A Relatividade Geral de Einstein e suas aplicações à Geometria Riemanniana. Carlos Matheus Silva Santos

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1 A Relatividade Geral de Einstein e suas aplicações à Geometria Riemanniana Carlos Matheus Silva Santos 15 de setembro de 2006

2 Matemática ajudando a Física Newton (1642): 1. Mecânica Newtoniana: movimento dos objetos determinados por equações diferenciais ordinárias (EDO) v = dx dt, a = dv dt ; a segunda lei de Newton (F = m a) permite entender o movimento através da força atuante e massa do objeto (porém não explica de onde a força surge) 2. teoria da gravitação universal: F = G m m d 2 explica a relação entre força agindo num objeto e sua massa (porém não explica como a força é transmitida) A teoria de Newton funcionou bem até o surgimento de um novo fenômeno físico: o eletromagnetismo 1

3 Maxwell (1895): a eletricidade e o magnetismo podem ser fundidos num só conceito a onda eletromagnética; inesperadamente, ele provou que ondas eletromagnéticas viajam a uma velocidade constante c (= velocidade da luz) As teorias de Newton e Maxwell geram um paradoxo quando tentamos medir a velocidade de um feixe de luz num referencial movendo-se com velocidade constante Para complicar a situação, ambas teorias descrevem com bastante precisão muitos fenômenos físicos. Isso leva a pergunta: como resolver este paradoxo? Einstein (1905): o paradoxo é resolvido através da noção de espaço-tempo o tempo

4 e o espaço não são entidades separadas, mas um objeto único; com isto fundou-se a Relatividade Especial Na relatividade especial postula-se que todas as partículas movem-se no espaço-tempo com a velocidade da luz!; consequentemente, quanto mais rápido andamos no espaço, mais devagar o tempo irá passar Além disso, temos fórmulas relacionando massa e energia (E = m c 2 ), etc. A relatividade especial resolve o problema de compatibilidade entre a mecânica Newtoniana e o eletromagnetismo de Maxwell Entretanto ainda fica a pergunta de compreender como a força gravitacional é transmitida

5 Einstein (1915): a questão acima fica respondida com a introdução da Relatividade Geral a idéia básica é que a massa curva todo espaço-tempo ao seu redor Matematicamente, esta intuição pode ser formalizada através da noção de métrica (Riemanniana ou Lorentziana) Uma métrica g é um modo de medir distâncias e ângulos em ambientes gerais (variedades) É bem conhecido da Geometria que a noção de métrica g numa variedade M induz o conceito de curvatura Em particular, nosso universo é modelado por (N 4, g) onde N 4 é o espaço-tempo e g é uma métrica

6 Para simplificar nossa discussão, consideraremos apenas o caso N 4 = M 3 R Nesta situação, a equação de Einstein relacionando a Geometria (i.e., a métrica g) com a Física (i.e., o tensor energia-momento T ): Ric(g) R g ij = T Observe que a métrica determina todas as trajetórias possíveis de maneira que a Relatividade Geral generaliza as teorias anteriores tornando-as compatíveis A primeira solução para a equação de Einstein foi dada por K. Schwarzschild (1916): g ij = ( 1 + m 2r) 4 δij em M = R 3 B m/2 (0) Esta solução modela um buraco negro com massa m

7 Em geral, a definição de massa é uma questão delicada: atualmente só sabemos medir a massa de um ponto ou de todo universo, mas não de uma porção do universo Por motivos fisicamente razoáveis (o universo iniciou-se com o Big-Bang, etc), vamos assumir que toda massa do universo está contida numa região limitada (tecnicamente estes universos são ditos assintoticamente planos) A definição de massa foi introduzida em 1960 pelos físicos Arnowitt, Desner e Misner (em homenagem a eles, este conceito é dito massa ADM) m = m(g) = 16π 1 S (g ij,j g jj,i )dν é a expressão expĺıcita da massa ADM

8 m é uma boa definição por dois motivos (ao menos): m independe de coordenadas (referenciais) e m(g) = m no caso da solução de Schwarzschild Um teorema muito importante neste contexto é Teorema da massa positiva. (M 3, g) assintoticamente plana com R(g) 0 implica m(g) 0. Mais ainda, m(g) = 0 se e só se M 3 = R 3 e g ij = δ ij. A demonstração deste teorema foi feita pela primeira vez por Richard Schoen e Shing-Tung Yau em 1979 usando a Geometria das Superfícies Mínimas (ou seja, a Matemática ajudou a Física no entendimento desta questão de positividade da massa)

9 Física ajudando a Matemática Mudaremos (aparentemente) bastante nosso enfoque e passaremos a estudar uma questão abstrata em Geometria dita problema de Yamabe O problema de Yamabe consiste em achar as métricas mais redondas de uma variedade: dada g queremos achar g = f g (onde f > 0) uma métric conforme com R( g) constante Escrevendo g = u 4/n 2 g, podemos traduzir o problema de Yamabe na seguinte EDP g u + 4(n 1) n 2 R gu = cu n+2 n 2 Um critério para a existência de soluções é Q(M) < Q(S n ) onde o quociente de Yamabe Q(M) é Q(M) = inf ϕ ϕ 2 + 4(n 1) n 2 Rg ϕ 2 ϕ 2n/n 2 2

10 Quando M n não é localmente conformemente plana e n 6, Thierry Aubin usou certos cortes locais das funções ( ε ε 2 + x 2 para obter Q(M) < Q(S n ) ) (n 2)/2 (1) Entretanto nos outros casos (n 5 ou M localmente conformemente plana) este método local não funciona Aqui R. Schoen aplicou uma idéia global nova e engenhosa: colando as funções em (1) com certas funções de Green G(x) = x 2 n +A+O ( x ) pode-se ver que Q(M) Q(S n ) Aε o(ε2 0 ) Portanto, basta mostrar que A > 0 para resolver o problema de Yamabe

11 Agora a Física vem ao nosso resgate: a métrica ĝ = G 4/n 2 g é assintoticamente plana com R(ĝ) = 0; pelo teorema da massa positiva, m(ĝ) > 0 Finalmente, alguns cálculos (mais ou menos diretos) revelam algo mágico: m(ĝ) = A!!!! Ou seja, o conceito de massa na Relatividade Geral (Física) ajudou no passo final na solução derradeira do problema de Yamabe (Matemática)

12 Obrigado! 3