Prisma Cubo Paralelepípedo 2016

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1 Prisma Cubo Paralelepípedo (Unesp 016) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura. Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de a) 4%. b) 6%. c) %. d) 6%. e) 8%.. (G1 - ifsp 016) A figura abaixo representa a planificação de um poliedro P: Avalie as afirmações I, II e III sobre o poliedro representado pela planificação: I. O número de arestas do poliedro P corresponde a uma vez e meia o número de vértices. II. O poliedro P tem, pelo menos, duas faces paralelas. III. O poliedro P pode ser classificado como pentágono. Contém uma afirmação verdadeira: a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. Página 1 de 17

2 . (G1 - cftmg 016) Deseja-se construir uma caixa d'água no formato de um paralelepípedo retângulo, que armazene litros de água, como mostra a figura. Sabe-se que o comprimento (c) é o dobro da largura ( ), que a altura (h) é 1 da medida da largura () e que 1m equivale a litros de água. Nessas condições, a largura dessa caixa d'água, em metros, é igual a a) 1,5. b) 1,8. c),7. d),0. 4. (Enem 015) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de 0 cm por 10 cm. No processo de confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 5%, ficando com consistência cremosa. Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de cm e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar. O volume máximo, em embalagem é a) 450. b) 500. c) 600. d) 750. e) cm, da mistura sabor morango que deverá ser colocado na Página de 17

3 5. (Unesp 015) Uma chapa retangular de alumínio, de espessura desprezível, possui 1 metros de largura e comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma canaleta vazada de altura x metros são feitas duas dobras, ao longo do comprimento da chapa (figura ). Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta fabricada é igual a então, a altura dessa canaleta, em metros, é igual a a),5. b),75. c),50. d),50. e), m, 6. (Unisc 015) Um reservatório cúbico de 60 cm de profundidade está com 1 de água e precisa ser totalmente esvaziado. O volume de água a ser retirado desse reservatório é de a) 7, litros. b) 7 litros. c) 1,6 litros. d) 16 litros. e) 5 litros. 7. (Cefet MG 015) A Organização Mundial da Saúde recomenda que, fazendo economia, um ser humano consuma 50 litros de água por dia. Uma família com quatro pessoas possui, em sua casa, uma caixa d água na forma de um prisma reto com 1 metro quadrado de área da base cheia com 100 litros de água. A altura a ser completada de forma que a água da caixa seja o suficiente para abastecer a família por cinco dias, em metros, é de 4 a) 9,0 10. b) 9,0 10. c) 9, d) 9, e) 9, Página de 17

4 8. (Enem PPL 015) Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui diversos modelos e tamanhos de caixa-d água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma. Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é a) oito vezes maior. b) quatro vezes maior. c) duas vezes maior. d) a metade. e) a quarta parte. 9. (Enem PPL 015) Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja que seu logotipo seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura: A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes sugestões planificadas: Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa? a) I b) II c) III d) IV e) V Página 4 de 17

5 10. (Fgv 014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de m. Ela é preenchida com água a uma vazão de litros por hora. Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu: a) 5cm b) 7,5cm c) 0 cm d),5 cm e) 5 cm 11. (Enem PPL 014) Uma fábrica de rapadura vende seus produtos empacotados em uma caixa com as seguintes dimensões: 5 cm de comprimento; 10 cm de altura e 15 cm de profundidade. O lote mínimo de rapaduras vendido pela fábrica é um agrupamento de 15 caixas dispostas conforme a figura. Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela fábrica de rapaduras? a).750 cm b) c) d) e) cm cm cm cm 1. (Ufg 014) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta para rebocá-lo. Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento, 10% do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida transportando-se um iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada. Página 5 de 17

6 1. (Enem PPL 014) Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 40 cm de comprimento, 15 cm de largura e 0 cm de altura. Chegando em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade de sua capacidade. A seguir, para enfeitá-lo, irá colocar pedrinhas coloridas, de volume igual a 50 cm cada, que ficarão totalmente submersas no aquário. Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do aquário. O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a a) 48. b) 7. c) 84. d) 10. e) (Espm 014) No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6cm e 10cm, respectivamente. O volume desse sólido é de: a) 8 cm b) 10 cm c) 1 cm d) 16 cm e) 4 cm 15. (Enem PPL 014) Um lojista adquiriu novas embalagens para presentes que serão distribuídas aos seus clientes. As embalagens foram entregues para serem montadas e têm forma dada pela figura. Após montadas, as embalagens formarão um sólido com quantas arestas? a) 10 b) 1 c) 14 d) 15 e) 16 Página 6 de 17

7 16. (Upe 014) Como atividade recreativa, o professor Leocádio propôs que seu aluno Klécio montasse novas peças a partir da representada abaixo, mudando a posição de, apenas, um cubo. Dentre as peças representadas abaixo, assinale a que não pode ter sido confeccionada por Klécio. a) b) c) d) e) 17. (Enem 014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura. Considere um silo de m de altura, 6m de largura de topo e 0m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa m desse tipo de silo. EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: Acesso em: 1 ago. 01 (adaptado). Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 15. c) 10. d) 0. e) Página 7 de 17

8 18. (Fgv 01) Um prisma reto de base triangular tem área de uma face lateral igual a 0 cm. Se o plano que contém essa face dista 6 cm da aresta oposta a ela, o volume desse prisma, em cm, é igual a a) 18. b) 6. c) 48. d) 54. e) (Fgvrj 01) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir: O volume, em a) 80x 6x 4x dm, da caixa assim obtida é b) 80x 6x 4x c) 80x 18x x d) 80x 18x x e) 0x 9x x 0. (Ufsm 01) Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças. Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm, dessa embalagem? a) 150. b) c) 900. d) e) (Ufrgs 01) Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8, de maneira que dois de seus vértices, P e Q, sejam os pontos médios respectivamente das arestas AD e BC, e os vértices da face superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo. O volume desse sólido é a) 64. b) 18. c) 56. d) 51. e) Página 8 de 17

9 . (Uepb 01) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede m, tem capacidade igual a: a) litros b) litros c) litros d).000 litros e) litros. (Uem 01) Considere dois prismas retos de mesma altura, h 6cm, e com bases sendo hexágonos regulares, de modo que um seja inscrito no outro. Os vértices do prisma inscrito são os pontos médios das arestas das bases do outro prisma, e as arestas da base do prisma inscrito medem cm. Com relação a esses prismas, assinale o que for correto. 01) As arestas das bases do prisma maior medem 4 cm. 0) A área lateral do prisma maior mede 48 cm. 04) O volume do prisma menor é 6 cm. 08) A diferença entre os volumes dos prismas é de 1 cm. 16) O quociente entre os volumes do prisma maior e do menor é (Enem 01) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 400 cm? a) O nível subiria 0, cm, fazendo a água ficar com 0, cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 1 cm de altura. c) O nível subiria cm, fazendo a água ficar com cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 0 cm, fazendo a água transbordar. 5. (Uerj 01) Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja caçamba tem 1 m de altura e a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância entre dois pontos desse paralelepípedo é igual a m. Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba. Página 9 de 17

10 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 6. (Pucrs 01) A quantidade de materiais para executar uma obra é essencial para prever o custo da construção. Quer-se construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados na figura abaixo. A quantidade de telhas de tamanho 15 cm por 0 cm necessárias para fazer esse telhado é 4 a) 10 5 b) 10 c) d) e) (Ueg 011) Considere um cubo com cm de aresta, subdividido em cubos menores, cada um com 1cm de aresta. Dele foram retirados cubos menores dos centros de cada face e um cubo menor do seu centro. A figura I mostra o que restou do cubo maior, enquanto a figura II mostra o que foi retirado do cubo. a) Calcule o volume da figura I. b) Calcule a área da superfície da figura II. 8. (Enem 010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a) 5 cm. b) 6 cm. c) 1 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. Página 10 de 17

11 9. (Enem 006) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema a seguir, está representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante. A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 00 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água durante o esvaziamento da câmara é de 4.00 m por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de a) minutos. b) 5 minutos. c) 11 minutos. d) 16 minutos. e) 1 minutos. 0. (G1 - ifpe 016) Na residência de Laércio, há uma caixa d água vazia com capacidade de 5 metros cúbicos. Ele vai encher a caixa trazendo água de um poço próximo, em uma lata cuja base é um quadrado de lado 40 cm e cuja altura é 50 cm. Qual é o número mínimo de vezes que Laércio precisará ir ao poço até encher integralmente a caixa d água? a) 67 b) 5 c) 55 d) 6 e) 56 Página 11 de 17

12 Gabarito: Resposta da questão 1: [D] A área total do paralelepípedo é dada por (4 41 1) 8 m. Após a divisão, foram acrescentadas duas faces retangulares de dimensões 5m e 1m. Logo, o acréscimo na área externa foi de m e, portanto, a resposta é % 6%. 8 Resposta da questão : [B] É imediato que P é um prisma pentagonal regular. [I] Verdadeira. De fato, pois P possui 15 arestas e 10 vértices. [II] Verdadeira. Com efeito, as bases de P são paralelas. [III] Falsa. É um prisma pentagonal regular. Resposta da questão : [D] Como L 18 m, c e h, temos c h m. Resposta da questão 4: [C] Seja v o volume da mistura sabor morango que será colocado na embalagem. Tem-se que 1,5 (1000 v) v 600cm. Portanto, a resposta é Resposta da questão 5: [E] Sabendo que 600cm. (1 x) x 18 m, vem x 6x 9 0 (x ) 0 x m. Página 1 de 17

13 Resposta da questão 6: [B] O volume de água no reservatório é igual a cm 7dm 7 L. Resposta da questão 7: [D] 1 Sendo 100 L 100dm 10 m, podemos concluir que a altura de água na caixa é igual a 1 10 m. Portanto, se o consumo da família, em 5 dias, é de altura de água na caixa deverá ser de 1m L 1m, então a A resposta é m. Resposta da questão 8: [B] Sendo a o comprimento das arestas da base e b a altura, pode escrever: Vantigo a b Vnovo a b Vnovo 4a b Vnovo 4 Vantigo Resposta da questão 9: [C] A planificação deve apresentar duas bases impressas opostas e quatro laterais na visão tridimensional. A única alternativa que apresenta tal imagem é a alternativa [C]. Resposta da questão 10: [E] O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a, litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal que 10 5 h 17,5 h 0,5 m 5cm. Resposta da questão 11: [D] O volume pedido é dado por Resposta da questão 1: A quantidade de água obtida é dada por cm , (5 18) ,6 m. Página 1 de 17

14 Resposta da questão 1: [A] Lembrando que o volume de líquido deslocado é igual ao volume do corpo submerso, segue que o número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a (10 6) Resposta da questão 14: [C] Temos (ABCD) AB BC AB 6 e AB cm (BCFE) BC BE BE 10 BE 5cm. Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, obtemos AE 4cm. Por conseguinte, o resultado pedido é AB AE 4 BC 1cm. Resposta da questão 15: [D] O sólido formado será um prisma pentagonal. Logo, o número de arestas é igual a Resposta da questão 16: [D] A única peça que não pode ser obtida por meio do deslocamento de apenas um cubo é a da alternativa [D]. Resposta da questão 17: [A] Como h m, segue-se que b 6 0,5 5 m. Logo, segue que o volume total do silo é 6 5 igual a 0 0 m. Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa m, podemos concluir que o resultado pedido é toneladas. Página 14 de 17

15 Resposta da questão 18: [E] Sejam h e, respectivamente, uma aresta lateral e uma aresta da base, de tal modo que h 0cm, conforme o enunciado. Sabendo que a distância do plano que contém essa face até a aresta oposta é igual a 6cm, segue-se que essa distância corresponde à altura do triângulo que é base do prisma. Portanto, o resultado pedido é igual a 6 h h 0 60cm. Resposta da questão 19: [A] O volume da caixa é dado por x (8 x) (10 x) x (80 16x 0x 4x ) Resposta da questão 0: [C] 80x 6x 4x. O volume da embalagem é dado por cm. Resposta da questão 1: [C] O sólido indicado é um prisma reto triangular, cujo volume é igual a Resposta da questão : [C] Seja a a aresta do cubo. Sabendo que a diagonal do cubo é igual a a, temos a. Portanto, como o volume do cubo é igual a 8 m, segue que a sua capacidade é de litros. Página 15 de 17

16 Resposta da questão : = 11. [01] Correto. Seja a medida do lado do hexágono maior. Sabendo que os ângulos internos de um hexágono regular medem 10, pela Lei dos Cossenos, vem 1 cos cm. [0] Correto. A área lateral do prisma maior mede 4 6 h cm. [04] Incorreto. O volume do prisma menor é dado por cm cm. [08] Correto. O volume do prisma maior é igual a cm. Portanto, a diferença entre os volumes dos prismas é cm. [16] Incorreto. De [04] e [08], vem Resposta da questão 4: [C] O nível da água subiria 400 cm, 40 0 fazendo a água ficar com 5 5 cm de altura. Resposta da questão 5: Seja a a aresta da base da caçamba. Sabendo que a altura da caçamba mede 1m, temos que a sua capacidade é dada por a 1 a. Desse modo, como a diagonal do paralelepípedo mede m e a diagonal da base mede a, vem (a ) 1 a 8 a 4 m. Página 16 de 17

17 Resposta da questão 6: [A] Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular reto, temos que a 5 m. Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões 5 m 0 m serão cobertas por telhas, segue que o resultado pedido é dado por Resposta da questão 7: a) O volume de um cubo de aresta cm é igual a 7cm, e o volume de um cubo de aresta 1cm é 1 1cm. Logo, como foram retirados 7 cubos do cubo maior, o resultado pedido é 7 7 0cm. b) A área da superfície do sólido corresponde à área da face de um cubo de aresta 1cm multiplicada por 65 0, ou seja, 1 0 0cm. Resposta da questão 8: [B] Sendo a a aresta do cubo, temos: a = a = 16 a = 6 Resposta da questão 9: [D] O volume de água a ser escoado da câmara é de vazão de escoamento é m. Logo, como a 4.00 m por minuto, segue que uma embarcação leva cerca de minutos para descer do nível mais alto até o nível da jusante. 400 Resposta da questão 0: [D] Volume da caixade agua 5m cm 6,5 latas Volume da lata (40cm) 50cm cm Portanto, no mínimo 6 latas. Página 17 de 17