Equação de Laplace. Pedro Henrique do Nascimento de Luzia.

Transcrição

1 Equação de Lapace Pedro Henrique do Nascimento de Luzia Universidade Federa Fuminense (UFF) Instituto de Matemática (IM) Departamento de Matemática Apicada (GMA) Rua Mário Santos Braga, S/N Vaonguinho Niterói, Rio de Janeiro, Brasi Dezembro, 010

2 Introdução No campo científico pode se encontrar um desafio de probemas matemáticos. Esses probemas conhecidos como equações diferenciais, na qua reaciona uma função a si mesma e a suas derivadas. Equações diferenciais quando ocorre em mútipas dimensões são chamadas de equações diferenciais, e será a discussão do trabaho. Na seção I é apresentada a dedução do operador apaciano em coordenadas esféricas, na seção II são apresentadas as Equações de Legendre e Legendre Associadas, com expicação de ortogonaidade e recorrência. Na seção III é apresentada a série de Fourier-Legendre, na seção IV começamos a demonstrar a soução das equações diferenciais, com a equação de Euer-Cauchy. Na seção V é apresentada a soução da equação de apace em coordenadas esféricas, com diversas condições de contorno.

3 I. Dedução Lapaciano (Coordenadas Esféricas): Caso Gera: Para coordenadas esféricas temos as reações:. No caso gera, e podem ser pensadas como funções de e : Assumindo que em domínio no espaço, estas funções têm derivadas contínuas e podem ser resovidas para e : Escohemos um ponto com coordenadas, também representado por em termos de e. Se e n e variarmos, obtemos uma curva (isa) passando por chamada. Iguamente obtemos a e a. Como mostrado na figura. Podemos ainda introduzir os vetores junto com as tangentes dessas curvas (na direção de crescimento de e ). Isto estabeece um sistema oca de eixos. Por conveniência e são escohidos de maneira que assumam a forma da mão direita. Esse sistema oca possui, em gera, as seguintes características que o distingue em reação aos cartesianos : 1) Eixos podem não ser ortogonais; e os ânguos entre ees podem variar de um ponto a outro. ) A orientação de (com respeito a ) pode variar de um ponto a outro, mesmo se os ânguos entre os eixos se mantiverem. 3) Os significados físicos de e podem não ser comprimento, e e não precisam ser iguais aos eementos de arco na respectiva direção. Podemos pensar em M definido peo vetor posição. Se e são funções de e, temos:

4 Variando por é o mesmo que variar, e por, e, o que é causado por variar e por e. Temos as seguintes reações gerais: Se movermos no sentido da, temos, e assume a forma: Isto define a derivada de com respeito ao parâmetro : Em seu significado, é vetor na direção. De maneira que pode ser representado como: A quantidade tem uma interpretação geométrica simpes: o comprimento do arco Eementa produzido quando apenas varia é dado por De maneira simiar são deduzidos:

5 Supondo agora que a trípice reações: é uma trípice ortogona, temos as Estas reações são satisfeitas pea maioria dos sistemas de coordenadas na física. Em particuar, é váido para sistemas esférico e ciíndrico. Esta anáise verifica a característica (1) dos eixos ocais, variando de ponto a ponto. Sendo essa principa característica de sistemas curviíneos. A característica (3) também é representada, já que aguns parâmetros representam ânguos. Como regra gera, o desocamento eementar sistema oca de eixos: decomposto ao ongo do por: Assumindo o sistema oca como ortogona, temos o eemento de arco dado Por exempo, no caso de coordenadas esféricas, h r = 1, h θ = r, h φ = r senθ Consideremos a anáise de coordenadas curviíneas, verificamos derivação das fórmuas peos usuais operadores diferenciais. Para expressar em termos dos novos eixos e novas variáveis, podemos começar com: E depois usar:

6 E ainda expressar em termos de. Uma maneira mais rápida é utiizar o enunciado: E reescrever na forma: Que segue imediatamente: Lembrando que é arbitrário, e que ao estabeecer obtemos: ( ) ( ), etc. O cácuo da divergência pode ser obtido da definição gera: Sem perda de generaidade, pode ser tirado como eemento de ados ao ongo das (fig??). Em gera o fuxo pea área Eementa orientada na direção é dada por: u. h m dm. h n dn Ao subtrair os fuxos através das áreas e, não esquecer que tanto quanto e são funções de. Deduzimos que fuxo externo através dessas duas faces é: (u h m h n )d dm dn Somando as contribuições anáogas das outras quatro faces e dividindo peo eemento de voume (que é ) obtemos: { } Em coordenadas esféricas encontramos com nesta ordem.

7 Então,,. Finamente, a expressão para o Lapaciano é obtida combinando as fórmuas para gradiente e divergente: No sistema esférico, após simpificação trivia: { }, - II. Equação de Legendre e Legendre Associada a. Equação de Legendre Em matemática, ao resovermos a fórmua de Rodrigues, as Funções de Legendre são as souções às Equações Diferenciais de Legendre: [ ] Esta equação é encontrada freqüentemente em Física e em outros campos técnicos. Em particuar, aparece quando se resove a equação de Lapace em coordenadas esféricas. A equação diferencia de Legendre pode ser resovida usando-se o método de série de potências. Em genera a série de potências obtida converge quando e no caso particuar de que n seja um inteiro não negativo as souções formam uma famíia de poinômios ortogonais, chamados Poinômios de Legendre. A cada poinômio de Legendre é um poinomio de grau n. Este pode ser expressar usando a Fórmua de Rodrigues:

8 Ao desenvovermos a fórmua de Rodrigues obtemos a seguinte expressão para os Poinômios de Legendre: * + b. Ortogonaidade Iremos mostrar que os poinômios de Legendre são funções de mutuaidade ortogonais em, isto é: * + { * + Podemos escrever os dois primeiros termos como: Assim, integrando a equação (1) e usando a equação (), temos:

9 Como o termo integrado é zero porque em e. O cochete na frente da integra não é zero. Então, a integra deverá ser zero, para que seja competada a prova, assim: associadas. Vamos agora observar uma importante apicação das funções de Legendre c. Equação de Legendre Associada Ta como o poinômio de Legendre, sua função associada pertence a um espaço de. Estes poinômios formam uma base para o espaço vetoria, poderemos, onde não for compicado envover processo de ortogonaização para prova a suposição acima. A equação diferencia reacionada à equação de Legendre é a seguinte: * + com. Podemos, utiizando o método de Frobenius, resover esta equação por séries. Contudo, é mais úti saber como as souções são reacionadas aos poinômios de Legendre, então nós devemos simpesmente verificar a soução conhecida. Primeiro substituiremos:

10 Obtemos: Para, esta é a equação de Legendre com souções. Diferenciando (3) temos: Mas esta é justamente a (3) com no ugar de u, é no ugar de, em outras paavras, se é soução de (3) com ; (x) é a soução de (3) com ; é a soução com, e em gera para todo, no intervao,, ( ) é a soução da equação (3), então: É a soução da equação (1). A função (5) é chamada de função de Legendre associada ou poinômio de Legendre associado e são denotados por: Um vaor negativo de em (1) não irá variar, então a soução de (1) para um vaor positivo de é também váida para seu correspondente negativo. Assim, podemos definir para como igua a. Aternativamente, nós podemos usar a fórmua de Rodrigues.

11 Para em (6) e assim obter: Para cada, as funções são na forma de funções ortogonais em. A constante de normaização ser avaiada. Pea definição nós achamos: As funções de Legendre apresentam-se nos mesmos probemas em que os poinômios de Legendre aparecem, de fato, os poinômios de Legendre são exatamente um caso especia no qua as funções tem. Iremos agora estudar agumas propriedades das funções de Legendre associadas. Antes, porém, devemos definir o produto interno: Seja {, uma sequência ortogona de poinômios em, indicada por um grau n; Então para cada n, é ortogona em para todos os poinômios de grau menor que n. Prova: Se indica o m-dimensiona subespaço de [a,b] consistindo em todos poinômios de grau menos que m, junto com o poinômio zero. Então, é i,a base ortogona para, e todo poinômio Q de grau, pode ser escrito na forma:

12 Onde:. Por isso: Então:, se k, segue que, como afirmamos. Todas as propriedades dos poinômios de Legendre vaem para os poinômios de Legendre associados. d. Recorrência Derivando m vezes a equação da Legendre associada obtemos: Ou mutipicando por : ( ) Sabemos que

13 O que nos permite escrever: De onde: Dita primeira fórmua de recorrência das funções associadas de Legendre. III. Série de Fourier-Legendre Ao trabaharmos com as funções de Legendre e as funções de Legendre Associadas, é extrema utiidade expandirmos ambas as funções em séries de Fourier. A essa expansão é dado o nome de Série Fourier-Legendre. Se e são seccionamente contínuas, então em todo ponto de continuidade de no intervao, existirá um desenvovimento em série de Legendre com a forma: integremos: Para determinarmos, mutipiquemos ambos os ados por e depois

14 Como o Poinômio de Legendre obedece à reação de ortogonaidade, temos: Logo: Então: IV. Equação de Euer-Cauchy A equação de Cauchy-Euer é a EDO da forma onde a e b são constantes. Vamos procurar uma soução da equação de Cauchy-Euer da forma. Substituindo na equação de Cauchy-Euer, Logo, é uma soução da equação de Cauchy-Euer, quando for uma raiz da equação agébrica.

15 No caso das equações de Cauchy-Euer, equação agébrica () desempenha o mesmo pape que a equação característica desempenhava para as EDO ineares homogêneas de coeficientes constantes. Temos agora que considerar 3 casos: a. Caso 1: Se () tiver duas raízes reais distintas, podemos construir duas souções inearmente independentes para (1). Exempo 1: Resover a EDO. Esta é uma equação de Cauchy-Euer. Procurando soução da forma, substituímos esta expressão na EDO (ou apicamos diretamente ()), encontrando: ou seja,, cujas raízes são e. Portanto, duas souções inearmente independentes para a EDO são e. A soução gera é b. Caso : Se () tiver raiz rea dupa. Neste caso, conhecemos uma soução da equação de Cauchy-Euer. Apicamos, então, o método de D'Aembert para descobrir uma segunda soução inearmente independente de. Procuramos da forma. Substituindo em (1), temos: Agrupando os termos, obtemos: = 0

16 Ou seja: Simpificando, temos: Note que a equação () se reescreve como raiz dupa é: Portanto, se ea tem raiz dupa, é porque. Neste caso, a Portanto,. Substituindo em (3), obtemos: que é redutíve à primeira ordem. Se fizermos, obteremos: Separando as variáveis, temos: Integrando e escohendo a constante de integração como sendo 0, encontramos, de onde segue,

17 Integrando mais uma vez, segue que e, portanto, Logo, se a equação agébrica () tem raiz rea dupa, duas souções inearmente independentes para a equação de Cauchy-Euer são e. Exempo : Resova a EDO A equação agébrica () toma a forma que tem raiz dupa. Portanto, duas souções inearmente independentes são e e a soução gera é: c. Caso 3: Se () tiver raízes compexas. Neste caso, as raízes são números compexos conjugados e,, sendo, portanto, raízes distintas. Apicando o primeiro caso, podemos construir duas souções inearmente independentes:

18 Note que acima, temos duas exponenciais compexas de base. Até este ponto, só tínhamos trabahado com exponenciais compexas de base. Para dar um significado às exponenciais compexas de base t > 0, usamos o fato que: Obtemos Apicando esta observação em (4), temos: ( ) ( ) O inconveniente destas duas souções é que não são reais. Para conseguir souções reais, vamos tomar combinações ineares convenientes. Souções reais inearmente independentes são dadas peas combinações ineares Exempo 3: Encontre duas souções reais inearmente independentes para a EDO: A equação agébrica () toma a forma

19 Ou seja, cujas raízes são e. Portanto, duas souções da EDO são e, dados por: ( ) Ou seja, Duas souções reais inearmente independentes são as combinações ineares Vae ressatar que a discussão acima sobre a equação de Cauchy-Euer foi resovida na semi-reta. As funções só estão definidas nesse domínio, pois e o domínio de é a semi-reta. Não é de se estranhar que isto aconteça, pois a equação de Cauchy-Euer não está em forma norma (o termo de derivada mais ata não está isoado). A forma norma da equação de Cauchy-Euer (1) é cujos coeficientes não estão definidos em t = 0. Portanto, a equação de Cauchy- Euer pode ser resovida na semi-reta ( ) (como fizemos acima) ou na semi-reta. Para resovê-a na semi-reta, substituímos as funções e

20 respectivamente por e. Excepcionamente, quando a equação agébrica () tiver raízes inteiras não negativas, podemos encontrar souções definidas em todo ( ). Isto aconteceu com uma das souções da equação do Exempo 1. V. Soução da Equação de Lapace em coordenadas esféricas a. Soução gera Em coordenadas esféricas temos que e a equação de Lapace corresponde: u 1 u 1 u u = r,θ, = r + senθ + = 0 1 r r senθ θ θ sen θ Supondo que: u r,θ, Rr Seja a soução do probema e para reaizar a separação de variáveis, derivamos o quanto for necessário e substituímos em (1) e simpificamos. Temos então: R" R' " ' 1 " cot 0 3 R R sen r r g Reorganizando a equação para podermos iguaar a um autovaor temos: R" R' " ' 1 " cot 1 4 R R sen r r g

21 R" R' r r 1 5 R R " ' 1 " cot g 1 6 sen Resovendo a equação (6) fazendo 1 : r R" R' r 7 R R r R rr R " ' 0 8 Resovendo (8) peo método Euer-Couchy e considerando ( ) chegamos ao resutado: R r B n n An r 9 r n 1 Partindo da equação (6): " ' 1 " cot g 1 10 sen " ' 1 " cot g 1 11 sen Mutipica-se (11) por sen e cada membro será igua a uma nova constante. " ' " sen sen cot g 1sen 1

22 sen sen g sen 1 " 0 13 " cot ' 0 14 Substituindo um autovaor ímpar temos: " m 0 15 sen " sen cot g ' ( sen ( n( n 1) m ) 0 16 Resovendo a EDO (16) temos que: A cos m B sen m 17 n n Resovendo (14) Dividindo por : m " cot g' ( n( n 1) 0 18 sen Fazendo a mudança de variáve : S cos 19 sen 1S 0 d d sen 1 d ds d d d sen cos d ds ds Substituindo (19), (0), (1) e () em (18) temos : d d m ds ds 1 S S S nn A equação (3) é a equação de Legendre cuja soução é :

23 m m A P cos B Q cos 4 n n n n Logo temos a soução gera do probema sendo: n B u r,θ, n m m An r cos cos cos n 1 An Pn BnQn An m Bnsen m r b. Soução para o potencia externo e interno da esfera considerando, quaquer que seja A partir da interpretação inicia do probema, vemos que ee possui uma simetria azimuta. Por isso, a soução gera do probema de potencia em todo o espaço é dada peo produto da função radia R(r) com o poinômio de Legendre: V n n r, A r P cos 1 n0 n B n 1 r n Sendo que os coeficientes e podem ser determinados se as condições de contorno são conhecidas. A partir da equação (1) cacuamos o potencia no espaço de uma esfera. Iniciamente, queremos o potencia interno cuja na superfície seu vaor é V independentemente dos ânguos. Apicando a condição de contorno vemos que no centro onde r = 0 o vaor de Bn = 0. Apicando a condição, temos: V a, A a n P cos V n0 n n

24 Isso é uma série de Fourier-Legendre. Em vez de usarmos a variáve x, podemos achar as fórmuas necessárias diretamente em função da variáve θ. Usando a substituição, achamos que a reação de ortogonaidade 1-1 Pn xpn' xdx = δ n+1 nn' torna-se: π 0 Pn cosθ Pn' cosθ senθdθ = δ n+1 Conseqüentemente, se mutipicarmos nossa série por e nn'. integrarmos em reação a θ de, obteremos os coeficiente desejado de Fourier- Legendre: π n +1 A n = n n a VP cosθ senθdθ. 0 Agora queremos cacuar o vaor do potencia externo a esfera com raio ( ). Apicando a condição de contorno vemos que no infinito o potencia tem que ser zero ogo An = 0. V B n 1 n 0 r n r, P cos 3 n Apicando a condição e cacuando de modo anáoga ao cacuado, vemos que vae: π n 1 a 0 n +1 Bn = VPn cosθdθ.

25 Para temos: V r, A r n P cos n0 π n +1 A n = n n a VP cosθ senθdθ. 0 n n Para temos: V B n 1 n 0 r n r, P cos B n π n 1 a 0 n +1 = VPn cosθdθ. A partir da interpretação inicia do probema, vemos que ee possui uma simetria azimuta. Por isso, a soução gera do para o potencia em todo o espaço é dada peo produto da função radia R(r) com o poinômio de Legendre: n -(+1) φ r,θ = A1r + Ar P cosθ 1 Mas, como o potencia é finito em quaquer do espaço, esta equação deve ser separada em uma soução interna e noutra externa aos hemisférios: φ r,θ = A1r P cosθ para r a -(+1) φ r,θ = A1r P cosθ para r a 3 Iniciamente iremos resover a equação () cujo raio é. A partir das condições de contorno temos: +V (0 θ < π / ) φa,θ = - V (π / < θ π)

26 Formamos uma série infinita destas souções: φ r,θ = 1 =0 A r P cosθ Tentamos assim determinar os coeficientes, de ta maneira que satisfaça a condição de contorno restante: φ a,θ = A ap cosθ. =0 Isso é uma série de Fourier-Legendre. Em vez de usarmos a variáve x, podemos achar as fórmuas necessárias diretamente em função da variáve θ. Usando a substituição, achamos que a reação de ortogonaidade 1-1 P x P x dx = δ +1 ' ' torna-se: π 0 P cosθp cosθ senθdθ = δ +1 ' '. Conseqüentemente, se mutipicarmos nossa série por e integrarmos em reação a θ de, obteremos os coeficientes desejados de Fourier-Legendre: π 1 a +1 0 Para nossa soução particuar A= φ a,θ P cosθ senθdθ. +V (0 θ < π / ) φa,θ = - V (π / < θ π)

27 Um raciocínio de simetria é úti: é anti-simétrica com reação à troca de posições Por outro ado, e, e como contém somente potências ímpares de, se for ímpar, e somente potências pares de, se for par, segue-se que π 0 φ a,θ P cosθ senθdθ = 0 (para = par) de maneira que somente estarão presentes poinômios ímpares. Para vaores ímpares de, π π/ φ a,θ P cosθ senθdθ = V 0 0 Necessitamos agora da integra π/ 0 P cosθ senθdθ = 1 0 P cosθ senθdθ P x dx. Usando a função geradora 1 1- xt + t =0 = tp x t <1 e integrando ambos os ados, obtemos: dx =0 1- xt + t = t P x dx. Cacuando o ado esquerdo expicitamente:

28 1 0 dx 1 1+ t =1- +, 1- xt + t t t Usando a fórmua do binômio: 1/ Γ 3 / 1+ t = t k = t k, k=0 k k=0 Γ k +1 Γ 3 / -k E fazendo, obtemos: Γ 3 / 1 1+ t t t Γ / +3 / Γ 1- / 1- + =1+ t, =impar De maneira que 1 0 e Γ 3 / P x dx = =1, 3, 5,... Γ / +3 / Γ 1- / A série resutante Γ 3 / 1 A = +1 V ( =1,3,5...) a Γ / +3 / Γ 1- / φ r,θ = V =1,3, π / r P cosθ a Γ / +3 / Γ 1- / Assim foi cacuado o potencia em uma esfera para um raio. Agora, para um potencia cujo raio o procedimento é anáogo ao descrito anteriormente para seguindo a equação (3). Assim o potencia será: φ r,θ = V =1,3,5... -(+1) +1 π / r P cosθ a Γ / +3 / Γ 1- /

29 Concusão Através desse estudo, pudemos entender um pouco mais sobre a Equação de Lapace, aém de suas pecuiaridades abordadas de forma específica nas diversas seções. Foi possíve também notar a grande importância da mesma para a descrição de fenômenos naturais. Com isso, pode-se afirmar que ta ferramenta é essencia para as sociedades poderem interagir com a natureza de maneira cada vez mais eficaz. Agradecimentos Aos amigos Anneys M. Schetinger, Victor Rios Siva, Bruno César Gimenez, Camia Pessanha, Dannie Sistons Nunes de Souza, Diego Trugiho Ferrari, Pedro Ga Fernande, Liziane Freitas Possmoser e Yuri Chagas Figueiró França peo empenho, dedicação e auxíio na eaboração, desenvovimento e concusão deste estudo. Ao professor Dr. Atair de Assis peo materia cedido para pesquisa e atenção assistida nos diversos itens enunciados. Referências [1] Murray R. Spiege, Anáise de Fourier, Coeção Schaum, Editora McGraw - Hi do Brasi Ltda,1976 [] D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuer, e F. W. Perkins, Introdução a Anáise Linear, Voume 3, Ao Livro Técnico S/A e Editora UNB, RJ, 197.

30 [3] Staney J. Farow, Partia Differentia Equations for Scientists and Engineers, John Wiey & Sons Inc., 198. [4] E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, RJ, 1978 [5] A. S. de Assis, Notas de Aua de Métodos I, 010 [6]