As equações de campo da gravitação De A. Einstein.

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Clara Sabrosa de Mendonça
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1 As equações de campo da gravitação De A. Einstein. Tradução de Irene Brito Universidade do Minho e-mai: Resumo: Tradução a partir do origina aemão Die Fedgeichungen der Gravitation, A. Einstein, Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berin, , (As equações de campo da gravitação, A. Einstein, Atas da Academia Prussiana das Ciências de Berim). Este artigo é continuação do trabaho Zur agemeinen Reativitätstheorie de A. Einstein pubicado nas Atas XLIV da Academia Prussiana das Ciências de Berim com o títuo Sobre a teoria da reatividade gera. Em particuar, o artigo faz referência às pp e às equações (21) e (22) do trabaho pubicado nas Atas XLIV, e cita estas equações como (21) oc.cit. e (22) oc.cit.. A tradução do trabaho pubicado nas Atas XLIV junta-se aqui a seguir à tradução deste artigo. Em duas comunicações pubicadas recentemente 1 mostrei como é possíve obter as equações de campo da gravitação, que correspondem ao postuado da reatividade gera, isto é, que na sua versão gera são covariantes em reação a quaisquer substituições das variáveis do espaço-tempo. Aí, o processo de desenvovimento foi o seguinte. Primeiro encontrei equações, que contêm a teoria newtoniana como aproximação e que eram covariantes em reação a quaisquer substituições do determinante 2 1. Depois descobri que a estas equações correspondem equações covariantes gerais se desaparecer o escaar do tensor de energia da matéria. O sistema de coordenadas era assim definido segundo a regra simpes de g ter que ser igua a 1, peo que as equações da teoria se simpificam notavemente. Mas aí, como já referido, teria que ser introduzida a hipótese de o escaar do tensor de energia da matéria desaparecer. Recentemente, tenho agora a opinião de que se pode passar sem as hipóteses sobre o tensor de energia da matéria, se se introduzir nas equações de 1 Atas XLIV, p.778 e XLVI, p.799, [Nota da tradutora: Isto significa que g = 1.]

2 128 As equações de campo da gravitação campo o tensor de energia da matéria de uma maneira diferente da apresentada nas minhas duas comunicações anteriores. As equações de campo para o vácuo, na qua fundamentei a expicação sobre o movimento do periéio do Mercúrio, não se ateram com esta modificação. Eu apresento aqui outra vez toda a abordagem, para que o eitor não necessite de ver constantemente as comunicações anteriores. A partir do covariante de Riemann de ordem quatro deduz-se os seguintes covariantes de ordem dois: G im = R im + S im (1) } R im = + x ρ i S im = x m ρ { ρ { i ρ } { m ρ } { ρ } (1a) (1b) Obtemos as dez equações covariantes gerais dos campos de gravitação em espaços, em que fata matéria, fixando G im = 0. (2) Estas equações podem ser apresentadas de maneira mais simpes, se se escoher o sistema de referência de modo que g = 1. Então desaparece S im por causa de (1b), de maneira que, em vez de (2) se obtém R im = Γ im x + ρ Γ iργ ρ m = 0 (3) Aqui é estabeecido que Γ im = g = 1. (3a) (4) cujas grandezas designamos por componentes do campo de gravitação. Se no espaço considerado existe matéria, então aparece o seu tensor de energia no ado direito de (2), respetivamente, de (3). Nós estabeecemos 128

3 Irene Brito 129 que 3 ( G im = κ T im 1 ) 2 g imt, (2a) em que g ρσ T ρσ = ρσ σ T σ σ = T ; (5) T é o escaar do tensor de energia da matéria, o ado direito de (2a) é um tensor. Se distinguirmos outra vez o sistema de coordenadas de modo usua, então obtemos em ugar de (2a) as equações equivaentes R im = Γ im + ( Γ x iργ ρ m = κ T im 1 ) ρ 2 g imt (6) g = 1. (3a) Como sempre, assumimos que a divergência do tensor de energia-momento desaparece no sentido do cácuo diferencia gera (teorema do impuso). Distinguindo a escoha de coordenadas segundo (3a) isto eva a que os T im devem satisfazer as condições ou τ τ Tσ λ = 1 g µν T µν (7) x λ 2 µν T λ σ x λ = µν Γ µ σνt ν µ. (7a) Mutipicando (6) por gim e somando sobre i e m, então, respeitando (7) e a seguinte reação de (3a) 1 g im g im = g g = 0 2 im obtém-se 4 o teorema de conservação para a matéria e o campo de gravitação na forma ( ) Tσ λ + t λ σ = 0, (8) λ 3 [Nota da tradutora: κ = 8πG, onde c é a veocidade da uz e G é a constante gravitaciona.] 4 Sobre a dedução cf. Atas XLIV, 1915, p.784/785. Peço ao eitor que consute também c 4 o desenvovimento apresentado na p.785 para comparação com o que se segue. 129

4 130 As equações de campo da gravitação em que t λ σ (o tensor de energia do campo de gravitação) é dado por κt λ σ = 1 2 δλ σ g µν Γ α µβγ β να g µν Γ α µσγ λ να. µναβ (8a) As razões que me evaram a introduzir o segundo termo do ado direito de (2a) e (6) carificam-se só a partir das seguintes refexões, que são anáogas às apresentadas no sítio há pouco referido (p.785). Se mutipicarmos (6) por g im e somarmos sobre os índices i e m, então obtemos após um cácuo simpes αβ 2 g αβ x α x β κ(t + t) = 0, (9) em que, correspondentemente a (5), é usada para abreviatura g ρσ t ρσ = t σ σ = t. ρσ σ (8b) Observe-se que o nosso termo adiciona tem como consequência, que em (9) o tensor de energia do campo gravitaciona aparece ao ado do da matéria de forma igua, o que não é o caso na equação (21) oc.cit.. Aém disso, deduz-se, em vez da equação (22) oc.cit. do mesmo modo á indicado com a ajuda da equação de energia, as reações 2 g αβ κ(t + t) = 0. (10) x µ x αβ α x β O nosso termo adiciona impica que estas equações não contêm nenhuma condição nova em reação a (9), de ta modo que o tensor da matéria não precisa de obedecer a outra hipótese senão à de que corresponde ao teorema do impuso. Com isto está finamente concuída a teoria da reatividade gera como construção ógica. O postuado de reatividade na sua versão gera, que transforma as coordenadas de espaço-tempo em parâmetros sem significado do ponto de vista físico, eva com necessidade obrigatória a uma determinada teoria de gravitação, que expica o movimento do periéio do Mercúrio. Peo contrário, o postuado gera da reatividade não consegue revear nada sobre a essência dos processos restantes da natureza aém do que a reatividade restrita já não tenha expicado. A minha opinião a este respeito, apresentada recentemente, estava errada. Cada teoria física que está de acordo com a 130

5 Irene Brito 131 teoria da reatividade restrita pode, por meio do cácuo diferencia absouto, ser integrada no sistema da teoria da reatividade gera, sem que esta útima apresentasse agum critério para a egitimidade dessa teoria. Distribuído no dia 2 de dezembro. 131

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