SOLUÇÕES ESFERICAMENTE SIMÉTRICAS NA GRAVITAÇÃO DE STAROBINSKY-PODOLSKY

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA SOLUÇÕES ESFERICAMENTE SIMÉTRICAS NA GRAVITAÇÃO DE STAROBINSKY-PODOLSKY GESIEL RODRIGUES DA SILVA NETO NATAL/RN MAIO DE 2018

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA SOLUÇÕES ESFERICAMENTE SIMÉTRICAS NA GRAVITAÇÃO DE STAROBINSKY-PODOLSKY GESIEL RODRIGUES DA SILVA NETO Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em física. Orientador: Prof. Dr. Léo Gouvêa Medeiros NATAL/RN MAIO DE 2018

3 Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede Silva Neto, Gesiel Rodrigues da. Soluções esfericamente simétricas na gravitação de Starobinsky-Podolsky / Gesiel Rodrigues da Silva Neto f.: il. Dissertação mestrado - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós- Graduação em Física. Natal, RN, Orientador: Prof. Dr. Léo Gouvêa Medeiros. 1. Extensões da Relatividade Geral - Dissertação. 2. Limite de campo fraco - Dissertação. 3. Buracos negros - Dissertação. I. Medeiros, Léo Gouvêa. II. Título. RN/UF/BCZM CDU Elaborado por FERNANDA DE MEDEIROS FERREIRA AQUINO - CRB-15/301

4 BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Léo Gouvêa Medeiros - UFRN Presidente Prof. Dr. Raimundo Silva Junior - UFRN Examinador Interno Prof. Dr. Cássius Anderson Miquele de Melo - Unifal/MG Examinador Externo i

5 Ao colega de mestrado Matheus Ferreira Venâncio de Araújo in memoriam. Sua memória será preservada. ii

6 AGRADECIMENTOS Inicialmente, agradeço aos meu pais Carlos Lima e Theolina Marinho pela vida, pelo cuidado e carinho que sempre me proporcionaram. Agradeço principalmente por acreditarem e investirem em minha educação, sempre me apoiando em minhas escolhas. Sou grato também à minha irmã Carla e seu marido Ricardo com quem cresci e guardo imenso carinho. Agradeço à minha amada namorada Luana Gabriela pela paciência, cuidado e amor. Sou imensamente feliz por sua presença em minha vida. Sou profundamente grato ao meu orientador Léo Medeiros pela dedicação, cuidado e paciência em minha orientação. Será minha grande referência por muitos anos. Agradeço aos meus amigos de Universidade, com os quais tenho bastante aprendido, além da Física, também sobre fraternidade e companheirismo. Aos amigos William Jouse, Gival Pordeus, Neto Crisanto, Arcênio Lourenço, Pierre Niau, Guilherme Monteiro, Cristóvão Nascimento, Francys Anthony, Nyladih Theodory, Tibério Azevedo, Jefferson Costa, Arthur Cavalcanti, Paulo Henrique e tantos outros, aqui vai meu muito obrigado. Agradeço aos meus amigos de infância Eduardo Ezus e Hadley Magno, bem como à minha amiga Lorena Macêdo e meus compadres Ilan e Joane pela presença constante e pelos momentos de descontração. Agradeço a todos os servidores do Departamento de Física, sem exceção. Em particular, agradeço aos professores que contribuíram em minha formação. Agradeço à coordenação do Programa de Pós-Graduação em Física, por sanar as dúvidas, solucionar os problemas que para mim surgiram e por trabalhar pela excelência do Programa. Por fim, sou grato ao Cnpq pelo apoio financeiro. iii

7 L existence précède l essence. Jean-Paul Sartre When we are born, we cry that we are come to this great stage of fools. King Lear, William Shakespeare A lógica do vento O caos do pensamento A paz na solidão A órbita do tempo A pausa do retrato A voz da intuição A curva do Universo A fórmula do acaso O alcance da promessa O salto do desejo O agora e o infinito Só o que me interessa. É o que me interessa, Lenine iv

8 RESUMO Extensões da Relatividade Geral têm recebido crescente atenção ao longo das últimas décadas devido motivações advindas da física de altas energias, da astrofísica e da cosmologia. A não renormalizabilidade da gravitação de Einstein e a busca por uma teoria de gravitação quântica coerente impulsionaram o surgimento de gravitações de ordens mais altas durante a década de Atualmente, dados observacionais robustos indicam que as teorias de gravitação estendidas são possíveis candidatas na descrição da evolução do Universo. Nesta dissertação, é explorado o modelo chamado de gravitação de Starobinsky-Podolsky, que inclui correções de ordens mais altas dos invariantes de curvatura. Aqui, a ação de Einstein-Hilbert é suplementada por uma correção quadrática no escalar de curvatura R mais um termo de contração de derivadas de R. Após uma revisão da gravitação de Einstein e uma exposição acerca de buracos negros de Schwarzschild, explora-se a gravitação proposta. As equações de campo da gravidade de Starobinsky-Podolsky são deduzidas e em seguida, estuda-se soluções esfericamente simétricas. Seu limite Newtoniano é desenvolvido e analisado. Por fim, é feita uma análise das soluções de buracos negros, em particular, sob quais condições podem ocorrer apenas buracos negros de Schwarzschild. Palavras-chave: Extensões da Relatividade Geral. Limite de campo fraco. Buracos negros em gravitações de ordem superior. v

9 ABSTRACT Extensions of General Relativity have received increasing attention over the last few decades due to motivations coming from high-energy physics, astrophysics, and cosmology. The non-renormalizability of Einstein s gravitation and the search for a coherent quantum theory of gravity drove the rising of higher-derivative gravity during the 1960s. Today, robust observational data indicate that modified gravity theories are possible candidates in describing evolution of the Universe. In this dissertation, the model called Starobinsky-Podolsky gravitation is explored, which includes higher-order corrections of the curvature invariants. Here, the Einstein-Hilbert action is supplemented by a quadratic correction of the Ricci scalar R plus a derivative contraction term of R. After a review of Einstein s gravitation and an exposition about Schwarzschild black holes, the proposed gravitation is explored. The field equations of Starobinsky-Podolsky gravity are deduced and then spherically symmetric solutions are studied. Its Newtonian limit is developed and analyzed. Finally, an analysis of the black holes solutions is made, in particular, under which conditions only Schwarzschild black holes can occur. Key-words: Extensions of General Relativity. Weak-field limit. Black holes in higherderivative gravity. vi

10 LISTA DE FIGURAS 1.1 Representa-se nesta imagem o princípio de equivalência em sua versão forte, o qual afirma a equivalência entre referenciais não inerciais b e campos gravitacionais a. Fonte: Ryder, Analogia entre um referencial inercial e um plano tangente em um ponto na variedade. Fonte: Hobson et al., Representação do transporte paralelo em uma superfície. Fonte: Hobson et al., Representação da curvatura em uma variedade. Fonte: Rindler, Diagrama de espaço-tempo, em z = 0, para frentes de onda emanando de um ponto P em instantes t 1, t 2 e t 3. Fonte: d Inverno, Diagrama de imersão mostrando a curvatura ao redor de um objeto esfericamente simétrico e estático em um instante específico. Nesta imagem, todos os eixos representam coordenadas espaciais. Fonte: Padmanabhan, À esquerda, estrutura dos cones de luz para geodésicas radiais nulas. À direita, estrutura dos cones de luz para geodésicas de partículas em queda livre radial. Ambas em coordenadas de Schwarzschild. Fonte: Hobson et al., Estrutura dos cones de luz para geodésicas de uma partícula em queda livre radial em coordenadas de Eddington-Finkelstein. Fonte: Hobson et al., vii

11 2.5 Nesta imagem, ilustra-se o colapso de uma estrela, cujo raio de sua superfície diminui ao ponto de atingir seu raio de Schwarzschild, transformandose em um buraco negro. Aqui também é representado o efeito de buracos negros sobre os cones de luz. Fonte: Zee, viii

12 NOTAÇÕES E CONVENÇÕES Em toda a dissertação, a assinatura da métrica é +,,,. Os índices gregos variam de zero a 3, enquanto os latinos, de 1 a 3. É assumida a convenção da soma de Einstein, para a qual, índices repetidos são indicativos de somatório. A menos que seja dito pontualmente o contrário, será utilizado o sistema natural de unidades, no qual c h 1. A massa de Planck reduzida é M P = 8πG 1 2, onde G é a constante gravitacional. O símbolo µ representa uma derivada usual: µ / x µ. Por sua vez, o símbolo µ representa a derivada covariante. Também utiliza-se a seguinte notação: µ A ν A ν ;µ. ix

13 SUMÁRIO Introdução 1 1 Relatividade Geral: Uma Breve Síntese Fundamentos Partícula em Queda Livre e Limite Newtoniano Curvatura e Tensor Energia-Momento Equações de Campo Solução de Schwarzschild Buracos Negros de Schwarzschild Caracterização das Coordenadas e Singularidades Diagramas do Espaço-Tempo Espaço-Tempo em Coordenadas de Schwarzschild Espaço-Tempo em Coordenadas de Eddington-Finkelstein Colapso Gravitacional e Formação de Buracos Negros Gravitação de Starobinsky-Podolsky Equações de Campo Limite Newtoniano Buracos Negros na Gravitação de Starobinsky-Podolsky Conclusão e Perspectivas 56 x

14 A Dedução das Equações de Campo 58 Referências Bibliográficas 65 xi

15 INTRODUÇÃO Fazendo um imenso recorte na história da ciência e deixando de mencionar a contribuição de grandes cientistas na construção dos conceitos e ideias acerca da gravidade, a primeira teoria de gravitação bem sucedida foi a devido Isaac Newton De acordo com sua Lei da Gravitação Universal, os corpos são atraídos proporcionalmente ao produto de suas massas e inversamente ao quadrado da distância que as separa Newton, Nesta teoria estão incorporadas algumas ideias-chave: o espaço absoluto a visão de que o espaço é fixo e inafetado, como um palco onde ocorrem os fenômenos físicos, a ideia de que a interação gravitacional é transmitida instantaneamente, e o que chama-se atualmente como princípio da equivalência fraco a igualdade entre as massas inercial e gravitacional. Unida com as leis de Newton do movimento, ela possibilitou o entendimento de que a força que faz uma maçã cair no solo é na verdade a mesma que mantém as órbitas dos corpos celestes. Para uma grande variedade de fenômenos terrestres e celestes, como o lançamento de foguetes e a descrição de movimentos planetários, a gravitação newtoniana faz-se adequada. Mas como toda teoria, ela tem suas limitações. Ela é incapaz de descrever a precessão do periélio de mercúrio, algo observado em 1855 por Urbain Le Verrier Capozziello; de Laurentis, Além disso, a gravitação newtoniana é incompatível com as ideias que surgiram com a Relatividade Especial, como a existência de uma velocidade limite para transmissão de informações Einstein, Com o intuito de generalizar a Relatividade Especial, possibilitando a descrição em referenciais não inerciais e incluindo a gravidade, David Hilbert e Albert Einstein concluíram o desenvolvimento da Relatividade Geral, simultânea e independentemente. Tendo levado mais a fundo as implicações físicas, Einstein tomou cerca de nove anos desde a concepção do princípio da equivalência forte até a obtenção das equações de campo da teoria Einstein, 1915Einstein, Em seus fundamentos, a interação gravitacional é representada pelo efeito da curva- 1

16 tura, associada à uma métrica g µν em uma variedade quadri-dimensional. Além disso, a estrutura do espaço-tempo é curvada pela distribuição local de matéria, representada pelo tensor energia-momento T µν. A teoria de gravitação de Einstein possibilitou a descrição de fenômenos antes em aberto, permitiu a previsão de tantos outros, e também abriu caminho para novas explorações, como a possibilidade de existência de buracos negros e de um Universo em expansão. Vale mencionar, no entanto, que levaram apenas quatro anos desde seu lançamento em 1915/1916 para que iniciassem a questionar acerca de seu status dentre as teorias de gravitação. Foi em 1919 e em 1923 que Hermann Weyl e Arthur Eddington , respectivamente, introduziram invariantes de mais alta ordem na ação de Einstein-Hilbert Weyl, 1919Eddington, De acordo com Sotiriou; Faraoni, 2010, essas primeiras tentativas ocorreram principalmente por curiosidade científica e uma vontade de questionar, para dessa forma melhor entender a então nova teoria proposta. Naquele momento, sem aparente motivação teórica ou observacional, não era tão atrativo complicar a ação e, consequentemente, as equações de campo. Foi nesse contexto que surgiram as teorias de extensão à Relatividade Geral extensão, pois em geral, seus pontos de partida são exatamente aqueles propostos por Einstein e Hilbert. Nessas teorias, a lagrangeana é uma densidade escalar dos invariantes de curvatura, construídas com a métrica e com a conexão. Capozziello; de Laurentis, Com o passar dos anos, questões relacionadas às suas limitações tornaram-se cada vez mais pertinentes. A Relatividade Geral é uma teoria não renormalizável, e assim, não é possível convencionalmente quantizá-la. A busca por uma teoria de gravitação quântica coerente, levou Ryoyu Utiyama e Bryce DeWitt em 1962 a mostrarem que a renormalização em um loop necessita que a ação de Einstein-Hilbert seja corrigida por termos de curvatura de mais alta ordem 1 Utiyama; DeWitt, Mais tarde, Kellogg Stelle mostrou que ações de mais alta ordem são de fato renormalizáveis Stelle, Resultados mais recentes mostram que quando correções quânticas ou teorias de cordas são levadas em consideração, a ação gravitacional efetiva de baixas energias admite invariantes de curvatura de mais alta ordem Birrell, 1984Buchbinder et al., 1992Vilkovisky, Nesse caso, a relevância de tais termos na ação está restrita a fortes regimes gravitacionais, isto é, são consideradas dominantes apenas próximas à escala de Planck, como no Universo primordial e nas proximidades de buracos negros trabalhos destacáveis nessa linha são o modelo de Starobinsky para a inflação Starobinsky, 1980 e tentativas de evitar singularidades cosmológicas e de buracos negros Shahid-Saless, 1990Mukhanov; Brandenberger, 1 Termos de mais alta ordem são termos que produzem equações de campo de ordem superior acima da segunda. 2

17 1992Brandenberger, 1993aBrandenberger, 1993b Brandenberger et al., 1993Trodden et al., 1993Brandenberger, Dito de outra forma, pela natureza de tais correções, observa-se que elas têm efeito negligenciável sobre a fenomenologia gravitacional de baixa energia, tal como no Universo atual. Em meados da década de 1980, observou-se que um período de aceleração no Universo primordial seria necessário para solucionar uma série de problemas que surgem na descrição da evolução do Universo quando realizada a partir somente do modelo padrão da cosmologia naquele momento, Universo de Friedmann, mas atualmente, o ΛCDM. Apenas para listar alguns destes problemas, tem-se: o problema do horizonte, o da planura e o da geração das inomogeneidades primordiais. Modelos cujo propósito é solucionar tais problemas e descrever tal período são chamados modelos inflacionários Guth, 1981Kolb; Turner, 1990Mukhanov, 2003Linde, Ainda não há um consenso acerca dos detalhes da inflação: existem cenários, que devem satisfazer certas condições como o paradigma de slow-roll conduzindo aproximadamente aos mesmo resultados. Em face dos recentes dados observacionais obtidos pelo satélite Planck, o modelo de Starobinsky para a Inflação cósmica Starobinsky, 1980, baseado em uma extensão da Relatividade Geral, tem surgido como um forte candidato no cenário inflacionário, sendo o que melhor adequa-se aos dados observacionais Planck Collaboration et al., 2016b. Mais recentemente, novas evidências provenientes da astrofísica e da cosmologia têm revelado um interessante quadro do Universo. Dados observacionais provenientes de diferentes fontes, tais como da radiação cósmica de fundo, varreduras de supernovas etc, indicam que a composição do Universo é aproximadamente: 4,9% de matéria bariônica, 26,8% de matéria escura e 68,3% de energia escura Planck Collaboration et al., 2016a. O primeiro registro acerca da matéria escura na literatura data de 1933 Zwicky, 1933, no qual observou-se uma discrepância entre estimativas da massa do aglomerado de galáxias Coma através de seu movimento e através da sua luminosidade. Tal valor estimado para a massa foi significativamente superior do que indicava a luminosidade das galáxias. Nesse sentido, a matéria escura está associada à uma forma desconhecida de matéria, que possui a propriedade de aglomeração da matéria ordinária, mas cuja evidência é unicamente sua influência gravitacional: ela não tem sido detectada em laboratório Dolgov, Por sua vez, a energia escura está associada a uma forma desconhecida de energia, que também não tem sido detectada, nem possui a propriedade de aglomeração da matéria ordinária. Ela tem a constante cosmológica como um possível candidato e devido sua dominância sobre a matéria ordinária e escura e a radiação no tempo presente, a expansão do Universo está acelerada, ao contrário do que se esperava até sua observação Riess et al., Em face do problema das componentes escuras, um caminho a tomar-se é: em vez de 3

18 modificar o lado associado às componentes materiais das equações de campo da Relatividade Geral adicionando formas desconhecidas e exóticas de matéria e energia pode-se modificar o lado gravitacional das equações, admitindo correções na ação de Einstein-Hilbert. A título de exemplo, a precessão do periélio de mercúrio foi inicialmente atribuída a um planeta não observado, mas apenas foi devidamente descrito com o advento da Relatividade Geral. Além das motivações apresentadas anteriormente, destacam-se os esforços no desenvolvimento acerca da equivalência de diferentes classes de teorias de gravitação. Em algumas situações, faz-se necessária a redefinição de campos de modo que possibilite descrever um dado sistema em uma forma mais adequada ou mais fácil de lidar. Nesse sentido, pode-se introduzir campos auxiliares e/ou transformações conforme, a exemplo dos frames de Jordan e de Einstein Sotiriou; Faraoni, De uma perspectiva clássica, duas teorias são consideradas equivalentes se sob uma redefinição dos campos de gravitação e de matéria, pode-se fazer com que o conjunto das equações de campo sejam equivalentes. As teorias de gravitação escalar-tensoriais que levam esse nome na medida em que além do tensor métrico, utilizam um campo escalar para descrever parte da gravitação foram inicialmente desenvolvidas por Brans; Dicke, 1961 com o intuito de encapsular o princípio de Mach, o que levou a assumir uma constante de acoplamento gravitacional variável Capozziello; de Laurentis, Ocorre que teorias específicas dentro da classe de Brans-Dicke com um potencial são equivalentes às teorias de gravitação f R em suas formulações métrica e de Palatini. Outra classe interessante de teorias de gravitação é aquela nas quais consideramse derivadas da curvatura escalar 2 R. Por sua vez, foi mostrada em Cuzinatto et al., 2016 a equivalência de tal classe de teorias de gravidade com as teorias scalar-multitensoriais. Redefinições dos campos e as diferentes representações da mesma teoria constituem ferramentas úteis no entendimento de teorias de gravitação. O presente trabalho divide-se da seguinte maneira: no Capítulo 1, é feita uma revisão da Relatividade Geral, apresentando suas ideias-chave até culminar em suas equações de campo; em seguida, no Capítulo 2, os buracos negros de Schwarzschild são estudados, onde destaca-se suas principais características; e por fim, no Capítulo 3, é desenvolvida a gravitação de Starobinsky-Podolsky, seu limite newtoniano é obtido e soluções de buracos negros são exploradas. 2 As teorias f R, bem como as teorias que envolvem derivadas da curvatura escalar R, serão discutidas no capítulo 3 4

19 CAPÍTULO 1 RELATIVIDADE GERAL: UMA BREVE SÍNTESE A teoria da Relatividade Geral desenvolvida por Einstein teve sua forma final publicada em 1915/1916 em dois trabalhos Einstein, 1915Einstein, Antes de tudo, ela é uma teoria de gravitação e teve como objetivo generalizar a Relatividade Especial Einstein, 1905, possibilitando a descrição em referenciais quaisquer não inerciais, e também a gravitação newtoniana ao contê-la como um caso particular de campo fraco. Enquanto na gravitação newtoniana a gravidade é uma força atrativa e representa o efeito da massa [gravitacional] dos corpos, na Gravitação Relativística, a gravidade é o efeito da curvatura do espaço-tempo podendo inclusive ser repulsiva que força os corpos a descreverem trajetórias geodésicas. Construída utilizando Geometria Diferencial e sustentada por alguns princípios físicos, em particular, o princípio da equivalência e o princípio da covariância geral, a Relatividade Geral é uma das mais bem sucedidas teorias inventadas. Experimentos e observações têm verificado até os dias atuais que a descrição de Einstein consegue dar conta de vários fenômenos na qual a gravitação newtoniana falha, tal como a anomalia na órbita de mercúrio, e prevê vários outros como a deflexão da luz, ondas gravitacionais, lentes gravitacionais, redshift gravitacional, etc Weinberg, Neste capítulo, são apresentados brevemente os fundamentos da Relatividade Geral, como os princípios da equivalência e da covariância geral, bem como a estrutura matemática sob a qual ela é construída. Em seguida, as equações de campo são escritas e seu limite newtoniano obtido. Por fim, a solução de Schwarzschild é deduzida. 5

20 1.1 Fundamentos O princípio da equivalência, em suas várias versões, tem um papel fundamental na construção da teoria da Relatividade Geral. Ele é baseado na igualdade das massas gravitacional e inercial, demonstrado por Galileo Galilei , Christiaan Huygens , Isaac Newton , Friedrich Bessel e Loránd Eötvös Weinberg, Einstein percebeu que, como consequência, nenhum campo gravitacional estático e homogêneo externo a um elevador em queda livre poderia ser detectado, pois para os observadores, seus corpos e o próprio elevador respondem ao campo da mesma maneira. De acordo com a contrução realizada pela citada referência, isso pode ser verificado considerando um sistema de N partículas não relativísticas sob a influência de forças do tipo F = F ri r j, como as forças gravitacional e eletromagnética, mais um campo gravitacional externo g. As equações de movimento, para a i-ésima partícula, escrevem-se m i d 2 r i dt 2 = m i g + F ri r j. 1.1 j =i Fazendo uma transformação de coordenadas não galileana, da forma r = r 1 2 gt2 t = t, 1.2 obtém-se que g é cancelado pela força de inércia, e a equação de movimento torna-se m i d 2 r i dt 2 = F r i r j. 1.3 j =i A partir das considerações anteriores, é possível relacionar um referencial não inercial a um campo gravitacional estático e uniforme. O observador original S, que usa coordenadas t, r, e o outro S, cujas coordenadas utilizadas são t, r, não detectam diferença alguma nas leis da mecânica, com a exceção de que o primeiro diz que sente o campo gravitacional, enquanto o último, não. O princípio da equivalência afirma que o cancelamento da força gravitacional pela força de inércia ocorre para todos os sistemas em queda livre. Em sua forma final, o princípio da equivalência também abrange campos gravitacionais não homogêneos e variáveis com o tempo. Embora as forças inerciais não cancelem exatamente forças gravitacionais em sistemas caindo livremente em um campo gravitacional geral, é possível esperar um cancelamento aproximado ser for considerada uma região suficientemente pequena do espaço e do tempo onde o campo muda muito pouco. Portanto, o princípio da equivalência pode ser enunciado da seguinte 6

21 forma: em cada ponto do espaço-tempo em um campo gravitacional arbitrário, é possível escolher um sistema de coordenadas localmente inercial, tal que, dentro de uma região suficientemente pequena em torno do ponto considerado, as leis da natureza assumem a mesma forma como em um sistema de coordenadas cartesiano não acelerado na ausência de gravidade. Aqui, com "a mesma forma como em um sistema de coordenadas cartesiano não acelerado", quer-se dizer "a forma que as leis da natureza assumem na Relatividade Especial". Figura 1.1: Representa-se nesta imagem o princípio de equivalência em sua versão forte, o qual afirma a equivalência entre referenciais não inerciais b e campos gravitacionais a. Fonte: Ryder, Há uma certa semelhança entre o princípio da equivalência e o axioma assumido por Friedrich Gauss como base da Geometria Não Euclideana. O princípio da equivalência diz que em qualquer ponto do espaço-tempo pode-se tomar um sistema de coordenadas localmente inercial, tal que os objetos satisfazem as leis da Relatividade Especial. Por sua vez, Gauss assumiu que em qualquer ponto em uma superfície curva pode-se tomar um sistema de coordenadas localmente cartesiano, em que as distâncias obedecem ao teorema de Pythagoras. Veja a Figura 1.2 Devido a essa profunda analogia, deve-se esperar que as leis da Gravitação carreguem grande semelhança com as equações da Geometria Riemanniana. Em particular, a suposição de Gauss implica que todas as propriedades intrínsecas de uma superfície curva podem ser descritas em termos das derivadas ξ α / x µ da função ξ α x que definem a transformação x ξ de algum sistema de coordenadas geral x µ que cobre a superfície, para o sistema localmente cartesiano ξ α. Por sua vez, o princípio da equivalência afirma que todos os efeitos de um campo gravitacional podem ser descritos em termos das derivadas ξ α / x µ da função ξ α x que definem a transformação das coordenadas x µ do laboratório para as coordenadas localmente inerciais ξ α. Essas funções geometricamente relevantes são as quantidades g µν, que possibilitam calcular distâncias em uma variedade. Pode-se encontrar na literatura diferentes formulações do princípio da equivalência, em particular, as versões fraca e forte. O princípio da equivalência forte é o que foi enunciado anteriormente, com leis da natureza significando todas as leis da natureza. Já a formulação fraca, é o mesmo com a substituição do termo leis da natureza 7

22 por leis do movimento de partículas em queda livre. Assim, o princípio fraco é a reafirmação da igualdade entre as massas gravitacional e inercial, enquanto que o princípio forte é uma generalização dessas observações que governam os efeitos da gravitação para todos os sistemas físicos Weinberg, 1972Wald, Figura 1.2: Analogia entre um referencial inercial e um plano tangente em um ponto na variedade. Fonte: Hobson et al., Um outro princípio de suma importância na construção da teoria geral da Relatividade é o princípio da covariância geral. De acordo com este, todas as leis da física devem ser independentes do sistema de coordenadas, isto é, devem ser do tipo tensorial já que estes são invariantes por transformações gerais de coordenadas Ryder, Aliando essa ideia ao princípio da equivalência, é possível estabelecer a prescrição do acoplamento mínimo, que permite escrever qualquer lei física sob a influência do campo gravitacional. Se uma determinada lei da física está escrita com respeito a um sistema de coordenadas localmente inercial na ausência de gravidade, ela mantémse em um outro sistema de coordenadas na presença de campos gravitacionais. Para tanto, a prescrição do acoplamento mínimo diz, neste caso, que a métrica plana de Minkowski η µν deve ser substituida por g µν e as derivadas usuais µ, pelas derivadas covariantes µ. Vale a pena também mencionar o princípio de Mach. Na Relatividade Especial, bem como em teorias anteriores à mesma, a estrutura do espaço-tempo é dada como independente de seu conteúdo material. Ernst Mach , assim como Bernhard Riemann , acreditavam que toda a matéria no Universo deveriam contribuir para a caracterização de um referencial como não acelerado ou não girante Wald, Convencido dessa ideia, Einstein buscou agregar em sua teoria uma estrutura do espaço-tempo que fosse influenciada pela presença de matéria. Em síntese, pode-se afirmar o seguinte: as propriedades intrínsecas do espaçotempo são descritas pela métrica, como na Relatividade Especial; no entanto, a métrica do espaço-tempo não necessita ter a forma plana; pelo contrário, a curvatura, isto é, o desvio da métrica plana levam ao efeito físico associado ao campo gravitacional. Além 8

23 disso, a curvatura do espaço-tempo está relacionada com o conteúdo material através de equações de campo, que em Relatividade Geral são conhecidas por equações de campo de Einstein. 1.2 Partícula em Queda Livre e Limite Newtoniano Fazer a construção da estrutura matemática sob a qual a Relatividade Geral foi erguida, está além do escopo deste trabalho. No entanto, será feita uma sucinta exposição que possibilitará ao leitor o entendimento de alguns conceitos como o tensor métrico g µν, as conexões de Levi-Civita Γ λ µν, a derivada covariante, etc. Seguindo a construção exposta em Weinberg, 1972, considere uma partícula movendo-se em queda livre, isto é, sob a influência apenas de forças gravitacionais. De acordo com o princípio da equivalência, existe um sistema de coordenadas ξ α em queda livre, cuja equação de movimento é a de uma linha reta no espaço-tempo, dada por sendo dτ o tempo próprio, definido através de d 2 ξ α = 0, 1.4 dτ2 dτ 2 dt 2 dr 2, 1.5 que nesse caso se torna dτ 2 = η αβ dξ α dξ β. 1.6 Suponha agora que deseje-se utilizar algum outro sistema de coordenadas x µ, podendo ser um sistema de coordenadas cartesiano em repouso no laboratório, bem como um curvilínio, acelerado, girante, etc. As coordenadas em queda livre ξ α serão funções de x µ, de forma que pela regra da cadeia, teremos para a eq. 1.4 d ξ α dx µ dτ x µ = 0 dτ ξ α d 2 x µ x µ dτ ξ α dx µ dx ν x µ x ν dτ dτ = 0. 9

24 Multiplicando por x λ / ξ α e utilizando o fato de que x λ / x µ = δ λ µ, tem-se x λ ξ α d 2 x µ ξ α x µ dτ 2 + xλ 2 ξ α dx µ dx ν ξ α x µ x ν dτ dτ = 0 δ λ µ d 2 x µ dτ 2 + xλ 2 ξ α dx µ dx ν ξ α x µ x ν dτ dτ = 0 d 2 x λ dτ 2 + dx µ dx ν Γλ µν dτ dτ = 0, 1.7 que é a chamada equação da geodésica, onde Γ λ µν são as conexões afim, definidas por Γ λ µν xλ 2 ξ α ξ α x µ x ν. 1.8 Observe que as conexões Γ λ µν são simétricas nos índices inferiores. Além disso, nesse novo sistema de coordenadas arbitrário, o tempo próprio pode ser expresso como onde g µν é o tensor métrico, definido por dτ 2 = η αβ ξ α x µ ξ β x ν dxµ dx ν dτ 2 = g µν dx µ dx ν, 1.9 g µν = η αβ ξ α x µ ξ β x ν Por sua vez, para o caso de partículas não massivas como o fóton, a variável independende não pode ser o tempo próprio τ. Assim, utilizando um parâmetro σ ξ 0, as eqs. 1.4 e 1.6 reescrevem-se e d 2 ξ α dσ 2 = 0, 0 = η αβ dξ α dσ dξ β dσ. Seguindo o mesmo procedimento, verifica-se que as equações de movimento em um campo gravitacional arbitrário e em um sistema de coordenadas também arbitrário são com d 2 x λ dσ 2 + dx µ dx ν Γλ µν dσ dσ 0 = g µν dx µ dσ = 0, 1.11 dx ν dσ Tais relações serão bastante exploradas ao avaliar tanto as geodésicas radiais nulas, associadas às partículas sem massa, quanto as de partículas massivas no espaço-tempo 10

25 de Schwarzschild. Antes de verificar como a equação da geodésica 1.11 comporta-se em um regime de campo fraco e estático, será obtida uma relação entre o tensor métrico e as conexões, nesse caso chamadas de conexões de Levi-Civita ou símbolos de Christoffel. Nesse sentido, diferenciando o tensor métrico da eq com relação à x λ, tem-se g µν x λ g µν = η αβ x λ ξ α ξ β x µ x ν x λ = η 2 ξ α ξ β αβ x λ x µ x ν + η ξ α 2 ξ β αβ x µ x λ x ν x λ = ξ α ξ β Γρ λµ x ρ x ν η αβ + Γ ρ ξ α ξ β λν x µ x ρ η αβ, g µν onde foi utilizada a relação 2 ξ β x µ x ν = ξ β Γλ µν x λ. Novamente utilizando a relação 1.10 para o tensor métrico, obtém-se g µν x λ = Γρ λµ g ρν + Γ ρ λν g µρ Somando da relação anterior a mesma equação com µ e λ trocados e subtraindo a mesma com ν e λ trocados, tem-se g µν x λ + g λν x µ g µλ x ν = Γρ λµ g ρν + Γ ρ λν g µρ+ Γ ρ µλ g ρν + Γ ρ µνg λρ Γ ρ νµg ρλ Γ ρ νλ g µρ. Como a métrica e as conexões são simétricas nos índices inferiores, tem-se g µν x λ + g λν x µ g µλ x ν = 2Γρ λµ g ρν. Em geometria diferencial, quando há simetria nos índices inferiores da conexão, a variedade não apresenta torção, apenas curvatura. Definindo um tensor inverso g ρν, tal que g σν g κν = δ σ κ, 1.14 e multiplicando a relação para as conexões por g να, obtém-se a relação de dependência de Γ α λµ com g µν Γ α λµ = 1 gµν 2 gνα x λ + g λν x µ g µλ x ν As conexões de Levi-Civita aqui obtidas surgiram ao representar uma equa- 11

26 ção física a equação de movimento em um outro sistema de coordenadas. Elas surgem no processo de derivação de vetores e tensores. O que ocorre é que a derivada usual de um vetor não transforma-se como um tensor, gerando um problema se deseja-se representar as leis da física, que em geral envolvem variações, através de objetos tensoriais. O problema jaz no fato de que a derivada envolve a diferença de vetores em diferentes pontos da variedade. Para subtraí-los no mesmo ponto é necessário realizar um transporte paralelo e a imposição de que essa diferenciação transforme-se como um tensor dá origem às conexões Ryder, Veja a Figura 1.3 A partir daí, é possível definir um operador chamado derivada covariante, cuja aplicação sobre um vetor A α, escreve-se µ A α µ A α + Γκλ α Aλ, com Γκλ α dados por Também encontra-se na literatura, a notação A α ;µ µ A α + Γ α κλ Aλ. Figura 1.3: Representação do transporte paralelo em uma superfície. Fonte: Hobson et al., Para avaliar-se o limite newtoniano, considere uma partícula movendo-se a baixas velocidades em um campo gravitacional fraco e estático. Baixas velocidades significa t τ, dx 0 /dτ 1 e dx i /dτ v i 1. Por sua vez, um campo gravitacional fraco significa que o tensor métrico g µν difere da métrica de Minkowski η µν por apenas uma pequena perturbação hµν 1, isto é g µν = η µν + h µν

27 Assim, pode-se escrever a equação da geodésica como d 2 x λ dτ 2 + Γλ µν dx µ dτ dx ν dτ = 0 d 2 x i dt 2 + Γi 00 = 0. Nesse regime, os símbolos de Christoffel são dados, em primeira ordem para h µν, por De forma tal que Γ i ηij h 00 x j. d 2 x i dt 2 1 h 2 ηij 00 x j d 2 r dt h 00 d 2 r φ, 1.17 dt2 representa o resultado newtoniano, de onde é possível identificar h 00 = 2φ + C, sendo φ = GM/r o potencial gravitacional e C, uma constante. A constante, por sua vez, deve ser zero pois em grandes distâncias deve-se recair no espaço-tempo de Minkowski. Obtém-se, por fim, que a componente g 00 da métrica é escrita como g 00 = 1 + 2φ Curvatura e Tensor Energia-Momento Como bem expresso, a curvatura desempenha uma papel fundamental na Relatividade Geral. Deseja-se aqui descrever a gravitação por meio da propriedade de curvatura da variedade, e esta por sua vez está diretamente relacionada à métrica g µν. Anteriormente, observou-se que as leis da física devem ser invariantes por transformações gerais de coordenadas, isto é, devem ser equações tensoriais. A questão que põe-se agora é: quais quantidades tensoriais podem ser formadas a partir da métrica e de suas derivadas? De acordo com Weinberg, 1972, o único tersor que pode ser construído a partir da métrica e de suas primeira e segunda derivadas, e que é linear na segunda derivada, é o tensor de Riemann-Christofell R κ λµν. O tensor de Riemann-Christofell ou tensor de curvatura é definido como R κ λµν µ Γ κ λν νγ κ λµ + Γκ ρµγ ρ λν Γκ ρνγ ρ λµ

28 Figura 1.4: Representação da curvatura em uma variedade. Fonte: Rindler, Observe que em um espaço-tempo plano, caracterizado por η µν, onde as conexões de Levi-Civita escritas em coordenadas cartesianas são todas nulas 1, tem-se que R κ λµν = 0. Como era de esperar-se: não há curvatura em um espaço-tempo plano. Ele possui uma série de simetrias, que podem ser apresentadas conveniente exprimindo-o na forma completamente covariante R κλµν g κρ R ρ λµν Ryder, 2009: R κλµν = R κλνµ, R κλµν = R λκµν, R κλµν = R µνκλ, R κλµν + R κνλµ + R κµνλ = 0. A partir do tensor de curvatura é possível obter duas outras quantidades através de contrações com a métrica: o tensor de Ricci R νβ e o escalar de curvatura R. O tensor de Ricci escreve-se R νβ g µα R µναβ = R α ναβ, 1.20 que pode ser representado também por R νβ g κλ R κνλβ 1.21 R νβ = 1 2 gκλ λ ν g κβ β ν g κλ + β κ g νλ λ κ g νβ g κλ g ρσ Γ ρ βκ Γσ νλ Γρ λκ Γσ νβ Por sua vez, o escalar de curvatura é dado por R g νβ R νβ = R β β Em coordenadas curvilíneas, as conexões são diferentes de zero. Ainda assim, o tensor de Riemann é nulo em qualquer sistema de coordenadas. 14

29 Uma outra quantidade fundamental em Relatividade Geral é o tensor energiamomento T µν. De uma forma genérica, é no tensor energia-momento que está encapsulada toda a informação acerca da distribuição de matéria e energia no espaço-tempo. A título de exemplo, o tensor energia-momento para a poeira, isto é, uma matéria fracamente interagente, escreve-se T µν = ρ 0 u µ u ν, no qual ρ 0 é a densidade de matéria que acompanha o fluxo e u µ = c 1 dx µ /dτ é sua quadri-velocidade 2. A componente T 00 representa a densidade de energia da matéria. As componentes T 0j e T i0 representam um fluxo de energia na direção j e um fluxo de momento na direção i, respectivamente. Por sua vez, T ij é a taxa do fluxo da i- ésima componente do momento por unidade de área na direção j. Uma característica do tensor energia-momento de um fluido perfeito, do qual o exemplo tomado acima é um caso particular, é que ele é um tensor simétrico. Além disso, como energia e momento são quantidades conservadas, é natural que ele obedeça a uma equação de conservação. Tal equação escreve-se µ T µν = Equações de Campo Uma diferença marcante entre as equações que descrevem os fenômenos eletromagnéticos e as equações que descrevem os fenômenos gravitacionais é que estas últimas são não lineares. No eletromagnetismo [de Maxwell], não há interação entre o campo eletromagnético com ele mesmo. Nesse caso se diz que o campo não carrega no sentido de levar, conduzir cargas, e assim as equações fundamentais da teoria são lineares. Por outro lado, o campo gravitacional carrega energia e momento e deve contribuir como fonte. Um exemplo que pode ser apresentado aqui é que em um átomo, a massa total não é dada pela soma da massa das partes: a massa total é menor que a soma da massa das partes, estando o restante na forma de energia de ligação. Isso ocorre para qualquer sistema ligado independente do tipo de interação como por exemplo o sistema Terra-Sol. Assim, as equações para o campo gravitacional são equações diferenciais parciais não lineares, onde a não linearidade representa o efeito da gravitação sobre ela mesma. Para lidar com esses efeitos de não linearidade, lança-se mão do princípio da equivalência. De acordo com a construção feita em Weinberg, 1972, em um ponto 2 Aqui é um dos poucos pontos da dissertação em que c não é feito igual a unidade. 15

30 X em um campo gravitacional arbitrariamente forte, pode-se definir um sistema de coordenadas localmente inercial, tal que g αβ X = η αβ, 1.25 e [ ] gαβ x x γ x=x = Para x próximo de X, o tensor métrico g αβ pode diferir de η αβ apenas por termos quadráticos em x X. Assim, nesse sistema de coordenadas, o campo gravitacional pode ser considerado fraco nas proximidades de X, de modo que a descrição do campo através de equações diferenciais parciais lineares é uma boa aproximação. Uma vez que estas equações de campo fraco são conhecidas, é possível encontrar as equações de campo gerais revertendo a transformação de coordenadas. Como foi verificado anteriormente, em um campo fraco e estático produzido por uma partícula que move-se com velocidades não relativísticas, a componente g 00 do tensor métrico é aproximadamente dada por g φ, onde o potencial newtoniano φ é determinado pela equação de Poisson 2 φ = 4πGρ Além disso, a densidade de energia T 00 para a matéria não relativística é igual a densidade de massa ρ, se for adotado c = 1. Combinando as informações anteriores, obtém-se 2 g 00 = 8πGT Essa equação de campo é supostamente válida para campos fracos e estáticos devido matéria não relativística. No entanto, ela sugere que as equações de campo fraco, para distribuições gerais T αβ de energia e momento, assumem a forma G αβ = 8πGT αβ, 1.29 onde G αβ é uma combinação da métrica com suas primeira e segunda derivadas. Do princípio da equivalência, segue que as equações que descrevem o campo gravitacional de intensidade arbitrária devem assumir a forma G µν = 8πGT µν,

31 sendo G µν um tensor que se reduz para G αβ para campos fracos. Em geral, pode haver uma grande variedade de tensores G µν que podem ser formados a partir do tensor métrico e de suas derivadas. De antemão, pelo regime de campo fraco e estático, sabe-se que a equação diferencial é de ordem N = 2 para a métrica. Resumindo o que é conhecido sobre as equações de campo: 1. Por definição, G µν é um tensor. 2. G µν contém apenas termos de N = 2 derivadas da métrica. 3. Como T µν é simétrico, G µν também é. 4. Como T µν é conservado sua derivada covariante é zero, G µν também é: µ G µ ν = G µ ν;µ = Para um campo fraco e estático gerado pela matéria não relativística, a componente G 00 deve recair em G 00 2 g A maneira mais geral de construir um campo satisfazendo as duas primeiras condições é contraindo o tensor de curvatura R λ µνκ. A propriedade anti-simétrica de R λµνκ mostra que há apenas dois objetos que podem ser formados contraindo R λµνκ, que são o tensor de Ricci R µκ R λ µλκ, e o escalar de curvatura R R µ µ. Assim, as duas primeiras condições exigem que G µν assuma a forma 3 G µν = C 1 R µν + C 2 g µν R, 1.33 com C 1 e C 2 constantes. Utilizando a identidade de Bianchi, a saber para avaliar a derivada covariante de G µν, tem-se R µ ν 1 2 δµ νr = 0, 1.34 ;µ G µ ν;µ = C1 2 + C 2 R ;ν, de modo que, ou C 2 = C 1 /2, ou R ;ν = 0. Se R ;ν é zero, então o mesmo ocorre com a quantidade T µ µ/ x ν. No entanto, esse não é o caso na presença de matéria não 3 Aqui, desconsidera-se o termo de constante cosmológica. 17

32 relativística não homogênea. Portanto, conclui-se que C 2 = C 1 /2, e a equação de campo se torna G µν = C 1 R µν 1 2 g µνr Para ajustar a constante C 1, utiliza-se a quinta propriedade do tensor G µν, isto é, verificase sua componente G 00 em um regime de campo fraco e estático. O tensor de Ricci escreve-se R µν g κλ R κµλν R µν = 1 2 gκλ λ µ g κν ν µ g κλ + ν κ g µλ λ κ g µν + + g κλ g ρσ Γ ρ νκγ σ µλ Γρ λκ Γσ µν. Sua componente R 00 nesse regime em que são considerados apenas termos lineares em h µν, é dada por R 00 = h 00. Além disso, um sistema não relativístico possui a característica de que Tij T 00, de modo que aqui, lida-se com um caso em que G ij G 00, onde tem-se aproximadamente Assim, o escalar de curvatura R é R ij 1 2 h ijr R η 00 R 00 + η ij R ij R R, de modo que Portanto R 2R 00. G 00 C 1 R η 00R G 00 C 1 R 00 + R 00 G 00 2C 1 R 00 G 00 C 1 2 h 00, de onde verifica-se que a constante C 1 = 1. As equações de campo de Einstein, portanto escrevem-se G µν R µν 1 2 g µνr = 8πGT µν O tensor G µν é conhecido como tensor de Einstein. As eqs formam um conjunto 18

33 de dezesseis equações diferenciais parciais não lineares acopladas, e como G µν é um tensor simétrico em seus índices, tem-se a princípio dez equações distintas. Observe que do lado esquerdo, há apenas informações acerca da geometria do espaço-tempo, em particular, da curvatura. Por outro lado, o lado direito está associado ao conteúdo energético material. Dadas a métrica do espaço-tempo e a informação relativa ao seu conteúdo, é possível obter as equações de movimento. Na prática, poucas são as soluções analíticas para as equações de campo de Einstein. Uma em particular, importante para o desenvolvimento do presente trabalho é a solução de Schwarzschild, que é a solução com simetria esférica e estática no vácuo. As eqs podem ainda ser expressas de uma maneira alternativa. Tomando seu traço, tem-se R = 8πGT Substituindo nas equações de campo, obtém-se R µν = 8πG T µν 1 2 g µνt, 1.38 que é uma equação interessante para estudar-se soluções no vácuo, onde T µν anula-se, resultando em R µν = Solução de Schwarzschild A primeira solução exata das equações de campo da Relatividade Geral foi obtida em 1916 pelo físico e astrônomo Karl Schwarzschild , que incrivelmente a deduziu nas trincheiras durante a Primeira Guerra Mundial 4. A solução de Schwarzschild permite com boa aproximação descrever o campo gravitacional nas redondezas de um objeto esfericamente simétrico como uma estrela ou um buraco negro. A deflexão da luz pelo Sol, bem como a precessão do periélio de Mercúrio, dois dos testes propostos por Einstein para testar sua teoria foram realizados utilizando a solução esfericamente simétrica, estática e no vácuo das equações de campo. Para construir-se a métrica que descreve um espaço-tempo com simetria esférica e estático, deve-se satisfazer as seguintes condições: em primeiro lugar, todas as componentes da métrica g µν devem ser independentes da coordenada x 0 ; em segundo, o elemento de linha ds 2 deve ser invariante sob a transformação x 0 x 0, de modo que não deve haver termos envolvendo dx i dx 0. Isso significa que g i0 = g 0i = 0. A primeira condição não implica a segunda: fazer a transformação x 0 x 0 para o caso 4 Infelizmente, Schwarzschild não conseguiu sobreviver ao conflito. 19

34 de uma estrela em rotação, por exemplo, altera o sentido de rotação mas as componentes da métrica são constantes com o tempo. Um espaço-tempo que satisfaz a primeira condição mas não a segunda é chamado estacionário Hobson et al., O elemento de linha ds 2 satisfazendo essas condições se escreve ds 2 = A r dt 2 B r dr 2 C r r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ Devido à simetria em questão, as dez componentes da métrica, que em geral depende de todas as coordenadas x µ, reduzem-se a três funções dependentes apenas de r. Ainda é possível reduzi-la apenas a duas funções. Como r é um parâmetro radial, pode-se substitui-lo por qualquer função de r Ryder, Fazendo Cr 2 = r 2, tem-se que r = Cr e Com isso, pode-se reescrever Bdr 2 = B C d r dr = r dc C 2C dr + 1. r dc 2 2C dr + 1 d r 2 Bd r 2, e também tomar A r = Ā r. Reescrevendo o elemento de linha, substituindo todas as funções sem barra pelas funções com barra, tem-se ds 2 = Ādt 2 Bd r 2 r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2. Por fim, retirando as barras e fazendo A r = e 2νr e B r = e 2λr, obtém-se a métrica que descreve um espaço-tempo esfericamente simétrico e estático, dependente apenas das duas funções ν r e λ r ds 2 = e 2νr dt 2 e 2λr dr 2 r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ Matricialmente, pode-se representá-la da seguinte forma e 2ν g µν = 0 e 2λ r r 2 sin 2 θ O segundo passo é encontrar todas as conexões de Levi-Civita Γ ρ µν não nulas. 20

35 Tais conexões escrevem-se Γ 3 23 = Γ 3 32 = cot θ, Γ 3 13 = Γ 3 31 = r 1, Γ 2 33 = sin θ cos θ, Γ 2 12 = Γ 2 21 = r 1, Γ 1 33 = re 2λ sin 2 θ, Γ 1 22 = re 2λ, Γ 1 11 = λ, Γ 1 00 = ν e 2ν 2λ, Γ 0 01 = Γ 0 10 = ν. O passo seguinte é avaliar o tensor de Ricci. As componentes não nulas do tensor de Ricci e por conseguinte, as equações de campo no vácuo são R 00 = ν + ν 2 ν λ + 2r 1 ν = 0, 1.42 R 11 = ν ν 2 + ν λ + 2λ r 1 = 0, 1.43 R 22 = 1 rν + rλ e 2λ + 1 = 0, 1.44 [ 1 R 33 = rν + rλ e 2λ + 1] sin 2 θ = 0, 1.45 onde a linha representa a derivada com relação ao parâmetro radial. Dessas equações, observa-se que apenas duas são independentes. Somando as duas primeiras equações, tem-se 2r 1 ν + λ = 2r 1 ν + λ = 0, de modo que a soma ν + λ é uma constante. Mas como na medida em que r, a métrica dada 1.40 deve recair na métrica de Minkowski, tem-se que ν, λ 0 e portanto a constante deve ser zero. Assim, ν r = λ r. Substituindo este resultado na eq. 1.44, tem-se 1 + 2rν e 2ν + 1 = rν e 2ν = 1, 1.46 re 2ν = 1 re 2ν = r 2m, 1.47 onde foi escolhida a quantidade 2m como constante de integração, e portanto, é obtida 21

36 a seguinte relação e 2ν = 1 2m r = g 00. O elemento de linha, por fim, escreve-se ds 2 = 1 2m r dt 2 1 2m r 1 dr 2 r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ A equação dada em 1.48 é a chamada solução de Schwarzschild, que representa a solução exata das equações de campo de Einstein com simetria esférica no vácuo. Algo interessante ocorre na superfície r = 2m, pois a métrica torna-se indefinida, com g 00 0 e g 11, dando origem aos chamados buracos negros, que será explorado no capítulo 2. 22

37 CAPÍTULO 2 BURACOS NEGROS DE SCHWARZSCHILD Buracos negros de Schwarzschild, também conhecidos como buracos negros estáticos, são um caso muito particular de buracos negros, em que apenas sua propriedade de massa é considerada. De acordo com o teorema no-hair, devido ao físico John Wheeler , buracos negros são caracterizados completamente por apenas algumas poucas quantidades externamente mensuráveis, a saber, sua massa, sua carga e seu momento angular Lambourne, Como todo buraco negro deve possuir massa, existem essencialmente quatro tipos distintos: massivos, massivos e com rotação, massivos e carregados, e massivos, carregados e com rotação 1. Buracos negros astrofísicos surgem na natureza devido ao colapso gravitacional de estrelas suficientemente massivas cerca de 3 M, e nesse sentido, uma descrição mais realista leva em conta sua rotação Hobson et al., No presente capítulo serão abordados os buracos negros de Schwarzschild, que apesar de serem os mais simples existentes, já apresentam as características chave de seu estudo: o horizonte de eventos e a singularidade. Destaca-se ao leitor que o estudo aqui apresentado acerca de buracos negros segue de perto o desenvolvido em d Inverno, Caracterização das Coordenadas e Singularidades Antes de explorar detalhadamente a solução de Schwarzschild, será discutido brevemente acerca da caracterização das coordenadas. Em geral, se deseja-se escrever uma solução das equações de campo de Einstein, então é necessário fazê-lo em um determinado sistema de coordenadas. Qual será a importância, se houver, de um sistema 1 As métricas que os descrevem são a métrica de Schwarzschild, a de Kerr, a de Reissner-Nordström e a de Kerr-Newman, respectivamente. 23

38 de coordenadas em particular? Por exemplo, considere a solução de Schwarzschild dada pela eq e aplique uma transformação de coordenadas x µ x µ. A métrica resultante ainda será uma solução das equações de campo no vácuo, mas é provável que haja pouco ou nenhum significado físico ou geométrico associado às novas coordenadas x µ. Observe que se a métrica possui simetrias, então um sistema de coordendas que apresenta explicitamente estas simetrias será um sistema de coordenadas preferencial d Inverno, Uma caracterização que auxilia na descrição do sistema de coordenadas é estabelecer se uma hiper-superfície x µ = constante, 2.1 é do tipo tempo, nula ou tipo espaço em um ponto 2. Escrevendo o campo vetorial normal como ou em sua forma contravariante n ν = δ µ ν, n α = g αν n ν = g αν δ µ ν = g αµ, tem-se que sua magnitude quadrada é dada por n 2 = n α n α = g αµ δ µ α = g µµ. Assim, se a assinatura é +,,,, a hiper-superfície 2.1 em um ponto P é tipo tempo, nula ou tipo espaço dependendo de se g µµ é > 0, = 0, ou < 0, respectivamente. Em outras palavras, fixando as outras coordenadas em seus valores no ponto P e considerando uma variação infinitesimal dx µ na coordenada de interesse, se a correspondente mudança em ds 2 for positiva, zero, ou negativa, então a x µ é do tipo tempo, nula ou do tipo espaço. Com essas ideias em mente, avalia-se a solução de Schwarzschild na forma 1.48 para observar se é possível caracterizar as coordenadas t, r, θ, φ. Da eq. 1.48, tem-se que g 00 = 1 2m r 1, g 11 = 1 2m r, g 22 = 1 r 2, g33 = 1 r 2 sin 2 θ, de onde observa-se que para r > 2m, x 0 = t é do tipo tempo e as demais, do tipo espaço. Como a métrica é independente do tempo e não há termo cruzados em dt, segue 2 Onde o parêntese englobando o índice µ significa que ela deve ser tomada como fixa. 24

39 que a solução é estática e t representa o tempo próprio medido por um observador em repouso no infinito Hobson et al., A coordenada r é um parâmetro radial, com a propriedade de que em uma 2-esfera com t e r fixos, o elemento de linha se escreve ds 2 = r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2, e cuja área é 4πr 2. Por fim, θ e φ são as coordenadas angulares esféricas usuais da 2-esfera, que são definidas pela simetria esférica. Por outro lado, para r < 2m, a configuração se inverte com g 00 e g 11 trocando de sinal: as coordenadas x 0 e x 1 passam a ser do tipo espaço e do tipo tempo, respectivamente. Um problema associado ao sistema de coordenadas é o fato de que, em geral, eles cobrem apenas uma porção da variedade. Tomando como exemplo as coordenadas de Schwarzschild, observa-se que há uma falha na caracterização para quando θ = 0, π, pois nesse caso não é possível especificar a coordenada φ e o elemento de linha 1.48 torna-se degenerado. Tal degenerescência pode ser removida introduzindo coordenadas cartesianas x, y, z, nas quais, x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ e z = r cos θ. Tais pontos são chamados de singularidades de coordenadas ou aparentes pois refletem uma deficiência no sistema de coordenadas utilizado, e portanto, são removíveis d Inverno, Como já indicado, existem outros dois valores do parâmetro radial r na solução de Schwarzschild que apresentam um comportamento singular, a saber, r = 0 e r = 2m. Esse último é conhecido como raio de Schwarzschild e frequentemente é denotado por r S, de modo que, no sistema de unidades aqui utilizado, tem-se r S = 2m. Deve-se recordar, entretanto, que a solução de Schwarzschild foi deduzida solucionando as equações de campo de Einstein no vácuo, onde R µν = 0, de forma que ela é válida apenas para além da superfície esféricamente simétrica da distribuição de matéria. Por exemplo, o raio de Schwarzschild do Sol é r S = 2, 95km, que é muito menor que seu raio r = km. Semelhantemente, o raio de Schwarzschild de um próton é r S m, que, novamente, é muito menor que seu raio característico r p m. De fato, 25

40 um ponto x µ 0, para o qual g µνdx µ dx ν = para a maior parte dos objetos, o raio de Schwarzschild se encontra muito profundamente em seu interior, onde as equações de campo no vácuo não se aplicam. Mas e se houverem objetos suficientemente compactos, tais que se encontrem completamente encerrados no interior de seus raios de Schwarzschild? Para um tal objeto, a solução 1.48 parece ser bem razoável. Para verificar se uma determinada singularidade é aparente ou real, faz-se uso das quantidades geométricas escalares da teoria pois são invariantes por transformações gerais de coordenadas: se divergem em uma região, divergem em todos as outras. Utilizando, por exemplo, a quantidade R µνρσ R µνρσ = 48m2 r 6, 2.2 observa-se que em r = 0, esta quantidade diverge e portanto, tem-se uma singularidade real ou intrínseca. Por outro lado, a quantidade 2.2 possui um valor finito em r = 2m. Isso sugere mas não prova que r = 2m é na verdade uma singularidade aparente uma falha do sistema de coordenadas na caracterização da indicada região e que a curvatura do espaço-tempo em r = 2m é perfeitamente bem comportada. É possível, através de uma adequada transformação de coordenadas, remover essa aparente singularidade, como será apresentado adiante. Ainda assim, a região r = 2m é de suma importância no presente estudo, pois g 11 r S = 0 representa uma superfície do tipo nula horizonte, isto é, uma membrana de uma única direção que separa o espaço-tempo em duas regiões bem distintas Bekenstein, 1972 O objetivo ao longo deste estudo é explorar a solução de Schwarzschild para um objeto de raio a, sendo a < 2m, nas regiões 2m < r <, que será dita região I, e a < r < 2m, que será a região II. 2.2 Diagramas do Espaço-Tempo De acordo com d Inverno, 1992, a principal técnica utilizada para ajudar a interpretar a solução é a investigação da estrutura local de seu cone de luz futuro. Um cone de luz local é definido como o conjunto dos pontos x µ 0 + dxµ, nas vizinhanças de A estrutura do cone de luz impõe vínculos às possíveis histórias de um observador, já que um observador move-se em uma linha de mundo do tipo-tempo, cuja direção em qualquer ponto deve estar no interior do cone de luz futuro. Em um diagrama puramente espacial, analisa-se o que ocorre em vários pontos 26

41 da variedade em dois intervalos de tempo sucessivos, t 1 e t 2. Por exemplo, se no instante t 1, um flash de luz é emitido de cada ponto de interesse, tal diagrama espacial indica até onde as frentes de onda desses flashes alcançam no instante t 2. Em um diagrama do espaço-tempo, por outro lado, o que interessa são as histórias desses flashes de luz. Suponha que sejam tiradas sucessivas fotografias das frentes de onda emanando de algum ponto P em instantes distintos t 1, t 2, t 3, etc. A ideia em um diagrama de espaço-tempo é empilhar estas figuras com o passar do tempo. Como isso envolveria uma figura quadridimensonal, para visualização suprime-se uma dimensão espacial. Pode-se, a título de exemplo, restringir a atenção ao plano z = 0 e então as frentes de onda se tornarão círculos dependendo da perspectiva, aparecerão como elipses localizados no cone de luz futuro de P. Veja a Figura 2.1. Por outro lado, é possível ter uma noção da geometria do espaço-tempo fixando um instante específico. Veja a Figura 2.2. Em um espaço-tempo curvo, a curvatura se manifesta em diagramas de espaço-tempo através de cones de luz sendo espremidos, esticados ou inclinados de várias maneiras. Figura 2.1: Diagrama de espaço-tempo, em z = 0, para frentes de onda emanando de um ponto P em instantes t 1, t 2 e t 3. Fonte: d Inverno, Figura 2.2: Diagrama de imersão mostrando a curvatura ao redor de um objeto esfericamente simétrico e estático em um instante específico. Nesta imagem, todos os eixos representam coordenadas espaciais. Fonte: Padmanabhan,

42 2.2.1 Espaço-Tempo em Coordenadas de Schwarzschild Ao derivar a solução de Schwarzschild 1.48, foram calculadas todas as conexões de Levi-Civita Γ λ µν para tal métrica. Poderia-se então, escrever as equações da geodésica para a geometria de Schwarzschild na forma como apresentadas no capítulo 1, a saber, d 2 x λ dσ 2 + dx µ dx ν Γλ µν dσ dσ = 0, onde σ é algum parâmetro afim ao longo da geodésica x λ σ. No entanto, considerando inicialmente a classe de geodésicas radiais nulas ds 2 = dθ 2 = dφ 2 = 0, segue que 1 2m r ṫ 2 1 2m r 1 ṙ 2 = 0, 2.4 onde o ponto representa diferenciação com relação ao parâmetro afim σ. Por outro lado, a equação da geodésica correspondente a λ = 0, escreve-se [ d 1 2m dσ r ] ṫ = 0, que conduz a 1 2m r ṫ = k, 2.5 sendo k uma constante. Substituindo esta informação em 2.4, obtém-se 1 2m r ṙ 2 = 1 ṙ 2 = 1 2m r 1 2m 2 ṫ2 r ṫ 2 ṙ 2 = k 2 ṙ = ±k, 2.6 de onde segue que r é um parâmetro afim. Em vez de encontrar a equação paramétrica dessas curvas, olha-se diretamente para suas equações na forma t = t r. Nesse sentido, tem-se dt dr dt dr = dt dσ dr dσ = ṫ k ṙ = ± 1 2m r ṙ = ± r r 2m

43 Para integrar esta equação, avalia-se por partes. Chamando u = r e dv = dr/ r 2m, obtém-se t = r ln r 2m ln r 2m dr + C t = r ln r 2m [ r 2m ln r 2m r 2m ] + C t = 2m ln r 2m + r + C, 2.8 onde restringiu-se para o caso em que dt/dr > 0 sinal positivo em 2.7. Assim, r aumenta com o passar do tempo. Portanto, as curvas 2.8 são definidas como sendo geodésicas radiais nulas que afastam-se de r = 2m. Similarmente, a expressão associada ao sinal negativo em 2.7, fornece geodésicas radiais nulas que aproximam-se 3 t = 2m ln r 2m + r + C. 2.9 É possível agora plotar essas curvas e desenhar um diagrama de espaço-tempo com duas dimensões suprimidas, como mostrado na Figura 2.3. O diagrama é desenhado para θ e φ fixos. Como o diagrama será o mesmo para todos os θ e φ, pode-se pensar em cada ponto t, r do diagrama como representando uma 2-esfera de área 4πr 2. Observe que na região I, medida em que r, o campo gravitacional torna-se fraco e a métrica de Schwarzschild tende para a métrica de Minkowski da relatividade especial. Assim, a estrutura de cone de luz torna-se aquela do espaço-tempo de Minkowski, onde as geodésicas nulas fazem ângulos de 45 com os eixos coordenados. Na medida em que analisa-se próximo ao raio de Schwarzschild, observa-se que os raios de luz que aproximam-se tendem à ordenada t, e por sua vez, os raios de luz que afastam-se tendem à t. Isso parece sugerir que um sinal de luz que aproximase de r = 2m levaria um tempo infinito para atravessar o raio de Schwarzschild. No entanto, mais adiante será verificado que este diagrama de espaço-tempo está equivocado. Na região II, os cones de luz locais giram sua orientação em 90, pois as coordenadas t e r alternam seu caráter. Observa-se que todos os fótons nessa região devem terminar na singularidade r = 0. Neste ponto há de fato uma singularidade real, onde a curvatura da solução de Schwarzschild diverge. Além disso, qualquer partícula massiva, na região II, também deve terminar na singularidade, já que uma linha de mundo do tipo tempo deve encontrar-se no interior do cone de luz futuro em cada ponto. Assim, conclui-se que uma vez no interior do raio de Schwarzschild, deve-se necessariamente ir em direção da singularidade r = 0. Escapar seria uma violação da 3 O termo afastando-se refere-se às curvas que afastam-se do raio de horizonte tanto para dentro quanto para fora. Por sua vez, o termo aproximando-se refere-se às curvas que aproximam-se sempre em direção da singularidade. 29

44 causalidade. Figura 2.3: À esquerda, estrutura dos cones de luz para geodésicas radiais nulas. À direita, estrutura dos cones de luz para geodésicas de partículas em queda livre radial. Ambas em coordenadas de Schwarzschild. Fonte: Hobson et al., Espaço-Tempo em Coordenadas de Eddington-Finkelstein Para eliminar o problema em r = 2m muda-se para uma nova coordenada temporal t, de modo que as geodésicas radiais nulas que aproximam-se, tornem-se linhas retas. Segue da equação 2.8, que a mudança apropriada é dada por t t = t + 2m ln r 2m, 2.10 para r > 2m, pois no novo sistema de coordenadas t, r, θ, φ, a equação 2.9 torna-se t = r + constante, 2.11 que corresponde à uma linha reta cruzando o eixo-r com um ângulo de 45. Diferenciando a relação 2.10, obtém-se d t = dt + 2m dr, 2.12 r 2m 30

45 e substituindo dt no elemento de linha de Schwarzschild 1.48, encontra-se a forma de Eddington-Finkelstein ds 2 = ds 2 = ds 2 = 1 2m r 1 2m r 1 2m r dt 2 1 2m r d t 2m d t 2 4m r d tdr 1 dr 2 r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 2 r 2m dr 1 2m r 1 + 2m r 1 dr 2 r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 dr 2 r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ Note que a transformação de coordenadas 2.10 em r = 2m, é singular. No entanto, ela é apenas um artifício conveniente para obter-se o elemento de linha de Eddington-Finkelstein que é regular em todo o intervalo a partir do elemento de linha de Schwarzschild, solucionando sua falha em r = 2m. Dadas essas soluções, é feita a pergunta: qual é o maior intervalo das coordenadas para as quais cada solução é regular? A resposta é o pedaço 2m < r < junto com < t <, 0 θ π e π φ π, apesar do problema usual das coordenadas sobre o eixo θ = 0, π para 1.48 e o pedaço 0 < r < para a solução Na região de sobreposição 2m < r <, as duas soluções estão relacionadas através de 2.10, e assim, elas devem representar a mesma solução nesta região. Esse procedimento em que parte-se de um sistema de coordenadas que cobre uma parte da variedade para um outro com maior alcance, pode ser visto como uma extensão analítica d Inverno, Observe que a solução nas coordenadas de Eddington-Finkelstein não é mais simétrica com o tempo. Pode-se escrever a eq em uma forma mais simples introduzindo uma coordenada nula v = t + r, 2.14 que por motivos históricos é chamada de parâmetro temporal avançado. O elemento de linha resultante é ds 2 = 1 2m d t 2 4m r r d tdr 1 + 2m dr 2 r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 r ds 2 = 1 2m dv dr 2 4mr r dv dr dr 1 + 2m dr 2 r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 r ds 2 = 1 2m dv 2 2dvdr r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ r É possível mostrar que a congruência das geodésicas radiais nulas que aproximam-se é dada por v = constante, que deveria ser evidente da relação O diagrama de espaço-tempo para a solução de Schwarzschild nas coordenadas de Eddington- 31

46 Finkelstein é apresentada na Figura 2.4. Como antes, os cones de luz abrem para cones de 45 na medida em que r. Ao lado esquerdo da fronteira, os cones de luz são todos inclinados 45 com o eixo-r. Ao lado direito da fronteira, inicia-se 45 com relação ao eixo-r no infinito e se orienta para cima na medida em que r diminui, tornando-se vertical em r = 2m, e aponta para dentro para r < 2m. Observe que fótons descrevendo geodésicas nulas afastando-se, em r = 2m, ficam onde estão. Figura 2.4: Estrutura dos cones de luz para geodésicas de uma partícula em queda livre radial em coordenadas de Eddington-Finkelstein. Fonte: Hobson et al., Na medida em que movem-se para próximo da origem, as frentes de onda esféricas são atraídas para dentro, de modo que os pontos dos quais eles emanam não mais estão no centro. Isso torna-se mais marcante até a hiper-superfície a r = 2m, onde apenas fótons radiais afastando-se ficam onde estão e todo o resto é arrastado para dentro. Na região II, todos os fótons, mesmo os radiais afastando-se, são arrastados em direção à singularidade. A hiper-superfície r = 2m atua como uma membrana de apenas um sentido, permitindo que curvas nulas ou do tipo tempo orientadas para o futuro atravessem apenas de fora região I para dentro região II. Além disso, nenhuma curva nula ou do tipo tempo orientadas para o futuro podem escapar de dentro para fora. Essa fronteira é chamada de horizonte de eventos, pois ele representa a fronteira de todos os eventos que podem ser observados, em princípio, por um observador inercial externo. O horizonte de eventos de Schwarzschild é absoluto, pois ele bloqueia todos os eventos internos de todos os observadores externos. Um objeto compacto que possui um horizonte de eventos é chamado de buraco negro. 32

47 2.3 Colapso Gravitacional e Formação de Buracos Negros Como já dito no início desta discussão, o mecanismo físico que possibilita a existência de buracos negros na natureza é o colapso gravitacional. Uma estrela, de forma bastante sucinta, é um objeto astrofísico gasoso, ionizado e luminoso constituído predominantemente por hidrogênio e hélio. Boa parte de sua vida, ela mantém-se através do equilíbrio entre sua própria gravidade e uma pressão de radiação devido a fusão nuclear, convertendo elementos menos em outros mais pesados. Diz-se que a maior parte do combustível das estrelas é o hidrogênio, que no processo de fusão nuclear produz, entre outras coisas, hélio e a radiação responsável por sua luminosidade. Mas quando seu combustível está excasso e necessitando fundir elementos cada vez mais pesados, a estrela começa a esfriar e colapsa sob sua própria gravidade. O que vem a seguir depende apenas da massa da estrela. A maior parte das estrelas colapsam dando origem a um remanescente estelar chamado de anã branca. Acredita-se, por exemplo, que nosso Sol transformarar-se-á em uma anã branca com um raio de aproximadamente 5000 km daqui a 5 bilhões de anos Hobson et al., Neste caso, o mecanismo físico que descreve a pressão interna que suporta um objeto com tal densidade foi concebido com os desenvolvimentos da Mecânica Quântica e da formulação da estatística de Fermi-Dirac. Fowler, em 1926, obteve que as anãs brancas são mantidas através de uma pressão de degenerescência associada ao princípio de exclusão de Pauli. Em 1930, Chandrasekhar observou que quanto mais massiva uma anã branca, maior sua densidade e assim também, seu campo gravitacional. Para anãs brancas acima de uma massa crítica de cerca de 1, 4 M agora chamado de limite de Chandrasekhar, a gravidade superaria a pressão de degenerescência e o colapso seguiria adiante. Inicialmente, acreditou-se que a anã branca deveria colapsar para um ponto. Após a descoberta do neutron, no entanto, percebeu-se que em algum momento do colapso, as densidades extremamente altas fariam com que elétrons e prótons, interagindo via decaimento β inverso, formariam neutrons e neutrinos, dando espaço para mais uma configuração estável: as estrelas de neutrons. Neste caso, a pressão fornecida seria devido neutrons degenerados. Como a matéria em uma estrela de neutrons possui a densidade do núcleo atômico, as forças gravitacionais em seu interior são extremamente intensas. No entanto, acredita-se assim como no caso das anãs brancas que exista uma massa limite acima da qual nenhuma configuração de estrela de neutrons seja possível. Esse limite, conhecido como limite de Oppenheimer-Volkoff, é de aproximadamente 3 M. Estrelas mais massivas que esse limite devem colapsar dando origem aos buracos negros. Mais além, se esse colapso for esfericamente simétrico então o que surgirá será um buraco negro de Schwarzschild Hobson et al.,

48 Alguns teóricos eram bastante céticos quanto à formação de buracos negros. A solução de Schwarzschild em particular é bastante especial, por construção ela é exatamente esfericamente simétrica. Na realidade, uma estrela não é perfeitamente simétrica, e talvez na medida em que colapsa, as assimetrias amplifiquem ou evitem a formação do horizonte de eventos. No início da década de 1960, no entanto, Roger Penrose utilizou técnicas geométricas globais para obter uma série de teoremas de singularidade, que por sua vez, mostraram que em situações realistas, um horizonte de eventos é formado e que deve haver uma singularidade real em seu interior isto é, um ponto onde a curvatura diverge. Tais teoremas de singularidade foram bastante importante no convencimente de que buracos negros devem formar-se na natureza. Figura 2.5: Nesta imagem, ilustra-se o colapso de uma estrela, cujo raio de sua superfície diminui ao ponto de atingir seu raio de Schwarzschild, transformando-se em um buraco negro. Aqui também é representado o efeito de buracos negros sobre os cones de luz. Fonte: Zee,