5.1. Metodologia de análise pelo Método das Forças

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1 5. MÉTODO DAS FORÇAS Na soução de uma estrutura hiperestática, conforme introduzido no Capítuo (Seção.), é necessário considerar os três grupos de condições básicas da Anáise Estrutura: condições de equiíbrio, condições de compatibiidade (continuidade interna e compatibiidade com os víncuos externos) e condições impostas peas eis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura. Formamente (veja a Seção..), o Método das Forças resove o probema considerando os grupos de condições a serem atendidas peo modeo estrutura na seguinte ordem: Condições de equiíbrio; Condições sobre o comportamento dos materiais (eis constitutivas); Condições de compatibiidade. Na prática, entretanto, a metodoogia utiizada peo Método das Forças para anaisar uma estrutura hiperestática é: Somar uma série de souções básicas que satisfazem as condições de equiíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibiidade da estrutura origina, para na superposição restabeecer as condições de compatibiidade. Cada soução básica (chamada de caso básico) não satisfaz isoadamente todas as condições de compatibiidade da estrutura origina, as quais ficam restabeecidas quando se superpõem todos os casos básicos. A estrutura utiizada para a superposição de souções básicas é, em gera, uma estrutura isostática auxiiar obtida a partir da estrutura origina pea eiminação de víncuos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principa (SP). As forças ou os momentos associados aos víncuos iberados são as incógnitas do probema e são denominados hiperestáticos. Essa metodoogia de soução de uma estrutura hiperestática peo Método das Forças vai ser expicada detahadamente na próxima seção. 5.. Metodoogia de anáise peo Método das Forças O objetivo desta seção é apresentar a metodoogia de anáise de uma estrutura hiperestática peo Método das Forças. Para faciitar o entendimento do método, esta apresentação é feita com base em um exempo, que é mostrado na Figura 5..

2 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A θ A = H B = B Figura 5. Estrutura utiizada para a descrição da metodoogia do Método das Forças. A configuração deformada do pórtico da Figura 5. é mostrada de forma exagerada (o fator de ampificação dos desocamentos da deformada é igua a ). Todas das barras da estrutura têm os mesmos vaores para área (A = 5 - m ) e momento de inércia (I = 5-4 m 4 ) da seção transversa, e para o móduo de easticidade (E = 8 kn/m ) do materia Hiperestáticos e Sistema Principa Para anaisar a estrutura com respeito às condições de equiíbrio, são mostradas na Figura 5. as cinco componentes de reações de apoio da estrutura. São três as equações do equiíbrio goba da estrutura no pano (veja a Seção.6 do Capítuo ): F = somatório de forças na direção horizonta igua a zero; x Fy = somatório de forças na direção vertica igua a zero; Mo = somatório de momentos em reação a um ponto quaquer igua a zero. Como a estrutura é hiperestática, não é possíve determinar os vaores das reações de apoio da estrutura utiizando apenas as três equações de equiíbrio que são disponíveis. O número de incógnitas excedentes ao número de equações de equiíbrio é definido como: g grau de hiperestaticidade. No exempo, g =.

3 Luiz Fernando Martha Método das Forças H B H A M A V B V A Figura 5. Componentes de reações de apoio da estrutura da Figura 5.. Conforme mencionado, a soução do probema hiperestático peo Método das Forças é feita pea superposição de souções básicas isostáticas. Para isso cria-se uma estrutura isostática auxiiar, chamada Sistema Principa (SP), que é obtida da estrutura origina hiperestática pea eiminação de víncuos. O SP adotado no exempo da Figura 5. é a estrutura isostática mostrada na Figura 5.. H B X θ A X Figura 5. Sistema Principa adotado para a soução da estrutura da Figura 5.. Observa-se na Figura 5. que foram eiminados dois víncuos externos da estrutura origina: a imposição de rotação θ A nua do apoio da esquerda e a imposição de H desocamento horizonta B nuo do apoio da direita. O número de víncuos que devem ser eiminados para transformar as estrutura hiperestática origina em uma estrutura isostática é igua ao grau de hiperestaticidade, g. A escoha do SP é arbi-

4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha trária: quaquer estrutura isostática escohida é váida, desde que seja estáve estaticamente. As Seções 5. e 5.4, a seguir, vão abordar a questão da escoha do Sistema Principa. Os esforços associados aos víncuos eiminados são as reações de apoio M A e H B, que estão indicadas na Figura 5.. Esses esforços são chamados de hiperestáticos e são as incógnitas da soução peo Método das Forças. Utiiza-se a nomencatura X i para indicar os hiperestáticos, sendo i o seu índice, que varia de a g. No exempo, tem-se: X = M A reação momento associada ao víncuo de apoio θ = ; X = H B reação horizonta associada ao víncuo de apoio =. Os hiperestáticos do exempo são mostrados na Figura 5. com sentidos que foram convencionados como positivos: momento positivo no sentido anti-horário e força horizonta positiva com sentido da esquerda para a direita. A H B 5... Restabeecimento das condições de compatibiidade A soução do probema peo Método das Forças recai em encontrar os vaores que X e X devem ter para, juntamente com o carregamento apicado, recompor os víncuos de apoio eiminados. Isto é, procuram-se os vaores dos hiperestáticos que fazem com que as condições de compatibiidade vioadas na criação do SP, H θ A = e B =, sejam restabeecidas. A determinação de X e X é feita através da superposição de casos básicos, utiizando o SP como estrutura para as souções básicas. O número de casos básicos é sempre igua ao grau de hiperestaticidade mais um (g + ). No exempo, isso resuta nos casos (), () e () que são mostrados a seguir. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SP O caso básico (), mostrado na Figura 5.4, isoa o efeito da soicitação externa (carregamento apicado) no SP. A figura mostra a configuração deformada (com fator de ampificação igua a ) do SP no caso (). A rotação δ e o desocamento horizonta δ, nas direções dos víncuos eiminados para a criação do SP, são chamados de termos de carga. Um termo de carga é definido formamente como: δi termo de carga: desocamento ou rotação na direção do víncuo eiminado associado ao hiperestático X i quando atua a soicitação externa isoadamente no SP (com hiperestáticos com vaores nuos). Neste exempo, os dois termos de carga podem ser cacuados utiizando o Princípio das Forças Virtuais (PFV), ta como mostrado na Seção 4... do Capítuo 4. Esse cácuo não está sendo mostrado por uma questão de simpicidade, pois o ob-

5 Luiz Fernando Martha Método das Forças jetivo aqui é apresentar a metodoogia do Método das Forças. Ao ongo deste capítuo serão mostrados diversos exempos de apicação do PFV para o cácuo de termos de carga e outros coeficientes. Os vaores dos termos de carga do exempo estão indicados na Figura 5.4. δ δ =,64 rad δ = + 5, m δ Figura 5.4 Soicitação externa isoada no SP da estrutura da Figura 5.. O sina negativo da rotação δ indica que a rotação tem o sentido contrário do que é considerado para o hiperestático X no caso () a seguir. Anaogamente, o sina positivo de δ indica que este desocamento tem o mesmo sentido que é considerado para o hiperestático X no caso () a seguir. Caso () Hiperestático X isoado no SP A Figura 5.5 mostra a configuração deformada (com fator de ampificação igua a ) do SP no caso (). O hiperestático X é coocado em evidência, já que ee é uma incógnita do probema. Considera-se um vaor unitário para X, sendo o efeito de X = mutipicado peo vaor fina que X deverá ter. A rotação δ e o desocamento horizonta δ provocados por X =, nas direções dos víncuos eiminados para a criação do SP, são chamados de coeficientes de fexibiidade. Formamente, um coeficiente de fexibiidade é definido como: δij coeficiente de fexibiidade: desocamento ou rotação na direção do víncuo eiminado associado ao hiperestático X i devido a um vaor unitário do hiperestático X j atuando isoadamente no SP. Os vaores dos coeficientes de fexibiidade do caso (), que estão indicados na Figura 5.5 foram cacuados peo PFV. Por definição, as unidades dos coeficientes de fexibiidade correspondem às unidades de desocamento ou rotação divididas pea unidade do hiperestático em questão.

6 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha x X δ X = δ = +,5 rad/knm δ =,6997 m/knm δ Figura 5.5 Hiperestático X isoado no SP da estrutura da Figura 5.. As mesmas observações feitas quanto aos sinais dos termos de carga podem ser feitas para os coeficientes de fexibiidade. Isto é, o sina da rotação δ é positivo pois tem o mesmo sentido do que foi arbitrado para X = e o sina do desocamento horizonta δ é negativo pois tem o sentido contrário ao que foi arbitrado para X = no caso () a seguir. Observe que o sina dos coeficientes δ ii (que têm i = j), sendo i o índice do hiperestático, sempre é positivo, pois esses coeficientes são desocamentos ou rotações nos próprios pontos de apicação de forças ou momentos unitários. Caso () Hiperestático X isoado no SP A Figura 5.6 mostra a configuração deformada (com fator de ampificação igua a 4) do SP no caso (). De maneira anáoga ao caso (), o hiperestático X é coocado em evidência, considerando-se um vaor unitário mutipicado peo seu vaor fina. A rotação δ e o desocamento horizonta δ provocados por X =, nas direções dos víncuos eiminados para a criação do SP, também são coeficientes de fexibiidade. As unidades destes coeficientes, por definição, são unidades de desocamento ou rotação divididas pea unidade do hiperestático X. Os vaores dos coeficientes de fexibiidade do caso () também estão indicados na Figura 5.6. Observe que os vaores de δ e δ são iguais. Isto não é coincidência. Os coeficientes δ ij e δ ji, sendo i e j índices de hiperestáticos, sempre serão iguais. Isso é demonstrado peo Teorema de Maxwe mostrado na Seção 4.. do Capítuo 4.

7 Luiz Fernando Martha Método das Forças 5 x X δ X = δ δ = + 6,8 m/kn =,6997 rad/kn Figura 5.6 Hiperestático X isoado no SP da estrutura da Figura 5.. δ Restabeecimento das condições de compatibiidade A partir dos resutados obtidos nos casos mostrados, pode-se utiizar superposição de efeitos para restabeecer as condições de compatibiidade vioadas na criação do SP. Isto é feito a seguir. Superposição das rotações do nó inferior esquerdo (nó A): δ + δ X + δ X = Superposição dos desocamentos horizontais no nó inferior direito (nó B): δ + δ X + δ X = Sistema de equações de compatibiidade: δ δ + δ X + δ X + δ X + δ X = =,64 + 5, +,5,6997 X X, ,8 X X = = A soução deste sistema de equações de compatibiidade resuta nos seguintes vaores das reações de apoio X e X : X = +,9 knm ; X = 7,9 kn. O sina de X é positivo pois tem o mesmo sentido (anti-horário) do que foi arbitrado para X = no caso () e o sina de X é negativo pois tem o sentido contrário (da direita para a esquerda) ao que foi arbitrado para X = no caso (), ta como indica a Figura 5.7.

8 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 7,9 kn,9 knm Figura 5.7 Vaores e sentidos dos hiperestáticos na soução da estrutura da Figura 5.. Os vaores encontrados para X e X fazem com que θ A = e B =. Dessa forma, atingiu-se a soução correta da estrutura, pois aém de satisfazer as condições de equiíbrio que sempre foram satisfeitas nos casos (), () e () também satisfaz as condições de compatibiidade. H 5... Determinação dos esforços internos A soução da estrutura não termina na obtenção dos vaores dos hiperestáticos X e X. Ainda é necessário obter os diagrama de esforços internos e os desocamentos da estrutura. Existem duas aternativas para isso:. Cacua-se uma estrutura isostática (o Sistema Principa) com o carregamento apicado simutaneamente aos hiperestáticos com os vaores corretos encontrados como se fossem forças e momentos apicados.. Utiiza-se a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos esforços internos (ou desocamentos) finais. Embora a primeira opção possa parecer mais simpes, a segunda opção é a que vai ser utiizada na maioria das souções. O motivo para isso é que no cácuo dos vaores dos termos de carga e dos coeficientes de fexibiidade peo PFV (Seção 4... do Capítuo 4) é necessário o conhecimento dos diagramas de esforços internos dos casos básicos (), () e (). Portanto, como os diagramas de esforços internos dos casos básicos já estarão disponíveis, os esforços internos finais da estrutura hiperestática origina são obtidos por superposição dos esforços internos dos casos básicos. Por exempo, os momentos fetores finais (M) podem ser obtidos pea superposição dos diagramas de momentos fetores (M i) dos casos básicos:

9 Luiz Fernando Martha Método das Forças 7 M = M +, + MD MD sendo que o diagrama M corresponde ao caso () e os diagramas M e M são provocados por vaores unitários dos hiperestáticos nos casos () e (), respectivamente. Esse resutado pode ser generaizado para todos os esforços internos esforços normais finais (N), esforços cortantes finais (Q) e momentos fetores finais (M) de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g: Sendo: N j = g j= N = N + N j X j ; (5.) j = g j= Q = Q + Q j X j ; (5.) j = g j= M = M + M j X j. (5.) diagrama de esforços normais no caso (), isto é, quando a soicitação externa atua isoadamente no SP; N j diagrama de esforços normais no caso (j) provocado por X j =, isto é, quando o hiperestático X j atua isoadamente no SP com vaor unitário; Q diagrama de esforços cortantes no caso (), isto é, quando a soicitação externa atua isoadamente no SP; Qj diagrama de esforços cortantes no caso (j) provocado por X j =, isto é, quando o hiperestático X j atua isoadamente no SP com vaor unitário; M diagrama de momentos fetores no caso (), isto é, quando a soicitação externa atua isoadamente no SP; M j diagrama de momentos fetores no caso (j) provocado por X j =, isto é, quando o hiperestático X j atua isoadamente no SP com vaor unitário. Na seqüência deste capítuo será mostrado como se cacuam os coeficientes que aparecem na formuação do Método das Forças peo PFV com base nos diagramas de esforços internos dos casos básicos. Nesta seção isso não foi feito pois o objetivo era apresentar a metodoogia gera de soução.

10 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 5.. Matriz de fexibiidade e vetor dos termos de carga O sistema de equações de compatibiidade da soução peo Método das Forças do exempo da seção anterior pode ser reescrito de uma forma matricia: δ + δ X + δ X = δ δ δ X + = δ + δ X + δ X =. δ δ δ X No caso gera de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g, pode-se escrever: { } + [ δ ]{ X} { } δ. (5.4) = Sendo: { δ } vetor dos termos de carga; [ δ ] matriz de fexibiidade; { X} vetor dos hiperestáticos. O número de equações de compatibiidade na reação matricia (5.4) é igua ao grau de hiperestaticidade da estrutura, sendo que cada equação restabeece o víncuo associado ao hiperestático genérico X i. O termo de carga δ i é o desocamento ou a rotação que aparece no víncuo eiminado associado ao hiperestático X i no caso (). O coeficiente δ ij da matriz de fexibiidade é o desocamento ou a rotação que aparece no víncuo eiminado associado ao hiperestático X i provocado por X j = no caso (j). Observa-se que o vetor dos termos de carga depende do SP escohido e da soicitação externa. Já a matriz de fexibiidade só depende do SP escohido. Portanto, se outro carregamento (ou quaquer outra soicitação) atuar, mantendo-se o mesmo SP, somente os termos de carga têm que ser cacuados novamente. O Método das Forças é assim chamado pois as incógnitas são forças (ou momentos). O método também é chamado de Método da Compatibiidade pois as equações finais expressam condições de compatibiidade. Ee também é denominado Método da Fexibiidade pois envove coeficientes de fexibiidade em sua soução. Duas observações podem ser feitas com respeito à matriz de fexibiidade. A primeira é que peo Teorema de Maxwe, mostrado na Seção 4.. (versão para forças generaizadas unitárias impostas, equação (4.4)), a matriz é simétrica. Ou seja: δ ji = δ ij. (5.5) A segunda observação é que os coeficientes de fexibiidade que correspondem a um dado caso básico casos () e () da seção anterior têm o mesmo índice j. Pode-se escrever então:

11 Luiz Fernando Martha Método das Forças 9 A j-ésima couna da matriz de fexibiidade [ δ ] da estrutura corresponde ao conjunto de desocamentos generaizados (desocamentos ou rotações) nas direções dos víncuos eiminados do SP provocados por X j = (hiperestático X j com vaor unitário atuando isoadamente no SP). 5.. Escoha do Sistema Principa para uma viga contínua No exempo da Seção 5., para se chegar ao Sistema Principa foram eiminados víncuos de apoio. Esta opção pode ser a mais intuitiva, mas não é a única. Em aguns casos, por uma questão de conveniência da soução, pode-se eiminar víncuos internos da estrutura hiperestática para a determinação do SP. Em outros casos, a única aternativa é a eiminação de víncuos internos. Esta seção anaisará uma estrutura com duas aternativas para o SP: uma eiminando víncuos externos de apoio e outra eiminando a continuidade interna na sua configuração deformada. No exempo adotado vai ficar caro que a segunda aternativa é a mais conveniente, pois resuta em cácuos bem mais simpes para a determinação dos termos de carga e coeficientes de fexibiidade. Isso acontece na maioria dos casos quando são introduzidas rótuas na estrutura para eiminar a continuidade interna de rotação. Considere a viga contínua mostrada na Figura 5.8, com três vãos e com uma carga uniformemente distribuída abrangendo o vão da esquerda. A rigidez à fexão da viga, EI, é fornecida. Pede-se o diagrama de momentos fetores da estrutura. Para o cácuo de desocamentos ou rotações é utiizado o PFV, cujo desenvovimento teórico foi mostrado no Capítuo 4 (veja Seção 4...). Nesse cácuo, não são considerados efeitos axiais (mesmo porque não existem esforços axiais na viga contínua) ou efeitos de cisahamento na energia de deformação. q Figura 5.8 Viga contínua com três vãos e carregamento uniformemente distribuído no primeiro vão. A estrutura da Figura 5.8 tem grau de hiperestaticidade g =. Para a resoução peo Método das Forças, duas opções para o Sistema Principa (SP) vão ser consideradas. O objetivo é caracterizar as diferenças que existem na escoha do SP. Na primeira opção são eiminados víncuos externos (víncuos de apoio) e na segunda são eiminados víncuos internos (continuidade de rotação).

12 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 5... Sistema Principa obtido por eiminação de apoios Nesta opção são eiminados os apoios internos da viga para se chegar ao SP. Os hiperestáticos X e X são as reações de apoio associadas a estes víncuos, ta como indicado na Figura 5.9. q X X Figura 5.9 Primeira opção para SP da estrutura da Figura 5.8. A soução peo Método das Forças recai em determinar os vaores que as reações de apoio X e X devem ter para que, juntamente com o carregamento atuante, os desocamentos verticais dos pontos dos apoios eiminados sejam nuos. Desta forma ficam restabeecidas as condições de compatibiidade externas eiminadas com a criação do SP. A metodoogia utiizada para impor as condições de compatibiidade consiste em fazer uma superposição de casos básicos utiizando o SP como estrutura auxiiar. Como a estrutura origina é duas vezes hiperestática, existem três casos básicos, ta como mostrado a seguir Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SP Neste caso somente a soicitação externa atua no SP e os vaores dos hiperestáticos são nuos (X = e X = ). A Figura 5. mostra a configuração deformada do caso (), onde os termos de carga δ e δ estão indicados, e o diagrama de momentos fetores, M, para este caso. q δ δ 5q/6 q/6 q /8 q /6 q /6 M Figura 5. Soicitação externa isoada no SP da Figura 5.9.

13 Luiz Fernando Martha Método das Forças 4 Os termos de carga no caso () têm a seguinte interpretação física: δ δ desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado peo o carregamento externo no caso (); desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado peo carregamento externo no caso () Caso () Hiperestático X isoado no SP Neste caso somente o hiperestático X atua no SP, sem a soicitação externa e com X =. Como o vaor do hiperestático X não é conhecido, cooca-se X em evidência no caso (), considerado como caso básico X = e mutipicando externamente pea incógnita X, ta como indicado na Figura 5.. A configuração deformada e o diagrama de momentos fetores do caso () estão mostrados na figura, onde os coeficientes de fexibiidade δ e δ estão indicados. Por definição, o diagrama de momentos fetores M é para X =. Os coeficientes de fexibiidade no caso () são interpretados fisicamente como: δ δ desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado por X = no caso (); desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado por X = no caso (). δ δ X = / / x X / / M Figura 5. Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.9.

14 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 5... Caso () Hiperestático X isoado no SP Neste caso somente o hiperestático X atua no SP, sem a soicitação externa e com X =. Anaogamente ao caso (), cooca-se X em evidência no caso (). A configuração deformada e o diagrama de momentos fetores, M (para X = ), do caso () estão mostrados na Figura 5., onde os coeficientes de fexibiidade δ e δ estão indicados. δ δ X = / / x X / / M Figura 5. Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.9. Os coeficientes de fexibiidade no caso () têm a seguinte interpretação física: δ δ desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado por X = no caso (); desocamento vertica no ponto do apoio eiminado associado a X provocado por X = no caso () Restabeecimento das condições de compatibiidade Com base na superposição dos três casos básicos, são restabeecidas as condições de compatibiidade que foram vioadas na criação do SP. O objetivo é restabeecer as condições impostas peos apoios eiminados, isto é, vai se impor que, na superposição, os desocamentos verticais finais dos pontos dos apoios são nuos: δ δ δ + δ δ X =. δ X O cácuo dos coeficientes que aparecem neste sistema de equações é feito com auxíio do PFV. Conforme visto na Seção 4... do Capítuo 4, o PFV trabaha com um sistema rea de deformação, do qua se quer cacuar um desocamento em a-

15 Luiz Fernando Martha Método das Forças 4 gum ponto, e um sistema de forças virtuais, com uma força apicada no ponto e na direção do desocamento que se quer cacuar. No presente exempo da viga contínua com três vãos, para o SP adotado, os desocamentos a serem cacuados são sempre os desocamentos verticais nos pontos dos apoios eiminados para a criação do SP. Portanto, os sistemas de forças virtuais adotados sempre serão forças unitárias apicadas nestes pontos. Observa-se que estes sistemas correspondem justamente aos casos () e () para os hiperestáticos X e X com vaores unitários. Dessa forma, os sistemas de deformação rea são os casos (), () e () e os sistemas de forças virtuais são os casos () e () com X = e X =, respectivamente. Cácuo de δ No cácuo do termo de carga δ peo PFV, o sistema rea de deformação é o caso () e o sistema de forças virtuais é o caso () com X =. Portanto, a expressão para este coeficiente, desprezando deformações por cisahamento, é (veja a Seção 4...): δ = MMdx = MMdx. EI EI viga A integra acima é cacuada para cada trecho da viga: M Mdx = MMdx + MMdx + MMdx. Esta integra é cacuada com base na Tabea 4. do Capítuo 4 para a combinação de diagramas de momentos fetores. Para tanto, os diagramas em cada trecho da viga são decompostos em parceas retanguares (que não existem neste caso), trianguares e parabóicas simpes, ta como indica a Figura 5.. Abaixo são mostradas as expressões das combinações das parceas dos diagramas. Em cada trecho, cada parcea no caso () é combinada com as outras parceas no caso (). Observa-se que os momentos fetores no caso () tracionam as fibras inferiores e no caso () tracionam as fibras superiores. Portanto, os sinais das integrais são negativos. O vaor fina para δ é mostrado em função de (comprimento de um trecho), q (taxa de carregamento distribuído) e EI (rigidez à fexão da viga). Isso resuta em: q q M M dx = 6 8 () () ; q q q q M M dx = () () () () ;

16 44 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha q M M dx = 6 () ; 4 q MMdx =. 4 O vaor fina de δ é: 4 q δ = MMdx =. EI 4EI M q /8 q /6 q /6 q /6 MMdx MMdx M M dx M / / / Figura 5. Combinação de diagramas de momentos fetores para o cácuo do termo de carga δ reativo ao SP da Figura 5.9. Cácuo de δ Este cácuo é anáogo ao cácuo do termo de carga δ. Para cacuar δ peo PFV, o sistema de deformação rea é o caso () e o sistema de forças virtuais é o caso () com X =, resutando em: δ = MMdx = MMdx. EI EI viga Esta integra é cacuada com base na combinação dos diagramas de momentos fetores em cada trecho da viga, ta como mostrado na Figura 5.4. As expressões para as integrais para cada trecho e o resutado fina para δ estão mostrados abaixo. Assim como para δ, os sinais são negativos pois os momentos fetores dos casos () e () tracionam fibras opostas:

17 Luiz Fernando Martha Método das Forças 45 q q M M dx = 6 8 () () ; q q q q M M dx = () () () () ; q M M dx = 6 () ; 5q 4 MMdx =. 4 Isso resuta em: 4 5q δ = MMdx =. EI 4EI M q /8 q /6 q /6 q /6 MMdx MMdx M M dx M / / / Figura 5.4 Combinação de diagramas de momentos fetores para o cácuo do termo de carga δ reativo ao SP da Figura 5.9. Cácuo de δ Para cacuar o coeficiente de fexibiidade δ peo PFV, o sistema rea de deformação e o sistema de forças virtuais coincidem: são o caso () com X =. Dessa forma,

18 46 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha δ = MMdx = MMdx. EI EI viga Esta expressão demonstra que o sina de δ é positivo, conforme foi mencionado anteriormente neste capítuo, na Seção 5.. (δ ii é sempre positivo, sendo i o índice do hiperestático). A combinação dos diagramas de momentos fetores estão mostradas na Figura 5.5 e as expressões para as integrais em cada trecho para o cácuo deste coeficiente são mostradas abaixo: M M dx = + () ; M M dx = () + () + () + () ; M M dx = + () ; 4 MMdx = +. 9 O vaor resutante para δ é: 4 δ = MMdx = +. EI 9EI / M / / M Mdx M M dx M M dx M / / / Figura 5.5 Combinação de diagramas de momentos fetores para o cácuo do coeficiente de fexibiidade δ reativo ao SP da Figura 5.9.

19 Luiz Fernando Martha Método das Forças 47 Cácuo de δ e δ No cácuo do coeficiente de fexibiidade δ peo PFV, o sistema rea de deformação é o caso () com X = e o sistema de forças virtuais é o caso () com X =. Para o cácuo do coeficiente de fexibiidade δ, os papéis dos casos () e () se invertem: o sistema de deformação rea é o caso () com X = e o sistema de forças virtuais é o caso () com X =. Isso resuta em: δ = MMdx = MMdx ; EI EI viga δ = MMdx = MMdx. EI EI viga Estas expressões demonstram que δ e δ são iguais, conforme foi mencionado anteriormente na Seção 5.. (δ ij = δ ji, sendo i e j índices de hiperestáticos). A Figura 5.6 mostra a combinação dos diagramas de momentos fetores; as expressões para as integrais em cada trecho e o cácuo fina destes coeficientes são mostrados abaixo. Observa-se que estes coeficientes são positivos pois os momentos fetores dos casos () e () tracionam fibras do mesmo ado (neste exempo são as fibras superiores): M M dx = M M dx = + () ; M M dx = M M dx = () + () + () + () ; M M dx = M M dx = + () ; 7 MMdx = MMdx = + ; 8 7 δ = δ = MMdx = MMdx = +. EI EI 8EI

20 48 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha / M / / MMdx M M dx M M dx M / / / Figura 5.6 Combinação de diagramas de momentos fetores para o cácuo dos coeficientes de fexibiidade δ e δ reativo ao SP da Figura 5.9. Cácuo de δ Assim como para δ, no cácuo do coeficiente de fexibiidade δ peo PFV, o sistema rea de deformação e o sistema de forças virtuais se identificam. Para δ, os dois sistemas são o caso () com X =. Isto resuta em: δ = MMdx = MMdx. EI EI viga Como mencionado, observa-se que o sina de δ é positivo. O cácuo deste coeficiente é feito através das integrais mostradas abaixo que resutam da combinação dos diagramas de momentos fetores mostrada na Figura 5.7: M M dx = + () ; M M dx = () + () + () + () ; M M dx = + () ; 4 MMdx = + ; 9

21 Luiz Fernando Martha Método das Forças 49 4 δ = MMdx = +. EI 9EI / M / / M Mdx M Mdx M M dx M / / / Figura 5.7 Combinação de diagramas de momentos fetores para o cácuo do coeficiente de fexibiidade δ reativo ao SP da Figura 5.9. Soução do sistema de equações de compatibiidade Com base nas expressões dos termos de carga e dos coeficientes de fexibiidade encontrados anteriormente, pode-se montar o sistema de equações de compatibiidade fina do Método das Forças para este exempo: δ 4 4 δ δ X q X + = + =. δ δ δ X EI 5 4 EI X A partir da soução deste sistema de equações determinam-se os vaores dos hiperestáticos X e X em função de (comprimento de um vão da viga) e q (taxa de carregamento distribuído): X X q = +. q = Observa-se que estes vaores independem do parâmetro EI (rigidez à fexão da viga), que foi eiminado na soução do sistema de equações acima.

22 5 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Reações de apoio e diagrama de momentos fetores finais Para finaizar a soução da viga contínua com três vãos, resta determinar o diagrama de momentos fetores finais. Conforme mencionado anteriormente neste capítuo (Seção 5..), este diagrama pode ser determinado de duas maneiras: Cacua-se o Sistema Principa com o carregamento apicado simutaneamente aos hiperestáticos X e X com os vaores corretos encontrados; Utiiza-se a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos momentos fetores finais: M = M + M X + M X. A segunda opção é em gera utiizada pois os diagramas de momentos fetores dos casos básicos já estão disponíveis (foram necessários para o cácuo dos termos de carga e dos coeficientes de fexibiidade). A Figura 5.8 mostra as reações apoio e os momentos fetores finais para esta estrutura. q q/ q/ q/ q/6 q /8 q /5 M q /6 Figura 5.8 Reações de apoio e diagrama de momentos fetores finais da estrutura da Figura Sistema Principa obtido por introdução de rótuas internas Nesta outra opção para o SP, são eiminados víncuos internos de continuidade de rotação da eástica (configuração deformada) da viga. Neste caso, são introduzidas duas rótuas nas seções dos dois apoios internos. Os hiperestáticos X e X são momentos fetores associados à continuidade de rotação da viga nestas seções, ta como mostrado na Figura 5.9.

23 Luiz Fernando Martha Método das Forças 5 X X X X Figura 5.9 Segunda opção para SP da estrutura da Figura 5.8. Seguindo a metodoogia do Método das Forças, a soução do probema recai em determinar os vaores que os momentos fetores X e X devem ter para que, juntamente com o carregamento atuante, fique restabeecida a continuidade de rotação da eástica da viga. Os mesmos passos mostrados para a soução considerando a opção anterior do SP (Seção 5..) são feitos para esta opção. Isto é mostrado a seguir Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SP q δ δ = q/ q/ δ δ q /8 M Figura 5. Soicitação externa isoada no SP da Figura 5.9. rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida ao carregamento externo no caso (); rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida ao carregamento externo no caso ().

24 5 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 5... Caso () Hiperestático X isoado no SP X = X = δ δ / / / x X M δ δ Figura 5. Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.9. rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida a X = no caso (); rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida a X = no caso () Caso () Hiperestático X isoado no SP X = X = δ δ / / / x X M δ Figura 5. Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.9. rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida a X = no caso ();

25 Luiz Fernando Martha Método das Forças 5 δ rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada a X devida a X = no caso () Restabeecimento das condições de compatibiidade Para esta opção do Sistema Principa, é preciso restabeecer as condições de continuidade de rotação nas seções onde foram introduzidas as rótuas. Isto é feito com base na superposição dos três casos básicos. As equações de compatibiidade vão impor que, na superposição, as rotações reativas entre as seções adjacentes a cada rótua sejam nuas, resutando em: δ δ δ X + =. δ δ δ X O cácuo dos coeficientes deste sistema de equações também é feito com auxíio do Princípio das Forças Virtuais (PFV). Para o Sistema Principa adotado, são cacuadas as rotações reativas entre as seções adjacentes a cada rótua introduzida na criação do SP. Portanto, os sistemas de forças virtuais adotados são sempre pares de momentos unitários apicados adjacentes às rótuas. Assim como para a primeira opção do SP (Seção 5..), observa-se que estes sistemas correspondem justamente aos casos () e () para os hiperestáticos X e X com vaores unitários. Assim, os sistemas de deformação rea são os casos (), () e () e os sistemas de forças virtuais são os casos () e () com X = e X =, respectivamente. Uma grande vantagem desta segunda opção do SP é a faciidade no cácuo dos termos de carga e dos coeficientes de fexibiidade. Este cácuo é mostrado abaixo com base na combinação dos diagramas de momentos fetores dos casos básicos mostrados anteriormente: q q δ = () () = ; EI 8 4EI δ = ; δ = ( )( )( ) ()()() = + EI + + ; EI δ = δ = ( )( )( ) = + EI + 6 ; 6EI δ = ( )( )( ) ( )( )( ) = + EI + +. EI

26 54 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O sistema de equações de compatibiidade resutante e a sua soução estão indicados abaixo: δ δ δ + δ δ X δ X q = EI 4 + EI 6 6 X X = ; X X q = + 5. q = 6 Observa-se que os vaores de X e X correspondem exatamente aos vaores dos momentos fetores nas seções dos apoios internos da viga contínua, conforme indicado na Seção Portanto, esta opção do SP acarreta, como não poderia deixar de ser, a mesma soução da estrutura hiperestática. Outra vantagem desta segunda opção do SP é a faciidade no traçado do diagrama dos momentos fetores finais. Nas seções onde foram introduzidas rótuas o vaor do momento fetor fina é o próprio vaor do hiperestático correspondente a cada rótua, como está indicado na Figura 5.8. O traçado do diagrama ao ongo das barras é obtido por uma superposição simpes dos diagramas dos casos básicos. No primeiro vão é uma superposição de um triânguo com uma paráboa, no segundo é uma superposição de dois triânguos e no terceiro é só um triânguo Escoha do Sistema Principa para um quadro fechado Na seção anterior foi anaisada uma viga contínua com duas opções para o SP: uma com eiminação de víncuos externos e outra com eiminação de continuidade interna. Esta seção estende este estudo para um quadro externamente isostático, mostrado na Figura 5., de ta maneira que, para a criação do SP, é necessário eiminar víncuos internos de continuidade. De acordo com a Seção.6 do Capítuo, o grau de hiperestaticidade do quadro é g =. Todas as barras têm os mesmos parâmetros de materia e de seção transversa. Neste estudo, apenas são discutidos os Sistemas Principais adotados e as interpretações físicas dos termos de carga e coeficientes de fexibiidade. A soução fina da estrutura não é mostrada, visto que isso é feito para diversos outros exempos no restante deste capítuo. Duas opções são adotadas para o SP da soução do pórtico da Figura 5. peo Método das Forças. Na primeira, o ane (circuito fechado de barras) é cortado, secionando-o em uma seção. Na segunda, são introduzidas rótuas internas.

27 Luiz Fernando Martha Método das Forças 55 P h S / / Figura 5. Pórtico pano externamente isostático e com hiperestaticidade interna devida a um ane Sistema Principa obtido por corte de uma seção A primeira opção para a criação do SP da estrutura da Figura 5. é feita secionando o ane na seção S indicada na figura. O SP resutante é mostrado na Figura 5.4. X X X X X X Figura 5.4 Primeira opção para SP do quadro da Figura 5.. Os hiperestáticos correspondentes a esta opção do SP também estão indicados na Figura 5.4. Ees são os esforços internos (de igação) na seção S. Os casos básicos da soução da estrutura peo Método das Forças com este SP são mostrados a seguir. Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SP A Figura 5.5 mostra o efeito da soicitação externa para o SP adotado. Vêem-se na figura as interpretações físicas dos termos de carga para este caso, sendo que: δ δ desocamento axia reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado pea soicitação externa no caso (); desocamento transversa reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado pea soicitação externa no caso () (no exempo, δ é nuo);

28 56 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha δ rotação reativa entre as seções resutantes do corte na seção S provocada pea soicitação externa no caso (). P δ δ P/ P/ Figura 5.5 Soicitação externa isoada no SP da Figura 5.4. Caso () Hiperestático X isoado no SP O caso () da soução com o SP adotado é mostrado na Figura 5.6, e as interpretações físicas dos coeficientes de fexibiidade correspondentes são: δ δ δ desocamento axia reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso (); desocamento transversa reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso () (no exempo, δ é nuo); rotação reativa entre as seções resutantes do corte na seção S provocada por X = no caso (). δ δ x X X = X = Figura 5.6 Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.4. Caso () Hiperestático X isoado no SP A Figura 5.7 mostra o caso () da soução para o SP adotado. Os coeficientes de fexibiidade podem ser interpretados como:

29 Luiz Fernando Martha Método das Forças 57 δ δ δ desocamento axia reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso () (no exempo, δ é nuo); desocamento transversa reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso (); rotação reativa entre as seções resutantes do corte na seção S provocada por X = no caso () (no exempo, δ é nuo). δ x X X = X = Figura 5.7 Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.4. Caso () Hiperestático X isoado no SP Finamente, o caso () desta opção do SP é indicado na Figura 5.8, cujos coeficientes de fexibiidades têm a seguinte interpretação física: δ δ δ desocamento axia reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso (); desocamento transversa reativo entre as seções resutantes do corte na seção S provocado por X = no caso () (no exempo, δ é nuo); rotação reativa entre as seções resutantes do corte na seção S provocada por X = no caso (). δ δ x X X = X = Figura 5.8 Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.4.

30 58 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Restabeecimento das condições de compatibiidade Dentro da metodoogia do Método das Forças, a superposição dos casos básicos (), (), () e () é utiizada para recompor as condições de compatibiidade que foram vioadas na criação do SP. Para tanto, somam-se os vaores das descontinuidades de desocamentos axia e transversa e de rotação na seção de corte S, e impõe-se que as somas tenham vaores nuos. Isso resuta em um sistema com três equações de compatibiidade: δ δ δ + δ X + δ X + δ X + δ X + δ X + δ X + δ X + δ X + δ X = =. = Dessa forma, é possíve encontrar os vaores de X, X e X que fazem com que os desocamentos axia e transversa reativos e a rotação reativa na seção de corte S sejam nuos. Com isso, as três condições de continuidade vioadas são restabeecidas Sistema Principa obtido por introdução de rótuas A Figura 5.9 mostra a segunda opção para o SP da estrutura da Figura 5.. Este SP é obtido introduzindo-se três rótuas no ane da estrutura. Os momentos fetores nas seções onde as rótuas são introduzidas são os hiperestáticos desta soução. X X X X X X Figura 5.9 Segunda opção para SP do quadro da Figura 5.. Deve-se observar que as rótuas poderiam ser coocadas em quaisquer outros três pontos, desde que não ficassem ainhadas em uma mesma barra, o que caracterizaria uma instabiidade (veja a Seção.4 do Capítuo ). A Figura 5.-a mostra outro SP váido obtido pea introdução de três rótuas na estrutura da Figura 5.. A Figura 5.-b indica um SP não váido pois as três rótuas estão ainhadas na barra superior do pórtico.

31 Luiz Fernando Martha Método das Forças 59 (a) (b) Figura 5. Outras aternativas para SP do quadro da Figura 5. com introdução de rótuas: (a) opção váida; (b) opção inváida. Outra observação importante com respeito à soução utiizando um SP que é obtido pea introdução de rótuas é que, em gera, na soução dos casos básicos, é necessária a decomposição do quadro isostático composto em quadros isostáticos simpes. No caso gera, esta decomposição resutaria em quadros biapoiados, triarticuados ou engastados com baanços. Para o SP adotado, uma possíve decomposição seria em um quadro biapoiado e outro triarticuado, ta como mostrado para os casos () e () a seguir. Para os casos () e () a mesma decomposição se apicaria. As interpretações físicas dos termos de carga e coeficientes de fexibiidade para esta opção do SP podem ser feitas genericamente da seguinte maneira: δ i δ ij rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada ao hiperestático X i provocada pea soicitação externa no caso (); rotação reativa entre as seções adjacentes à rótua associada ao hiperestático X i provocada por X j = no caso (j). Caso () Soicitação externa (carregamento) isoada no SP A Figura 5. indica a soução do caso () da presente opção para o SP. Observa-se que para resover este probema isostático é conveniente decompor o quadro composto da Figura 5.9 em um quadro triarticuado que é suportado por um quadro biapoiado com uma barra vertica em baanço na esquerda. O quadro composto é separado em duas porções peas rótuas associadas aos hiperestáticos X e X. Os apoios do quadro triarticuado são fictícios, mas servem para indicar que existem duas forças de igação (apoios do gênero) e a ordem de carregamento dos quadros simpes: nas seções de igação das rótuas separadas, a porção que contém o apoio fictício é a porção suportada. Para resover o probema, devem-se determinar as reações de apoio no quadro triarticuado e apicar estas reações como se fossem cargas atuando no quadro biapoiado. Na verdade, cada par reação-carga em um apoio fictício da decomposição representa um esforço interno de igação em uma rótua. No caso () deste exempo só existem esforços de igação verticais, como mostra a Figura 5..

32 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha P/ P P/ P/ P/ P/ P/ Figura 5. Soicitação externa isoada no SP da Figura 5.9. Caso () Hiperestático X isoado no SP A soução do caso () desta opção do SP é semehante à soução do caso (). A decomposição do quadro composto no caso () está mostrada na Figura 5.. / X = X = / x X / / Figura 5. Hiperestático X isoado no SP da Figura 5.9. Esta seção indicou a soução de um quadro fechado hiperestático, mas externamente isostático, adotando duas opções para o SP. Em princípio pode parecer mais compicado criar o SP introduzindo rótuas internas (segunda opção) do que secionando em uma seção (primeira opção). Entretanto, conforme foi visto na Seção 5., existem peo menos duas vantagens para isso. A primeira é que, em gera, a introdução de rótuas resuta em um cácuo mais simpes dos termos de carga e dos coeficientes de fexibiidade. A segunda vantagem é que o traçado do diagrama de momentos fetores fina, que é obtido pea superposição dos diagramas dos casos básicos, é mais simpes. Nos pontos onde são introduzidas rótuas, o vaor do diagrama de momentos fetores fina é o próprio vaor do hiperestático correspondendo àquea rótua. O restante deste capítuo apresenta souções de pórticos panos, treiças e grehas peo Método das Forças.