8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

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1 Uf 8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Cusco, 3 a 5 de Outubro de 7 MODELAGEM DE MANIPULADORES ROBÓTICOS COM BRAÇOS FLEXÍVEIS USANDO ELEMENTOS FINITOS Bottega V. 1, Pergher R., Moter A. 3, Fonseca J. 4 1, Universidade de Caxias do Su, Centro de Ciências Exatas e Tecnoogia, Departamento de Matemática e Estatística, R. Francisco Getúio Vargas, 113, , Caxias do Su, RS, Fone +55(54) E-mai: vbottega@ucs.br, rpergher@ucs.br 3,4 Universidade Federa do Rio Grande do Su, Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica, R. Sarmento Leite, 45, 95-17, Porto Aegre, RS, Fone: +55 (51) E-mai: aexandremoter@bo.com.br, jun@ufrgs.br RESUMO Manipuadores industriais são projetados com ata rigidez nos seus eementos (braços e mancais), afim de obter maior precisão. Isto resuta em máquinas pesadas, com baixa performance cinemática e eficiência dinâmica. Para manipuadores eves, o consumo de energia é diminuído ganhando agiidade e rapidez. Braços fexíveis também aparecem nas mais diversas formas geométricas e tamanhos. Por isso, neste trabaho obteve-se um modeo de controe de trajetória para um manipuador constituído de braços fexíveis com geometria irreguar de formato retanguar e ciíndrico, ocos, com seção transversa variáve na direção ongitudina. O modeo dinâmico do manipuador foi obtido de forma fechada através da formuação de Lagrange e os modos de vibração para braços de geometria irreguar foram obtidos através de aproximações poinomiais gerais e eementos finitos. O controe utiiza o torque dos motores como atuadores para controe da trajetória do ânguo das juntas e também para atenuar as vibrações induzidas nos braços do manipuador. A estabiidade deste controador é garantida pea teoria de estabiidade de Lyapunov. Para gerar os modos aproximados de vibração foi usado o método dos eementos finitos. Simuações são propostas através do Matab/Simuink para verificar a eficiência do modeo de controe. PALAVRAS CHAVE: manipuador robótico, controe de trajetória, eementos finitos.

2 INTRODUÇÃO Projetos de manipuadores, caracterizados por fexibiidade nos eementos, exigem ações de controe que incuam a interação do controe do ânguo das juntas e controe dos modos eásticos [6]. O projeto de controe da trajetória do eemento fina de um robô, com eementos fexíveis, é constituído por duas fases [5]: uma ação de controe robusto de posição, atuando no ânguo das juntas e um estabiizador para controar as osciações eásticas, induzidas pea ação do controe. Sistemas robóticos podem ser consideradas ineares com respeito a um conjunto de parâmetros, tais como massa, momentos de inércia e fatores de amortecimento, porém não são ineares com respeito ao estado. Por isso, uma ei de controe de posição deve ser definida assegurando uma conveniente estabiidade assintótica do erro da trajetória, com uso de funções de Lyapunov e do princípio de La Sae [1]. O estabiizador é obtido com base num modeo inearizado sobre o estado estacionário do sistema, para controar as osciações eásticas dos eementos. Busca-se neste trabaho amenizar os modos de vibração através da ação dos motores nas juntas. Por outro ado, braços fexíveis também aparecem nas mais diversas formas geométricas e tamanhos. Por isso, propõe-se, neste trabaho um modeo constituído por braços com forma retanguar e oco conforme iustrado na figura 1. Os robôs constituídos por estes braços são robôs eves e usados em diversos setores, como por exempo, em apicações espaciais. O uso do método de eementos finitos, no cácuo aproximado dos modos de vibração, se dá devido a compexidade de obter funções anaíticas para os modos em braços não-prismáticos. Com o objetivo de encontrar funções que representam os modos de vibração é feita uma interpoação peos vaores discretos obtidos por eementos finitos. A eficácia das autofunções é demonstrada com o quociente de Rayeigh [9]. As simuações foram obtidas através dos softwares Matab/Simuink, Mape e para agumas comparações o Ansys. MODELO DINÂMICO A estrutura física do robô, constituída, neste trabaho, por um braço rígido e outro fexíve, juntas e motores, foi baseada no modeo sugerido por [6]. A generaização feita no modeo é sua forma geométrica, que neste trabaho permite um modeo oco e não-prismático. Considera-se somente o segundo eemento fexíve e não prismático, assim sendo este é o indutor das vibrações que afetam a trajetória do eemento fina do manipuador. Figura 1: Eemento fexíve do manipuador Este modeo tem variação somente na atura ao ongo do eemento. A área e o momento de inércia entram na modeagem como funções. Pea teoria de vigas de Euer-Bernoui para pequenos desocamentos, a defexão de uma estrutura é dada por: 4 ( x, t) y( x, t) y EI + M =, (1) x t onde E é o moduo de easticidade do materia I é o momento de inércia e M é a massa da estrutura. Para determinar os modos normais de vibração, a soução é da forma [1]: y ( x t) = φ ( x) n iω nt, e, () φ é a função característica definindo a defexão do enésimo modo e ω n é a freqüência natura do Φ definido pea soma de autofunções que correspondem as freqüências naturais de vibração da viga. onde n ( x) enésimo modo. Esta soução considera um movimento harmônico, sendo ( x)

3 Modos de vibração, souções aproximadas Os braços dos manipuadores mecânicos podem ser considerados como vigas. Como o comprimento destes braços supera em muito a sua atura e a base pode ser apicada a teoria de vigas de Euer-Bernoui, para pequenos desocamentos. A equação de equiíbrio de uma viga é dada por: d dx d v EI dx ( x) dx p ( x) dx =, x (3) onde EI representa a rigidez fexura da viga [11], p(x) as forças externas e v(x) a defexão da viga. Os modos naturais de vibração não dependem das forças externas que os braços sofrem, portanto p(x) e podem ser desconsiderados. Em [6], os modos de vibração foram cacuados anaiticamente. Peo método de eementos finitos [3], para as matrizes de rigidez, massa e amortecimento, respectivamente, temse: K ij M ij = L = d ψ d ψ i j EI dx dx L dx, (4) ρ dψ dψ dx, (5) i j C = α M + βk, (6) onde ψ são as funções de interpoação, definidas por eemento, ρ é a densidade do materia e α, β são constantes a serem determinadas por duas taxas de amortecimento dadas, correspondentes à duas freqüências de vibração diferentes. Seguindo a prática usua, quatro poinômios cúbicos de Hermite são utiizados para funções de interpoação em cada eemento finito de dois nós. Desta forma, as incógnitas do probema serão os desocamentos nodais e suas derivadas. A matriz de massa poderá também ser tomada como diagona, distribuindo de maneira adequada a massa nos nós. Assim, as freqüências naturais em coordenadas modais, por eementos finitos, na base moda, podem ser determinadas dos vaores característicos da equação K w M =, (7) onde w são os vaores característicos desta equação. Os autovetores representam os modos de vibração. Quando se busca as autofunções correspondentes as freqüências naturais é necessário interpoar os vaores discretos obtidos. Estas autofunções φ cacuadas diretamente pea interpoação através dos poinômios de Hermite, produzem grandes osciações, devido aos vaores das derivadas nos nós (vaores dos desocamentos dos autovetores em cada nó referentes as derivadas, M-normaizados). Figura : Autofunções que representam os modos de vibração de uma viga engastada em x=. (a) é o primeiro modo e (b) o segundo modo. Autofunções geredas através da interpoação dos poinômion de Hermite.

4 Uma maneira de gerar autofunções sem essas onduações é mescar poinômios de Lagrange com poinômios de Hermite. Aqui foram considerados somente os vaores da derivada nos nós inicia e fina para interpoação por poinômios de Hermite, pois nestes pontos a derivada é um mais importante. Nos demais pontos se interpoa com poinômios de Lagrange, apenas peo vaor do desocamento noda. Os vaores dos autovetores de (7) correspondentes aos desocamentos axiais são pequenos em comparação aos vaores correspondentes à fexão e à derivada, portanto na montagem dos poinômios ees serão desconsiderados. Então, os poinômios gerados compõem os vaores das derivadas nas extremidades do braço e os de fexão em todo braço. Figura 3: Autofunções que representam os modos de vibração de uma viga engastada em x=. (a) é o primeiro modo e (b) o segundo modo. Autofunções geredas através da interpoação dos poinômion mistos: Lagrange e Hermite. Na comparação da figura e a figura 3, percebe-se caramente a suavização destas onduações. Estas funções, apesar de terem um caráter poinomia aproximado, em casos de difíci definição das souções exatas, poderão ser substituídas peas mesmas. Peo cácuo do quociente de Rayeigh [7] de autofunções: w = d φ EI dx dx, (8) ρaφ dx verificou-se que as autofunções φ geradas, representam bem os modos naturais de vibração. O erro entre os vaores da equação (8) e os autovaores da equação (7), evando em conta os três primeiros modos de vibração está em torno de 1Hz para o primeiro e o segundo modos e Hz para o terceiro modo. Em porcentagem, o erro fica em torno de 5% para os primeiros modos e abaixo de 5% para os modos que correspondem a freqüências mais atas. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO O modeo dinâmico competo do robô pode ser determinado através da derivação do Lagrangeano do sistema, obtendo-se as equações na forma matricia compacta [4]: B( θ )q& +C( θ,q)q & & + K e q + Dq & + g(q)= u, (9) onde q = [ θ, δ] T é o vetor de coordenadas generaizadas, θ é um vetor n x 1 de coordenadas das juntas, δ é um vetor m x 1 de coordenadas dos modos de defexões, B(q) é matriz de inércia simétrica e positiva definida, C ( θ, q& ) é o vetor de efeitos centrífugos e de Coriois, g(q) é um vetor de torques gravitacionais, K e é matriz de rigidez diagona, simétrica, positiva definida, D é matriz de amortecimento diagona, positiva definida e u é o vetor de torques apicados nas juntas. A energia potencia eástica tota pode ser cacuada através da equação energia eástica do sistema []: U e 1 T δ Kδ =. (1) A matriz K é cacuada diretamente peo método de eementos finitos, aqui já diagonaizada, ou seja, com os autovaores da equação (7) na diagona principa.

5 Os vaores de δ representam as ampitudes do modos de vibração e podem ser cacuados pea equação de mínima energia potencia: T dφidφ j T [ δ i ] EI [ i ] [ pi ] [ i ] =, i, i = 1,,.., n dx β β β (11) onde p são forças apicadas, n é o número de autofunções e φ são as autofunções. O índice i representa o enésimo modo de vibração. CONTROLE DA TRAJETÓRIA Apresenta-se aqui uma ei de controe para trajetória de robôs com braços fexíveis. Usa-se uma ei de controe baseada em controadores adaptativos, cuja estabiidade da trajetória pode ser provada diretamente usando a teoria de estabiidade de Lyapunov e uma ei de controe robusto para reduzir as vibrações induzidas nos braços devido à fexibiidade [1]. O controe de trajetória é obtido através de compensações não ineares do sistema (9), na forma: u = B(q)q& +C(q,q)q & & + K q +Dq& + g(q) K s, (1) r r e d r p onde K p é uma matriz de ganho diagona, positiva definida, q r q q é o vetor veocidade de referência com erro de trajetória q=q q d,q indica a trajetória percorrida peo robô, q d a trajetória desejada e s= q q r q q erro de referência. Pode-se demonstrar, através da teoria de estabiidade de Lyapunov [], que o erro de trajetória tende a zero e as defexões dos braços são imitadas. Porém, fisicamente, o amortecimento do sistema pode ser pequeno, isto é, D, resutando numa convergência enta das defexões. Neste caso, pode-se adicionar uma ação de controe D ' d dependente da dinâmica da trajetória δ d, obtida a partir de q d onde: { f,, } D'... D diag 11 f nm (13) com D matriz diagona, positiva definida e f ij funções dependentes da veocidade das defexões. Adicionando (13) `a equação (1), obtém-se a ei de controe do sistema (9), expressa por: u=b q q r +C q, q q r +K e q d +Dq r +g q K p s+ T D ' d T, (14) com D ' d representando uma ação de controe robusta amortecendo o sistema, eiminando assim vibrações estacionárias. RESULTADOS Os parâmetros físicos do manipuador mecânico considerado (como mostrado na figura 1) são: Densidade do materia 89 kg/m 3 ; Móduo de easticidade 65 Gpa; Comprimentos c 1 =.3m; c =1m; Espessura do materia.1m; h=.m; b=.m. Para testar as eis de controe obtidas anteriormente, considera-se um modeo simpificado de robô panar com o primeiro braço rígido e o segundo braço fexíve, conforme iustrado na figura 4, com dois modos de deformação [8]. Assim, o vetor de coordenadas Lagrangeanas se reduz a = [ θ, θ, δ, ] T, desconsiderando efeitos gravitacionais. q 1 1 δ

6 Figura 4: Robô panar com um braço rígido e um fexíve. Os resutados comparativos foram obtidos através de simuações em PC, utiizando MatLab/Simuink, com t = 1ms, com o método numérico de Runge Kutta de quarta ordem, por um período de 5 segundos. π Utiizou-se trajetórias de veocidade trapezoida com ampitude para o ânguo das juntas 1 e, com erro de traçado inicia zero, conforme mostrado na figura 5. Figura 5: Trajetória de veocidade trapezoida para o ânguo da junta. Primeiramente, simuou-se um sistema amortecido com a ei de controe (1). Observa-se na figura 6, que as defexões tendem a zero e são imitadas devido ao amortecimento natura do sistema. Figura 6: Desocamento do primeiro e segundo modo para o sistema amortecido sem controe de desocamento.

7 Na figura 7, simuou-se o mesmo sistema amortecido com a ei de controe de defexões (14). Observa-se uma redução na ampitude dos desocamentos quando comparado com o sistema sem controe de desocamentos (1), mostrado na figura anterior. Pode-se observar na figura 8 que o erro de trajetória do sistema também tende a zero. Figura 7: Desocamento do primeiro e segundo modo para o sistema amortecido com controe de desocamento. Figura 8: Erro de trajetória das juntas um e dois do robô. Numa segunda simuação, utiizou-se a ei de controe (1) sobre um sistema não amortecido. Pode-se observar na figura 9 (a) que as defexões são imitadas mas a convergência é enta, devido ao baixo amortecimento do sistema. Figura 9: Desocamento do primeiro e segundo modo para o sistema (a) não amortecido sem controe de desocamento; (b) amortecido com controe de desocamento

8 Finamente, na figura 9 (b), simuou-se o mesmo sistema, não amortecido, mas com a ei de controe (14), onde observa-se um aumento no amortecimento do sistema e uma convergência a zero mais rápida das defexões, decorrente da adição do controador D ' d. CONCLUSÕES Neste trabaho, procurou-se obter uma técnica de controe de trajetória de um robô com braços não prismáticos fexíveis, que utiize o torque dos motores para o controe do ânguo das juntas e também, para controar as vibrações dos braços fexíveis. Utiizou-se eementos finitos, no cácuo aproximado dos modos de vibração para os modos em eementos nãoprismáticos. Simuações foram obtidas através dos softwares Matab/Simuink, confirmando o bom desempenho do controe de vibrações induzidas no braço fexíve. REFERÊNCIAS [1] S. Arimoto, Contro Theory of Non-Linear Mechanica Systems, Oxford Carendon Press, London [] M.A. Arteaga, On the properties of a dynamic mode of fexibe robot manipuators, ASME Journa of Dynamics Systems, Mesurement, and contro, Vo. 1, pp. 8-14, [3] J. K. Bathe, E. L. Wison, Numerica Methods in Finite Eement Anaysis. Prentice Ha, 1976 [4] W. J Book,., Recursive Lagrangian Dynamics of Fexibe Manipuator Arms. Int. J. Robotics Res., vo. 3, no. 3, pp , [5] V. Bottega, J. S. O. Fonseca, Controe da Trajetória e Vibrações Induzidas de Manipuadores Robóticos com Eementos Fexíveis, Anais do DINCOM, pp. 1-1, 3. [6] V. Bottega, Controe de Sistemas Mecânicos Não-Lineares Apicado a Um Manipuador Robótico, Dissertação de Mestrado, UFRGS/CPGMAP, Porto Aegre, [7] D. L. Cive, I. H. Shames, Soid Mechanics. A variatina approach, McGraw-Hi, [8] A. De Luca, L. Lanari, S. Lucibeo, S. Panzieri, Contro Experiments on a two-ink Robot with a Fexibe Forearm, 9th IEEE conf. Decision and Contro, Honouu, HI, pp 5-7, 199. [9] C. L. Dym, I. H. Shames, Soid Mechanics. A variatina approach, McGraw-Hi, [1] J. P La Sae, S. Lefschetz, Stabiity by Lyapunov s Direct Method, Academic Press, New York, [11] L. Meirovitch, Anaitica Methods in Vibration, Macmian, New York, [1] S. S. Rao, Mechanaica Vibrations. Adison Wesey Pub Com., 3 ed.,1999.