4 O SISTEMA CONTÍNUO ROTOR-MANCAL

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1 4 O SISTEMA CONTÍNUO ROTOR-MANCAL 4.1 Introdução Na seção 3.5 as equações de movimento foram determinadas considerando-se parâmetros concentrados. Entretanto, rotores reais são mais compexos, constituídos de vários discos e a seção do eixo não é constante, fazendo-se necessária uma anáise com auxíio de um modeo com parâmetros distribuídos no qua a massa, a rigidez e o amortecimento são distribuídos. Este modeo é, também, chamado de rotor contínuo. A anáise de um rotor contínuo é baseada na teoria da vibração transversa da viga. A teoria mais fundamenta é a teoria da viga Bernoui-Euer, que assume que a seção permanece pana e perpendicuar à inha de centro. Se o eixo for degado, essas equações representam bem o movimento do rotor. Quando a viga vibra segundo modos mais atos, o efeito da inércia de rotação da seção transversa e das deformações de cisahamento aparecem, não mais podendo ser desprezadas. Este modeo é conhecido como viga de Timoshenko, o qua não será considerado neste estudo. Este modeo acrescenta outras equações específicas da rotação da seção transversa. Quando o diâmetro do disco é muito maior em reação à sua argura, aparece a ação giroscópica, que será considerada neste estudo. Existem diversos métodos aproximados para anáise de rotores contínuos. Será empregado aqui o Método dos Eementos Finitos. 4.2 Equações de Movimento A figura 4.1 iustra o modeo de um rotor contínuo eástico cujo centro coincide com o eixo Z. As defexões nas direções X e Y são denotadas por

2 O Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 7 x(z, t) e y(z, t), respectivamente. A incinação em torno das direções X e Y são representadas por α(z, t) e β(z, t), respectivamente, e são dadas por α = y z ; β = x z (4-1) Y α Ω Z Y Z Ω X Z β X Figura 4.1: Osciação do rotor com 4 graus de iberdade Para se chegar às equações de movimento, consideramos um eemento infinitesima do eixo de espessura dz, mostrado na figura 4.2 nas duas direções. Z O Y V + x V x dz z fx Vx My djpωα α Mx + Mx dz z β My + My dz z V + y V y dz z fy Vy Mx djpωβ X Z Figura 4.2: Condição de equiíbrio de um eemento infinitesima

3 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 71 onde, A condição de equiíbrio dinâmico nas direções X e Y nos dá V x + V y + ( V x + V ) x z dz ( V y + V ) y z dz ρa 2 x dz c x t2 t dz f x = ρa 2 y dz c x t2 t dz f y = V x e V y - esforço cortante nas direções X e Y, respectivamente f x e f y - forças externas nas direções X e Y, respectivamente A - área da seção transversa do eixo ρ - densidade do materia c - coeficiente de amortecimento por unidade de comprimento Simpificando, temos (4-2) V x z = ρa 2 x t 2 + c x t + f x ; V y z = ρa 2 y t 2 + c x t + f y (4-3) Da condição de equiíbrio do momento, obtém-se, desprezando as forças oriundas da aceeração anguar M y + M x ( M y + M ) y z dz + V x dz dj p Ω α = ( M x + M ) x z dz V y dz + dj p Ω β = onde dj p Ω α e dj p Ω β são os momentos giroscópicos Lembrando que (4-4) M x = EI 2 y z 2 ; α = 2 y z t ; M y = EI 2 x z 2 β = 2 x z t (4-5) onde I - momento de inércia de área. dj p = ρadzr 2 /4 é o momento de inércia poar de massa do eemento

4 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 72 Substituindo 4-5 em 4-4, obtém-se V x = EI 3 y z 3 J p Ω 2 y z t = V y = 3 x z 3 + J p Ω 2 x z t = (4-6) onde J P = ρar 2 /4 é o momento de inércia por unidade de comprimento Substituindo 4-6 em 4-3, obtém-se 4 x z + x 4 ρa 2 t + J 2 p Ω 3 y z 2 t + c x t f x = 4 y z + y 4 ρa 2 t J 2 p Ω 3 x z 2 t + c y t f y = (4-7) Considerando somente a direção X, uma vez que o procedimento para a soução em Y é o mesmo, mutipicaremos 4-7 pea função do modo φ j e integraremos de a. Ta função é uma aproximação da autofunção exata que, na maioria dos casos não é possíve ser determinada anaiticamente peo método da separação das variáveis. Essas funções são conhecidas, também, como funções teste e são escohidas de forma que, peo menos, satisfaçam às condições de contorno geométricas e sejam diferenciáveis duas vezes. Assim, EI 4 x z φ 2 x 4 j dz + ρa o t φ 2 j dz + J 3 y p Ω z 2 t φ j dz + x c t φ j dz temos = fφ j dz (4-8) Integrando por partes ( udv = uv vdu) o primeiro termo de 4-8, 4 x z φ 3 x 4 j dz = φ j z 3 Integrando por partes novamente, 3 x z 3 φ j dz = 2 x o z 2 φ j 3 x z 3 φ j dz 2 x z 2 φ j dz

5 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 73 A equação 4-8 fica, então EI 2 x 3 x z 2 φ j + EIφ j z 3 EI 2 x z 2 φ j 2 x + ρa t φ 2 j dz + J 3 y p Ω z 2 t φ x j dz + c t φ j dz = fφ j dz (4-9) As condições de contorno são incorporadas na equação através dos termos em destaque. Para gerar um modeo de equações diferenciais aproximadas com N graus de iberdade por direção, os desocamentos do sistema contínuo serão expandidos como uma combinação inear de N funções de modo φ inearmente independentes. Asim, tem-se N N x(z, t) = a i (t)φ i (z); y(z, t) = b i (t)φ i (z) (4-1) i=1 i=1 onde a i e b i são as coordenadas generaizadas dendentes do tempo, a serem determinados. O que está se dizendo aqui é que cada modo contribuirá para a resposta goba e o tamanho desta contribuição será controado por cada a i e b i. Substituindo 4-1 em 4-9, obtém-se, nas direções X e Y, ä i (t)ρa φ i(z)φ j (z)dz + a i (t) c φ i(z)φ j (z)dz + b i (t) J p Ω φ i (z)φ j dz + a i (t)ea φ i (z) j (z)dz = f(z, t)φ j(z)dz bi (t)ρa φ i(z)φ j (z)dz + ḃi(t) c φ i(z)φ j (z)dz ȧ i (t) J p Ω φ i (z)φ j dz + b i (t)ea φ i (z) j (z)dz = f(z, t)φ j(z)dz (4-11) ou [M x ] ij ä i (t) + [C x ] ij ȧ i (t) + [G x ] ij ḃ i (t) + [K x ] ij a i (t) = F x (φ j ) [M y ] ij bi (t) + [C y ] ij ḃ i (t) [G y ] ij ȧ i (t) + [K y ] ij b i (t) = F y (φ j ) (4-12)

6 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 74 onde [M x ] ij = ρa φ j (z)φ i (z)dz, [M y ] ij = ρa φ j (z)φ i (z)dz [K x ] ij = EA j (z) i (z)dz, [K y ] ij = EA j (z) i (z)dz [C x ] ij = c φ j (z)φ i (z)dz, [C y ] ij = c φ j (z)φ i (z)dz (4-13) e [G x ] ij = J p Ω j (z)φ i (z)dz, [G y ] ij = J p Ω j (z)φ i (z)dz [F x] j1 = f(z, t)φ j (z)dz, [F y] j1 = f(z, t)φ j (z)dz (4-14) Os dois conjuntos de equações matriciais 4-12 podem ser agrupados numa única equação matricia, como segue. M q(t) + (C + G) q(t) + Kq(t) = Q(t) onde M = [ M x M y ] ; C = [ C x C y ] [ ] G x G = G y ; K = [ K x K y ] (4-15) Q = [ F x F y ] [ ] a i (t) ; q(t) = b i (t) sendo M, C, G e K de dimensão 2N e Q e q(t), 2N O Método dos Eementos Finitos O método dos eementos finitos é uma poderosa técnica que usa métodos variacionais e de interpoação para modear e resover probemas de condições de contorno em sistemas contínuos.

7 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 75 O método consiste da discretização da estrutura, ou seja, divisão em pequenos subdomínios, chamados eementos finitos. Cada eemento possui possui extremidades chamadas nós, que conectam-se ao eemento seguinte. O eemento pode conter nós em seu interior, a depender da função de aproximação escohida. A equação de movimento para cada eemento é então determinada e resovida. As souções das equações dos eementos são aproximação por uma combinação inear de poinômios de baixa ordem. Cada uma das souções poinomiais individuais são compatibiizadas com a soução adjacente, chamada condição de continuidade, nos nós comuns a dois eementos. Estas souções são, então, reunidas através de um procedimento, resutando em matrizes gobais de massa, rigidez, amortecimento e giroscópica, que descrevem a estrutura como um todo. O vetor de desocamentos associados com a soução goba do modeo de eementos finitos descreve o movimento. As coordenadas usadas no modeo de eementos finitos, iustrado na figura 4.3 são as duas coordenadas ineares x 1 (t) e x 3 (t) e duas coordenadas anguares x 2 (t) = β 1 e x 4 (t) = β 2, necessárias para descrever o movimento de cada nó, ou seja, cada nó possui dois graus de iberdade. O desocamento estático transversa deve satisfazer [ ] 2 EI 2 x(z, t) = (4-16) z 2 z 2 X Z β 1 β 2 x 1 x 3 Figura 4.3: Eemento finito simpes em fexão Para vaores constantes de EI, 4-16 torna-se 4 x z 4 eva a =, que, integrando, x(z, t) = c 1 (t)z 3 + c 2 (t)z 2 + c 3 (t)z + c 4 (t) (4-17) onde c i (t) são as constantes de integração. A equação 4-17 é usada para interpoar os desocamentos dentro do eemento. Os desocamentos desconhecidos x i (t) devem satisfazer às condições de contorno x(, t) = x 1 (t) x(, t) = x 1 (t) x (, t) = x 3 (t) x (, t) = x 4 (t) (4-18)

8 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 76 Estas reações são substituídas em 4-17 e resovidas para as constantes de integração c i, evando a c 1 (t) = 1 3 [2(x 1 x 3 ) + (x 2 + x 4 )] c 2 (t) = 1 2 [2(x 3 x 1 ) (2x 2 + x 4 )] (4-19) c 3 (t) = x 2 (t) c 4 (t) = x 1 (t) Substituindo 4-19 em 4-17, e rearranjando os termos como coeficientes de desocamentos nodais desconhecidos, eva ao resutado aproximado do desocamento x(z, t) para o eemento, expresso por x(z, t) = + ) ( ) (1 3 z2 z + 2 2z3 x 3 1 (t) + 2z2 + z3 z (t) ) ) (3 z2 2 2z3 z 3 3 (t) + ( z2 + z3 z (t) (4-2) Os poinômios entre parênteses são as funções aproximadas φ i dos modos de vibrar que serão usadas para o cácuo das matrizes de massa, rigidez e amortecimento da equação Então, φ 1 = φ 3 = ) (1 3 z z3 3 ) (3 z2 2 2z3 3 ( ) z ; φ 2 = 2z2 + z3 2 3 ) ; φ 4 = ( z2 + z3 2 3 Assim, substituindo 4-21 em 4-13, temos (4-21) z2 φ 1 φ 1 dz z 2 φ 2 φ 1 dz z 2 φ 3 φ 1 dz z 2 φ 4 φ 1 dz z2 M x = ρa φ 1 φ 2 dz z 2 φ 2 φ 2 dz z 2 φ 3 φ 2 dz z 2 φ 4 φ 2 dz z2 φ 1 φ 3 dz z 2 φ 2 φ 3 dz z 2 φ 3 φ 3 dz z 2 φ 4 φ 3 dz 2 φ 1 φ 4 dz z 2 φ 2 φ 4 dz z 2 φ 3 φ 4 dz z 2 φ 4 φ 4 dz K x = EI z2 1 z2 1 z2 1 z2 1 1dz z 2 2 1dz z 2 3 1dz z 2 4 1dz 2dz z 2 2 2dz z 2 3 2dz z 2 4 2dz 3dz z dz z 2 3 3dz z 2 4 3dz 4dz z 2 2 4dz z 2 3 4dz 2 4 4dz (4-22) (4-23)

9 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 77 G x = ΩJ p z2 z2 z2 1φ 1 dz z 2 1φ 2 dz z 2 1φ 3 dz z 2 z2 1φ 4 dz z 2 2φ 4 dz z 2 1 2φ 1 dz z 2 3φ 1 dz z 2 4φ 1 dz 2φ 2 dz z 2 3φ 2 dz z 2 4φ 2 dz 2φ 3 dz z 2 3φ 3 dz z 2 4φ 3 dz 3φ 4 dz z 2 4φ 4 dz Fazendo a integração das funções de interpoação, obtém-se M x = ρa 42 K x = EI 3 C x = c 42 G x = ΩJ p (4-24) (4-25) (4-26) (4-27) (4-28) No caso de um rotor, deverão ser consideradas as direções X e Y simutaneamente. Assim, as matrizes M, K, C e G ficam M = ρa sim (4-29)

10 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 78 K = EI 3 C = c 42 G = ΩJ p sim sim anti sim (4-3) (4-31) (4-32) com o correspondente vetor dos desocamentos [ ] q T = x 1 y 1 β 1 α 1 x 2 y 2 β 2 α 2 (4-33) O passo seguinte é a montagem das matrizes gobais de massa, rigidez, amortecimento e giroscópica, que consiste em agregar apropriadamente os coeficientes das matrizes. Quaquer eemento k ij da matriz goba pode ser obtido adicionando-se os correspondentes coeficientes associados com aqueas coordenadas do nó. Assim, se por exempo, considerarmos dois eementos finitos (figura 4.4), para obtermos o coeficiente de rigidez k 55 da matriz goba, é necessário adicionar os coeficientes de rigidez dos eementos 1 e 2 correspondentes ao nó 2. Estes coeficientes são designados por k 1 55 e k 2 11, respectivamente, onde o superescrito identifica o eemento da viga

11 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 79 e o índice inferior ocaiza o coeficiente apropriado na matriz do eemento correspondente. A equação 4-34 iustra o processo descrito, onde pode-se verificar que, onde houver superposição, as contribuições à matriz goba [K] de dimensão são somadas. X Z x 2 x 4 x 6 X 1 x 3 x 5 Figura 4.4: Viga com dois eementos finitos K = EI (4-34) O mesmo procedimento é adotado para as demais matrizes Condições de contorno e carregamento Como já foi abordado na seção 4-12, as condições de contorno estão incorporadas na equação 4-9 através dos termos em destaque. Asssim, se considerarmos uuma viga engastada em uma extemidade e ivre na outra, estes termos são nuos, uma vez que φ() = φ () = () = () =. isto equivae a eiminar a primeira e segunda inhas e counas das matrizes M, K, C e G, uma vez que x 1 = x 2 =. Se considerarmos que a viga possui a extremidade apoiada em um eemento fexíve com amortecimento, teremos 3 x() z 3 = k EI x() ; 3 x() = c x() z 3 EI t ; 3 x() z 3 = k EI x() 3 x() = c x() z 3 EI t (4-35) Assim, à matriz goba K são adicionados os efeitos das propriedades concentradas nos nós das extremidades:

12 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 8 k K b = k Da mesma forma fazemos com a matriz de amortecimento c C b = c As condições de contorno para o rotor apoiado em mancais hidrodinâmicos, incuindo rigidez e amortecimento cruzados, serão 3 x() = 1 [ ] x() y() k z 3 xx x() + k xy y() + c xx + c xy EI t t 3 x() = 1 [ ] x() y() k z 3 xx x() + k xy y() + c xx + c xy EI t t 3 y() = 1 [ ] y() x() k z 3 yy y() + k yx x() + c yy + c yx EI t t 3 y() = 1 [ ] y() x() k z 3 yy y() + k yx x() + c yy + c yx EI t t (4-36) onde os coeficientes de rigidez k e amortecimento c, principais e cruzados, foram definidos na seção Assim, às matrizes de rigidez e amortecimento correspondentes ao primeiro e útimo eementos são adicionadas as matrizes k xx k xy k yx k yy K b = 1 2 k xx k xy (4-37) k yx k yy

13 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 81 c xx c xy c yx c yy C b = 1 2 c xx c xy c yx c yy (4-38) Os carregamentos são considerados no vetor de forças externas F. Assim, se uma força vertica wf(t) for apicada no nó 2 (figura 4.4) com desocamento x 3, o vetor F ficará [F 1 ] T = [ wf(t) ] (4-39) Se for apicado um carregamento distribuído wf(t), onde w é a carga unitária, o vetor F é encontrado apicando-se a equação Assim, F = pf(t) (1 3 z2 ( z (3 z z3 3 2z2 + z3 2 ) 3 2 2z3 dz ( 3 ) z2 + z3 dz 2 3 ) dz ) dz 2 /2 = pf(t) 3 /3 4 /4 (4-4) Assim, montadas as matrizes gobais, teremos a equação diferencia M q + (C + G) q + Kq = Q (4-41) onde M, C, G e K são matrizes de dimensão n = 8p 4 e Q, n 1, sendo p o número de eementos finitos em que foi dividido o rotor. Para p = 1, n=8. A escoha de p depende do grau de precisão requerido para o probema. 4.4 Soução da Equação de Movimento Conforme o que foi visto na seção 4.3, as direções X e Y são acopadas peas matrizes de rigidez e amortecimento através das condições de contorno, bem como pea matriz giroscópica. Aém disso, estas matrizes assimetrizam

14 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 82 a matriz goba. Portanto, o probema não pode ser resovido pea anáise moda cássica. Faz-se necessário, então, anaisar o sistema homogêneo em seu espaço de estado [14] u(t) = Au(t) + BQ(t) (4-42) onde u(t) = [q T (t) q T (t)] T é um vetor de estado de dimensão 2n 1 e [ ] I A = M 1 K M 1 (C + G) B = [ ] M 1 (4-43) onde A é a matriz não simétrica de dimensão 2n e B, 2n n. A soução da parte homogênea de 4-42 tem a forma u(t) = e λt u (4-44) onde λ é uma constante escaar e u um vetor constante de dimensão 2n. Substituindo 4-44 em 4-42, obtemos o probema de autovaor generaizado Au = λu (4-45) A equação 4-45 admite souções na forma de autovaores λ i e correspondentes autovetores u i (i = 1, 2,..., 2n) que satisfazem às equações Au i = λ i u i, j = 1, 2,..., 2n (4-46) Para que esta base de autovetores sirva para diagonaizar a matriz A, é necessário que ees sejam ortogonais entre si e em reação a A. Entretanto, como A não é simétrica, não existe esta reação de ortogonaidade. Lembrando que det (A T ) = det (A), podemos concuir que det(a λi) T = det(a T λi) donde concuímos que A e A T possuem os mesmos autovaores. Assim, podemos escrever o probema de autovaor associado com A T na forma A T v = λv (4-47)

15 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 83 O probema de autovaor para A T autovaores λ j e autovetores v j que satisfazem às equações admite souções na forma de Transpondo 4-47, obtém-se A T v i = λ i v i, j = 1, 2,..., 2n (4-48) vj T A = λ j vj T (4-49) Em função da posição em reação à matriz A, os autovetores v j são conhecidos como autovetores à esquerda de A e os autovetores u i são conhecidos como autovetores à direita de A. Em seguida, premutipicamos a equação 4-46 por vj T, posmutipicamos a equação 4-49 por u i e subtraímos o segundo resutado do primeiro para obter (λ i λ j )v T j u i = (4-5) Entretanto, como todos autovaores são distintos, temos vj T u i =, λ i λ j (4-51) A equação 4-51 diz que os autovetores à esquerda e os autovetores à direita de uma matriz rea não simétrica de diferentes autovaores são ortogonais. Diz-se que os dois conjuntos de autovetores são biortogonais. Em seguida, pré mutipicamos a equação 4-46 por vj T e substituímos 4-51, obtendo vj T Au i =, λ i λ j (4-52) de modo que os autovetores à direita e à esquerda são biortogonais em reação à matriz A. Esses pares de autovetores podem ser normaizados fazendo-se vj T u i = 1, satisfazendo às reações de biortonormaidade onde δ ij = { se i = j 1 se i j v T j u i = δ ij (4-53) Aém disso, premutipicando 4-46 por v T j e substituindo 4-53, obtemos v T j Au i = λ i δ ij, i, j = 1, 2,..., 2n (4-54)

16 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 84 Este desenvovimento pode ser expresso em uma forma matricia compacta. Para este fim, introduziremos a matriz espectra Λ = diag(λ i ) (4-55) bem como as matrizes dos autovetores à esquerda e à direita V = [v 1 v 2... v 2n ], U = [x 1 x 2... x 2n ] (4-56) Assim, as reações de biortogonaidade 4-53 e 4-54 podem ser escritas V T U = I (a) V T AU = Λ (b) (4-57) Substituindo 4-58 em 4-57 b, obtém-se V T = U 1 (4-58) U 1 AU = Λ (4-59) Assim, assumindo que todos os autovaores são distintos, a matriz A pode ser diagonaizada por meio desta reação de semehança. Vaendo-se desta transformação, consideraremos a soução da equação 4-42 a partir da seguinte transformação q(t) = Uζ(t) (4-6) onde ζ(t) é o vetor das coordenadas modais Substituindo 4-6 em 4-42, premutipicando por V T = U 1 e considerando as reações de biortogonaidade 4-57, obtém-se ζ(t) = Λζ(t) + Z(t) (4-61) onde Z(t) = V T BQ(t) é o vetor força moda A equação 4-62 representa um conjunto de 2n equações independentes da forma ζ i (t) = λ i ζ i (t) + Z i (t) (4-62) e a soução é dada por ζ i (t) = e λ it ζ i () + t e λ i(t τ) Z i (τ)dτ (4-63)

17 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 85 onde, premutipicando 4-6 por V T coordenadas modais das condições iniciais. Assim, e fazendo t =, encontramos as ζ i () = V T q() (4-64) Substituindo 4-63 e 4-64 em 4-6, encontra-se a soução nas coordenadas físicas q(t) = Ue λ it V T ζ i () + t Ue Λ i(t τ) V T BQ(τ)dτ (4-65) Apesar de aparecerem unidades compexas em 4-65, somente a parte rea é considerada, como demonstrado em seguida. De 4-62 concui-se que, para autovaores compexos conjugados aparecem pares de equações compexas conjugadas na forma ζ i (t) λ i ζ i (t) = Z i (t) ζ i (t) λ i ζi (t) = Z i (t) (4-66) onde a barra refere-se ao conjugado do vetor. As souções nas coordenadas modais dadas por 4-63 para autovaores compexos conjugados são compexas conjugadas entre si. Se considerarmos somente a contribuição do par moda dos compexos conjugados dada por 4-65 na transformação para as coordenadas físicas, tem-se q(t) = v T ζ(t) + v T ζ(t) (4-67) podendo-se observar que a contribuição imaginária de v T ζ i é canceada pea contribuição imaginária de v T ζi e que a parte rea é igua. Assim, a equação 4-67 pode ser substituída por onde Re significa a parte rea do imaginário q(t) = 2Re(v T ζ(t)) (4-68) 4.5 Anáise Rotodinâmica A anáise rotodinâmica de uma turbomáquina é composta de três partes: anáise de veocidade crítica não amortecida, anáise de resposta amortecida ao desbaanceamento e anáise de estabiidade [1]. Estas anáises serão conduzidas para o rotor objeto de estudo deste trabaho conforme critérios das normas de turbomáquinas do American Petroeum Institute

18 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 86 (API)[1]. A geometria do rotor será detahada no capítuo seguinte, onde serão apresentados os dados experimentais. Todos os diagramas das figuras 4.5, 4.6, 4.8, 4.1, 4.11, 4.12 e 4.13 são obtidos peo programa ROMAC da University of Virginia. O programa faz a modeagem do rotor peo Método dos Eementos Finitos, considerando os efeitos da inércia de rotação, cisahamento e a ação giroscópica. A determinação das propriedades do manca é feita através da soução numérica competa da Equação de Reynods, considerando a variação da viscosidade no fime ubrificante Anáise de Veocidade Crítica não Amortecida Como não eva em conta o amortecimento, bem como forças de desbaanceamento, a anáise de veocidade crítica não amortecida serve como estimativa preiminar das veocidades críticas e características dos modos de vibrar. As veocidades críticas, bem como seus modos associados são extremamente infuenciados pea magnitude da rigidez do manca, posição do manca e da massa e rigidez do rotor. A anáise de veocidade crítica é feita variando-se a rigidez principa do manca para o modeo do rotor. A rigidez cruzada não é considerada na mapa de críticas. As veocidades críticas são, então, cacuados para cada vaor de rigidez. Deste modo, chega-se a curvas que representam o ugar geométrico das frequências naturais do rotor. O resutado básico desta anáise é o mapa de críticas, iustrado na figura 4.5 que pota as quatro primeiras críticas como função da rigidez do manca. Uma importante reação que governa as características gerais do mapa de crítica é a reação entre a rigidez do eixo e a rigidez do manca. Quando a rigidez do manca é baixa em reação à rigidez do eixo, a rigidez do manca governa a frequência natura e o eixo se moverá com pequena defexão. Ao contrário, quando os mancais são muito mais rígidos que o eixo, as frequências naturais mais baixas serão governada pea rigidez do eixo. Sob esta condição, os mancais tornam-se um nó e uma ata defexão do eixo ocorre em seu modo de vibrar. O mapa de críticas resume estas reações. Se observarmos a primeira crítica, pode-se notar que existe uma região onde a incinação da curva é praticamente constante. Esta região é chamada de seção rotor rígido do mapa de críticas porque a rigidez do eixo é maior que a rigidez do manca.

19 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 87 Figura 4.5: Mapa de críticas com dados da figura 4.6 No ado direito do mapa, a partir de 2 bf/in ( N/m) de rigidez, a curva começa a tornar-se assintótica a uma veocidade de aproximadamente 2.4 rpm, o que significa que, a partir deste ponto, aumentar a rigidez do manca não aterará a veocidade crítica. Esta região é chamada de seção manca rígido porque a rigidez do eixo domina a dinâmica do sistema. Com o mapa de crítica definido, o passo fina é definir as características reais de rigidez do manca k xx e k yy, mostrada na 4.6, como função da veocidade. A partir deste gráfico, pode-se notar que este manca possui uma estreita margem de variação de 1.8 bf/in (31392 N/m) a 2.2 bf/in ( N/m) e é aproximadamente isotrópico. Estes vaores são potados no mapa de críticas. As veocidades onde as curvas de rigidez do manca interceptam o mapa de crítica, são potenciais veocidades críticas do sistema. Neste caso, a primeira veocidade crítica está em torno de 24 rpm. A partir das curvas de rigidez no mapa de críticas, pode-se inferir a característica gera da resposta amortecida ao desbaanceamento. Se a curva de rigidez interceptar a seção rotor rígido, então o fator de ampificação AF será baixo (menor que 8), e a resposta ao desbaanceamento será bem amortecida. No nosso caso ocorrerá o contrário, pois a interseção ocorre na seção manca rígido do mapa. A reação entre o mapa de críticas e o resutado da anáise de resposta ao desbaanceamento pode ser mehor entendida se os modos de vibrar não amortecidos forem examinados para os casos de manca rígido e manca

20 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 88 Figura 4.6: Propriedades do manca fexíve conforme a figura 4.7. No caso dos mancais fexíveis, a defexão do eixo é menor que a defexão dos mancais. O amortecimento dos mancais será usado para atenuar as vibrações do rotor. Por outro ado, quando os mancais são mais rígidos que o eixo, mesmo se o amortecimento for ato, as forças de mortecimento serão pequenas porque o movimento do eixo no manca é pequeno. Os modos de vibrar não amortecidos são úteis peas seguintes razões: 1. São panos ou bidimensionais, diferentemente das defexões compexas tridimensionais que ocorrem no rotor devido à presença do amortecimento. 2. Dão uma indicação aproximada dos desocamentos reativos do eixo quando o rotor opera na vizinhança da veocidade crítica associada. 3. Dão uma indicação da distribuição do desbaanceamento que será necessário para excitar a veocidade crítica associada. Esta informação é vita para determinar a ocaização do desbaanceamento na anáise de resposta ao desbaanceamento. No nosso caso, pode-se concuir que a estação 8(metade do disco) não é adequada para excitar o segundo modo, pois este ponto é um nó.

21 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 89 rigidez manca << rigidez eixo rigidez manca >> rigidez eixo o 1 modo o 2 modo o 3 modo Figura 4.7: Modos de vibrar para manca fexíve e rígido Os modos de vibrar do nosso rotor são mostrados na figura 4.8. Pode-se verificar que os modos 2, 3 e 4 são essenciamente giroscópicos Anáise de Resposta Amortecida ao Desbaanceamento A anáise de resposta amortecida nos dá a ampitude de vibração esperada. Seu objetivo é informar se a máquina atenderá aos requisitos de margem de separação e imites de vibração. As normas do American Petroeum Institute (API) para turbomáquinas prescrevem a magnitude do desbaanceamento a ser apicado na simuação, bem como sua ocaização. A defexão máxima do eixo não deve exceder 75% da foga neste ponto. reação O imite de vibração pico a pico em µm ido peos sensores é dado pea 12. L v = 25 N ou L v = 25, o que for menor (4-69) onde N é a máxima veocidade de operação contínua em rpm. Este imite não deverá ser excedido, mesmo se o desbaanceamento apicado for quatro vezes o residua u, dado pea reação u = 635w N (4-7) onde w é a carga estática tota sustentada peos mancais do rotor em Kg.

22 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 9 Figura 4.8: Modos de vibrar não amortecidos O produto principa da anáise de resposta ao desbaanceamento é o Diagrama de Bode contendo o fator de ampificação AF e a margem de separação SM. A margem de separação mede o quanto a veocidade de operação dista da veocidade crítica e é dada como um percentua da veocidade mínima de operação se a crítica estiver abaixo dea, ou da veocidade máxima, se acima. O fator de ampificação é uma medida indireta da quantidade do amortecimento disponíve para atenuar o núve de vibração. Estes parâmetros estão iustrados na figura 4.9 retirada da norma API para turbomáquinas [1]. O imite estabeecido para a margem de separação é dado pea expressão ( ) SM = AF 1,5 ou SM = 16, o que for menor (4-71) Fazendo a simuação, considerando a faixa de operação de 5. rpm a 7. rpm e apicando u = 7, g.mm, temos o diagrama de Bode na figura 4.1, onde podemos ver que AF = 13, 7 e SM = 52%, maior que a requerida SM R = 15%. O ato AF encontrado confirma a anáise de

23 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 91 Figura 4.9: Fator de ampificação e margem de separação veocidade crítica feita na seção 4.5.1, onde vimos que a curva de rigidez do manca intercepta o mapa de crítica na seção manca rígido. Se compararmos o pico de vibração de,8 mis (2 µm) zero a pico e compararmos com o imite L v = 1, 31(32µm) pico a pico estabeecido por 4-69, concuímos que o imite de vibração foi utrapassado. Os modos de vibrar tridimensionais são mostrados nas figuras 4.11, 4.12 e 4.13mostram a resposta ao desbaanceamento. Pode-se observar nestas figuras que a inha eástica do rotor não está contida num pano, o que iustra o significado dos autovetores compexos de uma matriz não simétrica Anáise de estabiidade O anexo A contém a anáise de estabiidade, onde podemos ver que a 4.8rpm o primeiro autovaor possui a parte rea σ =, 1765, positiva, correspondente ao fator exponencia. O respectivo decremento ogarítmico é, 1, o que indica que a esta rotação o rotor está sujeito à instabiidade.

24 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 92 Figura 4.1: Diagrama de Bode Figura 4.11: 1 o modo e vibrar

25 Dinâmica de Máquinas Rotativas em Mancais Hidrodinâmicos 93 Figura 4.12: 2 o modo de vibrar Figura 4.13: 3 o modo de vibrar