PERTURBAÇÕES GRAVITACIONAIS DE BRANAS NEGRAS ANTI-DE SITTER

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ PROFÍSICA-Programa de Pós-Graduação em Física A INTERPRETAÇÃO FÍSICA DAS PERTURBAÇÕES GRAVITACIONAIS DE BRANAS NEGRAS ANTI-DE SITTER DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Enesson dos Santos de Oliveira Ilhéus, BA, Brasil 016

2 A INTERPRETAÇÃO FÍSICA DAS PERTURBAÇÕES GRAVITACIONAIS DE BRANAS NEGRAS ANTI-DE SITTER por Enesson dos Santos de Oliveira Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física, Área de concentração em Física, da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC, BA), como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Física. Orientador: Alex dos Santos Miranda Ilhéus, BA, Brasil 016

3 O48 Oliveira, Enesson dos Santos de. A interpretação física das perturbações gravitacionais de branas negras anti-de Sitter / Enesson dos Santos de Oliveira. Ilhéus, BA: UESC, f. : il. Orientador: Alex dos Santos Miranda. Dissertação (Mestrado) Universidade Estadual de Santa Cruz. Programa de Pós-Graduação em Física. Inclui referências. 1. Buracos negros (Astronomia).. Colapso gravitacional. 3. Espaço e tempo. 4. Astronomia. I. Título. CDD

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5 À memória do meu amado pai, José Romualdo.

6 AGRADECIMENTOS Agradeço a todos que, de alguma forma, estiveram presentes me apoiando ao longo de todo o trabalho, em especial: à meu pai, José Romualdo, que dedicou grande parte de sua vida para que eu pudesse chegar até aqui; ao meu orientador, Alex Miranda, que durantes estes anos, além de ter sido um grande orientador, também foi um grande amigo; à minha esposa, Jéssica Cerqueira, que ao longo de todo o curso, sempre esteve ao meu lado nos momentos fáceis e difíceis. Apoiando-me em cada etapa. Obrigado por tudo Jell ; ao ex-coordenador do colegiado, professor Arturo Samana, por estar sempre pronto a ajudar. às secretárias dos colegiados do PROFÍSICA e PROCIMM, Roberta Carvalho e Caroline Gresik, pelo excelente atendimento; Aos grandes amigos de todas as horas, Vitor Ferreira, Pedro Antônio, Alisson Pereira, Vagner Freitas, Leandro Oliveira, Sheldon Cardoso, Abraão Amaral, Lucas Ântonio, Ícaro Teixeira, Yasmin Alves e Gabriela Goldberg, por sempre estarem me motivando. Nunca vou esquecer das várias horas de estudos em grupo. Valeu galera; à CAPES, pelo suporte financeiro.

7 RESUMO Dissertação de Mestrado Programa de Pós-Graduação em Física Universidade Estadual de Santa Cruz A INTERPRETAÇÃO FÍSICA DAS PERTURBAÇÕES GRAVITACIONAIS DE BRANAS NEGRAS ANTI-DE SITTER Autor: Enesson dos Santos de Oliveira Orientador: Alex dos Santos Miranda Data e Local da Defesa: Ilhéus, 19 de janeiro de 016. O estudo das perturbações de um buracos negro é uma ferramenta poderosa para a investigação de propriedades básicas como a estabilidade do horizonte de eventos, o espalhamento e a produção de ondas provenientes de um processo de colapso gravitacional. Por essa razão, desde o final da década de 50, foram realizados diversos trabalhos em teoria de perturbações de buracos negros; particularmente, em relação às soluções de Schwarzschild e Kerr. O significado físico das perturbações de buracos negros esfericamente simétricos, por exemplo, está bem estabelecido na literatura: perturbações polares tipo-monopolo (l = 0) correspondem a um acréscimo de massa do buraco negro, perturbações axiais tipo-dipolo (l = 1) induzem uma rotação lenta, e pertubações com l sempre levam à produção de ondas gravitacionais. Em contrapartida, quando se trata de perturbações de buracos negros com simetria plana (branas negras anti-de Sitter), ainda faltam estudos conclusivos que revelem o verdadeiro significado dessas perturbações. Em particular, é possível destacar as perturbações polares com número de onda nulo, onde alguns autores propõem que esse tipo de perturbação acarreta apenas numa variação do parâmetro de massa da brana negra, enquanto outros autores indicam a existência de ondas gravitacionais associadas a este modo de perturbação. O presente trabalho tem como objetivo contribuir na resolução dessa controvérsia, elucidando o significado físico das perturbações gravitacionais de branas negras anti-de Sitter a partir do cálculo dos escalares de Weyl. Para o estudo das perturbações, utilizou-se o formalismo de gauge de Chandrasekhar e, para interpretar os escalares de Weyl, foi adotado o método de Szekeres, onde a interpretação física de cada escalar é extraída com base no efeito sobre o desvio geodésico de partículas teste vizinhas. Em especial, mostra-se aqui que a solução para perturbações polares com número de onda zero, de fato, admite a existência de ondas gravitacionais propagando-se na direção perpendicular à superfície da brana negra. Palavras-chave: Perturbações gravitacionais; buracos negros; espaço-tempo anti-de Sitter.

8 ABSTRACT Dissertação de Mestrado Mestrado em Física Universidade Estadual de Santa Cruz ON THE PHYSICAL INTERPRETATION OF GRAVITATIONAL PERTURBATIONS OF ANTI-DE SITTER BLACK BRANES Author: Enesson dos Santos de Oliveira Adviser: Alex dos Santos Miranda Local and Date: Ilhéus, january 19th, 016. The study of gravitational perturbations of black holes is a powerful tool to explore a series of basic properties as the stability of the event horizon, the scattering and production of gravitational waves in a process of gravitational collapse. For this reason, since the late 1950s, a lot of works were carried out to study the perturbation theory of black holes (specially for the Schwarzschild and Kerr solutions). The physical interpretation of gravitational perturbations of spherically symmetric black holes is now a well-established subject: polar perturbations of monopole type (l = 0) can only increase the mass of the black hole, axial perturbations of dipole type (l = 1) induce a slow rotation, and perturbations with l always lead to gravitational wave production. However, in relation to perturbations of anti-de Sitter plane-symmetric black holes (anti-de Sitter black branes), there is still no conclusive study about the physical meaning of these perturbations. In particular, there is some controversy concerning the polar perturbation with a zero wavenumber. Some authors propose this kind of perturbation causes only a variation in the black-brane mass parameter, while other ones obtained evidence for the existence of gravitational waves associated to this mode. The present study aims to contribute to the resolution of this controversy by revealing the physical meaning of the gravitational perturbations of anti-de Sitter black branes. We use the Chandrasekhar gauge formalism to study the metric perturbations, and, to interpret the Weyl scalars, we adopt the Szekeres method, where the physical meaning of each scalar is obtained on basis of the geodesic deviation between neighboring test particles. Finally, it is shown here that polar perturbations with a zero wavenumber admit the existence of gravitational waves propagating in the direction perpendicular to the black-brane horizon surface. Keywords: Gravitational perturbations; black holes; anti-de Sitter spacetime.

9 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 10 RADIAÇÃO GRAVITACIONAL E O TENSOR DE CURVATURA 14.1 Uma formulação invariante da teoria da radiação gravitacional A natureza da frente de ondas gravitacionais Formas canônicas para o tensor de Riemann A interpretação física dos escalares de Weyl A classificação de Petrov e o compasso gravitacional O efeito das transformações de Lorentz Aplicações A TEORIA DE PERTURBAÇÕES GRAVITACIONAIS O espaço-tempo de fundo Perturbações métricas no formalismo de Chandrasekhar Pertubações axiais Perturbações polares Perturbações via formalismo de Newman-Penrose Redução das Equações Linearizadas A INTERPRETAÇÃO FÍSICA DAS PERTURBAÇÕES Perturbações gravitacionais com número de onda zero Pertubações axiais Perturbações polares Pertubações de um espaço-tempo Petrov tipo D Interpretações físicas das perturbações Perturbações com número de onda não-zero A interpretação física das perturbações com número de onda zero CONSIDERAÇÕES FINAIS 63 A Formas canônicas e a classificação dos espaços-tempos 65 A.1 O espaço de bivetores A. A classificação das curvaturas dos espaços-tempos

10 A.3 As formas canônicas do tensor de Riemann R AB A.3.1 Campos gravitacionais tipo I A.3. Campos gravitacionais tipo II A.3.3 Campos gravitacionais tipo III B Transformações de tétrada e a classificação de Petrov 77 B.1 Transformações de tétrada B. A classificação de Petrov B.3 A relação entre formas canônicas e a classificação de Petrov C A interpretação geométrica dos escalares óticos 85 C.1 Os coeficientes de spin e o teorema de Sachs C. A interpretação geométrica D Cálculo dos escalares de Weyl via formalismo de Newman-Penrose 93 Referências Bibliográficas 96

11 1 INTRODUÇÃO A teoria da relatividade geral, publicada em 1916 pelo físico alemão Albert Einstein, revolucionou completamente os conceitos de espaço, tempo e gravidade construídos ao longo dos séculos. Nela a descrição de fenômenos gravitacionais deixou de ser caracterizada como sendo o efeito de uma força e passou a ser realizada por intermédio do conceito de um espaçotempo curvo. Assim, partículas interagem gravitacionalmente por meio de uma deformação na estrutura geométrica do espaço-tempo. Nessa teoria, são as equações de Einstein que descrevem o comportamento dos campos gravitacionais, relacionando o caráter geométrico do espaço-tempo com o conteúdo de matéria, energia e momento nele contidos. Estas equações possuem um termo denominado de constante cosmológica, que pode assumir um valor positivo, negativo ou nulo. Para uma constante positiva se conclui que, em escalas cosmológicas, a interação gravitacional torna-se repulsiva. Neste caso, o espaço-tempo em questão recebe o nome de espaço-tempo de de Sitter. Por outro lado, para o caso de uma constante cosmológica negativa, a interação gravitacional em grandes escalas continua atrativa e o espaço-tempo é denominado de anti-de Sitter (AdS). Espaços-tempos com constante cosmológica nula tendem assintoticamente ao espaço-tempo plano de Minkowski. Do ponto de vista da cosmologia, por muito tempo acreditou-se que o universo estava expandindo a uma taxa constante, o que favorecia uma constante cosmológica nula para as equações de Einstein. Porém, a partir da análise de dados de explosões de supernovas tipo Ia realizada em 1998, foi possível constatar que o universo encontra-se numa fase de expansão acelerada [1, ]. Esta aceleração caracteriza um universo com constante cosmológica positiva. Na mesma época, Maldacena [3] propôs uma correspondência entre a gravitação num espaçotempo anti-de Sitter e uma Teoria de Campos Conforme (CFT) na fronteira desse espaço, a qual ficou conhecida como a correspondência AdS/CFT. Desse modo, os espaços-tempos com constante cosmológica negativa, principalmente aqueles que contém buracos negros, assumiram um papel importante dentro dessa nova correspondência. Além da constante cosmológica, espaços-tempos podem ou não conter buracos negros. Na relatividade geral, buracos negros surgem como soluções exatas das equações de campo de Einstein. Fisicamente, tal objeto nasce a partir do colapso gravitacional de uma estrela. Ao longo das últimas décadas variadas soluções de buracos negros foram estudadas, podendo ser citadas, por exemplo, as tradicionais soluções de Schwarzschild, Reissner-Nordström e Kerr. Estas soluções são bem conhecidas e bem descritas na literatura (ver, por exemplo, [4, 5]).

12 11 No caso particular em que o espaço-tempo é assintoticamente anti-de Sitter, uma solução de buraco negro com simetria plana pode ser obtida [6]. Estes buracos negros são também conhecidos como branas negras anti-de Sitter. A teoria da relatividade geral prevê também que certos eventos, como o colapso gravitacional de uma estrela ou a coalescência de um sistema binário de estrelas de nêutrons ou buracos negros, são capazes de produzir ondas gravitacionais passíveis de serem detectadas por um observador distante. Apesar de nenhum experimento, até agora, ter conseguido detectar de forma direta a existência de radiação gravitacional, a teoria da relatividade geral é a teoria gravitacional mais aceita pela comunidade cientifica, uma vez que todos os experimentos e observações realizados foram favoráveis à sua solidificação. Nos primeiros estudos sobre ondas gravitacionais, tais soluções das equações de Einstein foram obtidas por meio de escolhas convenientes de um sistema de coordenadas ou pela imposição de campos gravitacionais fracos. Estas imposições obscureciam o real significado físico da radiação gravitacional, uma vez que a existência dessas ondas é independente de tais condições. O primeiro trabalho que obteve sucesso numa descrição totalmente independente da escolha das coordenadas ou da exigência de campo fraco para ondas gravitacionais foi apresentado por Pirani [7], com base no estudo das propriedades geométricas do tensor de Riemann. Uma abordagem alternativa, mas também totalmente covariante, foi realizada por Szekeres [8], o qual analisou o efeito sobre o desvio geodésico que os escalares de Weyl do formalismo de Newman-Penrose [9] são capazes de gerar. Anos depois, Podolský e Šarc [10] ampliaram o método de Szekeres para espaços-tempos em d dimensões. Uma ferramenta importante no estudo das propriedades dos buracos negros é a teoria de perturbações gravitacionais, já que a partir dessa teoria pode-se, por exemplo, estudar a estabilidade do horizonte de eventos frente às flutuações na métrica, bem como a produção e o espalhamento de ondas gravitacionais por um buraco negro. Do ponto de vista da correspondência AdS/CFT, um buraco negro no espaço-tempo AdS é equivalente a um estado de equilíbrio térmico na CFT, de tal forma que uma perturbação gravitacional deste buraco negro corresponde a uma flutuação no tensor energia-momento do estado térmico dual [11]. Existem dois métodos principais para estudar as perturbações gravitacionais de buracos negros. No primeiro caso, considera-se perturbações da métrica do espaço-tempo de fundo e, na sequência, lineariza-se as equações de Einstein para o espaço-tempo físico. O segundo método é via linearização das equações do formalismo de Newman-Penrose [9]. Em ambos os casos, uma das grandes dificuldades que se encontra no estudo das perturbações gravitacionais em relatividade geral é a obtenção das variáveis físicas em termos de quantidades que

13 1 são invariantes por transformações de gauge. A liberdade de gauge surge nessa teoria ao se identificar os eventos do espaço-tempo de fundo com o espaço-tempo perturbado. Por essa razão, costuma-se tratar as perturbações gravitacionais utilizando quantidades que dependem da escolha do gauge, explorando assim esta liberdade para simplificar o problema, e somente os resultados finais são escritos em termos de quantidades que são invariantes de gauge. O primeiro trabalho a apresentar de forma clara e completa a teoria de perturbações gravitacionais foi publicado em 1974 por Stewart e Walker [1]. Por outro lado, os primeiros estudos sobre pertubações de buracos negros foram apresentados por Regge e Wheeler [13] em 1957, os quais investigaram a estabilidade da singularidade de Schwarschild frente às perturbações do tipo axial. O gauge usado por eles ficou conhecido então como o gauge de Regge-Wheeler. Seguindo a mesma linha, Zerilli [14, 15] analisou a radiação gravitacional que surge quando estrelas caem num buraco negro de Schwarschild, e estendeu o estudo de Regge e Wheeler para perturbações polares. Mais tarde, Chandrasekhar [16] obteve as mesmas equações de Regge Wheeler e Zerilli para as perturbações gravitacionais de Schwarschild usando um gauge diferente, que atualmente é conhecido como o gauge diagonal de Chandrasekhar. Adicionalmente, Teukolsky [17, 18] e Moncrief [19, 0] realizaram pesquisas envolve as perturbações dos buracos negros de Kerr e Reissner-Nordström, respectivamente, também com o principal objetivo de avaliar a estabilidade destas soluções. Posteriormente, Kodama, Ishibashi e Seto [1] desenvolveram um formalismo totalmente invariante de gauge para tratar as perturbações gravitacionais de espaços-temos espacialmente simétricos em d dimensões. Dentro desse contexto, a análise das perturbações gravitacionais de buracos negros esfericamente simétricos encontra-se bem estabelecida na literatura. Porém, quando se trata de perturbações de branas negras AdS, algumas questões ainda continuam em aberto. Um exemplo disso acontece com as pertubações polares com número de onda zero ao longo das direções da brana. Kodama e Ishibashi [], com base em argumentos de simetria, propuseram que estas perturbações levarão apenas a uma mudança no parâmetro de massa da brana negra, assim como acontece no caso esférico. Porém, num estudo mais detalhado a respeito dessas perturbações, Miranda e Zanchin [3] utilizaram o formalismo de gauge de Chandrasekhar e obtiveram indícios da existência de uma solução com ondas gravitacionais para este caso. Motivados pela ausência de um estudo conclusivo a respeito do tema, este trabalho tem por objetivo investigar o significado físico das perturbações gravitacionais de branas negras num espaço-tempo anti-de Sitter e, como consequência disso, elucidar se realmente ondas gravitacionais são produzidas para o modo de perturbação polar com número de onda zero. Para isto, serão calculadas as perturbações nos escalares de Weyl e, a partir do análise de

14 13 Szekeres [8] da equação do desvio geodésico, será extraída a interpretação física das perturbações, independentemente do estado de movimento do observador. No estudo das perturbações será utilizado o formalismo de gauge diagonal de Chandrasekhar. A presente dissertação está dividida da seguinte forma: no capítulo é revisado o trabalho de Pirani [7] sobre como que a informação sobre a existência de ondas gravitacionais se apresentam no tensor de Riemann, logo em seguida, o artigo publicado por Szekeres [8] sobre a interpretação física dos escalares de Weyl usando a equação do desvio geodésico também é revisado. No capítulo 3, apresenta-se a teoria de perturbações de branas negras AdS. Este capítulo está dividido em três seções onde, na primeira seção, é apresentada a solução para o espaço-tempo de fundo. Na seção seguinte, é estudada a teoria de perturbações via linearização das equações de Einstein e, na seção final, é discutido o método de linearização das equações do formalismo de Newman-Penrose. No capítulo 4, a primeira seção se destina a revisar a solução obtida por Miranda e Zanchin [3] para as perturbações com número de onda nulo. Na seção seguinte, são apresentadas as equações que relacionam as várias perturbações nos escalares de Weyl com as do tensor de Weyl. Na última seção, as perturbações nos escalares para o espaço-tempo em questão são calculadas, e com base no tratamento realizado no capítulo, é finalmente extraído o significado físico das perturbações das branas negras AdS. Em particular, será verificado que realmente a solução para modos com número de onda zero representa uma solução com ondas gravitacionais se propagando pelo espaço-tempo. Ao longo de toda a dissertação, adota-se uma assinatura + para o tensor métrico e se utiliza um sistema de unidades geometrizadas em que c = G = 1.

15 RADIAÇÃO GRAVITACIONAL E O TENSOR DE CURVATURA O presente capítulo apresenta um estudo de revisão a respeito da interpretação física do tensor de curvatura de Riemann. O capítulo está dividido em duas partes. Na primeira parte, a possível presença de ondas gravitacionais no vácuo é investigada a partir de um classificação do tensor de Riemann em classes denominadas de formas canônicas [4]. Tal análise é feita de forma totalmente covariante, e baseia-se principalmente no trabalho realizado por Pirani [7] em Na segunda parte, a interpretação física dos escalares de Weyl é revista com base na equação do desvio geodésico, conforme apresentada por Szekeres [8] num artigo publicado na década de 60. Neste trabalho, Szekeres introduziu uma nova forma de visualizar os efeitos do campo gravitacional por meio de um compasso gravitacional..1 Uma formulação invariante da teoria da radiação gravitacional Um formulação para a teoria de ondas gravitacionais independente do sistema de coordenadas ou mesmo da imposição de um campo gravitacional fraco foi elaborada originalmente por Pirani [7] através de uma série de considerações a respeito do tensor de Riemann e do espaço-tempo de fundo. Fundamentalmente, Pirani considera que: 1. O tensor de Riemann deve caracterizar a presença de ondas gravitacionais;. No espaço vazio, ondas gravitacionais devem se propagar com a velocidade fundamental; 3. Uma frente de onda gravitacional se manifesta como uma descontinuidade no tensor de Riemann no cruzamento de uma hipersuperfície tridimensional nula; 4. O tensor de Riemann determina o movimento de um observador que segue o campo gravitacional. Na presença de radiação gravitacional, este observador teria que viajar à velocidade da luz para ser capaz de seguir o campo. Os itens 1 e são fundamentais para caracterizar as ondas gravitacionais. Os itens seguintes surgem basicamente como consequência dos dois primeiros. Será feita então uma análise detalhada destes itens ao longo de toda a seção.

16 A natureza da frente de ondas gravitacionais A natureza da frente de ondas gravitacionais pode ser investigada frente a admissão da existência de descontinuidades no tensor de Riemann sobre uma hipersuperfície tridimensional nula. O cálculo para se obter tais descontinuidades é baseado na condição de continuidade de Lichnerowicz [5], a qual impõe condições sobre a métrica e suas derivadas de modo que as equações de Einstein para o vácuo (G µν = 0) sejam únicas. Lichnerowicz postula que o espaço-tempo pode ser dividido em regiões de sobreposição, sendo que em cada uma destas regiões existe um sistema de coordenadas no qual: (i) A métrica g µν é um tensor contínuo; (ii) As primeiras derivadas parciais da métrica, g µν,ρ, são todas contínuas; (iii) As segundas derivadas de g µν são contínuas por partes. Numa das regiões, Lichnerowicz adota um sistema de coordenadas no qual a superfície S, caracterizada por x 0 = 0, é uma superfície de descontinuidade do campo gravitacional. Neste caso, pode-se adaptar o sistema de coordenadas de modo que g µν, g µν,ρ e g µν,ρσ são todos contínuos sobre a superfície S, com a possível acessão de g µν,00. As componentes do tensor de curvatura de Riemann são dadas por R ρ σµν = Γ ρ νσ,µ Γ ρ µσ,ν + Γ ρ µλ Γ λ νσ Γ ρ νλ Γ λ µσ, (.1) onde os Γ ρ µν representam os símbolos de Christoffel, Γ ρ µν = 1 gρσ (g µσ,ν + g σν,µ g µν,σ ). (.) Observe que somente os dois primeiros termos em (.1) poderão levar a uma descontinuidade no tensor de Riemann, uma vez que são eles que carregam derivadas segundas da métrica. Para tornar o estudo totalmente covariante é possível fazer uso de coordenadas localmente inerciais de modo a escrever, em um ponto P e na sua vizinhança, as grandezas tensoriais em termos da métrica do espaço-tempo plano de Minkowski. Como um segundo passo, constrói-se quantidades escalares por contração dos tensores com os vetores da tétrada coordenada (de Lorentz local) no ponto em questão. Uma vez obtidas tais funções escalares, pode-se desconsiderar as coordenadas locais e estender o resultado para qualquer sistema de coordenadas.

17 16 Nesse sentido, de acordo com a análise de Lichnerowicz, considera-se uma tétrada de base tal que, em qualquer ponto P sobre S, a métrica se reduz à métrica do espaço-tempo de Minkowski em coordenadas retangulares, ds = η µν dx µ dx ν, sendo η µν = diag( 1, 1, 1, 1). (.3) Entretanto, para estudar a possibilidade da existência de radiação gravitacional, torna-se conveniente a introdução de um par de coordenadas nulas, definidas por ξ = (1/ )(x 0 x 1 ) e ζ = (1/ )(x 0 + x 1 ), de modo que, na vizinhança de um ponto P sobre S, o elemento de linha assume a forma: ds = dξdζ + (dx ) + (dx 3 ). (.4) Deste modo, ao invés de considerar uma descontinuidade sobre uma superfícies em x 0 = 0, considera-se que a descontinuidade ocorre em ξ = 0. Escolhendo para denotar a descontinuidade em S, então as condições de continuidade de Lichnerowicz exigem que no ponto P, ao passo que (g µν ) = 0, (g µν,σ ) = ( g µν / ξ) = ( g µν / ζ) = 0, ( g µν / ξ ζ) = ( g µν / ζ ) = 0, (.5) ( g µν / ξ ) = a µν, (.6) onde a µν são números quaisquer. Com base na definição de R ρσµν e das condições (.5) e (.6), é direto mostrar que os únicos a s que contribuem para a descontinuidade no tensor de Riemann no vácuo são: a = a 33 = σ, a 3 = φ, (.7) onde σ e φ são arbitrários. Estas quantidades correspondem às duas polarizações de ondas encontradas na teoria gravitacional linearizada. Todos os termos φ podem ser levados a zero se for realizada uma rotação de eixos em um ângulo (1/)tg 1 (φ/σ) sobre o plano-3. Daqui em diante será introduzida uma tétrada 1 de vetores ortonormais, e µ (a), os quais no ponto P se reduzem aos vetores tangentes da base coordenada, µ. Neste formalismo, existe a vantagem de poder escrever g µν em termos da métrica do espaço-tempo plano da 1 Utiliza-se aqui as letras iniciais do alfabeto latino a, b, c... entre parênteses para representar índices da tétrada e letras gregas α, β, γ... para índices tensoriais. As letras latinas i, j, k,... continuarão reservadas para índices espaciais.

18 17 seguinte forma: Além disso, definindo g µν e µ (a) e ν (b) = η (a)(b). (.8) e (a)µ η (a)(b) e µ (b), (.9) é fácil verificar a partir destas duas equações que η (a)(b) e (a)µ e (b)ν = g µν e e µ (a) e ν (a) = δµ ν. (.10) Por simplicidade, será também realizada a troca: e µ (0) = e (0)µ = e µ. (.11) Em [6] é apresentada uma análise completa do formalismo de tétrada. A fim de simplificar a apresentação dos resultados, é conveniente introduzir também um formalismo em 6 dimensões na descrição do tensor de Riemann. Este espaço hexa-dimensional é mapeado no espaço-tempo quadri-dimensional de tal forma que um bivetor (dois-forma) em 4 dimensões será representado por um vetor (1-forma) em 6 dimensões. As regras para este mapeamento seguem os seguintes critérios: (a) Se H (a)(b) são as componentes físicas de um tensor anti-simétrico H µν com respeito a uma tétrada num ponto P, este tensor é representado em 6 dimensões por H A, com à seguinte conversão entre os índices ab e A: ab: A: (.1) Neste caso, um conjunto par de índices de tétrada em 4 dimensões se reduzirá à metade em 6 dimensões. Por exemplo, o tensor de Riemann R (a)(b)(c)(d) se reduz à forma simétrica R AB com as devidas identificações. (b) Para que os processos de subida e descida de índices nos espaços quadri e hexa-dimensional sejam equivalentes, o tensor métrico em 6 dimensões deve ser tal que η AB = diag(1, 1, 1, 1, 1, 1), (.13) o qual corresponde ao tensor (-forma) η (a)(c) η (b)(d) η (a)(d) η (b)(c).

19 18 Em qualquer evento sobre a hipersuperfície tridimensional nula S, pode-se calcular a descontinuidade no tensor de Riemann no vácuo diretamente das equações (.1) e (.7). Escrevendo este resultado em termos de R AB, obtém-se σ φ φ σ φ σ σ φ R AB =, (.14) φ σ σ φ σ φ φ σ onde σ e φ são arbitrários. Vale ressaltar aqui que as quantidades que surgem em (.7) são obtidas numa base coordenada composta de dois vetores nulos e dois vetores tipo-espaço. Por outro lado, a matriz 6 6 apresentada em (.14) é resultado do mapeamento de um espaço quadri-dimensional gerado por uma tétrada composta de três vetores tipo-espaço e um vetor tipo-tempo. Dessa maneira, a matriz (.14) é encontrada após uma mudança de coordenadas e os elementos da matriz diferem apenas por um número real multiplicativo daqueles apresentados em (.7). No entanto, como σ e φ são arbitrários em ambos os casos, estas diferenças são irrelevantes. Note também que os planos-3 coincidem nas duas situações, de modo que a quantidade φ torna-se nula sob o efeito da mesma rotação de eixos apresentada anteriormente. geodésico O efeito das descontinuidades (.14) pode ser investigado a partir da equação do desvio D Z µ dτ + R µ νρσu ν Z ρ u σ = 0, (.15) onde Z = Z µ µ representa o vetor que conecta duas partículas teste vizinhas num campo gravitacional caracterizado pelo tensor de curvatura R µ νρσ. Nesta equação, u = u µ µ = (dx µ /dτ) µ é a quadri-velocidade de uma das partículas ao longo de uma curva geodética γ, e τ é o tempo próprio dessa partícula em sua trajetória. Na figura.1 é apresentado um desenho esquemático do efeito. Se uma tétrada for escolhida de modo que o vetor tipo-tempo e µ coincida com a quadri-velocidade u µ e os vetores tipo-espaço e µ (i) sejam ortogonais à u µ e paralelamente transportados ao longo da curva γ, então a equação (.15) pode ser reescrita como d X (i) dτ + K (i) (j)x (j) = 0, (.16)

20 19 Figura.1: Desvio geodésico. Adaptação de Carrol [4]. onde X (i) = Z µ e (i) µ são as componentes físicas do vetor deslocamento, e K (i) (j) = R (i) (0)(j)(0) (.17) representam algumas das componentes físicas do tensor de curvatura de Riemann. Uma análise da equação (.16) para a componente X (0) leva à conclusão que esta componente tem uma dependência linear com o tempo próprio, uma vez que K (0) (i) = 0. Sempre é possível escolher as condições iniciais do problema de modo que X (0) = 0, e esta escolha pode ser interpretada da seguinte forma: se dois observadores seguem suas respectivas geodésicas, e estas geodésicas são congruentes, então os relógios destes observadores estão sincronizados se, e somente se, X (0) = 0. No limite newtoniano, X (i) representam as componentes do vetor posição de uma das partículas com respeito à outra, e K (i) (j) = Φ/ x (i) x (j), sendo Φ o potencial gravitacional newtoniano. Neste caso, ao tomar o traço de K (i) (j), obtém-se: K (i) (i) = Φ/ x (i) x (i) = Φ = 4πρ, (.18) onde ρ é a densidade de massa da fonte do potencial gravitacional. Por outro lado, K (i) (i) = R (i) (0)(i)(0) = R (0)(0), de modo que R (0)(0) = 4πρ. (.19) Ou seja, a componente R (0)(0) do tensor de Ricci está ligada à densidade de massa da fonte. Retomando o estudo a respeito das descontinuidades do tensor de Riemann, dadas por

21 0 (.14), segue que frentes de ondas gravitacionais passando por pares de partículas teste farão com que estas sofram uma descontinuidade na aceleração relativa descrita por K (i) (j) = 0 σ φ. (.0) 0 φ σ Fica fácil perceber de (.0) que a descontinuidade na aceleração relativa dependerá de como as partículas estão posicionadas. Se as duas partículas estiverem alinhadas ao longo da direção da frente de onda (direção 1), então as partículas não sentirão descontinuidade na aceleração relativa. Este resultado expressa o caráter transversal das ondas gravitacionais de modo totalmente invariante. Por outro lado, se as partículas estiverem sobre o plano-3, o qual é perpendicular à direção de propagação da frente de onda, então as partículas sofrerão os efeitos da descontinuidade no tensor de curvatura. Em (.0), σ e φ representam os dois tipos de estados de polarização da radiação gravitacional bem conhecidos da teoria de aproximação linearizada, por exemplo. Na figura. são representados esquematicamente estes efeitos. (a) (b) Figura.: O efeito das descontinuidades (a) σ e (b) φ. Adaptação da Ref. [4]..1. Formas canônicas para o tensor de Riemann Nesta subseção será explorada a representação canônica do tensor de Riemann em quatro dimensões, conforme apresentada por Pirani [7]. O objetivo aqui é desenvolver a ideia de um observador que segue o campo gravitacional. Como exemplo introdutório será tomado o caso do campo eletromagnético. Para este caso, os autovetores associados com o campo são obtidos da equação de autovalor T ν µ ξ ν = λξ µ, (.1)

22 onde T ν µ é o tensor energia-momento eletromagnético. Esta equação estabelece que, em geral, vetores tipo-tempo, tipo-espaço e nulos podem existir. Porém, no caso específico de um campo nulo, não haverá autovetores tipo-tempo; todos os autovetores serão tipo-espaço, com exceção do próprio vetor nulo, e todos estarão num espaço tridimensional tangente ao cone de luz ao longo da direção do autovetor nulo. A ideia de um observador que segue o campo eletromagnético é facilmente compreendida se for considerado o vetor de Poynting S ρ. 1 Em termos de componentes do tensor energia-momento, o vetor de Poynting num frame de Lorentz local é dado por S i = T 0i. Este vetor pode ser escrito em forma covariante considerando novamente uma base cujo vetor e µ é identificado como a quadri-velocidade do observador e, na sequência, escrevendo as componentes espaciais do tensor energia-momento como uma projeção ortogonal a esta quadrivelocidade. Sendo P µ ν = δ µ ν + u µ u ν o projetor ortogonal à u µ, então o vetor de Poynting em forma covariante é dado por: S ρ = (δ µ ρ + u µ u ρ )T µν u ν. (.) É fácil observar dessa equação que S ρ u ρ = 0, (.3) ou seja, S ρ é um vetor tipo-espaço. Por outro lado, se n ρ é um vetor normal a uma superfície Σ, tal que n ρ é perpendicular à quadri-velocidade do observador, então o fluxo de energia eletromagnética que cruza Σ é S ρ n ρ = T µν u µ n ν. (.4) Quando é dito que um observador segue o campo eletromagnético, isto significa que o fluxo de energia medido por ele sobre qualquer superfície Σ é zero. De acordo com (.3) e (.4), é possível afirmar que tal condição acontece somente se S ρ = 0, o que por (.) implica em T ρν u ν = (T µν u µ u ν )u ρ. (.5) Portanto, u ρ é o autovetor de T µν. Dessa maneira, está estabelecida a ideia de um observador seguindo o campo eletromagnético a partir do conhecimento do autovetor do tensor energiamomento. Como foi dito anteriormente, para o caso campo nulo, o que indica a presença de ondas eletromagnéticas, não existirão autovetores tipo-tempo, de modo que nenhum observador com velocidade finita poderá medir um fluxo de energia zero. Em outras palavras, para um campo nulo, este fluxo não pode ser eliminado por meio de uma transformação de

23 Lorentz. Um campo é dito ser nulo se ele possui um autovetor nulo, ξ µ, com autovalor zero, T µν ξ ν = 0. (.6) Assim, somente se o observador fosse capaz de viajar à velocidade da luz na direção de ξ µ, ele poderia medir um fluxo zero de energia. A extensão deste conceito para o caso gravitacional não é trivial, uma vez que, devido ao princípio de equivalência, não existe um tensor energia-momento associado ao campo gravitacional. Por outro lado, é possível utilizar a estrutura geométrica do tensor de Riemann para definir o análogo do conceito de um observador seguindo o campo que acaba de ser discutido para o caso eletromagnético. Porém, a extensão não é direta, devido às diferentes propriedades do tensor de Riemann em comparação com o tensor energia-momento eletromagnético. Desse modo, a análise será dividida em duas partes. Na primeira parte, serão definidos os autobivetores do tensor de Riemann. Em seguida, usando as formas canônicas para o tensor de Riemann, obtidas por Petrov [4] (ver apêndice A), será possível escrever de forma explícita os autobivetores para o vácuo. Geometricamente, os autobivetores correspondem a superfícies bidimensionais ou a pares de superfícies. As intersecções dessas superfícies definem um determinado número de quadri-vetores, os quais serão denominados de vetores principais de Riemann [7]. Um observador que possui um vetor principal de Riemann tipo-tempo como quadri-velocidade é dito estar seguindo o campo gravitacional. Os autobivetores P µν do tensor de Riemann são definidos pela equação R µνρσ P ρσ = λp µν, (.7) ou, usando o formalismo hexa-dimensional apresentado anteriormente, R AB P B = λp A. (.8) Petrov [4] mostrou que, por meio de uma escolha adequada da tétrada em qualquer evento num espaço-tempo vazio, o tensor de Riemann se reduz a uma das três formas canônicas listadas abaixo.

24 3 Tipo I: R AB = α 1 β 1 α β α 3 β 3 β 1 α 1 β α, (.9) β 3 α 3 onde 3 k α k = 0 e 3 k β k = 0. Tipo II: R AB = α β α σ β σ α + σ σ β β α β σ (α σ) σ β (α + σ). (.30) Tipo III: R AB = σ σ σ σ σ σ σ σ. (.31) Estas formas matriciais para R AB são obtidas, primeiramente, impondo limitações nas transformações que podem ser realizadas sobre o tensor de Riemann no espaço de 6 dimensões, a saber, impondo que as transformações de Lorentz sejam reais. Além disso, considera-se as simetrias que a matriz R AB possui. Os autobivetores de R AB, definidos por (.8), podem ser obtidos das equações (.9)- (.31). Eles são bivetores complexos escritos na forma P A = S A ± is A, (.3)

25 4 sendo S A o vetor dual de Hodge de S A, S µν = 1 g µρg νσ ɛ ρστπ S τπ, (.33) ou, utilizando a notação hexa-dimensional, S A = 1 g ABɛ BC S C, (.34) onde ɛ µνρσ e ɛ AB são os tensores de Levi-Civita, respectivamente, em quatro e seis dimensões. Assim, cada autobivetor de R AB define, em geral, um par de superfícies ortogonais. Considerando que estes bivetores estejam normalizados, pode-se escrevê-los explicitamente como segue abaixo. Tipo I: Existem seis autobivetores independentes: P A = P A = P A = δ A 1 e δ A 4, se β 1 = 0, δ A 1 ± iδ A 4, se β 1 0; δ A e δ A 5, se β = 0, δ A ± iδ A 5, se β 0; δ A 3 e δ A 6, se β 3 = 0, δ A 3 ± iδ A 6, se β 3 0. (.35) Tipo II: Existem quatro autobivetores independentes: Se β = 0, Se β 0, P A = δ A 1 e P A = δ A 4, P A = δ A δ6 A e P A = δ3 A + δ A P A = δ1 A ± iδ4 A, δ A δ A 6 ± i(δ A 3 + δ A 5 ). 5 ; (.36) Tipo III: Existem dois autobivetores independentes: P A = P A = δ A δ A 6, δ A 3 + δ A 5. (.37) Conforme definido anteriormente, os vetores principais de Riemann de cada um dos tipos da classificação resultam da intersecção de dois planos gerados pela combinação dos autobivetores. Deste modo, se r (a) é um vetor principal de Riemann normalizado, segue que:

26 Tipo I: r (a) = δ (a) (0), δ (a) (1), δ (a) (), δ (a) (3). Neste caso, os vetores principais são justamente os vetores da tétrada base, sendo um vetor tipo-tempo e três vetores tipo-espaço. Tipo II: r (a) = δ (a) (0) δ (a) (1), δ (a) (), δ (a) (3). O primeiro vetor principal é nulo e os demais vetores são todos tipo-espaço. Tipo III: r (a) = δ (a) (0) δ (a) (1). Existe somente um vetor principal de Riemann, o qual é nulo. Dois dos três tipos de tensores de Riemann possuem vetores principais nulos, e a existência de tais tensores identifica a presença de ondas gravitacionais. Se fosse possível para um observador viajar ao longo de uma direção nula principal de Riemann, então ele estaria seguindo o campo e não detectaria a existência de ondas gravitacionais. Segundo Pirani [7], em qualquer evento no espaço-tempo vazio, a radiação gravitacional está presente se o tensor de Riemann é do tipo II ou III, mas não se ele for do tipo I. Em princípio os σ s em (.14) e (.30) são de naturezas distintas. 5 No entanto, ao comparar as duas matrizes, percebe-se que os σ s ocupam as mesmas posições e possuem os mesmos sinais em ambos os casos. Esta correspondência se deve de imediato à escolha de orientação de ambas as tétradas, uma vez que nas duas a direção-1 é a direção de propagação da radiação gravitacional. Portanto, a existência de uma descontinuidade no tensor de Riemann pode ser realmente associada à existência de ondas gravitacionais. Vale ainda ressaltar que estes resultados são totalmente independentes da base escolhida, uma vez que, apesar de ter usado uma tétrada específica para colocar o tensor de Riemann em forma canônica, as conclusões obtidas da análise anterior são independentes da escolha desta tétrada. As diferenças entre os tipos I e II de espaços-tempos podem ser investigadas a partir do movimento relativo entre partículas livres que se movem com diferentes velocidades com respeito a uma tétrada de vetores tipo-tempo apropriada. Por exemplo, se for considerado o efeito de um boost sobre K (i) (j) dado pelas transformações de tétrada: ē (0) µ = e (0) µ cosh θ + e (1) µ senh θ; ē (1) µ = e (0) µsenh θ + e (1) µ cosh θ; (.38) ē () µ = e () µ; ē (3) µ = e (3) µ; onde os vetores sem barra se referem a tétrada na qual se obteve os tensores de Riemann nas formas canônicas (.9) e (.30). Para facilitar a comparação entre os resultados, se representará α = α σ e α 3 = α + σ para a forma canônica tipo I. Nestes caso, os resultados

27 6 obtidos são: Tipo I: K ()() = (α σ), K ()(3) = 0, K (3)(3) = (α + σ), K()() = (α σ cosh θ), K()(3) = 1 (β 1 β )senh θ K(3)(3) = (α + σ cosh(θ). (.39) Tipo II: K ()() = (α σ), K()() = (α σe θ ), K ()(3) = 0, K()(3) = 0 K (3)(3) = (α + σ), K(3)(3) = (α + σe θ ). (.40) Novamente, os K s com barra representam as componentes físicas do tensor de Riemann na tétrada ē (a) µ. Nos resultados acima, foram omitidos os termos do tipo K 1b por serem invariantes frente à transformação de Lorentz realizada. A principal diferença entre os tipo I e II de tensores de Riemann ocorrem quando θ assume valores pequenos (θ = tgh 1 v, onde v é a tri-velocidade relativa entre os observadores nas diferentes tétradas). Nesse limite, para um tensor tipo I, a variação de K e K 33 em primeira ordem vai com θ, o que caracteriza um efeito típico das transformações de Lorentz na relatividade especial. Por outro lado, os mesmos K s para o tipo II vão com θ o que caracteriza um efeito não Lorentziano. Por fim, quando θ assume valores muito altos, no tipo I os K s assumem valores muito altos, independentes do sinal de θ. Como consequência, para o tipo I os K s possuem valor extremo apenas quando θ = 0. Em oposição, para o tipo II, eles se aproxima assintoticamente de um valor extremo quando θ (v 1), tal que a velocidade do observador se aproxima da velocidade da luz na direção de propagação da radiação. [7]. A interpretação física dos escalares de Weyl Na seção anterior, mostrou-se de duas maneiras distintas como que se identifica a presença de radiação gravitacional com base no tensor de Riemann. A primeira maneira é usando a condição de descontinuidade de Lichnerowicz onde é possível concluir que as ondas gravitacionais surgem no tensor de Riemann como uma descontinuidade ao longo das direções perpendiculares à direção de propagação da radiação. A segunda forma é a partir das formas canônicas do tensor de Riemann, neste caso, a existência vetores principais tipo-luz ligados à forma canônica, caracteriza a presença de tal radiação. Nestas seção, que é baseada no

28 7 Figura.3: Compasso gravitacional. Extraída de Szekeres (1965) trabalho realizado por Szekeres em 1965 [8], será utilizada a equação de desvio geodésico juntamente com a classificação de Petrov para extrair o significado físico dos escalares de Weyl. No estudo do efeito do desvio geodésico será introduzido o conceito de compasso gravitacional...1 A classificação de Petrov e o compasso gravitacional Para a presente análise, será utilizada a equação de desvio geodésico (.15): D Z ρ dτ = R ρ σµνu σ u ν Z µ, (.41) Como consequência dessa equação, o tensor simétrico K µν = R µρνσ u ρ u σ representa o gradiente da força gravitacional sobre um observador como discutido na seção anterior. Uma forma direta de interpretar fisicamente este tensor é considerando um tetraedro formado por um conjunto de molas que conectam três partículas testes entre si, e cada uma a um observador no centro do tetraedro como mostra a Figura.3. O observador neste problema se desloca ao longo de uma geodésica onde o tempo próprio é o parâmetro afim. À medida que ele se desloca ao longo de sua geodésica é possível observar então uma força atuando sobre o conjunto de molas. Uma vez que K µν é uma matriz simétrica então, ela possui apenas seis componentes linearmente independentes. Quando as forças que atuam sobre as molas S 1, S 13 e S 3 são zero, então as três molas S 1, S, e S 3 que conectam as partículas testes ao observador estão alinhadas ao longo dos eixos principais de K µν. Assim, tem-se um mapa entre o campo gravitacional local e o que Szekeres [8] define como compasso gravitacional.

29 O tensor de Riemann em quatro dimensões possui 0 componentes independentes. Em geral, este tensor pode ser decomposto em partes independentes da seguinte forma: 8 R ρσµν = C ρσµν + g ρ[µ R ν]σ + R ρ[µ g ν]σ 1 3 Rg ρ[µg ν]σ (.4) onde C ρσµν e R µν são os tensores de Weyl e Ricci, respectivamente, e R = g µν R µν é o escalar de Ricci. Estes tensores, por sua vez, possuem 10 componentes independentes cada um. Na ausência de matéria e num espaço-tempo com constante cosmológica zero, R µν = R = 0 e tensores de Riemann e Weyl se tornam idênticos. Substituindo (.4) em (.41), é possível escrever a equação de desvio geodésico na forma: onde, D Z ρ dτ = C ρ σµνu σ u ν Z µ (R σνu σ u ν )Z ρ 1 Sρ µz µ, (.43) S ρσ = P µ ρp ν σr µν 1 3 P µν R µν P ρσ, P µν = g µν + u µ u ν. (.44) O primeiro termo em (.43) representa a colaboração de um campo gravitacional livre, podendo ser pensado como um efeito de forças de cisalhamento, uma vez que ele é um termo simétrico livre de traço. O segundo termo, por sua vez, caracteriza a presença de matéria, colaborando como uma componente de força expansiva para as equações do desvio e, o último termo, representa um efeito de cisalhamento também causado pela presença de matéria. Para investigar a contribuição do tensor de Weyl em (.43), é conveniente introduzir uma base tétrada de vetores nulos. A construção dessa base pode ser feita a partir de uma base tétrada onde e (0) é escolhido novamente de modo a coincidir com a quadri-velocidade u do observador, ortogonal aos vetores tipo-espaço e (1) = s, e () e e (3). Neste caso, se pode escrever: l µ = (u µ + s µ ), m µ = 1 (e µ () + ie µ (3)), n µ = 1 (uµ s µ ), m µ = 1 (e µ () ie µ (3)). Estes vetores nulos obedecem as condições de ortogonalidade : (.45) m µ m µ = l µ n µ = 1, l µ l µ = l µ m µ = n µ n µ = n µ m µ = m µ m µ = 0. (.46) Com base nas equações (.45) e (.46) se pode verificar que o tensor métrico geral pode ser

30 9 escrito como g µν = l [µ n ν] + m [µ m ν] (.47) Além disso, é possível escrever um tensor de Weyl complexo [7] em termos de uma base de bivetores nulos {W α } = {U, V, M}, descrita por: U µν = m [µ n ν], V µν = l [µ m ν], (.48) M µν = n [µ l ν] + m [µ m ν]. Todas as contrações deste bivetores são nulas com exceção de U µν V µν =, M µν M µν = 4. (.49) Ao levar em consideração o fato que o tensor de Weyl é totalmente livre de traço juntamente com suas propriedades de simetria sobre troca de índices, se conclui que: C µνρσ + ic µνρσ = Ψ 0 U µν U cd + Ψ 1 (U µν M cd + M µν U cd ) + Ψ (U µν V cd + V µν U cd + M µν M cd ) (.50) + Ψ 3 (V µν M cd + M µν V cd ) + Ψ 4 V µν V cd, onde Cµνρσ = 1ɛ µνλɛc λɛ ρσ é o dual de Hodge de C µνρσ. Os Ψ (N) são escalares complexos conhecidos na literatura por escalares de Weyl. É possível verificar a partir de contrações de (.50) com os vetores nulos da base tétrada que: Ψ 0 = C µνρσ l µ m ν l ρ m σ, Ψ 1 = C µνρσ l µ n ν l ρ m σ, Ψ = C µνρσ l µ m ν m ρ n σ, Ψ 3 = C µνρσ l µ n ν m ρ n σ, Ψ 4 = C µνρσ n µ m ν n ρ m σ. (.51) Estes cinco escalares complexos representam as dez componentes reais e independentes do tensor de Weyl. Uma vez escolhida a base tétrada nula, é possível utilizar a classificação de Petrov no formalismo de Newman-Penrose (ver apêndice B para maiores detalhes) para orientar os eixos da tétrada de modo a fazer vários dos escalares de Weyl serem zero e, consequentemente, sim-

31 30 plificar a equação (.50). Assim, considerando um espaço-tempo Petrov tipo N, caracterizado pela existência de um vetor nulo l µ que satisfaz a condição C µνρσ l µ = 0. Se l µ for o vetor nulo definido em (.45), chega-se a conclusão que Ψ 0 = Ψ 1 = Ψ = Ψ 3 = 0. Dessa forma, apenas Ψ 4 diferente de zero. Este escalar pode ser feito real ao realizar uma rotação da tétrada, tal que, m µ e iθ m µ. Neste caso, a equação de desvio geodésico (.41) se reduz a: d Z ρ dτ = Ψ 4 (e ρ ()e ()σ e ρ (3)e (3)σ )Z σ. (.5) Portanto, um observador que segue uma geodésica com quadri-velocidade u sofrerá uma aceleração relativa ao longo das direções e () e e (3) que formam um plano perpendicular a direção s na qual a frente de onda se propaga. Como este efeito é totalmente independente da quadri-velocidade com que o observador se desloca, considera-se então que campos Petrov tipo N caracterizam a existência de ondas gravitacionais puramente transversais. Em (.5) se utilizou apenas a parte real de (.50) uma vez que as equações do desvio carregam apenas componentes reais do tensor de Weyl. Figura.4: O efeito dos escalares de Weyl: (a) Ψ 4, (b) Ψ 3, (c) Ψ. Adaptação de Szekeres [8]. Para o Petrov tipo III, por sua vez, existe um vetor nulo l µ que satisfaz l µ l [λ C µ ν]ρσ = 0. Escolhendo l µ novamente como sendo o apresentado pela equação (.41), obtém-se que Ψ 0 = Ψ 1 = Ψ = 0. Porém, ainda existe um classe de observadores nos quais Ψ 4 = 0 e Ψ 3 é real. Para esta classe de observadores se tem que a aceleração relativa é dada por D Z ρ dτ = Ψ 3 (s ρ e ()σ + e ρ ()s σ )Z σ. (.53) Como no caso anterior, a distribuição de forças se dá sobre um plano. Porém, neste caso uma das direções está ao longo da direção de propagação da frente de onda. Assim, Ψ 3 é interpretado com uma componente longitudinal do campo gravitacional ao longo da direção

32 31 s µ. Para os observadores em que Ψ 4 0 as ondas gravitacionais estarão sobrepostas a esta componente longitudinal do campo. As componentes Ψ 0 e Ψ 1 possuem as mesmas interpretações físicas que Ψ 4 e Ψ 3, respectivamente, mas com frentes de onda que se propagam na direção s µ. Se, finalmente, for considerado um espaço-tempo Petrov tipo D, então a orientação dos eixos da tétrada será tal que Ψ 0 = Ψ 1 = Ψ 3 = Ψ 4 = 0. Neste caso, somente Ψ é não-zero. Para este caso, não se tem liberdade de fazer este termo real e, portanto as equações do desvio geodésico assumem a forma D Z ρ dτ = Ψ (R) [ s ρ s σ 1 ( ) ] e ρ ()e ()σ + e(3)e ρ (3)σ Z σ, (.54) onde Ψ (R) é a parte real de Ψ. Esta distribuição de força causa uma distorção de uma distribuição esfericamente simétrica centrada no observador em um elipsoide onde, s µ é o eixo principal. Este efeito é o mesmo que acontece com uma densidade de matéria sobre o efeito de uma atração gravitacional que obedece uma lei do inverso do quadrado das distâncias. Por este motivo, se reconhece este termo como sendo o termo Coulombiano do campo. A intensidade, neste caso, é dada diretamente por Ψ (R). Para o Petrov tipo II se pode fazer Ψ 0 = Ψ 1 = Ψ 4 = 0, tal que, poderá ser visualizado um campo coulombiano juntamente com uma componente longitudinal sainte sobreposta. E, finalmente, para o caso algebricamente geral (Petrov I), os escalares Ψ 0 e Ψ 4 serão zero. Nesta classe de espaço surgem componentes de campos longitudinais sobrepostas ao campo coulombiano... O efeito das transformações de Lorentz Nesta seção, será apresentado como um observador pode usar um compasso gravitacional para estabelecer o gradiente do campo gravitacional no seu sistema de referência. Para isto, será feito uso das transformações de Lorentz para relacionar os vários escalares de Weyl medidos por observadores que se movem com velocidades distintas. Nesse modo, ao considerar inicialmente o efeito de um boost capaz de gerar uma rotação sobre o plano formado pelos vetores (l, n), tem-se que [ (1 + v) l µ = (1 v) [ ] 1 1 v n µ = 1 + v ] 1 lµ nµ, m µ = m µ. (.55)