mais pecisa podemos estabelece a seguite defiição: a Defiição. Todo úmeo decimal que ão pode se escito a foma, b * b é iacioal. Simbolicamete \ x ; x e x. com a e A pati dessa defiição e das poposições ateioes, podemos coclui que todos os úmeos iacioais são decimais ão peiódicos e, aida, sua epesetação em foma de fação esulta em uma fação cotíua ifiita. A seção seguite tataá da adiciação de iteios positivos, basicamete estabeleceemos quado a aiz -ésima de um iteio positivo seá acioal ou iacioal.. Radiciação e iacioalidade Paa ossos póximos esultados seá ecessáio cosidea o poliômio p x a0 ax a x... ax, com a0, a, a,... a. É peciso também estabelece a seguite poposição que fudametaá todos os esultados posteioes. Poposição.5 Se um úmeo acioal, s a 0 e s a. Demostação: Se o acioal s é aiz do poliômio a foma iedutível, é aiz de px, etão p x teemos p 0, ou seja, s a0 a a... a 0. s s s Multiplicado ambos os membos po s fica: 0 a s a s a s... a s a 0. Podo s em evidêcia a soma dos temos do pimeio membo e passado paa o segudo o último temo, obtemos: 0... s a s a s a a.

18 6 Isso mosta que s a s a ou s. Como s ão divide, pois são pimos ete si, s também ão divide. Logo, s a. Aalogamete, podo em evidêcia os temos do pimeio membo e passado a 0 s paa o segudo, fica: 0 a s a s... a s a a s. Pelo mesmo aciocíio, cocluímos que a 0. Cosideado agoa impotate cooláio. px como poliômio môico podemos estabelece o p x a0 ax a x... x, com a0, a, a,... a, etão as Cooláio. Se evetuais aízes acioais de x p são úmeos iteios divisoes de a. 0 Demostação: Se o úmeo acioal s é aiz de p x, etão pela Poposição.4, s ou seja, s ou s. Logo e, potato. Aida pela Poposição.4, a 0 e, potato, o s mesmo acotece com. Atavés da póxima poposição estabeleceemos osso pimeio impotate esultado sobe adiciação. Basicamete estabeleceemos que a aiz -ésima de um iteio positivo a é iacioal sempe que os expoetes dos fatoes a decomposição do adicado a, em fatoes pimos, foem meoes que o ídice do adical, mas em todos ulos. Poposição.5 Se p, p,..., p são pimos distitos, i (, i,,..., ) e pelo meos um 0, etão p. p... p é iacioal. i Demostação: Obsevamos que.... p p p é aiz do poliômio p x x p. p... p.

19 7 Se px possui alguma aiz acioal, pelo Cooláio., essa aiz seá um iteio diviso de.... p p p. Po outo lado, todo iteio positivo q que divide p. p... p é da foma s s s.... q p p p em que 0 si i( i,,..., ).Dessa foma teemos: s s s p q p. p... p p. p... p 0, ou seja,... s s s s s s p p p p p p p p p p p p. Mas como p, p,... p são pimos distitos, paa que essa igualdade faça setido, devemos i i te si i, ou seja, si paa todo i,,...,. No etato, si somete quado i si 0 paa todo i, o que cotaia a hipótese iicial de que pelo meos um i é difeete de zeo. Paa as demais possibilidades, todo i. Logo iacioal. s i i é um absudo, pois po hipótese, i paa p x ão possui aízes iteias e, potato p. p... p só pode se Como coseqüêcia dessa poposição podemos estabelece o seguite cooláio. Cooláio. Se p é pimo, etão p é iacioal. Demostação: Basta obseva que o expoete de p é meo que o ídice do adical. Logo, pela Poposição.5, p é iacioal. Mas o que acotece quado pelo meos um expoete dos fatoes da decomposição do adicado a é maio ou igual ao ídice do adical? Paa espode a essa peguta pecisaemos aida de uma poposição simples, mas de gade impotâcia. Poposição.6 O poduto de um úmeo iacioal po um acioal difeete de zeo é um úmeo iacioal. Demostação: etão teíamos Sejam iacioal e b a um acioal difeete de zeo. Se a x fosse acioal, b

20 8 xb., o que é um absudo pois é iacioal. Logo x só pode se iacioal. a Vamos agoa ao picipal esultado dessa seção que defiiemos como um Teoema. Teoema. Se e a são iteios positivos, etão a é um úmeo iacioal ou iteio positivo. Demostação:... Decompodo a de foma caôica em fatoes pimos, obteemos a p p p com p, p,... p apaecedo,,... vezes espectivamete ( i, i,,..., ). Além disso, pelo algoitmo de Euclides, podemos expessa cada i qi i com 0 i. Assim, q q q... a p p p p p p. q. q. q. q. q. q p. p. p p... p p ( p p... p )( p. p... p ) q q q q q q ( p p... p ) ( p. p... p ) p p... p ( p p... p ). q q q Se i 0 paa todo i,,...,, teemos a igual ao iteio positivo p. p... p. Poém, se pelo meos um i 0, pela Poposição.5, p. p... p é um úmeo iacioal e teemos pela Poposição.6, a como o poduto de um iacioal po um acioal difeete de zeo, que seá iacioal. Desse Teoema cocluímos que a aiz -ésima de qualque iteio positivo é um iteio positivo ou um úmeo iacioal Em ossa póxima seção, osso objetivo seá caacteiza os úmeos acioais sob o poto de vista de sua eumeação..3 Eumeabilidade dos Racioais Uma caacteística impotate do cojuto dos acioais é que ele é eumeável, ou seja, possui a mesma cadialidade dos atuais. De foma mais pecisa defiimos cojuto eumeável da seguite foma:

21 9 Defiição.3 Um cojuto X diz-se eumeável quado é fiito ou quado existe uma bijeção f : X. No segudo caso, o cojuto X diz-se ifiito eumeável. Nosso objetivo a pati de agoa seá demosta que os úmeos acioais fomam um cojuto ifiito eumeável e paa isso, pecisaemos da seguite poposição. Poposição.7 Se f : X Y é ijetiva e Y é eumeável, etão X é eumeável. Demostação: Basta cosidea o caso em que existe uma bijeção :Y. Etão f : X é uma bijeção de X sobe um subcojuto de, o qual é eumeável. Outa poposição de gade impotâcia seá a seguite: Poposição.8 Se f : E F e g : F G são ijetivas, etão g f é ijetiva. Demostação: Sejam x e x E tais que g f ( x) g f ( x). Etão g( f ( x)) g( f ( x)) e, como g é ijetiva, f ( x) f ( x). Usado-se agoa a hipótese de que f é ijetiva, cocluise que x x. Logo, g f é ijetoa. Po fim, pecisaemos aida de dois lemas. Lema. O cojuto é eumeável. Demostação: Cosideemos a aplicação f : defiida po f ( a) a, se a 0 e f ( a) a, se a 0. Claamete f é ijetiva. De fato, seja a e a. Se a e a são positivos, temos que f ( a ) f ( a) a a a a. Poém, se a e a foem úmeos egativos, temos que f ( a ) f ( a ) a a a a a a.

22 0 Se a 0 e 0 a, etão f a f a De fato, se fo f a f a., teemos f a f a a a. O que é um absudo, pois o pimeio membo é um atual pa, equato o segudo, é um atual ímpa. Lema. Sejam X, Y cojutos eumeáveis. O poduto catesiao X Y é eumeável. Demostação: :Y. Como X, Y são eumeáveis, etão existem aplicações ijetivas : X e Temos que a aplicação h: X Y defiida po ( x) ( y) h( x, y) 3 é ijetiva pois a decomposição em fatoes pimos é úica e ( x) e ( x) também o são. Além disso, h foece uma bijeção de XY sobe o cojuto eumeável h( X Y). Vamos agoa à demostação de que o cojuto dos úmeos acioais é eumeável. Teoema. O cojuto dos úmeos acioais é eumeável. Demostação: Cosideemos a aplicação * f : defiida po f ( x) ( m, ), com m x m m iedutível. Acotece que f é ijetiva pois, se x e x e f ( x) f ( x ), etão ( m, ) ( m, ) m m e. Da Poposição.8, temos que a aplicação h composta po f defiida po h f : é ijetiva. Assim, h f foece uma bijeção de sobe o cojuto eumeável ( h f)( ). Logo, é eumeável.

23 .4 Não Eumeabilidade dos Iacioais Mostamos pouco atás que o cojuto dos úmeos acioais é eumeável. Esse esultado podeia os leva a acedita que todos os cojutos ifiitos também o são. Mostaemos agoa que os iacioais fomam um cojuto ão eumeável, ou seja, possui cadialidade difeete dos atuais e estabeleceemos este esultado como uma coseqüêcia da ão eumeabilidade dos eais. Mas ates, pecisaemos da seguite poposição: Poposição.9 Uma euião eumeável de cojutos eumeáveis é eumeável. Demostação: Cosidee os cojutos A A,,... Como todos eles são eumeáveis, podemos escevê-los a foma: A a a a a... a A a a a a... a... A a a a a... a... A a a a a... a , A3 A uião i A i está cotida a uião disjuta i A i destes mesmos cojutos(pode se que algum elemeto peteça a váios cojutos epetido em cada A i ao qual ele petece). Defiamos, agoa, uma fução A i, a uião disjuta, este elemeto é : A (uião disjuta) i i a ij i, j É fácil ve que e ijetiva. Fialmete, pelo Lema., sabemos que é eumeável pela fução h : i, j 3 i j

24 Logo, podemos compo as divesas fuções ijetivas I Ai i i A(uião disjuta) e obtemos uma fução ijetiva de eumeabilidade. i i Demostaemos agoa a ão eumeabilidade dos eais. A i h os atuais, gaatido, assim a sua Poposição.0 O cojuto dos úmeos eais ão é eumeável. Demostação: Paa demosta esse esultado, usaemos o fato de que o itevalo (0,) possui a mesma cadialidade de toda a eta. Obseve que algus úmeos desse itevalo possuem mais de uma epesetação decimal como po exemplo, 0,7 e 0, Paa exclui essa possibilidade, adotaemos paa cada úmeo sua epesetação decimal ifiita. Assim, po exemplo; 0,7 0, ; 0,0343 0, ; etc. Supohamos agoa que seja possível estabelece uma bijeção ete os úmeos do itevalo (0,) e os atuais. Podemos etão supo que os úmeos desse itevalo sejam os elemetos de uma seqüêcia ifiita, x, x,..., x,... Assim podemos listá-los da seguite foma: x 0, a a a... a... 3 x 0, a a a... a... 3 x 0, a a a... a x 0, a a a... a... 3 Nas quais a ij são algaismos de 0 a 9. No etato, po mais extesa que seja ossa lista, podemos poduzi um úmeo que ão peteça a ela atavés do pocesso diagoal de Cato. Esse pocesso cosiste em costui um úmeo que seja difeete de x a pimeia casa decimal, difeete de x a seguda casa decimal, difeete de x 3 a teceia casa, e assim po diate, de sote que, esse úmeo, ão seá igual a ehum dos úmeos da lista acima. Paa tato, defiimos x 0, aa... do seguite modo: a i se a ii 5 e ai 5 se a 5. ii

25 3 Dessa foma, cada x i seá difeete de x ao meos pelo elemeto a ii e como esse elemeto ão está em ossa lista, chegamos a um absudo, o que os leva a coclui que o cojuto dos úmeos eais ão é eumeável. Cooláio.3 O cojuto dos úmeos iacioais ão é eumeável. Demostação: Sedo \, se o cojuto dos iacioais fosse eumeável, pela Poposição.9, os eais também o seiam, como euião de dois cojutos eumeáveis. Também pela Poposição.9, coclui-se que os iacioais fomam a maioia dos eais, pois o cojuto eumeável é o meo dos cojutos ifiitos.

26 CAPÍTULO II ALGUNS NÚMEROS IRRACIONAIS Acabamos de demosta a existêcia do cojuto dos úmeos iacioais, sua ão eumeabilidade bem como sua maioia dete os eais. Devida a sua impotâcia a aálise matemática, este capítulo daemos êfase a duas costates: e e. Demostaemos também que são iacioais.. A Iacioalidade do Númeo e A oigem de e ão é tão claa, ela paece ecua ao século XVI, quado se pecebeu que a expessão, que apaecia a fómula dos juos compostos, tedia a um ceto limite ceca de,788 à medida que aumeta. Assim e toou-se o pimeio úmeo a se defiido po um pocesso de limite, e lim cofome. Duate algum tempo o ovo úmeo foi cosideado uma cuiosidade. O passo cucial paa colocá-lo a vaguada da matemática foi dado com a iveção do cálculo, quado se pecebeu que o iveso da fução logaítmica que depois seia deotado como deivada. Isto imediatamete deu ao úmeo e e a fução biomial de Existem muitas fómulas evolvedo o úmeo e, dete as quais: e...!! 3! 4! x e ea igual à sua pópia x e um papel cetal a aálise. Esta séie ifiita foi descobeta po Newto em 665, e pode se obtida da expasão, deixado. Ela covege muito apidamete, devido ao aumeto ápido dos valoes dos fatoiais os deomiadoes. Po exemplo, a soma dos pimeios oze temos (temiados com apoximação. ) 0! é,78880, o que já é uma boa O úmeo e também pode se epesetado po uma fação cotiua ifiita. Esta foma de epesetação, descita a segui, foi descobeta po Eule em 737.

27 5 e Eule povou também que todo úmeo acioal pode se escito como uma fação cotíua fiita; ivesamete, toda fação cotíua ifiita sempe epeseta um úmeo iacioal. O úmeo e também pode se ecotado usado séie de Maclaui( ), como veemos a segui. Seja f x e. x x Calculemos divesas deivadas sucessivas de f o poto x 0 : f x e f 0 x f ' x e f ' 0 x f " x e f " 0 x f ''' x e f ''' 0 Logo, f 0. Etão, a séie de Maclaui ( ) f 0 x x de f x e 0 3! ' 0 '' 0 ''' 0 e x f 0 f x f x f x...!! 3! é: 3 e x x x x...! 3! e x x. Paa x, temos: 0! e...!! 3! Demostaemos agoa uma impotate caacteística desse úmeo. Sua iacioalidade. Iicialmete pecisaemos de um esultado simples mas muito impotate a aálise matemática expessado pela seguite poposição. Poposição. Toda seqüêcia moótoa limitada é covegete. Demostação: Sem peda de geealidade, supohamos X x x x3 x Podemos esceve x moótoa ão-decescete e limitada.,,,...,,.... Seja a sup X (que existe pelo axioma do

28 6 supemo). Afimamos que a lim x. Segue que, dado 0, o úmeo a ão é cota supeio de X. Logo, existe 0 tal que a x 0 a. Assim, a x x a e, potato, lim x a. 0 0 Dessa foma, podemos estabelece a seguite poposição. Poposição. A seqüêcia cujo temo geal é a...!! 3!! é covegete. Demostação: Esta seqüêcia é evidetemete moótoa cescete pois a a paa todo. Resta-os mosta que é limitada. Começado com 3, teemos:! , potato, a.... Nesta soma, a pati do segudo temo, temos uma pogessão geomética de azão. Aplicado a fómula a S, fica: q S. / Daí teemos a 3. Logo, a seqüêcia a é limitada supeiomete po 3 e, pela Poposição., é covegete. Esceveemos lim a e e mostaemos que a seqüêcia cujo temo geal é b covege paa o mesmo limite que a. Poposição.3 Se Demostação: b, etão lim b e. Pelo teoema biomial temos: ( ) ( )( ) b......!! b ! 3!! Como a expessão deto de cada paêtese é meo que, teemos que b a, assim, b lim a. Potato, a seqüêcia b também tem um limite supeio. Além disso, b é moótoa cescete pois b b paa todo. De fato;

29 7 b !! ( )!......! 3!! pois o último temo de b é positivo. Acotece que a a 0 a. Assim, teemos; b......!! b! 3!! lim b b Logo, b b. Assim, pela Poposição., b também é covegete e lim a. Po outo lado, quado p, vale: p ! p Agoa vamos deixa aumeta sem limites equato matemos p fixo. Da desigualdade acima obtemos limb... ap. Como esta desigualdade! 3! p! vale paa todo p, segue que limb lim a. Mas já vimos que limb lim a. Logo, só podemos te limb lim a e. p p Nossa pova também mosta que lim a e ecota-se ete e 3. Na ealidade vale e,78, com quato decimais exatas. ecessáia. Paa fialmete demostamos a iacioalidade de e uma última poposição seá Poposição.4 Se q, etão o somatóio S lim S, em que S q ( q )( q ) ( q )( q )...( q ), ão é um iteio. Demostação: Claamete S 0 paa todo. Como q, temos que:

30 q ( q )( q ) ( q )( q )( q 3) Usado a fómula paa a soma de uma séie geomética ifiita, a última desigualdade obtemos: Fialmete; / 3 3 S.. Logo, / S. Teoema. e é iacioal. Demostação: Supohamos que e seja acioal e etão mostamos que esta suposição leva a uma p cotadição. Vamos faze e, em que p e q são iteios. Já mostamos que e 3, q assim e ão pode se um iteio e cosequetemete o deomiado q deve se pelo meos. Assim; p q....! 3!! Multiplicado ambos os membos po q! fica: pq! q! q! 3! ( q )! q! ( q )!! q! q! q! q! q! q! p( q )( q )... q! q! ! 3! ( q )! q! ( q )!! p( q )( q )... q! q! q( q )( q ) q( q )( q ) q ( q )( q ) ( q )( q )...( q ) q O pimeio membo é obviamete um iteio pois tata-se de um poduto de iteios. O segudo membo ão é um iteio, pois a expessão deto das chaves também é um iteio, mas o somatóio dos temos emaescetes, pela poposição.4, ão é. Esse absudo completa a demostação.

31 9. Um pouco da históia do Númeo O úmeo mais famoso da históia,, epeseta a azão costate ete o peímeto de um cículo e o seu diâmeto. A históia do úmeo tem iício ceca de aos atás, sedo que a existêcia de uma elação costate ete a cicufeêcia e o seu diâmeto ea cohecida po muitas das civilizações atigas. Muitas civilizações atigas obsevaam atavés de medições que a azão ete o peímeto de difeetes cículos e seus espectivos diâmetos ea sempe um mesmo valo. No etato, foam os gegos que coseguiam compeede e explica a lógica desta elação, que advém das popiedades de figuas semelhates. Os gegos atigos compeedeam que úmeos como e são difeetes dos úmeos iteios e dos úmeos acioais utilizados em suas matemáticas e, mesmo tedo coseguido pova a iacioalidade de, o mesmo ão ocoeu paa. Aquimedes de Siacusa(87- a.c.) coseguiu melhoa a apoximação dada ao úmeo, apoximado a cicufeêcia po polígoos egulaes de, 4, 48 e 96 lados e 0 descobido as seguites limitações paa : 3 3, isto é, 3,4085 3, Ceca de dezoito séculos depois de Aquimedes, um matemático facês chamado Façois Viète( ), o cuso de seu tabalho em tigoometia, ecotou uma fómula otável evolvedo o úmeo :... A descobeta desse poduto ifiito em 593 foi um maco a históia da matemática, pois pela pimeia vez um pocesso ifiito ea escito explicitamete como uma fómula matemática. De fato, a caacteística mais extaodiáia a fómula de Viète, além de sua elegâcia, são os tês potos o fial, idicado que ela cotiua e cotiua...ad ifiitum. Ela mosta que o valo de pode se ecotado, pelo meos em picípio, usado-se epetidamete quato opeações da matemática elemeta: adição, multiplicação, divisão e a extação da aiz quadada, todas aplicadas ao úmeo. A fómula de Viète quebou uma impotate baeia psicológica, já que o meo ato de esceve os tês potos o fial sializava a aceitação dos pocessos ifiitos a matemática e abia o camiho paa seu uso geealizado. O gade matemático Isaac Newto descobiu outo poduto ifiito evolvedo iflueciado pelo tabalho de outo iglês, Joh Wallis(66-703). Eis o poduto ifiito de Newto paa :

32 E, em 67, o escocês James Gegoy( ) descobiu a séie ifiita: O que toa essas fómulas tão otáveis é que o úmeo, oigialmete defiido em elação ao cículo, pode se expesso somete atavés de iteios, aida que atavés de um pocesso ifiito. Até hoje, essas fómulas estão ete as mais belas de toda a matemática. Sabe-se hoje que é um úmeo iacioal, o etato, essa caacteística só foi demostada em 76 po Joha Heiich Lambet(78-777)..3 A Iacioalidade do Númeo Nosso objetivo agoa seá demosta a iacioalidade de, paa tato, ecessitaemos de algumas popiedades da fução 0, (0,)! f x x e que f x f x. Vamos iicia ossa demostação supodo que f x x ( x). Obseve que! seja acioal, assim, a com b a e b pimos ete si. Nosso objetivo é chega a um absudo, mostado assim que ão é acioal. E cosequetemete ão pode se acioal, pois o quadado de um acioal é também um acioal. Paa a coclusão da demostação, vamos pecisa da seguite poposição. Poposição.5 Paa um suficietemete gade e a um úmeo positivo, a.! Demostação: tal que Sedo N, otamos que; a a a a a a a......! N N N. Fixado N a N, cada um dos N fatoes do segudo paêtese seá ifeio a. Logo;

33 3 N N a a a a a a a ( a) C......, N em que C é uma! N N N! costate que só depede de N, que já está fixado. Assim, paa um suficietemete gade teemos a.! Um impotate esultado sobe a fução poposição. j j Poposição.6 f x ( ) x.! j0 j f x x ( x) é dado pela seguite! Demostação: f x ( x).! x Desevolvedo x fica: x 0 f x ( x) ( x) ( x)... ( x) ( x)! 0 f x x ( ). x ( ) x... ( ) x ( ) x, ou! 0 j j seja, f x ( ) x.! j0 j Estabeleceemos uma impotate coseqüêcia dessa poposição o seguite cooláio. Cooláio. Seja ( m) i) ii) ( m) f x a m-ésima deivada de f x. Etão: f 0 0 se 0 m ou m. ( m) 0 f é um úmeo iteio se m. Demostação: ( m) ª Pate: f 0 0 se 0 m ou m. zeo é aiz de Basta obseva que paa 0 m todos os temos são multiplicados po x e como De fato: f x com multiplicidade, ( m) f 0 0.

34 3 x f x x! x f ' x. x ( x). x ( x) ( x). x( x)!! x f ' x g( x), sedo g x x x x! Geealizado: m ( m) x f x gm x! ( ) ( ). ( ). ( m) que é tal que Paa m f 0 0 paa 0 m. ( m), obviamete f x 0 pois o gau de f x é. ª Pate: Desevolvedo f x, obtemos; f x c x c x c x c x c x!... ( ) ( ) 0 c, c, c... c. Assim: 0 f f 0 ( ) 0 0 c!! ( )! c! ( ) paa coveietes f ( ) ( ) ( )! c 0.! Potato, ( m) 0 f é um iteio paa m. Utilizado o mesmo aciocíio cocluímos que o cooláio também vale paa Supodo f ( m) a, defiiemos agoa a fução Hx da seguite foma: b () ( ) Defiição. H x b f x f " x... ( ) f x ( ) f x Assim, se. a, podemos estabelece a seguite poposição. b d H ' x se x H x cos x a f x se x. dx Poposição.7 Demostação: Aplicado a ega do poduto, fica:

35 33 d H ' x se. x H x cos. x H " x se x H ' x cos x H ' x cos x H x se x dx H " x H x se x. (4) 4 ( ) ( ) Mas H " x b f " x f x... ( ) f x ( ) f x e 4 ( ) ( ) H x b f x f " x... ( ) f x ( ) f x. Assim, teemos: (4) (4) H " x H x se x b f x f " x f x f x... ( ) ( ) ( ) f x ( ) f x b f x se x ( ). b f x se x. a Como supomos iicialmete, vem; b a b f x se x a f xse x. b d H ' x se x H x cos x a f x se x. dx Logo Poposição.8 H 0 e H são iteios. Demostação: Nas codições da defiição, temos: ( ) ( ) 0 0 " 0... ( ) 0 ( ) 0 H b f f f f. Acotece que paa m, pelo Cooláio,. teemos; ( ) f 0 0, f " 0 0,..., f 0 0 de ode 0 b j j j H fica esumida a ( ) ( m) ( ) f 0 paa j. Mas aida pelo cooláio, 0 j0 paa m. Já paa o fato b a b j j j Logo, b. j j j j a b, lembado que, temos: b ( ) ( ) f 0 paa j, e, potato j0 Pelo mesmo aciocíio cocluímos que H também é iteio. f H 0.

36 34 Poposição.9 Se, etão a f xse xdx H H 0 a b. 0 Demostação: Aplicado o teoema fudametal do cálculo, fica: a f x se x H ' x se x H x cos x ( H ' se H cos ) 0 0 ( H ' 0 se0 H 0 cos0) H H 0 H H 0. Teoema: Fialmete, diate de todas as coclusões ateioes, podemos estabelece o seguite Teoema. é iacioal. Demostação: Como 0 f x em (0,), de todas as coclusões temos que:! se x a a a a f x se xdx a dx se xdx!!!! ou seja,, 0 a f x se xdx. Como a f xse xdx H 0 H 0 a!, fica 0 a a H 0 H 0 H 0 H 0 H 0 H.!! 0 E isso é um absudo, pois ão existe úmeo iteio maio que zeo e meo que um. Somos assim obigados a abadoa a hipótese iicial que. é acioal e cosequetemete

37 CAPÍTULO III NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES 3. Um Pouco Sobe Númeos Algébicos e Tascedetes Tedo em vista os esultados obtidos o capítulo II, classificamos os úmeos eais em dois cojutos disjutos: os acioais e os iacioais. Além dessa classificação, existe uma outa, em úmeos algébicos e tascedetes. Defiição 3.: Se um úmeo eal x satisfize uma equação da foma a a x a x a x, com coeficietes iteios, dizemos que este úmeo é algébico. Sobe a defiição acima, duas obsevações devem se feitas: Tedo em vista esultados posteioes, sempe que tomamos um poliômio paa o qual um úmeo é aiz supoemos o poliômio de meo gau possível paa o qual isso ocoe. A outa obsevação é que, se dividimos todos os temos da equação pelo coeficiete domiate, teemos x satisfazedo agoa uma equação com coeficietes acioais. Assim, uma defiição equivalete seia Se um úmeo eal x satisfize uma equação da foma a a x a x x, com coeficietes acioais, dizemos que este úmeo é algébico. A maioia dos úmeos ecotados a álgeba elemeta podem se imagiados como soluções paa equações simples; mais especificamete, são úmeos algébicos. Po exemplo, os úmeos, / 3 e são soluções, espectivamete, das equações poliomiais x 0, 3x 0 e x 0. O úmeo i também petece a esse gupo, visto que ele satisfaz a equação discussão aos úmeos eais. x 0; etetato, vamos estigi ossa Até mesmo um úmeo de apaêcia complicada como 3 ( ) classe, já que ele satisfaz a equação x 6 3 petece a essa x 0, como se pode costata facilmete. Claamete todo úmeo acioal a/ b é algébico, já que ele satisfaz a equação bx a 0. Assim, se um úmeo ão fo algébico, deve se iacioal. A ecípoca dessa

38 36 afimação, cotudo, ão é vedadeia; um úmeo iacioal pode se algébico, como mosta o exemplo de. Suge agoa uma questão impotate: existião úmeos iacioais ão algébicos? Po volta do iício do século XIX os matemáticos começaam a suspeita que a esposta fosse sim, mas ehum úmeo desse tipo tiha sido ecotado. Paecia que um úmeo ão algébico se fosse ecotado, seia uma sigulaidade. Foi em 844 que o matemático facês Joseph Liouville (809-88) povou que os úmeos ão algébicos de fato existiam. Sua pova, emboa ão fosse simples, pemitiu que ele poduzisse váios exemplos de tais úmeos. Um dos exemplos, cohecido como úmeo de Liouville, é...!! 3! 4! cuja expasão decimal é 0, ode os blocos cada vez maioes de zeos são devidos à peseça de! o expoete do deomiado do úmeo de Liouville, o que faz com que os temos dimiuam de um modo extemamete ápido. Outo exemplo é 0, , em que os dígitos são os úmeos atuais em odem. Um úmeo eal ão algébico é chamado de tascedete. Não há ada de místico essa palava, ela idica apeas que esses úmeos tascedem, ou seja, vão além o eio dos úmeos algébicos. A segui defiimos de foma mais pecisa úmeos tascedetes. Defiição 3. Todo úmeo eal que ão é aiz de ehuma equação da foma a a x a x a x com coeficietes iteio é tascedete Em cotaste com os úmeos iacioais, cuja descobeta sugiu de um poblema comum a geometia, os úmeos tascedetes foam ciados especificamete com o popósito de demosta que tais úmeos existiam. Nosso objetivo esse capítulo seá demosta algumas caacteísticas impotates do cojuto dos úmeos algébicos. 3. Caacteização dos Númeos Algébicos e Tascedetes Poposição 3. O cojuto dos algébicos é deso em. Demostação: Basta obseva que o cojuto dos úmeos algébicos cotém todos os acioais e, como os acioais são desos em, coclui-se tivialmete que os algébicos são desos.

39 37 Nosso objetivo agoa seá demosta a eumeabilidade dos úmeos algébicos, paa isso, vamos cosidea, sem demostação, o teoema fudametal da álgeba que afima: Todo poliômio ão costate de gau, com coeficietes complexos, tem aízes complexas. Pecisaemos também da seguite poposição: Poposição 3. Uma euião eumeável de cojutos fiitos é eumeável Demostação: No capítulo I demostamos que uma euião eumeável de cojutos eumeáveis é eumeável. Como todo cojuto fiito é eumeável temos, potato, um caso paticula da Poposição.4. Teoema 3. O cojuto dos úmeos algébicos é eumeável. Demostação: Cosidee um poliômio com coeficietes iteios p x a0 ax a x... ax. Vamos defii altua do poliômio como sedo o úmeo atual h( P) a a a... a. 0 Pelo teoema fudametal da álgeba, paa cada poliômio de gau, teemos o máximo aízes complexas. Evetualmete todas, algumas ou ehuma podem se eais. Recipocamete, paa cada altua ( ) esse úmeo. Assim teemos:, Mais pecisamete, 8,... #, p x x p x x hp teemos um úmeo fiito de poliômios. Seja P p7 x x, p8 x x # p x x, p x x, p x x, p x x, p x x, p x x, e assim po diate

40 38 Temos, potato, que as aízes de todos os poliômios com uma dada altua fomam um cojuto fiito e como podemos eumea todas essas altuas, segue da Poposição 3. que o cojuto A de todos os úmeos algébicos eais é eumeável. Cooláio 3. Existem úmeos tascedetes e estes são ão eumeáveis. Demostação: Como o cojuto é ão eumeável (Poposição.0, Cap.I) e o cojuto A é eumeável, segue que existe um cojuto T \ A ão eumeável, pois A \ A. De fato, se T fosse eumeável teíamos que também o ea cotaiado a Poposição.0 de que é ão eumeável. O objetivo do osso póximo teoema é demosta que os algébicos fomam um copo, paa isso, vamos ecessita de algus esultados da álgeba liea. Cosideaemos, a pati de agoa, V como sedo espaço vetoial sobe o copo dos acioais. S v,v,...,v V. Sejam V um espaço vetoial e Cosideemos a equação av av... av 0 Sabemos que essa equação admite pelo meos uma solução: a a a 0, 0,..., 0 Chamada solução tivial. Defiição 3.3 () O subcojuto S diz-se lieamete idepedete (LI) se admite apeas a solução tivial. () Se existiem soluções ão tiviais, isto é, soluções com algus a 0, dizse que o cojuto S é lieamete depedete (LD). i Defiição 3.4 Um subcojuto B v, v,..., v V é uma base de espaço vetoial V se: i) B é LI ii) B gea V A dimesão de um espaço vetoial V é a cadialidade de qualque base de V.

41 39 Seja V um espaço vetoial tal que dim V. Se S é um subespaço de V, etão dims. No caso de dim S, tem-se S V. Assim, podemos estabelece a seguite poposição. Poposição 3.3 Se V é um espaço vetoial de dimesão, etão qualque subcojuto de V com mais de vetoes é lieamete depedete (LD). Demostação: Seja B v v v uma base de um espaço vetoial V e B w w w,,..., ',,..., m cojuto qualque de m vetoes de V, com m. Petede-se mosta que B ' é LD. Paa tato, basta mosta que existem escalaes x, x,..., x ão todos ulos tais que: xw xw..., xmwm 0 Como B é uma base de V, cada veto w i petecete a vetoes de B, isto é, existem úmeos,,..., tais que: w v v... v w v v... v i i i um B ' é uma combiação liea dos w v v v m... Substituido as elações em, obtemos: x v v... v x v v... v xm v v... v 0 Odeado os temos coveietemete: x x... x v m x x... x v m x x... xm v 0 ulos, ou seja: Tedo em vista que v,...,, v v são LI, os coeficietes dessa combiação liea são

42 40 x x... x 0 x x... x 0 m m x x... xm 0 Esse sistema liea homogêeo possui m vaiáveis x, x,... x m e equações. Como m, existem soluções ão tiviais, isto é, existe 0. x Logo B w w w i ',,..., m é LD. Vamos agoa a demostação de que A é copo. Teoema 3. A foma um copo. Demostação: Pecisamos demosta as seguites popiedades: i, A A ii, A. A iii A A iv A, 0 A Demostação de iii : Se é algébico etão ele é aiz de uma equação com coeficietes iteios do tipo a a x a x... a x a x 0 0 Potato é aiz da equação a a x a x... a x a x 0 0 Demostação de iv : Se satisfaz a equação a a x a x... a x a x 0 0 e 0, etão satisfaz a equação De fato temos, a x a x... a x a 0 0

43 4 a a a... a a 0. 0 Multiplicado po obtemos, a0 a a... a a a0 a a... a a.0 0 Paa as demostações de i e ii vamos cosidea os úmeos algébicos como aízes de poliômios com coeficietes acioais, além disso, supoemos o poliômio de meo gau paa o qual isso ocoe. Demostação de i : Cosidee os poliômios p e p com coeficietes acioais obtidos a pati da divisão pelo coeficiete do temo de maio gau. p x a a x a x... a x x 0 p x b b x b x... b x x m 0 m Sejam e algébicos, aízes das equações poliomiais p 0 e p 0 espectivamete. Assim, ou seja, isto é, acioais e e 3.0 a... a a a m b... b b b 0 m m 0 e 3. a... a a a m b... b b b m m 0 está expesso como uma combiação liea de substituido-se o m como combiação liea de,,...,, usado coeficietes m. Multiplicado.0,,..., obtido a expessão pelo seu valo dado em 3 po e 3., obtemos expesso aida como combiação liea de,,..., usado coeficietes acioais. E assim sucessivamete todas as potecias j paa j, são expessas como combiações lieaes de,,...,, usado-se coeficietes acioais.

44 4 O mesmo se coclui paa k, paa k m como combiações lieaes de,,..., m. Nosso objetivo agoa seá mosta que satisfaz uma equação poliomial de gau m com coeficietes acioais, implicado etão que seja algébico. Cosideemos os m. úmeos,,,..., e o espaço vetoial sobe m B,,,,,,..., geado pelos elemetos m Como B é um cojuto de geadoes de m elemetos, etão possui uma base com cadialidade meo ou igual a m. Etão a dimesão deste espaço é meo ou igual a m, logo, os m todos ulos, tais que 0,..., m em úmeos acima são L.D.. Potato, existem acioais 0... m 0. O que mosta que satisfaz uma equação poliomial de gau m. m Demostação de ii : Utilizamos o mesmo aciocíio da demostação de i. No etato cosideamos agoa os m. úmeos m.,,,..., Seguido o mesmo agumeto de i, pela Poposição 3.3, os m. úmeos,,,..., w i s são os m. e os v i s são os m úmeos. Assim, existem s0, s,..., s m acioais, em todos ulos, tais que s0 s s... s m 0 O que mosta que é aiz de uma equação poliomial de gau m. m j k

45 CAPÍTULO IV A TRANSCENDÊNCIA DO NÚMERO e No capítulo II, demostamos a iacioalidade do úmeo e bem como o caacteizamos de difeetes fomas. Nosso objetivo, esse capitulo, seá demosta a tascedêcia do úmeo e. poliômio Iicialmete vamos cosidea um poliômio P x de gau com suas espectivas deivadas. Fx defiido como a soma de um ( ) Poposição 4. Seja a fução F x Px P' x... P x ; em que poliômio de gau e ( ) P x epeseta a deivada de odem de d e F x e P x dx x x. P x. Etão, P x é um Demostação: x x x x ( ) Temos e F x e Px e P x e P x '.... Etão, d e x F x e x P x e x P x x x ' x e P ' x e P " x e P " x... dx x ( ) x ( ) x ( ) e P x e P x e P x, como ( P ) ( x) 0, pois Px ( ) tem gau, temos d e F x e P x dx x x. k k( k ) Poposição 4. Temos que, F k e F ke Pk um úmeo ete 0 e. 0, paa todo k 0 k, ode k é Demostação: x Uma vez que 0 k, vamos aplica o Teoema do Valo Médio à fução e F( x). Temos etão:

46 44 0 k 0 e F k e F d e k. k F k k k 0 dx e F k F ke P k k k. k 0 k k k ( k ) F k e F 0 ke P k, sedo que a seguda liha usamos a poposição 4.. k Devido à impotâcia dessa expessão paa a demostação, vamos defii a costate do segudo membo como: k( k ) Defiição 4. ke Pk k k. A fim de geealizamos esultados posteioes, pecisaemos de um impotate esultado sobe o poliômio Q x a jx j0 j que seá exposto a seguite poposição. Poposição 4.3 Seja Q x a jx j0 j um poliômio com coeficietes iteios e seja p < um iteio pimo. Etão: i () i j! ji Q x a jx, i. ( ji)! ji ii Demostação: ( p )! () i Q x p i,, é um poliômio com coeficietes iteios divisíveis po p. Q x a x a a x... a x. j Temos que j 0 j0 Etão, Logo, Q x a a x... a x () Q x a 6 a x... ( ) a x () 3 Q x 6a 4 a x... ( )( ) a x (3) ! 4!! a3 a4x... a x 0!! ( 3)! ( i) i! ( i )! ( i )!! i Q x a ai x aix... ax, ou seja, 0!!! ( i)! 3

47 45 () i j! ji Q x a jx, i ( ji)! ji o que pova a pimeia pate. Quato a seguda, obsevemos que os coeficietes de j!. a j, ode ( j)! ( p)! a j é iteio. Temos p i, p fixo e j i,...,. Q ( p )! () i x seão da foma No pimeio coeficiete, temos j i e, cosequetemete, j! j( j )... p( p )!. j( j )... p. 0! ( p)! ( p)! No segudo coeficiete, temos ji, potato, j! j( j )... p( p )!. j( j )... p.! ( p)! ( p)! No teceio coeficiete, temos ji, potato, j! ( )... ( )! ( ).... j j p p j j p.! ( p)!.( p)! Obsevemos que o umeado tem j ( p ) j p fatoes. Como i p, temos j p, ou seja, j p, o que implica j p 3. Assim, podemos coclui que o umeado teá pelo meos 3 fatoes, logo é divisível po e po p. No quato coeficiete, temos ji3, potato, j! ( )... ( )! ( ).... j j p p j j p 3! ( p)! 3..( p)! 3! e, esse caso, o umeado teá pelo meos 4 fatoes, logo é divisível po 6 e po p. Geealizado, teemos paa j i k, k, j! j( j )... p( p )! j( j )... p., k! ( p )! k!( p )! k! sedo que o umeado tem pelo meos k fatoes, ou seja, Dessa foma, j p k j k p.

48 46 sedo potato, j k j! ( )...( )( ).... j j j k j k p k! ( p )! k! j( j )...( j k ) ( j k)!. ( j k)... p k! ( j k)! j! ( j k)... p k!( j k)! j ( j k)... p, k j j um úmeo biomial, o que implica, ou seja, ( j k)... p k k j!. k! ( p)! são todos iteios divisíveis po p. Defiiemos agoa o poliômio e é divisível po p. Dessa foma, os coeficietes de P x, da poposição 4., como sedo Q ( p )! () i e, x P x x ( x)...( x) ( p )! Defiição 4. p p p Diate dessa defiição, podemos estabelece impotates popiedades expessadas a seguite poposição e os cooláios que seguem. P x x ( x)...( x) ( p )! Poposição 4.4 O poliômio p p p, sedo p um úmeo pimo tal que p * e 0 p c, pode se escito a foma Sedo b uma costate. p (!) p b p Px x x... ( p)! ( p)! Demostação: Façamos Temos p p p Px x ( x)...( x). ( p )! H x ( x)( x)...( x)

49 47 e obsevemos que Hx é da foma e cosequetemete, teemos sedo b,..., b p costates. a x a x... a x!, sedo a,..., a costates [ H x ] b x b x... b x (!), Voltado a Px, temos, P x p p p p p p x H x ( p )! p p bp pp b p (!) P x x... x ( p )! ( p )! ( p )! ou seja, p (!) b p b p p p p Px x x... x, ( p )! ( p )! ( p )! Cooláio 4. Nas codições da Poposição 4.4, temos () i P k k 0;,..., ; sedo i p. Demostação: Basta obseva que,..., são aízes de multiplicidade p do poliômio P. Como o gau de P é maio que p (Poposição 4.4), temos que,..., são aízes das deivadas de odes meoes que p. De fato: sedo p, P x k x g x p p p p p g x x ( x)...( k x) ( k x)...( x). ( p )! Logo: p p P' x p( k x) g x ( k x) g ' x p ( k x) g x, p ( k x) pg x ( k x) g ' x sedo g x pg x k x g x ( ) '. Geealizado, teemos: () i pi P x k x gi x ( ),

50 48 que é tal que () i P k k 0;,..., ; sedo i p. Cooláio 4. Nas codições da Poposição 4.4, P ( p) p () i 0 (!) e P 0 0, i p. Demostação: a ( p) Pate: P p 0 (!). p (!) b p P x x x..., temos ( p)! ( p)! p De ( p) p P x b px (!)... e, assim, o p úico temo que ão é fatoado po x é (!). Daí, ao aplicamos x 0, esse é o úico temo que ão se aulaá. a () i Pate: P 0 0, i p. Nesse caso, qualque i p seá meo que o meo expoete de x em P, o que faá com que todos os temos do poliômio cosequetemete, se toem ulos ao aplicamos x 0. () i P x estejam fatoados po x e, A pati de agoa vamos supo que e seja algébico, ou seja, é aiz de uma equação poliomial com coeficietes iteios e de meo gau possível (tomaemos também c0 0 ). Assim, c e c e... c e c 0. (4.) 0 Nosso objetivo agoa é chega a alguma cotadição com essa hipótese. Poposição 4.5 Se e é algébico, satisfazedo à equação (4.), etão c F 0 c F... c F c... c. 0 Demostação: Da Poposição 4., temos ( ) 0 0 ( ) 0 0 F e P ef ef F e P e F e F Etão, ( ) F e P e F 0 e F 0.

51 c F c F c F c F c c ef c c e F 0 0 ou seja, F 0 c c e... c e c... c, 0 c F 0 c F... c F c... c, (4.) 0 Devido à hipótese assumida acima que e satisfaz (4.). Nosso objetivo agoa seá demosta que paa um detemiado poliômio P x o lado esquedo dessa igualdade é um iteio ão divisível po um pimo p equato o lado dieito pode se toa meo que, em valo absoluto, paa um pimo p suficietemete gade. O que os daá um absudo. ( pp) Poposição 4.6 Seja F x Px P' x... P x Poposição 4., etão F k, paa k,...,, iteio ão divisível po p. O poliômio, cofome defiido a é um iteio divisível po p e 0 P x é o da defiição 4.. F é um Demostação: Vamos cosidea os seguites fatos: p p p P x x ( x)...( x). ( p )!. Pk 0, k,...,. Pois () i. Do Cooláio 4., temos que P k 0; i p. ( p )! () 3. Todo i () i P x pode se escito a foma Q x, sedo () i Q x defiido de acodo com a Poposição 4.3 (paa ve isso, basta deiva P a foma ão fatoada, cofome Poposição 4.4). Daí, Potato, k iteios e divisíveis po p. Paa 4. P0 0. () i P k, paa i p é um iteio divisível po p. F fica esumida ao somatóio dos P i k, ode i p, os quais são F 0 cosideamos também que: ( p) p () i 5. Do Cooláio 4., temos que P 0 (!) e ( ) P 0 0, i p.

52 50 6. (!) p ão é divisível po p pois p é pimo e p ão é divisível po p! ão é divisível po Potato, p (!) p também ão é divisível po p. F 0 é um somatóio de úmeos iteios, em que um dos temos ( p) p ( P 0 (!) ) ão é divisível po p e os demais são divisível po p. Logo 0 iteio ão divisível po p. cooláio. F é um Cosideado a igualdade 4. da Poposição 4.5, podemos estabelece o seguite Cooláio 4.3 O úmeo c F c F c F sedo 0 c0 p é um iteio ão divisível po p, 0 Demostação: Como p c0, etão c 0 ão é divisível po p, e da Poposição 4.6, temos que também ão é divisível po p. Potato, cf 0 0 ão é divisível po p, pois p é pimo. Se supusemos que p divide c F c F c F 0 temos do somatóio, o que ão é vedade, pois divide c F c F c F F , etão p dividiá todos os cf 0 0 ão é divisível po p. Logo, p ão Paa as duas póximas poposições, utilizaemos a costate da defiição 4.. Poposição 4.7 Paa k calculado paa o poliômio iteio positivo, P x da poposição 4.5. p p e (!) k. ( p )! Sedo k da Defiição 4., Demostação: k ( ) k p p p k ke ( kk ) ( kk )...( kk ), ( p )! sedo 0 k e k. Daí, ( ) ( )! k k p p ( ) p...( ) p k p ke k k k k k k. Como 0 j k j; j,...,. Etão, k k k p k( k ) p p p p ( p )! k e ( k)...

53 5 aida de 0 k( ) k. Daí k k k p k p p ( p )! k e ( k) (!) e mais uma vez, de 0 k, k p k e p k p p ( )! () (!). Assim, k k e (!) p k p ( p )!. Como k, etão k p p e (!). ( p )! Potato, k p p e (!). ( p )! Poposição 4.8 Existe p pimo tal que c... c, sedo,..., da Poposição ateio. Demostação: Temos c... c c... c c... c. Como k e (!) ( p )! p p, etão p p p p e (!) C e (!) c... c ( c... c ), ( p)! ( p)! sedo C c... c. Vamos mosta que existe p pimo, suficietemete gade, tal que C e (!) ( p )! p p. Paa isso, vamos faze x p C e (!) ( p )! p p e mosta que essa seqüêcia covege paa 0. Tomemos p p p p x p C e (!) ( p )! C e (!) (!)( p )!!... p p p p x p ( p )! C e (!) p( p )! C e (!) p Logo, x p!. lim 0, p x p p Potato, a séie xp covege, ou seja, a sequêcia do p temo geal x p covege paa 0. Assim, paa um pimo p suficietemete gade, teemos p p C e (!) xp c... c. ( p )!

54 5 Teoema 4. e é tascedete. Demostação: Cosideemos os seguites esultados: c F 0 c F... c F c... c. () Da Poposição 4.3, temos 0 () Do Cooláio 4.3, temos que c F c F c F p é um iteio ão divisível po 0 (3) Da Poposição 4.8, temos que paa algum pimo p, c... c. Chegamos, assim, a uma cotadição! Po (), c F c F c F 0... é um 0 iteio meo que um, ou seja, zeo. Po (), temos que esse iteio ão é divisível po p. Logo, ão pode se zeo! Essa cotadição sugiu do fato de temos admitido que e fosse algébico, ou seja, que podeia se aiz de uma equação poliomial com coeficietes iteios. Logo, e ão é algébico, sedo, potato, tascedete.

55 53 CONCLUSÃO Paa popósitos de medições ós ão pecisamos dos úmeos iacioais, pois sempe podeemos apoxima o úmeo iacioal atavés de uma seie de apoximações acioais, cuja pecisão pode se tão boa quato desejamos. É o aspecto teóico dos úmeos iacioais que os toam tão impotates paa a matemática: eles são ecessáios paa peeche os buacos deixados a liha dos úmeos pela existêcia de potos ão acioais; e fazem do cojuto de úmeos eais um sistema completo, um cotiuum uméico. O pimeio úmeo tascedete só foi exibido em 844 po Joseph Liouville emboa a teoia dos úmeos tascedetes teha ascido a Gécia atiga com os tês famosos poblemas gegos de costução com égua e compasso: a quadatua de um cículo, a tisecção de um âgulo e a duplicação de um cubo. O estudo desses poblemas ecai a costução (com égua sem escala e compasso) de um segmeto com ceta medida que ão é costutível a pati de um segmeto dado como uidade. Temos aí a teoia dos Númeos Costutíveis que, hoje sabemos, são todos úmeos algébicos. No cogesso iteacioal de Matemática, ealizado em Pais, em 900, um dos maioes matemáticos da época, David Hilbet (89-943), desafiou a comuidade matemática com uma lista de vite e tês poblemas ão esolvidos, cuja solução ele cosideava da maio impotâcia. O sétimo poblema da lista de Hilbet ea pova ou ega a hipótese de que, paa qualque úmeo algébico a 0, e paa qualque úmeo algébico iacioal b, a expessão deu o úmeo b a é sempe tascedete. Como exemplo específico ele. Hilbet peviu que esse poblema levaia mais tempo paa se esolvido que o Último Teoema de Femat, mas foi excessivamete pessimista. Em 930 o matemático usso Alexad Osipavich Gelfod ( ) povou a sua tascedêcia. A hipótese geal de Hilbet, em elação a idepedetemete, po T. Scheide a Alemaha. b a, foi demostada em 934 po Gelfod e também, Não é fácil pova que um úmeo é tascedete: é peciso pova que o úmeo ão peeche cetas exigêcias. Ete os úmeos cuja codição aida ão foi estabelecida temos, e e e e. A descobeta dos úmeos tascedetes ão povocou o mesmo choque itelectual que os úmeos iacioais tiham causado, dois mil e quihetos aos ates, mas suas coseqüêcias foam igualmete sigificativas. Ela mostou que, po tás da apaete simplicidade do sistema de úmeos eais, ocultam-se muitas sutilezas que ão podem se

56 54 otadas simplesmete olhado-se a expasão decimal de um úmeo. Mas a maio supesa aida estava po vi. Em 874 o matemático alemão Geog Cato (845-98) fez a espatosa descobeta de que existem mais úmeos iacioais do que acioais, e mais úmeos tascedetes do que algébicos. Em outas palavas, loge de seem exceticidade, a maioia dos úmeos eais é iacioal e, ete os úmeos iacioais, a maioia é tascedete! E isso o leva a campos aida mais elevados de abstação. Se os cocetamos em apeas calcula os valoes de e e e, descobiemos que eles são supeedetemete póximos:, e 3, , espectivamete. É clao que e e ão estão demasiado sepaados umeicamete. Pese isso: ete a ifiidade de úmeos eais, aqueles que são mais impotates paa a matemática 0,,, e e estão localizados deto de meos de quato uidades a liha uméica. Uma coicidêcia extaodiáia? Ou um meo detalhe de um pojeto maio?

57 55 REFERÊNCIAS [] ÁVILA, Gealdo Seveo de Sousa. Aálise Matemática paa Liceciatua, São Paulo: Edgad Bluche, 006. [] LIMA, Elo Lages. Aálise Real vol, Rio de Jaeio: IMPA, 008. [3] MAOR, Eli. e: a Históia de um Númeo; tadução de Joge Luiz Calife 4º ed, Rio de Jaeio: Recod, 008. [4] FIGUEIREDO D.G.. Númeos Iacioais e Tascedetes, Rio de Jaeio: Publicação da Sociedade Basileia de Matemática (SBM). Coleção Fudametos da Matemática elemeta, 985. [5] CANTOR, Geog. Caacteização dos Númeos Reais; tadução de Deise Silva Vilela. Revista da Sociedade Basileia da Históia da Ciêcia, º 0, pg.85-94, 993. [6] DOMINGUES, Hygio H.. Álgeba Modea: São Paulo: Atual, 003. [7] SANTOS, José Plíio de Oliveia. Itodução à Teoia dos Númeos, Rio de Jaeio: IMPA, 006. [8] STEINBRUCH, Alfedo. Álgeba Liea, São Paulo: Mako Books, 987. [9]OLIVEIRA, Aselmo A de A.(004) Famat em Revista º 03, setembo de 004< em 0 de maio de 009. [0]SINGH, Simo. O Último Teoema de Femat; tadução de Joge Luiz Calife, Rio de Jaeio. SPIVAK, M. Calculos, 3ª Edição: Editoa Publish o Peish, 994.

58 APÊNDICES 56

59 56 Apêdice Algoitmo da Divisão de Euclides Dados dois iteios a e b, b 0 existe um úico pa de iteios q e tais que a qb com 0 b. Há duas possibilidades: (i) b é múltiplo de a e, potato, b aq paa um coveiete iteio q. (ii) b está situado ete dois múltiplos cosecutivos de a, isto é, existe um iteio q tal que aq b a( q ). Daí, 0 b aq a. Etão, fazedo b aq, obtemos b aq, em que 0 a. Jutado as duas possibilidades, podemos gaati o seguite: dados dois úmeos iteios, a e b, com a 0, etão sempe se pode ecota dói iteios q e tais que b aq, em que 0 a. Evidetemete, 0 coespode ao caso em que b é múltiplo de a. Vamos imagia, po outo lado, que se pudesse detemia outo pa de iteios, q e, tais que b aq, com 0 a. Etão, aq aq e, potato. a( q q). Supohamos que digamos. Daí, o segudo membo da ultima igualdade seia estitamete egativo e, como a 0, etão q q também seia estitamete egativo e, potato, q q 0, ou seja, q q. Mas de a( q q) segue que: a( q q) Levado-se em cota que a 0, 0 e q q, da ultima igualdade seguiia que a, o que é absudo. Da mesma foma, pova-se que a desigualdade e, cosequetemete, q q. também é impossível. De ode

60 57 Apêdice Teoema Fudametal da Aitmética Todo iteio maio do que pode se epesetado de maeia úica (a meos de odem) como um poduto de fatoes pimos. Sedo um iteio maio que, se é pimo ão há ada a se demostado, supohamos pois, composto. Seja p( p ) o meo dos divisoes positivos de. Afimamos que p é pimo. Isto é vedade, pois, caso cotáio existiia p, p p com p, cotadizedo a escolha de p. Logo, p. Se fo pimo a pova está completa. Caso cotáio, tomamos p como o meo fato de. Pelo agumeto ateio, p é pimo e temos que p p. Repetido este pocedimeto, obtemos uma seqüêcia decescete de iteios positivos,,...,. Como todos eles são iteios maioes do que, este pocedimeto deve temia. Como os pimos a seqüêcia p, p,..., p k ão são, ecessaiamete distitos, teá em geal, a foma: p p p... k. k Paa mostamos a uicidade usamos idução em. Paa a afimação é vedadeia. Assumimos, etão, que ela se veifica paa todos os iteios maioes do que e meoes do que. Vamos pova que ela também é vedadeia paa. Se é pimo, ão há ada a pova. Vamos supo, etão, que seja composto e que teha duas fatoações, isto é,... p p... p q q... q. s Vamos pova que se que cada pi é igual a algum q j. Como p divide o poduto q q q ele divide pelo meos um dos fatoes q. Sem peda de geealidade podemos supo que p q. Como são ambos pimos, isto implica p q. Logo p p... ps q... q. Como p, a hipótese de idução os diz que as duas fatoações são idêticas, isto é s e, a meos de odem, as fatoações p... p p s e q... q q s são iguais. j

61 JULIMAR CARLOS DE OLIVEIRA CARLOS CRUZ GOMES NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES Moogafia apesetada ao Depatameto de Matemática e Física da UFSC, como equisito pacial paa obteção do gau de Pofesso Especialista em Matemática. Apovada em / / BANCA EXAMINADORA Pof.º Elieze Batista (oietado)