Texto complementar n 3.

Transcrição

1 Texto complemeta 3. A Pimeia Lei de Newto Talvez devêssemos começa a estuda a mecâica pelo movimeto de um objeto mecâico isolado, ou seja, o movimeto de um copo sobe o qual ão agem foças. Seia, etetato, muito difícil veifica a capacidade de pevisão da teoia desevolvida, poque é impossível isola um copo da foça da gavidade em um laboatóio teeste. Po isso, começamos osso estudo pelo movimeto de um objeto sobe o qual a foça esultate do cojuto de iteações sobe ele seja ula. Leia a seção 4., págias 106 a 111 do livo CURSO DE FÍSICA BÁSICA 1- Mecâica, de H. Moysés Nussezveig, Editoa Edgad Blüche Ltda. (1981), que discute a teoia a espeito. A pate mais saboosa do texto está epoduzida abaixo. Segudo Aistóteles, tato paa coloca um copo em movimeto como paa matê-lo em movimeto é ecessáia a ação de uma foça. Isto paece cocoda com ossa expeiêcia imediata de que um objeto deslizado sobe o solo, po exemplo, tede a paa se paamos de empuá-lo. Etetato, um pojétil como uma peda ou uma flecha cotiua em movimeto depois de laçado. Aistóteles explicava isto afimado que é o a "empuado paa os lados" pelo pojétil que se desloca paa tás dele e poduz a foça que o impulsioa. Logo, segudo Aistóteles, se a foça que atua sobe um copo é ula, o copo pemaeceá sempe em epouso. Vejamos agoa o que diz Galileu os "Diálogos Sobe os Dois Picipais Sistemas do Mudo": "SALV.:... Diga-me agoa: Supohamos que se teha uma supefície plaa lisa como um espelho e feita de um mateial duo como o aço. Ela ão está hoizotal, mas icliada, e sobe ela foi colocada uma bola pefeitamete esféica, de algum mateial duo e pesado, como o boze. A seu ve, o que acoteceá quado a soltamos? SIMP.: Não acedito que pemaeceia em epouso; pelo cotáio, estou ceto de que olaia espotaeamete paa baixo salv.:... E po quato tempo a bola cotiuaia a ola, e quão apidamete? Lembe-se de que eu falei de uma bola pefeitamete edoda e de uma supefície altamete polida, a fim de emove todos os impedimetos exteos e acidetais. Aalogamete, ão leve em cosideação qualque impedimeto do a causado po sua esistêcia à peetação, em qualque outo obstáculo acidetal, se houve. SIMP.: Compeedo pefeitamete, e em esposta a sua peguta digo que a bola cotiuaia a move-se idefiidamete, equato pemaecesse sobe a supefície icliada, e com um movimeto cotiuamete aceleado... SALV.: Mas se quiséssemos que a bola se movesse paa cima sobe a mesma supefície, acha que ela subiia? SIMP.: Não espotaeamete; mas ela o faia se fosse puxada ou laçada paa cima. SALV.: E se fosse laçada com um ceto impulso iicial, qual seia o seu movimeto, e de que amplitude? SIMP.: O movimeto seia costatemete feiado e etadado, sedo cotáio à tedêcia atual, e duaia mais ou meos tempo cofome o impulso e a icliação do plao fossem maioes ou meoes. 13

2 SALV.: Muito bem; até aqui você me explicou o movimeto sobe dois plaos difeetes. Num plao icliado paa baixo, o copo móvel desce espotaeamete e cotiua aceleado, e é peciso empega uma foça paa matê-lo em epouso. Num plao icliado paa cima, é peciso uma foça paa laça o copo ou mesmo paa matê-lo paado, e o movimeto impesso ao copo dimiui cotiuamete até cessa de todo. Você diz aida que, os dois casos, sugem difeeças cofome a icliação do plao seja maio ou meo, de foma que um declive mais acetuado implica maio velocidade, ao passo que, um aclive, um copo laçado com uma dada foça se move tato mais loge quato meo o aclive. Diga-me agoa o que acoteceia ao mesmo copo móvel colocado sobe uma supefície sem ehum aclive em declive. SIMP.: Aqui peciso pesa um istate sobe a esposta. Não havedo declive, ão pode have tedêcia atual ao movimeto; e, ão havedo aclive, ão pode have esistêcia ao movimeto. Paece-me potato que o copo deveia atualmete pemaece em epouso. Mas eu me esqueci; faz pouco tempo que Sagedo me deu a etede que isto é o que acoteceia. SALV.: Acedito que acoteceia se colocássemos a bola fimemete um luga. Mas que sucedeia se lhe déssemos um impulso em alguma dieção? SIMP.: Ela teia que se move essa dieção. SALV.: Mas com que tipo de movimeto? Seia cotiuamete aceleado, como o declive, ou cotiuamete etadado, como o aclive? SIMP.: Não posso ve ehuma causa de aceleação em deceleação, uma vez que ão há aclive em declive. SALV.: Exatamete. Mas se ão há azão paa que o movimeto da bola se etade, aida meos há azão paa que ele pae; po coseguite, po quato tempo você acha que a bola cotiuaia se movedo? SIMP.: Tão loge quato a supefície se estedesse sem subi em desce. SALV.: Etão, se este espaço fosse ilimitado, o movimeto sobe ele seia também ilimitado? Ou seja, pepétuo? SIMP.: Paece-me que sim, desde que o copo móvel fosse feito de mateial duável. " Temos aqui fomulada pela pimeia vez a lei da iécia: a situação ideal cotemplada po Galileu, com uma esfea laçada sobe um plao hoizotal, pefeitamete polido (sem atito), despezado a esistêcia do a, o movimeto ão seia em aceleado em deceleado: ão havedo foças a dieção hoizotal, teíamos um movimeto etilíeo uifome. Ao cotáio do que dizia Aistóteles, ão há ecessidade de foças paa mate um movimeto etilíeo uifome: pelo cotáio, uma aceleação ula (v=costate) está ecessaiamete associada à ausêcia de foça esultate sobe a patícula (F=0). A situação imagiada po Galileu é muito difícil de ealiza a pática, a escala do laboatóio. Podemos pesa ela como um caso limite.... Em que situações páticas podemos utiliza essa lei e peve o que acotece? A mais simples coespode à dos objetos que estão paados à ossa volta: se eles estão paados e queemos que pemaeçam paados, devemos gaati que a foça esultate sobe eles seja ula: o livo ão caiá da cateia se ão iteagimos com ele; o teto da sala pemaeceá ode está equato as vigas que o sustetam foem capazes de equiliba seu peso. Os copos deslocado-se sobe o solo, po exemplo, ão podeão mate sua velocidade costate, poque a iteação com o a alteaá a velocidade do objeto, mesmo que o objeto esteja sobe odas dotadas de odízios "pefeitos", de atito despezível. Também o foguete cotiuaá movedo-se após acaba o 14

3 combustível, emboa sua velocidade ão pemaeceá costate, devido às foças de gavitação dos copos celestes vizihos. A teoia cotida a 1a Lei de Newto também defie qual a gadeza que pemaece costate quado ão há iteação. Essa gadeza é a velocidade e ão a posição. Paa podemos compeede e aplica a 1a Lei de Newto coetamete, potato, pecisamos defii e compeede a gadeza ciemática velocidade. Voltaemos adiate, esta mesma disciplia e muitas vezes o Cuso, sobe este assuto da Iécia e a cada vez veemos que as coseqüêcias desta lei são, a ealidade, muito amplas. Em paticula, veemos que se ela fo válida em um sistema de efeêcia, etão seá válida em todos os demais sistemas que se movem a velocidade costate em elação a ele. Paa que isso acoteça, as leis da Física teão de te exatamete a mesma foma em todos os efeeciais ode vale a 1a Lei de Newto. Essa é a aiz da teoia da elatividade. 15

4 DERIVADAS Este assuto seá estudado o cuso de Cálculo, de maeia que aqui o discutiemos apeas o setido que iteessa ao estudo da Mecâica esta etapa iicial, sem ehuma iteção de geealidade em igo. Cofome apesetado o livo do Halliday, a deivada de uma fução é o valo paa o qual tede a azão ete a vaiação da fução e a vaiação da vaiável idepedete. Sedo x a vaiável idepedete e f(x) a fução, a deivada é lim f ( x) f ( x) lim x x x 0 f ode a última foma de esceve efatiza que a deivada coespode à popoção de vaiação de f com x. A deivada de uma fução é uma gadeza DIMENSIONAL, de maeia que NÃO pode se cofudida com a tagete do âgulo de icliação da eta tagete ao gáfico (que é SEMPRE adimesioal). A deivada deve, sim, se itepetada como a icliação da eta tagete ao gáfico, cofome a seção.4 do livo do Halliday. A itepetação da deivada como icliação está ilustada qualitativamete pelas figuas 9 a 14 e quatitativamete pela figua 17. Questão 1. Pocededo como a tabela.1 da págia 7 do livo do Halliday, detemie a velocidade em t=,0 s de um objeto que move-se de acodo com a equação hoáia f(t)=3t 3. O pocesso de limite ão pecisa se efetuado umeicamete todas as vezes. É fácil detemia a deivada de uma potêcia. Seja f x. Etão f ( x ) x lim lim ( 1) x x x x lim 0 1 ( 1) x x lim 0 1 ( 1) 1 1 lim x x x 0 16

5 Na passagem da pimeia paa a seguda liha, expadimos a potêcia pelo biômio de Newto 1. As passages seguites são algébicas, exceto a última, quado usamos que lim 0. 0 As deivadas das fuções tigoométicas pecisam de alguma explicação a mais. Ates de chegamos às egas aalíticas, faça um execício com um exemplo uméico. Questão. Pocededo como a tabela.1 da págia 7 do livo do Resick, detemie a velocidade em t = 0,0 s da extemidade de um pêdulo de um elógio de paede, que move-se de acodo com a equação hoáia x(t) = 10 se(t), ode x está em cm quado t está em segudo e o agumeto do seo está em adiaos (o fato que multiplica t o agumeto do seo seia difeete se o agumeto fosse em gaus - esta questão de adiaos ou gaus é muito impotate quado falamos de fuções tigoométicas). O cálculo da deivada do seo pode se ealizado de maeia paecida com o efetuado paa deiva as potêcias de x: f se( x ) se( x) lim lim 0 0 se( x) cos( ) se( ) cos( x) se( x) lim 0 se( x) cos( ) 1 cos( x) se( ) lim lim 0 0 cos( ) 1 se( ) se( x) lim cos( x) lim 0 0 cos( x) A seguda liha da dedução acima foi obtida pela expasão do se( x ). Paa obte o esultado fial, usamos se( ) cos( ) 1 lim 1 e lim 0. 0 A azão se 0 só tede a 1 quado o âgulo tede a zeo se o âgulo fo medido em adiaos. As fómulas que estamos apesetado, potato, exigem que tabalhemos em adiaos. 1 O biômio de Newto é a fómula da potêcia da soma de dois temos, p q pati de aálise combiatóia. Esceve-se assim: p q N 0 N p q N, e pode se deduzida a N N!, ode.!n! 17

6 O Paa explica como se mede um âgulo em adiaos, apesetamos a figua ao lado a geometia da medida de um âgulo. O potilhado epeseta uma cicufeêcia de aio com oigem a iteseção das duas etas que defiem o âgulo Essa iteseção das etas foi desigada po O a figua. O aco de cicufeêcia delimitado pelas duas etas foi chamado de s. Dizemos que a medida do âgulo em adiaos é. Assim, uma volta iteia, que coespode a 360 o, vale, em adiaos, volta iteia, dessa maeia descobimos que, paa tasfoma a medida de um âgulo em gaus paa adiaos, basta calcula âgulos mais comus gaus ad o gaus adiaos o /6 A tabela ao lado apeseta os valoes em adiaos dos 45 o /4 âgulos mais utilizados. 60 o As outas popiedades ecessáias paa efetua as /3 deivadas que utilizaemos este iício da Mecâica 90 o / coespodem à deivada de uma soma de fuções e à 180 o deivada de uma fução multiplicada po um úmeo. Essas 70 o 3 / egas, bem como as mostadas ateiomete, estão 360 o apesetadas a tabela abaixo. fução deivada codição f C C é idepedete de x 0 f x 1 x f se ax b acos ax b f cos ax b ase ax b f g h dg dh f Cg dg C s ax medido em adiaos ax medido em adiaos C é idepedete de x s 4 Como um exemplo dieto de aplicação, a fução f ( t) 5t cos(3 t) tem como deivada a fução 0t 3 6 se(3 t) dt 18