GEOMETRIA PLANA PROF. ENZO MARCON TAKARA

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1 GEOMETRIA PLANA PROF. ENZO MARCON TAKARA EDIÇÃO 016 1

2 1-FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA PLANA 1. (FUVEST) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45 e o ângulo mede 55. A medida, em graus, do ângulo é: a) 40 b) 45 c) 50 d) 65 e) 10 a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100. (UEL) A medida α de um ângulo é igual ao triplo da medida do seu suplemento. Nestas condições, tgα é igual a a) 1 b) c) 0 d)1/ e) (UNAERP) As retas r e s são interceptadas pela transversal "t", conforme a figura. O valor de x para que r e s seja, paralelas é:. (UEL) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos números 5, 0 e 5, respectivamente. a) 0 b) 6 c) 8 d) 0 e) 5 6. (CFTCE) O ângulo cujo suplemento excede de 6 o quádruplo do seu complemento, é: a) 58 b) 60 c) 6 d) 64 e) 68 O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a a) 144 b) 18 c) 116 d) 8 e) (UNIRIO) As retas r1 e r são paralelas. O valor do ângulo α, apresentado na figura a seguir, é: 7.(ANGLO) Dois ângulos são complementares. Se a medida de um deles excede 0 o triplo da medida do outro, a diferença entre a medida desses dois ângulos é: a),5 b) 5 c) 7,5 d) 45 e) 60 GABARITO 1)E )E )A 4)B 5)C 6)C 7) E

3 -ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA.1-ÂNGULO CENTRAL.- ÂNGULO INSCRITO.-ÂNGULO DE SEGMENTO 1. (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: EXERCÍCIOS BÁSICOS a) 15 b) 110 c) 10 d) 100 e) 15 O comprimento do segmento AB é a) m. b) m. c) m. d) 5 m. e) m.. (UFRRJ) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é o centro do círculo de raio m e os ângulos BOC e OBC são iguais.

4 . (CFTMG) Na figura, os segmentos PB e PD são secantes à circunferência, as cordas AD e BC são perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é a) 15 b) 0 c) 5 d) 0 e) 5 a) 0 b) 40 c) 50 d) (CFTMG) Na figura, o triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro O, cujo comprimento é 10 cm. Se o lado AB mede 6 cm, a medida do lado BC, em cm, é 7. (UFES) Na figura, A, B, C e D são pontos de uma circunferência, a corda CD é bissetriz do ângulo AĈ B e as cordas AB e AC têm o mesmo comprimento. Se o ângulo BÂD mede 40, a medida α do ângulo BÂC é a) 10 b) 15 c) 0 d) 5 e) 0 a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 8. (MACK) 5. (CFTMG ) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A soma das medidas m + n, em graus, é O ângulo α da figura mede: a) 60 b) 55 c) 50 d) 45 e) 40 a) 70 b) 90 c) 110 d) (UFES) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo APD é 4

5 9. (UFMG) Observe a figura. 1-(ANGLO) Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos A ˆB D e AÊD medem, respectivamente, 0 e 85. Assim sendo, o ângulo C ˆB D mede a) 5 b) 5 c) 0 d) (PUC) O ângulo x, na figura a seguir, mede: a) 60 b) 80 c) 90 d) 100 e) 10 1-(ANGLO) 11-(ANGLO) GABARITO 1)A )E )A 4)C 5)A 6)B 7)C 8)C 9)A 10)B 11)B 1)D 1)C 5

6 -TRIÂNGULOS ELEMENTOS BÁSICOS.1- A soma dos ângulos Considere o triângulo ABC da figura. Traçamos uma paralela ao lado BC, passando pelo vértice A. Os ângulos B são iguais da mesma maneira que os ângulos C, por serem alternos internos entre duas paralelas..- TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO Considere o triângulo ABC da figura. Vamos mostrar que um ângulo externo é igual à soma dos internos não adjacentes..- RELAÇÃO ENTRE LADO E ÂNGULO OPOSTO Num triângulo qualquer: o maior lado é oposto ao maior ângulo o menor lado é oposto ao menor ângulo.4-condição DE EXISTÊNCIA DE TRIÂNGULO Como a menor distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que une estes pontos podemos afirmar que: um lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos outros dois. conseqüentemente, um lado do triângulo é sempre maior que a diferença entre os outros dois. 6

7 .5- TRIÂNGULO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA Como um ângulo de 90 o está inscrito numa semi-circunferência, a hipotenusa é o diâmetro da circunferência circunscrita. O circuncentro está sobre o ponto médio da hipotenusa. SE UM DOS LADOS DE UM TRIÂNGULO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA FOR O DIÂMETRO, ENTÃO: 1) ESSE TRIÂNGULO É RETÂNGULO ) A MEDIANA ( RAIO) RELATIVA A HIPOTENUSA MEDE METADE DA HIPOTENUSA ( DIÂMETRO). EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (cftmg 011) Referindo-se às afirmações seguintes, assinale (V) para as verdadeiras e, (F) para as falsas. ( ) Dois triângulos semelhantes são sempre congruentes. ( ) Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes. ( ) Dois triângulos retângulos são sempre semelhantes. ( ) Dois triângulos retângulos isósceles são sempre congruentes. A sequencia correta encontrada é a) V, V, V, F. b) F, V, F, F. c) F, V, F, V. d) F, F, F, V. a reta OB perpendicular à reta AC ; a reta EF paralela à reta OB. Nível médio. (Fatec 010) Na figura tem-se: a circunferência de centro O tangente à reta CE e à reta EF nos pontos D e F, respectivamente; 7

8 Sabendo que a medida do maior ângulo CÊ F é igual a 0º, a medida do ângulo agudo AĈ E é igual a a) 0º. b) 0º. c) 40º. d) 50º. e) 60º. a) 6. b) 7. c) 50. d) 40. e) (FGV) Num triângulo isósceles ABC, de vértice A, a medida do ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos B e C é (FUVEST) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso, (1) A, B, C, e A, O, D, são colineares; () AB = OB; () CÔD mede α radianos. Então, as medidas dos ângulos A, B e C são, respectivamente: a) 10, 0 e 0 b) 80, 50 e 50 c) 100, 40 e 40 d) 90, 45 e 45 e) 140, 0 e 0 7. Na figura, AQ e AP são, respectivamente, bissetrizes interna e externa do triângulo ABC. Se BQ = 8 m e QC = 6 m, então, a medida de QP, em metros, é Nessas condições, a medida de A ˆB O, em radianos, é igual a: a) π - (α/4) b) π - (α/) c) π - (α/) d) π - (α/4) e) π - (α/) 4. (UFT) Na figura a seguir considere A = 0, á = B e â = C. No triângulo BDC o ângulo D é: a) b) 6 c) 4 d) Na figura a seguir, AB = AC, D é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo ABC e o ângulo BDC é o triplo do ângulo A. a) 90 b) 10 c) 150 d) Num triângulo isóscele, cada ângulo da base mede o dobro da medida do ângulo do vértice. A medida do ângulo do vértice é: 8 Então, a medida do ângulo B é a) 54 b) 60 c) 7 d) 84

9 9. Na figura, a, a, b, b e x representam as medidas, em graus, dos ângulos assinalados. a) 0 b) 1 c) d) - e) ( ) 1. ( cftce ) A altura e a mediana traçadas do vértice do ângulo reto de um triângulo retângulo formam um ângulo de 4. Sendo assim, os ângulos agudos do triângulo são: a) e 57 b) 4 e 56 c) 5 e 55 d) 6 e 54 e) 7 e 5 O valor de x, em graus, é a) 100 b) 110 c) 115 d) (G1 - cftmg 006) Na figura, A = 90, BM = CM, BS é bissetriz do ângulo B e ASB = (Ufc) Sejam α, β e θ os ângulos internos de um triângulo. Se as medidas desses ângulos são diretamente proporcionais a 1, e, respectivamente, e a bissetriz do ângulo β mede duas unidades de comprimento (u.c.), a medida do perímetro deste triângulo é: a) ( + ) u.c. b) ( + 1) u.c. c) u.c. d) ( + 1) u.c. e) ( - 1) u.c. 15. (Ufmg) Na figura a seguir, a circunferência tem centro O e o seu raio tem a mesma medida do segmento BC. Sejam α a medida do ângulo AÔD e β a medida do ângulo AĈ D. Nessas condições, o ângulo C mede a) 0 b) 6 c) 44 d) (Fgv) Na figura a seguir, o triângulo AHC é retângulo em H e s é a reta suporte da bissetriz do ângulo CÂH. Se c = 0 e b = 110, então: a) x = 15 b) x = 0 c) x = 0 d) x = 10 e) x = 5 A relação entre α e β é a) α = 5 β 7β b) α = β c) α = d) α = β 16. (Fuvest) Na figura a seguir, tem-se que AD=AE, CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF mede 80, então o ângulo ABC mede: 1. (cftce 005) Na figura, tg(x) é: a) 0 b) 0 c) 50 d) 60 e) 90 9

10 17. (Ufmg) Observe esta figura: Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma reta e as retas CB e ED são paralelas. Assim sendo, o ângulo A ˆB C mede a) 9 b) 44 c) 47 d) (UFC ) Na figura a seguir, os segmentos de reta AB, AC e CD são congruentes, â é um ângulo externo, e á um ângulo interno do triângulo ABD. Assinale a opção que contém a expressão correta de â em termos de á. a) β= α b) β = α. c) β = α. 1. (Uff) O triângulo MNP é tal que ângulo M = 80 e ângulo P = 60. A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do ângulo externo P é: a) 0 b) 0 c) 40 d) 50 e) 60. O triângulo cujos lados medem 10 cm, 4 cm e 6 cm: a) é acutângulo b) é retângulo c) é equilátero d) é isósceles e) é obtusângulo. (Ufes) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100. Qual é a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros ângulos internos? a) 0 b) 40 c) 60 d) 80 e) Com três segmentos e comprimentos iguais a 10 cm, 1 cm e cm... a) é possível apenas formar um triângulo retângulo b) é possível formar apenas um triângulo obtusângulo c) é possível formar apenas um triângulo acutângulo d) é possível formar os três triângulos e) não é possível formar um triângulo 5. (UFPE) Considere um triângulo equilátero de lado l como mostra a figura a seguir. Unindo-se os pontos médios dos seus lados obtemos 4 (quatro) novos triângulos. O perímetro de qualquer um destes quatro triângulos é igual a: d) β= α α. e) β =. 19. (Mack) Na figura a seguir, a distância d vale: a) 5 b) c) d) e) 4 0. (Fuvest) Na figura a seguir, AD = cm, AB = cm, a medida do ângulo BÂC é 0 e BD = DC, onde D é ponto do lado AC. A medida do lado BC, em cm, é a) 5 b) l c) l d) e) 6. Num triângulo isósceles, a base tem 8 cm e o ângulo oposto à base mede 10. Cada um dos outros dois lados do triângulo mede: a) cm b) 5 cm c) 4 5 cm d) 4 cm e) 8 cm a) b) c) 5 d) 6 e) 7 10

11 7. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, B e D são pontos da circunferência de centro O e diâmetro AC, M é ponto médio da corda AD e o ângulo A ˆB M mede 5. A medida x do ângulo DÂC, em graus, é a) AB 5 b) 0.(ANGLO) 5 AB c) AB 4 d) AB e) AB a) 0 b) 5 c) 0 d) 5 e) 7,5 8. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, AD = BD, Ĉ = 60 e DÂC é o dobro de ˆB. A razão AC BC é igual 1-(ANGLO) a) 1 b) 1 c) d) e) 9. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, D é um ponto da circunferência de centro C e diâmetro AB, e M e N são pontos médios dos segmentos AC e AD, respectivamente. A medida MN em função do diâmetro AB é Gabarito:1)B )C )C 4)B 5)A 6)C 7)D 8)C 9)D 10)D 11)D 1)D 1)A 14)D 15)B 16)A 17)D 18)A 19)D 0)A 1)C )B )B 4)E 5)E 6)E 7)A 8)B 9)C 0)D 1)B 11

12 4- POLÍGONOS Propriedades dos polígonos convexos O número de vértices é igual ao número de lados. De cada vértice de um polígono de n lados, saem n diagonais (d v ). n n O número de diagonais (d) de um polígono é dado por d, onde n é o número de lados do polígono. 0 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (S i ) é dada por n A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (S e ) é igual a 60. Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por n. 0 n.180 A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (a i ) é dada por. n 0 60 A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (a e ) é dada por. n 0 A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (S c ) é igual a A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (a c ) é dada por. n EXERCÍCIOS BÁSICOS 4. Considere um quadrado com cm de lado, inscrito em um círculo como mostra a figura. 1. (Utfpr) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é: a) 180º b) 60º c) 540º d) 70º e) 900º. (Uece) Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é um hexágono e se o número de diagonais do Q, partindo de um vértice, é igual ao número total de diagonais de P então a medida de cada um dos ângulos internos, em graus, de Q é a) 144 b) 150 c) 156 d) 16. (Puc-rio 009) O raio desse círculo mede, em centímetros a). b). c). d). e). 5. (cftce) Se a razão entre o número de diagonais d e de lados n, com n >, de um polígono, é um número inteiro positivo, então o número de lados do polígono: a) é sempre par b) é sempre ímpar c) é sempre múltiplo de d) não existe e) é sempre primo Considere o pentágono regular ABCDE. Quanto vale o ângulo ACE? a) 4 b) 0 c) 6 d) 40 e) 45 1

13 6. (UFRS) Na figura a seguir, o pentágono ABCDE, inscrito no círculo, é regular. 10-(ANGLO) A soma das medidas dos ângulos a, b, c, d e e, indicados na figura, é a) 150. b) 180. c) 70. d) 60. e) (UFSCAR) Um polígono regular com exatamente 5 diagonais tem a) 6 lados. b) 9 lados. c) 10 lados. d) 1 lados. e) 0 lados. 8. (UEL) Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a a) 0 b) 18 c) 15 d) 1 e) 9 9.(ANGLO) 11-(ANGLO) 1. (Fuvest ) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência γ e AC é lado de um polígono regular inscrito em γ. Sabendo-se que o ângulo A ˆB C mede 18 podemos concluir que o número de lados do polígono é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 1 GABARITO 1)D )B )C 4)D 5)B 6)B 7)C 8)A 9)D 10)C 11)D 1)D 1

14 5-QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS Um quadrilátero é considerável notável se possuir pelo menos dois lados paralelos 5.1-TRAPÉZIO Trapézio isósceles Trapézio retângulo α = β e AB = CD e AD// BC 5.- PARALELOGRAMO Lados opostos congruentes ângulos opostos congruentes Diagonais que se cortam ao meio 5.-RETÂNGULO Todos os ângulos congruentes e retos Diagonais congruentes Diagonais se cortam no ponto médio 14

15 5.4-LOSANGO Todos os lados congruentes Diagonais perpendiculares Diagonais bissetriz dos ângulos internos Diagonais se cortam no ponto médio 5.5-QUADRADO Todos os lados congruentes Diagonais perpendiculares Diagonais bissetriz dos ângulos internos Ângulos congruentes e retos Diagonais se cortam no ponto médio 15

16 EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Udesc) No paralelogramo ABCD, conforme mostra a figura, o segmento CE é a bissetriz do ângulo DCB. 5. (cftce 005) Sabendo-se que, em um trapézio, a soma da base média com a mediana de Euler é igual a 1 cm e que a razão entre as bases do trapézio é, a base menor desse trapézio mede: a) 5 cm b) 6 cm c) 7 cm d) 8 cm e) 9 cm 6. (Ufrs 004) A opção que apresenta todas as possibilidades do número de pontos de interseção de um círculo com um retângulo é a) 0, 1,, 4 ou 8. b) 0,, 4, 6 ou 8. c) 0, 1,, 5 ou 7. d) 0,,, 5 ou 7. e) 0, 1,,, 4, 5, 6, 7 ou 8. Sabendo que AE = e AD = 5, então o valor do perímetro do paralelogramo ABCD é: a) 6 b) 16 c) 0 d) e) 4. (cftmg) ABC é um triângulo isósceles no qual AB = AC = 10 cm. O perímetro do paralelogramo que se obtém, traçando, por um ponto qualquer da base BC, paralelas aos lados AB e AC é, em cm, a) 15 b) 0 c) 0 d) 40. (Ufmg) Esta figura representa o quadrilátero ABCD: 7. (Unifesp ) Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1:. O ângulo menor desse paralelogramo mede a) 45. b) 50. c) 55. d) 60. e) (Fuvest) Um trapézio retângulo tem bases 5 e e altura 4. O perímetro desse trapézio é: a) 1 b) 14 c) 15 d) 16 e) (Uerj) Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) losango b) trapézio c) retângulo d) quadrado 10. (Puc) ABCD é um paralelogramo, M é o ponto médio do lado CD, e T é o ponto de intersecção de AM com BD. O valor da razão DT/BD é: a) 1/. b) 1/. c) /5. d) 1/4. e) / (Puc) Na figura a seguir tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. Sabe-se que - AB = 1 cm e AD = cm; - o ângulo ABC mede 10 ; e - o segmento CD é perpendicular aos segmentos AD e BC. Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento BD é a) cm. b) ( 5) cm. c) ( 5) cm. d) cm. 4.O valor do raio R do círculo inscrito no trapézio retângulo de bases 15 cm, 10 cm e lado oblíquo 1 cm, em cm, é: a) 1 b) 10 c) 6 d) 5 e) A medida do lado desse losango, em centímetros, é a) 6 b) 6 c) 4 d) 4 e) 16

17 1. (Puc) A área máxima de um paralelogramo com lados a, b, a, b é: a) a + b. b) ab. c) ab. d) a + b. e) a/b. 1. (Fuvest 1997) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de á + â é a) 50 b) 90 c) 10 d) 10 e) (FEI) As bases de um trapézio medem 8 cm e 1 cm, respectivamente, e a altura 4 cm. A que distância da base menor fica o ponto de encontro das retas-suporte dos lados não-paralelos? a) 8 cm b) 1 cm c) 16 cm d) 4 cm 15. (Universidade Federal de Ouro Preto) Assinale a afirmativa incorreta: a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra; b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo; c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas. d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes. e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. e) apenas III é verdadeira. 17. (Ufrs) Considere as seguintes afirmações sobre um quadrilátero convexo. I - Se as diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios, então o quadrilátero é um retângulo. II - Se as diagonais se interceptam perpendicularmente em seus respectivos pontos médios, então o quadrilátero é um losango. III - Se as diagonais se interceptam perpendicularmente e são congruentes, então o quadrilátero é um quadrado. Quais estão corretas? a) Apenas II b) Apenas III c) Apenas I e II d) Apenas I e III e) I, II e III 18. (Unesp) Considere as seguintes proposições: - todo quadrado é um losango; - todo quadrado é um retângulo; - todo retângulo é um paralelogramo; - todo triângulo equilátero é isóscele. Pode-se afirmar que: a) só uma é verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas. 19-(ANGLO) 16. (ITA) Dadas as afirmações: I - Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. II - Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. III - Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango. Podemos garantir que: a) todas são verdadeiras. b) apenas I e II são verdadeiras. c) apenas II e III são verdadeiras. d) apenas II é verdadeira. GABARITO 1)E )B )A 4)C 5)B 6)E 7)A 8)D 9)A 10)B 11)D 1)C 1)D 14)A 15)E 16)C 17)A 18)B 19)D 17

18 7- CIRCUNFERÊNCIA Comprimento da circunferência: c= r EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Ufpb) Um ciclista, para vencer uma competição, percorreu 1885 m em uma bicicleta com rodas de raio 0 cm (incluindo o pneu). O número de voltas completas que cada roda da bicicleta deu, para percorrer essa distância, foi: Use: =,14 a) 900 b) 1000 c) 1040 d) 150 e) (Puc) A roda de uma bicicleta tem 90 cm de diâmetro. Então, a distância percorrida por um ciclista nessa bicicleta em movimento, quando a roda dá.000 voltas completas sem deslizar: Considere =,14. a) é inferior a quilômetros. b) está entre e 4 quilômetros. c) está entre 4 e 5 quilômetros. d) é superior a 5 quilômetros.. (Pucmg 007) Os moradores de certa cidade costumam fazer caminhada em torno de duas de suas praças. A pista que contorna uma dessas praças é um quadrado de lado L e tem 640 m de extensão; a pista que contorna a outra praça é um círculo de raio R e tem 68 m de extensão. Nessas condições, o valor da razão R/L é aproximadamente igual a: Use =,14. a) 1/ b) 5/8 c) 5/4 d) / 4. (Ufscar 007) Os satélites de comunicação são posicionados em sincronismo com a Terra, o que significa dizer que cada satélite fica sempre sobre o mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio da Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades na Terra, separadas pela maior distância possível em que um sinal pode ser enviado e recebido, em linha reta, por esse satélite. Se R é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q, passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha reta, a distância de a) 6( )R. b) 7( )R. c) 8( )R. d) 10( )R. e) 11( )R. 5. (Pucmg 04) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, e a medida de sua área é 1ðm ; o comprimento do cateto BC é igual ao comprimento da circunferência que tem AC como diâmetro. A medida do raio dessa circunferência, em metros, é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 18

19 6. (Ufrs) Seja a figura GABARITO 1)B )D )B 4)C 5)B 6)C Sabendo-se que AD = 1 cm; AE = 15 cm e AB = 8 cm; pode-se afirmar que a medida do raio do círculo é a) 4 cm b) 4,5 cm c) 5 cm d) 5,5 cm e) 6 cm 8-RETAS TANGENTES A UMA CIRCUNFERÊNCIA AS DISTÂNCIA DOS PONTO P AOS PONTOS DE TANGÊNCIA SÃO IGUAIS EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Unb 97) A partir de um ponto C, exterior a uma circunferência traçam-se duas retas tangentes, como mostra a figura adiante. Os segmentos tangentes CR e CS, que são necessariamente congruentes, medem, cada um,,5 cm. Em um dos arcos de extremos R e S, escolhe-se, ao acaso, um ponto P, traçando-se o segmento AB, tangente a circunferência em P. Calcule, em centímetros, o perímetro do triângulo ABC, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, M, N e P são pontos de tangência e a medida de OM é 16. Então o perímetro do triângulo assinalado é: 19 a). b) 4. c) 6. d) 8. e) 40.

20 . (Mackenzie 96) No triângulo da figura a seguir, a circunferência inscrita tem raio 1 e T é o ponto de tangência. Então o menor lado do triângulo mede: a). b) 0 7. c) 7. d) 9. e) (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, M e N são pontos médios dos lados do quadrado ABCD e T é o ponto de tangência. Se CT mede k, então a área do quadrado vale: a) k b) k 4 c) k d) k 4 e) 4k 5 GABARITO 1) 47cm ) A )B 4)C 0

21 9-SEGMENTOS PROPORCIONAIS /T. TALES 1. ( cftpr 006) O jardineiro do Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são todas paralelas à base AB do triângulo ABC, conforme figura. A diferença x - y é a). b) 4. c) 6. d) 10. e) 1.. (Ufrn 004) Phidias, um arquiteto grego que viveu no século quinto a.c., construiu o Parthenon com medidas que obedeceram à proporção áurea, o que significa dizer que EE'H'H é um quadrado e que os retângulos EFGH e E'FGH' são semelhantes, ou seja, o lado maior do primeiro retângulo está para o lado maior do segundo retângulo assim como o lado menor do primeiro retângulo está para o lado menor do segundo retângulo. Veja a figura abaixo. Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores são, respectivamente: a) 0 cm e 50 cm. b) 8 cm e 56 cm. c) 50 cm e 0 cm. d) 56 cm e 8 cm. e) 40 cm e 0 cm.. (Ufrrj 005) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 4 e que as retas r, s e t são paralelas. Assim, podemos afirmar que a razão da medida da base do Parthenon pela medida da sua altura é uma raiz do polinômio: a) x + x + 1 b) x + x - 1 c) x - x - 1 d) x - x (Unesp 00) Considere retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por outras retas, conforme a figura. 1

22 Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente, a) 0 e. b) 6 e 11. c) 9 e d) 11 e 6. e) 0 e (Ufsm 00) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. a) m b) 8 m c) 4 m d) 48 m e) 5 m GABARITO 1)B )C )C 4)E 5)B 10-SEMELHANÇA DE TRÂNGULOS Triângulos são semelhantes se, e somente se, possuirem os mesmos ângulos internos AB DE AC DF BC EF EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (G1 - cps 010) A figura representa os triângulos retângulos PQR e STR, sendo RS 5 cm, ST cm e QT 6 cm. A medida do cateto PQ, em centímetros, é

23 e as cidades A, B, C e D estão dispostos conforme a figura a seguir, sendo AB paralelo a CD. Sabendo-se que, na realidade, AB = 40 km, AD = 0 km e DC = 5 km, a distância da cidade A até o parque P, em quilômetros, é: a) 7,5. b) 8,. c) 8,6. d) 9,0. e) 9,.. (G1 - cftmg 008) Um homem, ao passar pelo prédio A de altura h observa que sua sombra corresponde a 10% se comparada com a desse prédio. Algum tempo depois, passando pelo edifício B de de altura, verifica que a projeção de sua sombra é de e a do prédio B é de 0 metros. Nessa situação, a altura h de A, em metros, vale a) 15 b) 18 c) 1 d) 4. (G1 - cftsc 008) Sabendo que uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 1,60 m, calcule a altura de uma árvore que projeta uma sombra de 0 m nas mesmas condições. a) m. b),50 m. c) 4 m. d) 8,80 m. e) 17,80 m. 4. (Uel 008) Para medir a altura de um edifício, um engenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a sombra do prédio obtendo 10,0 metros. Em seguida, mediu sua própria sombra que resultou em 0,5 metros. Sabendo que sua altura é de 1,8 metros, ele pôde calcular a altura do prédio, obtendo: a) 4,5 metros. b) 10,0 metros. c) 18,0 metros. d) 6,0 metros. e) 45,0 metros. a) 65 b) 70 c) 75 d) (Ufjf 006) Seja o triângulo de base igual a 10 m e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, tendo um lado contido na base do triângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual a: a) 10/. b) 5/. c) 0/7. d) 15/4. e) 15/. 8. (G1 - cftmg 005) Num triângulo isósceles de altura 8 cm, inscreve-se uma circunferência de raio cm. A medida da base do triângulo, em cm, é a) 9 b) 10 c) 11 d) 1 9. (G1 - cftmg 005) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A e DEFG é um quadrado inscrito nesse triângulo. Considerando-se que BG = 9 e CF = 4, o perímetro desse quadrado é igual a 5. (G1 - cftce 006) Sendo, na figura a seguir, AB//DE, AB = 5 cm, AC = 6 cm e DE = 10 cm, o valor de CD e CE, nesta ordem, em cm, é: a) 4 b) 8 c) d) (G1 - cftce 005) Considere o trapézio escaleno indicado na figura a seguir. Sabendo-se que a diagonal AC mede 9 cm e os lados DC = 8 cm e AB = 10 cm, tendo a informação de que a diagonal AC intercepta a diagonal BD no ponto E, os comprimentos dos segmentos AE e EC são, respectivamente, iguais a: a) 14 e 1. b) 1 e 10. c) 10 e 8. d) 16 e 14. e) 8 e (Pucmg 006) Em um mapa, o parque turístico P

24 1. (Ufc 00) Na figura a seguir, os triângulos ABC e AB'C' são semelhantes. Se AC = 4. AC' então o perímetro de AB'C' dividido pelo perímetro de ABC é igual a: a) 4 cm e 5 cm b) 5 cm e 4 m c) cm e 7 cm d) 7 cm e cm e) 6,5 cm e,5 cm 11. (Ufg 005) Uma fonte luminosa a 5 cm do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular de 8 cm de diâmetro, conforme figura a seguir. a) 1 8 b) 1 6 c) 1 4 d) 1 e) (Ufrs 001) Na figura a seguir AB, CD e EF são paralelos, AB e CD medem, respectivamente, 10 cm e 5 cm. Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do centro da esfera até a parede, em cm, é a) b) 5 c) 8 d) e) 5 1. (Uel 00) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura adiante. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? Despreze a espessura das barras. O comprimento de EF é a) 5. b). c). d) (ANGLO). e) 4. a) 1,50 m b) 1,75 m c),00 m d),5 m e),50 m 4

25 16-(ANGLO) 17-(ANGLO) GABARITO 1)A )B )B 4)D 5)A 6)D 7)A 8)D 9)A 10)B 11)A 1)D 1)C 14)D 15)D 16)B 17)A 11-POTÊNCIA DE PONTO CASO 1 CASO CASO PA.PB = PD.PC PA.PB=PC. PD PT² = PA.PB EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (CFTMG) Na figura, AB = 4, BC =, AC é diâmetro e os ângulos ABD e CBD são iguais. A medida da corda BD é 5

26 (9 5) a) + 1 b) 5 c) d) + 5 Nessa figura, o círculo tem centro O e raio 6 e OP=16. A reta PT é tangente ao círculo em T e o segmento TQ é perpendicular à reta OP. Assim sendo, o comprimento do segmento QP é a) 1,75 b) 1,85 c) 14,5 d) 14,5 4) O ponto P dista 17 cm de uma circunferência. Conduzindo-se por P um segmento de reta que é tangente à circunferência no ponto T. tem-se PT =15cm. A medida do raio desta circunferência em cm é: a)7 b)8 c)9 d)10 e)11. (CESGRANRIO) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da circunferência. O perímetro do triângulo AOC mede, em cm: 5.(ANGLO) a) 6 b) 45 c) 48 d) 50 e) 54. (UFMG) Observe esta figura: GABARITO 1)C )E )A 4)B 5)D 6

27 1-TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado posto em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes. EXERCÍCIOS BÁSICOS 1) Num triângulo MNP, a bissetriz interna MC do ângulo M determina no lado NP os segmentos NC NC e CP cuja razão é Sabendo-se que M = CP 1 cm, determinar a medida do lado MP. ) No triângulo ABC da figura, AD é bissetriz do ângulo A O perímetro desse triângulo é a) 8 b) 4 c) 6 d) 40 e) 4 GABARITO 1) 18 cm ) D 7

28 1-TEOREMA DA BASE MÉDIA (TRIÂNGULO E TRAPÉZIO) Unindo-se os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer, obtemos a base média de um triângulo. Consequências: a base média ( MN) é paralela a base AB e tem a metade do comprimento da base AB. EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (UNEMAT) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos médios dos lados AB e AC. O segmento MN mede 6 cm. A área do triângulo ABC mede: a) 18 cm b) 4 cm c) 0 cm d) 0 cm e) 6 cm GABARITO 1)E )B )C. (PUC) No triângulo ABC temos AB = 5, BC = 9 e AC = 10. Se P é o ponto médio de AB e Q é o ponto médio de BC, então o comprimento PQ é: a) 4 b) 5 c) 8 e) 9 ) (ANGLO) 8

29 14-RELAÇÕES MÉTRICAS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 1) a.h = b.c ) h² = m.n ) b² = a.m 4) c² = a.n 5) a² = b² + c² ( TEOREMA DE PITÁGORAS) EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Ufmg 006) Nesta figura, estão representadas três circunferências, tangentes duas a duas, e uma reta tangente às três circunferências: a) (1 ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) 5. (Fuvest 001) Um lenhador empilhou troncos de madeira num caminhăo de largura,5 m, conforme a figura a seguir. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros, é: Sabe-se que o raio de cada uma das duas circunferências maiores mede 1 cm. Então, é CORRETO afirmar que a medida do raio da circunferência menor é a) 1 cm. b) 1 4 cm. c) ( ) cm. d) ( ) 4 cm.. (Fgv 006) As bases de um trapézio isósceles medem 0 m e 6 m, e a soma das medidas dos lados não paralelos é 0 m. A medida da altura desse trapézio é: a) 6 m b) m c) 8 m d) 4 m e) 10 m a) (1 7) b) (1 7) c) (1 7) 4. (Puc-rio 004) A maior distância entre dois pontos de um retângulo de base 8 cm e altura 6 cm é: a) 14 cm b) 10 cm c) 7 cm d) 11 cm e) 1 cm d) 1 7 e) (Ufes 00) Três pontos A, B e C pertencem a uma circunferência de raio igual a 1. O segmento AB é um diâmetro e o ângulo, AB C mede 15. A medida da corda BC é 9

30 6. (Ufc 1999) No triângulo ABC a seguir, 'a' é a base, 'h' a altura relativa a esta base, e 'b' o lado oposto ao ângulo de 45. umbigo. Tomando AB como unidade de comprimento e considerando 5 =,, a medida C E da altura do umbigo da modelo é: a) 1, b) 1, c) 1,1 d) 1,0 9. (Uece 1999) A medida, em cm, da diagonal maior de um paralelogramo cujos lados medem 6 cm e 8 cm e o menor ângulo mede 60 é igual a: 10. (Unirio 1998) Se a + h = 4, então o valor mínimo de b é: a) 16. b) c) 4. d) 4 5. e) (Puc-rio 1999) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 61. A diferença entre os comprimentos dos dois outros lados é. Então o menor lado tem comprimento: a) 0. b) 7. c) 10. d) 5 6. e) (UERJ) Observe a figura: Na figura a seguir, o valor da secante do ângulo interno C é igual a: a) 5 b) 4 c) 5 4 d) 7 6 e) (UFRS) Na figura a seguir, o valor numérico do diâmetro AB é 5, e C é um ponto do círculo. Uma solução possível para os valores numéricos de AC e BC é Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveu fazer uma brincadeira: 1 0.) esticou uma linha AB, cujo comprimento é metade da altura dela; 0.) ligou B ao seu pé no ponto C; 0.) fez uma rotação de BA com centro B, obtendo o ponto D sobre BC ; 4 0.) fez uma rotação CD com centro C, determinando E sobre AC. a) 1 e 6 b) e c) 1 e 4 d) 1,5 e,5 e) 6 e Para surpresa da modelo, C E é a altura do seu 0

31 1-(ANGLO) NP. Se NS = 7 cm, NP = (1 - k 1 ) cm, SQ = k 1 cm e MN = K cm, então k 1 + k é igual a: a) 4 b) 45 c) 49 d) (G1 1996) Em um triângulo retângulo OAB, retângulo em O, com OA = a e OB = b são dados os pontos P em OA e Q em OB de tal maneira que AP = PQ = QB = x. Nestas condições, o valor de x é: 1. (Ufrs 1997) Dada a figura a) ab - a - b b) - a - b a + b - (ab) c) a b d) a + b + ab e) ab + a + b 18. (Mack) No triângulo retângulo em A da figura a seguir, h pode ser: Qual o valor de x? a),15 b),5 c),75 d),15 e),5 14. (G1 1996) Um quadrado e um triângulo equilátero têm perímetros iguais. Se a diagonal do quadrado mede 9 em metros é: a) m, então a altura do triângulo, b) c) d) 4 e) (ACAFE - SC) As projeções dos catetos de um triângulo retângulo sobre a hipotenusa medem 9 dm e 16 dm. Neste caso os catetos medem: a) 15 e 0 b) 10 e 1 c) e 4 d) 8 e (UECE) Na figura a seguir, MNPQ é um retângulo e S é um ponto de base MQ tal que SP = a) a. b) a 4a. c) 4 5. d) a 5. e) a Num triângulo retângulo cujos catetos medem e 4 a hipotenusa mede: a) 5 b) 7 c) 8 d) 1 e) 1 0. Uma escada de 5 dm de comprimento se apóia num muro do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do muro, qual o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada? a) 4 dm b) 5 dm c) 6 dm d) 7 dm e) 8 dm 1

32 1. (Ufes) Na figura a seguir está representada uma circunferência com centro no ponto C e raio medindo 1 unidade de comprimento.a medida do segmento de reta AB nesta unidade de comprimento é igual a d) 8+4 e) (ANGLO) Um dos ângulos de um triângulo retângulo mede 0. Se o perímetro desse triângulo é ( )cm, a hipotenusa,em cm mede: a) 4 b)8 c)8 d) 16 e) 16 8.(ANGLO) a) 1 b) c) d) 1 e). No triângulo a seguir, o valor de x é: 9.(ANGLO) a) 14 b) 16 c) 18 d) 0 e). (UNIRIO) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro mede 57 cm, podemos afirmar que o maior cateto mede: a) 17 cm b) 19 cm ) 0 cm d) cm e) 7 cm 4. (Fei) Se em um triângulo os lados medem 9, 1 e 15 cm, então a altura relativa ao maior lado mede: a) 8,0cm b) 7,cm c) 6,0cm d)5,6 cm e) 4, cm 5. (CESGRANRIO) Os catetos b e c de um triângulo retângulo ABC medem 6 e 8, respectivamente. A menor altura desse triângulo mede: a) 4,0. b) 4,5. c) 4,6. d) 4,8. e) 5,0. 6. (ANGLO) Num triângulo retângulo a medida da hipotenusa é o triplo da medida de um dos catetos. Se o outro cateto mede 4 cm, o perímetro desse triângulo, em cm, é: a) 1+1 b) 8 c) 1 GABARITO 1)B )A )B 4)B 5)E 6)B 7)C 8)B 9)B 10)A 11)A 1)E 1)C 14)E 15)A 16)C 17)B 18)E 19)B 0)A 1)D ) x=14 )B 4)B 5)D 6)D 7)B 8)A 9)C

33 15-LEI DO COSSENO Vamos considerar o triângulo ABC onde traçamos a altura h relativa ao lado b. A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos. Repetindo a demonstração para os outros lados obtemos EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Fuvest 006) Na figura a seguir, tem-se AC =, AB = 4 e CB = 6. O valor de CD é lados 4 m e 6 m mede 10. A maior diagonal desse paralelogramo mede, em metros 4. (Ufpi 000) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60 e os lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e cm. O valor do perímetro deste triângulo, em centímetros, é: a) + 5 b) 5 + c) + d) + 7 e) a) 17 1 b) 19 1 c) 1 d) 5 1 e) (Uel 1999) Sobre uma circunferência λ, de centro O e raio r = cm, são marcados dois pontos A e B que determinam em λ uma corda de 6 cm de comprimento. A medida, em radianos, do menor dos ângulos AÔB é. (Ufscar 06) Se os lados de um triângulo medem x, x + 1 e x +, então, para qualquer x real e maior que 1, o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é igual a a) x / (x + 1). b) x / (x + ). c) (x + 1) / (x + ). d) (x - ) / x. e) (x - ) / x.. Um dos ângulos internos de um paralelogramo de a) 5 6 b) d) cm e) cm c) d) 4 e) 6 6. (Fei) Se em um triângulo ABC o lado AB mede cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC mede 60, então o lado AC mede: a) 7 cm b) 1 cm c) cm

34 7. (Cesgranrio) Os lados de um triângulo são, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale: a) 11/4 b) - 11/4 c) /8 d) - /8 e) - /10 8. (Ufg 010) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura a seguir. 10. (Fuvest) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC =. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN. 11. (Ufrj) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas. Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas. 1-(ANGLO) A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. 9. Na figura a seguir, determine o valor de x e o perímetro do triângulo. Gabarito: 1)E )E )B 4)C 5)B 6)B 7)B 8) 1000 m. 9) x = P = 7,5 cm 10) MN = 11/0 unidades de comprimento 11) d = 7 m 1)A 4

35 16-LEI DO SENO Considere o triângulo amarelo da figura. Vamos inicialmente calcular o valor do ângulo A. EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Uece) Em um triângulo, as medidas de seus lados, em metros, são três números inteiros consecutivos e a medida do maior ângulo é o dobro da medida do menor. A medida do menor lado deste triângulo é a) m b) 4 m c) 5 m d) 6 m. (Unicamp) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir.. (Fuvest) Na figura a seguir, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo â mede 60 e sen á = ( ) 4. a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N. b) Calcule o comprimento do segmento NB. 4. (Ufsm) Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância "d" é a) Determine sen OAB em função de AB. b) Calcule AB. 5

36 E que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. b) Sabendo que AD tem 0 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE. 7. (Unicamp 000) Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15. a) 50 m b) 50 ( 6) d) 5 6 m e) 50 6 m m c) 50 m 5. (Ufpe) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57 e ACB = 59. Sabendo que BC mede 0m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as aproximações sen(59 ) 0,87 e sen(64 ) 0,90) a) Quais são esses números? b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo. c) Sendo á e â os outros dois ângulos do referido triângulo, com â > á, mostre que sen α - sen < 1/4. 8. (Unicamp) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, AB =km, BC =1km e a medida do ângulo AB C seja de 15. a) Calcule o raio dessa circunferência. b) Calcule a área do triângulo ABC. 9. (Mack) Supondo = 1,7, a área do triângulo da figura vale: 6. (Unesp) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. a) 1,15 b) 1,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 1, (Cesgranrio) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 0. O seno do ângulo B vale: a) 1/ b) / c) /4 d) 4/5 e) 5/6 A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 4 e seny = 7. Deseja-se construir uma nova rodovia ligando as cidades D e 6

37 11. (Fuvest) A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90 e 60, respectivamente, como é mostrado na figura a seguir. Sabendo-se que a distância entre seus centros é igual a 1, determine os raios dos círculos. Gabarito: 1)B ) a) sen OAB = ( ) 4 AB [( 1) 1] b) AB = ) a) 1 km b) km 6 4)A 5) 9 metros. 6) a) BC = 70 km b) DE = 4 km 7) a), 5, 7 b) 10 c) No Triângulo 1-(ANGLO) Pela lei dos senos, tem-se: (sen β)/5 = (sen α)/ = (sen 10 )/7 (sen β - sen α)/(5-9) = /196 sen β - sen α < 1/4 8) a) R = 5 km b) S = km 9)D 10)B 11) R=; r= 1)C 7

38 17-PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO 1) INCENTRO O ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo, denominado de incentro, é eqüidistante dos lados sendo portanto o centro da circunferência inscrita no triângulo OBSERVAÇÃO IMPORTANTE CONSIDERE UMA CIRCUNFERÊNCIA DE DIÂMETRO d INSCRITA EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO DE MEDIDAS a, b e c. SE a e b SÃO CATETOS E c A HIPOTENUSA,TEMOS A RELAÇÃO a+b = d+c ) CIRCUNCENTRO O ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo, denominado de circuncentro, é eqüidistante dos vértices sendo portanto o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. )BARICENTRO O ponto de encontro das medianas, denominado de baricentro por ser o centro de massa do triângulo, está situado a uma distância do vértice igual à / do comprimento da mediana. 8

39 4) CIRCUNCENTRO As alturas de um triângulo se encontram num ponto denominado de ortocentro. EXECÍCIOS BÁSICOS 1. (Ufpi 000) No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC medem respectivamente 5 cm, 7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é:. (UNIRIO) a) 10 9 b) 9 8 c) 7 6 d) 4 e) 7 5. (Pucmg) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio cm. AD é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em centímetros, é: Na figura anterior, o triângulo ABD é equilátero, e seu lado mede m.; H é o ortocentro, sendo que os pontos F e G são os pontos médios dos lados AD e BD, respectivamente. Quantos rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura, se cada rolo possui 1m de fita? a) 18 b) 0 c) d) 4 e) 6 4. (UNITAU) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado: a) mediana. b) mediatriz. c) bissetriz. d) altura. e) base. 5-(ANGLO) a) b) 5 c) d) 5 e) 6 9

40 Gabarito: 1)D )A )E 4)D 5) C 18-ÁREAS DE POLÍGONOS 18.1-TRIÂNGULO R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo r é o raio da circunferência inscrita ao triângulo 40

41 18.-QUADRILÁTEROS TRAPÉZIO: PARALELOGRAMO RETÂNGULO LOSANGO QUADRADO 18.-HEXÁGONO REGULAR a A=

42 EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Fuvest 1989) A área de um triângulo de lados a, b e c é dada pela fórmula S = p p a p b (p c), onde p é o semiperímetro (p = a + b + c). Qual a área de um triângulo de lados 5, 6 e 7? a) 15 b) 1 c) 7 5 d) 10 e) 6 6. (Unesp 1997) A área de um triângulo isósceles é 4 15 dm e a altura desse triângulo, relativa à sua base, mede 15 dm. O perímetro desse triângulo é igual a a) 16 dm. b) 18 dm. c) 0 dm. d) dm. e) dm.. (Mackenzie 1997) O retângulo inscrito no triângulo isósceles A B C da figura tem área máxima. Então a área do triângulo assinalado AMN é: a) 16 b) 18 c) 9 d) 4 e) (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, AC e BD medem, respectivamente, 8 e 5. Então a área do quadrilátero ABCD é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 1 e) (G1 1996) (Escola Técnica Federal - RJ) A área do triângulo retângulo no qual a medida da hipotenusa é 1 cm e a de um dos catetos é 5 cm é igual a: a) 18 cm b) 65 cm c) 0 cm d) 9 cm e) 60 cm a) 0 b) 5 c) 40 d) 60 e) (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, o perímetro do triângulo equilátero ABC é 1 e o ponto P é médio do lado BC. Então a área do triângulo AED é: 5. (Ufpe 1996) Na figura a seguir CD = AB e a área do triângulo OAB é 8. Qual o valor da área do triângulo ODC? 4

43 a) b) c) 4 d) e) 8. (Ufmg 1994) Observe a figura. Nessa figura, o segmento AC é paralelo ao segmento ED, AB = BC = cm e BC ED =. A área do triângulo ABE é igual a cm. A área do trapézio BCDE, em cm, é a) 9 11 b) 6 c) 9 d) e) 1 a) d) 8. b) 5 6. e) 8.. c) (Cesgranrio 1990) Se, no trapézio retângulo ABCD da figura adiante, AB = BC = e á = π, então a sua área vale: 9. (Fuvest 1994) O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se que A e B são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm, vale: a) 4 b) 1 c) 5 d) 6 e) 10. (Fei 1994) Se os triângulos ABC e DEF são construídos de tal maneira que: DE = AB, EF = BC e DF = AC, podemos afirmar que a divisão da área do triângulo DEF pela área do triângulo ABC é igual a: a) 1 b) c) d) 4 e) 11. (Cesgranrio 1991) O triângulo ABC está inscrito em círculo cujo diâmetro BC mede 1 e cujos ângulos satisfazem a condição ˆB =Ĉ, conforme se vê na figura. A área desse triângulo ABC vale: a) d) 5. b). e) 5 6. c) 4 1. (Fuvest 1989) Os lados de um retângulo de área 1 m estão na razão 1:. Qual o perímetro do retângulo? a) 8 m b) 1 m c) 16 m d) 0 m e) 4 m.. Gabarito: 1)D )C )B 4)C 5)B 6)A 7)A 8)A 9)A 10)D 11)E 1)A 1)C 14)E 4

44 19-ÁREA DE CÍRCULO E SUAS PARTES 19.1-CÍRCULO: A = r² 19.- COROA CIRCULAR: A= R² - r² A área da coroa circular é a diferença das áreas entre os círculos concêntricos..r 19.-SETOR CIRCULAR: A r ÁREA DE UM SEGMENTO CIRCULAR: A= r sen 0 60 A área de um segmento circular é a diferença entre a área do setor circular e a área do triângulo. 44

45 EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Fatec 1998) Na figura a seguir tem-se uma circunferência C de centro O e raio de medida cm. Os pontos A e B pertencem a C, e a medida do ângulo AÔB é 45 A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é igual a a) 4 b) 4 c) 8 d) 8 e) 8 5. (Uel 1997) Na figura a seguir tem-se a reta r tangente à circunferência de centro C e o triângulo equilátero ABC, cujo lado mede 8 cm. a) 4. π b). π 4 c) 9 4. π d) 9. π 4 e) 9. π 1. (Cesgranrio 1998) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência de centro 0. Sabese que BC = 5 cm, AC = 10 cm e que os pontos A e B são diametralmente opostos. A área do círculo determinado por esta circunferência, em cm, é igual a: a) 15π/8 b) 15 /4 c) 15 / d) 15 e) 50. (Pucmg 1997) O comprimento de uma circunferência é o quádruplo do perímetro de um quadrado. A razão entre a área do quadrado e a área do círculo é: a) π/64 b) /7 c) /80 d) /10 e) /18 4. (Ufrs 1997) A altura de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência é cm. A razão entre a área desse triângulo e a área de um quadrado inscrito nessa mesma circunferência é 45 A área da região sombreada é, em centímetros quadrados, a) 5 π b) 48 c) 6 d) 0 e) 4 π 6. (G1 1996) (UNIRIO 9) A área da região hachurada vale: a) 1π b) 16 - c) 9 - d) 8 - e) 4-7. (Ufmg 1995) Observe a figura a seguir. Nessa figura, OA = 4, OB = e AB e AC tangenciam a circunferência de centro O em B e C.

46 A área da região hachurada é a) - b) - c) 4 - d) 4 - e) 4-8. (Uel 1995) A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é 9 cm. A área do círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados, a) divisor de 5. b) menor que 8. c) múltiplo de 5. d) quadrado perfeito. e) ímpar. 10. (Uel 1994) Um trapézio, inscrito numa circunferência de centro O, pode ser dividido em três triângulos equiláteros congruentes, como mostra a figura a seguir. Se a área do trapézio é 7 cm, então a área do círculo limitado por essa circunferência, em centímetros quadrados, é igual a a) 7 π b) π c) 6 π d) 4 π e) 48 π 9. (Uel 1994) Um rolo de tela com 8 m de comprimento será totalmente aproveitado para cercar um jardim com formato de setor circular como mostra a figura a seguir. Se a área do setor é 40 m e x é maior que y, então o raio do setor é um número a) 9 b) 16 c) 5 d) 6 e) 49 Gabarito: 1)C )B )A 4)E 5)E 6)D 7)C 8)A 90C 10)D 46

47 EXERCÍCIOS GERAIS 1-(ifsp 011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco é 100º e a do arco é 194º. O valor de x, em graus, é d) 8 < P < 14 e) 6 < P < 1. 5-(ESPM) A figura abaixo representa uma praça de forma triangular, sendo que o ângulo  é reto. Duas pessoas percorrem o contorno da praça a partir do ponto A, mas em sentidos contrários, até se encontrarem num ponto P do lado BC. Sabendo-se que elas percorreram distâncias iguais, podemos concluir que a distância do ponto P ao ponto A, em linha reta é de, aproximadamente: (adote 5 =,5) a) 5. b) 57. c) 61. d) 64. e) Na figura os triângulos ABD e ACD estão inscritos na circunferência de raio cm. A a) m b) 5m c) 7m d) 0m e) m. A B D 6- O ponto D é o centro de uma circunferência de 6cm de diâmetro. O triângulo ABC inscrito nesta circunferência possui base BC = 10cm e é isósceles. A área hachurada do círculo é igual,em cm², a : C Se ABD = 85, ADB = 1 e BAC = 9, então o lado CD, em cm, mede : a) 1 b) c) / d) e) - Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s. a)169π-15 b)44π c)149π-75 d)10π-15 e)6π-5 7-Um salão de festas na forma de um hexágono regular, com 10m de lado, tem ao centro uma pista de dança na forma de um círculo, com 5m de raio. Assinale o valor de α a) 0 b) 50 c) 40 d) 70 e) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x, x e x² +. Sendo P o perímetro desse triângulo, podemos afirmar que: a) P < 6b) P > 8 c) 4 < P < 8 47 A área, em metros quadrados, da região do salão de festas que não é ocupada pela pista de dança é: a)5(0 - π) b) 5(1 - π) c)5(6 -π) d)10(0 - π) e)10(15( - π)

48 8- Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5º. Então, seu maior ângulo mede, em graus, A) 10 B)10 C)140 D) 150 E) (VUNESP) Duas circunferências concêntricas α e β têm raios de 6cm e 6 cm respectivamente. Seja AB uma corda de β, tangente à α. A área da menor região delimitada pela corda AB e pelo arco AB mede, em cm² A) 9(π ) B) 18(π+ ) C) 18(π ) D) 18(π+ ) E) 16(π+ ) 10- Na figura, se o triângulo ABC é isósceles, a medida de AE é: 1- A figura mostra duas circunferências de raios 8cm e cm, tangentes entre si e tangentes à reta r. C e D são os centros das circunferências. Se é a medida do ângulo CÔP, calcule o valor do sen A) 1/6. B) 5/11 C) 1/ D) 8/ E) /8 14- Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 5m, BC = 40m e OB = 0m, conforme figura. a) b) 5/ c) 4/ d) / e) 11- O triângulo ABC é eqüilátero e o círculo de AD centro O tem raio 4 Se a área do círculo é π, a área do triângulo é: a) 1π b) 16 c)8 d)9π e) Na figura, cada vértice do losango ABCD é o centro de um arco de raio igual a 1. Se o ângulo de vértice A mede 60º e a área assinalada é igual a 8 - π, o lado do losango é igual a: A distância, em metros, do observador em O até o ponto P, é: A) 0. B)5 C)40 D) 45 E) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 1m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de: a) 18,8m b) 19,m c) 19,6m d) 0m e) 0,4m a) b) 4 c),5 d) 5 e) 4,5 48

49 16-Na figura ao lado, ABCD é um quadrado de 4cm de lado. Os segmentos AF e DE são perpendiculares e BE = 1cm. A área sombreada mede, cm²: - A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é : a) 5 b)6 c)7 d)8 e)9 -Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. a) 8, b) 7,86 c) 7,4 d) 6,84 e) 6,16 17-Um quadrado de área 0,07 m² tem, em metros, um perímetro igual a: a)0/ b)10/ c)0/9 d)40/ e)40/9 18- Numa circunferência de raio 5, uma corda perpendicular a um diâmetro separa esse diâmetro em duas partes, uma das quais mede. O comprimento da corda é: a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) Um retângulo xyzw está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles estão na figura a seguir. Logo, a área da região hachurada é a) b) 1- + c) d) 1+ - e) Na figura abaixo, os dois círculos de raios unitários são tangentes aos semi-círculos e aos lados do quadrado. A área desse quadrado é: a) 4,5 b) 49 c) 56,5 d) 64 e) 7,5. Logo, a área do retângulo xyzw é: a) 55 b) 80 c) 86 d) 6 e) 91 0-O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, 5-A figura representa uma marca onde os arcos têm centros nos vértices do quadrado de lado igual a 10cm. Se as partes clara e escura devem ter a mesma área, a medida do raio de cada arco deve ser: tem um lado medindo 0 cm, cujo ângulo oposto é de 15º. O comprimento da circunferência, em cm, é a) 0 ( 1 + ) b) 400( + ) c) 80(1 + ) d) 10( +5) e) 0( 1+ ) 1-Sobre uma circunferência de centro O e raio r= cm, são marcados dois pontos A e B que determinam uma corda de 6cm de comprimento. A medida, em radianos, do menor dos ângulos AÔB é a) 5 /6 b) / c) / d) /4 e) /6 49 considere, 5 a) 4,50 cm b) 4,40 cm c) 4,5 cm d) 4,15 cm e) 4,00 cm 6-Considere o triângulo de vértices A, B e C, sendo D um ponto do lado AB e E um ponto do lado AC. Se AB = 8cm, AC = 10 cm, AD = 4 cm e AE = 6

50 cm, a razão entre as áreas dos triângulos ADE e ABC é : a) 1/ b) /5 c) /8 d) /10 e) /4 7-A cidade D localiza-se à mesma distância das cidades A e B, e dista 10km da cidade C. Em um mapa rodoviário de escala 1: , a localização das cidades A, B, C e D mostra que A, B e C não estão alinhadas. Nesse mapa, a cidade D está localizada na intersecção entre A) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio 10cm. B) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio 1cm. C) as circunferências de raio 10cm e centros A, B e C. D) as bissetrizes de CÂB e CˆBA e a circunferência de centro C e raio 10cm. E) as bissetrizes de CÂB e CˆBA e a circunferência de centro C e raio 1cm. AC = cm A medida de DE, em centímetros, é igual a a) 1/ b)1 c) d) 1,5 e) 1- Na figura, ABC é um triângulo com AC = 0cm, AB = 15cm e BC = 14cm. 8-Na figura abaixo, os catetos do triângulo retângulo ABC medem 8 cm, sendo N e M pontos médios dos lados AC e AB, respectivamente. A circunferência tangencia os segmentos MB, BC e NM. Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo QR ABC, o quociente é igual a AR A) 0, B) 0,5 C) 0,4 D) 0,45 E) 0,5 Considerando π =,1, tem-se que a área da região hachurada, em centímetros quadrados, é igual a a) 11,6 b) 11,8 c) 1,4 d) 4, e) 7,6 9-Observe a figura: - O lado de um quadrado inscrito num círculo mede 1 m; a medida do lado do triângulo eqüilátero circunscrito, em metros, vale: a) 0 b) 0 5 c)4 5 d) 4 e) 40 -Considere que os ângulos de todos os cantos da figura abaixo são retos e que todos os arcos são arcos de circunferências de raio, com centros sobre os pontos em destaque. Nessa figura, a medida da hipotenusa AB e a do cateto AD do triângulo DBA são 1 e 5, respectivamente; C é o ponto médio de DB; os ângulos em A e em C medem a; e os pontos A, D e E são colineares. A medida do segmento DE é: A) 7,5 B) 9 C) 10 D) 14,4 0- Na figura abaixo, além das medidas dos ângulos indicados, sabe-se que B é ponto médio de AC e A área da região sombreada é igual a a) 4 b) 4 π c) 16 d) 16 π e) Se o diâmetro da semicircunferência abaixo mede 5cm AB mede 1cm e o ângulo ABC mede 90º, então a medida de BC é, em cm, igual a 50

51 O valor de a é: A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1. a) 1 b) c) d) e) 40- Na figura abaixo o ângulo x, em graus pertence ao intervalo 5- Na figura, ABCD é um paralelogramo cujo lado BC é tangente, no ponto B, à circunferência de diâmetro AD = 6. A área da região assinalada é: a) 11 b)1 c)9 d) 8 e) Na figura, se MB = 18cm e A, B e C são pontos de tangência, o perímetro do triângulo assinalado é, em metros, igual a: a) ( 0, 15 ) b) ( 15, 0 ) c) ( 0, 5 ) d) (5, 0 ) 41-O comprimento de uma mesa retangular é o dobro de sua largura. Se a mesa tivesse 45 cm a menos de comprimento e 45 cm a mais de largura, seria quadrada. Assim sendo, a área da mesa é, em m², de A) 1,6 B) 1,45 C) 1,58 D) 1,8 4-A bandeira representada ao lado mede 4m de comprimento por m de largura. A faixa escura cobre 50% da superfície da bandeira. A medida x vale: a) 0 b) c) 4 d) 6 e) 8 7-Um polígono regular tem 170 diagonais. A medida de um ângulo interno desse polígono é : a) 160º b) 161º c) 16º d) 165º e) 168º 8-A figura abaixo representa um terreno com a forma de um trapézio isósceles, cujas dimensões indicadas são dadas em metros. a) 1,0m b) 1,m c) 1,4m d) 1,6m e) 1,8m. 4- Em uma residência, há uma área de lazer com uma piscina redonda de 5m de diâmetro. Nessa área há um coqueiro,representado na figura por um ponto Q. Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de tangência T (da piscina) é 6m, a distância d = QP, do coqueiro à piscina, é: Pretende-se construir uma cerca paralela ao lado AB, de modo a dividir o terreno em duas superfícies de áreas iguais. O comprimento dessa cerca, em metros, deverá ser aproximadamente igual a A) 6 B) 9 C) D) 5 E) 7 9-A figura representa um retângulo subdividido em 4 outros retângulos com as respectivas áreas. 51 A) 4m B) 4,5m C) 5m D) 5,5E) 6m. 44-Os pontos A e B estão, ambos, localizados na superfície terrestre a 60 de latitude norte; o ponto A está a 15 45' de longitude leste e o ponto B a 56 15' de longitude oeste.

52 a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede km qual é o raio do paralelo de 60? b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo do paralelo de 60? [Use /7 como aproximação para π] 45- (VUNESP-06-J) A área do anel entre dois círculos concêntricos é 5πcm². O comprimento da corda do círculo maior, que é tangente ao menor, em centímetros, é A) 5/ B)5. C)5 D) 10 E) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 670km, podese afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente a) 16 horas. b) 0 horas. c) 5 horas. d) horas. e) 6 horas. 47- Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 10 km de A. Sabendo-se que P está 0 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro. 48- (VUNESP-06-J) Na figura, ABCD é um retângulo de base 10cm e altura 6cm. Os pontos E e F dividem o lado CD em três partes iguais. A área do triângulo AEF, em cm² é A)0/ B)8 C)10 D) 16 E)0 49-O triângulo MNP é tal que ângulo M = 80 e ângulo P=60. A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do ângulo externo P é: a) 0 b) 0 c) 40 d) 50 e) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos agudos formados vale 7. Então, qualquer dos ângulos obtusos formados mede: a) 14. b) 144. c) 148. d) 150. e) Um triângulo eqüilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 1,5 cm. Calcule: a) O comprimento de cada lado do triângulo. b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 5- Quatro triângulos congruentes são recortados de um retângulo de 11x1. O octógono resultante tem oito lados iguais. O comprimento do lado deste octógono é: a) b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 5- Na figura, α = 0, O é o centro da circunferência e AB é o lado do polígono regular inscrito na circunferência. Se o comprimento da circunferência é 4π, a área desse polígono é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 1 e) Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 780. O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a: a) 6 b) 69 c) 90 d) 97 e) A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C 1, que tangencia internamente a circunferência maior, de raio R e centro C. Sabese que A e B são pontos da circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que passa por C 1 e C. A área da região hachurada é: 5

53 A) 9π B) 1π C) 15π D) 18π E) 1π. 56- Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1 :. O ângulo menor desse paralelogramo mede A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 9 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: A) 6 B) 65 C) 66 D) 70 E) Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 780º. O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a: A) 6 B) 69 C) 90 D) 97 E) (MACK-06-J) Na figura, a circunferência de centro O tem raio 4cm, os pontos C, M e D são de tangência e M é o ponto médio de AB. A área assinalada, em cm², vale a) 9 b) 10 c) 1 d) 6 e) 8 6- Na figura, O é o centro da circunferência. O ângulo APB mede: a) 10 b) 10 c) 140 d) 150 e) Na figura, os ângulos assinalados são iguais, AC = e AB =6. A medida de AE é: a) 1 b) 18 c) 6 d) 16 e) Na circunferência da figura, de centro O, MN = OP..A razão entre as medidas dos ângulos QÔP e MÔN é: a)6/5 b)7/4 c) 9/5 d) / e) 5/4 64- No retângulo da figura, cosα vale: a) / b)1/ c) / d)1/ e)1/4 a)4/ b) / c) d) 5/ e) Na figura, a soma das áreas dos três quadrados é 18. A área do quadrado maior é: 65- Num triângulo retângulo de área 15 e hipotenusa 10 a altura relativa à hipotenusa mede: a) 4 b),5 c) d) e)4,5 66- Na figura, ABCDE é um pentágono regular, EF é paralelo a AB e BF é paralelo a AE. A medida do ângulo α é: 5

54 a) b) c) d) 4 e) 4 70-(FUVEST-06) Na figura ao lado, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta t passa por P, é tangente à circunferência e forma um ângulo α com a reta s. Se PQ = R, então cosα vale a) 7º b) 54º c) 60º d) 76º e) 6º 67-No triângulo ABC da figura, o lado BC mede 4,5 e o lado do quadrado DEFG mede. a) /6 b) / c) / d) / e) /5 A altura do triângulo ABC, em relação ao lado BC, mede: a) 7,5 b) 8,0 c) 8,5 d) 9,0 e) 9,5 68- Na figura, AB= AC e CE= CF. A medida de β é: 71- Se um círculo e um quadrado têm áreas iguais, então a razão entre o comprimento da circunferência do círculo e o perímetro do quadrado é: a) b) c) d)π e) π/ 7- Na figura, ABCD é um quadrado inscrito no triângulo EFG. Se a medida de FG é 10, o perímetro do quadrado é: a) 0 b) 15 c) 18 d) 16 e) 17 a) 90 b) 10 c) 110 d) 10 e) Na figura, a circunferência de centro O tem raio e o triângulo ABC é equilátero. Se PQ//BC, a área assinalada vale: 7- As bases de um trapézio isósceles medem 7 e 1. Se a altura do trapézio é 4, o seu perímetro é: a) 7 b) 5 c) 0 d) 0 e) Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 100%, a área do círculo ficará aumentada de: a) 00% b) 400% c) 50% d) 100% e) 00% 75- Um quadrado de área 0,07 m² tem, em metros, um perímetro igual a: a) 0/ b)10/ c) 0/9 d) 40/ e) 40/9 54

55 76- No setor circular da figura, α = 60 e M, N e P são pontos de tangência. Se o raio do setor é 1, a área do círculo de centro O é : a) b)4 c)5 d) 5/ e)7/ 80- Na representação em escala, os quadrados são iguais e cada centímetro representa 100km. Um avião sai da cidade A, faz escala na cidade C, chegando cidade B, conforme a figura. Das alternativas dadas, assinale o valor mais próximo, em km, da distância percorrida pelo avião, de A até B, passando por C. a) 18π b) 16π c) 9π d) 4π e) 1π 77- Na figura, se a área do quadrilátero ABCD é, o perímetro do triângulo eqüilátero ABC é: 8 a) 1000 b)950 c) 150 d) 1400 e) Um terreno retangular tem área igual a 1000m², sendo a largura igual a /5 do comprimento. Seu perímetro, em metros, é: a) 19 b) 184 C) 140 d) 196 e) 04 a) b) / c) /8 d)6 e) /4 78- Um veículo percorre uma pista circular de raio 00m, com velocidade constante de 10m/s, durante um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais próximo da medida, em graus, do arco percorrido é: a) 90 b) 115 c) 145 d) 75 e) Na figura, a diferença entre as áreas dos quadrados ABCD e EFGC é 56. Se BE = 4, a área do triângulo CDE vale: 8- Na figura, AH = 4, BC = 10 e DC = 8. A medida de AB é: a) 4,8 b) 5, c) 5,0 d) 4,6 e) 5,4 8- Na figura, ABCD é um quadrado de lado e as curvas são arcos de circunferências com centros em D e em C. A área do triângulo DCE é: a) 18,5 b) 0,5 c),5 d) 4,5 e) 6,5 FG 79- Na figura, se AB= 5AD= 5FB, a razão DE vale: a) b) / c) d) /4 e)4 84- Considere um poste perpendicular ao plano do chão. Uma aranha está no chão, a m do poste, e começa a se aproximar dele no mesmo instante em que uma formiga começa a subir no poste.a velocidade da aranha é de 16cm por segundo e a da formiga é de 10cm por segundo. Após 5 segundos do início dos movimentos, a menor distância entre a aranha e a formiga é, em metros a),0 b)1, c)1,5 d), e) 1,8 55

56 85- Numa circunferência de raio 5, uma corda perpendicular a um diâmetro separa esse diâmetro em duas partes, uma das quais mede. O comprimento da corda é: a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) Na figura, AB é diâmetro da semicircunferência de centro O. a) 8 b) 10 c) 1 d) 14 e) 16 Se AB mede, a área assinalada vale: a)π/ b) π/4 c) π/6 d)π e) π/8 87-Num paralelogramo, a diagonal maior mede 7 e um ângulo interno mede 60. Se a medida de um lado é o dobro da medida do outro, o perímetro desse paralelogramo é igual a: a) 9 b) 6 c) 8 d) 10 e) Na figura, CB é diâmetro, os menores arcos AC e CD medem 60 e a área do quadrilátero ACDB é 4 A medida de AB é : 91- Na figura, as circunferências têm o mesmo centro O e os menores arcos AB e EF são tais que AB = EF = 40º. A medida do menor arco CD é: a) 50º b) 70º c) 65 d) 60º e) 80º 9- Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e M é ponto médio de AD. Considerando-se x a medida da área do triângulo AEM e y a medida da área do triângulo AEB, é válido afirmar-se que: a) b) c) d) e)/ 89- Na figura, AB = AC, AD= AE e CDE = 10. O ângulo α mede: a) x = y b) x =y c) x = y d) x = y e) 4x = y 9- Na figura abaixo o raio da circunferência maior é o triplo do raio da menor. A reta s é tangente às duas circunferências. A reta t é tangente às duas circunferências, no mesmo ponto. Quanto vale cos a) 10 b) 15º c) 0º d) 5º e) 0º 90- Na figura, se r // s, AB = 4, BC =, CD = e CF = 5, a área de CDEF é: a)1/ b)1/ c) d) e) 56

57 94- Uma praça possui a forma da figura, onde ABCE é um quadrado, CD = 500m, ED = 400m. Um poste de luz foi fixado em P, entre C e D. Se a distância do ponto A até o poste é a mesma, quando se contorna a praça pelos dois caminhos possíveis, tanto por B como por D, conclui-se que o poste está fixado a estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma distância das duas estações. A distância do restaurante a cada uma das estações deverá ser, em metros, de A) 575 B)600 c) 65 D) 700 E) Os dois maiores lados de um triângulo retângulo medem 1dm e 1dm. O perímetro desse triângulo é, em dm: a) 6 b) 5 c) 4 d) e) 0 A) 00m do ponto C. B) 00m do ponto D. C) 75m do ponto D. D) 50m do ponto C. E) 175m do ponto C. 95-O número de diagonais de um polígono convexo x x de x lados é dado por N(x)=. Se polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 96-Uma piscina retangular, de 6m de largura por 1m de comprimento, é contornada por uma superfície ladrilhada de m de largura, porém tendo os cantos formando triângulos, como mostra a figura. 100-As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são, respectivamente, 0 cm e 40 cm. A altura relativa à hipotenusa mede: a) 4 b) 0 c) 1 d) e) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é: a) 5/6. b) 4/5 c) /4 d) / e) 1/ No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 0. O seno do ângulo B vale: a) 1/ b) / c) /4 d) 4/5 e) 5/6 10- O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km². Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre: a) 00m e 01m b) 0m e 1m c)401m e 40m d)6m e 6m e)80m e 80m. 104-Um triângulo tem lados 0, 1 e 9. O raio da circunferência a ele circunscrita vale: a) 8 b) 8,5 c) 10 d)1,5 e) 14,5 A área (em m²) dessa região ladrilhada, que está marcada na figura, é A) 7. B)80 C)88 D) 10 e)15 97-A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5m mede m. 105-O retângulo ABCD tem área igual a 60cm². Sabendo-se que E é um ponto do lado CD, podemos afirmar que a área do triângulo ABE é: a) 0 b) 40 c) 50 d) 40 e) Na figura, a reta r é paralela ao segmento AC, sendo E o ponto de intersecção de r com a reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED é 1,então a área do triângulo BCE é: A altura do prédio, em metros, é A) 5 B)9 C)0 D) 45 E)75 98-Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600m de uma estrada reta. Uma 57 a) 6 b)7 c)8 d) 9 e)10

58 107- Quantos lados tem um polígono regular com exatamente 5 diagonais? A) 6 B) C)10 D) 1 E) Sobre um assoalho com 8 tábuas retangulares idênticas, cada uma com 10cm de largura, inscrevese uma circunferência, como mostra a figura. a)π/+ b) π+ c) π + d) π + 4 e) π Na figura, ABC é um triângulo retângulo de catetos AB = 4 e AC = 5. O segmento DE é paralelo a AB, F é um ponto de AB e o segmento CF intercepta DE no ponto G, com CG = 4 e GF =. Assim, a área do triângulo CDE é: Admitindo que as tábuas estejam perfeitamente encostadas umas nas outras, a área do retângulo ABCD inscrito na circunferência, em cm², é igual a A)1600 B)100 C)800 D)1400 E) Um programa de rádio é gerado em uma cidade plana, a partir de uma central C localizada 40km a leste e 0km a norte da antena de transmissão T. C envia o sinal de rádio para T, que em seguida o transmite em todas as direções, a uma distância máxima de 60km. O ponto mais a leste de C, que está 0km a norte de T e poderá receber o sinal da rádio, está a uma distância de C, em km, igual a A) 0( -1) B)0 1 C)40( -1) D)40 1 E) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo a é: a) 16/ b) 5/6 c) 9/8 d) 40/9 e) 70/9 11-Na figura abaixo, ABC é um triângulo isósceles e retângulo em A e PQRS é um quadrado de lado. Então, a medida do lado AB é: a) 1 b) c) d) 4 e) Na figura seguinte, E é o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e q é o ângulo agudo BEC. Se EA = 1, EB = 4, EC = e ED =, então a área do quadrilátero ABCD será: a) º b) 4º c) 6º d) 8º e) 40º a) 1sen b) 8sen c) 6sen d) 10cos e) 8cos 111-Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio. Então a área da região hachurada é: 58

59 115-(FUVEST-07) A figura representa um retângulo ABCD, com AB = 5 e AD =. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto de interseção da diagonal ACcom o segmento BE. Então a área do triângulo BCF vale a) /8 b) /4 c) / d) /4 e) 10-(FUVEST-07) Uma fazenda estende-se por dois municípios A e B. A parte da fazenda que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em B ocupa 1% da área desse município. Sabendo-se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre a área da parte da fazenda que está em A e a área total da fazenda é igual a a)/9 b)/9 c)4/9 d)5/9 e)7/9 a) 6/5 b)5/4 c) 4/ d) 7/5 e) / 116-(MACK-06-J) No triângulo abaixo, temos AB = BC e CD = AC. Se x e y são as medidas em graus dos ângulos A e B, respectivamente, então x + y é igual a 11-(FUVEST-07) Na figura, OAB é um setor circular com centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD é tangente em X ao arco de extremos A e B do setor circular. Se AB= e AD=1então a área do setor OAB é igual a a) 10 b) 110 c) 115 d) 95 e) (IBMEC-06-J) Em um triângulo ABC, AB = 1cm, BC= cm e o ângulo C mede 0. Se P é o perímetro do triângulo ABC, em centímetros, então: a) P <,0. d) 4,0 <P <5,5. b),0 <P <4,0. e) P <4,5. c),5 <P <5,0. a) / b) / c) 4 / d)5 / e)7 / 1-(UNIFESP-08) Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles você usa para formar o círculo da figura I, e o outro você corta em partes iguais para formar os três círculos da figura II. 118-(UNIFESP-07) Em um triângulo com lados de comprimentos a, b, c, tem-se (a + b + c)(a + b c) = ab. A medida do ângulo oposto ao lado de comprimento c é A) 0 B) 45º C) 60º D) 90 E) 10º 119-(FUVEST-08) No retângulo ABCD da figura tem-se CD = e AD =. Além disso, o ponto E pertence à diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EFé perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF mede Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por A) S = s. B) S = 4s. C) S = 6s. D) S = 8s. E) S = 9s 1-(UNIFESP-08) Tem-se um triângulo eqüilátero em que cada lado mede 6cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede a) b) c)4 d) e) 14-(UNIFESP-08) A soma de n 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1900º. O ângulo remanescente mede A) 10. B) 105. C) 95. D) 80. E)

60 15-(UNIFESP-08) Na figura, o ângulo C é reto, D é ponto médio de AB, DE é perpendicular a AB, AB = 0cm e AC = 1cm comum aos dois triângulos, em centímetros quadrados, é igual a A área do quadrilátero ADEC, em cm², é A) 96. B) 75. C) 58,5. D) 48. E) 7,5. 16-(UNIFESP-07) De um cartão retangular de base 14cm e altura 1cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada a)6 b)4 c)6 d)1 e)1 19-(UNIFESP-07) Se um arco de 60º num círculo I tem o mesmo comprimento de um arco de 40º num círculo II, então, a razão da área do círculo I pela área do círculo II é a)/9 b)4/9 c)/ d)/ e)9/4 10-(UNIFESP-07) A figura mostra um arco parabólico ACB de altura CM = 16cm, sobre uma base AB de 40cm. M é o ponto médio de AB. O valor de x em centímetros, para que a área total removida seja mínima, é A) B). C)1,5. D)1. E)0,5. 17-(UNIFESP-07) A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio 1cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia não escorregue A altura do arco em centímetros, em um ponto da base que dista 5cm de M, é A) 15. B) 14 C) 1 D) 1. E) (VUNESP-08) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4km e 5,7km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, o seu raio, em centímetros, deve ser A) 8 B)7 C) 6. D) 5. E) 4. Se o ângulo XYZ é o dobro do ângulo X W Z, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é: A) 7,5. B) 5,7 C) 4,7 D) 4,.. E),7 18-(UNIFESP-07) Dois triângulos congruentes ABC e ABD, de ângulos 0, 60 e 90, estão colocados como mostra a figura, com as hipotenusas AB coincidentes. Se AB = 1cm, a área 60

61 1-(VUNESP-07) A figura representa um triângulo retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo. Para esses filmes serem exibidos sem distorções, em uma TV tradicional de tela plana, cuja razão entre largura e altura é 4/, surgem faixas pretas na horizontal. A área ocupada pelas faixas pretas, em relação à área total da tela dessa TV, é a) 0% b) % c) 5% d) 8% e) 0% 17-(MACK-08) Na figura ao lado, a circunferência de raio 6 é tangente às retas r e s nos pontos P e Q.. Se AB = 15cm, AC = 0cm e AD = 8cm, a área do trapézio ABED, em cm², é A) 84. B) 96 C) 10. D) 150. E) (PUC) Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 1 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exatamente 7 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, enquanto que X navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era a) 45 b) 48 c) 50 d) 55 e) 58 A área da região sombreada é a) 8 b)6 + c) d) 8-4 e) (ESPM) Os retângulos ABCD e AEFG são congruentes e seus perímetros medem 18cm. O maior valor que a área sombreada pode ter é: (em cm²) 14-(UFSCAR) A figura representa três semicírculos, mutuamente tangentes dois a dois, de diâmetros AD, AC e CD. Sendo CB perpendicular a AD, e sabendo-se que AB = 4cm e DB = cm, a medida da área da região sombreada na figura, em cm², é igual a a) 18 b) 0 c) 4 d) 7 e) 6 19-(ESPM-07-J) Os triângulos ABC e BCD da figura abaixo são retângulos. A área do triângulo BCE, em centímetros quadrados, é igual a: A) 1,1 B) 1,5 C) 1,6 D) 1,44 E) 1,69 15-(ITA-08) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BÂC, mede 40. Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que ACE = 15. Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que DBC =5. Então, o ângulo EDB vale A) 5 B) 45 C) 55 D) 75 E) (MACK-08) Alguns filmes em DVD apresentam imagens, cuja razão entre largura e altura é 16/9. 61 a) 1,5 b) 15 c) 0 d) 17, e) 10

62 140-(ESPM-07) No triângulo ABC abaixo, os segmentos x, y, z e w possuem medidas inteiras de centímetros e são todos distintos entre si. A área desse triângulo, em cm², vale: a soma das medidas dos ângulos BCE, AD E e CED totaliza 10º. a) 64 b) 48 c) 9 d) 84 e) (ESPM-07) Na figura abaixo, cada quadrícula tem área igual a 1 m². A corda AB é tangente à Nessas condições, o ângulo DAB mede a) 5º b) 0º c) 5º d) 40º e) 45º 144-(IBMEC-08) No triângulo ADE da figura, em que B e C são pontos dos lados AD e AE, respectivamente, AB = AC, BC = BD e CD = CE. circunferência interna da coroa circular de centro O. A área dessa coroa vale: Então, a) x = 48º. b) x = 50º c) x = 5º. d) x = 54º e) x = 56º a) 11m² b)7m² c)10m² d) 8m² e) 9m² 145-(IBMEC-08) Na figura ao lado, ABCDEF é um hexágono regular de lado 4cm, PA = PB e PD = PE. Se a área do triângulo ABP é o triplo da área do triângulo PDE, então a distância entre os pontos P e E, em cm, vale 14-(IBMEC-08) Os triângulos da figura abaixo são equiláteros, todos os quadriláteros apresentados são quadrados e o polígono do meio é um hexágono regular. A razão entre a soma das áreas das regiões sombreadas e a soma das áreas das regiões em branco é igual a a) 7 b) 6 c) 5 d) e) a) /4 b) / c) d) e)4 146-(UNICAMP-08) Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas embarcações, podese abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão AB, conforme mostra a figura abaixo. Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda às questões abaixo 14-(IBMEC-08) Na figura abaixo: os segmentos AF e BF são congruentes; 6

63 a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1 equivale a 0 segundos, qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 1,5m, com relação à posição destes quando a ponte está abaixada? b) Se α = 75º, quanto mede AB? 147. (FUVEST 01) O segmento AB é lado de um hexágono regular de área. O ponto P pertence à mediatriz de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale é igual a. Então, a distância de P ao segmento AB a) b) c) d) e) 148-(UNICAMP-07) Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo  tem 90º e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC =. a) Determine r. b) Determine AB e AC. c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo 149-(GV-08-ADM) Num triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é o triplo da medida de um dos catetos. A razão entre a medida da hipotenusa e a medida do outro cateto é igual a: a) d) 1 b) e)9 4 c). A) 7º B)108º C)10º D)15º E) 144º 151-(GV-08-ECON) Em relação a um quadrilátero ABCD, sabe-se que med(bad) = 10º, med(abc) = med(ad C) = 90º, AB = 1 e AD = 46. A medida do segmento ACé A) 60 B) 6 C) 64 D) 65 E) 7 15-(GV-08-ECON) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA. O comprimento do segmento PC é A) 7. B) 8 C) 9. D) 10. E) (UNIFESP-09) O hexágono cujo interior aparece destacado em cinza na figura regular e origina-se da sobreposição de dois triângulos equiláteros. 150-(GV-08-ECON) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente. A medida do menor arco BE na circunferência construída é Se k é a área do hexágono, a soma das áreas desses dois triângulos é igual a: a) k. b) k. c) k. d) 4k. e) 5k. 154-(UEL-09) Um losango com lado 0 cm e um ângulo de 0 tem área de ( em cm²) : a) 57 b) 87 c) 00 d) 46 e) 400 6

64 155-(UNICAMP-09) A figura mostra um sapo de origami, a arte japonesa das dobraduras de papel. A figura à direita mostra o diagrama usado para a confecção do sapo, na qual se utiliza um retângulo de papel com arestas iguais a c e c. As linhas representam as dobras que devem ser feitas. As partes destacadas correspondem à parte superior e à pata direita do sapo, e são objeto das perguntas a 158-(FUVEST-09) A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a a) b) c) / d) e) /. a) Quais devem ser as dimensões, em centímetros, do retângulo de papel usado para confeccionar um sapo cuja parte superior tem área igual a 1cm²? b) Qual a razão entre os comprimentos das arestas a e b da pata direita do sapo? 156-(ITA-09) Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R = cm, sabe-se que o lado BC mede cm e o ângulo interno ABC mede 0º. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a a) b) 1/ c) d) e)0, (FUVEST-09) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. 159-(VUNESP-09) Paulo e Marta estão brincando de jogar dardos. O alvo é um disco circular de centro O. Paulo joga um dardo, que atinge o alvo num ponto, que vamos denotar por P; em seguida, Marta joga outro dardo, que atinge um ponto denotado por M, conforme figura. Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro O do alvo é PO= 10cm, que a distância de P a M é PM= 14cm e que o ângulo PÔM mede 10, a distância, em centímetros, do ponto M ao centro O é A) 1. B) 9. C) 8. D) 6. E) (FUVEST-10) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = /, então a área do paralelogramo DECF vale Além disso, (1) A, B, C e A, O, D são colineares; () AB = OB; () CÔD mede α radianos. Nessas condições, a medida de ABO, em radianos, é igual a a) - /4 b) - / c) - / d) /4 e) - / 64 A) 6/5 B)1/5 C) 58/5 D)56/5 E)11/5

65 161-(FUVEST-10) A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede 5, o ponto E está em CD e AF é bissetriz do 4 ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento DE mede 16. (col.naval 011) ABC é um triângulo equilátero. Seja P um ponto do plano de ABC e exterior ao triângulo de tal forma que PB intersecta AC em Q (Q está entre A e C). Sabendo que o ângulo APB ˆ é igual a 60º, que PA 6 e PC 8, a medida de PQ será a) 4 7 b) 5 c) 19 6 d) 14 e) ( cftmg 011) Referindo-se às afirmações seguintes, assinale (V) para as verdadeiras e, (F) para as falsas. A) D) B) E) C) (UNICAMP-10) O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia) é um brinquedo muito comum no Brasil. Afigura abaixo mostra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente. ( ) Dois triângulos semelhantes são sempre congruentes. ( ) Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes. ( ) Dois triângulos retângulos são sempre semelhantes. ( ) Dois triângulos retângulos isósceles são sempre congruentes. A sequencia correta encontrada é a) V, V, V, F. b) F, V, F, F. c) F, V, F, V. d) F, F, F, V ( cftmg 011) No loteamento Recanto Verde, um professor comprou uma chácara, cujo terreno tem forma retangular e dimensões 40m 90m. Ele pretende cercar essa área com estacas de cimento distanciadas de,5muma da outra. O número de estacas necessário para cercar todo esse terreno é a) 10 b) 10 c) 104 d) (Espm 011) Uma parede retangular cujo comprimento mede o dobro da altura, foi revestida com azulejos quadrados, inteiros e de mesmo tamanho, sendo que, em todo o contorno externo, foi feita uma faixa decorativa com 68 peças mais escuras, como na figura exemplo abaixo. a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio. b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D. 65 O número de azulejos mais claros usados no interior da parede foi de: a) 60 b) 46 c) 68 d) 1 e) (Ufpr 011) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.

66 Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45º com o piso horizontal. A distância entre a parede da casa e o muro equivale a A altura do suporte em B é, então, de: a) 4, metros. b) 4,5 metros. c) 5 metros. d) 5, metros. e) 5,5 metros. 168-(Eewb 011) Na figura, ANM é um triângulo e ABCD é um quadrado. Calcule a área do quadrado: AM = 4 cm NA = 6 cm a) metros. b) 1 metros. c) 4 metros. d) metros. 17-( ifsp 011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco é 100º e a do arco graus, é é 194º. O valor de x, em a),4 cm b),0 cm c) 1,6 cm d) 1,4 cm 169. (Ita 011) Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D e um ponto sobre AB e o triângulo ADC e isósceles, a medida do segmento AD, em cm, é igual a a) 4 b) 15 6 c) 15 4 d) 5 4 e) (col.naval 011) ABCD é um quadrado de lado L. Sejam K a semicircunferencia, traçada internamente ao quadrado, com diâmetro CD, e T a semicircunferencia tangente ao lado AB em A e tangente à K. Nessas condições, o raio da semicircunferencia T será a) 5L 6 b) 4L 5 c) L d) L 5 e) L 171-(Eewb 011) Uma pessoa caminhou 5 km para o norte, 5 km para o leste e 7 km para o norte, novamente. A que distância ela está do seu ponto de partida? a) 5 km b) 1 km c) 0 km d) 7 km 17-(Unicamp 011) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de 4 m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, tocando o muro paralelo à parede, conforme ilustração abaixo. 66 a) 5. b) 57. c) 61. d) 64. e) (col.naval 011) Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é 'k', pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será a) 5k b) 4k c) 4k 5 d) k e) k 175-(Ufpel 011) A área, em cm, de um hexágono regular de cm de lado, está no intervalo a) [10,15] b) [15,0] c) [0,5] d) [5,0] 176- (col.naval 011) Tem-se o quadrado de vértices ABCD com lados medindo k' cm. Sobre AB BM marca-se M, de modo que AM. Sendo N o simétrico de B em relação ao lado CD, verifica-se que MN corta a diagonal AC em P. Em relação à área ABCD, a área do triângulo PBC equivale a: a) 18% b) 4% c) 7% d) 0% e) 6%

67 177- (Ufpr 011) O retângulo ABCD foi dividido em nove quadrados, como ilustra a figura ao lado. Se a área do quadrado preto é 81 unidades e a do quadrado cinza 64 unidades, a área do retângulo ABCD será de: d) e) 180. (Ita 011) Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre AB. Considere as áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética cuja soma é 00 cm, a medida do segmento AE, em cm, é igual a a) 10 b) 5 c) 0 d) 5 e) (Uel 011) As quadras de tênis para jogos de simples e de duplas são retangulares e de mesmo comprimento, mas a largura da quadra de duplas é 4% maior do que a largura da quadra de simples. a) 860 unidades. b) 990 unidades. c) 104 unidades. d) 1056 unidades. e) 181 unidades (Insper 011) Na figura, em que as retas r e s são paralelas, A é um ponto que dista 1 de r e de s. Dada uma medida, em graus, tal que 0 90, tomam-se os pontos B e P sobre r e C e Q sobre s tais que m(abp) ˆ m(acq) ˆ. Considerando que a área da quadra de duplas é 66,64 m maior, a área da quadra de simples é: a) 89,00 m b) 106,64 m c) 168,00 m d) 196,00 m e) 6,58 m Nessas condições, a área do triângulo ABC é : a) tg. b) tg. c) tg cotg. d) cotg. e) cotg (Fuvest 011) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale 18- (Ita 011) Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda que AB é o diâmetro, BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo intercepta a circunferência no ponto D. Se e a soma das áreas dos triângulos ABC e ABD e é a área comum aos dois, o valor de, em cm, é igual a a) 14. b) 15. c) 16. d) 17. e) (Cpcar) 011) A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do Colégio Alfa. Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base BC mede 4 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para pintar 5400 cm. a) 1 b) c) 67

68 Adote π Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o círculo em todas as camisetas é igual a a) 9 b) 10 c) 11 d) (Uel 011) Observe a figura a seguir. a) 7 S 9 b) 5 S 8 c) S 4 d) S 186-(ifsp 011) A figura representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados consecutivos de um quadrado. Sabendo-se que a diagonal do quadrado mede 8 cm, a área da figura, em centímetros quadrados, é igual a Adote Com base nessa figura, é correto afirmar: a) A área de ataque da quadra é 50% da área de defesa. b) As áreas de defesa somam 1/4 da área total da quadra. c) A área da quadra é 176 m. d) A razão entre a área de ataque e a área de defesa é de para. e) A diagonal da quadra mede 7 m. a) 7. b) 6. c) 54. d) 45. e) (Uel 011) Sabendo-se que o terreno de um sítio é composto de um setor circular, de uma região retangular e de outra triangular, com as medidas indicadas na figura ao lado, qual a área aproximada do terreno? 185- (cftmg 011) A figura abaixo representa o vitral de uma janela quadrada ABCD de área S, em que cada lado esta dividido em três segmentos congruentes. Retirando-se os quatro triângulos sombreados, obtém-se um octógono, cuja área é a) c) e) 8,8 km b) 56,7 km d) 60,5 km 45, km 58,78 km 68

69 188-(Uftm 011) O quadrilátero ABCD foi dividido em duas regiões, P e Q, conforme mostra a figura, sendo que a região P, com a forma de um triângulo equilátero, ficou com área igual a 9 km. Com base nas informações acima, é correto afirmar que o valor de L é: a) primo b) divisível por c) ímpar d) divisível por (cftmg 011) Um parque ecológico com formato circular, cujo diâmetro AC mede 500 metros, tem entradas M, N e P que dão acesso ao espaço triangular ABC, reservado ao plantio de árvores, conforme figura abaixo. Considere π A razão entre as áreas das regiões Q e P, nessa ordem, é a) 1. 9 b) 1. 6 c) 1. 4 d) 1. e) (Ufrs 011) As figuras abaixo apresentam uma decomposição de um triângulo equilátero em peças que, convenientemente justapostas, formam um quadrado. O lado do triângulo mede cm, então, o lado do quadrado mede, em centímetros, a). b). c) 4. d). e). 190-(Ufu 011) Uma indústria de embalagens fabrica, em sua linha de produção, discos de papelão circulares conforme indicado na figura abaixo. Os discos são produzidos a partir de uma folha quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de cm. Se o lado BC do triângulo mede 00 m, então, a área do parque, externa ao espaço plantado, emm, é igual a a) b) c) d) (Uel 011) Determine a área da região hachurada, que é a região delimitada por um hexágono regular obtida pela intersecção das regiões delimitadas por dois triângulos equiláteros inscritos na circunferência cuja área é de π cm. Assinale a alternativa correta. a) d) cm 4 cm b) e) cm c) 6 cm 6 cm 69

70 19-(Uftm 011) Se a folha retangular ABCD for dividida conforme indicado na figura 1, obter-se-ão 6 quadrados (Q) congruentes. Entretanto, se a mesma for dividida conforme indicado na figura, obter-se-ão 6 retângulos (R) congruentes. Sabendo-se que o semiperímetro de cada retângulo R mede 65 cm, então a área da folha ABCD é igual a a) d) 0,54 m. b) 0,64 m. c) 0,81 m. e) 1,08 m. 0,7 m. 194-(Afa-011) As circunferências λ 1 e λ da figura abaixo são tangentes interiores e a distância entre os centros C 1 e C Se a área sombreada é igual à área não sombreada na figura, é correto afirmar que o raio de λ, em cm, é um número do intervalo. a) 11, 5 b) 11, 5 10 c) 5, 10 d) 5 1, 5 Observe as figuras acima e assinale a alternativa correta. a) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN são elementos típicos da produção poética brasileira da década de O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo BCJI. b) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN podem ser observados tanto no conteúdo semântico da palavra por ele formada quanto na simetria de suas formas geométricas. Por exemplo, as áreas do triângulo ABF e do retângulo BCJI são iguais. c) O poema ZEN pode ser considerado concreto por apresentar proporções geométricas em sua composição. O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo BCGF. d) O concretismo poético pode utilizar proporções geométricas em suas composições. No poema ZEN, por exemplo, a razão entre os perímetros do trapézio ADGF e do retângulo ADHE é menor que 7/10. e) Augusto dos Anjos e Manuel Bandeira são representantes do concretismo poético, que utiliza proporções geométricas em suas composições. No poema ZEN, por exemplo, a razão entre as áreas do triângulo DHG e do retângulo ADHE é 1/ (Ifsp 011) A figura representa duas circunferкncias, de centros B e D, tangentes no ponto C; os segmentos HB e FD, que sгo raios das circunferкncias dadas, com HB = 6 cm e FD = 4 cm, sгo perpendiculares aos diвmetros AC e CE, respectivamente; as semirretas AH e EF que se interceptam no ponto G; os pontos A, C e E alinhados (Fuvest 011) Poema ZEN, Pedro Xisto, Diagrama referente ao poema ZEN. 70

71 Nessas condiзхes, o perнmetro do triвngulo AEG, em centнmetros, й aproximadamente a) 6,8. b) 40,0. c) 48,. d) 5,4. e) 56, (Eewb 011) Um ciclista deu 100 voltas em uma pista que tinha a forma de um hexágono regular. Cada lado do hexágono media 15 m. Quantos quilômetros ele percorreu? a) 9 b) 90 c) 900 d) (Espm 011) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 0 diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do segmento AD é igual a: a) b) 1 c) 1 d) 1 e) 199-(Uftm 011) O maior relógio de torre de toda a Europa é o da Igreja St. Peter, na cidade de Zurique, Suíça, que foi construído durante uma reforma do local, em (Uel 011) Uma pista de corrida de 400 m é constituída por trechos retos e semicirculares, conforme a figura a seguir: Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre se mantenham na parte mais interna de suas raias, de modo a percorrerem a menor distância nas curvas, e que a distância medida a partir da parte interna da raia 1 até a parte interna da raia 8 seja de 8 m. Para que ambos percorram 400 m, quantos metros o atleta da raia mais externa deve partir à frente do atleta da raia mais interna? Dado: π =, 14 a) 10,00 m b) 5,1 m c),46 m d) 50,4 m e) 100,48 m 0-(Uerj 011) Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções dos deslocamentos das rodas mantêm sempre um ângulo de 60º. O diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à metade do diâmetro de sua roda dianteira. O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso. O mostrador desse relógio tem formato circular, e o seu ponteiro dos minutos mede 4,5 m. Considerando,1, a distância que a extremidade desse ponteiro percorre durante 0 minutos é, aproximadamente, a) 10 m. b) 9 m. c) 8 m. d) 7 m. e) 6 m. 00-(Epcar (Afa) 011) Na figura abaixo, têm-se quatro círculos congruentes de centros O 1, O, O e O 4 e de raio igual a 10 cm. Os pontos M, N, P, Q são pontos de tangência entre os círculos e A, B, C, D, E, F, G, H são pontos de tangência entre os círculos e a correia que os contorna. Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N 1 é o número de voltas dadas pela roda traseira e N o número de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eixos de rotação. N1 A razão é igual a: N a) 1 b) c) d) 4 Sabendo-se que essa correia é inextensível, seu perímetro, em cm, é igual a a) π 40 b) 5 π 16 c) 0 π 4 d) 5 π 8 0-(Unesp 011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e 71