Muitos fenômenos físicos, aparentemente distintos, podem ser descritos matematicamente em termos de ondas.

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1 Equação das Ondas Muitos fenômenos físicos, aparentemente distintos, podem ser descritos matematicamente em termos de ondas. O aspecto essencial da propagação de uma é que esta consiste numa perturbação auto-sustentada do meio através do qual se propaga. Se há propagação, a perturbação deve ser expressa como função do espaço e do tempo: A forma da perturbação em qualquer instante, obtem-se particularizando o valor da variável tempo: (por exemplo t =0) Considere um pulso caminhando para a direita: ]

2 Com base na figura anterior, temos: Esta equação representa a forma mais geral da função de onda em uma dimensão. Basta apenas escolher a forma f(x,o) =f(x) e substituir x por (x-vt) em f(x)! Do mesmo modo, se a onda se desloca para a esquerda: Isto permite obter a forma geral da equação de ondas a uma dimensão: Se x se mantiver constante, a derivada parcial de (x,t) no tempo é: Combinando ambas as equações: Mas como são necessárias duas constantes para especificar totalmente uma onda, a equação mais geral deve ser de segunda ordem. Calculando as segundas derivadas parciais:

3 Uma vez que E lembrando que Então Combinando estas equações, obtemos: Que admite soluções da forma A equação de Ondas!

4 ONDAS PLANAS: Constituem aos mais simples exemplos de ondas tridimensionais. Para ondas planas, as superfícies de igual fase são planos, em geral perpendiculares à direção de propagação da perturbação: A forma mais reduzida da equação do plano perpendincular à k é É possível construir um conjunto de planos para os quais (r) dependa senoidalmente das variáveis espaciais:

5 A natureza periódica das funções harmônicas no espaço pode ser expressa na forma: Para que os planos de igual fase se propaguem é necessário que (r) varie no tempo, o que se consegue introduzindo a dependência temporal :

6 Uma onda plana harmônica é representada em coordenadas cartesianas, na forma: Onde α,β, e γ são os co-senos diretores de k

7 ONDAS ESFÉRICAS: O laplaciano em coordenadas esféricas: Procura-se construir uma descrição de ondas esféricas, ou seja, Onda esférica harmônica:

8 ONDAS CILÍNDRICAS: O Laplaciano em coordenadas cilindricas é A simetria cilíndrica traduz-se pela seguinte exigência: Qual deve ser a forma de (r) das soluções desta equação? Esta equação representa um conjunto de cilindros coaxiais que preenchem todo o espaço e que se afastam ou se aproximam de um fonte linear de comprimento infinito situada no eixo.

9 Cálculo do Laplaciano em coordenadas esféricas: Vamos usar os símbolos (r, ɵ, φ) para indicar as coordenadas esféricas de um ponto. em termos das coordenadas esféricas (r, ɵ, φ). Um cálculo direto é bastante longo. Por isto segui outro caminho. Usando a expressão do laplaciano em duas variáveis em termos das coordenadas polares, temos Notemos que as relações: são análogas às relações entre as coordenadas cartesianas e polares no plano, somente, agora, com z e ρ desempenhando, respectivamente, os papéis de x e y. Portanto, usando novamente a expressão do laplaciano em cordenadas polares, podemos escrever Somando uzz a ambos os lados em (1), temos,e usando (2), Precisamos expressar up em coordenadas esféricas. Pela regra da cadeia,

10 Em (1), estávamos mantendo z fixo e tomando φ e ρ como variáveis independentes, de modo que φp= 0. Portanto, De segue que Por outro lado, de segue que Usando (5) e (6) em (7), obtemos Substituindo (5) e (6) em (4), obtemos E, portanto, finalmente, substituindo (9) em (3), obtemos que é a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas.

11 Solução da Equação da Onda em Coordenadas Esféricas =0,,,= 0 = 1 = = =0 Usando o método da separação de variáveis: = = =0 Dividindo a expressão acima por PTR, temos: 1 ``+2` + 1 `+` + 1 `` `+` + 1 `` = ``= 1 `` 1 `` = 1 `` = 1 `` = `` =0 =0 = ± Como esperamos que a solução varie harmonicamente com o tempo, fazemos:

12 = = = ± = 1 ``+2` + 1 ``+` + ``+2`+ + ``+` + ``+2`+ = ``+` + ``+2` + = 1 `` = x r 1 `` =0 1 `` = ``+` + 1 `` = x sen ϕ `` ` `` + ` `` + ` `` = `` =0 + `` =0 x 1 + `` + =0 + = `` = + =0 = ± Como P( é periódica de período 2π, = `` + ` + = `` + `+ =0 ``+`+ =0 sen ϕ Fazendo a mudança de variável =cos, temos:

13 = = = = = = 1 = Substituindo em (I): =0 = =0 Sob esta forma esta equação lembra a equação de Legendre. Para explorar esta semelhança, faremos uma segunda mudança de variável. =1 / = 1 / = 1 = 1 / 1 1 =

14 = 1 / 1 / 1 1 / 1 1 / / 1 = 1 / = 1 / = 1 / = 1 / = 1 / Substituindo em (II): 1 21 / / / =0 1 / 21 / = = = = = =0

15 = = =0 Portanto se fizermos =+1 esta equação será satisfeita pelos n-ésima derivada de. = =+1 voltando para a equação em R ² +2 +²²= = =0 Fazendo x = mr e R(r) Y(x) +2 +1=0 ² +2 +1=0 = = /

16 =/ / = 1 2 = = 1 ² ² Substituindo na equação (III): = = = = = = = =0

17 =0 Comparando com a equação de Bessel modificada: =0 2+1=1 =0 = = =±+ 1 2 =1 ²=1 =±1 Como l é inteiro e p inteiro, a solução é do tipo: = + = = + = 1 = = 1 =

18 = + = + = = +,,,=,,,= + cos+ + cos Conclusão A equação de onda é uma importante equação diferencial parcial lineal de segunda ordem que descreve a propagação de uma variedade de ondas, como as ondas sonoras, as ondas de luz e as ondas na água. É importante em vários campos como a acústica, o eletromagnetismo e a dinâmica de fluídos. Agradecimentos Agradecemos, primeiramente, ao professor Altair, pela iniciativa de nos propor esse trabalho visando não só nos preparar para a vida profissional, como ajudar ao próximo. Aos nossos colegas de turma, em especial os que compartilharam essa tarefa conosco. Aos nossos pais e familiares, pelo apoio de hoje e sempre. Referências - Material disponibilizado na xerox (Prof. Altair) - Eugene Butkov, Fisica Matemática, 1978 editora Guanabara 2 S.A