Aulas 11 e 12 Equações do 2º grau

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1 Aulas e Equações do º grau 0) (Enem) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t 0) e varia de acordo com a t epressão Tt ( ) 00, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 9 ºC. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? a) 9,0 b) 9,8 c) 0,0 d) 8,0 e) 9,0 t 00 9 t +. 0 t 8, pois t > 0. (alternativa D) 0) (Unicamp) O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equação quadrática obtida a partir de. a) Reescreva a equação acima como uma equação quadrática e determine o número áureo. b) A sequência,,,,, 8,,,... é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo n-ésimo termo é definido recursivamente pela fórmula Podemos aproimar o número áureo, dividindo um termo da sequência de Fibonacci pelo termo anterior. Calcule o 0 o e o o termo dessa sequência e use-os para obter uma aproimação com uma casa decimal do número áureo., se n ou n Fn ( ) F( n ) F( n ), se n a) + 0 Como > 0, temos.. b),,,,, 8,,,,, 89 o 0º termo é igual a e o º termo é igual a ,6, logo uma aproimação para o número áureo é,6. 0) (Mack) Seja g() + cos + sen. Se g() 0 e a) somente b) somente c) ou 0 d) ou, então vale

2 Aulas e Equações do º grau e) ou 0 cos 0 e sen 0. (alternativa D) 0) (Fazu) Os valores de y para os quais o par de equações + y 6 0 e y + 0 tem uma solução real e comum são: a) 7 e b) 0 e c) apenas d) nenhum y e) todo y y y y 7 ou y S {7, } (alternativa A) y y 6 y + 6 y y + y 8 0 0) (Cefet-CE) O valor de n para que a equação (n ) + n 0 tenha raiz dupla, é: a) b) c) d) e) 0 [ (n )] (n ) 0 n. (alternativa C) Soma e produto 06) (FGV) A soma das raízes da equação a a 0, na incógnita, é: b b a) ab b) ab c) a + b d) 0 e) ab a a 0 b b b a ab b a ( b)( b) ab 0 ( b)( b) (alternativa D) ( a)( b) ( a)( b) 0 ( b)( b) ab 0 ab ab, logo, a soma das raízes é zero. 07) (FMIT-MG) Uma equação do º grau cujo conjunto verdade é {, } é:

3 Aulas e Equações do º grau a) + 0 b) + 0 c) d) e) nra A soma das raízes é e o produto é 6. (alternativa D) 08) (UFCeará) O produto das raízes reais da equação é igual a: a) b) c) d) e) c 6 a. (alternativa D) 09) (FGV) Se a média aritmética entre dois números é e sua média geométrica é, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números é a) b) c) d) e) + 0. Sejam e os números considerados, raízes da equação que se pede. e, logo + 0 e Uma equação que satisfaz tais condições é (alternativa C) 0) (PUC) A soma dos possíveis valores de que verificam a igualdade é: a) um número par. b) um múltiplo de 8. c) um divisor de 8. d) um número primo. C.E: (alternativa D) ) (Unisales) A equação do º grau a 6 0 tem uma raiz cujo valor é. A outra raiz é: a) b) c) d) e)

4 Aulas e Equações do º grau a 6 a a a ( + ). (alternativa E) ) (Unimes/SP) Resolva a equação ( + ) + 0, no universo U a) S {, } b) S {} c) S {, } d) S {, } e) S {, } e (não serve). (alternativa B) ) (FMC-MG) O valor da soma dos quadrados dos inversos das raízes da equação é igual a: a) 6 b) 6 c) d) 6 Seja S a soma procurada. S S, por outro lado tem-se que 6 6 S 6 S. (alternativa C) ) (Fasa-MG) Seja 7 a diferença entre as raízes da equação 0 C 0. Então, o valor da constante C é: a) 0 b) 6 c) d) 6. Substituindo na equação, tem-se C 0 C 7. (alternativa D)

5 Aulas e Equações do º grau ) (Inatel) Se e são raízes da equação k 0 e se, calcule o valor de k. k k k k k 9 6) (Ufop) Considere a equação 8 q 0. Eiste um valor de q para o qual esta equação possui raízes reais tais que uma seja a inversa da outra. A soma da maior das raízes com q vale: a) b) c) d) Sejam e as raízes da equação. q q q q 8 q 0 8 ( ) S, Logo, a soma S pedida é S S. (alternativa C) 7) (UFPB) Sejam a e b raízes do polinômio p() c + c c. Determine ( ab) todos os valores reais de c tais que seja um número inteiro par. ( ab) Por soma e produto, temos: a + b c e ab c c ( ab) ( ab) ( a b) ab ( ab) a ab b ( ab) a ab ab b ab ( ab)

6 Aulas e Equações do º grau ( ab) ( ab) (c ) (c ) ( c) ( c c ) ( c) c c 8c c ( ab) c ( a b) c c c é um número par, então, sendo k, c k c Para k 0, tem-se c + 0 c. Para k 0, tem-se c + k(c + ) kc c + k 0. Eistirá c, se, e somente se, > 0 () k(k ) > 0 6 k + 6k > 0 k + k + > 0 k, logo k, pois k *. c k c c (c ) c c + 0 c c c. Resposta: c ou c. Problemas do o grau 8) (FGV) Um restaurante francês oferece um prato sofisticado ao preço de p reais por unidade. A quantidade mensal de pratos que é vendida relaciona-se com o preço cobrado através da função p 0, Sejam k e k os números de pratos vendidos mensalmente, para os quais a receita é igual a R$.000,00. O valor de k + k é: a) 0 b) 00 c) 0 d) 600 e) 60 A receita mensal R é epressa por R p.000 ( 0, + 00) 0, k e k, os números de pratos vendidos mensalmente, são as raízes da equação, logo k + k 00. (alternativa B) 9) (FGV) Uma editora recebeu um pedido de.000 eemplares da edição especial do livro Fauna do Pantanal. A editora possui máquinas, cada uma das quais é capaz de imprimir 0 livros por hora. O custo de programar as máquinas para a impressão é de R$ 0,00 por máquina. As máquinas são automáticas e precisam somente de um supervisor que recebe R$ 0,00 por hora. O custo total da impressão foi de R$ 600,00 e foram utilizadas mais de seis máquinas. a) Quantas máquinas foram utilizadas? b) Quanto vai receber o supervisor pelo trabalho? a) Seja o número de máquinas e y o número de horas trabalhadas

7 Aulas e Equações do º grau ì ï 0y 000 ì íï ï y 00 íï ïî 0+ 0y 600 ïî + y 0 (0 ) ou (não serve) Foram utilizadas 0 máquinas. b) Do item a tem-se 0 e y 0 Logo, o supervisor vai receber R$ 0,00 0 R$ 00,00 0) (Unicamp) Quarenta pessoas em ecursão pernoitam em um hotel. Somados, os homens despendem R$.00,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma tenha pago R$ 6,00 a menos que cada homem. Denotando por o número de homens do grupo, uma epressão que modela esse problema e permite encontrar tal valor é a) 00 (00 + 6)(0 ) b) 00 (00 6)(0 ) c) 00(0 ) (00 6) d) 00(0 ) (00 + 6) é o número de homens e 0 é o número de mulheres. Cada homem gastou 00 e cada mulher gastou O enunciado informa que (0 ) 00(0 ) 00 00(0 ) 6(0 ) 0 00 (00 6)(0 ). (alternativa B) ) (Insper) Quando funcionários trabalham simultaneamente numa repartição pública, cada um consegue atender, em média, 0 pessoas por dia. Assim, em um dia, são atendidas 0 pessoas no total. Aumentando-se o número de funcionários na repartição, o número médio de atendimentos cai, pois os funcionários passam a ter de dividir os recursos físicos (computadores, arquivos, mesas etc.), fazendo com que o tempo de cada atendimento aumente. Estima-se que, a cada funcionário adicional que passe a trabalhar na repartição, a média de atendimentos diários por funcionário caia pessoas. De acordo com essa estimativa, o menor número de funcionários que deverão trabalhar simultaneamente na repartição para que o total de pessoas atendidas em um dia seja 9 é: a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 0. Seja y o número de pessoas atendidas e o número adicional de funcionários.

8 Aulas e Equações do º grau y ( + )(0 ) Assim, 9 ( + )(0 ) ou 7 (não serve, pois pede-se o menor número de funcionários) Logo, o menor número de funcionários que deverão trabalhar simultaneamente na repartição para que o total de pessoas atendidas em um dia seja 9 é + 8. (alternativa C) ) (Insper-adaptado) Sabendo que um número triangular é um inteiro da forma nn ( ) em que n é um inteiro positivo e considerando a tabela abaio Posição... X... Triangular pode-se dizer que a soma dos algarismos de X é a) 0 b) c) d) e) X( X ).86 X + X X 8 ou X 8 (não serve) A soma dos algarismos de X é 8 +. (alternativa B)