1 Regras de Feynman para QED

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1 1 Regras de Feynman para QED Decaimentos e espalhamentos que geram duas partículas no estado final são descritas da seguinte maneira no CM: Γ = p f 3π M dω 1) s onde s é a energia do centro de massa; e dσ dω = M p f 64π s p i essas expressões são válidas quando adotamos o CM como referencial, mas o resultado é invariante de Lorentz. Tanto na equação 1) quanto na ) é necessário saber o valor de M para obter as medidas de maior interesse σ e Γ). Por isso, existe um método desenvolvido por Feynman para determinar a amplitude de um espalhamento. Primeiro devemos desenhar o diagrama de Feynman que corresponde ao espalhamento em questão, depois executamos os seguintes passos: Notação: A cada linha externa associe um momento p n, e a cada linha interna associe um momento q n. Linhas externas: Estabeleça a seguinte legenda: entrando : u férmions saindo : ū entrando : v antiférmions saindo : v entrando : ɛ µ fótons saindo : ɛ µ Fatores de vértice: Cada vértice contribui com um fator ieγ µ, onde e = 4πα é a constante de acoplamento da interação eletromagnética e γ µ é uma matriz de Dirac. Propagadores: Cada linha interna contribui com um fator: férmions e antiférmions: fótons: µν q iγ µ q µmc) q mc) Conservação de momento e energia: Para cada vértice escreva a função delta de Dirac na forma π) 4 δ 4 k 1 k k 3 ) onde os k s são os quadrimomentos que formam o vértice positivos para partículas entrando e negativas para partículas saindo ). ) 1

2 Integrar sobre os momenta internos: Para cada momento interno q escrevese o fator e integra-se. d 4 q π) 4 Cancelar a função Delta remanescente: No resultado final restará um fator π) 4 δp 1 p p n ) que corresponde à conservação do momento e da energia do processo. Cancele esse fator e multiplique por i. O resultado é a amplitude M. Somar as amplitudes: Caso o processo seja representado por mais de um diagrama, a amplitude total corresponderá à soma das amplitudes individuais dos diagramas. Antisimetrização: Se dois diagramas de um mesmo processo diferem por uma permutação de férmions, então as amplitudes desses diagramas em questão devem ser subtraídas. Essa é a regra de Feynman para determinação de M na QED. Os fatores γ correspondem às matrizes de Dirac: ) ) γ =, γ i 0 σ i = 0 1 σ i 3) 0 onde 1 denota a matriz identidade, 0 é a matriz nula, e σ i i = 1,, 3) é uma matriz de Pauli. As matrizes 3) têm essa configuração porque a partir da relação relativística de energia-momento temos: p µ p µ mc) = 0 β κ p κ mc)γ λ p λ mc) = 0 4) p µ p µ mc) = β κ γ λ p κ p λ mcβ κ γ κ )p κ mc) mas não há termos lineares, então β κ = γ λ, e uma maneira de se ter p µ p µ = γ κ γ λ p κ p λ é admitindo que γ µ seja dada por 3). Substituindo p µ i µ e escolhendo γ λ p λ mc = 0 em 4), concluiu-se: i γ µ µ ψ mcψ = 0 5) que é a equação de Dirac, utilizada para descrever partículas relativísticas de spin 1/ férmions). O elemento ψ na equação 5) é um espinor de Dirac e, apesar de possuir 4 componentes, não é um quadrivetor. Na legenda estabelecida acima para as linhas externas do diagrama de Feynman, u e v são espinores de Dirac, enquanto ɛ µ são vetores de polarização, essenciais na representação de elétrons, pósitrons e fótons como função de onda. Elétrons e pósitrons partículas de spin 1/) são soluções de 5). Elétron ψx) = ae i/ )p x u s) p) Pósitron ψx) = ae i/ )p x v s) p)

3 Fóton A µ x) = ae i/ )p x ɛ s) µ onde s = 1, para os dois estados de spin ou polarização) e p é o quadrimomento. Partículas de spin 0 são descritas pela equação de Klein-Gordon: µ µ ψ mc) ψ = 0 6) Para se chegar em 6) basta partir da relação relativística p µ p µ mc) = 0 e substituir p µ i µ. Para não carregar muitos índices ao longo dos cálculos de amplitude adotamos a seguinte notação: a µ γ µ = /a Dessa maneira, aplicando a regra de Feynman aos diagramas do espalhamento Compton de primeira ordem, representados na figura 1, obtemos: M 1 = M = e p 1 p 3 ) mc) [ū4)/ɛ) /p 1 /p 3 mc)/ɛ3) u1)] 7) e p 1 p ) mc) [ū4)/ɛ3) /p 1 /p mc)/ɛ3) u1)] 8) sendo a amplitude total igual a M = M 1 M. Figura 1: Os dois diagramas de primeira ordem do espalhamento Compton. Portanto, desde que se especifiquem os quadrimomentos p, os spins dos elétrons e as polarizações dos fótons, basta encontrar os espinores u e ɛ e substituir em 7) e 8) para encontrar a amplitude do espalhamento e, a partir deste, usar 1) e ). Regras de Feynman para QCD A partir daqui vamos adotar o sistema de unidades naturais, isto é, = c = 1, pois simplifica a notação. 3

4 Para calcular a amplitude de espalhamento na QCD precisamos conhecer as regras de Feynman dessa teoria. Os termos dos possíveis vértices que aparecem no cálculo de M são: glúon-quark: igγ µ t a glúon-glúon-glúon: gf abc [g µν k p) ρ g νρ p q) µ g ρµ q k) ν ] onde p, q e k são os quadrimomentos dos glúons por convenção, considerase que todos os quadrimomentos apontam para dentro do vértice) e f abc são as constantes de estrutura da álgebra de SU3) c : [ λa, λ b ] = if abc λ c onde λ i / são os geradores de SU3), as matrizes de Gell-Mann. glúon-glúon-glúon-glúon: ig [ f abe f cde g µρ g νσ g µσ g νρ ) f ace f bde g µν g ρσ g µσ g νρ ) 9) f ade f bce g µν g ρσ g µρ g νσ ) ] O propagador é obtido pela identificação da equação de Green no espaço de fases no gauge de Feynman): A a µx)a b νx d 4 k ik x x ) = Gk)e ) 10) π) 4 para a QCD: Gk) = µν k δ ab 11) A partir desses resultados é possível obter o M para então calcular a largura de decaimento Γ e a seção de choque σ a partir das expressões gerais 1) e ). 3 Regras de Feynman para GS Reescrevendo as interações carregadas em função de j ± µ = j 1 µ ± ij µ teremos: ig j 1 µ 1 ) µ j µ ) µ) = µ j µ µ j µ) 1) e usando o fato que j µ = χ L γ µ σ χ L e jµ = χ L γ µ σ χ L, ficamos com: ) µ χ L γ µ σ χ L µ χ L γ µ σ χ L µ χ γ µ 1 γ 5 ) χ µ χ γ µ 1 γ 5 ) χ ) então: χ γµ 1 γ 5 ) ) χ µ χ ) γµ 1 γ 5 ) χ µ 13) 4

5 fator de vértice das interações fracas carregadas: γµ 1 γ 5 ) Quanto às interações fracas neutras, o fator de vértice é obtido substituindo as já conhecidas equações: jµ em = ψ γ µ Qψ 14) e em j 3 µ χ L γ µ σ 3 χ L = 1 ν L γ µ ν L ē L γ µ e L ) 15) ig cos θ w jµ 3 g sin θ w jµ Y )Z µ g = i jµ 3 sin θ w jµ em )Z µ 16) cos θ w jµ 3 sin θ w jµ em )Z µ = ) 1 χ γ µ cos θ w cos θ w 1 γ5 ) σ3 sin θ w Q χ Z µ 17) ou seja, fator de vértice das interações fracas neutras: 1 cos θ w γ µ ) 1 γ5 ) σ3 sin θ w Q Por fim, o fator do propagador é dado por: propagador: ig µν k µ k ν /M ) M k 18) 5