Instituto de Física Teórica Universidade Estadual Paulista IFT. Energia escura acoplada. Giovanni Otalora Patiño. Professor Dr.

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1 IFT Instituto de Física Teórica Universidade Estadual Paulista DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT D.00/10 Energia escura acoplada Giovanni Otalora Patiño Professor Dr. Rogerio Rosenfeld de janeiro de 010

2 Agradecimentos Ao professor Rogerio Rosenfeld, pela sua orientação, assim como a todos os professores do IFT, com os quais aprendi muito. À CAPES pelo apoio financeiro. i

3 Resumo Na última década várias observações indicam que o universo está expandindo aceleradamente. Essa expansão acelerada pode ser explicada em um universo composto de 70% de energia escura e 30% de matéria (5% de matéria escura e 5% de matéria bariônica). A energia escura proporciona a pressão negativa necessária para produzir a aceleração em grandes escalas. Nesse trabalho faz-se uma revisão do modelo de um campo escalar como fonte da energia escura, conhecido genericamente como modelo de quintessência. Estuda-se o modelo de quintessência acoplada à matéria escura. Palavras e conceitos Chaves: Energia escura, matéria escura, Quintessência acoplada, expansão acelerada, Áreas do conhecimento: Teoria da energia escura, cosmologia de quintessência acoplada ii

4 Abstract In the previous decade many observations indicate that the universe is accelerating. This rapid expansion can be explained in an universe made up of 70% of dark energy and 30% of matter (5% of dark matter and 5% of baryonic matter). The dark energy provides negative pressure to produce acceleration. In this work it is studied the model of Quintessence, a model of scalar field, as source of the dark energy. It is studied the model of Coupled Quintessence with dark matter. iii

5 Sumário 1 Introdução Modelo Cosmológico Padrão Equações de Friedmann Lei de Gravitação de Newton versus Aceleração do Universo... 5 Evidência da energia escura 7.1 Vínculos de supernova Ia Distância de luminosidade A idade do universo e a constante cosmológica Quintessência Equação de movimento Tensor momentum Energia Dinâmica cosmológica de quintessência na presença de um fluido barotrópico perfeito Parâmetros cosmológicos importantes no espaço de fase Soluções constantes ou pontos críticos Estabilidade ao redor dos pontos críticos Ponto crítico (a) Ponto crítico (b1) Ponto crítico (b) Ponto crítico (c) Ponto crítico (d) Quintessência com acoplamento á matéria escura 4.1 Sem radiação Sistema autônomo e pontos críticos iv

6 4.1. Estabilidade ao redor dos pontos críticos e propriedades ponto crítico (a) ponto crítico (b1) ponto crítico (b) ponto crítico (c) ponto crítico (d) Com radiação Sistema autônomo e pontos críticos Estabilidade ao redor dos pontos críticos e propriedades Ponto crítico (a) Ponto crítico (b1) Ponto crítico (b) Ponto crítico (c) Ponto crítico (d) Ponto crítico (e) Ponto crítico (f) Ponto crítico (g) Quintessência acoplada com acoplamento não linear 47 Conclusões 51 A Tensor momentum energía 53 B Sistema autónomo e estabilidade 55 B.1 Pontos Fixos ou críticos B. Estabilidade ao redor dos pontos críticos Referências 57 v

7 Capítulo 1 Introdução Na última década várias observações indicam que o universo está expandindo aceleradamente. Essa expansão acelerada pode ser explicada em um universo composto de 70% de energia escura e 30% de matéria (5% de matéria escura e 5% de matéria bariônica) [1,, 1]. A energia escura proporciona a pressão negativa necessária para produzir a aceleração em grandes escalas. A explicação mais simples da energia escura é dada pela constante cosmológica, mas este cenário tem um problema sério como é a discrepância em escalas de energia. Da acordo com a evidência experimental, o universo a grandes escalas é especialmente plano []. Isso significa que o universo está em seu densidade crítica e assim, a ordem de grandeza da energia contida na constante cosmológica é da ordem da densidade crítica GeV 4 []. Mas este valor é diferente em muitos ordens de grandeza com relação ao valor que prediz a teoria quântica de campos GeV 4 [3]. Este problema pode ser solucionado considerando um campo escalar com uma equação de estado barotrópica e dinâmica, p = ωρ, onde p é a densidade de pressão do campo escalar e ρ a densidade de energia. Nos últimos anos muitos modelo de energia escura foram propostos, energia escura dilatônica [8], K-essência [5], campo fantasma [], tachiones [7], e o modelo de Quintessência [4], etc. Em todos os modelos, para proporcionar um cenário de energia escura viável, se requer que a densidade de energia do campo escalar seja subdominada durante as épocas nas quais a radiação e a matéria dominem a dinâmica do universo e que venha a ser dominante só agora para conduzir a expansão acelerada, satisfazendo o vínculo observacional de um universo plano. Tipicamente os modelos de energia escura de campo escalar não apresentam o 1

8 acoplamento do campo escalar ao fluido material. Mas não existe uma razão fundamental para que esse acoplamento seja inexistente 1.1 Modelo Cosmológico Padrão A evolução do universo se descreve teoricamente pela solução das equações do campo gravitacional da teoria geral da relatividade. O modelo padrão da cosmologia atual é a solução proposta por Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker, o qual considera uma completa homogeneidade e isotropia na distribuição do conteúdo do universo. O modelo padrão se construíu considerando que o espaço que compreende o universo está preenchido uniformemente de matéria e radiação, é completamente homogéneo e isotrópico em seus propriedades em escalas da ordem de 10 8 parsec ou maiores (1 parsec 10 1 m) [9]. Isto significa que se pode escolher um tempo universal tal que em qualquer tempo a métrica do espaço seja a mesma em todos os pontos e em todas as direções. A métrica do espaço tempo que satisfaz estas condições é conhecida como a métrica de Friedmann-Robertson-Walker, [9, 10], ou FRW, a qual se escreve do jeito onde ds = dt + a (t)dl, (1.1) ( ) dr dl = a (t) 1 Kr + r dθ + r sen θdφ (1.) é a métrica do espaço em coordenadas esféricas, que depende do tempo através do fator de escala a(t). A velocidade da luz considere-se c = 1. Há três tipos de universo descrito por esta métrica. O universo fechado K = 1, o espaço aberto K = 1 e o universo plano K = 0. Assim para o caso de universo plano com coordenadas espaciais (x, y, z), a métrica do espaço-tempo FRW está dada por ds = dt + a (t) [ dx + dy + dz ]. (1.3) Algumas vezes é melhor expressar a métrica 1.1 em coordenadas esféricas quadridimensionais como ds = dt + a [ dχ + f K(χ) ( dθ + sin θdφ )], (1.4) onde sin χ, K = +1, f K (χ) = χ, K = 0, sinh χ, K = 1. (1.5)

9 1.1.1 Equações de Friedmann A lei de gravitação de Einstein sem matéria e radiação tem a forma R µν 1 g µνr = 0, (1.) R é a curvatura escalar, a qual define-se como uma operação de contração de índices no tensor misto R ν µ = g µα R αν [11]. O tensor simétrico R µν é conhecido como o tensor de Ricci e se define em termos dos símbolos de Christoffel Γ α µν [11] R µν = Γ β µβ,ν Γβ µν,β + Γα µβ Γβ αν Γ α µνγ β αβ. (1.7) Ainda que os símbolos de Christoffel não sejam tensores se podem definir em termos do tensor fundamental g µν, o qual é a métrica do espaço tempo [11] Γ σ µβ = gσν (g νµ,β + g νβ,µ g µβ,ν ). (1.8) Em presença da matéria e radiação, estas equações se tem que modificar, introduzindo o tensor momentum energia T µν. As equações de Einstein ficam [11] R µν 1 g µνr = 8πGT µν, (1.9) onde G é a constante de gravitação. O tensor momentum energia T µν, representa a presença da matéria e radiação junto com as leis de conservação, ver apêndice (A). O modelo de matéria e radiação que se escolhe é o de um fluido material perfeito. Um fluido perfeito é um fluido homogêneo e isotrópico sim fricção e sem condução de calor, para o qual o tensor momentum energia se define como [10] T µν = (ρ + p) u µ u ν + pη µν, (1.10) onde u µ é a quadri-velocidade do fluido no ponto x µ do espaço tempo, p é a pressão, ρ a densidade de energia e η µν é a métrica de Minkowski (, +, +, +). Devido ao sistema de referência que se escolhe, todo elemento de fluido se encontra em repouso e portanto as componentes tri-dimensional da quadri-velocidade são iguais a zero(u α = 0 α = 1,, 3). O tensor momentum energia, o qual é um tensor simétrico, pode-se escrever como T µ ν = ρ p p p 3 (1.11)

10 e por contração dos índices é obtido T = T µ µ = ρ + 3p. (1.1) Para obter as equacões de Friedmann calcula-se os símbolos de Christoffel diferentes de zero as componentes diferentes de zero do tensor de Ricci, a curvatura escalar R e o traço do tensor momentum energía (1.1), para assim substituir na equação de Einstein (1.) [11]. Substituindo R = 8πGT na equação (1.) ( R µν = 8πG T µν 1 ) g µνt, (1.13) da equação (00) encontra-se e a equação (ij) junto com 1.1 ä a = 4πG (ρ + 3p), (1.14) 3 (ȧ a ) = 8πG 3 ρ K a, (1.15) onde ρ é a densidade de energia total, p é a pressão total, G é a constante gravitacional de Newton e o termo K a é conhecido como o termo de curvatura [9]. As equações 1.14 e 1.15 são conhecidas como as equações de Friedmann e junto com a métrica de FRW, constituem o modelo cosmológico padrão. De 1.14 pode-se deduzir que a expansão acelerada ocorre para ρ + 3p < 0 e pela equação de estado tem-se que o universo está acelerando para Por outro lado, a equação (1.14) pode-se escrever como onde p = ωρ, (1.1) ω < 1 3. (1.17) Ω(t) 1 = K a H, (1.18) Ω(t) = ρ(t) ρ c (t), (1.19) é o parâmetro de densidade total, e define-se a densidade crítica ρ c (t) = 3H (t) 8πG, (1.0) 4

11 e H = ȧ a é o parâmetro de Hubble, o qual descreve a aceleração do universo. A densidade de energia total ρ determina a geometria espacial do universo da seguinte maneira Ω > 1 ou ρ > ρ c K = +1 Universo fechado, Ω = 1 ou ρ = ρ c K = 0 Universo plano, Ω < 1 ou ρ < ρ c K = 1 Universo aberto. (1.1) Lembrando que há evidências de que o universo é muito plano em escalas cosmológicas [], portanto, de acordo com o modelo padrão, a densidade de energia total do universo é próxima à densidade crítica Lei de Gravitação de Newton versus Aceleração do Universo Seja o universo completamente preenchido de um fluido material barotrópico, com equação de estado ω = p/ρ, onde ω é constante. Então solucionando as equações de Friedmann 1.14 e 1.15 com K = 0 se obtém para o parâmetro de Hubble H(t) = 3 (1 + ω) (t t 0 ), (1.) o fator de escala no tempo t e a densidade de energia total a(t) (t t 0 ) 3(1+ω) (1.3) ρ(t) a 3(1+ω), (1.4) onde t 0 é uma constante. O universo dominado por radiação tem equação de estado ω = 1/3, enquanto que o universo dominado por matéria não relativística ou matéria fria tem equação de estado ω = 0. Ambos casos correspondem a um universo com expansão desacelerada. Assim, o modelo cosmológico padrão não pode explicar a expansão acelerada do universo já que descreve um universo que está preenchido de matéria ordinária e radiacão. A lei de gravitacão de Newton concorda com a equação de Friedmann 1.14 para o caso de um universo plano dominado pela matéria fria. Em efeito, considere-se uma esfera homogênea com raio a e densidade de energia ρ respectivamente. A equação de Newton de movimento para um ponto material com masa m sobre esta esfera é dada por simplificando pode-se obter mä = Gm a ( 4πa 3 ρ 3 ), (1.5) ä a = 4πG ρ, (1.) 3 5

12 onde ω = 0. Para explicar a expansão acelerada do universo se requer uma energia exótica denominada energia escura, com equação de estado satisfazendo a desigualdade A desigualdade 1.17 significa que requer-se uma pressão negativa para produzir uma expansão acelerada.

13 Capítulo Evidência da energia escura.1 Vínculos de supernova Ia.1.1 Distância de luminosidade Seja um objeto distante na posição (t, χ s (t), θ s, φ s ) com θ s e φ s fixos, que emite um fóton com energia E cada intervalo de tempo t. Na Terra, na posição (t 0, 0, 0, 0), um observador registra a chegada de cada fóton com energia E 0 cada intervalo de tempo t 0. A luminosidade absoluta e a luminosidade aparente estão definidas por L s = E t e L 0 = E 0 t 0, (.1) respectivamente. Como sabemos a energia de cada fóton que é emitido é E = hν e a energia de cada fóton recebido é E 0 = hν 0, onde h é a constante de Planck, ν e ν 0 são a frequência de cada fóton. Deste modo tem-se que E E 0 = ν ν 0 e pela definição do redshift 1 + z = ν = a 0 ν 0 a, (.) então E = 1 + z. E 0 (.3) Agora, seja o comprimento que percorre o fóton no tempo t. Também, seja t pequeno de tal jeito que o fator de escala a(t) não mude. Então pela trajetória geodésica que percorre cada fóton, segundo a métrica (1.4), tem-se que t = a(t) e do mesmo modo para o fóton que chega à Terra no tempo t 0, satisfaz-se t 0 = a 0. Assim t 0 t = 1 + z. (.4) 7

14 Portanto, pela equação.1,.3 e a.4 têm-se que A luz viajando na direção χ satisfaz a equação geodésica e, portanto, integrando tem-se da definição de z, equação., então e L s = L 0 (1 + z). (.5) ds = dt + a dχ = 0, (.) χ s = χs 0 dχ = z = a 0 a t t 0 dt a(t), (.7) 1, (.8) dz dt = a 0 ȧ a a = a 0 H, (.9) a dt = dz a 0 a H, (.10) desta maneira fazendo a mudança de variável t por z na integral.7 se chega à expresão χ s = 1 a 0 z 0 dź H(ź). (.11) O área da esfera com centro em (χ s, θ s, φ s ) e raio χ s, de acordo com a métrica 1.4, está dada por A = π π onde g é o determinante da métrica espacial, em t = t gdθdφ = 4πa 0 f (χ s ), (.1) dγ = a 0f (χ)dθ + a 0f K(χ)sen θdφ, (.13) Portanto o fluxo de energia recebido pelo observador em (t 0, 0, 0, 0) é F = A distancia de luminosidade define-se como L 0 4πa 0 f K (χ s). (.14) d L = então pela definição de d l e da equação.5 e.14 obtém-se L s 4πF, (.15) d L = a 0 f K (χ s ) (1 + z), (.1) 8

15 Lembrando que no universo de FRW com curvatura K = 0 (universo plano) satisfaz f K (χ s ) = χ, equação 1.5, e usando a equação.11 encontra-se que d L = (1 + z) z 0 dź H(ź). (.17) A densidade de energia ρ do lado direito da equação 1.1 inclui todas as componentes presentes no universo, matéria bariônica, radiação, energia escura, matéria escura, etc. Considere-se que cada componente da energia total do universo tem uma equação de estado ω i, que não muda no transcurso do tempo. Deste jeito a densidade de energia total está dada por ρ = i ( ) ρ (0) a 3(1+ωi ) i, (.18) a 0 por meio da equação., obtém-se ρ = i ρ (0) i (1 + z) 3(1+ω i), (.19) assim a equação 1.17 com K = 0 escreve-se na forma H = 8πG 3 i ρ (0) i (1 + z) 3(1+ω i) (.0) e da definição do parâmetro de densidade Ω (0) i ρ (0) c = 3H 0 = ρ(0) i ρ (0) c, para cada componente, onde 8πG é a densidade crítica do universo no instante t 0, encontra-se que H = H0 i Ω (0) i (1 + z) 3(1+ω i), (.1) portanto, substituindo a última equação (.1) na equação (.17), obtém-se finalmente d L = (1 + z) H 0 z 0 dź. (.) i Ω(0) i (1 + ź) 3(1+ω i) Na figura (.1) se tem dados de observação dâ distância de luminosidade d L versus redshift z junto com curvas teóricas derivadas da equação (.). Nesta figura pode-se ver que para o universo plano no qual dominam dois tipo de componentes, a materia escura fria com equação de estado ω m = 0 e o outro uma componente com equação de estado ω ϕ 1 tal que Ω ϕ 0.7 e Ω m 0.3 se ajusta muito bem aos dados experimentais. Este é um dos argumentos para apoiar a existência da energia escura. 9

16 id pdfmachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! Figura.1: Nesta figura pode-se observar três curvas teóricas traçadas de acordo com a equação (.) e um conjunto de valores determinados via observação para a dependência entre a distância luminosidade d L e o redshift z (esta figura foi retirada da referência [3]). Como se pode constatar a curva teórica que mais se ajusta aos dados experimentais é aquela que se constrói considerando Ω m = 0.31 e Ω λ = 0.9 (constante cosmológica). Este é um dos argumentos para apoiar a existência da energia escura 10

17 . A idade do universo e a constante cosmológica Otra peça de evidencia para a existência da energía escura ocorre quando se compara a idade do universo (t 0 ) com a idade de populações de estrelas mais velhas (t s ). Se requer t 0 > t s, mas isto só se logra num modelo cosmológico plano quando se considera a existência da energia escura. Na referencia [1] se calculo a idade do cúmulo globular na via láctea do ordem de t 1 = 13.5 ± 0. Gyr. Usando uma técnica diferente na referencia [17] obteve-se a idade do cúmulo globular M4 como t 1 = 1.7 ± 0.7Gyr, o qual é o cúmulo mais velho conhecido. Então a idade do universo deve satisfazer t 0 > 11 1Gyr. Agora vai-se determinar a idade do universo para dois situações. Na primeira situação só considera-se materia escura. Na segunda siutação considera-se dos componentes para o universo, a materia escura e a energia escura na forma de constante cosmológica. A radiação pode-se despreciar em ambos casos já que o período dominado pela radiação é muito menor em relação á idade total do universo. De acordo com a equação.9 tem-se que 0 dz dt = t 0 0 H(1 + z), (.3) onde o tempo atual é considerado como o tempo zero e o tempo t 0 é um instante de tempo no começo do universo. O redshift de um fóton emitido neste instante é infinito. Assim, t 0 = Segundo a equação.1, tem-se que H = H 0 Pela equação. e a.5, a equação.4 escreve-se do jeito t 0 = 0 0 dz H(1 + z), (.4) [ ] Ω (0) m (1 + z) 3 + Ω (0) λ. (.5) dz ( ) H 0 (1 + z) Ω (0) m (1 + z) 3 + Ω (0) 1/. (.) λ Num universo dominado pela materia escura não relativista, Ω m = 1 y Ω λ = 0, durante a maior parte da história, a idade do universo está dada por t 0 = 3H 0, (.7) Das observações do telescópio espacial Hubble [18], das observações da CMB [19] e da estrutura a grande escala [0], a grandeza do parámetro de Hubble no presente 11

18 é H 1 0 = 9.77h 1 Gyr com 0.4 < h < Assim, de acordo com a equação.7, se obtém t 0 = 8 10 Gyr, valor que não satisfaz o requerimento. Pelo tanto um modelo do universo plano sim energia escura não satisfaz. Agora, considere-se a contribução por parte da energia escura, pela equação. tem-se que integrando encontra-se t 0 = 0 t 0 = dz, (.8) H 0 (1 + z) Ω (0) m (1 + z) 3 + Ω (0) λ 3H 0 Ω (0) λ ln 1 + Ω (0) λ Ω (0) m. (.9) De acordo com a evidencia experimental [1, ], tem-se que Ω (0) m = 0.3 e Ω (0) λ = 0.7, então a idade do universo, segundo a equação.9 é do ordem t 0 = 0.94H 1 0, o qual corresponde a t 0 = 13.1 Gyr para h=0.7, idade que satisfaz a condição t 0 > 11 1 Gyr. Pelo tanto requer-se a existência da energia escura para poder ter consistência com as estimações da idade das estrelas velhas. 1

19 Capítulo 3 Quintessência O modelo de quintessência postula a existência de um campo escalar φ que ainda não se encontra no minimo de seu potencial V (φ). A densidade de energia associada ao campo pode ser uma explicação para a energia escura caso a equação de estado para o campo satisfaça ω < 1/ Equação de movimento A ação para o modelo de quintessência é S = d 4 x [ g 1 ] µφ µ φ V (φ). (3.1) Variando a ação com respeito do campo tem-se que δs = d 4 xδ ( gl ), (3.) onde δ µ φ = µ δφ, logo e portanto δ ( gl ) = ( gl) δφ + ( gl) φ µ φ δ µφ, (3.3) δ ( gl ) = g L ( ) ( ) ( gl) ( gl) φ δφ + µ µ φ δφ µ δφ, (3.4) µ φ δs = [ ( )] gl gl d 4 x µ ]δφ, (3.5) φ µ φ 13

20 onde o termo de superfície foi eliminado. para o campo de quintessência L = 1 µφ µ φ V (φ), logo substituindo encontrase Agora do princípio de mínima ação δs = 0, e para δφ arbitrário tem-se gl φ ( ) gl µ = 0, (3.) µ φ g µ µ φ + µ g µ φ dv (φ) dφ = 0, (3.7) e para o caso F RW plano e φ espacialmente homogêneo g = a 3 e φ + 3H φ + dv (φ) dφ = 0. (3.8) 3. Tensor momentum Energia O tensor momentum energia do campo escalar está definido assim T µν = δs, (3.9) g δg µν e portanto para o campo de quintessência tem-se que [ ] 1 T µν = µ φ ν φ g µν µφ µ φ + V (φ), (3.10) ver apêndice A. Subindo um índice e considerando o campo espacialmente homogêneo tem-se que também ρ φ = T 0 0 = φ + V (φ), (3.11) p φ = Ti i = φ V (φ). (3.1) 3.3 Dinâmica cosmológica de quintessência na presença de um fluido barotrópico perfeito As equações que definem o modelo são 14

21 e H = κ 3 (ρ φ + ρ m ), (3.13) Ḣ = κ (ρ φ + ρ m + p φ + p m ), (3.14) φ + 3H φ + dv dφ = 0, (3.15) onde ρ m é a densidade de energia da matéria escura, considerada com um fluido barotrópico e não relativístico (matéria escura fria). A densidade de energia da matéria bariônica é desprezada. Também, κ = 8πG é uma constante. Introduzindo as variáveis do espaço de fase x = κ φ H, y = κ V 3H, λ = V,φ κv e Γ = V V,φφ V,φ, (3.1) e derivando com respeito ao tempo físico tem-se dx dt = κ φ + κ φ ( Ḣ H H Substituindo o tempo físico pelo número de e-folding N = ln a, dn dt dx dn = A equação de movimento do campo escalar também, da equação 3.14 onde ρ φ + p φ = φ e portanto ( Ḣ H = 3 κ φ 3H ). (3.17) = H obtém-se κ φ ( ) + x Ḣ H H. (3.18) κ φ H = λy 3x, (3.19) Ḣ H = κ H (ρ φ + p φ + ρ m (1 + ω m )), (3.0) ) + κ ρ m H (1 + ω m), (3.1) Ḣ H = 3x + κ ρ m H (1 + ω m). (3.) 15

22 Por comodidade se vai conservar ω m, no final se considera matéria escura fria ω m = 0. Definindo γ = 1 + ω m e da equação 3.11 e 3.13 tem-se que H = κ ( ) 1 3 φ + V (φ) + ρ m, (3.3) 1 = κ φ H + κ V (φ) 3H + κ ρ m 3H, (3.4) logo portanto κ ρ m 3H = 1 x y, (3.5) Ḣ H = 3x + 3γ [ dx dn = λy 3x + 3x + 3γ ( 1 x y ), (3.) ( 1 x y )], (3.7) dx dn = Da mesma maneira λ y 3x + 3 x [ ( γ) x + ( 1 y ) γ ]. (3.8) dy dn H = κ 3 1 V ( dy dn = κ ) ( V 3H H φ + κ ( ) V Ḣ 3 H, (3.9) V,φ κ φ ) ( V,φ H κv ) ( κ ) ( ) V + Ḣ 3V H, (3.30) Finalmente dy dn = λxy + 3y [ ( γ) x + ( 1 y ) γ ]. (3.31) ( ) dλ dn = V,φφ κv φ + V,φ V,φ φ κ V, (3.3) ( dλ dn = V V,φφ V φ ) ( ) ( V,φ κ V κ φ ) ( + V,φ H κv ) ( κ φ ), (3.33) H dλ dn = xλ Γ + λ x, (3.34) Junto com a equação dλ dn = λ (Γ 1) x. (3.35) 1

23 x + y + k ρ m = 1, 3H (3.3) que expressa o fato que o universo seja muito plano Ω φ + Ω m = 1. O sistema de equações do modelo ficam assim dx λ dn = y 3x + 3 x [ ( γ) x + ( 1 y ) γ ]. (3.37) dy dn = λxy + 3y [ ( γ) x + ( 1 y ) γ ]. (3.38) dλ dn = xλ Γ + λ x, (3.39) 3.4 Parâmetros cosmológicos importantes no espaço de fase Para expressar que o universo é plano tem-se o parâmetro de densidade de energia total. Para descrever sua expansão acelerada se tem o parâmetro da equação de estado. O parâmetro de densidade de energia esta definido pela equação 1.0. No caso do campo de quintessência ρ = ρ φ = φ + V (φ), e portanto e em termos de x e y Ω φ = κ φ H + κ V 3H, (3.40) Ω φ = x + y. (3.41) Assim a condição de que o universo seja plano fica Ω φ + Ω m = x + y + κ ρ m = 1, (3.4) 3H a mesma equação 3.3. O parâmetro de estado está definido pela equação Então das equações 3.11 e 3.1, em termos de x e y a equação de estado para φ está dada por ω φ = x y x + y. (3.43) Também se p e ρ são as densidade de pressão total e densidade de energia total, tem-se o parâmetro de estado efetivo ω eff, ω eff = p φ + p m ρ φ + ρ m = p φ ρ c + p m ρ c, (3.44) 17

24 onde e portanto p φ ρ c = p φ ρ φ ρ φ ρ c = ω φ Ω φ, (3.45) ω eff = x y + ω m Ω m, (3.4) onde da equação 3.4 tem-se que Ω m = 1 x y e então ω eff = 1 + γ + ( γ) x γy. (3.47) Lembrando a desigualdade 1.18, a condição de expansão acelerada é ω eff < 1/3 ou em termos de γ eff = 1 + ω eff fica como γ eff < / Soluções constantes ou pontos críticos O estudo é feito para λ constante, ou seja, para o potencial exponencial típico do modelo de quintessência, V (φ) = V 0 e λκφ, (3.48) e portanto Γ = 1. Os pontos críticos podem-se obter escolhendo resultando em duas equações dx dn = 0, dy dn = 0, (3.49) 3x + y ( λy + 3 xa (x, y) = 0, (3.50) ) λx + 3 A(x, y) = 0, (3.51) onde A(x, y) = [ ( γ) x + γ ( 1 y )]. Da equação 3.51 tem-se para y 0 e 3x A(x, y) = Substituindo 3.53 na equação x + λx + 3 A(x, y) = 0, (3.5) λx. (3.53) λy + λx = 0, (3.54) 18

25 agora da mesma equação 3.53 y = 1 + ( γ) x γ 3 λx, (3.55) então substituindo a equação 3.55 na equação 3.54 obtém-se o polinômio de segundo grau As soluções são x 1 λ [ 3γ + λ ] x + γ = 0. (3.5) 3 γ x 1 = λ, x = λ. (3.57) Para a solução x 1, da equação 3.55 encontra-se 3 y 1 = ( γ) γ, (3.58) λ e para a solução x obtém-se No caso de y = 0, da equação 3.50 y = 1 λ. (3.59) 3x + 3x A(x, 0) = 0, (3.0) de aquí tem-se as soluções 3x ( γ) [ 1 + x ] = 0, (3.1) com y = 0. Em resumo, os pontos críticos são (a) x = 0 e y = 0, (b1) x = 1 e y = 0, (b) x = 1 e y = 0, (c) x = λ e y = 1 λ e 3 γ (d) x = λ y = 3 ( γ) γ. λ x = 0, x = 1, x = 1, (3.) 19

26 3. Estabilidade ao redor dos pontos críticos Para estudar a estabilidade dos pontos críticos tem-se que calcular os autovalores da matriz de perturbações do sistema autônomo de equações diferenciais, ver apêndice B. Definindo f(x, y) dx dn = 3x + λy + 3 xa(x, y), (3.3) [ g(x, y) dy dn = 3y ] λx + A(x, y), (3.4) 3 a matriz de perturbações está definida por M = ( f x g x f y g y ). (3.5) Da equação 3.3 e da equação 3.4 f x = ( γ) x + 3 ( 1 y ) γ, (3.) f ( ) y = λ 3 y, (3.7) [ ] g x = λ + 3 ( γ) x y, (3.8) 3..1 Ponto crítico (a) g y = λx + 3 γ 9 γy + 3 ( γ) x, (3.9) Para esta solução, das equações 3., 3.7, 3.8 e 3.9 tem-se que ( ) f = γ, (3.70) x e x=0,y=0 ( ) g = 3 γ, (3.71) y x=0,y=0 as outras entradas da matriz M são zero. Da equação de autovalores det (M µi) = 0 obtém-se ( ) ( ) 3 γ µ γ µ = 0, (3.7) 0

27 de aquí os autovalores do M são µ 1 = 3 ( γ), µ = 3 γ. (3.73) No caso de um fluido material que satisfaz γ > 0 e γ > 0 (γ = 1, matéria escura e γ = 4 radiação ) encontra-se µ 1 < 0 e µ > 0. Assim o ponto (a) é um ponto de sela. Também para esta solução, da equação 3.41 Ω φ = 0, assim (a) é uma solução onde somente a radiação ou matéria escura contribui à densidade de energia total do universo. A matéria é dominante nesta fase. Também é uma fase onde não há expansão acelerada. 3.. Ponto crítico (b1) As entradas diferentes de zero da matriz M são ( ) f = 3 ( γ), (3.74) x e da equação de autovalores encontra-se x=1,y=0 ( ) g = 3 λ, (3.75) y x=1,y=0 (3 ( γ) µ) ( 3 ) λ µ = 0, (3.7) de aquí que µ 1 = 3 ( γ), µ = 3 λ. (3.77) De novo para o caso que interessa µ > 0 e µ 1 > 0 ou µ 1 < 0 dependendo do valor do λ. Em ambos casos o ponto (b1) é instável. No primeiro caso um nodo instável e no segundo um ponto de sela. Da equação 3.41 Ω φ = 1 e o campo de quintessência é dominante. Pela equação 3.41 ω eff = 1 > 1/3 e portanto esta solução também não pode descrever a expansão acelerada Ponto crítico (b) Para este ponto ( ) f = 3 ( γ), (3.78) x x=1,y=0 1

28 e da equação de autovalores de aquí ( ) g = 3 + λ, (3.79) y x=1,y=0 (3 ( γ) µ) ( 3 + ) λ µ = 0, (3.80) µ 1 = 3 ( γ), µ = 3 + λ. (3.81) Também para este ponto, tem-se que µ > 0 e µ 1 > 0 ou µ 1 < 0. E é um nodo instável ou ponto de sela, sendo em ambos casos instável. Do mesmo modo da equação 3.41 Ω φ = 1 e de 3.47 ω eff = 1 > 1/3. Logo esta solução também é uma solução de campo escalar dominante e sem expansão acelerada Ponto crítico (c) Para esta solução as entradas diferente de zero da matriz M são e M 1,1 = (3 γ) λ, (3.8) M 1, = 3λ ( γ) 1 λ, (3.83) M,1 = 3λ (1 γ) 1 λ, (3.84) M, = 3γ ) (1 λ. (3.85) Assim, da equação de autovalores encontra-se o polinômio de segundo grau µ + 3 e a solução de esta equação é [ (1 + γ) λ ] µ 1 Então, para que µ 1 < 0, tem-se que ter ( 3γ λ ) ( + λ ) = 0, (3.8) µ 1 = 3 + λ, µ = 3γ + λ. (3.87) λ <, (3.88)

29 e µ < 0 λ < 3γ. (3.89) Sendo γ < então o ponto crítico (c) é um nodo estável se λ < 3γ. (3.90) No outro caso, para 3γ < λ <, (3.91) tem-se que µ 1 < 0 e µ > 0 e portanto (c) é um ponto de sela. Da equação 3.41 para este ponto encontra-se que Ω φ = 1. Por tanto nesta solução tem-se que a energia escura é a componente dominante da densidade de energia total. Agora, da equação 3.47, encontra-se para esta solução ω eff = ω m + ( γ) ( λ ω eff = λ 3 e a expansão acelerada se da para λ 3 1 < 1 3, isto é ) ) γ (1 λ, (3.9) 1, (3.93) λ <. (3.94) Então, para λ <, λ < 3γ, (3.95) tem-se que o ponto (c) é uma solução de campo escalar dominante attractor e com expansão acelerada Ponto crítico (d) Para esta solução as componentes do M são e M 1,1 = γ + 9 γ ( γ) λ, (3.9) ( M 1, = γ ) λ, (3.97) M,1 = 3 [ 3 ( γ) γ λ 1 ] ( γ) γ, (3.98) 3

30 M, = 9 γ ( γ) λ, (3.99) então da equação de autovalores det (M µi) = 0 obtém-se o polinômio de segundo grau µ + 3 ( γ) µ + 9 (1 3 γ λ ) ( γ) = 0, (3.100) e os autovalores são µ 1, = 3 4 ( γ) [1 ± 1 8 (λ 3γ) γ λ ( γ) ]. (3.101) Lembrando que γ > 0, então µ 1 < 0 sempre. Enquanto que µ < 0 se 1 1 8γ (λ 3γ) λ > 0, (3.10) ( γ) ou λ > 3γ. (3.103) O parâmetro efetivo é ( ) 3 γ ω eff = 1 + γ + ( γ) γ λ ( ) 3 ( γ) γ, (3.104) λ ω eff = γ 1. (3.105) A condição de expansão acelerada exige que γ 1 < 1/3 e portanto γ < /3. Então esta solução não satisfaz a condição de expansão acelerada para o caso de que o fluido barotrópico material seja a matéria escura fria γ = 1. O parâmetro de densidade de energia é dado por Ω φ = x + y = 3 γ λ + 3 ( γ) γ, λ (3.10) Ω φ = 3γ λ, (3.107) sendo que λ < 3γ implica que 0 < Ω φ < 1. Portanto o ponto crítico (d) é um nodo estável e Ω φ < 1 para λ > 3γ. Para λ < 3γ é um ponto de sela e não é uma solução física Ω φ > 1. Assim o estudo feito permite concluir que pode-se descrever a expansão acelerada 4

31 do universo se o sistema dinâmico do campo de quintessência vai para o ponto fixo (c) com λ <, em qual caso o estado final do universo está dominado pelo campo escalar, Ω φ = 1. A solução (d) não pode explicar a aceleração atual do universo. Embora, está pode ser usada para proporcionar uma evolução cosmológica na qual a densidade de energia do campo escalar vai diminuindo proporcional á densidade do fluido background na era da radiação ou na era da matéria, como se vai ver mais adiante. Esta classe de solução é conhecida como solução de escala. Si a derivada do potencial exponencial vem a satisfazer λ < no presente, o universo sai do regíme de escala e aproxima-se ao ponto crítico (c) levando a uma expansão acelerada. No capitulo 4 vai-se estudar o acoplamento do campo de quintessência com a matéria escura, e a solução de escala (d) vai poder explicar a expansão acelerada do universo. 5

32 Capítulo 4 Quintessência com acoplamento á matéria escura A possibilidade de um campo escalar φ acoplado à matéria e seus consequência cosmológicas foram primeiro discutidas em [1]. Na referencia [13, 14] foi proposto um cenário de quintessencia com acoplamento matéria escura, como uma extensão das teorias acopladas não minimalmente. Uma aspecto interessante dos cenários de energia escura acoplada é que o sistema pode-se aproximar para soluções de escala com uma expansão acelerada, em diferencia dos cenários sem acoplamento onde pode-se ter soluções de escala mas sem expansão acelerada. 4.1 Sem radiação Considera-se o acoplamento entre o campo escalar de quintessência e a matéria escura fria. No estudo não considera-se a contribução dos barions. Também, primeiro faz-se o estudo do sistema dinâmico sem considerar o fluido de radiação. Na última parte do capitulo considera-se o fluido de radiação, mas sem considerar o acoplamento de este com os outros fluidos. A ação que vamos considerar está dada por S = S g + S m + S φ, (4.1) sendo que a ação da matéria tem a dependênça S m (g µν, ψ, φ), onde ψ são os campos

33 materiais. S g é a ação da gravitação. Variando a ação com respeito do campo φ onde δs δφ = δs m δφ + δs φ δφ, (4.) δs m δφ = gσ, (4.3) sendo σ a carga escalar que caracteriza a interação, [3, 13, 14]. A natureza da matéria escura não vai-se tratar, ela pode ser em principio matéria escura fermiônica ou bosônica com uma densidade lagrangiana específica. Do principio de mínima ação δs = 0 tem-se que onde define-se o parâmetro de acoplamento Q = σ ρ m capitulo considera-se constante. As equações do modelo são φ + 3H φ + V,φ = Qρ m, (4.4) 3H = φ o qual é definido positivo. Neste + V (φ) + ρ m, (4.5) Ḣ = φ + γρ m, (4.) junto com a equação 4.4. De aquí em adiante considere-se κ = 1. Introduz-se de novo as variáveis do espade fase 3.1 e faz-se o mesmo procedimento que antes. Da conservação da energia se econtra ρ m + 3H(1 + ω m )ρ m = Qρ m, e assim o comportamento do ρ m depende do acoplamento e da dinâmica do campo escalar. ρ m a 3 se Q = 0. Diferenciando x a respeito do numero de e-folding N, tem-se ( ) dx dn = φ + x Ḣ H H, (4.7) o segundo termo é o mesmo que já foi deduzido na equação 3.. Mas o primeiro termo tem uma nova contribução dependente do acoplamento Q. Da equação 4.4 φ = Qρ m V,φ 3H φ, (4.8) e então da equação 4.5 φ H = Qρ m H + y λ 3x, (4.9) ρ m = 3H 1 φ V (φ), (4.10) 7

34 e portanto e de aquí que Qρ m = H Q ( 1 x y ), (4.11) φ = H Q ( 1 x y ) + y λ 3x, (4.1) dx dn = λy 3x + 3 Q ( xa(x, y) 1 x y ). (4.13) Em quanto para diferenciar y a respeito do N não se tem novos termos. A equação 3.31 continua sendo válida Sistema autônomo e pontos críticos Neste caso para encontrar as soluções constantes ou pontos críticos tem-se que resolver o sistema de equações (equações 4.13, 3.31 com x e y constantes) λy 3x + 3 Q ( xa(x, y) 1 x y ) = 0, (4.14) ( ) 3y λx + A(x, y) = 0. (4.15) 3 Como antes no caso y 0 obtém-se as equações 3.5, 3.53, e Substituindo estas equações na primeira equação encontra-se o polinômio de segundo grau γ (λ + Q) x (3 + λ γ + λq ) λ x + = 0, (4.1) γ as soluções são x = γ (λ + Q), (4.17) e a mesma solução x, equação De fato fazendo Q = 0 na solução 4.17 obtémse a solução x 1, equação Também substituindo a solução 4.17 na equação 3.55 encontra-se y = Q (λ + Q) + 3 ( γ) (λ + Q), (4.18) e para x de novo a mesma solução y, equação Para y = 0 da equação 4.14 obtém-se o polinômio de terceiro grau 3 ( γ) x3 + Q x 3 ( γ) x Q = 0, (4.19) 8

35 as soluções são as mesmas soluções x 4 = 1, e x 5 = 1, equação 3. e Q x = 3 ( γ). (4.0) Para Q = 0 recupera-se a solução x 3 = 0 da equação 3.. Assim os pontos críticos que mudam pela presença do acoplamento ficam Q (a) x = 3( γ) e y = 0 (d) x = γ (λ+q) e y = Q(λ+Q)+3( γ)γ (λ+q) Estabilidade ao redor dos pontos críticos e propriedades Das equações 3.31 e 4.13 os elementos da matriz de perturbações estão dados por os outros elementos da matriz g x, g y ponto crítico (a) f x = ( γ) x + 3 γ ( 1 y ) + Qx, (4.1) f ( y = y ) λ 3xγ + Q, (4.) são os mesmos 3.8 e 3.9 respectivamente Para esta solução a matriz de perturbações está dada por 4.1 e 3.71 M 1,1 = γ + M, = 3 γ + Q γ, (4.3) λq γ + Q γ, (4.4) e os outros elementos da matriz são zero. De aquí a equação de autovalores ) ( 3 Q 3 ( 3 + γ + γ µ γ + λq ) γ + Q γ µ = 0, (4.5) e os autovalores são µ 1 = 3 ( γ) + Q γ, µ = 1 γ Para este ponto crítico, da equação 4., tem-se que µ 1 < 0 se [ ] 3 ( γ) γ + Q (λ + Q). (4.) Q γ < 3 ( γ), (4.7) 9

36 ou Q < 3 ( γ), (4.8) e µ, também 4., é sempre positivo, dado que γ > 0. Então (a) é um ponto de sela quando satisfaz-se a equação 4.8. E é um nodo instável no outro caso. Alem disso (a) é justamente uma solução física somente quando é um ponto de sela, isto é no caso Ω φ = x + y Q = < 1, (4.9) 3 ( γ) 3 se Q < ( γ). O parâmetro de estado efetivo é ω eff = 1 + γ + Q 3 ( γ), (4.30) e ω eff < 1/3 se Q < 0 para γ 1, logo para o caso de interesse γ = 1, matéria escura fria, (a) não descreve uma solução com expansão acelerada ponto crítico (b1) Para esta solução M 1,1 = 3 ( γ) + Q, (4.31) M, = 3 λ, (4.3) e os outros elementos são zero. A equação de autovalores está dada por ( 3γ + Q µ) ( ) 3 λ µ = 0, (4.33) e ponto crítico (b) µ 1 = 3 ( γ) + Q, µ = 3 λ. (4.34) Nesta solução M 1,1 = 3 ( γ) Q, (4.35) M, = 3 λ, (4.3) 30

37 e os outros elementos são zero. Da equação de autovalores ( 3γ Q µ) ( ) 3 + λ µ = 0, (4.37) encontra-se µ 1 = 3 ( γ) Q, µ = 3 + λ. (4.38) Tanto para o ponto (b1) como para (b), ω eff = 1 e Ω φ = 1. São soluções de campo escalar dominante sim expansão acelerada. Para (b1) µ 1 > 0 para todo Q e λ. Enquanto que µ < 0 se λ >. Então (b1) é um ponto de sela se λ > do 3 contrário é um nodo instável. Para o ponto (b), µ 1 < 0 se Q > ( γ). E µ > 0 3 sempre. Portanto (b) é um ponto de sela se Q > ( γ) e em outro caso é um nodo instável ponto crítico (c) As entradas do M para este ponto são e M 1,1 = (3 γ) λ + Qλ, (4.39) M 1, = 1 λ [( γ) λ + Q], (4.40) M,1 = λ (1 γ) 1 λ, (4.41) M, = 3γ ) (1 λ. (4.4) A equação de autovalores leva ao polinômio de segundo grado [ µ + 3 (1 + γ) 3 ] ) λ Qλ µ + 3 (1 λ (3γ λ Qλ ) = 0, (4.43) e as soluções são µ 1 = 3 + λ, µ = 3γ + λ (λ + Q). (4.44) Da equação (4.44), µ 1 < 0 para λ < e µ < 0 se λ + Qλ 3γ < 0, (4.45) ou seja λ < λ c com λ c = Q + Q + 1γ. (4.4) 31

38 Assim se λ < λ c e λ < então (c) é um nodo estável. Agora como na seção 3..4, Ω φ = 1 e ω eff = 1+ λ 3 < 1/3 se λ <. De aquí que (c) é uma solução atratora com expansão acelerada se λ < e λ < λ c. Este tipo de solução descreve um universo onde a energia escura domina completamente e há expansão acelerada ponto crítico (d) Para esta solução ( M 1,1 = γ ( γ) (λ + Q) e depois de simplificar um pouco M 1,1 = 3 ( γ) + 3 λ + Q ) + 3 ( γ 1 [ Q + ) Q (+Q) + 3 ( γ) γ (λ + Q) + Qγ (λ + Q), (4.47) ] 1 (3 ( γ) γ Q (λ + Q)). (4.48) (λ + Q) Também substituindo em a 4., 3.8 e 3.9 encontra-se M 1, = ( Q (λ + Q) + 3 ( γ) γ 3γ ) (λ + Q) λ (λ + Q) + Q, (4.49) e M,1 = M, = 3 γ ( Q (λ + Q) + 3 ( γ) γ (λ + Q) λ ) 3 ( γ) γ, (4.50) λ + Q 3λγ (λ + Q) 9γ [( γ) γ + Q (λ + Q)]. (4.51) (λ + Q) Da equação de autovalores obtém-se o poli ˆnomio de segundo grau µ + bµ + c = 0, (4.5) onde b = (M 1,1 + M, ), e c = M 1,1 M, M 1, M,1. Das equações 4.48 e 4.51 encontra-se que e 4c = b f (λ, Q) com b = 3 [λ ( γ) + Q], (4.53) (λ + Q) f (λ, Q) = 8 [3 ( γ) γ + Q (λ + Q)] [ λ (λ + Q) + 3γ] 3 [λ ( γ) + Q]. (4.54) De esta maneira b 4c = b (1 + f (λ, Q)) e µ 1, = b ( 1 ± ) 1 + f(λ, Q). (4.55) 3

39 Das equações 4.54 e 4.55 µ 1 < 0 se λ > λ c e µ é negativo para todo λ e Q. Da equação 3.41 tem-se que o parâmetro de densidade de energia está dado por ( ) Ω φ = x + y 3γ + Q (λ + Q) 1 + Q Q λ λ + 3 λ = (λ + Q) = ( ), (4.5) 1 + Q λ e Ω φ < 1 se λ > λ c. Enquanto ao parâmetro de estado efetivo, pela equação 3.47, encontra-se ω eff = 1 + γ Qγ λ + Q = Q/λ < 1/3, (4.57) 1 + Q/λ para γ = 1 se λ < Q. Portanto para λ c < λ < Q o ponto (d) é um nodo estável e uma possível solução cosmológica com expansão acelerada. Além o ponto (d) é uma solução de escala, na qual se pode aliviar o problema da coincidência cósmica, porque permite explicar porque no estado atual o universo tem densidades de energia da matéria escura e da energia escura da mesma ordem de grandeza []. 4. Com radiação Vamos agora considerar, além da matéria escura fria, também um outro fluido barotrópico com equação de estado constante, ω r = 1/3, a radiação. A acão que vai considerar-se é S = S g + S φ + S m + S r, (4.58) este caso adiciona-se a ação da radiação, mas somente se considera o acoplamento entre o campo de quintessência e a matéria escura. Variando a ação com respeito ao campo escalar, de novo encontra-se φ + 3H φ + V φ = Qρ m. (4.59) As equações de Friedmann ficam 3H = φ + V (φ) + ρ m + ρ r, (4.0) Ḣ = φ + ρ m γ ρ r, (4.1) e a equação de movimento para a densidade de energia da componente de radiação ρ r + 4Hρ r = 0. (4.) 33

40 De novo introduz-se as variáveis do espaço de fase 3.1 adicionando ρr z =. (4.3) 3H Seguindo o mesmo precedimento que na seção 3.3, neste caso encontra-se as equações e também ρ m = 3H φ V (φ) ρ r, (4.4) ρ m = ( 1 x y z ), (4.5) H φ = Qρ m 3H φ V,φ, (4.) e φ = H Q ( 1 x y z ) 3x + y λ. (4.7) Por outro lado da equação 4.1 Ḣ H = 1 ( φ H + ρ m γ + 4 ) 3 ρ r, (4.8) e substituindo a aquação 4.5 no segundo termo obtém-se Então a equação 4.7 fica dx dn = 3x + Ḣ H = 3x + z + 3 γ ( 1 x y z ). (4.9) λy + 3 xa(x, y, z) Q ( 1 x y z ), (4.70) onde A(x, y, z) = ( γ)x + ( 4 3 γ)z + γ(1 y ) também a equação 3.31 muda para [ dy dn = 3y ] λx + A(x, y, z). (4.71) 3 Do mesmo jeito que antes, derivando o z, equação 4.3, a respeito de N encontra-se dz dn H = 1 ( ) 1 ρr 3H ρ r + Ḣ ρ r 3 H. (4.7) Substituindo as equações 4. e 4.8 obtém-se dz dn = 1 3H 1 ρ r ( 4Hρ r ) + z [ 3x + z + 3 γ ( 1 x y z )], (4.73) 34

41 logo ρr dz dn = + 3 A(x, y, z), (4.74) 3H dz dn = 3 [ z 43 ] + A(x, y, z). (4.75) Então o sistema autônomo de equações diferenciais para resolver está dado pelas equações 4.70, 4.71 e Sistema autônomo e pontos críticos Considera-se soluções constantes x, y, z de 4.70, 4.71 e Da equação 4.75 para z A(x, y, z) = 0, (4.7) 3 e A(x, y, z) = 4 3 (4.77) da equação 4.71, também para y 0 λx + A(x, y, z) = 0, (4.78) 3 e de acordo com a equação 4.77 encontra-se 8 1 x = 3 λ. (4.79) Substituindo esta solução constante nas equação 4.70 e 4.78 obtém-se respectivamente e 4 3 ( ) 8 ( γ) 4 + 3λ γ γy + 3 γ z = 0, (4.80) 4 ( 3λ Q 1 8 ) 3λ + (λ + Q) y + Qz = 0. (4.81) A solução deste sistema de duas equações algébricas é y =, z = 1 4 3λ λ. (4.8) Agora para z 0 e y = 0, da equação 4.70 junto com Q 1 x + x + z = 0, (4.83) 35

42 e da mesma equação 4.77 com y = 0 A solução deste sistema algébrico de equações é e 3 x = 1 + γ 4 3 γ x + z = 0. (4.84) x = 0, z = 1, (4.85) ( ) 4 3 γ Q 1, z = 1 3 ( ) 43 ( γ) γ Q. (4.8) Agora para o caso z = 0 e y 0, tem-se as mesmas soluções para o caso sem radiação, ver seção 4.1. Por tanto todos os pontos críticos são Q (a) x = 3( γ), y = 0 e z = 0 (b1) x = 1, y = 0 e z = 0, (b) x = 1, y = 0 e z = 0, (c) x = λ, y = 1 λ e z = 0, γ (λ+q) (d) x = 8 1 (e) x = 3 λ, y = 1 3 λ 1 e z = 4, λ (f) x = 0, y = 0 e z = 1, (g) x = 3 e y = Q(λ+Q)+3( γ)γ (λ+q) e z = 0, ( 4 3 γ) Q 1, y = 0 e z = 1 3 ( γ) ( 4 3 γ) Q. 4.. Estabilidade ao redor dos pontos críticos e propriedades Agora a matriz de perturbações lineares é uma matriz 3 3, da forma M = f x g x h x f y g y h y f z g z h z (4.87) Diferenciando 4.70 a respeito de z tem-se que ( ( ) f 4 z = 3x 3 γ + ) Q z, (4.88) 3

43 diferenciando 4.71 a respeito de z ( ) g 4 z = 3 3 γ yz, (4.89) e finalmente diferenciando 4.75 a respeito de x, y e também z encontra-se respectivamente e 4..3 Ponto crítico (a) h x = dz dn = 3 ( γ) zx, (4.90) x h = 3γyz, (4.91) y h z = + 3 ( γ) x + 3 γ ( 1 y ) + 9 ( ) 4 3 γ z. (4.9) Substituindo esta solução nas equações 4.1, 4., 3.8, 3.9, 4.88, 4.89, 4.90, 4.91 e 4.9, encontra-se Q M 1,1 = γ + γ, (4.93) M, = 3 ( ) λ + Q γ + Q, (4.94) γ M 3,3 = + 3 γ + Q γ, (4.95) os outros elementos da matriz são zero. Assim, da equação de autovalores tem-se que (M 1,1 µ) (M, µ) (M 3,3 µ) = 0, e os autovalores para este ponto são µ 1 = 3 Q ( γ) + γ, (4.9) µ = 1 [ ] 3 ( γ) γ + Q (λ + Q), (4.97) µ 3 = 3 ( ) 4 3 γ + Q γ, (4.98) Pela equação 4.97, tem-se que µ > 0. O ponto (a) é um ponto instável, poder ser sadle ou nodo instável. Também, pela equação 3.43 Ω φ = x + y = Q 3 ( γ), (4.99) 37

44 e para γ = 1, tem-se que Ω φ < 1 se Q < 3/. Agora, quando se tem a contribuição da radiação, alem da materia escura, a equação de estado efetiva é modificada por um termo proporcional a z. Isto é, pela equação 3.4 ω eff = P φ + P m + P r ρ c = ω φ Ω φ + ω m Ω m + ω r Ω r, (4.100) e para γ = 1, ou seja ω m = 0, e equações 3.43 e 4.1 tem-se que Ω r = ρr ρ c = z e ω eff = y + x z, (4.101) e para a solução (a) encontra-se ω eff = Q 3 > 0 com Ω r = 0. Portanto esta solução é uma solução instável, que satisfaz a condição de que o universo seja plano e sem expansão acelerada Ponto crítico (b1) Para este ponto os elementos da matriz M diferentes de zero são M 1,1 = 3 ( γ) + Q, (4.10) M, = 3 λ., (4.103) e M 3,3 = 1. Da equação de autovalores e os autovalores são (M 1,1 µ) (M, µ) (M 3,3 µ) = 0, (4.104) µ 1 = 3 ( γ) + Q, µ = 3 λ, µ 3 = 1. (4.105) Da equação pode-se ver que o ponto (b1) é um ponto instável. Tem-se que µ 3 > 0. Também da equação 3.41 tem-se que Ω φ = 1 e por tanto Ω m = Ω r = 0. E de encontra-se que ω eff = 1 > 1/3. Então, o ponto (b1) é um ponto instável com o campo de quintessênce dominante e expansão desacelerada Ponto crítico (b) Para (b) também M 3,3 = 1 e M 1,1 = 3 ( γ) Q, (4.10) M, = 3 + λ. (4.107) 38

45 Os outros elementos de matriz são zero. Então µ 1 = 3 ( γ) Q, µ = 3 + λ, µ 3 = 1. (4.108) Para este ponto, de igual jeito que para (b1), tem-se que Ω φ = 1 e ω eff = Ponto crítico (c) Substituindo esta solução obtém-se A equação de autovalores é e a solução é M 1,1 = (3 γ) λ + Qλ (4.109) M 1, = 1 λ (λ ( γ) + Q) (4.110) λ M,1 = (1 γ) 1 λ (4.111) ) M, = 3 (1 λ, (4.11) ) M 3,3 = (1 λ. (4.113) 4 (M 3,3 µ) [(M 1,1 µ) (M, µ) M 1, M,1 ] = 0, (4.114) µ 1 = 3 + λ, µ = 3 + γ + λ (Q + λ), µ 3 = + λ. (4.115) Agora, diferente da seção 4.1., tem-se um terceiro autovalor µ 3. Satisfaz-se µ 3 < 0 se λ <. Da equação 4.4, para γ = 1, pode-se encontrar que λ c < e por tanto se λ < λ c então o (c) é um nodo estável. Além, se λ <, então também tem-se expansão acelerada Ponto crítico (d) Para esta solução tem-se M 1,1 = 3 M 1, = ( γ) + 3 λ + Q + Q (λ + Q) + 3 ( γ) γ (λ + Q) 3γ [3 ( γ) γ Q (λ + Q)], (4.11) (λ + Q) 39 ( 3γ ) λ (λ + Q) + Q, (4.117)

46 M,1 = M, = 3 γ ( Q (λ + Q) + 3 ( γ) γ (λ + Q) λ ) 3 ( γ) γ λ + Q (4.118) 3γ (λ + Q) 9γ [( γ) γ + Q (λ + Q)], (4.119) (λ + Q) M 3,3 = + 3γλ (λ + Q). (4.10) Da equação de autovalores obtém-se uma equação similar a 4.114, com autovalores 3 [λ ( γ) + Q] [ µ 1, = 1 ± ] 1 + f(λ, Q), µ 3 = + 3γλ 4 (λ + Q) (λ + Q). (4.11) De igual jeito que para o ponto anterior, aquí também tem-se um novo autovalor, µ 3 dado pela equação 4.11, além dos autovalores que se tinha na seção e equação Da equação 4.11 pode-se ver que µ 3 < 0, para γ = 1, se λ > 4Q. Já que Q > 0 e λ > 0 então µ 3 < 0 para todo Q e todo λ. Assim, de acordo com a seção 4.1.7, o ponto (d) continua sendo um nodo estável e uma solução scaling com expansão acelerada Ponto crítico (e) A matriz de perturbações esta dada por ( 3 M 1,1 = 3 + γ 14 ) 4( + Qλ) λ + λ, (4.1) M 1, = M 1,3 = [ ( 4 λ M,1 = ( 1 γ 3 γ [ 1 4 λ + Q λ ) ] + Q ( γ λ ), (4.13) 1 4 λ, (4.14) )], (4.15) M, = + 3γ + (4 5γ) (4.1) λ M,3 = ( ) 3 4 λ 3 γ 1 4 λ, (4.17) 4 M 3,1 = ( γ) 1 4 λ λ, (4.18) M 3, = 3γ 1 4 λ λ, (4.19) ( ) 4 M 3,3 = 3 (1 3 γ 4λ ). (4.130) 40

47 A equação de autovalores é µ 3 + bµ + cµ + d = 0, (4.131) com b = (M 1,1 + M, + M 3,3 ), c = M 1,1 M, + M 1,1 M 3,3 + M, M 3,3 M,3 M 3, M 1, M,1 M 1,3 M 3,1 e d = M 1,1 M, M 3,3 +M 1,1 M,3 M 3, +M 1, M,1 M 3,3 M 1, M,3 M 3,1 M 1,3 M,1 M 3, + M, M 1,3 M 3,1. Segundo o teorema fundamental do algebra a solução para esta equação consiste de três autovalores, dois complexos, um conjugado do outro, e um real. A solução é difícil de simplificar, assim apresenta-se seu comportamento na figura 4.1. O autovalor µ e µ 3 são complexos e a parte real de µ 3 é sempre negativa para todo Q e todo λ. Enquanto a µ a parte real é sempre negativa onde o µ 1 é positivo e vice versa. Assim o ponto (e) é um ponto instável. Da equação 3.41 tem-se que Ω φ = 4 < 1 se λ >. Também da condição de universo plano e da equação λ 4.3 tem-se que Ω φ + Ω m + Ω r = 4 λ + Ω m = 1, (4.13) λ e portanto Ω m = 0. Logo esta é uma solução na qual só se tem a presença de radiação e energia escura, sem materia escura. Da equação ω eff = y + x z = λ λ + 1 (1 4λ ) 3 = 1 3, (4.133) por tanto tem-se o comportamento da equação de estado como se fora um fluido de radiação e portanto não tem expansão acelerada Ponto crítico (f) As entradas da matriz M são e M 1,1 = 3 ( γ), (4.134) M 1,3 = Q, (4.135) M, = 3 γ, (4.13) ( ) 4 M 3,3 = 3 3 γ. (4.137) As outras entradas são zero. Deste jeito da equação de autovalores encontra-se (M 1 µ) (M 5 µ) (M 9 µ) = 0, (4.138) 41

48 id pdfmachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! , Figura 4.1: Na figura pode-se ver o comportamento dos autovalores para o ponto (e). O autovalor µ 3 é complexo e a sua parte real é sempre negativa. Enquanto a µ, ele também é complexo e seu parte real é sempre negativa quando o autovalor µ 1, que é sempre real, é positivo e vice versa. Na figura o µ 1 corresponde á linha verde e a linha azul é a parte real de µ. Assim o ponto (e) é um ponto instável e µ 1 = 3 ( γ), µ = 3 ( ) 4 γ, µ 3 = 3 3 γ. (4.139) Da equação pode-se ver que o ponto (f) é um ponto instável, µ é sempre positivo. E da equação 3.37 Ω φ = 0. Da equação ω eff = 1/3. Assim, é uma solução de radiação dominante Ponto crítico (g) Os elementos da matriz M diferentes zero são M, = 3 M 1,1 = γ ( γ) ( ) 4 3 γ Q, (4.140) ( ) 4 3 γ Q 1 3 ( ) 43 ( γ) γ Q, (4.141) M 1,3 = Q[1 3 [ γ + λ ( 4 3 γ) Q ( γ) ( 4 3 γ) Q ( ) 3 4 M 3,1 = 3 ( γ) 3 γ Q ( ) 43 ( γ) γ Q, (4.14) ( ) 4 M 3,3 = 3 [1 3 γ 3 ( ) ] 43 ( γ) γ Q. (4.143) 4 ],

49 Da equação de autovalores obtém-se (M 5 µ) [(M 1 µ) (M 9 µ) M 3 M 7 ] = 0, (4.144) do primeiro fator obtém-se a solução µ 1 = 3 ( ) 43 [γ + Q (λ 1 γ + 3 ( ) )] 43 ( γ) γ Q 1. (4.145) Do segundo fator encontra-se a equação de segundo grau µ + bµ + c = 0, (4.14) com b = (M 1 + M 9 ) e c = M 1 M 9 M 3 M 7. A solução desta equação é ( ) 4 µ = 3 3 γ + 1 [ Q 3 (1 γ) + 3γ (14 3γ) ], (4.147) e µ 3 = 3 ( ) 3 γ 1 [ 4 Q 3 (1 γ) + 3γ (14 3γ) ]. (4.148) Da equação tem-se que µ 1 > 0 sempre. Por tanto (f) é um ponto instável. Da equação 3.43 tem-se que, para γ = 1, Ω φ = 1 e da condição de que o universo seja Q plano e a equação 4.3 encontra-se Ω m = 1. Assim para que esta solução exista 3Q tem-se que satisfazer Ω m < 1 e Ω φ < 1 e portanto Q < 1/3. Da equação obtémse ω eff = 1/3. A solução (c) e (d) são soluções atratoras que podem descrever a expansão acelerada. A solução (d) também pode solucionar o problema da coincidência cósmica. As outras soluções podem ser soluções intermediarias que são instáves, sendo (c) e (d) os dois tipos de soluções assintóticas. Na figura 4. pode-se ver como o sistema dinâmico vai para a solução (c), sem acoplamento, na figura 4.3 com acoplamento. No caso de acoplamento diferente de zero, quando o sistema cai na solução instável (a), apresenta-se uma contribuição à densidade de energia total por parte da energia escura de acordo com a equação Isto pode-se ver na figura 4.3, onde na era dominada pela matéria escura também tem-se uma pequena contribuição da densidade de energia do campo de quintessência. Isto vai ter um efeito importante na formação de estruturas, o qual constitui um método direto para determinar a grandeza física do acoplamento Q. Na Figura 4.4 pode-se ver o caso onde o universo tende à solução 43