Cálculo simplificado do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas

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1 Cálculo simplificado do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas Mauro Filipe Soares Mendes Dissertação do MIEM Orientadores: Prof. Paulo José da Silva Martins Coelho Prof. Manuel António Moreira Alves Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica julho 213

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3 Resumo Resumo Este trabalho teve como objetivo testar uma metodologia para simplificar o cálculo do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares entre placas paralelas de fluidos não-newtonianos. Os cálculos de transferência de calor foram realizados para os casos de fluxo de calor constante e de temperatura constante na parede da conduta. A metodologia proposta foi testada para fluidos descritos pelos modelos de Phan-Thien e Tanner simplificado (sptt), Herschel-Bulkley, Bingham, Casson e Carreau-Yasuda e consistiu na comparação dos resultados obtidos pela aplicação do método simplificado com os respetivos valores exatos. No caso do coeficiente de atrito, compararam-se os resultados obtidos através de duas expressões muito semelhantes, I f e f, (método simplificado) mas que têm abordagens diferentes na sua génese, com os resultados exatos, obtidos analiticamente para todos os casos à exceção do modelo Carreau-Yasuda. Para este último, como não existem soluções analíticas para o devido efeito, foi necessário recorrer a métodos de integração numérica. Para o número de Nusselt, os valores obtidos pelo método simplificado, tanto para temperatura constante como para fluxo de calor constante na parede, foram comparados com os resultados exatos, obtidos numericamente para todos os modelos. Devido à sua elevada precisão, os valores numéricos foram mesmo preferidos às soluções analíticas, para os casos em que estas existiam, em virtude do trabalho inerente às pesquisas bibliográficas necessárias realizar para o efeito não contribuir para uma alteração apreciável dos resultados obtidos pela via numérica. Os desvios máximos obtidos entre I f' e os valores exatos variaram entre 2,6% e 9,3%. Para f os erros máximos oscilaram entre,97% e 8,42%. Para todos os fluidos, à exceção do modelo Carreau-Yasuda, o erro máximo encontrado através de f' foi ligeiramente inferior ao obtido através de I f'. No caso do número de Nusselt, para fluxo de calor constante na parede, os valores do erro máximo encontrados variaram entre 1,67% e 5,5%, e para temperatura constante na parede os desvios máximos oscilaram entre 1,3% e 4,57%. iii

4 Resumo Tanto no estudo do coeficiente de atrito como no do número de Nusselt, os erros máximos mais elevados foram obtidos com o fluido Herschel-Bulkley, contudo, os erros obtidos são perfeitamente aceitáveis na maioria das aplicações de engenharia, o que faz com o método simplificado seja uma boa alternativa a cálculos normalmente mais demorados e que nem sempre estão ao alcance de todos os eventuais interessados. iv

5 Abstract Simplified calculation of friction factor and Nusselt number in laminar flow between parallel plates of non-newtonian fluids with constant wall heat flux or constant wall temperature Abstract This study aimed to test a methodology for simplifying the calculation of the friction factor and Nusselt number for laminar flow between parallel plates of non- Newtonian fluids. The heat transfer calculations were carried out for constant heat flux and constant wall temperature situations. This methodology was tested for fluids described by the simplified Phan-Thien and Tanner (sptt) viscoelastic model, and the Herschel-Bulkley, Bingham, Casson and Carreau-Yasuda generalized Newtonian models, and consisted in comparing the results obtained using the simplified method with the exact values predicted for each rheological model. and For the friction factor, the results obtained from two similar expressions ( f ), each one with different approaches in their genesis, were compared through the simplified method, with the exact results obtained analytically for all cases except for the Carreau-Yasuda model. For this model, as there are no analytical solutions, it was necessary to resort to numerical integration methods. Regarding the Nusselt number, the values obtained using the simplified method for constant wall temperature and for constant heat flux at the wall, were compared to the accurate results (taken as exact) obtained numerically for all models. Due to their high accuracy, the numerical values were even preferred to analytical solutions for cases where these exist, due to the inherently laborious literature searches required to obtain the latter, and because it does not contribute to a noticeable change in the results obtained by numerically. I f The maximum deviations obtained between I f and the exact values ranged between 2.6% and 9.3%. For f the maximum error ranged between.97% and 8.42%. For all fluids except those described by the Carreau-Yasuda model, the maximum error found for f was lower than the one found using I f. Regarding the v

6 Abstract Nusselt number for constant heat flux at the wall, the maximum error ranged from 1.67% to 5.5%, and for constant temperature at the wall the maximum deviations varied between 1.3% and 4.57%. Concerning both the study of the friction factor and the study of the Nusselt number, the highest maximum error was obtained for the Herschel-Bulkley fluid. However, the errors obtained are reasonable for most engineering applications, which makes the simplified method a good alternative to other approaches that are more time consuming, involve more calculations, and are much less straightforward. vi

7 Agradecimentos Agradecimentos Em primeiro lugar quero agradecer ao Prof. Paulo Coelho por estar sempre presente e disponível para esclarecer todas as minhas dúvidas, acompanhando o meu trabalho passo a passo. Por todo o incentivo e saber transmitido o meu muito obrigado. Quero também agradecer ao Prof. Manuel Alves pela sua ajuda nos processos de integração utilizados neste trabalho e pela sua disponibilidade em ajudar-me sempre que necessário. Agradeço a todos os meus amigos que conviveram comigo no Porto, pois sem eles não seria nada fácil estar a cerca de 15 km de distância da minha terrinha. Finalmente, um agradecimento especial à minha querida mãe, Santo Cristo, ao meu bro, Nuno Mendes, ao meu avô, Ildeberto, à minha avó, Venilde, e à minha maria, Dolores, que de forma direta ou indireta ajudaram-me na realização deste trabalho. Por todo o vosso apoio a todos os níveis, um sincero obrigado. vii

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9 Índice Índice Resumo... iii Abstract... v Agradecimentos... vii Índice de figuras... xi Índice de tabelas... xix Nomenclatura... xxi 1 Introdução Resumo de trabalhos anteriores Modelo lei de potência Metodologia do método simplificado no cálculo de f e Nu Número de Nusselt simplificado para temperatura de parede constante Justificação do interesse deste trabalho Classificação dos fluidos Fluido Newtoniano Fluido não-newtoniano Números adimensionais Número de Reynolds Número de Reynolds generalizado Número de Prandlt Número de Péclet Número de Weissenberg Número de Nusselt Número de Bingham Modelos reológicos Estrutura da dissertação Expressões para o coeficiente de atrito e perfis de velocidade ix

10 Índice 2.1 Número de Reynolds generalizado e coeficiente de atrito Soluções analíticas para os perfis de velocidade Fluido Newtoniano Fluido sptt Fluido Herschel-Bulkley Fluido de Bingham Fluido de Casson Fluido Carreau-Yasuda Grupos adimensionais Coeficiente de atrito obtido pelo método simplificado Processo de cálculo Resultados Modelo sptt Modelo Herschel-Bulkley Modelo de Casson Modelo Carreau-Yasuda Resumo Número de Nusselt obtido pelo método simplificado para fluxo de calor constante na parede Número de Nusselt aproximado, Nu' Número de Nusselt exato, Nu Resultados Modelo sptt Modelo Herschel-Bulkey Modelo de Casson Modelo Carreau-Yasuda Resumo x

11 Índice 5 Número de Nusselt obtido pelo método simplificado para temperatura constante na parede Expressão a utilizar no cálculo do número de Nusselt simplificado Número de Nusselt numérico Resultados Modelo sptt Modelo Herschel-Bulkley Modelo de Casson Modelo Carreau-Yasuda Resumo Conclusões e sugestões para trabalhos futuros Conclusões Sugestões para trabalhos futuros Referência Bibliográficas Anexos Anexo A: Avaliação dos resultados numéricos do coeficiente de atrito Anexo B: Dedução da expressão do número de Nusselt para fluidos lei de potência 99 B.1 Expressão de Nu para fluidos lei de potência B.1.1 Equação da energia B.1.2 Integração da equação da energia B.1.3 Expressão a utilizar no cálculo do número de Nusselt simplificado Anexo C: Avaliação dos resultados numéricos do número de Nusselt para fluxo de calor constante na parede Anexo D: Avaliação dos resultados numéricos do número de Nusselt para temperatura constante na parede xi

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13 Índice de figuras Índice de figuras Figura Curva de viscosidade do fluido lei de potência (reta) tangente à curva de um fluido genérico Figura Representação gráfica do número de Nusselt para tubos circulares pelo método semi-analítico,, e numérico, linha, em função do índice de potência, n Figura Representação gráfica do número de Nusselt para placas paralelas pelo método semi-analítico,, e numérico, linha, em função do índice de potência, n Figura Tensão de corte em função da taxa de deformação para os fluidos tixotrópicos e reopéticos Figura Tensão de corte em função da taxa de deformação dos fluidos totalmente viscosos independentes do tempo e dos fluidos Newtonianos Figura Representação de placas paralelas com suas cotas Figura Representação do desenvolvimento do perfil de velocidade de um fluido Newtoniano ao longo de uma conduta não circular, placas paralelas, sendo a região a) a região de entrada hidrodinâmica e a região b) a região desenvolvida Figura Representação de dois volumes de controlo, um a linha tracejada e outro a linha contínua, num escoamento completamente desenvolvido ao longo de uma conduta não circular, placas paralelas Figura Variação do coeficiente de atrito em função do número de Reynolds generalizado, Re', para o fluido sptt. Legenda: coeficiente de atrito simplificado, f' ; coeficiente de atrito exato, f Figura Variação dos erros I e, Eq. (1.13) em função do Reynolds generalizado, Re', para o fluido sptt. Linhas: I ; Figura Variação do coeficiente de atrito em função do número de Reynolds generalizado, Re', para o fluido Herschel-Bulkley, n=,5. Legenda: coeficiente de atrito simplificado, f' ; coeficiente de atrito exato, f Figura Variação dos erros I e, Eq. (1.13) em função do Reynolds generalizado, Re', para o fluido Herschel-Bulkley, n=,5. Linhas: I ; xi

14 Índice de figuras Figura Variação do coeficiente de atrito em função do número de Reynolds generalizado, Re', para o fluido Herschel-Bulkley, n=1. Legenda: coeficiente de atrito simplificado, f' ; coeficiente de atrito exato, f Figura Variação dos erros I e, Eq. (1.13) em função do Reynolds generalizado, Re', para o fluido Herschel-Bulkley, n=1. Linhas: I ; Figura Variação do coeficiente de atrito em função do número de Reynolds generalizado, Re', para o fluido Herschel-Bulkley, n=1,5. Legenda: coeficiente de atrito simplificado, f' ; coeficiente de atrito exato, f Figura Variação dos erros I e, Eq. (1.13) em função do Reynolds generalizado, Re', para o fluido Herschel-Bulkley, n=1,5. Linhas: I ; Figura Variação do coeficiente de atrito em função do número de Reynolds generalizado, Re', para o fluido Casson. Legenda: coeficiente de atrito simplificado, f' ; coeficiente de atrito exato, f Figura Variação dos erros I e, Eq. (1.13) em função do Reynolds generalizado, Re', para o fluido Casson. Linhas: I ; Figura Variação do coeficiente de atrito em função do número de Reynolds generalizado, Re', para o fluido Carreau-Yasuda, n=,2, a=1,5, μ /μ =,8. Legenda: coeficiente de atrito simplificado, f' ; coeficiente de atrito exato, f Figura Variação dos erros I e, Eq. (1.13) em função do Reynolds generalizado, Re', para o fluido Carreau-Yasuda, n=,2, a=1,5, μ /μ =,8. Linhas: I ; Figura Variação do coeficiente de atrito em função do número de Reynolds generalizado, Re', para o fluido Carreau-Yasuda, n=,358, a=2, μ /μ =1, Legenda: coeficiente de atrito simplificado, f' ; coeficiente de atrito exato, f Figura Variação dos erros I e, Eq. (1.13) em função do Reynolds generalizado, Re', para o fluido Carreau-Yasuda, n=,358, a=2, μ /μ = 1, Linhas: I ; xii

15 Índice de figuras Figura Variação do coeficiente de atrito em função do número de Reynolds generalizado. Linha, coeficiente de atrito simplificado, símbolos (valores exatos): -, Fluido sptt;, Fluido Herschel-Bulkley, n=,5;, Fluido Bingham;, Fluido Herschel-Bulkley, n=1,5;, Fluido Casson;, Fluido Carreau-Yasuda, n=,2, a=1,5, μ /μ =,8; +, Fluido Carreau- Yasuda, n=,358, a=2, μ /μ = 1, Figura Variação dos números de Nusselt, Nu' e Nu, em função do grupo adimensional U H para o fluido sptt. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu' do fluido sptt em função do grupo adimensional U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu' e Nu, em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para n=,5. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu para n=,5 em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu' e Nu, em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para n=1. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu' para n=1 em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu e Nu, em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para n=1,5. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu para n=1,5 em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H xiii

16 Índice de figuras Figura Variação dos números de Nusselt, Nu e Nu, em função do grupo adimensional U H para o fluido Casson. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu do fluido Casson em função do grupo adimensional U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu e Nu, em função do grupo adimensional U H para o fluido Carreau-Yasuda n=,2, a=1,5, μ /μ =,8. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu para o fluido Carreau-Yasuda n=,2, a=1,5, μ /μ =,8 em função do grupo adimensional U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu e Nu, em função do grupo adimensional U H para o fluido Carreau-Yasuda n=,358, a=2, μ /μ =1, Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu' para o fluido Carreau-Yasuda n=,358, a=2, μ /μ =1,8 1-4 em função do grupo adimensional U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu' e Nu, em função do grupo adimensional U H para o fluido sptt. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu' do fluido sptt em função do grupo adimensional U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu e Nu, em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para n=,5. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização xiv

17 Índice de figuras Figura Variação do erro relativo no Nu' para n=,5 em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu e Nu, em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para n=1. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu' para n=1 em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu e Nu, em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para n=1,5. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu' para n=1,5 em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu' e Nu, em função do grupo adimensional U H para o fluido Casson. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu' do fluido Casson em função do grupo adimensional U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu' e Nu, em função do grupo adimensional U H para o fluido Carreau-Yasuda n=,2, a=1,5, μ /μ =,8. Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exato, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização Figura Variação do erro relativo no Nu' para o fluido Carreau-Yasuda n=,2, a=1,5, μ /μ =,8 em função do grupo adimensional U H Figura Variação dos números de Nusselt, Nu' e Nu, em função do grupo adimensional U H para o fluido Carreau-Yasuda n=,358, a=2, μ /μ =1, Linhas: número de Nusselt simplificado, Nu'; número de Nusselt exacto, Nu. A barra vertical representa o erro máximo verificado e a sua localização xv

18 Índice de figuras Figura Variação do erro relativo no Nu' para o fluido Carreau-Yasuda n=,358, a=2, μ /μ =1,8 1-4 em função do grupo adimensional U H Figura A-1 - Diferença entre os valores do coeficiente de atrito em função do grupo adimensional U Hpara o fluido Carreau-Yasuda com n=,2, a=1,5, μ /μ =, Figura A-2 - Diferença entre os valores do coeficiente de atrito em função do grupo adimensional U Hpara o fluido Carreau-Yasuda com n=,358, a=2, μ /μ =1, Figura B-1 - Representação do troço de um escoamento entre placas paralelas para o balanço de energia Figura C-1 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional U Hpara o fluido sptt Figura C-2 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para o fluido Herschel-Bulkley, n=, Figura C-3 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para o fluido Herschel-Bulkley, n= Figura C-4 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para o fluido Herschel-Bulkley, n=1, Figura C-5 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional U H para o fluido Casson Figura C-6 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional U H para o fluido Carreau-Yasuda n=,2, a=1,5, μ /μ =, Figura C-7 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional U H para o fluido Carreau-Yasuda n=,358, a=2, μ /μ =1, Figura D-1 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional U Hpara o fluido sptt Figura D-2 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para o fluido Herschel-Bulkley, n=, Figura D-3 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para o fluido Herschel-Bulkley, n= Figura D-4 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional 1 1 n n K U H para o fluido Herschel-Bulkley, n=1, xvi

19 Índice de figuras Figura D-5 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional U H para o fluido Casson Figura D-6 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional U H para o fluido Carreau-Yasuda n=,2, a=1,5, μ /μ =, Figura D-7 - Diferença entre os valores de Nu em função do grupo adimensional U H para o fluido Carreau-Yasuda n=,358, a=2, μ /μ =1, xvii

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21 Índice de tabelas Índice de tabelas Tabela Expressões para o cálculo de n' para diferentes tipos de fluidos Tabela Constantes geométricas * a e * b, função de * 2H B Tabela Fluidos utilizados e respetivos modelos reológicos Tabela Representação gráfica de curvas de viscosidade típicas dos fluidos utilizados para o respetivo modelo reológico Tabela Propriedades características dos fluidos utilizados Tabela Grupos adimensionais para a representação dos resultados de transferência de calor Tabela Propriedades reológicas do fluido sptt utilizado Tabela Propriedades reológicas dos três fluidos de Herschel-Bulkley utilizados. 46 Tabela Propriedades reológicas do fluido de Casson utilizado Tabela Propriedades reológicas dos dois fluidos Carreau-Yasuda utilizados Tabela Resumo dos erros máximos encontrados para o coeficiente de atrito de todos os fluidos estudados Tabela Resumo dos erros máximos encontrados para o número de Nusselt simplificado, Nu', para fluxo de calor constante na parede de todos os fluidos estudados Tabela Resumo dos erros máximos encontrados para o número de Nusselt simplificado, Nu', para fluxo de calor constante na parede de todos os fluidos estudados xix

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23 Nomenclatura Nomenclatura A Área da secção de passagem, [m 2 ] a Parâmetro adimensional do modelo de viscosidade Carreau- Yasuda; parâmetro adimensional, expressões (2.26), (2.29) e (2.34). * a Parâmetro adimensional, expressão (1.29) a 1, a 2, a 3, a 4 e a 5 Parâmetros adimensionais, expressão (1.17) B Largura das placas, [m] * b Parâmetro adimensional, expressão (1.29) c Parâmetro adimensional relacionado com a, c w c p Calor específico do fluido, [kj/kg.k] D Diâmetro da conduta circular, [m] D H Diâmetro hidráulico, [m] f f H h Coeficiente de atrito de Darcy Coeficiente de atrito obtido pelo método simplificado Metade da distância entre placas, [m] Coeficiente de convecção, [W/m 2.K] K Índice de consistência da lei de potência, [N/m 2.s n ] k L Nu Condutividade térmica, [W/(m.K)] Comprimento característico, [m] Número de Nusselt obtido pelo método simplificado N 1 Primeira diferença de tensões normais, [Pa] xxi

24 Nomenclatura n n' P Índice da lei de potência, expressão (1.1); parâmetro do modelo de Herschel-Bulkley; parâmetro do modelo Carreau-Yasuda Índice de potência aparente Perímetro molhado, [m] q w Fluxo de calor constante na parede, [W/m 2 ] R T U Raio da conduta circular, [m] Temperatura, [K] Velocidade média do escoamento na conduta, [m/s] U N Velocidade média para um escoamento de um fluido Newtoniano sujeito ao mesmo gradiente de pressão, [m/s] U Variável adimensional definida na expressão (2.32) u v x y Componente axial da velocidade, [m/s] Componente da velocidade na direção normal à parede, [m/s] Coordenada da direção axial, [m] Coordenada na direção normal medida a partir do plano de simetria da conduta, [m] Símbolos gregos Difusibilidade térmica, [m 2 /s] Taxa de deformação, [s -1 ] Parâmetro extensional no modelo sptt Constante de viscosidade associada ao modelo sptt, [kg/(m.s)] Constante de tempo do modelo do modelo Carreau-Yasuda, [s] xxii

25 Nomenclatura Tempo de relaxação do fluido, [s] Viscosidade de corte, [kg/(m.s)] Viscosidade do primeiro patamar Newtoniano, [kg/(m.s)] Viscosidade do segundo patamar Newtoniano, [kg/(m.s)] v Viscosidade cinemática, [m 2 /s]; Massa volúmica, [kg/m 3 ] Tensão de corte, [N/m 2 ] Tensão de cedência, [N/m 2 ] Grupos adimensionais DH Bn Número de Bingham, Bn U hdh Nu Número de Nusselt, k Pe Número de Péclet, UD c Pe k UD H p H Pr Número de Prandlt, Pr c p k UDH Re Número de Reynolds, Re Wi Número de Weissenberg, Wi U H xxiii

26 Nomenclatura Superescritos I Relativo à primeira abordagem de cálculo do coeficiente de atrito obtido pelo método simplificado, expressão (3.1) Relativo à segunda abordagem de cálculo do coeficiente de atrito obtido pelo método simplificado, expressão (3.2) Valor médio * Variável adimensionalizada Subscritos I I IV Relativo à integração numérica utilizando 3 pontos Relativo à integração numérica utilizando 6 pontos Relativo à integração numérica utilizando 12 pontos Relativo à integração numérica utilizando 24 pontos c Crítico, expressão (1.27) g Generalizado, expressão (1.27) w Relativo à parede da conduta Referente a propriedades médias numa secção a montante do analisado xxiv

27 Introdução 1 Introdução Este capítulo contém a informação necessária para a compreensão e desenvolvimento dos restantes capítulos que constituem este trabalho. Em primeiro lugar será feita uma pequena revisão e resumo dos trabalhos anteriores, Cruz (21), Cruz et al. (21) e Silva (212) seguido da justificação do interesse do presente trabalho. De seguida ir-se-á fazer uma apresentação e classificação genérica dos fluidos bem como uma descrição dos números adimensionais de maior relevo para o presente trabalho. Posteriormente, será feita uma sucinta apresentação dos diferentes tipos de fluidos a utilizar no presente trabalho e respetivos modelos reológicos também já utilizados por Cruz (21) e Silva (212). O capítulo termina com uma descrição da estrutura da presente tese. 1.1 Resumo de trabalhos anteriores Neste momento é de todo o interesse fazer uma compilação de toda a informação essencial abordada nos trabalhos anteriores e que, por sua vez, também será utilizada neste. Antes de mais, será feita a apresentação do modelo lei de potência, também conhecido por modelo de Ostwald-de Waele, sendo este a base do método simplificado, seguido da exposição da metodologia simplificada baseada neste modelo, introduzido por Cruz (212), e finalizando com as expressões encontradas por Silva (212) para o número de Nusselt de um fluido lei de potência e temperatura de parede constante Modelo lei de potência Como o modelo reológico lei de potência está na base do método simplificado, será de todo o interesse que seja apresentado em primeiro lugar. Neste modelo o coeficiente de viscosidade varia com a taxa de deformação,, ( ), de acordo com uma lei de potência sendo que para o caso de um escoamento totalmente desenvolvido entre placas paralelas ou tubos de secção circular esta é igual ao gradiente de velocidade du dy. 1

28 Cálculo simplificado do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas Este modelo é muito utilizado em trabalhos de engenharia dada a sua simplicidade, no entanto apenas se ajusta, para um fluido não-newtoniano genérico, a determinados intervalos da curva de viscosidade de um fluido onde o logaritmo da viscosidade, log, varia linearmente com o logaritmo da taxa de deformação, log. Segundo Bird et al. (1987), o modelo reológico lei de potência é dado pela seguinte expressão, ( ) n 1 K e n K (1.1) em que K representa o índice de consistência, a tensão de corte e n o índice de potência, para mais detalhes ver secção Metodologia do método simplificado no cálculo de f e Nu Nesta secção será feita uma descrição da metodologia do método simplificado utilizando tanto no trabalho de Cruz (21) como no de Silva (212). Segundo Cruz (21), a tensão de corte na parede, w, para um escoamento laminar totalmente desenvolvido para um qualquer fluido não-newtoniano inelástico numa conduta circular pode ser aproximada pela expressão (1.2), desde que seja utilizada a taxa de deformação característica. 8U D correspondente à taxa de deformação na parede da conduta circular de um fluido Newtoniano. carac n 8U w K D (1.2) onde n' é o índice de potência aparente e (3 1) 4 n K K n n. Neste caso, K e n' são os parâmetros do modelo lei de potência aparente que é tangente à curva de viscosidade do fluido inelástico genérico num ponto correspondente a uma taxa de deformação igual à taxa de deformação característica, carac. 8U D, conforme se mostrará seguidamente, sendo U a velocidade média e D o diâmetro da conduta. A Figura 1-1 apresenta uma representação gráfica da curva de viscosidade de um fluido genérico não-newtoniano com dois patamares Newtonianos, o primeiro a baixas taxas de deformação e um segundo a altas taxas de deformação. Esta figura mostra 2

29 Introdução também que a curva de viscosidade do modelo de lei de potência será usado localmente como uma tangente à curva do fluido em questão para diferentes pontos de carac.. Como se pode verificar, para cada valor de taxa de deformação característica corresponde um índice de potência diferente. Assim, como existe um fluido lei de potência aparente para cada ponto, foi adotada a nova nomenclatura em que o índice de potência, n', é, como referido anteriormente, o índice de potência aparente, e a sua forma de calcular será mencionada mais à frente. log(μ) Modelo lei de potência,, que é tangente à curva de viscosidade para taxas de log(8u/d H ) log(γ ) Figura Curva de viscosidade do fluido lei de potência (reta) tangente à curva de um fluido genérico. 1 Também pode ser definida a viscosidade característica,, que está na base do cálculo do número de Reynolds generalizado, Re, n 8U K w D 8U K 8U 8U D D D n1 (1.3) Para simplificar a obtenção do valor de, e por sua vez, a implementação deste processo, sem a necessidade de cálculo de K, foi apresentada a seguinte metodologia, como, 1 Figura adaptada de Cruz (21) e Silva (212). 3

30 Cálculo simplificado do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas 3n 1 K 4n n K (1.4) fica, n 3n 1 8U K 4n D n1 (1.5) então, através da equação (1.1), 3n 1 4n n ( ) (1.6) Como pode ser lido diretamente na curva de viscosidade do fluido, pois n' 1 8U K D corresponde à viscosidade no ponto onde necessidade do cálculo de K. 8U D, não há, assim, a O Reynolds generalizado, Re', no caso de tubos de secção circular, é então calculado com base na viscosidade aparente dada pela equação (1.6), ou seja, UD Re (1.7) O coeficiente de atrito de Darcy aproximando, f, é calculado com base no número de Reynolds generalizado através da seguinte equação, f 64 Re (1.8) Deste modo pode ser estimado o coeficiente de atrito, f, para qualquer fluido puramente viscoso não-newtoniano no caso de condutas circulares. Para o cálculo do índice de potência aparente, n', é necessário conhecer antes de mais as expressões da derivada da curva viscosidade em função da taxa de deformação do respetivo modelo e a expressão da tensão corte em função da taxa de deformação (Cruz, 21). Assim, sabendo que, n 1 K e n K (1.1) 4

31 Introdução derivando a expressão matemática da curva de viscosidade em função da taxa de deformação do modelo lei de potência e igualando à derivado da viscosidade do respetivo modelo reológico a estudar, d d fluido geral d (1.9) d fluido potência com, d d fluido potência ( n2) 2 K( n 1) ( n 1) (1.1) Recorrendo às equações anteriores, (1.9) e (1.1), e para cada valor de taxa de deformação característica calcula-se assim o índice de potência aparente n a utilizar no modelo de lei de potência, ou seja, d d d fluido d fluido geral geral n (1.11) Esta metodologia vai ser também adotada para o cálculo de n de todos os modelos de fluidos não-newtonianos a utilizar na realização do presente trabalho. Na Tabela 1-1 apresentam-se as diferentes expressões de n para os vários fluidos utilizados neste trabalho, sptt, Herschel-Bulkley, Bingham, Casson e Carreau- Yasuda, e que já foram utilizadas nos trabalhos anteriores, Cruz (21) e Silva (212). 5

32 Cálculo simplificado do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas Tabela Expressões para o cálculo de n' para diferentes tipos de fluidos. Fluidos n n 1/3 4/ w zw f f y z f f f f y z f f ( 2 3( ) ( )) 3( ) ( ) z w zy f f w f y f f 4/3 2 1/3 2 (( ) 3(18 5) ) sptt 2 2 f y f z w 3 3 f z 27 f 1 z 27 f 2 onde é a constante de viscosidade, é o parâmetro extensional e é o tempo de relaxação. Bulkley n nk n n K onde é a tensão de cedência, K é o parâmetro da viscosidade e n é o parâmetro do modelo de Herschel-Bulkley. Quando n 1 está-se na presença do modelo de Bingham. Bingham n 1 onde K é o parâmetro de viscosidade. n Casson onde é a viscosidade do patamar Newtoniano Herschel- Carreau- Yasuda ( n 1 a)/ a a ( )( n 1) 1 ( ) ( ) n 1 a ( n1)/ a ( ) 1 ( ) onde e são as viscosidades do primeiro e segundo patamar Newtoniano, a respetivamente, é a constante de tempo e a é um parâmetro adimensional que descreve a zona de transição entre o primeiro patamar Newtoniano e a zona de lei de potência 6

33 Introdução Após o cálculo do índice de potência aparente é também possível calcular de forma aproximada o número de Nusselt, Nu', para qualquer fluido não-newtoniano que escoe numa conduta circular e que possua curvas de viscosidade diferentes da dos fluidos lei de potência. Assim, basta utilizar a expressão de cálculo do número de Nusselt, Nu, de um fluido lei de potência, que é só função do índice de potência, n, e substituir este por n'. No caso do fluxo de calor constante na parede de uma conduta de secção circular a expressão da literatura a usar é a seguinte, 8(5n1)(3n1) Nu 2 31n 12n 1 (1.12) Para finalizar esta secção, serão apresentados os erros encontrados então na utilização do método simplificado, tanto para o número de Nusselt, para o caso de fluxo de calor constante na parede, como para o coeficiente de atrito. Para isso foi necessário comparar os valores exatos, f e Nu, e os valores aproximados, (1.8) e (1.12), f e Nu, obtendo-se, assim, o erro relativo através das seguintes expressões, f f f 1% (1.13) f Nu Nu Nu 1% (1.14) Nu sendo f o erro do coeficiente de atrito e Nu o erro do cálculo do número de Nusselt. No caso do coeficiente de atrito, Cruz et al. (212) obteve erros relativos máximos de 6% para o caso do modelo de Herschel-Bulkley (que ocorre para n 15, ), de 3% para o caso do modelo de Bingham e de 2% para o modelo de Casson. No cálculo aproximado do número de Nusselt os erros máximos obtidos no caso do modelo de Hercshel-Bulkley foram de 3% para n=,5, de 5% para n 1, fluido de Bingham, e 8% para n 15,. No caso dos restantes fluidos, o erro máximo foi inferior a 3%. De referir que a expressão analítica de Nusselt para o fluido sptt pode ser encontrada em Pinho e Coelho (29), a do fluido Bingham foi obtida por Min e Yoo (1999) e para os fluidos de Herschel-Bulkley e Carreau-Yasuda os valores exatos foram obtidos pela integração numérica da equação de energia. 7

34 Cálculo simplificado do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas Número de Nusselt simplificado para temperatura de parede constante No trabalho de Silva (212) estendeu-se o trabalho de Cruz (21) de forma a se poder calcular pelo método simplificado, descrito anteriormente, o número de Nusselt para o caso de temperatura de parede constante. Para tal foi necessário recorrer à integração semi-analítica da equação da energia para a obtenção de uma expressão adequada pois, no caso de temperatura de parede constante, não existia uma expressão para o cálculo de Nu para fluidos lei de potência. Silva (212) obteve duas expressões de Nusselt para um fluido lei de potência e temperatura constante na parede, uma para o caso de escoamentos em tubos de secção circular e outra para o caso de escoamento entre placas paralelas. A expressão (1.15) apresenta a solução final para o Nu, obtida por um processo semi-analítico após três iterações, para o caso de escoamento em tubos de secção circular sendo esta dada por um polinómio de grau 15, Nu i15 i1 i15 i1 i in i in (1.15) onde as constantes e podem ser encontrados na Tabela 3.2 de Silva (212). Para o caso de escoamento entre placas paralelas, a expressão para o número de Nusselt é ligeiramente diferente da anterior e é dada pela equação (1.16) obtida também à terceira iteração sendo dada por, Nu i16 i1 i16 i1 i in i in (1.16) sendo e constantes que podem ser encontradas na Tabela 3.4 do trabalho de Silva (212). Para uma análise mais correta e completa é portanto necessário a referência ao erro médio e máximo encontrado nas expressões (1.15) e (1.16) para tubos de secção circular e placas paralelas, respetivamente. Para temperatura constante na parede foi utilizado a mesma expressão de cálculo do erro que no caso de fluxo constante. Assim, através da expressão (1.14) foi possível o cálculo do erro médio, onde neste caso Nu' é o 8

35 Introdução número de Nusselt obtido através do método semi-analítico e Nu o número de Nusselt obtido numericamente. Nu Nu Nu 1% (1.14) Nu Assim, o erro médio para tubos circulares, encontrado por Silva (212), do número de Nusselt foi de,52% e o erro máximo foi de,19%. Para o caso de placas paralelas, o erro médio encontrado do número de Nusselt foi de,4% e um erro máximo de,14%. Para tubos de secção circular e placas paralelas, as figuras 1-2 e 1-3, respetivamente, representam os resultados de Nu de ambos os métodos, semianalítico e numérico, calculados para cerca de 15 valores de n onde se pode verificar que os valores entre os dois métodos são praticamente os mesmos. Figura Representação gráfica do número de Nusselt para tubos circulares pelo método semianalítico,, e numérico, linha, em função do índice de potência, n. 2 2 Imagem retirada de Silva (212), pag. 46, Figura

36 Cálculo simplificado do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas Figura Representação gráfica do número de Nusselt para placas paralelas pelo método semianalítico,, e numérico, linha, em função do índice de potência, n. 3 As expressões anteriores, podem ser vistas como um complemento ao trabalho, pois não serão utilizadas neste trabalho, isto porque são expressões bastante extensas. Silva (212) optou também por ajustar os valores de Nu em função de n, obtidos numericamente a uma expressão da forma da presente na equação (1.17), ficando assim, formalmente mais simples, a ( a n a n 1) Nu a4n a5n (1.17) Para o caso de um escoamento numa conduta circular, a expressão simplificada para o número de Nusselt encontrada por Silva (212) é dada por, Nu 2 5, 7829(34, 225n 13,5891n1) 2 6,5965n 15,5622n1 (1.18) No caso de um escoamento entre placas paralelas, a expressão de Nusselt simplificada é dada pela expressão (1.19), Nu 2 9,8694(26, 7773n 11, 7895n1) 2 38, 66n 12, 7778n1 (1.19) 3 Imagem retirada de Silva (212), pag. 52, Figura

37 Introdução O erro médio encontrado para o número de Nusselt foi de,3% e o máximo de,17% para o caso de tubos circulares, equação (1.18). Para placas paralelas, o erro médio encontrado foi de,2% e o erro máximo de,1%, equação (1.19). Tal como acontece para o método semi-analitico, para o cálculo do erro utilizou-se a expressão (1.14). Como Silva (212) constatou, a solução simplificada ajustou melhor os 15 pontos de Nu em função de n do que a solução semi-analitica obtida na terceira iteração. De referir ainda que para o caso de fluxo de calor constante, a expressão encontrada por Silva (212) para o número de Nusselt, Nu, através da integração da equação de energia, pôde ser confirmada com uma já existente na literatura, Skelland (1967). Assim, a expressão de Nu para placas paralelas e fluxo de calor constante na parede é dada por, 12(4n1)(5n2) Nu 2 32n 17n2 (1.2) 1.2 Justificação do interesse deste trabalho O tema deste trabalho, o estudo da simplificação do cálculo do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares totalmente desenvolvidos de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas vem pois no seguimento dos trabalhos realizados por Cruz (21) e Cruz et al. (212) que tinham como objetivo a simplificação do cálculo do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares totalmente desenvolvidos de fluidos não-newtonianos em condutas de secção circular com fluxo de calor constante e no seguimento do trabalho de Silva (212) em que o tema é o cálculo simplificado do número de Nusselt em escoamentos laminares de fluidos não-newtonianos no interior de condutas de secção circular mas desta vez com temperatura de parede constante. Portanto, com a necessidade de expandir a aplicação do método simplificado para o caso de condutas não circulares, mais concretamente placas paralelas, surge o presente trabalho que se irá então debruçar sobre o cálculo simplificado do coeficiente de atrito e da transferência de calor, com fluxo de calor e temperatura na parede constantes, no referido escoamento. 11

38 Cálculo simplificado do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas Assim, este trabalho tem pois como objetivo testar uma metodologia para o cálculo simplificado do coeficiente de atrito e número de Nusselt para fluxo de calor e temperatura na parede constantes, em escoamentos laminares totalmente desenvolvidos de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas com condução axial de calor desprezável. Serão, então, comparados os resultados obtidos pelo método aproximado com as soluções exatas, obtidas analiticamente ou numericamente, para vários modelos reológicos de fluidos não-newtonianos. Mais concretamente serão utilizados os seguintes fluidos Phan-Thien Tanner simplificado (sptt), Herschel-Bulkley, Bingham, Casson e Carreau-Yasuda. No cálculo exato do coeficiente de atrito serão utilizadas as soluções analíticas existentes exceto no caso do fluido Carreau-Yasuda, para o qual não existem soluções analíticas, recorrendo-se neste caso à integração numérica. No caso do cálculo exato do número de Nusselt, para temperatura de parede constante só por integração numérica da equação de energia se podem obter as soluções pretendidas. Para fluxo de calor constante, embora existam soluções analíticas para alguns fluidos, optou-se por utilizar também as soluções numéricas dada a elevada precisão destas. O método de integração é basicamente o mesmo que foi utilizado em trabalhos anteriores (Cruz et al. 212, Silva 212) sendo possuidor de uma elevada precisão, como se mostrará novamente no decorrer do presente trabalho. No cálculo aproximado do número de Nusselt para o caso de temperatura de parede constante, ao contrário do que acontece para fluxo de calor constante na parede, não existia até há pouco tempo na literatura, expressões matemáticas para a obtenção do número de Nusselt de um fluido lei de potência, algo fundamental para a implementação do método, pelo que só após o trabalho de Silva (212), onde as referidas expressões foram determinadas, expressões (1.18) e (1.19), é que se tornou possível estender este método também a este caso. Com este trabalho fica assim disponível na literatura, um conjunto de ferramentas úteis e simples para a determinação do coeficiente de atrito e do número de Nusselt (casos de fluxo de calor e temperatura constantes na parede) e para qualquer fluido não-newtoniano em escoamento desenvolvido em regime laminar agora entre placas paralelas. 12

39 Introdução 1.3 Classificação dos Fluidos Os fluidos podem ser classificados como não-newtonianos ou Newtonianos tendo em conta a existência ou não de uma dependência entre a viscosidade e a taxa de deformação e/ou a existência ou não de elasticidade, respetivamente. Como no escoamento que é objeto de estudo neste trabalho os efeitos elásticos não se manifestam, além da presença de tensões normais para os fluidos viscoelásticos, todos os fluidos estudados se comportam como sendo puramente viscosos, mesmo que o modelo reológico possa contabilizar a elasticidade como é o caso do fluido sptt. Este trabalho terá pois como objeto de estudo apenas os fluidos que se comportam como puramente viscosos não-newtonianos, sendo que a referência aos fluidos viscoelásticos e Newtonianos nas secções seguintes poderá ser vista como informação complementar Fluido Newtoniano Os fluidos Newtonianos podem ser definidos como fluidos cuja taxa de deformação,, é proporcional à tensão de corte,, (Çengel et al, 27), ver Figura 1-4, na qual a viscosidade de corte,, apenas varia com a pressão ou temperatura, não variando com a taxa de deformação nem com o tempo (João, 21). Assim, a tensão de corte é definida por uma relação linear como mostra a equação (1.21), (1.21) Estes fluidos abrangem todos os gases e líquidos não poliméricos e homogéneos (Cruz, 21). Na Figura 1-4 encontram-se alguns exemplos de fluidos Newtonianos como sejam o óleo, a água e o ar com a tensão de corte a variar linearmente com a taxa de deformação, representando o declive das curvas a constante de proporcionalidade,, (Munson et al., 29). Viscosidade=Declive a b (1.22) 13

40 Cálculo simplificado do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas Figura Variação da tensão de corte, em função da taxa de deformação,, com a representação da constante de proporcionalidade, Fluido não-newtoniano Segundo João (21), estes fluidos são normalmente classificados em duas grandes categorias, fluidos viscoelásticos e fluidos puramente viscosos, sendo estes últimos, e como já referido anteriormente, os que serão alvo de estudo neste trabalho. Os fluidos viscoelásticos apresentam alguma recuperação elástica após remoção da tensão de deformação aplicada e agregam características de fluido e de sólidos elásticos. Os fluidos totalmente viscosos não possuem comportamento elástico, não são capazes de armazenar energia elasticamente e assim sendo o trabalho é dissipado sob a forma de calor. Ainda se podem dividir em duas outras classes, independentes e dependentes no tempo. No caso dos fluidos cuja viscosidade depende do tempo, a taxa de deformação não é simplesmente função da tensão de corte instantânea, mas também da duração e dos intervalos de tempo entre suas aplicações. Estes fluidos são subdivididos em tixotrópicos e reopéticos. No primeiro, a viscosidade diminui ao longo do tempo para uma taxa de deformação constante e no segundo caso têm um comportamento oposto ao primeiro. Numa experiência em que a taxa de deformação aumenta permanentemente 4 Imagem adaptada de Munson (29), pag.16, Figura

41 Introdução até um dado valor e em seguida diminui até ao valor inicial obtém-se com estes fluidos um ciclo de histerese, como ilustra a Figura 1-5, Figura Tensão de corte em função da taxa de deformação para os fluidos tixotrópicos e reopéticos. 5 Os fluidos independentes no tempo ainda podem ser divididos em 3 grupos, dilatantes, pseudóplásticos e plásticos de Bingham. De acordo com Çengel (27), nos fluidos dilatantes a viscosidade aumenta com a taxa de deformação, nos pseudóplásticos a viscosidade diminuiu com o aumento da taxa de deformação, possuem portanto um comportamento inverso do anterior. No caso dos plásticos de Bingham, estes resistem a baixas tensões de corte, comportando-se como um sólido, mas passam a comportar-se como um fluido quando a tensão de corte ultrapassa um determinado limite, deformando-se continuamente. Um bom exemplo de um fluido com este comportamento é a pasta de dentes. A figura seguinte mostra a variação da tensão de corte com a taxa de deformação destes fluidos, comparando-os com os fluidos Newtonianos. 5 Imagem retirada de João (211), pag. 28, Figura

42 Cálculo simplificado do coeficiente de atrito e do número de Nusselt em escoamentos laminares de fluidos não-newtonianos entre placas paralelas Figura 1-6 Tensão de corte em função da taxa de deformação dos fluidos totalmente viscosos independentes do tempo e dos fluidos Newtonianos Números adimensionais Serão apresentados nesta secção os números adimensionais mais relevantes, sendo alguns deles utilizados ao longo do presente trabalho, bem como a explicação do seu significado físico. Estes são os números de Reynolds, de Prandlt, de Péclet, de Weissenberg, de Bingham e, finalmente, de Nusselt Número de Reynolds Na década de 188, Osborne Reynolds, após muitas e exaustivas experiências, descobriu que o regime de escoamento depende do quociente entre as forças de inércia e as forças viscosas do fluido, isto é o número de Reynolds. Para um tubo de secção circular, esta relação é expressa por, Forças de inércia UD Re (1.23) Forças viscosas onde, é a massa volúmica, U é a velocidade média na conduta, D é o diâmetro da conduta e é a viscosidade de corte. 6 Imagem retirada de Cruz (21), pag. 2, Figura 1.1 (a). 16