A AÇÃO COMPLETA DA TEORIA DE GRAVITAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR

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1 A AÇÃO COMPLETA DA TEORIA DE GRAVITAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR Abel Dionizio Azeredo e Antônio José Accioly Instituto de Física Teórica IFT), Universidade Estadual Paulista UNESP) Rua Pamplona, 15, CEP , São Paulo/SP, Brasil Resumo A teoria de gravitação de Ordem Superior é uma extensão natural da relatividade geral e se faz adicionando termos de ordem mais alta do tensor de Riemann, R µνρσ suas contrações e derivadas), a ação de Einstein, ou seja, S = d D x 1) D 1 g [ R κ + R + β R µν + γ R µνρσ + δ R + ɛ R µνr νδ R µ δ + ] em D dimensões, onde, β, γ, δ, ɛ, são parâmetros adimensionais e κ = 3πG. Vamos mostrar que na aproximação linear, g µν = η µν + κh µν, a ação completa da teoria de gravitação de Ordem Superior, em qualquer D > dimensões, é dada por [ R S = d D x 1) D 1 g κ + R + β ] R µν, onde todos os demais termos são desnecessários., 1 Introdução A validade do princípio da equivalência, que expressa a igualdade entre massa inercial e massa gravitacional e que também pode ser entendido como a afirmação de que todas as partículas submetidas à mesma condição inicial, caem da mesma forma no campo gravitacional, isto é, seguem as mesmas trajetórias, permite-nos supor que a gravitação seria apenas um efeito do espaço-tempo, no qual as partículas se deslocam. E é exatamente isso o que diz o princípio da equivalência forte ou princípio da equivalência de Einstein, ou seja, os efeitos da gravidade estão intimamente relacionados com a geometria do espaço-tempo curvo. Em dois trabalhos de 1907 e 1911[1], Einstein se preocupou em extender o princípio da relatividade para referenciais sujeitos a uma aceleração uniforme, como o caso de uma queda livre. Ele argumentava que para um observador preso em um elevador em queda livre por exemplo, é impossível decidir por meio de experiências realizadas exclusivamente dentro do elevador, se este é, ou não, um observador acelerado. Esta argumentação pode também enunciar o princípio da equivalência forte ou princípio da equivalência de Einstein. Assim a métrica plana de Minkowski Relatividade Restrita), η µν, pode ser generalizada para uma métrica mais geral, g µν, na forma g µν = g µν x 0, x 1, x,, x D 1), onde as componentes da métrica são funções das coordenadas do espaço-tempo, em D dimensões. E esta generalização, feita por Einstein em 1915 na sua teoria da relatividade geral, leva-nos a seguinte forma para a ação[] azeredo@ift.unesp.br accioly@ift.unesp.br S = κ d D x 1) D 1 g R, 1)

2 P139 onde R é o escalar de curvatura, a contração do Tensor de Ricci, e κ é uma constante com dimensão de comprimento em dimensões e L 1 em 3 dimensões e vale 3πG. O produto d D x 1) D 1 g em D dimensões, e não apenas d D x, é necessário para deixar a ação 1) acima invariante, onde g det g µν. A teoria de gravitação de Ordem Superior e uma extensão natural da relatividade geral e se faz incluindo termos de ordem mais alta em R µν suas contrações e derivadas), na ação de Einstein, ou seja, S = [ R d D x 1) D 1 g κ + R + β R µν + γ R µνρσ + δ R + ɛ ] R µνr νδ R µ δ +, ) onde, β, γ, δ, ɛ, são parâmetros adimensionais. Para o caso de um tratamento semiclássico, ou aproximação de campo fraco, expandimos g µν em torno de uma métrica de fundo η µν, que é a métrica do espaço-tempo plano de Minkowski η µν = diag1, 1, 1,, 1)). Assim, g µν = η µν + κh µν = η µ δ ν + κh ν). 3) É fundamental para o prosseguimento deste trabalho obter expressões para quantidades tais como g µν e 1) D 1 g em termos do novo campo h µν introduzido na aproximação de campo fraco, ou aproximação linear. Estas expressões, expansões em torno da métrica plana de fundo η µν devido a perturbação causada pelo campo h µν, são obtidas na seção que se segue. Expressões Úteis na Aproximação de Campo Fraco.1 A expansão de g µν Utilizando a propriedade do cálculo matricial que diz que se uma matriz tem inversa, a inversa é unica, escrevemos g µν [g µν ] 1 = η µν + aκh µν + bκ h µ h ν + O κ 3). Logo, g µν g νθ = δ θ µ = η µν + κh µν ) η νθ + aκh νθ + bκ h ν h θ +... ) = δµ θ + aκhµ θ + bκ h = δµ θ + κ ahµ θ + hµ θ µ h θ + κhµ θ + aκ h µν h νθ +... ) + κ bhµ h θ + ah µν h νθ) +... Para que a igualdade seja satisfeita, temos que ter a = 1, b = 1 e todos os outros coeficientes da expansão nulos. Portanto, obtemos g µν = η µν κh µν + κ h µ h ν + O κ 3). ). A expansão de 1) D 1 g Também nos será de grande utilidade obter uma expressão para 1) D 1 g na aproximação de campo fraco. Usando a relação det A = exp {T r [ln A]}, 5)

3 P139 3 obtemos { 1 1) D 1 g = exp T r ln [ ] } { 1 1) D 1 g µν = exp T r ln {[ ] 1) D 1 η µ [δ ν + κh ν] }} { 1 = exp T r ln [ ] } { } 1 1) D 1 η µ exp T r ln δν + κh ν) { )} ) 1 = 1) D 1 η exp T r κh ν κ κh hβ νh β + = exp κ h µνh µν + ) κh = 1 + κ h µνh µν ) hκ κ h µνh µν + + Logo, 1) D 1 g = 1 + hκ κ h µνh µν + κ h + O κ 3). 6) 8 3 A Ação Escrita em Termos do Campo Fraco h µν A ação da teoria de gravitação de Ordem Superior é dada pela eq. ), onde os dois primeiros termos são função do escalar de curvatura R = g µν R µν, sendo R µν o tensor de Ricci que, em termos dos símbolos de Cristoffel, é dado por R µν = Γ µν, + Γ µ,ν Γ β µνγ β + Γ β µγ βν. 7) Os Γ s símbolos de Cristoffel), escrevem-se em termos da métrica como se segue Γ µν = 1 gθ [g µθ,ν + g νθ,µ g µν,θ ]. 8) Assim, os dois primeiros termos da ação S podem ser escritos em função do campo h µν presente na métrica de campo fraco [eq.3)]. 3.1 A forma Γ Γ da ação de Einstein O primeiro termo da ação da gravitação quadrática [eq. )] é justamente a ação de Einstein [eq. 1)]. Usando a definação de Γ µν acima [eq. 8)], a ação de Einstein fica S = d D x 1) κ D 1 g R = d D x κ = d D x κ 1) D 1 g g µν R µν 1) D 1 g g [ ] µν Γ µν, + Γ µ,ν Γ β µνγ β + Γ β µγ βν Nos dois primeiros termos de S comparecem derivadas segundas da métrica, enquanto que nos dois últimos, produtos das derivadas primeiras da métrica. A quantidade H µν é uma densidade tensorial, e sua derivada é 1) D 1 g g µν, H µν Γ µν) = H µν, Γ µν + H µν Γ µν,..

4 P139 Segue-se que H µν Γ µν, = H µν,γ µν H µν Γ µν ), e a Ação de Einstein toma a forma S = κ d x { H µν [ Γ β µνγ β + Γ β µγ βν] + H µν, Γ µν H µν,νγ µ + H µν Γ µν + H µ Γ ν µν)}, onde o último termo vai a zero, pois pelo teorema de Gauss) é natural supor que h µν vá a zero no infinito. Com ) H µν ; = 1) D 1 g g µν 0 ou seja, ; = H µν, + Γ µ β Hβν + Γ ν βh µβ Γ β β Hµν 0, H µν, = H µν Γ β β Hµβ Γ ν β H νβ Γ µ β. Simplificando, encontramos a forma Γ Γ) da ação de Einstein S = d D x H νβ Γ µ κ β Γ µν + H νβ Γ µ ) βν Γ µ = d D xh ) µν Γ β κ µγ βν + Γ β µνγ β = d D x 1) κ D 1 gg ) µν Γ β µγ βν + Γ β µνγ β. 9) Esta equação contém somente produtos de derivadas primeiras da métrica. 3. A ação de Einstein linearizada Com os resultados das expansões para g µν [eq. )] e 1) D 1 g [eq. 6)] na aproximação de campo fraco, podemos escrever a ação de Einstein [eq. 1)] como função do campo de spin h µν. Os Γ s [de 8)] escritos em função da métrica de campo fraco são Γ β µν = 1 gβθ [g µθ,ν + g νθ,µ g µν,θ ] = 1 Assim S = 1 κ [ η βθ κh βθ + ] κ [h µθ,ν + h νθ,µ h µν,θ ] = 1 κ [ h β µ,ν + h β ν,µ h β µν, + O κ )]. 10) d D x ) η κh µν κh µν + ) κ [ h β h β,ν + h ν,β h, βν Rearanjando os termos, fica, S = 1 + h β,ν hβν, ) µ, + h β,µ h µ,β )]. ) ) + h β µ,ν + hν β,µ h µν,β h β, + h,β h, β d D x [ h νβ,νhβ, + h νβ,νh,β h νβ,νhβ, h ν β h β,ν hν,β h νβ,h ν,β h β,ν Onde ; denota derivada covariante e, denota derivada comum. ν, h h β,ν + ],β + h νβ,h, βν,

5 P139 5 ou seja, S = [ d D x h νβ,hν,β + h νβ,νh,β + 1 h ν,β h ν,β h,β h,β) + ]. 11) O integrando da eq. 11) é a lagrangeana de Einstein na aproximação de campo fraco, que escrita em termos dos campos auxiliares A µ h µν,ν e φ h, fica L E = h νβ,hν,β + h νβ,νh,β + 1 h ν,β h ν,β h,β h,β) + = h νβ,β h ν, + h βν,νh,β 1 h µν h µν + h,ν h,ν ) + = A ν A ν + A ν φ,ν 1 h µν h µν 1 φ,νφ,ν + = 1 [ hµν h µν + Aν A ν φ,ν φ,ν φ,ν] + = 1 [ hµν h µν + Aν + A ν φ,ν ) ] 1) 3.3 Aproximação linear para o termo proporcional a R De acordo com 7) R µν = Γ µν, + Γ µ,ν ΓΓ + ΓΓ, onde os produtos ΓΓ são da ordem de κ porque contém produtos das derivadas primeiras da métrica. Com Γ µν de acordo com a equação 10), o tensor de Ricci fica R µν = 1 κ [ h µ,ν h ν,µ + h µν, + h µ,ν + h,µν h, µ ν] + = 1 κ [ ] hµ,ν hν,µ + h µν + h,µν + = κ h µν κ γ,ρ µρ ν + γ νρ µ) ),ρ + O κ, 13) onde γ µν h µν 1 η µνh. Assim o escalar de curvatura pode ser escrito como onde η µν µ ν. R = g µν R µν = η µν κh µν + ) κ [ hµν ) γ µρ,ρ ν + γ νρ,ρ µ + ] = κ h κγµν,µν + O κ ), 1) De 1), onde γ µν,µν = h µν,µν 1 ηµν h,µν = h µν,µν 1 h, obtemos onde A µ h µν,ν e φ h. R = κ [ 1 h hµ,µ + 1 h ] [ h h νβ,νβ] + = κ [ h h h µ,µ h + h µ,µh νβ,νβ] + = κ [ φ φ A µ,µ φ + A µ,µa ν,ν] + = κ A, φ) + O κ 3), 15)

6 P Aproximação linear para o termo proporcional a R µν,ρ Com R µν conforme 13), onde γµρ ν = h µρ,ρ ν 1 η µρh,ρ ν = A µ,ν 1 h,µν, escrevemos = κ = κ = κ R µν = R µν R µν = κ h µν + h,µν A µ,ν A ν,µ ) h µν + h,µν A µ,ν A ν,µ ) [ h µν h µν + A µ A µ + A µ,ν A ν,µ A µ }{{},µ φ + φ φ] F µν [ hµν h µν Fµν + φ φ A µ,µ φ ] [ A + κ ) µ ) ],µ A µ,µ [ h µν h µν A,µ) µ F µν + A µ,µ φ ) ], 16) onde A µ h µν,ν, φ h e F µν A µ,ν A ν,µ, portanto A µ A µ = ν ν A µ A µ = A µ,ν A µ,ν. h µν = h νµ, por isso A µ,ν h µν = A ν,µ h νµ = A ν,µ h µν. 3.5 Aproximação linear para o termo proporcional a R µνρσ De acordo com as convensões que adotamos, o tensor de Riemann R βµν é definido por Usando 10) Assim: R βµν = ν Γ βµ + µ Γ βν Γ ρ βµ Γ ρν + Γ ρ βν Γ ρµ. 17) R βµν = 1 κ [ h β,µν + h µ,βν h, βµ ν h β,νµ h ν,βµ + h, βν µ] + O κ ). Rµνρσ = R µνρσ R µνρσ = κ [h νµ,ρσ + h ρµ,νσ h νρ,µσ h νµ,σρ h σµ,νρ + h νσ,µρ ] [h νµ,ρσ + h ρµ,νσ h νρ,µσ h νµ,σρ h σµ,νρ + h νσ,µρ ] + = κ [h µν h µν + h ρµ ν µ h νρ h ρµ σ ρ h σµ + h ρµ ν σ µ ρ h νσ ] + = κ [ h µν h µν + A µ + ) ] A µ,µ = κ [ [ A ) ] h µν h µν µ +,µ Aµ,ν ) ) A µ ],µ }{{} Fµν = κ [ h µν h µν Fµν ) ] A µ,µ 18) Abusamos das integrações por partes, em outras palavras usamos sucessivas vezes a seguinte regra menmônica: µ φ µ φ = φ φ, onde mudamos o sinal da expressão ao trocar a posição da derivada parcial com o campo φ. Mais rigorosamente µ φ µ φd x = µ φ µ φ) d x φ φd x. Mas, pelo teorema de Gauss µ φ µ φ) d x = 0, pois φ vai a zero no infinito, logo µ φ µ φd x = φ φd x, o que implica que os integrandos tembém devem ser iguais. Este resultado é independente da dimensão.

7 P139 7 onde A µ h µν,ν e F µν A µ,ν A ν,µ. 3.6 A Ação linearizada da Gravitação de Ordem Superior A ação da Gravitação de Ordem Surerior é, conforme ), onde o termo δ R é uma divergência total e pode ser negligenciado da ação. O termo ɛ R µνr νδ R µ δ e todos os demais de ordem mais alta são da ordem de κ 3 ou superior na aproximação linear que fazemos. Portanto, para manter termos até a ordem de κ basta-nos os primeiros termos de ). Assim, com os resultados 1), 15), 16) e 18) temos para a lagrangeana a lagrangeana linearizada L = R κ + R + β R µν + γ R µνρσ, 19) ) [ b L lin = + d h µν h µν ) ] A µ,µ F µν + b, 1 + c) A φ) 1 [ hµν h µν + A ν + A ν φ,ν ) ], 0) onde A µ h µν,ν, φ h, F µν A µ,ν A ν,µ, b βκ, c β e d γκ. Do resultado 0) vemos imediatamente que o termo proporcional a Rµνρσ não contribui absolutamente, isto é, não introduz nenhuma nova partícula à teoria pois por meio de uma redefinição dos parâmetros, β e γ obtemos a mesma lagrangeana linearizada que obteríamos caso omitíssemos esse termo completamente[3]. Assim basta-nos a lagrangeana e sua correspondente linearização L = R κ + R + β R µν, 1) L lin = b [ h µν h µν ) ] A µ,µ F µν c) A, φ) 1 [ hµν h µν + A ν + A ν φ,ν ) ], ) onde 1) é a lagrangeana completa da teoria de gravitação de Ordem Superior para qualquer D > dimensões. Observamos que o mesmo argumento usado acima pode justificar também a omissão do termo em R, proporcional a, na lagrangeana completa da teoria de gravitação de Ordem Superior. Também Em dimensões[5] R µνρσ = 1 R g µσg νρ g µρ g νσ ) e R µν = 1 Rg µν. Assim e R + β R µν + γ R µνρσ = R + β R + γ R, S = d x [ R g κ β ) ] + γ R.

8 P139 8 sabemos que o termo em R é conformemente invariante a teoria de Einstein[] dada pela ação 1). No entanto, não fazemos isto porque sabemos que este termo é importante para se obter um limite newtoniano aceitável para a teoria e, além disso, acreditamos que o termo proporcional a R seja importante na questão da renormalizabilidade da teoria. Especificamente para 3 dimensões[5] R µνβ = A ρσ ε ρµ ε σνβ, onde A ρσ é um tensor simétrico de segunda ordem e ε µνρ é o tensor completamente antissimétrico. Assim R µν = g β R µνβ = g β A ρσ ε ρµ ε σνβ = A ρσ g ρλ g µθ ε λβθ ε σνβ = A ρσ g ρλ g µθ ε λθβ ε σνβ = A ρσ g ρλ g µθ δ λ σ δ θ ν δ λ νδ θ σ) = Agµν + A µν. Logo R = g µν R µν = 3A + A = A A = R, então o tensor de Einstein. Então A µν = R µν + Ag µν = R µν 1 Rg µν = G µν, R µνρσ R µνρσ = G λθ ε λµν ε θρσ G πω ε πµν ε ωρσ = G λθ G πω δ π λ δ µ µ δ π µ δ µ λ ) δ ω θ δ ρ ρ δ ω ρ δ ρ ) θ = ) 3G πθ G πω G µθ G µω 3δ ω θ δθ ω ) = G πθ G πθ = G µν G µν = R µν R ) gµν R µν R ) g µν = Rµν R R + 3R = Rµν R.3) Assim, a ação da lagrangeana 19) em 3 dimensões fica S = d 3 x [ R g κ + 1 γ) R + 1 ] β + γ) R µν, ) que por meio de uma redefinição dos parâmetros, β e γ fica equivalente a ação da lagrangeana 1), o que reforça o argumento utilizado anteriormente para descartar o termo proporcional a Rµνρσ da ação completa da teoria de gravitação de Ordem Superior[3]. Referências [1] A. Einstein, Jahrbuch d. Radioakt. und Elektronik, ); Ann. d. Phys. Germany) 35, ). [] A. Einstein, Preuss. Akad. Wiss. Berlin, Sitz.ber. p ); p ); p ); p ); Ann. d. Phys. 9, ). [3] A. Accioly, A. Azeredo and H. Mukai, Jour. Math. Phys. 3, 73 00). [] A. Accioly, A. Azeredo, E. de Rei Neto and H. Mukai, Braz. Jour. of Phys. 8, ). [5] V. Foock, The Theory of Space Time and Gravitation Pergamon Press, London, 1959), Ap. E. Precisamos dos parâmetros e β da lagrangeana para poder impor a ausência de táquions na teoria. Somente β não nos permite tal escolha e, consequentemente, não nos fornece um limite newtoniano aceitável para a teoria. ε µνρ = 1 ɛ µνρ e ε µνρ = g µρ g µσ g µβ g ɛ µνρ, com ɛ 01 = +1 e g = diag+,, ). Também ε µν ε ρσβ = g g νρ g νσ g νβ g ρ g σ g β, onde g µ g µ = δ = δ 0 0+δ 1 1+δ = 3, em 3-dimensões. Assim ε µν ε ρσ = δ µ ρδ ν σ δ ν ρδ µ σ, ε µν ε ρν = 3δ µ ρ δ ν ρδ µ ν e ε µν ε µν = 6 = 3!.