IFT. Deflexão de Fótons pelo Sol no Contexto da Teoria de Gravitação R + R 2. Abel Dionizio Azeredo. Orientador: Prof. Dr.

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1 IFT Instituto de Física Teórica Universidade Estadual Paulista DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT M.005/98 Deflexão de Fótons pelo Sol no Contexto da Teoria de Gravitação R + R Abel Dionizio Azeredo Orientador: Prof. Dr. Antonio Accioly Agosto de 1998

2 Resumo Calcula-se a seção de choque para o espalhamento de fótons pelo campo gravitacional do Sol, tratado como campo externo, no contexto da teoria de gravitação R + R. Encontra-se um valor para o ângulo de deflexão de um fóton que passa nas vizinhanças da superfície do Sol que é exatamente o mesmo que aquele fornecido pela relatividade geral. Discute-se o porquê da coincidência desses resultados. Palavras Chave: Teoria de Gravitação R + R, Espalhamento de Fótons pelo Campo Gravitacional do Sol, Teoria de Gravitação Renormalizável. Área de Conhecimento:

3 Abstract The cross-section for the scattering of a photon by the Sun s gravitational field, treated as an external field, is computed in the framework of R + R gravity. It is found a value for the deflection angle of a photon passing near to the Sun which is exactly the same as that given by general relativity. An explanation for this strange coincidence is provided. Key Words: R + R Gravity, Scattering of Photons by the Sun s Gravitational Field, Renormalizable Gravity Theory.

4 Para todas as mulheres bonitas, porque, (plagiando o poeta) beleza é fundamental.

5 Agradecimentos (i) Ao meu orientador, Prof. Dr. Antonio Accioly, pela assistência e incentivo na elaboração deste trabalho e por auxiliar-me no começo de minha vida científica. (ii) Ao IFT-UNESP pelos recursos técnicos e à CAPES pelo apoio financeiro. (iii) Ao Edgard C. de Rey Neto e a Hatsumi Mukai pela colaboração e discussões durante todo o desenvolvimento deste trabalho. (iv) Aos colegas do IFT (Cláudio, Caverna, Medalha, Labrador, Anarquista, ), pela convivência ( Opção, Aurora, etc.).

6 Índice INTRODUÇÃO 8 1 O Potencial Efetivo Introdução A Interação Gravitacional A Amplitude M no Limite Não-Relativístico Cálculo do Potencial Efetivo O Campo Gravitacional do Sol 19.1 Introdução O Campo gravitacional do Sol Cálculo de h ( r) Cálculo de h 00 ( r) Cálculo de h ij ( r) Cálculo de h i0 ( r) Resumo ( ) Cálculo de h µν k Deflexão Gravitacional da Luz Introdução

7 ÍNDICE 7 3. Seção de Choque para o Espalhamento de Fótons pelo Campo Gravitacional do Sol Previsão da Teoria R + R para a Deflexão Gravitacional Solar EPÍLOGO 33 A Quantização na Aproximação de Campo Fraco 36 A.1 Introdução A. Expressoẽs Úteis na Aproximação de Campo Fraco A..1 A expansão de g µν A.. A expansão de ( g) 1/ A.3 A Ação Escrita em Termos do Campo h µν A.3.1 A forma Γ Γ da ação de Einstein A.3. A ação de Einstein em função do campo h µν A.4 O Propagador de Feynmam Para a Teoria de Gravi- tação R + R A.4.1 Introdução A.4. O termo proporcional a R em função do campo h µν A.4.3 A Lagrangeana de Fixação de Gauge A.4.4 Cálculo do Inverso do Operador P µν,αβ A.4.5 O Propagador de Feynman Bibliografia 48

8 INTRODUÇÃO Entre os testes fundamentais da teoria da relatividade geral, a deflexão da luz pelo Sol é sem dúvida o mais popular. De fato, a idéia da luz sendo defletida de sua trajetória clássica pela presença de matéria é de um apelo irresistível. Historicamente esta predição da teoria de Einstein foi testada pela primeira vez durante o eclipse solar ocorrido em 9 de março de 1919, por duas expedições organizadas por Eddington e Dyson, uma para a cidade de Sobral no Brasil e a outra para a ilha Príncipe, na África portuguesa. Os resultados obtidos por estas duas expedições foram os seguintes 1, 98 ± 0, 16 (Sobral) θ = 1, 61 ± 0, 40 (Principe). Estes resultados ocuparam os cabeçalhos dos principais jornais da época. O verso que se segue foi enviado a Einstein em um cartão postal em 11 de outubro de 1919 pelos participantes de um colóquio de Física realizado em Zurique (Debye, Weyl, ) e mostra claramente o entusiasmo reinante na comunidade científica de então :,,Alle Zweifel sind entschwunden, Endlich ist es nun gefunden: Das Licht, das läuft natürlich krumm Zu Einsteins allergrösstem Ruhm! Então todas as dúvidas desapareceram, Finalmente foi descoberto: A luz, naturalmente anda encurvada Para o máximo engrandecimento da fama de Einstein! 8

9 Introdução 9 A partir daí, numerosas medidas relativas ao desvio da luz estelar foram feitas durante os eclipses solares apresentando resultados bastante diferenciados. Com o advento da radioastronomia, em 1969, passou-se a estudar não mais o desvio da luz estelar pelo Sol, mas sim o das ondas de rádio. Os resultados mais precisos obtidos até o presente sendo os de Fomalont e Sramek [1], que encontram um valor para o ângulo de deflexão próximo àquele previsto pela teoria da relatividade geral. Por outro lado, sabe-se que a ação relativa à gravitação é determinada pela sua invariância sob transformações de coordenadas gerais, e tem a forma [] S = d 4 x [ ] R g κ + α R + β R µν R µν + γ R µν R νδ R µ δ +. Neste trabalho utilizamos o sistema natural de unidades ( h = c = 1). Em nossa notação a assinatura é (+ ). O tensor de curvatura é definido por R α βγδ = δ Γ α βγ +, o tensor de Ricci por R µν = R α µνα, e o escalar de curvatura por R = g µν R µν, onde g µν é o tensor métrico. Aqui κ = 3πG, onde G é a contstante de Newton, e α, β, γ, etc., são parâmetros apropriados. A assim chamada teoria de gravitação mínima (relatividade geral) consiste em se considerar apenas o primeiro termo da ação precedente, o que não implica que exista algum princípio conhecido que permita excluir potências mais elevadas de R. Assim sendo, concentremos nossa atenção na teoria de gravitação R + R, que é definida pela ação [3] S = gd [ R 4 x κ + α ] R, onde α é um parâmetro adimensional. Como a quantidade R envolve derivadas segundas atuando sobre a métrica e numa dada interação cada derivada torna-se um fator do momento transferido k, ou da escala do inverso da distância k 1 r, podemos dizer que R é da ordem de k ( 1 r ), enquanto que R é da ordem de k 4 ( 1 r 4 ). Portanto, para energias suficientemente

10 Introdução 10 pequenas, ou para distâncias muito grandes, os termos quadráticos são negligenciáveis, e a teoria R + R reduz-se à teoria mínima. Podemos argumentar então que para valores pequenos da energia E da radiação incidente (E 0) as medidas da deflexão gravitacional solar devem estar em excelente concordância com a relatividade geral. De fato, na medida da deflexão gravitacional solar utilizando ondas de rádio (E 1cm 1 ), Fomalont e Sramek [1] encontraram um valor de 1, 761 ± 0, 016 segundos de arco para a deflexão nas periferias do Sol (a predição da relatividade geral é 1, 75 ). Como consequência, devemos esperar uma contribuição não negligenciável do termo quadrático para a deflexão gravitacional solar da luz estelar (E 10 5 cm 1 ). É importante observar que o valor médio obtido para a deflexão gravitacional solar baseado em todas as expedições realizadas durante os eclipses até hoje é, 04. Nossa motivação neste trabalho é analisar, na base da teoria R + R, a questão da deflexão de fótons pelo Sol, utilizando uma aproximação semiclássica. No Capítulo 1 calculamos o potencial efetivo não relativístico, no contexto da gravitação R + R, que descreve a interação gravitacional de dois bósons massivos idênticos de spin zero. Utilizando este resultado mostramos que esta teoria só admite limite newtoniano se o modo massivo nela presente for não-taquiônico. No Capítulo determinamos o campo gravitacional do Sol, tratado como campo fraco, no contexto da teoria R + R. Mostramos no Capítulo 3 que o ângulo de deflexão de um fóton que passa próximo ao Sol, coincide com aquele previsto pela teoria de Einstein. Reservamos o Epílogo para explicar a razão das duas teorias levarem ao mesmo resultado para a deflexão gravitacional solar.

11 Capítulo 1 O POTENCIAL EFETIVO NÃO-RELATIVÍSTICO PARA A GRAVITAÇÃO R + R 1.1 Introdução Uma das mais simples e duradouras idéias para extender a relatividade geral é incluir na ação gravitacional termos envolvendo potências mais altas do tensor de curvatura. Se incluirmos apenas um termo proporcional a R, a ação resultante toma a forma da eq.(a.) S = d 4 x [ R g κ + α ] R, (1.1) onde α é um parâmetro adimensional e κ tem dimensão L. Evidentemente, o termo quadrático representa uma correção à teoria de Einstein, não importando quão pequena ela possa ser. Isto suscita uma interessante questão: qual a predição da gravitação R+R para o desvio de um fóton passando nas proximidades do Sol? Obviamente, a resposta a esta questão não pode ser encontrada no âmbito clássico, pois isto exigiria que encontrassemos a solução estática e esfericamente simétrica das equações de campo da teoria da gravitação R + R uma tarefa completamente impossível na prática! O caminho a seguir, no contexto desta teoria, para obter a deflexão de um fóton pelo 11

12 1. O Potencial Efetivo 1 Sol, é usar um tratamento semiclássico. O campo gravitacional do Sol, um objeto clássico, deve ser tratado como um campo externo que interage com uma partícula quântica, o fóton. Sendo assim, devemos começar obtendo o potencial efetivo não-relativístico para a gravitação R + R. Obter este potencial é o objetivo deste capítulo. 1. A Interação Gravitacional O potencial efetivo não-relativístico para a interação de dois bósons massivos e idênticos de spin zero (veja Fig. 1) é dado por U ( r) = 1 1 4m (π) 3 d 3 kfn.r. e i k r, (1.) com F N.R. = im N.R., onde M N.R. é o limite não-relativístico da amplitude de Feynman para o processo representado na figura 1.

13 1. O Potencial Efetivo 13 livre φ, é A densidade lagrangeana para a interação da gravitação com um campo escalar massivo L int = g 1 ( g µν µ φ ν φ m φ ). (1.3) As flutuações quânticas do campo gravitacional podem ser expandidas em torno de uma métrica de fundo, que em nosso caso (aproximação de campo fraco) é o espaço-tempo plano g µν = η µν + κh µν η µν = diag(1, 1, 1, 1). Usando as expansões para g e g µν obtidas no Apêndice [eqs. (A.4) e (A.6)], obtemos L int = ( ) 1 κh [ (η µν κh µν + ) µ φ ν φ m φ ] = κ hµν [ µ φ ν φ 1 η µν ( α φ α φ m φ )], (1.4)

14 1. O Potencial Efetivo 14 onde desprezamos os termos de ordem igual ou superior a κ e omitimos a densidade lagrangeana para o campo escalar livre. Da expressão precedente, as regras de Feynman para o vértice elementar mostrado na Fig. podem ser deduzidas facilmente. O vértice de interação é dado, portanto, por V µν (p, p ) = i κ [ ( p µ p ν + p ν p µ η µν p p + m )]. (1.5) No espaço dos momentos, o propagador livre da gravitação R + R, no gauge de de Donder (gauge harmônico), é (veja a eq. (A.6) do Apêndice) F µν,λθ(k) = i { [ + αk κ ] η k + 3αk κ µν η λθ + (η µλ η νθ + η νλ η µθ ) + + ακ 3k κ α [ η µν k λ k θ + η λθ k µ k ν + k k µk ν k λ k θ ] }. (1.6) A amplitude de Feynman para o processo mostrado na Fig. 1 é dada por M = V µν (p, p ) µν,λθ (k) V λθ (q, q ). (1.7) Uma observação bastante útil e que nos faz poupar bastante trabalho na obtenção da amplitude de Feynman é notarmos que na eq. (1.4) L int = κ hµν T µν, o tensor momento-energia T µν do campo escalar massivo φ [4] se conserva, ou seja, ν T µν = 0. Transcrevendo isto para o espaço de momentos, temos T µν k ν = 0. Isto significa que todos os termos do propagador livre da gravitação R + R proporcionais a k ν não contribuirão para o cálculo da amplitude de Feynman. Feita esta observação, obtemos 1 1 Onde V (p, p ) = η µν V µν (p, p ) = iκ ( p p m ) V µν (p, p ) V µν (q, q ) = κ 4 [(p q) (p q ) + (p q ) (p q) + +p p ( m q q ) + q q ( m p p ) + ( m p p ) ( m q q )]. e

15 1. O Potencial Efetivo 15 M = iv µν (p, p ) A [ Bη µν η λθ + η µλ η νθ + η νλ η µθ] V λθ (q, q ) = ia [BV (p, p ) V (q, q ) + V µν (p, p ) V µν (q, q )] = iκ A [ B ( p p m ) ( q q m ) + (p q) (p q ) + (p q ) (p q) + + (p p ) ( m q q ) + (q q ) ( m p p ) + ( m p p ) ( m q q )], (1.8) onde A 1 k, B [ αk κ ] 3αk κ. 1.3 A Amplitude M no Limite Não-Relativístico No limite não-relativístico temos que p = p 0 p E = m. Logo p = p = q = q = m. Assim a amplitude de Feynmam dada pela eq. (1.8) se reduz a M N.R. = iκ Am 4 (B + ), (1.9) onde, evidentemente, A e B também são tomados no limite não-relativístico; ou seja, A = 1, B = α k κ k 3α. k κ A expressão (1.9) pode ser escrita como ( 1 + ακ k ) M N.R. = iκ m 4 ( 3ακ k + ) k 1 = iκ m 4 k 1 + ακ k k + 3ακ k. (1.10) Com k = k0 k k.

16 1. O Potencial Efetivo Cálculo do Potencial Efetivo Substituindo (1.10) em (1.) obtemos U ( r) = κ m 4(π) 3 d 3 k e i k r 1 + ακ k k + 3ακ. (1.11) k A realização desta integral é que nos dará a expressão final para o potencial efetivo não-relativístico da teoria de gravitação R + R. Com d 3 k = k d k senθdθdϕ (Vide Fig. 3), obtemos após integrar nos ângulos U ( r) = κ m (π) 0 d k sen( k r ) 1 + ακ k k r + 3ακ. k Fazendo a mudança de variável k = x/r, escrevemos U ( r) = ( ) κm dxsenx 4π rx A expressão anterior pode ser reescrita como x 1 + ακ r. + 3ακ x r U ( r) = 3 ( ) κm dxsenx 4π rx [ x + 3 ] 4 R x + R,

17 1. O Potencial Efetivo 17 r onde R = 3 ακ. Segue-se, que, onde U ( r) = 1 6r I ( κ ) m [3π + I], 4π dx xsenx, (1.1) x + M0 r e M 0 3ακ. Do ponto de vista matemático a integral (1.1) só faz sentido se α é positivo (M 0 > 0), o que corresponde à ausencia de táquions no campo dinâmico. Supondo que α > 0, a integral em

18 1. O Potencial Efetivo 18 questão pode ser facilmente avaliada utilizando-se o contôrno de integração da Fig. 4. Usando o teorema dos resíduos, obtemos imediatamente que I = πe M 0r. Logo, U ( r) = κ m 3πr [ ] 3 e M 0r. (1.13) Lembrando que κ = 3πG, (1.13) pode ser escrita como U ( r) = m G [ 1 r e M ] 0r r. (1.14) O potecial efetivo não-relativístico é obtido de (1.14), que representa a energia potencial gravitacional, por meio da relação V ( r) = U ( r). Segue-se que o potencial efetivo nãorelativistico relacionado à teoria de gravitação R + R é dado m por V ( r) = Gm [ 1 r 1 3 e M ] 0r r. (1.15) A eq. (1.15) fornece um limite newtoniano aceitável, no sentido que só existe uma exponencial decrescente e nenhum termo 1 oscilatório no infinito. Note que isto é verdade r somente na hipótese de α ser positivo (M0 > 0), o que implica no modo massivo da teoria ser não-taquiônico. Portanto, a teoria R+R admite limite newtoniano se e somente se o seu modo massivo for não taquiônico.

19 Capítulo O CAMPO GRAVITACIONAL DO SOL NA APROXIMAÇÃO DE CAMPO FRACO E NO CONTEXTO DA TEORIA R + R.1 Introdução No Capítulo precedente mostramos que a teoria R + R só admite limite newtoniano se o seu modo massivo for não-taquiônico. Vamos supor então que esta teoria seja não-taquiônica, ou seja, que α > 0 (M 0 > 0), e computar o campo gravitacional do Sol na aproximação de campo fraco. A ação para a teoria de gravitação R + R pode ser escrita como S = d 4 x [ R g κ + α ] R + L m, (.1) onde L m é a densidade lagrangeana da matéria. As equações para o campo gravitacional são obtidas do princípio da mínima ação, ou seja, δs = 0. Variando S em relação a g µν, obtemos[5] κ G µν + α [ 1 ] R g µν + RR µν + µ ν R g µν R + 1 T µν = 0, (.) 19

20 . O Campo Gravitacional do Sol 0 onde o tensor de energia-momento da matéria é definido por d 4 xδ ( glm ) = d 4 x g T µν δgµν. Na aproximação de campo fraco e no gauge de de Donder, as equações para o campo gravitacional tomam a forma onde κ γ µν + α ( µ ν η µν ) h + 1 κ T µν = 0, (.3) γ µν h µν 1 η µνh. (.4) Tomando o traço de (.3), obtemos: ( ) κ + 3α h = T κ. (.5) Estamos agora aptos a determinar o campo gravitacional do Sol na aproximação de campo fraco e no contexto da teoria R + R.. O Campo gravitacional do Sol Imaginemos o Sol como sendo uma partícula pontual de massa M, fixa na origem de coordenadas (T µν = Mδ 0 µδ 0 νδ 3 ( r))...1 Cálculo de h ( r) De (.5), chegamos à equação

21 . O Campo Gravitacional do Sol 1 [ κ + 3α ] h ( r) = M κ δ3 ( r), que pode ser reescrita como ( ) 1 3ακ h ( r) = κ Mδ3 ( r). (.6) Como estamos supondo que a teoria seja não-taquiônica, ou seja, que α > 0, que é a mesma coisa que admitir que M0 > 0, podemos escrever (.6) como se segue 3ακ ( 1 1 ) h ( r) = κ M0 Mδ3 ( r). (.7) Esta equação encontra-se resolvida em detalhe em [6], sendo sua solução dada por.. Cálculo de h 00 ( r) De (.3), segue-se, que, h ( r) = κm 8π 1 e M 0r r. (.8) [ ] κ γ 00 + α h = M κ δ3 ( r). (.9) A equação anterior pode ser escrita como f ( r) = M κ δ3 ( r), (.10) onde f ( r) κ γ 00 + α h.

22 . O Campo Gravitacional do Sol A solução de (.10) é f ( r) = M 4πκr. Portanto, Levando (.8) em (.11), obtemos: κ γ 00 + α h = M 4πκr γ 00 = Mκ [ 1 1 ] 8πr 3 e M 0r. (.11). (.1) De (.4) e (.1), concluimos imediatamente que h 00 ( r) = Mκ [ 1 16π r 1 3 e M ] 0r r. (.13) É interessante notar que h 00 ( r) = V ( r). (.14) κ..3 Cálculo de h ij ( r) Usando (.3) podemos escrever [ κ γ ij + α ( i j δ ij ) ] h = 0. (.15) Logo γ ij = ακ Porém h = h (r), mas r = r (x i ), ou seja ( i j δ ij ) h. (.16)

23 . O Campo Gravitacional do Sol 3 Portanto r = [ 3 i=1 ( ) ] 1/ x i. r x j = 1 [ 3 ( ) 1/ x i ] 3 (x i ) i=1 i=1 x j = 1 1 r xi 3 i=1 x i x = xi j r 3 i=1 δ ij = xj r, j h = x h = r h j x j r = xj h ( ) r r i j h = xj 1 h + x j r x i r r x i r, ( 1 r ) ( h 1 = δ ij r r ) h + xi x j r r r ( 1 r ) h r. Assim (.16) pode ser escrita como γ ij = 1 = [ 3M0 ( 1 3M 0 r δ ij ( 1 r ) h r δ ij + xi x j r + xi x j r r ) h r + 1 3M0 Com h ( r) dado pela expressão (.8) temos: ( 1 r ( ) h r δ ij xi x j r 1 δ ij r r ( r h r )] ) h r. (.17) h = κm r 8π h = κm r 8π [ 1 r + 1 r e M 0r + M ] 0 r e M 0r, [ r 3 r 3 e M 0r M 0 r e M 0r M 0 ] r e M 0r. Com estes resultados (.17) se escreve: γ ij = 4GM κb + xi x j r { δij 3 [ 1 r 3 ( 1 e M 0 r ) + M 0 r e M 0r + M 0 r e M 0r [ 1 r 3 ( 1 e M 0 r ) M 0 r e M 0r M 0 3r e M 0r ]} ]. (.18)

24 . O Campo Gravitacional do Sol 4 Logo, δ ij κm0 3 { [ δij h ij = γ ij 4GM = 4GM + xi x j r κm 0 [ 3M 0 r..4 Cálculo de h i0 ( r) De (.3) vem que ( 1 e M 0 r )] 1 ( ) 1 e M 0 r + M 0 r 3 r e M 0r + M 0 r e M 0r + 3M 0 r 3 [ 1 ( ) 1 e M 0 r M 0 r 3 r e M 0r M 0 3r e M 0r ( 1 e M 0 r )] ] }. (.19) γ i0 = 0. Portanto, γ i0 = 0. Como γ i0 = h i0, concluimos que h i0 ( r) = Resumo Definindo Γ(r) 1 ( ) 1 e M 0 r M 0 3r 3 3r e M 0r M 0 3r e M 0r M 0 r Λ(r) 1 r 3 ( 1 e M 0 r ) + M 0 r e M 0r + M 0 3r e M 0r podemos escrever as componentes de h µν ( r) como se segue ( 1 e M 0 r ),, (.0)

25 . O Campo Gravitacional do Sol 5 h µν ( r) = κm 8πM 0 M 0 r ( ) 3 e M 0r.3 Cálculo de h µν ( k ) 0 Γ(r) + x r Λ(r) yx 0 r Λ(r) zx 0 r Λ(r) xy r Λ(r) y Γ(r) + r Λ(r) zy r Λ(r) xz r Λ(r) yz r Λ(r) z Γ(r) + r Λ(r) No próximo Capítulo vamos calcular a deflexão de um fóton pelo campo gravitacional do Sol, tratado como campo externo. Como este cálculo envolve a transformada de Fourier do campo gravitacional, ou seja, h µν ( k ) = d 3 re i k r h µν ( r), ( ) vamos aproveitar esta seção para determinar h µν k. Algumas das integrais envolvidadas neste cálculo só existem como distribuições. Na tabela em anexo encontram-se listadas todas as integrais necessárias para o cálculo em questão. Utilizando a tabela mencionada, chegamos ao seguinte resultado h µν ( k) = κm 4 com k k. 1 k M0 + k 1 0 k M0 + k k M0 + k k 1 M0 + k

26 . O Campo Gravitacional do Sol 6 Integrais Envolvidas no Cálculo de h µν ( k ) e M 0r senkrdr = k M 0 + k e M0r senkr dr = arc tg k r M 0 e M 0r senkr r dr = k b arc tg k M 0 k ln ( M 0 + k ) e M0r senkr dr = 1 ( M r 3 0 k ) arc tg k 3M 0k + M 0k M 0 ln ( M0 + k ) e M0r senkr dr = 11k3 r M 0 k + M ( ) 0 3k M k 0 arc tg 1 6 M ( k 3 3M0 k ) ln ( M0 + k ) 1 e M 0r coskrdr = M 0 M 0 + k e M0r coskr dr = 1 r ln ( M0 + k ) e M 0r coskr r dr = k arc tg k M 0 + M 0 ln ( M 0 + k ) M 0 e M0r coskr dr = 3k r M 0k arc tg k + 1 ( ) ( k M0 ln M M k ) + 3M senkrdr = 1 k senkr dr = k (1 lnk) r 1. 0 senkr dr = 11k3 r k3 6 lnk coskr dr = k ( 3 + lnk) r 3 4

27 Capítulo 3 DEFLEXÃO GRAVITACIONAL DE FÓTONS NO CONTEXTO DA TEORIA R + R 3.1 Introdução Vamos agora analisar o espalhamento de um fóton pelo campo gravitacional do Sol, tratado como um campo externo. A função lagrangeana para a interação do campo eletromagnético com o campo gravitacional é gg µα g νβ F αβ F µν L = 4, (3.1) onde F µν = A µ,ν A ν,µ. Segue-se que a lagrangeana para a interação fóton-gráviton é dada por L I = κ [ hη µα η νβ 4h µα η νβ] F µν F αβ 8, (3.) e o vértice correspondente por (vide Fig. 5) 7

28 3. Deflexão Gravitacional da Luz 8 V µ,ν,λθ (p 1, p ) = i κ [η λθp 1ν p µ η λθ p 1 p η µν + η µν p 1θ p λ η νλ p 1θ p µ η µθ p 1ν p λ + η µθ η νλ p 1 p + η µν p 1λ p θ η νθ p 1λ p µ η µλ p 1ν p θ + η µλ η νθ p 1 p ]. (3.3) (vide Fig. 6) No caso do campo gravitacional ser tratado como campo externo, o vértice é dado por V µν (p, p ) = V µ,ν,λθ (p, p ) h λθ ext (k) = i κ [ hλθ ext ηλθ p ν p µ η λθ η µν p p + + ( η µν p λ p θ η νθ p λ p µ η µλ p ν p θ + η µλ η νθ p p )]. (3.4)

29 3. Deflexão Gravitacional da Luz 9 Passemos, então, ao cálculo da seção de choque para o espalhamento de fótons pelo campo gravitacional externo. 3. Seção de Choque para o Espalhamento de Fótons pelo Campo Gravitacional do Sol A amplitude de Feynmam para o processo mostrado na Fig. 6 com o campo estático obtido na Seção.3 é da forma M rr = M µν ɛ µ r ( p) ɛ ν r ( p ), (3.5) onde M µν = i κ hλθ ext ( k ) [ ηλθ p ν p µ η λθ η µν p p + + ( η µν p λ p θ η νθ p λ p µ η µλ p ν p θ + η µλ η νθ p p )], (3.6) e ɛ µ r ( p) e ɛ ν r ( p ) são os vetores de polarização relativos aos fótons incidentes e espalhados, respectivamente.

30 3. Deflexão Gravitacional da Luz 30 A seção de choque não polarizada é proporcional a X = 1 M rr r=1 r =1, (3.7) onde estamos tomando a média sobre as polarizações iniciais e somando sobre as polarizações finais. Usando algumas propriedades bem conhecidas dos vetores de polarização [7], obtemos de pronto de (3.7) Assim 1 expressão [8] X = 1 Mµν M µν. X = = κ [ 4 (p p ) h µν h µν h (p p ) + ( 4p p hh λθ p λ p θ 8 8h θρ h ρ λ pλ p θ p p + 4h λθ h ρµ p λ p θ p ρ p µ)]. (3.8) A seção de choque não-polarizada para o processo em questão pode ser obtida da dσ dω = 1 X 4 (π). Como M0 + ( ) k M0, podemos reescrever as componentes de h µν k encontradas na Seção.3 como [ ( ) h 00 k κm 1 = 4 k + 1 ] 1, 3 M0 [ ( ) ( ) h 11 k = h k κm 1 = 4 k 1 ] 1 3 M0 [ ( ) h 33 k κm 1 = 4 k 1 ]. M0, 1 Daqui em diante vamos denotar a transformada de Fourier do campo gravitacional externo (h ext µν ( k)) simplesmente por h µν, a fim de facilitar a notação.

31 3. Deflexão Gravitacional da Luz 31 Logo X = {(p κ p ) ( [ ( ) ] 4h µν h µν h ) + 4k E h 00 (h h 00 ) + E k h 11 (h + h 11 ) [ + 8 E 4 (h 00 + h 11 ) + E k ]} (h 33 h 11 ) (h 00 + h 11 ) = κ4 M [ ] 1 3 4E k + 8E4 = κ4 M [ k 4 8E k + 16E 4 ], (3.9) k 4 3 k 4 onde E é a energia do fóton incidente. Levando em conta que k = p p k = p p cosθ = p (1 cosθ) = E (1 cosθ) (3.10) obtemos X = κ4 M [ 4E 4 (1 cosθ) 16E 4 (1 cosθ) + 16E 4 ] 3 k 4 = κ4 M 16 E 4 k 4 (1 + cosθ). (3.11) A seção de choque não polarizada para o espalhamento de fótons pelo campo gravitacional do Sol é então dada por dσ dω = κ4 M E 4 64 (π) (1 + cosθ) k4 = κ4 m E 4 (1 + cosθ) 64 (π) 4E 4 (1 cosθ) = = κ 4 M 56 (π) κ 4 M ( 1 + cosθ 1 cosθ 56 (π) cotg4 θ ) (3.1). (3.13)

32 3. Deflexão Gravitacional da Luz Previsão da Teoria R + R para a Deflexão Gravitacional Solar Para θ pequeno, Por outro lado [9], dσ dω = 16G M θ 4. (3.14) dσ dω = rdr senθdθ. (3.15) Para pequenos valores de θ, esta expressão se reduz a dσ dω = Combinando (3.14) e (3.16) resulta rdr θdθ. (3.16) r = 16G M θ. (3.17) Podemos concluir então que a deflexão sofrida por um fóton ao passar nas vizinhanças da superfície do Sol, no contexto da teoria R + R, é dada por θ = 4GM r = 1, 75. (3.18) Este valor é exatamente o mesmo que se obtem utilizando a teoria de Einstein. Em outras palavras, o termo quadrático em R não contribui para a deflexão gravitacional solar. Qual a origem deste paradoxo? Será ele apenas uma caracteristica da teoria R + R? Discutiremos estas questões no próximo Capítulo (Epílogo).

33 EPÍLOGO Iniciamos este trabalho conjeturando que o termo quadrático da teoria R+R deveria apresentar uma contribuição não negligenciável para a deflexão gravitacional solar da luz estelar (E 10 5 cm 1 ). Um cálculo cuidadoso, a nível de árvore, mostrou, no entanto, que se a teoria R +R for não-taquiônica, o ângulo de deflexão de um fóton que passa próximo ao Sol, coincide com aquele previsto pela teoria de Einstein. Em outras palavras, a contribuição do termo quadrático para a deflexão gravitacional solar é nula. Como explicar este resultado inesperado? Para respondermos a esta indagação, comecemos notando que a nível de árvore visto que onde h µν ( k ) = h (E) µν ( ) ( ) k + h (R ) k µν, ( ) h (R ) k κm µν = 1M0 ( ) k = h (E) µν [ ] ηµν + δµ 3 δν 3 d 3 re i k r h (E) µν ( r),, e h (E) µν ( r) é solução das equações linearizadas de Einstein suplementadas pela condição de coordenada harmônica usual ( ) (E),ν γ µν = 0, γ µν (E) h (E) µν 1 h(e) η µν - a amplitude de Feynman pode ser reescrita como M µν = M (E) µν + M (R ) µν, 33

34 Epílogo 34 sendo M (R ) µν iκ [ κm 1M 0 ( η λρ + δ3 λ δ ρ ) ] 3 [ η µν η λρ p p + η λρ p ν p µ + ( η µν p λ p ρ η νρ p λ p µ η µλ p ν p ρ + η µλ η νρ p p )]. Por outro lado, mostra-se trivialmente que M (R ) µν 0. Portanto, M µν = M (E) µν, o que claramente explica o porquê das duas teorias levarem precisamente ao mesmo resultado para a deflexão gravitacional solar. A nível clássico, por sua vez, a equação de campo da teoria R + R, na aproximação de campo fraco, e no gauge A µ γ,α µα + ακ R,µ = 0, onde γ µν h µν 1 η µνh, se reduz a h µν 1 [ T 3 Rη ηµν µν = κ 6 T ] µν onde R = 1 h γ,µν µν, e os índices são levantados (abaixados) com o tensor η µν (η µν ). É fácil mostrar que neste gauge o campo gravitacional do Sol é dado por h µν ( r) = h (E) µν ( r) + φ ( r) η µν, onde φ ( r) Mκ e M 0r 48π r Como consequência, a métrica toma a forma. g µν = [ h (E) µν + φη µν ] κ + ηµν = g (E) µν + κφη µν = (1 + κφ) g (E) µν,

35 Epílogo 35 onde o produto de h (E) µν por φ foi negligenciado. Podemos então concluir que[10] Teorema. Na ausência de táquions (α > 0) e supondo que 1 + κφ > 0 (esta condição é necessária para que a transformação conforme não inverta a assinatura da métrica), a teoria de gravitação linearizada R + R é conformemente relacionada à teoria linearizada de Einstein. Como as duas teorias estão relacionadas por um mapeamento conforme e sob um tal mapeamento ângulos são preservados, chegamos a conclusão que o ângulo de deflexão fornecido pela teoria R + R é o mesmo que aquele dado pela teoria de Einstein. Para concluir, seria interessante especular como seria a deflexão gravitacional solar, se incluíssemos o próximo termo quadrático na ação gravitacional. Neste caso teriamos que repetir os cálculos realizados neste trabalho, usando a ação S = d 4 x g [ R κ + α R + β ] R µνr µν. Evidentemente, o termo quadrático em R não vai contribuir. Pode-se mostrar que na ausência de táquions a deflexão gravitacional solar, ao contrário da teoria de Einstein, depende da energia da radiação incidente [11, 1]; o que, conforme havíamos sugerido, explica a razão da teoria de Einstein estar em tão boa concordância com os resultados experimentais obtidos usando-se ondas de rádio (E 1cm 1 ). A teoria de gravitação de ordem superior, por sua vez, fornece um valor para o ângulo de desvio da luz estelar (E 10 5 cm 1 ) próximo de, 04, que é o valor que se obtem tomando-se a média dos valores encontrados nos eclipses solares. Apesar da teoria de gravitação com derivadas de ordem mais alta ser uma teoria assombrada, com ghosts e poltergeists, é importante lembrar que esta é a única teoria de gravitação que se sabe ser renormalizável [13]; sendo, além disso, uma extensão natural da teoria da relatividade geral de Einstein.

36 Apêndice A QUANTIZAÇÃO NA APROXI- MAÇÃO DE CAMPO FRACO A.1 Introdução A validade do princípio da equivalência, que expressa a igualdade entre massa inercial e massa gravitacional e que também pode ser entendido como a afirmação de que todas as partículas submetidas à mesma condição inicial, caem da mesma forma no campo gravitacional, isto é, seguem as mesmas trajetórias, permite-nos supor que a gravitação seria apenas um efeito do espaço-tempo, no qual as partículas se deslocam. Assim a métrica plana de Minkowski (Relatividade Restrita), η µν, poderia ser generalizada para uma métrica mais geral, g µν, na forma: g µν = g µν ( x 0, x 1, x, x 3). E esta generalização, feita por Einstein em 1916 na sua teoria da relatividade geral, leva-nos a seguinte forma para a ação S = κ d 4 x gr, (A.1) onde R é o escalar de curvatura, a contração do Tensor de Ricci, e κ é uma constante com dimensão de comprimento. 36

37 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 37 A teoria de gravitação R + R, com a qual trabalhamos é uma extensão natural da relatividade geral e se faz incluindo um termo quadrático em R, na ação de Einstein, ou seja, S = d 4 x [ R g κ + α ] R, (A.) onde α é um parâmetro adimensional. Como já discutimos anteriormente, para o efeito que desejamos obter, o caminho a seguir é utilizar um tratamento semiclássico. Para isso, trabalhamos na aproximação de campo fraco onde expandimos g µν em torno de uma métrica de fundo η µν, que é a métrica do espaço-tempo plano de Minkowski (η µν = diag(1, 1, 1, 1)). Assim, g µν = η µν + κh µν = η µα (δ α ν + κh α ν). (A.3) É fundamental para o prosseguimento deste trabalho obter expressões para quantidades tais como g µν e g em termos do novo campo h µν introduzido na aproximação de campo fraco, ou aproximação linear. Estas expressões, expansões em torno da métrica plana de fundo η µν devido a perturbação causada pelo campo h µν, são obtidas na seção que se segue. A. Expressoẽs Úteis na Aproximação de Campo Fraco A..1 A expansão de g µν Nos será de muita valia obtermos uma expressão para g µν na aproximação de campo fraco. Utilizando a propriedade do cálculo matricial que diz que se uma matriz tem inversa, a inversa é única, escrevemos Logo, g µν [g µν ] 1 = η µν + aκh µν + bκ h µα h ν α + O ( κ 3). g µν g νθ = δ θ µ = (η µν + κh µν ) ( η νθ + aκh νθ + bκ h να h θ α +... )

38 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 38 = δ θ µ + aκh θ µ + bκ h α µ h θ α + κh θ = δµ θ + κ ( ahµ θ + hµ θ µ + aκ h µν h νθ +... ) ( + κ bhµ α h θ α + ah µν h νθ) +... Para que a igualdade seja satisfeita, temos que ter a = 1, b = 1 e todos os outros coeficientes da expansão nulos. Portanto, obtemos g µν = η µν κh µν + κ h µα h ν α + O ( κ 3). (A.4) A.. A expansão de ( g) 1/ Também nos será de grande utilidade obter uma expressão para g na aproximação de campo fraco. Usando a relação obtemos det A = exp {T r [ln A]}, (A.5) g = exp 1 T r ln ( g µν) = exp 1 T r ln [( η µα) (δ α ν + κh α ν)] Logo, = exp 1 T r ln ( η µα) exp 1 T r ln (δα ν + κh α ν) = η exp 1 ( ) T r κh α ν κ hβ νh α β + = exp ( ) κh = 1 + κ 4 h µνh µν ( κh κ ( hκ κ 4 h µνh µν + 4 h µνh µν + ) + hκ g = 1 + κ 4 h µνh µν + κ h + O ( κ 3). (A.6) 8 ) A.3 A Ação Escrita em Termos do Campo h µν A ação da teoria de gravitação R + R é, conforme a eq. (A.1), escrita em termos do escalar de curvatura R = g µν R µν, onde R µν é o tensor de Ricci que, em termos dos símbolos de Cristoffel, é dado por

39 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 39 R µν = Γ α µν,α + Γ α µα,ν Γ β µνγ α βα + Γ β µαγ α βν. (A.7) Os Γ s (símbolos de Cristoffel), escrevem-se em termos da métrica como, se segue: Γ α µν = 1 gαθ [g µθ,ν + g νθ,µ g µν,θ ]. (A.8) Assim, todos os termos da ação S podem ser escritos em função do campo h µν métrica de campo fraco [eq.(a.3)]. presente na A.3.1 A forma Γ Γ da ação de Einstein O primeiro termo da ação da gravitação quadrática R + R [eq. (A.1)] é justamente a ação de Einstein [eq. (A.1)]. Usando a definação de Γ α µν acima [eq. (A.8)], a ação de Einstein fica S = κ = κ d 4 x g R = d 4 x g g µν R κ µν d 4 x g g [ ] µν Γ α µν,α + Γ α µα,ν Γ β µνγ α βα + Γ β µαγ α βν. (A.9) Nos dois primeiros termos de S comparecem derivadas segundas da métrica, enquanto que nos dois últimos, produtos das derivadas primeiras da métrica. A quantidade H µν g g µν, é uma densidade tensorial, e sua derivada é α ( H µν Γ α µν) = H µν,α Γ α µν + H µν Γ α µν,α.

40 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 40 Segue-se que H µν Γ α µν,α = H µν,αγ α µν α ( H µν Γ α µν ), e a Ação de Einstein toma a forma S = d 4 x { H [ µν Γ β κ µνγ α βα + Γ β µαγ βν] α + H µν,α Γ α µν ( )} H µν,νγ α µν + α H µν Γ α µν + H µα Γ ν µν, onde o último termo vai a zero, pois é natural supor que h µν vá a zero no infinito. Com 1 H µν ;α = ( ) gg µν 0 ;α = H µν,α + Γ µ βα Hβν + Γ ν βαh µβ Γ β βα Hµν 0, ou seja, H µν,α = H µν Γ β βα Hµβ Γ ν βα H νβ Γ µ βα, escrevemos S = d 4 x { H ( } µν Γ β κ µνγ α βα + Γ β µαγ βν) α + H µν,α Γ α µν H µν,νγ α µα = d 4 x { H µν Γ β κ µνγ α βα + H µν Γ β µαγ α βν + ( H µν Γ β βα Hµβ Γ ν βα H νβ Γ µ βα) Γ α µν ( H µν Γ β βν Hµβ Γ ν βν H νβ Γ µ ) } βν Γ α µα. Simplificando, encontramos a forma (Γ Γ) da ação de Einstein S = κ = κ = κ d 4 x { H µν Γ β µαγ α βν + H νβ Γ µ } βν Γα µα d 4 xh ( ) µν Γ β µαγ α βν + Γ β µνγ α βα d 4 x gg ( ) µν Γ β µαγ α βν + Γ β µνγ α βα. (A.10) Esta equação contém somente produtos de derivadas primeiras da métrica. 1 Onde ; denota derivada covariante e, denota derivada comum.

41 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 41 A.3. A ação de Einstein em função do campo h µν Com os resultados das expansões para g µν [eq. (A.4)] e g [eq. (A.6)] na aproximação de campo fraco, podemos escrever a ação S [eq. (A.10)] como função do campo de spin h µν. Os Γ s escritos em função da métrica de campo fraco são Assim S = 1 κ Γ β µν = 1 gβθ [g µθ,ν + g νθ,µ g µν,θ ] = 1 d 4 x (1 + 1 ( h α β,ν + h α [ η βθ κh βθ + ] κ [h µθ,ν + h νθ,µ h µν,θ ] = 1 κ [ h β µ,ν + h β ν,µ h β µν, + O ( κ )]. ν,β h κh ) βν, α (η µν κh µν + ) κ [ ( h β µ,α + h β ) + ( h β µ,ν + h β ν,µ h µν, β ) ( h α β,α + h α ) α,µ hµα, β )] α,β hβα, α. Rearanjando os termos, fica, S = 1 d 4 x [ h νβ,νhβ α,α + h νβ,νhα α,β h νβ,νhβα, α h ν β +h νβ,αh α βν, + hα β,ν hβν, α hα β,ν hν α,β h νβ,αh α ν, hα α,β+ ν,β hα β,ν h α β,ν + ], ou seja, S = [ d 4 x h νβ,αhν α,β + h νβ,νh,β + 1 ( h να,β h να,β h,β h,β) + ]. (A.11) fraco, isto é, O integrando da eq. (A.11) é a lagrangeana de Einstein na aproximação de campo L E = h νβ,αhν α,β + h νβ,νh,β + 1 ( h να,β h να,β h,β h,β) + Vamos agora, a fim de facilitar o cálculo do propagador de Feynman que será feito na seção seguinte, escrever L E na forma h µν [operador] µν,αβ h αβ.assim L E = h νβ,αhν α,β + h νβ,νh,β + 1 ( h να,β h να,β h,β h,β) +...

42 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 4 = h νβ α β h α ν h νβ ν β h α α 1 hνα β β h να + 1 hν ν β β h α α +... = η µν h µβ α β h να h νβ ν β h α α 1 ηµν η αβ h µβ h να + 1 ηµν h µν h β β +... = h µν η µβ α ν h βα h να ν α h β β 1 h µνη µβ η αν h βα + 1 h µνη µν η αβ h αβ +... = h µν [η µα β ν η αβ µ ν 1 ηµα η βν + 1 ] ηµν η αβ h αβ + (A.1) A.4 O Propagador de Feynmam Para a Teoria de Gravitação R + R A.4.1 Introdução No formalismo da Teoria Quântica de Campos, o propagador de Feynmam é obtido, a partir da lagrangeana, por meio da seguinte relação L G = 1 h µνp µν,αβ h αβ (A.13) onde o propagador de Feynman é simplesmente F αβ,λθ ( k ) = ipαβ,λθ. (A.14) onde P µν,αβ P αβ,λθ = 1 (δµ λ δν θ + δ µ θ δν λ), (A.15) já que o produto do operador P µν,αβ por seu inverso é o operador identidade. Sendo assim, precisamos colocar a lagrangeana da eq.(a.) na forma (A.13). O primeiro termo da eq.(a.) é exatamente a lagrangeana de Einstein que já está escrita em termos do campo h µν na eq.(a.1). Resta-nos então escrever o segundo termo de (A.), aquele proporcional a R, na aproximação de campo fraco.

43 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 43 A.4. O termo proporcional a R em função do campo h µν Como já havíamos visto R = g µν R µν (A.16) R µν = Γ α µν,α + Γ α µα,ν ΓΓ + ΓΓ, onde os produtos ΓΓ são da ordem de κ porque contém produtos das derivadas primeiras da métrica. Com Γ α µν de acordo com a equação (A.11), o tensor de Ricci fica R µν = 1 κ [ ] ( hµ α,να hν α,µα + hµν α,α + hµ α,αν + hα α,µν h ) µα,α ν + O κ = 1 κ [ h α µ,να h α ν,µα + h µν + h,µν ] + O ( κ ) ; (A.17) e sua contração, o escalar de curvatura, pode ser escrito como R = g µν R µν = [η µν κh µν ] 1 κ [ h α µ,να h α ν,µα + h µν + h,µν ] + Desta forma = 1 κ [ h µα,µα + h ] + O ( κ ) = κ [ h µα,µα + h ] + O ( κ ). (A.18) R = κ [ h µα,µα + h ] [ h νβ,νβ + h] + = κ [ h µα,µαh νβ,νβ hµα,µα h + h h ] + = κ h µν [ µ ν α β η αβ µ ν + η µν η αβ ] h αβ + (A.19) Assim, com os resultados das eqs. (A.1) e (A.19), podemos escrever a lagrangeana da teoria da gravitação R + R como L = [ R g κ + α ] R = 1 h µν { η µα β ν η αβ µ ν η µα η βν + η µν η αβ + + κ α [ µ ν α β η αβ µ ν + η µν η αβ ]} h αβ + (A.0)

44 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 44 A.4.3 A Lagrangeana de Fixação de Gauge A lagrangeana da teoria da gravitação R + R [eq. (A.0)] leva-nos a um operador que, no espaço de momentos, se escreve η µα k β k ν η αβ k µ k ν + 1 ηµα η βν k 1 ηµν η αβ k + κ α e este operador não possue inverso. [ k µ k ν k α k β + η αβ k µ k ν k + η µν η αβ k 4] Para calcular o propagador de Feynman precisamos inverter este operador. A solução é adicionar um termo de fixação de gauge a esta lagrangeana, de modo que possamos invertê-la. Para fixar o gauge adicionamos a lagrangeana L da eq. (A.0), um termo de fixação de gauge, L f.g., de modo que L G = L + L f.g. No gauge de de Donder (gauge harmônico), L f.g. é ( L f.g. = h µν,ν 1 ) h,µ = (h µν,ν 1 ) ( h,µ h µα,α 1 ) h,µ = h µν νh,α µα 1 hµν,νh,µ 1 h,µ h,α µα h,µ h,µ = h µν ν α h µα + 1 hµν ν µ h β β + 1 hν ν µ α h µα 1 4 hν ν µ µ h β β = h α ν ν β h αβ + 1 h µν µ ν η αβ h αβ + 1 ηµν h µν α β h αβ 1 4 ηµν h µν η αβ h αβ = 1 [ h µν η αµ ν β + η αβ µ ν + η µν α β 1 ] ηµν η αβ h αβ. (A.1) Assim, com L dado pela eq. (A.0) e L f.g. pela eq. (A.1) acima, escrevemos L G = L + L f.g = 1 h [ µν η µα β ν η αβ µ ν η µα η βν + η µν η αβ η αµ ν β + η αβ µ ν + + η µν α β 1 ] ηµν η αβ h αβ + κ α h [ µν µ ν α β η αβ µ ν + η µν η αβ ] h αβ = 1 {[ h µν η µα η νβ + 1 ] ηµν η αβ + κ α [ µ ν α β η αβ µ ν + η µν η αβ ]} h αβ.

45 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 45 Para garantir a simetria da lagrangeana acima, nas trocas dos índices µ ν, α β e µν αβ escrevemos L G = 1 {[ η µα h η νβ η να η µβ + η µν η αβ ] µν + κ α [ µ ν α β ( η αβ µ ν + η µν α β) + η µν η αβ ]} h αβ. De acordo com a eq. (A.13), P µν,αβ é, no espaço de momentos Ou, P µν,αβ = η µν η αβ [ ] k + ακ k 4 + k [ η µα η νβ + η να η µβ] + κ αk µ k ν k α k β ακ k [ η αβ k µ k ν + η µν k α k β]. P µν,αβ = Aη µν η αβ + B ( η µα η νβ + η να η µβ) + Ck µ k ν k α k β + D ( η αβ k µ k ν + η µν k α k β), com A = k + ακ k 4, B = k, C = ακ, D = ακ k. (A.) A.4.4 Cálculo do Inverso do Operador P µν,αβ Como P αβ,λθ = A (k) η αβ η λθ + B (k) (η αλ η βθ + η βλ η αθ ) + C (k) k α k β k λ k θ + D (k) (η αβ k λ k θ + η λθ k α k β ), (A.3) segue-se que P µν,αβ P αβ,λθ = 4AAη µν η λθ + ABη µν η λθ + ACk η µν k λ k θ + AD ( 4η µν k λ k θ + η µν k η λθ )

46 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 46 + BAη µν η λθ + BB (δ µ λ δν θ + δ ν λδ µ θ ) + BCkµ k ν k λ k θ + BD (η µν k λ k θ + η λθ k µ k ν ) + CAk µ k ν k η λθ + CBk µ k ν k λ k θ + CCk µ k ν k λ k θ k 4 + CD ( ) ( ) k µ k ν k k λ k θ + k µ k ν k 4 η λθ + DA 4k µ k ν η λθ + η µν k η λθ + DB (k µ k ν η λθ + η µν k λ k θ ) + DC ( ) k k µ k ν k λ k θ + η µν k 4 k λ k θ + DD ( 4k µ k ν k λ k θ + η λθ k k µ k ν + η µν k k λ k θ + η µν η λθ k 4) = 1 (δµ λ δν θ + δ µ θ δν λ). Reordenando os termos, obtemos P µν,αβ P αβ,λθ = ( η µν η λθ 4AA + AB + BA + DAk + DDk 4 + k AD ) + (δ µ λ δν θ + δ ν λδ µ θ ) BB + ( kµ k ν k λ k θ BC + CB + CCk 4 + CDk + DCk + ( 4DD) + η µν k λ k θ ACk + 4AD + BD + DB + DCk 4 + DDk ) + ( k µ k ν η λθ BD + CAk + CDk 4 + 4DA + DB + DDk ) = 1 (δµ λ δν θ + δ µ θ δν λ). Consequentemente, 1) A (4A + B + Dk ) + BA + D (Dk 4 + Ak ) = 0 ) BB = 1/ 3) CB + C (B + Ck 4 + Dk ) + D (Ck + 4D) = 0 4) BD + C (Ak + Dk 4 ) + D (4A + k D + B) = 0 5) A (Ck + 4D) + BD + D (B + Ck 4 + Dk ) = 0. Substituindo A, B, C e D por seus respectivos valores, fica 1) [ 1 + 3ακ k ] A + [ 1 + ακ k ] B k D = 0

47 A. Quantização na Aproximação de Campo Fraco 47 ) k B = 1 3) ακ B + k C 3κ k αd = 0 4) κ k αb k4 C + k [ 1 + 3ακ k ] D = 0 5) 3κ k αa κ k αb + k D = 0. O que leva ao seguinte resultado A = [ + ακ k + 3ακ k ] B, B = 1 k, C = k D, D = κ α 3κ k α B.(A.4) A.4.5 O Propagador de Feynman O Propagador de Feynman é, de acordo com a eq.(a.14), simplesmente: com P µν,λθ conforme a eq. (A.3). Portanto, F µν,λθ(k) = ip µν,λθ, (A.5) F µν,λθ(k) = i { [ + αk κ ] η k + 3αk κ µν η λθ + (η µλ η νθ + η νλ η µθ ) + + ακ 3k κ α [ η µν k λ k θ + η λθ k µ k ν + k k µk ν k λ k θ ] }. (A.6)

48 Bibliografia [1] E. B. Fomalont and R. A. Sramek, Astrophys. J. 199, 749 (1975); Phys. Rev. Lett. 36, 1475 (1976); Comm. Astrophys. 7, 19 (1977). [] John F. Douglas, Phys. Rev. Lett. 7, 996 (1994). [3] J. H. Kung, Phys. Rev. D 5, 69 (1995). [4] A. J. Accioly, A. D. Azeredo, C. M. L. Aragão, H. Mukai, Class. Quantum Grav. 14, 1163 (1997). [5] A. J. Accioly, Rev. Bras. de Física 18, 4 (1988). [6] Antonio Accioly, Hatsumi Mukai, Braz. J. Phys. 8, 35 (1998). [7] F. Mandl e G. Shaw, Quantum Field Theory (John Wiley & Sons, 1994). [8] C. Quigg, Gauge Theories of the Strong, Weak, and Electromagnetic Interactions (Addison- Wesley Publishing Company, 1996). [9] H. Goldstein, Classical Mechanics (Addison-Wesley Publishing Company, 1980). [10] A. Accioly, A. D. Azeredo, E. C. de Rey Neto, Bending of light in the framework of R + R gravity (submetido à publicação); A. Accioly, S. Ragusa, E. C. de Rey Neto, H. Mukai, Prediction of R + R gravity for the deflection of a photon passing close to the Sun (submetido à publicação). 48

49 Bibliografia 49 [11] A. Accioly, E. C. de Rey Neto, H. Mukai, S. Ragusa, A phenomenological estimative of R + R gravity parameter from measurements of starlight deflection (a ser publicado). [1] A. Accioly, E. C. de Rey Neto, General Relativity as the ground state of quadratic gravity (a ser publicado). [13] K. S. Stelle, Phys. Rev. D 16, 953 (1977).